07/08/05 07:28:50
>>>62
P_3の取り方に（一般性を失う）2通りあるでしょ。そこら辺ちゃんと考えてるの？
68:66
07/08/05 07:31:27
ていうかP_(n)が円周上の点だと明示してなかったorz
今何とか考えてみたらこうなった。
P_(2n)=((-1)^ncos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ)
P_(2n+1)=(cos(2n+1)θ,sin(2n+1)θ) ただしn=0の時P_(0)は定義しない。
69:66
07/08/05 07:35:03
>>67
意味わからない。どういうこと？
70:１３２人目の素数さん
07/08/05 09:40:55
知将
71:１３２人目の素数さん
07/08/05 09:58:27
>>56
> N(N-1)≡0 (mod p-1)…(*)
N^2 ≡N (mod p-1)
N と p-1 の最大公約数を q とすると
N ≡1 (mod (p-1)/q)
N ≡0 (mod q)
の二本の式が出てきて、中国剰余定理からp-1未満の
整数解の存在は保証される。
そして、そのNがf(2，N)=Nを本当に満たしているって言うのは
不等号ではさんでゴニョゴニョスればいいはず。
というか、ここまでは前スレの終わりに出てた問題と一緒でしょう。
(2)は繰上りとかがうまく処理できなくて難しいね。
72:66
07/08/05 15:55:37
>>70
多分俺に言ってるんだと思うけど、罵るのはいいからさあ・・・教えて欲しいのよ、こっちは。
まあ、よく考えたら大して面白い問題でもなさそうだったからスルーでもかまわないが。
73:１３２人目の素数さん
07/08/05 22:33:36
>>72
簡単 かつ つまらない かつ 解答も考えずに書き込んだお前は屑だ！
100年ロムって、そのままｓ…
74:１３２人目の素数さん
07/08/05 22:37:21
100年と言わず、半万年ろｍ（ｒｙ
75:１３２人目の素数さん
07/08/06 01:14:47
半径rの球面上にn個の点(a1,a2,...,an)を配置するとき、
ある1点akと他の点間の各距離の最小値をdkとする。
n=5のとき、d1+d2+d3+d4+d5の値が最大となる配置はどのような配置か？
長年疑問だったのでお尋ねします。
76:１３２人目の素数さん
07/08/06 01:38:55
mathnoriの問題か？
77:１３２人目の素数さん
07/08/06 08:57:51
>>62の反省を生かして別問題を作ってみた。答えも用意してあるが、後に公開するそれが間違ってたら指摘を求む。
原点をOとし、0<θ<π/2とする。Pの後の「_n」は添え字を表すものとする。
線分OP_1がx軸の正の向きとなす角がθとなるような点P_1をとる。
次に線分P_1P_2が線分OP_1の延長の正の向きとなす角が2θとなるような点P_2をとる。
次に線分P_2P_3が線分P_1P_2の延長の正の向きとなす角が3θとなるような点P_3をとる。
・・・以下同様に、線分P_(n)P_(n+1)が線分P_(n-1)P_nの延長の正の向きとなす角がnθとなるような点P_(n+1)を順次とっていく。
(1)OP_(n)の座標を、θを用いて表せ。
(2)P_4がy軸上にあるようなθの値を求めよ。
(3)θが(2)で一義的に定まる時、P_4のy座標を求めよ。
定まらない時は、最も小さなθに対応する点P_4を点A、最も大きなθに対応する点P_4を点Bとし、線分ABの長さを求めよ。
なお、既知の角度が求められない場合は三角比の表を用いるなどして良い（注：ここだけ美しくなくて残念）。
78:１３２人目の素数さん
07/08/06 09:03:55
>>77
また一つ書き忘れたおバカな俺。「線分P_(n)P_(n+1)の長さはいずれも1とする。」これがなきゃ解けねーよ。
79:１３２人目の素数さん
07/08/06 11:12:22
A[n+2]=(4n+2)A[n+1]+A[n]
B[n+2]=(4n+2)B[n+1]+B[n]
A[1]=1、A[2]=3
B[1]=1、B[2]=1
を満たすA[n],B[n]においてA[n]/B[n]の極限値を求めよ。
80:75
07/08/06 13:01:20
>>76
問題背景は金属錯体化学です。球面縛りはこれが由来です。
中心に金属原子を持ち、その周りに幾つかの原子団（配位子）
が結合(配位)したものを金属錯体と言います。
金属原子に配位したそれぞれの配位子はお互いの立体反発を小さくするような
空間配置をします。
４つの配位子がある場合、正四面体の頂点(平面正方形となる場合もあります)
６つ場合、正八面体の頂点となるような配置になります。
５つの場合は、中心金属を含む平面内に正３角形の頂点をなすように３つ、
残りの２つはその平面と垂直になり、中心金属を通る直線上にとります(三方両錐型)。
数学的に考えて、三方両錐型が一番反発の少ない構造なのかを
知りたくて出題させて頂きました。
数学素人の問題ですがお願いします。
類似の問題がありましたら教えてください。
81:１３２人目の素数さん
07/08/06 13:15:22
>>78
糞して寝ろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
82:１３２人目の素数さん
07/08/06 17:30:01
(ﾟДﾟ)
83:１３２人目の素数さん
07/08/06 22:16:32
>>77
とりあえず２分くらい考えただけだが
(2)π/9,π/7,π/4,π/3,3π/7
(3)2sin3π/7-√3
あってるかどうかとか解説とか、そういうレスはなくていいです
84:１３２人目の素数さん
07/08/06 22:16:48
>>80
立体反発というのがどういうものか知らないんだけど、
問題>>75の｢距離の和｣が関係してるの？
むしろそっちのほうが気になってしまうやつがここにいる。
85:１３２人目の素数さん
07/08/06 22:58:42
距離の二乗の和？
86:１３２人目の素数さん
07/08/06 23:15:59
>>83
解説は不要とのことなので、感想だけ。
2分でよく答えをはじき出せたねえ・・・。問題として面白いかとか、自分もちゃんと解けるかどうかとかを考えてたら2時間以上かかったよ。
87:１３２人目の素数さん
07/08/06 23:56:44
>80
それだったら、静電エネルギーを最小にするんぢゃね?
Σ[1≦i<j≦n] 1/d(i,j) → min.
