08/05/13 03:02:05
>>356
ありがとうございます
358:１３２人目の素数さん
08/05/14 23:08:30
細かいことは忘れたが、ある代数系（束と群を融合させたようなの）で、
ある命題の反例を作り出すことに躍起になったことがあった。
その時に最も厄介だったのが、結合律を満たすように万障繰り合わせる
作業だったということだけは鮮明に覚えている。
359:１３２人目の素数さん
08/05/18 09:29:58
age
360:１３２人目の素数さん
08/05/21 23:16:33
別スレから来ました。全行列環上の加群について教えて下さい。
例えばKを体として、Rを３次全行列環M3(K)とします。このとき３次正方行列M＝
K K 0
K K 0
K K 0
は右R加群だが、３行２列行列N＝
K K
K K
K K
は右R加群ではない。これは正しいでしょうか？
MとNはK加群（６次元Kベクトル空間）としては同型ですよね？
361:１３２人目の素数さん
08/05/22 08:59:41
>>360
（前半）
あなたはR加群をどう定義してるの？
ふつうの流儀でふつうに作用を入れると同型になると思うけど。
（後半）
Yes
362:１３２人目の素数さん
08/05/22 09:12:29
>>360
どちらも右Ｒ加群にはなりません。
363:360
08/05/22 12:15:59
>>361
ありがとうございます。
行列の積をRからの作用として右R加群を考えています。
これが間違いなのでしょうか。
>>362
ありがとうございます。
Ｍ，Ｎとも左R加群になるのはわかりますし、Nが右R加群にならないのもわかります。
しかしMが右R加群にならないのがわかりません。
やはりRからの作用の定義に問題があるのでしょうか？
364:１３２人目の素数さん
08/05/22 20:14:38
355の方の関連、というかもっと初歩的な質問なのですが、
代数系の研究で、何より先に結合法則が仮定される理由、
つまり、結合法則がなぜそれほど重要なのかが、どうしても
しっくり来ません。
既出かも知れませんが、どなたかご教示ください。
365:１３２人目の素数さん
08/05/22 21:15:31
>>363
右R加群の定義を正確に書いてごらん。
366:１３２人目の素数さん
08/05/22 21:33:23
>>364
結合法則を仮定しない代数系に関する研究もある。
結合法則を満たす代数系を考えることが多いのは、
興味のある代数構造は「（条件を満たす）関数のなす集合」
みたいなところから出てくることが多くて、
関数合成が結合性を満たすからだと、俺は思ってる。
もちろん人によって考え方は違うところだと思うけど。
367:１３２人目の素数さん
08/05/22 21:49:32
>>366と同じ様な意見だが、圏の射が結合法則を満たすことが根本にある
と思う。
圏とはモノイドの拡張になっている。
圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) はモノイドになる。
従って、モノイドは数学のあらゆる場所に現れる。
X の自己同型全体 Aut(X) は群になる。
アーベル圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) は環になる。
368:１３２人目の素数さん
08/05/22 22:14:09
=364です。
366さん、367さんがおっしゃるように、
Hom(X,X)が結合法則を満たすことが、大きな理由で
あることはよくわかります。
ただ、基本（？）に戻って、自然数や整数、有理数、実数の
演算としての＋、×を一般化する過程において、なぜ結合法則が、
ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです。
直感的には、交換法則の方がよほど基本的なようにも思われます。
あるいは子供に説明するとき、自然数の加法、乗法の結合法則の
証明（説明）は、それほどやさしくないようにも思えます。
そのあたりの、納得できる説明を、どなたかお願いいたします。
369:１３２人目の素数さん
08/05/22 22:31:05
>>368
あんたは、何か大きな勘違いをしてるようだな。
このスレを見てるとそういう勘違いをしてる者が多いが。
代数系というのは人間が自由に決めていいように思ってるようだが、
数学というのはそういうものではない。
370:１３２人目の素数さん
08/05/22 22:36:11
=368(=364)です。
369さん、私も、単に形式的なルールを決めただけの
代数系には、多くの場合には意味がないと思います。
「自由に決めていいものではない」からこそ、
「結合法則を満たしていなくてはいけない」理由があると
思いますので、それを教えていただきたく存じます。
371:１３２人目の素数さん
08/05/22 22:53:40
>>368
> ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです
神格化されたというソースはどこにあるの？
たとえば八元数は結合法則を満たさないけれど研究があるし、
Jordan代数は非結合的だけど、交換的な代数で、近年も研究されてる。
372:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:08:58
>>363
お前の考え方がオカシイのは
ある作用のいれかたが存在したら
それ以外のいれ方を考えないというか
それ以外の存在を忘れ去ってしまっている
ということ。
373:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:09:54
>>370
だから>>367で説明してある。
ねばならない理由って、事実は事実なんだから
素直に認めればいいじゃん。
数学の出来ないやつは難しく考えすぎるからだめなんだよ。
何故、１足す１は２なのかとかな。
－１と－１を掛けると何故プラスになるかとかな。
374:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:12:04
>>368
東屋-中山の代数学I・IIなんかみると
分配系のほうが当たり前の構造だと思ってる
という感じがするんだが。
お前が何を神格化しようと、
お前の神は俺の神ではないということでは。
375:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:14:35
>>368
納得したければ身をすり減らしてでも自分で調べて
死ぬまで考え続けろ
それ以外の何物もお前の納得の役に立ちはしない
376:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:16:42
非結合代数系なんてさ、まず計算順序を
いつもいつも気にし続けなきゃならんでしょ、
ひたすらめんどくさいじゃん。
377:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:19:59
多分、面倒くさい上に面白くないからだろうな。
378:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:36:52
しつこいようですが、＝370です。
それでは、355さんの質問に戻って、たとえば実数R上に
二項演算・が定義されているとき、それをあえて関数記号ｆを使って
ｆ：A×A→A
表します。
当然ですが、交換法則
f(a,b)=f(b,a)
は、ｆのグラフ
z=f(x,y)
が、面x=yに関して対称であるということで
特徴づけられます。
それでは、この演算が結合法則を満たすこと、すなわち、
f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
が成立することを、ｆのグラフの形状の特徴として、
簡単に述べることはできるでしょうか？
これが何か直感的な特徴づけを持つようなら、
ある種の「納得」が得られるような気もします。
379:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:40:08
>>378
>>356 が既にその解答を与えている
380:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:43:53
結合法則が成り立つ場合は
f(a,x) を a が x に左から作用しているとみたほうが良いんじゃないかな
381:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:44:21
だから数学ってのはゲームじゃないんだって。
ゲームは人間が作ったルールで遊ぶ。
数学ってのは数学的世界の探求なんだよ。
数学的世界ってのは大昔から不変なわけ。
人間がどうこう出来るものじゃない。
382:１３２人目の素数さん
08/05/22 23:52:56
別に「結合法則を満たしていなくてはいけない」ってことはなくて
実際、Lie代数とかは満たしてないでしょ。
ただそれ以外にあまり面白い例が知られていないってだけだと思う。
これから千年後の数学はどうなっているか分からないのだから
あまり人為的な理由をこじつけて「納得」しようとしちゃダメだと思う。
383:１３２人目の素数さん
08/05/23 00:05:14
>>378
世の中お前のような単純でおめでたいものだけでできあがって居ないということだ。
384:１３２人目の素数さん
08/05/23 07:22:25
>>366とか>>367とか>>380が書いてるように、重要な代数系は
作用の集合なんだよ。圏論で言うと射の集合だ。
整数環もｎ倍するという作用の集合なわけ。
だから>>368が可換性のほうが基本的に思えるというのは勘違い。
むしろ非可換が普通。
385:１３２人目の素数さん
