08/02/15 11:31:18
>>257
しゃあねえなあ。207 を書き下してやる。
k を非負整数として (a+b)^k を考える。a, b 代数的だから、
a^n や b^m はそれよりも小さな次数の元たちで書き直せる。
よって、(a+b)^k は 1, ..., a^{n-1} b^{m-1} の、nm 個の項の
Q 係数の線型結合で書ける。つまり，(a+b)^k は
Q 上 nm 次元のベクトルだと考えられる （基底は a^i b^j）．
ところで 1, a+b, ..., (a+b)^{nm} を考える。これらはどれも Q 上 nm 次元の
ベクトルで、nm 本よりたくさんあるのだから、これらは線型従属。
つまり、ある Q 係数の関係式
γ_0 + γ_1 (a+b) + ... + γ_{nm} (a+b)^{nm} = 0
が成立。これは (a+b) が代数的と言っているのと同じ。