88:83
07/08/07 00:04:41
>>86
あ、すいません。解説っていうのは回答に対する考察のことで、問題の解説はほしかったり。
ほとんど当て推量で、
10-1=6+3=9
10-3=6+1=7
10-6=3+1=4
の最右辺の値を分母でcosに持っていけば大丈夫だろうくらいしか考えてませんでした。
ただ一般化はしにくいかも知れませんね。東工大でこのままありそうな問題って感じで。
あと(3)はなんか意味のある問題だったり？
89:87
07/08/07 00:34:28
>80
3方両錐型のとき
Σ[i<j] 1/d(i,j) = 6/(a√2) + 3/(a√3) + 1/(2a) = 6.4746915…/a. (たぶん最小)
90:75
07/08/07 00:42:56
>>84,85,87
レスありがとうございます。
イメージとして個々の点の持つ「縄張り」ができるだけ均等になるのは
どのような常態かが知りたくて>>75のような問題文になってしまいました。
この「縄張り」の定義があいまいな為、混乱を招いてしまったと思います。
球面ではなくて円周にした場合、点が幾つであろうと等間隔に
点を円周上に並べれば、各点間の反発が均等になります。
これが球面になるとどうなってしまうのか？
とくに対象性の悪い数の場合はどうか？
が知りたくて出題しました。
91:75
07/08/07 00:57:39
>>89
解答ありがとうございます。
各点間の距離の逆数の和が三方両錐型の場合に最小に
なることの証明は難しいのでしょうか？
92:１３２人目の素数さん
07/08/07 01:05:30
>>89
6.4746915
をぐぐったら Distributing n Charges on a Sphere
URLﾘﾝｸ(tracer.lcc.uma.es)
なんてページが出てきた。
93:75
07/08/07 01:09:35
連投で申し訳ないです。
各点に立体角を割り振るようなうまい定義
ができていないのがダメですね。
94:75
07/08/07 01:14:31
>>92
面白いページですね。
５つのときはやはり三方両錐型ですね。
95:１３２人目の素数さん
07/08/08 00:24:02
>>88
勘違いすみませぬ。
(1)P_(n)の座標はベクトルを用いて↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)と表せる。これを用いれば
↑OP_2=↑OP_1+↑P_1P_2=(cosθ,sinθ)+(cos(θ+2θ),sin(θ+2θ)=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)
↑OP_3=↑OP_2+↑P_2P_3=(cosθ+cos3θ,sinθ+sin3θ)+(cos(θ+2θ+3θ),sin(θ+2θ+3θ)
=(cosθ+cos3θ+6θ,sinθ+sin3θ+6θ)
以下同様にすれば
↑OP_(n)=↑OP_(n-1)+↑P_(n-1)P_(n)=(∑[k=1,n]cos(k(k+1)θ/2),∑[k=1,n]sin(k(k+1)θ/2))
・・・確かに成り立つかどうかの吟味って必要かな？
(2)P_4がy軸上にある、つまりx座標が0であるから、cosθ+cos3θ+6θ+cos10θ=0。
変形すると-4sin2θsin(9θ/2)cos(7θ/2)=0であり、0<θ<π/2よりsin2θ≠0なので
sin(9θ/2)cos(7θ/2)=0。これを満たすθは0<θ<π/2において、θ=π/9,π/7,3π/7,4π/9 の4つ。
(3)(2)で求めたようにθは一つだけではないから、最小のθに対応する点P_4つまり点Aのy座標は
となる。これはsin(π/7)+sin(3π/7)+sin(6π/7)+sin(10π/7)=2sin(2π/7)である。
最大のθに対応する点P_4つまり点Bのy座標はsin(2π/9)+sin(6π/9)+sin(12π/9)+sin(20π/9)=2sin(2π/9)である。
したがって、線分ABの長さ=2sin(2π/7)-2sin(2π/9)=2sin(π/63)≒0.997。
＞あと(3)はなんか意味のある問題だったり？
別にあまり意味は無い。本当はθは一つに定まると思ってた（このへんが浅はかだなあ）から、
それに対応する点の座標を求めるだけのつもりだった。しかし一つには定まらないことに気づいてから、
「だったら複数の点の座標を求め、それが作る多角形についても問題にしよう。」と考えた。
さらに言えば、「どうせθは一つには決まらないんだから、P_4がx軸上にある場合も問題にしてやれ。」
との考えにいたった。それぞれで題意に沿う最小および最大のθに対応する4点を定めて、それが作る台形の
面積を求めるつもりだった。でも自分が大変なのでやめた。時間と気力があったらやってみてね。
96:１３２人目の素数さん
07/08/08 03:47:31
2^186+1/65 が整数であることを証明せよ。
97:１３２人目の素数さん
07/08/08 08:34:43
(2^186+1)/65？
98:１３２人目の素数さん
07/08/08 17:44:15
以下65を法とする
2^6≡64≡-1
2^186≡(2^6)^31≡(-1)^31≡-1
2^186+1≡-1+1≡0
99:１３２人目の素数さん
07/08/09 11:11:31
自作問題。
(1)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。
・fは(-1,1)上でC^1級である
・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ
・f(0)＝0である
このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。
ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。
(2)f：(-1,1)→Rは次の条件を満たすとする。
・fは(-1,1)上で微分可能である(しかしC^1級とは限らない)
・|f'(x)|＜1 (-1＜x＜1)が成り立つ
・f(0)＝0である
このとき、任意のa∈(-1,1)に対してlim[n→∞]f^n(a)＝0が成り立つことを示せ。
ただし、f^n(a)＝f(f(…f(a))) (fをn回合成した関数)とする。
100:89
07/08/11 01:17:39
>92
㌧㌧ｸｽ
nが小さいところでは
n=2, 直径, f(2) = 1/2, a=2,
n=3, 正3角形, f(3) = √3, a = √3,
n=4, 正4面体, f(4) = (3/2)√6, a = √(8/3),
n=5, 三方両錐, f(5) = (1/2) + 3√2 + √3, a(ax)=√2, a(eq)=√3,
n=6, 正8面体, f(6) = (3/2) + 6√2, a=√2,
n=7, 五方両錐, f(7) = (1/2) + 5√2 + 5√{(5+√5)/10} + 5√{(5-√5)/10}, a(ax)=√2, a(eq)=√{(5-√5)/2},
n=8, 捩れ正方形柱, f(8) < 2 + 6√3 + 3√6, (square anti-prism),
a(top) = a(bot) = 1.171247738380718…, a(side) = 1.28769352633104…,
n=12, 歪20面体, f(12) < -12 +15√5 +15√{(5+√5)/2},
n=20, 歪12面体, f(20) < 5 +30√3 +15√6 +15√15,
かな。
n=8,12,20 では正多面体からずれている。ヤーン・テラー効果?