08/05/23 19:13:27
378です。有意義な多数のご意見に感謝します。
384さんがまとめてくださって、８０％くらいまで
すっきりしました。
確かに歴史的に考えても、群や環は、決して整数や実数の
加法、乗法を一般化して生まれたものではなく、（どの時点を
もって「生まれた」とするかは議論があるでしょうが）
ガロアによる根の置換という「作用」の研究から生まれた
わけですもんね。
ということは、むしろ、整数や実数の加法や乗法が
結合法則を満たすことは、大げさに言えば「たまたま」「まぐれ」
という位に考えた方がいいのでしょうか。
386:１３２人目の素数さん
08/05/23 19:41:09
きもちわるい
387:１３２人目の素数さん
08/05/23 22:08:00
定義
I を有限閉区間 [a, b] とする。
I の二つの分割 Δ = (x_i) と Δ' = (y_i) に対して
Δ の各分点 x_i は Δ' の分点になているとき Δ' は Δ の細分と言い、
Δ ≦ Δ' と書く。
関係 ≦ は明らかに順序関係である。
Δ_1 と Δ_2 を I の二つの分割とする。
Δ_1 と Δ_2 の分点の合併から重複するものを除いたものを Δ_3 とする。
明らかに Δ_1 ≦ Δ_3, Δ_2 ≦ Δ_3 である。
従って、I の分割全体は上向きの有向集合(過去スレ008の140)である。
388:１３２人目の素数さん
08/05/23 22:50:35
リーマン積分？誤爆？
389:１３２人目の素数さん
08/05/23 23:10:55
クマースレからのコピペ荒らしだろうｊｋ
390:１３２人目の素数さん
08/05/23 23:31:31
そんなスレ知らんわｊｋ
391:390
08/05/23 23:35:55
上から順に見てったらすぐわかったwww
あのスレでリーマン積分が出てきてるとは思わなんだ。
392:１３２人目の素数さん
08/05/24 00:57:25
>>385
きっと数学的には、整数や実数が結合則を満たすのは
「たまたま」でも「まぐれ」でもなく、ほぼ定義。
君が考えるべきは、人間の数に関する直感が
抽象的な整数や実数と対応していることじゃないかな。
393:１３２人目の素数さん
08/06/04 07:03:08
やべーーーーーーーすげーーーーーーー
発見した
今から論文にまとめる
楽しみにしとけ
394:１３２人目の素数さん
08/06/10 00:43:52
零因子を持たない非可換環の例がありましたら、教えて頂きたいです。
そもそも、そのような環は存在可能でしょうか？
395:１３２人目の素数さん
08/06/10 01:04:25
>>394
四元数を知らんのかたわけ者。
396:１３２人目の素数さん
08/06/10 01:21:54
>>395
すみません。超初心者です。勉強します。
397:１３２人目の素数さん
08/07/04 23:03:00
age
398:１３２人目の素数さん
08/07/05 12:36:39
ここで聞くべきか分からないけど
集合･位相から群論に進むのにいい教科書ありませんか
「現代数学概説Ⅰ」を読んでるのですが
分かりにくくて挫折しそうですorz
399:１３２人目の素数さん
08/07/05 13:12:31
横田一郎「群と位相」
ポントリャーギン「連続群論」
400:１３２人目の素数さん
08/07/05 14:15:35
現代数学概説Ⅰは分かりにくい割に読んでも苦労が報われない本なので。。
401:１３２人目の素数さん
08/07/05 14:22:31
Algebra Artin 小さな誤植多すぎ まとめたら100個以上あるなこれ。
402:１３２人目の素数さん
08/07/05 15:01:51
LangとArtinのAlgebraどっちがおすすめ？
403:１３２人目の素数さん
08/07/05 15:07:10
Artinは具体例あげすぎ、ちゃんと証明してない定理多杉。
純粋な数学好きにはあまり向いてないという印象
Langの方は読んだことないからわからんが。
404:１３２人目の素数さん
08/07/05 16:33:02
Langは大学院用のかなり高度なテキストで
圏論を意識して書いてる。
アメリカだから大学院とかそういうことじゃなくて、
実際にかなりレベルが高い。
学部生がゆっくりしっかり勉強するためのArtinと比較してもしかたない。
＞具体例あげすぎ、ちゃんと証明してない定理多杉。
代数学とは何か、とかそこまで読み物じゃないだろうけどね。
405:１３２人目の素数さん
08/07/15 04:53:49
体に埋めこむことのできない、零因子を持たない環ってありますか？
406:１３２人目の素数さん
08/07/16 15:59:45
代数学のおもしろさってどんなとこですか？
407:１３２人目の素数さん
08/07/16 19:22:08
>>405
整域は商体に埋め込める
408:405
08/07/17 01:01:53
レスありがとうございます。