101:89
07/08/11 01:51:01
>80
平面正方形では, f(4) < 1+2√2, a=√2,
でつが実在しまつね。
軌道函数どうしの重なり積分が≒0 となる必要があるので、結合角にも制約があり…
静電エネルギーだけで決まる訳ぢゃね…
102:１３２人目の素数さん
07/08/24 16:36:07
ほしゅ
103:１３２人目の素数さん
07/08/25 18:24:43
ひまでしたら解いてみてください
6桁の自然数ABCDEFは3桁の自然数ABC*DEFで割り切れる。
6桁の自然数ABCDEFをいくつか見つけてください。
104:１３２人目の素数さん
07/08/25 19:27:36
ポテンシャル問題でしょ、普通に解けば？ラグランジェとかで？
105:１３２人目の素数さん
07/08/25 19:32:34
V=eiej/dij
dij=d(ri-rj)
d(ri)=d(rj)
G=V-sjd(rj)
106:１３２人目の素数さん
07/08/25 22:15:04
>>103
143143 = 143*1001 = 143*143*7
167334 = 167*1002 = 167*167*6
この問題には深い意味ありますか？ただいま検討中。
107:１３２人目の素数さん
07/08/25 22:34:39
>>104
さすがに (5-1)*2=8 の変数を単純計算では、取り付く島もなかろう。
せめて対称性を分析してからでないと。
108:１３２人目の素数さん
07/08/26 12:03:50
次の数式は何故そうなるのかわかる方どなたかご教授ください。
鉱山を営むとする鉱業権は、次により評価する。
(1) 操業している鉱山の鉱業権の場合
a×(1／(s＋(r／((1＋r)^n－1))))－E
（１＋ｒ）の後はｎ乗です。
a 鉱山が毎年実現しうる純収益
s 報酬利率 9パーセントから15パーセントまでの間において適正に定めた率
r 蓄積利率
n 可採年数
E 今後投下されるべき起業費の現在価額
(2) 未着手のまま据置期間のある場合の鉱山の鉱業権の場合
(1／(1＋r)^m)×a×(1／(s＋(r／((1＋r)^n－1))))－E
（１＋ｒ）の後ｍ乗、 （１＋ｒ）のあとｎ乗
m 据置期間
a、s、r、n及びE (1)に定めるとおりとする。
(3) 開坑後予定収益を生ずるまでに期間のある場合における鉱業権の場合
a×(((1＋r)^n－1)／(r＋s｛(1＋r)^n＋m－1｝))－E
（１＋ｒ）のあとｎ乗、（１＋ｒ）のあと ｎ＋ｍ乗
m 補償時から予定収益を生ずるまでの期間
a、s、r、n及びE (1)に定めるとおりとする。
どなたかわかる人がいればご教授ください。比較級数の和の公式のようにも思えるし、複利計算の式にも思えるし・・・悩み中です。
109:１３２人目の素数さん
07/08/26 12:51:28
>>108
マルチ
110:１３２人目の素数さん
07/09/19 23:53:54
ほしゅ
111:１３２人目の素数さん
07/09/23 17:10:38
転載。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:22番)
半径r の円の中で一回に距離１だけ（好きな方向に）逃げたり
追いかけたりすることが出来る鬼ごっこをするとします。
最初に、鬼は中央に子は円周にいるとして先に子が逃げるとします。
さて、半径ｒがある程度大きくなると永遠に逃げ回ることが
可能になるのでしょうか？それとも絶対に捕まるのでしょうか？
また、円以外の閉領域で上の鬼ごっこをするときに
必ず捕まる条件みたいなのは計算可能でしょうか？
112:１３２人目の素数さん
07/09/23 23:55:07
>111
鬼は子の方向に追いかけるとする。距離RがR-1になる。
子が鬼の反対側に逃げた場合には距離がRに戻る。しかし θだけ逸れると
R - √{R^2 -2(R-1)(1-cosθ)} ≧ (R-1)(1-cosθ)/R だけ近づく。
113:１３２人目の素数さん
07/09/24 02:14:06
鬼が子の方向に必ず１進めるわけではないので
かならずそれが適応できるわけではない。
114:１３２人目の素数さん
07/09/24 02:16:23
ああ、ごめん。ルールを勘違いしてた。 交互に逃げたり追ったりするんだね
115:１３２人目の素数さん
07/09/24 10:16:51
そもそも永遠に逃げられるパターンが思いつけない。
116:１３２人目の素数さん
07/09/24 11:11:50
(1) 正方形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(2) 正三角形を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
(3) 円を合同でない二つの相似な図形に分割せよ
117:１３２人目の素数さん
07/09/24 13:18:23
>>115
任意の凸領域（任意の二点を結ぶ線分がその領域内を通るもの）は毎回、鬼が子の方向に進んでいけば距離が小さくなっていく。
よってずっと逃げ回るためには境界が凹領域のところ（つまり、穴というか進入禁止領域）があることが必要。
それでは、どれだけの大きさの穴があれば逃げ回れるのでしょうか？
球面とか、トーラスのように境界がない曲面も逃げ回ることが出来る大きさの最小値がありそう。
118:１３２人目の素数さん
07/09/24 13:23:22
>>116（１）これでどうだ！ 文句あるか！
■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■□□□□
■■■■■■■■■■■■□□□□
■■■■■■■■■■／□□□□□
■■■■■■■■■■□□□□□□
■■■■■■■■□□□□□□□□
■■■■■■■■□□□□□□□□
■■■■■■■■□□□□□□□□
■■■■■■■■□□□□□□□□
（／の部分は、フラクタル）
119:１３２人目の素数さん
07/09/24 14:02:17
>>118
フラクタルはダメです
曲線でわけても結構です
120:１３２人目の素数さん
07/09/24 14:04:07
>>118
相似にならねえじゃん
121:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:48:20
>>116
(1)と(３)は思いついたが（２）が思いつかん。
122:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:49:06
>>120
なるだろ。
123:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:49:24
>>121
解答頼む
124:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:50:34
あ、(２)もできた。
125:１３２人目の素数さん
07/09/24 17:54:22
結局フラクタルな図形以外でできるのか？
126:１２１，１２４
07/09/24 18:19:14
自分が考えたのもどれもフラクタルな図形です。
そうでないのは出来るんだろうか？
127:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:23:40
>>122
ならねえよ
128:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:24:54
>>122
デカい方が角が2つ多いだろ。
129:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:29:20
誰か>>79教えて～
130:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:32:05
>>128
まず「フラクタル」について調べてから言え。
131:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:32:43
>>127
フラクタルの意味はわかった上で、ならないと言ってるのか？
132:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:46:34
フラクタルはダメって言われてるのにフラクタルにこだわる奴ら
133:１３２人目の素数さん
07/09/24 18:51:03
条件からはずれたところで揉めるなよ、おまいら。
しかし、フラクタルがダメとなると、4つの角のうち2つずつ引き受けねばならなくなってしまいそうだけどなあ。
でも、そうすると相似に出来ねえし。可能なのか？
134:１３２人目の素数さん
07/09/24 19:47:11
フラクタル無しは厳しいな。
でも円はフラクタルありでも厳しいな
>>121さん、もし良かったら教えて
135:１３２人目の素数さん
07/09/24 21:05:47
点でしか接していなくてもひとつの図形としていいなら
円もできたんだが、それでもいいだろうか？
もちろんフラクタル図形。
136:１３２人目の素数さん
07/09/24 21:20:00
(0-1)+(2-3)+(4-5)+....
(1-2)+(3-4)+(5-6)+....
137:１３２人目の素数さん
07/09/24 21:54:06
>>135
もしかして三日月がたくさんくっついたような形？
138:１３２人目の素数さん
07/09/24 22:06:36
>>137
全然違う
139:１３２人目の素数さん
07/09/24 22:17:49
>>137
135ですが、そうです。
140:１３２人目の素数さん
07/09/24 22:19:35
>>119
それ以前にフラクタル不使用の解答ってあるの?
ない場合、できない証明をすれば正解かな?
挑戦してみよう。
141:１３２人目の素数さん
07/09/24 22:33:18
円の場合について考えたんだが
小さいほうの図形が円の外周を含むとしたらそれは連続した曲線としては含めず
また１点でしか含めないんではないかと思う。
連続した曲線として含んでも、２点以上含んでも、大きいほうの図形が構成できない。
つまり、小さいほうの図形の外周は、一点を除いて円の内部になければならない。
そしてその外周は、大きいほうと相似なのだから円形でなくてはならない。
てことは、>>137で言うような点で接するような図形を考えない限りは
ふたつの非合同な相似形には分割できない。
小さいほうが大きいほうの内部に含まれるような図形は自己相似形なので
フラクタルを禁止したら、この分割は出来ないということになる。
ぜんぜん厳密じゃないけど、どう？
142:１３２人目の素数さん
07/09/25 06:54:04
切ってから組みなおすのではなく、最初からブッツリと二つにしないとけないのだろうか？
幾つかに切り離していいなら、例えば(1)なら
辺の長さが√5の正方形を5つに切り離して、辺の長さが1と2の正方形を作るという話はよくあるが…
143:１３２人目の素数さん
07/09/25 11:29:54
それはそれで考え進めていいと思う。
144:１３２人目の素数さん
07/09/25 13:11:20
切り離して組み合わせていいなら、正方形と三角形は簡単なんじゃないか？
145:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:04:25
>>136
これ問題？ 「振動する」でいいんじゃない？
その他細かい条件があるのかは知らないけど
146:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:16:49
有限個に切り離して、組みなおしてもよいなら
(i) 長辺/短辺 ＞ 2 の長方形を作る（長辺/短辺 ≦ 2 になってしまったら、また半分に切って組み直す）。
(ii) 長辺/短辺 ＞ 2 の長方形は、長辺の適切な場所で、長辺に垂直に切れば、合同でない相似な二つの長方形に分けられる。
円をこの話に帰結できるかは分からないが。
やっぱり自己相似を使わず、さらに組みなおすこともなく、ということだろう。たぶん
147:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:34:36
んなややこしく考えなくても、組み直していいなら5*5に分けて3*3と4*4にするとかでいいじゃん。
三角形も25分割して16と9で出来るな。
148:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:41:07
…まあ…正多角形なら全部これで片付くということで、目をつむってくれや
149:１３２人目の素数さん
07/09/25 21:49:33
いくら分割してもよく、組みなおしていいなら楽勝だろう・・・。
150:１３２人目の素数さん
07/09/25 23:17:20
正方形を中心を通らずに合同な図形に二分割って出来る？
151:１３２人目の素数さん
07/09/26 00:02:35
出来ぬ
152:１３２人目の素数さん
07/09/26 10:12:44
>>117
穴があいていなくとも、たとえば半径3くらいの円板でも、
「子は円周を一定方向に回り続け、鬼はそれを馬鹿正直に追跡する」
というアルゴリズムでは、鬼の軌道は円周に漸近してくだけで
追いつけない気がする。つまり、鬼と子の距離は単調減少するが
0には収束しないという状況が起こりうるのではないか。
もちろん、鬼に先回りなどの知能を搭載すれば話は変わってくるけど。
153:１３２人目の素数さん
07/09/26 10:54:36
1,2,3,...,L[mm]の長さの
L種類の棒を縦に並べて
きっちりL[mm]の長さにするには
何通りの場合があるか？
同じ長さの棒は何度でも使え、
区別もしないとする。
154:１３２人目の素数さん
07/09/26 16:46:27
>>153
2^(L-1)
155:１３２人目の素数さん
07/09/26 16:47:57
>>153
L種類の棒で作られるL[mm]の長さが何通りあるかを f(L)で表す。
L=1のとき、 明らかに1mmの棒が一本の1通りである。
L=n (ただしn>1) の場合について考える。
一番上になる棒の長さが1であるものは f(n-1)の上に長さ1の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さが2であるものは f(n-2)の上に長さ2の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さが3であるものは f(n-3)の上に長さ3の棒を重ねたものと等しい
：
一番上になる棒の長さがL-1であるものは f(n-(L-1))の上に長さ(L-1)の棒を重ねたものと等しい
一番上になる棒の長さがLであるものは1通り
なので
f(L) = Σ_[k=1.Ln-1]{f(k)} + 1 = 2^n-1
この式は L=1のときにも f(L) = 2^n-1 =2^1-1 = 1 なので 当てはまる。
156:１３２人目の素数さん
07/09/26 16:50:50
下2行訂正
f(L) = Σ_[k=1.Ln-1]{f(k)} + 1 = 2^(L-1)
この式は L=1のときにも f(L) = 2^(L-1) = 2^(1-1) = 1 なので 当てはまる。
157:153
07/09/26 21:19:08
解答
問題の場合の数は
L[mm]の棒の1,2,...,L-1[mm]の箇所に印をつけ
それぞれを切断するか否かの場合の数に等しいので
2^(L-1)
158:１３２人目の素数さん
07/09/26 22:07:45
同じ部品からなる場合は重複と考える場合はどうだろうか？
（ 1+2+1で高さ4のものと 1+1+2で高さ4のものは同じとみなす）
159:１３２人目の素数さん
07/09/27 02:32:41
>152
子が外周を回るとき、鬼は子より内側の円周を回るので…
160:１３２人目の素数さん
07/09/27 10:10:56
円周はまわらんのでは。
161:１３２人目の素数さん
07/09/27 10:35:28
漸近的に円周に近づくだけで、円周に到達しないということ？
領域の円Aの円周上に中心を取って、一回の移動分の半径の円Bを書く
BとAの円の交点とAの中心を結んだ線が円Bの内側にあれば、鬼は円周に到達可能
円Bの接線と一致するなら、到達不能、か？・・・円Aじゃなくなりそうだけど。
162:１３２人目の素数さん
07/09/27 22:09:10
↓これ解けばよさげかな
子の座標(X,Y)
X=Rcos(ωt), Y=Rsin(ωt)
鬼の座標(x,y)
r=√((X-x)^2+(Y-y)^2)として
dx/dt =(X-x)/r, dy/dt=(Y-y)/r
R,ωは定数
X,Y,x,y,rは時刻tの関数
t->∞でr->0を示す
163:１３２人目の素数さん
07/09/27 22:46:01
円である限り追いつかれる？
164:159
07/09/28 03:05:52
>160-163
鬼は子より内側を回るので… でした。
165:162
07/09/28 03:57:49
ってマズった
子と鬼が
距離1ずつ交互に逃げるのだったね
ということは
俺が書いたのは
一ステップあたりに
子と鬼が進める距離を無限小にとった場合
もしくは
領域となる円の半径を無限にとった場合に相当する･･･のか？
166:１３２人目の素数さん
07/09/28 04:22:58
鬼の番のときに子との距離が１以下だったら捕まるということでいいのかな？
167:１３２人目の素数さん
07/09/28 08:14:52
動くことが出来る領域をK、子を中心とした半径１の円内をM、鬼を中心とした半径１の円内をNとすると
子はMとNの共通部分以外の領域とKの共通部分L=K∪M ∪（MxorN)を動かないと捕まる。
逃げることが出来なくなるのはLが空集合になることを証明すればよい。。。
168:１３２人目の素数さん
07/09/28 10:11:25
鬼ごっこの問題は日本数学コンクールのヤツかな．
URLﾘﾝｸ(www10.plala.or.jp)
169:１３２人目の素数さん
07/09/28 11:55:38
問、
マッチ棒８５本を使用して正８角形をつくると何個できるか（１本のマッチを隣り合う複数の正８角形の１辺としてもよい ）
この問題の答えを出す数式を教えてください
170:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:04:50
野暮な質問だけど
正八角形の一辺はかならずマッチ棒一個の長さで作らなきゃ駄目？
正八角形には重なりがあってもよい？
これが問題の趣旨なら答えなくてもいいけど
171:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:05:35
ここ質問スレだっけ？
172:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:12:31
>>167