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)'tsev
に
＞1937年に環の体への埋め込み可能性についての論文を書く．
＞元は，ファン・デル・ヴェルデンの
＞「体に埋めこむことのできない，零因子を持たない環があるか」という問題だった．
という記述があるのですが、これは、商体を考えれば良いのだから無い、
という結論になるのですか？もう少し複雑な問題だと思っていました。
409:１３２人目の素数さん
08/07/17 01:17:36
>>405
易しいことを難しく質問するのがw
410:１３２人目の素数さん
08/07/17 02:10:09
>>408
ああ，非可換でいいのか．だったら簡単に作れる．
S を {a, b, c, d, x, y, u, v} が生成する(単位的な)半群で，
各元が a x = b y, c x = d y, a u = b v なる条件を満たすものとし，
R = k S (k は可換体) として得られる環 R が例になる．
（S上では c u ≠ d v だが，埋め込めたとすると c u = d v になる）
411:１３２人目の素数さん
08/07/17 13:58:50
素数たち
とか外国語の複数形を意識して「～たち」とか使うやつがいるけど、
気持ち悪いんですが。
それをかっこいいと思っているやつもいるみたいで。
412:１３２人目の素数さん
08/07/17 14:41:19
>>411
酒井とかいうジジイ数学者がそれだ
413:１３２人目の素数さん
08/07/17 19:03:14
>>411
俺も使うよ。
正直なんか擬人化っぽくてカッコ悪いとは思うんだが
複数と単数の違いは、日常生活ならいざ知らず、
数学では結構効いて来るので。
その点のみに関しては日本語は英語より不利だと思う。
擬人化っつっても
∧＿∧ ┌──────
◯（ ´∀｀ ）◯ ＜ 743ﾀﾝは132人目の素数ちゃん！
＼ ／ └──────
_／ ＿＿ ＼_
（＿／ ＼＿）
ｌｌｌ
とかは流石に言いませんが。
414:１３２人目の素数さん
08/07/17 20:21:56
たしかに嫌だが
くどい書き方になるのとどっちがいいか
昔の本ではあまり見ないかな
415:１３２人目の素数さん
08/07/17 20:51:42
そんな変な言い回しを使わずに、高木貞治などは立派な数学書
を書いているのだが。「素数の皆さん」とか「特異点たち」が
必要不可欠な表現とは思えん。
416:１３２人目の素数さん
08/07/17 21:07:30
なんにせよこのスレでは一回しか使われてない。
代数学に限った話ではないし、そろそろスレ違いだな。
俺もかなり問題あると思うが
昨今の学生の読解力を考えると案外必要不可欠なのかもしれん
417:１３２人目の素数さん
08/07/17 21:24:54
>>412
酒井って、ディリクレ＆デデキントの整数論の教科書を訳した人？
あんまり訳の完成度が高くなかったような。
本自体は分かりやすい高木の本よりさらに分かりやすいけど。
418:１３２人目の素数さん
08/07/17 21:34:00
>>417
そうです。日本語に冠詞を「添加」しようなんて提案も
どこかでしていましたっけ。
419:１３２人目の素数さん
08/07/17 21:39:07
チンコのたちが悪いので、たちが必要じゃ。
420:１３２人目の素数さん
08/07/24 06:31:01
単数と複数の区別がほんとに必要なときってあまり思い浮かばない。
逆に英語では point(s) なんて書かなきゃならない場合もある。
要するに日本語で「たち」とか冠詞を使いたいと思うのは西洋かぶれ。
421:１３２人目の素数さん
08/07/25 16:22:29
アラビア語かぶれかもしれんよ
422:１３２人目の素数さん
08/08/05 19:32:46
対称群S_nとその単位元1に対し
S[n,m]={x∈S_n | x^m=1 x^i≠1(i=1,...,m-1)} として
S[n,m]を x～y ⇔ ∃g∈S_n xg=gy という同値類で割った商集合をA[n,m]としたとき
A[n,m]の元の個数って一般に幾つになるんでしょうか
423:１３２人目の素数さん
08/08/07 12:55:38
>>422
A[n,m]は、
n = a_1 + a_2 + ... + a_r、a_iは正の整数、a_1≦a_2≦ ... ≦a_r
a_1, a_2, ... a_rの最小公倍数がm
を満たす有限数列の個数、ということになるな。
個別のn,mについて組み合わせ論的に計算することは可能だろうけど、
一般的に式で表すのは難しいんじゃね？
424:１３２人目の素数さん
08/08/07 13:03:10
K を体、SをKのある拡大体の有限部分集合としたとき、
K[S] = K(S) ⇒ S の元はすべてK上代数的
っていう命題を簡単に（ネーターの正規化定理とか使わずに）
示すことってできる?