何か解く指針になるような表現になってる？
言い換えにすぎない印象なんだけども・・・如何に。
173:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:16:50
>>170
１辺は同じマッチ棒の長さで、昔のサッカーボールの６角形のように辺と辺で繋げてく感じなんですが…。
>>171
すんません。ここ質問スレじゃないんですね。
174:１３２人目の素数さん
07/09/28 12:17:25
>>169
立体は？
175:１３２人目の素数さん
07/09/28 13:08:34
平面です
176:１３２人目の素数さん
07/09/28 13:55:48
二本のマッチの尻と尻を合わせて正８角形がひとつできる。
とりあえずそれだけで42個
177:１３２人目の素数さん
07/09/28 21:11:54
A , B⊂Nに対して、A＋B：＝{a＋b｜a∈A , b∈B}∪A∪B と定義する。
また、Aの元の個数を｜A｜で表すことにする。
(1)｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜≧nならば、n∈A＋Bとなることを示せ。
(2)自然数列{xn}はliminf[n→∞]n/xn＞1/2を満たすとする。
X＝{xn｜n∈N}とおくとき、X＋Xに含まれない自然数は有限個であることを示せ。
(十分大きな自然数は高々2個のxnの和で表せる、ということ)
178:１３２人目の素数さん
07/09/30 15:05:31
(1)
ｎ∈A,もしくはn∈Bの時n∈A+Bは定義より明らかなので
AもBもnを含まない場合を考える
この時
｜A∩{1,2,…,n}｜＋｜B∩{1,2,…,n}｜
=｜A∩{1,2,…,n-1}｜＋｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧nが成り立っている
以下、背理法でn∈A+Bを示す
あるA,Bが存在して、n∈A+Bではないとする
｜A∩{1,2,…,n-1}｜={a1,a2,...,ak}=kとすると
B∩{1,2,…,n-1}は{n-ak,...,n-a1}を含まない
(もし含むとするとn∈A+Bではないことに反する)
なのでB∩{1,2,…,n-1}は{1,2,…,n-1}から{n-ak,...,n-a1}を除いた元しか持ち得ず
これはn-1-k個以下である
しかしこれは
｜B∩{1,2,…,n-1}｜≧n-｜A∩{1,2,…,n-1}｜=n-k
なので矛盾する
従ってn∈A+B
無駄があるかも
179:１３２人目の素数さん
07/10/02 18:26:01
正ｎ角形を一筆書きして出来る図形のパターンをp[n] 通りとする。
ただし、回転や鏡影を施して重なるものは同じパターンとします。
例 p[3]=1, p[4]=2
(1) p[5],p[6] を求めよ。
(2) p[n] を求めよ。
180:１３２人目の素数さん
07/10/02 19:07:12
>>179
>正ｎ角形を一筆書きして出来る図形
すべての正ｎ角形の頂点を通る一筆書き（頂点同士を直線で結ぶ）して出来る図形
星型etc
181:１３２人目の素数さん
07/10/05 04:38:29
通信網の問題：
互いに離れたところにいくつかの通信基地がある。
これらの基地の間には通信ケーブルが張り巡らされており、
どの二つの基地もちょうど一本のケーブルで結ばれている。
ところがこのケーブルは一方通行でしか情報を送れない。
つまり、二つの基地の間で、どちらかの基地は他方へ情報を送信できるが、逆方向へは直接送信はできない
このような通信基地たちとケーブルによって構成された通信網を考える。
さて、Ａを通信基地のひとつとする。
もし以下が成り立つならば、このようなＡを通信網の要と呼ぶ
「任意の基地Ｂ(Ａ自身は除く)に対してⅰまたはⅱが成り立つ
ⅰ)ＡとＢの間のケーブルはＡが送信側でＢが受信側である
（これをＡ→Ｂと書くことにする）
ⅱ）ある基地ＣがあってＡ→Ｃ→Ｂである 」
つまり、Ａが要であるとはＡは自分以外のどの基地へも高々２ステップで情報を送信できる事を意味する。
問題：
どんな通信網も必ず少なくとも一つ要を持つことを示せ
182:１３２人目の素数さん
07/10/05 07:07:44
同じ問題を出してもしょうがないでしょう。
183:１３２人目の素数さん
07/10/07 04:03:50
>>181
N個の基地からなる通信網に要Aがあると仮定する。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
仮定より、Cの基地は全て、あるBiから1ステップで到達できる。
ここに新たに基地Xを追加したとき、
・A→XならAが要。
・あるBiに対しBi→Xなら、A→Bi→Xとなるため、やはりAが要。
・X→A、かつ全てのBiに対しX→Biのときは、任意のCjに対し
あるBkがあってX→Bk→Cjとなるため、Xが要になる。
よって、N+1個のときも要がある。
184:１３２人目の素数さん
07/10/07 04:10:06
>>117
直径１以上の円形の穴。円周上も立入り禁止。
鬼が近付いて来たら、円の中心Oについて対称な点に逃げる。
185:１３２人目の素数さん
07/10/07 12:23:15
ABCDに正の整数を入れて等式を成立させて下さい
(A÷B)の3乗＋(C÷D)の3乗＝17
186:１３２人目の素数さん
07/10/07 12:31:51
「の３乗」なんて書くやつの問題がおもしろい確率を答えよ。
187:１３２人目の素数さん
07/10/07 12:45:39
｢面白い｣の定義を答えよ
188:１３２人目の素数さん
07/10/07 13:30:21
顔の表面が明るい無彩色
189:１３２人目の素数さん
07/10/08 00:36:40
〔問題〕
a = logφ = log((1+√5)/2) ≒ 0.481211825 とおく。
次の双曲線函数
(1) y = cosh(ax),
(2) y = sinh(ax),
(3) y = 2cosh(ax),
(4) y = 2sinh(ax),
(5) y = (2/√5)cosh(ax),
(6) y = (2/√5)sinh(ax),
が通る格子点をもとめよ。
なお、(1)の格子点は(3)の格子点、(2)の格子点は(4)の格子点.
190:１３２人目の素数さん
07/10/08 02:00:14
>>183
俺も解いたけど、解き方が違ったので書いてみる。
背理法で証明ので、要がないと仮定する。
1ステップで到達できる基地の数がもっとも多い基地のうちの一つをＡとする。
Aから1ステップで到達できる基地をB={B1,B2,‥,Bm}とし、
残り全部をC={C1,C2,‥,Cn}とする。
要がないという仮定から、Ci -> Bj (任意のi,j) という経路があることと、
Ci -> A (任意のi) を言って、Aの定義に矛盾することを示してＯＫ。
191:１３２人目の素数さん
07/10/08 03:04:56
>>190
下から2行目だけど、
「要がないという仮定から、あるCiが存在し、任意のBjに対しCi -> Bjとなることと 」
じゃない？
192:１３２人目の素数さん
07/10/08 08:45:36
>>191
証明のためだけなら、あるCiについて述べればそれで十分だけど
どのCiをとってもそうなっているのだから別にめくじらたてるほどのことでもない。
193:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:14:22
なってねぇだろ
194:１３２人目の素数さん
07/10/08 11:12:30
ああ、Bのどの基地からも１ステップでいけない残り全部がCだ。
要がないと仮定したのでCは空でない。
195:１３２人目の素数さん
07/10/08 16:33:19
結局、1ステップで到達できる基地の数が最も多い基地が
自動的に要になるってことか。
196:１３２人目の素数さん
07/10/08 20:06:07
ABCDEの5人に◯×試験をしたら下の様な回答が帰ってきました
これより各問の正解が◯×どちらであったかを推測して下さい
※abcdefghij
A:OxxOxOxOxx 8点
B:xxOOOxxOOx 7点
C:xxxOxOxxOO 6点
D:OOOOOxOxOx 5点
E:xOOxxOOOxO 4点
197:１３２人目の素数さん
07/10/08 20:32:45
oxooxoxoox
198:１３２人目の素数さん
07/10/08 22:35:00
OxOOxOxOOx
199:１３２人目の素数さん
07/10/09 08:44:43
長さ2009cmの紐があります.
コレを二人が交互に切るというゲームをします.
ひもは一本に付き一箇所だけ, cm単位でしか切れません.
# つまり, (5,2004)に切るのはokで(5.5,2003.5)に切るのはNG
また紐を好きなだけ何本でも重ねて切ることもできます.
# (5,2004) -> ((2,3),(1000,1004)) の様な切りかた
先に切れなくなった方が負けで, パスは出来ません
先手必勝でしょうか後手必勝でしょうか
p.s.
問題書きながら気になったんだけど
> ひもはcm単位でしか切れません.
という条件を緩めて"長さ1cm以下の紐を作っては良けません"にしても面白いかも
200:１３２人目の素数さん
07/10/09 12:33:53
直径1cm、重さ1g、密度一様の球が毎秒一回転の速さで回っている時の運動エネルギーはいくらか？
201:１３２人目の素数さん
07/10/09 15:29:33
0
202:１３２人目の素数さん
07/10/09 15:32:05
回るってのは自転するのか楕円軌道を描いているのかどっちよ？
203:１３２人目の素数さん
07/10/10 12:37:47
>>200宿題にしか見えない･･･
204:１３２人目の素数さん
07/10/11 04:27:21
>200
KE = (1/2)Iω^2,
I = (2/5)ma^2
a: 球の半径[m],
m: 球の質量[kg],
I: 球の慣性モ－メント（中心を通る軸まわりの) [kg･m^2],
ω: 回転速度[rad/s],
KE: 運動エネルギー[J]
205:１３２人目の素数さん
07/10/11 22:34:25
>200
ω = 2πf,
f: 回転数 [Hz]
206:１３２人目の素数さん
07/10/13 04:19:51
>199
定義：
ｎを自然数とする。長さｎのひもで始めたゲームが
先手必勝のときｎを先手必勝型と呼ぶ。
そうでないとき後手必勝型と呼ぶ
場に二本のひもが存在し、それぞれが後手必勝型である場合を考える。
この局面はその時点での手番の負けである。
なぜならあなたは二つあるひもを別個に扱い、それぞれに対して必勝法を行えるからだ。
例えば二本の紐をＡ，Ｂとする。
ここで相手がＡだけに何か操作を行い、Ｂに何もしなかったとしよう。
この場合、あなたもＢには何もしない。
「元Ａだった部分」だけに注目して必勝法を一手進めるのだ。
この事はひもが三本以上のときも成り立つ。
即ち、後手必勝型のひものみで構成された局面はその時点での手番の負けである。
同様に、先手必勝型のひも(と長さ１のひも)のみの局面はそのときの手番の勝ち
さて、ここで具体的な値に対して、先手必勝型か後手必勝型か考えてみると
1は後手必勝で、2は先手必勝である。
また、２ｎ－１までの全ての奇数が後手必勝と仮定すると、２ｎ＋１は後手必勝である。
∵奇数を二数に分けると必ず偶数と奇数になる
この偶数を奇数＋奇数になるように分ければ２ｎ－１以下の奇数三つができる
後手必勝のひものみの状態で先手に手番が渡ったので２ｎ＋１は後手必勝型
従って全ての奇数は後手必勝であり、偶数は先手必勝。とくに2009は後手必勝
207:１３２人目の素数さん
07/10/13 19:25:03
(1)
ある商品を買うと6種類の内1種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけを6種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
(2)
ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
208:１３２人目の素数さん
07/10/13 22:27:36
オタク的には箱買いすればいい
209:１３２人目の素数さん
07/10/14 00:24:03
（１）
すでにｋ(0≦k≦5)種類もっているとき、新たに一個買って
ｋ＋１種類になる確率は １-ｋ/6
よってｋ種類からｋ＋１種類にするのに平均で買う個数は
Σ[ｎ＝１から∞]ｎ・(ｋ/6)＾(ｎ-1)・(1-ｋ/6)
＝１/(1-ｋ/6)
従って
６種類そろえるまで買う個数の期待値
＝Σ[k＝0から5](ｋ種類からｋ＋1種類にするまでの期待値)
＝１ + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6
＝147/10
(2)
同様に考えると、おまけが1種類つく場合のａ種類そろえるまでの期待値は
ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）
商品一個につきｂ種類のおまけがつく場合は、
「1種類のおまけがつく商品を常にｂ個セットで買う」と同じことだから
(ａ（1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/a）) / b
210:１３２人目の素数さん
07/10/14 07:35:18
>>206
正解.
"長さ1cm以下の紐を作っては良けません",
"長さ1cm未満の紐を作っては良けません"
のケースも暇があったら考えてみてください^^
211:１３２人目の素数さん
07/10/15 10:01:28
× 「良けません」
△ 「行けません」
○ 「いけません」
212:１３２人目の素数さん
07/10/15 23:02:50
>209
「ｂ種類のおまけ」と「ｂ個のおまけ」を勘違いしてないか？
213:１３２人目の素数さん
07/10/16 01:47:05
>189
チェビシェフの多項式より、
(1) (p,q) が格子点ならば (np, T_n(q) ) も格子点
(2) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)(q) )
(3) (p,q) が格子点ならば (np, q*T_n(q/2) ) も格子点
(4) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, 2*U_(2n)(q/2) ) も格子点
(5) (p,q) が格子点ならば (np, (2/√5)T_n((√5)q/2) ) も格子点
(6) (p,q) が格子点ならば ((2n+1)p, q*U_(2n)((√5)q/2) ) も格子点
214:１３２人目の素数さん
07/10/16 03:30:30
>>212
なぜそう思う？
215:１３２人目の素数さん
07/10/16 04:08:32
>>214
おまえの脳を読んだからさ！
216:１３２人目の素数さん
07/10/16 04:15:13
いや俺は考えていないからそうは思っていないはずだ。
それとも深層心理まで読み取られてしまったのだろうか？
217:１３２人目の素数さん
07/10/16 19:08:54
任意の実数aに対して
f(a,a^2,a^3)=f(a^2,a^3,a)=f(a^3,a,a^2)=f(a,a^3,a^2)=f(a^3,a^2,a)=f(a^2,a^3,a)=0
を満たすようなx,y,zの多項式f(x,y,z)を求めよ。
218:１３２人目の素数さん
07/10/16 23:17:13
>>210
１未満を作ってはいけない場合：
まず、>>206で定義した先手必勝型、後手必勝型に加え、「作ると負けになる長さ」を
禁止型と呼ぶことにする。禁止型は広い意味では後手必勝型に含まれると考えられそうだが
これらを区別した方が後の議論に都合がいいので。
>>206の議論は切断位置を実数にした場合にも自然に拡張され
「場に存在するのが後手必勝型のみの局面はその手番の負け」、さらに
「場に少なくとも一本先手必勝型が存在すれば勝ち」が言える。
後者は整数ルールのときから言えたことであり、ここから
「全ての先手必勝型ｘに対して、少なくとも一つあるｙが存在し、ｙとｘ-ｙはともに後手必勝型」
が言える。
さて、半開区間(1,2]の要素はそれ以上切断できない。(切断しようとすると禁止型を生じる)
よってx∈(1,2]のとき、xは後手必勝型
またこの区間の要素の和で表せる(2,4]の要素は全て先手必勝型
ここで、ε＞０に対して4+εを先手必勝型とする。
先手必勝型の性質から4+εはある後手必勝型の和で表せるはずだが、既知の後手必勝型は最大でも２なので
可能なのはなにか未知の後手必勝型4+δが存在して4+ε→(4+δ,ε-δ)と分解されるときだけ
ここでε-δ＞1であり、とくにε＞１
まとめると「4+εが先手必勝型ならばεは１より大きい」
対偶を取って「ε≦1ならば4+εは後手必勝型」
よって半開区間(4,5]の要素は全て後手必勝型
こうしてまた新たに後手必勝型が見付かったので、それらの和で表せる(5,7]や(8,10]は先手必勝型
同様の議論を続けていくと、結局k＝0,1,2,3,・・・に対して
(3k+1,3k+2]は後手必勝型であり、(3k+2,3k+4]は先手必勝型
とくに2009＝3・669+2は後手必勝型
１以下を作ってはいけない場合もほとんど同様にして半開区間の向きだけ変わり、
2009は今度は先手必勝型になる
219:１３２人目の素数さん
07/10/17 04:04:21
>217
f(x,y,z) = (xy-z)(yz-x)(zx-y)g(x,y,z),
f(x,y,z) = (xy-z^2)(yz-x^2)(zx-y^2)h(x,y,z),
など。
220:１３２人目の素数さん
07/10/17 20:01:48
(x-yz)(y-xz)(y-x^2)
221:１３２人目の素数さん
07/10/18 19:15:11
f(x,y,z) = 0 で十分。
222:１３２人目の素数さん
07/10/19 11:09:34
>>215
人の脳を(ry
223:１３２人目の素数さん
07/10/19 12:09:56
媒介変数tを用いて表される二曲線(i),(ii)がある。
(i)x=e^(-t)cost,y=e^(-t)sint
(ii)x=e^(-t)cos2t,y=e^(-t)sin2t
この二曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。
224:１３２人目の素数さん
07/10/19 18:14:30
>>223
t≧0 でいいんかな。1/2 になったけど。
225:224
07/10/19 23:35:07
1/4だた
226:１３２人目の素数さん
07/10/21 13:27:37
>223
囲まれる部分はたくさんあるが･･･
(i)のtと(ii)のtは
227:１３２人目の素数さん
07/10/21 20:38:30
自然数列{an}(n∈N)は狭義単調増加であって、さらに、あるC＞0とあるt≧1に対して
an＜Cn^t (n＝1,2,3,…)を満たしているとする。自然数mに対して、mの素因数の
最大値をp(m)とおくとき、limsup[n→∞]p(an)＝∞ となることを示せ。
228:１３２人目の素数さん
07/10/23 05:31:39
>>227
limsup[n→∞]p(an)<∞と仮定する。
いずれかのanの素因数であるような素数を小さい順にp1, …,pkとする。
g∈N, g≧pkとするとき、g以下であるような(p1)^(i1)*…*(pk)^(ik) (i1,…ikは０以上の整数)の形の数の個数は
[log(g)/log(p1)]*…*[log(g)/log(pk)]≦[log(g)/log(p1)]^k以下。右辺をrとおく。
以上よりg≦ar＜Cr^t≦C[(log(g)/log(p1))^(kt)であるが、この不等式は十分gが大きいとき成立しない。
229:１３２人目の素数さん
07/10/23 18:49:05
>>207
>(2)
>ある商品を買うとa種類の内b種類がﾗﾝﾀﾞﾑでおまけとしてついてきます
>このおまけをa種類全部集めるには平均いくつの商品を買えば良いでしょうか?