425:１３２人目の素数さん
08/08/07 16:55:25
>>423
式で表すのが難しくても、423のようには表せるのですね。ありがとうございました
426:１３２人目の素数さん
08/08/07 19:47:27
現在、松坂和夫の代数系入門で学習しているのですが、この本の内容なら大学の数学科ではどの程度の学年で習得するのが普通でしょうか？
冒頭のはしがきにはこの本の内容は基礎的なものであって専門的なものではないというようなことが書いてありましたので1回か2回生くらいかと思うのですが
427:１３２人目の素数さん
08/08/07 20:19:44
>>426
2年生くらい。
428:１３２人目の素数さん
08/08/07 21:36:15
>>427
ありがとうございます
がんばります
429:１３２人目の素数さん
08/08/08 01:00:23
>>424
松村「可換環論」定理5.2
430:１３２人目の素数さん
08/08/08 19:18:13
>>429
サンクス！ 松村の本で証明をチェックしました。
それなりに長い証明だけど、正規化定理の証明よりはだいぶ簡単ですね。
ちなみに、今読んでる岩波の堀田「環と体2」で>>424の命題の証明が
なんか変で（たった3行しかなく、たぶん証明になってない）、正しい簡単な
証明を探してました。
ありがとうございました。
431:１３２人目の素数さん
08/08/08 19:21:25
ご参考までに、堀田「環と体2」（岩波）の問題の箇所を以下に書いておきます。
命題1.11（p.9）の
(ii) K[a_1, ..., a_n] = K(a_1, ..., a_n) ⇒ (iii) [K(a_1, ..., a_n):K] < ∞
の証明が変。帰納法の仮定は「n-1 まで (i)(ii)(iii)が同値であること」のはず
なのに、「a_1, ..., a_(n-1) が代数的」を仮定してしまっているようにみえる。
なお、実は別分冊「環と体1」のほうの補題4.10（p.71）で、これと実質的に
同等な命題が（ネーターの正規化定理を使って）示されています。
432:１３２人目の素数さん
08/08/08 19:40:13
ついでに、堀田「環と体2」（岩波）でもう一個見つけたおかしな箇所を書いておきます。
定理 2.25（p.50）（1の原始n乗根を含む体K上の巡回拡大はK(a^(1/n)]）
の「(ii)⇒(i)」の証明で、
「σの位置はnゆえ、これは位数nの巡回群であり..」
というところにギャップがあると思われます。
他の本のように、Lagrangeの分解式かHilbertの定理90を使わないとこれは言えないはず。
433:１３２人目の素数さん
08/08/08 19:44:47
匿名で書くな阿呆
434:１３２人目の素数さん
08/08/08 19:56:17
全員匿名なんですがｗ
435:１３２人目の素数さん
08/08/08 20:35:14
だから２ちゃんねるは便所の壁^H^Hクソなんだ
436:１３２人目の素数さん
08/08/08 21:27:31
今学期に群を学んだんですが次は普通は環や体について学ぶんですかね？
437:１３２人目の素数さん
08/08/08 22:08:28
つぎは反軍だ
438:１３２人目の素数さん
08/08/09 23:54:45
群論ｷﾓｲ
環のようにきれいな群論の本無いですか？
439:１３２人目の素数さん
08/08/11 07:22:31
何だよ環のようにきれいなって。
その時点で意味不明だよ。
440:１３２人目の素数さん
08/08/11 09:30:36
おそらく環のごく基本的なことしか知らないから
「きれい」だと思ってるんでない？
441:１３２人目の素数さん
08/08/11 21:18:07
環の英訳はringであってringの和訳の1つに「指輪」がある
⇒環と指輪の英訳は同じ
⇒指輪はきれいだから冗談交じりに環はきれいと判断した
つまり、環と指輪の英訳を考えて「環のようにきれい」という表現が出て来たのだろう。
442:１３２人目の素数さん
08/08/13 03:23:32
有限群論の恐ろしくテクニカルなのが嫌いなんだろう。
環については４４０の言う通りだろうけど。
443:１３２人目の素数さん
08/08/13 18:07:54
友愛数、婚約数、社交数、拡大友愛数 完全数
これって素数みたいに代数的な特性あるの？
ただの暇人の数字遊び？
444:１３２人目の素数さん
08/08/13 21:24:25
最後の行
445:１３２人目の素数さん
08/08/14 11:30:47
>>443
「代数的な特性」ってのは具体的に何のこと？
446:１３２人目の素数さん
08/08/14 11:33:24
URLﾘﾝｸ(www.technobahn.com)
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
447:１３２人目の素数さん
08/08/14 12:29:32
有限群論って組合せ論やグラフ理論と似た考え方がモロに出て来るから
これらに慣れていてば余り難しく感じられなくなるんないんじゃないか？
無限群論だと話は別かも知れないが。
448:１３２人目の素数さん
08/08/14 13:08:22
訂正:
>>447の「慣れていてば」は「慣れていれば」の間違い。