平均 E(a,b) 個の商品を買えば良いとする。
a=b のときは、E(a,b)=1.
以下では、a＞b≧1 のときを考える
このおまけを k(≧1) 個買ったとき、a種類のおまけが全部そろっている確率を p(k)
とすると、包除原理より、
p(k)=((C(a,b))^(-k))*Σ[m=0,a-b]C(a,m)*((-1)^m)*(C(a-m,b))^k.
( C(n,m)=n!/(n!*(n-m)!) )
よって、
E(a,b)=Σ[k=2,∞] k*(p(k)-p(k-1))
=Σ[m=1,a-b]((-1)^(m+1)*(a!*(2*a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!-a!*(a-b)!^2*(a-b-m)!*(a-m)!^2)/(m!*(a-m)!*(a!^3*(a-b-m)!^3-a!^2*(a-b)!*(a-b-m)!^2*(a-m)!))))
計算例：
E(5,4)=9/4,
E(50,40)=(185670706054169305015849546598666174081288628096161)/(55278965274533097503396347784510411985680743479276)
=3.35879…,
E(500,400)=4.72880….
230:１３２人目の素数さん
07/10/25 16:13:32
P_1 = {1,1}
P_2 = {1,2,1}
P_3 = {1,3,2,3,1}
P_4 = {1,4,3,5,2,5,3,4,1}
....
P_nはP_(n-1)に隣り合う２数の和の値をその間に付け加えるようにして生成していきます。
(1) P_n の要素の数、最大値、要素の和を求めてください。
(2) 互いに素な自然数の順列(a,b)はあるP_kで隣り合う二数に一回だけなることを示してください。
(3) P_(n) にはk (1≦k≦.n)はいくつあるか？
231:１３２人目の素数さん
07/10/28 06:12:35
age
232:１３２人目の素数さん
07/10/28 21:20:30
Zagier's problems
URLﾘﾝｸ(www-groups.dcs.st-and.ac.uk)
233:１３２人目の素数さん
07/10/29 20:55:45
>>230
(1)
[解] 要素数をA(n)とすれば、A(n+1)=A(n)+A(n)-1よりA(n)=(2^n)+1。
[解] 総和をS(n)とすれば、S(n+1)=S(n)+2(S(n)-2)+2よりS(n)=(3^n)+1。
[予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
(2)
[略証] aとbが互いに素のとき、写像 (a,b)├→ if a>b then (a-b,b) else (a,b-a)
を考えると、互除法の原理から、これを繰り返し適用すれば必ず有限ステップNで
(1,1)に到達し、その経路は一通りである。すなわち、これを(1,1)から逆に
辿ることにより、唯一の(a,b)が問題文の手続きに従って生成されることがわかる。
よってP_Nは順序対(a,b)を含み、それが唯一である。
(3)
[予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
234:１３２人目の素数さん
07/10/30 01:06:02
>>233
> (1)
> [予想] 最大数は1,2から始まるフィボナッチ。
最大数をM(n)とするとき、P_n (n≧2)に順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))が含まれていることを示せばいい。
n=2のときは明らかだから、2以上のnについてそうだと仮定する。
まず、生成規則より、P_nの偶数番要素の最大値はM(n)、奇数番要素の最大値はM(n-1)なので、
M(n+1)≦M(n)+M(n-1)であることに注意する。
P_n内の順列(M(n-1),M(n))および(M(n),M(n-1))からP_(n+1)内の順列
(M(n-1),M(n)+M(n-1),M(n))および(M(n),M(n)+M(n-1),M(n-1))が生成される。
先の注意より、M(n)+M(n-1)がP_nの最大値M(n+1)に等しいことがわかるから、
P_(n+1)には順列(M(n+1),M(n))および(M(n),M(n+1))が含まれていることになり、n+1のときも成立する。
以上によって、数学的帰納法から2以上のすべてのnについて成立する。
M(n+1)=M(n)+M(n-1), M(1)=1, M(2)=2から一般項を求めると
M(n)=((α^(n+1))-(β^(n+1)))/√(5), ただしα=(1+√(5))/2, β=(1-√(5))/2。
> (3)
> [予想] P_(n) に k (1≦k≦.n) はφ(k)個含まれる。ただしφ(k)は、
> 1≦i≦kであって、kと互いに素になるようなiの個数。
n≧2として、P_(n-1)からP_nを生成するときに(a,b)からk=a+bが生成されているとすると
(2)における議論で(a,k)あるいは(k,b)から(1,1)に至るステップ数Nはn-1以下。
よって、2≦k≦nであれば、k=a+bとなるような互いに素な2自然数の順列(a,b)はすべて
P_1,...P_(n-1)のいずれかに含まれていることになる。
このような順列(a,b)は、k以下であってkと互いに素な自然数aと一対一に対応する。
よって、2≦k≦nならば、P_nに含まれるkの個数は、
φ(n)=nΠ(1-(1/p)) (積はnのすべての素因数にわたる)。
ただし、1はP_nに2個(≠φ(1))含まれる。
235:１３２人目の素数さん
07/11/06 12:09:07
H ：= { (x,y)∈R^2 ； |xy|≦1 } とする。
H に含まれる三角形の面積の最大値はいくつか。
236:１３２人目の素数さん
07/11/08 09:49:15
スレ違い承知で。
15秒程度で答えて下さい。
７の８乗はだいたいいくつですか？
紙やペン、電卓などの道具は使わず暗算で答えて下さい。
237:１３２人目の素数さん
07/11/08 10:00:49
>>236
7*7=49≒50
50*50=2500
25*25=625より
2500*2500=6250000
7*7=49
49*49=2401≒2400
24*24=576より
2400*2400=5760000
二桁の数の二乗がある程度サッと出てくるという前提で。
238:１３２人目の素数さん
07/11/08 10:03:58
15秒でレスできねえよ
239:１３２人目の素数さん
07/11/08 11:08:53
>>236は面接で頭の回転の速さを見るための問題と予想。主に外資系。
この手の問題は15秒じゃなくて10秒で答えろって言われるな。
240:１３２人目の素数さん
07/11/08 21:47:09
このような数学の問題がたくさんのっている書籍ではなにがおすすめでしょうか？自分はまだ高校生で頭もよいほうではないのでなるべく簡単な問題がのっているものがよいです。よろしくお願いします。
241:１３２人目の素数さん
07/11/08 23:15:09
56764801が10秒以内に出てきた俺は・・・
242:１３２人目の素数さん
07/11/08 23:16:03
打ち損じた
5764801だ
243:１３２人目の素数さん
07/11/09 00:13:11
>>242
どうやって考えたのよ
244:１３２人目の素数さん
07/11/09 00:20:40
>>243
49^2=2401だから7^8=2401^2=5764801
下2桁が01だから計算が楽々
245:１３２人目の素数さん
07/11/09 00:21:23
「暗算の鬼」参上
246:１３２人目の素数さん
07/11/09 00:46:26
面接官( ｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。
>>244 ( ´∀｀)：7^8＝5764801 下2桁が01だから計算が楽々。
面接官( ・д・)：
面接官( ・д・ )：
247:１３２人目の素数さん
07/11/09 00:51:37
面接官( ｀∀´)：15秒程度で答えて下さい。7^8は大体いくつですか？暗算で答えて下さい。
>>244 ( ´∀｀)：56764801。言い間違えた。5764801だ。下2桁が01だから計算が楽々。
面接官：
＿__ ━┓
／ ―＼ ┏┛
／ノ (●)＼ ・
. ｜ (●) ⌒）＼
. ｜ （__ノ￣ |
＼ /
＼ _ノ
/´ ｀＼
| |
| |
＿＿＿ ━┓
／ ― ＼ ┏┛
／ (●) ＼ヽ ・
/ （⌒ (●) /
/ ￣ヽ__） ／
. ／´ _＿_／
| ＼
| |
248:１３２人目の素数さん
07/11/09 00:57:51
むしろ
7*7=49≒50
50^4=6250kくらい
と思ったらかなり数字ちがっててびびった
ある程度は小さくなるだろうけど6000k下回ることはあるまいと思ってたら…
俺数学的センスないなｗ
249:１３２人目の素数さん
07/11/09 01:14:46
>>248
お前は俺か！
250:１３２人目の素数さん
07/11/09 01:34:49
1桁の自然数の常用対数くらい頭に入っているけどな。
log_10(7)≒0.85 の8倍は 6.8 なので
7^8＝10^0.8×100万≒600万 (3秒で終了)
もちろん log_10(7)≒0.85 自体は 7^2 ≒ 50 から出せるが、
log_10(7)＝0.84509804… (梯子を配れよ)が頭に入ってるしなあ。
251:１３２人目の素数さん
07/11/09 08:08:37
インド人なら簡単なのかな？
252:１３２人目の素数さん
07/11/09 08:12:21
49≒50の誤差は何乗かすれば一気に膨らむわけか
253:１３２人目の素数さん
07/11/09 10:14:18
4乗すれば相対誤差は約4倍。
(εが微小なら (1+ε)^n ≒ 1+nε .
ただしnが大きくなり過ぎるとε^2なども効いてくるが)
本来の49は50の2パーセント減だから4乗すると約8パーセント減となる。
625万から8パーセント(=50万)引くと575万。
254:１３２人目の素数さん
07/11/09 10:34:10
この手の面接は正解に辿り着く為のプロセスを相手にきちんと説明できるかも問われる気がする。
255:１３２人目の素数さん
07/11/09 10:39:16
判定予想
×わからない
×数百万くらい
△6250k弱
△6000kくらい
○5800kくらい
ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
256:１３２人目の素数さん
07/11/09 10:42:21
判定予想 訂正
×わからない
×数百万くらい
△625k弱
△600kくらい
○580kくらい
ピタリ賞は暗算のプロかカンニングだな
257:１３２人目の素数さん
07/11/09 11:18:40
k=1000 でっせ
258:１３２人目の素数さん
07/11/09 13:09:35
2^(1/3) の近似値を暗算で計算せよ。
259:１３２人目の素数さん
07/11/09 15:21:41
まず１よりデカくてルート２より小さいのはすぐわかる。
1.1^3 を考えると
1.1^2=1.21 でこれをさらに 1.1 倍しても
2 には全然足りないのも何となく分かる。
同様に 1.2^3 も全然足りない。
1.3^3 は 1.3^2=1.69 なのでこれをさらに
1.3 倍すると明らかにオーバー。
なので 1.2 よりデカくて 1.3 より小さい。
これ以上は暗算は大変なので適当に真ん中とって 1.25 。
260:１３２人目の素数さん
07/11/09 18:36:44
暗算シリーズ
261:１３２人目の素数さん
07/11/09 20:12:53
20までの三乗の値は覚えておくべきなのかな
262:258
07/11/09 23:45:44
数学板なんだから数学的な工夫をしてくれー
263:１３２人目の素数さん
07/11/10 00:07:44
125^3=5^9=1953125だから1.25よりちょっと大きい
126^3=2744×9×9×9=24696×9×9=222264×9=2000376だから
1.26より微妙に小さい
誤差が0.019%ほどだから1.26×0.99994=1.2599244よりちょっと大きいくらい
264:１３２人目の素数さん
07/11/10 00:08:31
>258
29^3 - 2*23^3 = 24389 - 2*12167 = 55,
より
2^(1/3) ≒ 29/23 =1.260･･･
265:１３２人目の素数さん
07/11/10 00:24:15
>263
63^3 - 2*50^3 = 250047 -2*125000 = 47,
より
2^(1/3) ≒ 63/50 = 1.26
266:258
07/11/10 00:53:11
出題者ですが、皆様の暗算力に付いて行けませんw
もっとショボい暗算力でも計算できるのですが…
267:Sir I.Newton
07/11/10 01:05:04
>258
a_1 = 5/4,
a_(n+1) = a_n - {(a_n)^3 -2}/{3(a_n)^2} = (2/3){a_n +1/(a_n)^2},
により定義された有理数列 {a_n} は 2^(1/3) に収束するぽ。
a_2 = 63/50,
a_3 = 375047/297675,
･･････
268:１３２人目の素数さん
07/11/10 01:15:38
>>267
ニュートン法を暗算でやれというわけだな
269:258
07/11/10 02:05:20
Taylor展開による解答を御用意しております。
270:１３２人目の素数さん
07/11/10 02:24:15
………
271:１３２人目の素数さん
07/11/10 04:56:22
>269
それじゃぁ仕方ねぇなぁ･･･
ln(2^(1/3)) = (1/3)ln(2) = 0.6931･･･/3 = 0.2310･･･
2^(1/3) = exp(0.2310･･･) ≒ 1 + 0.231 + (0.231^2)/2 + (0.231^3)/6 + (0.231^4)/24 = 1.25985･･･
272:１３２人目の素数さん
07/11/10 08:22:59
【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
273:258
07/11/10 08:46:33
時間が10秒とか15秒程度なら次のようになる。
2^10/10^3 ＝ 1024/1000 ＝ 1.024 の両辺の1/3乗を計算すると、
左辺 ＝ (2*2^9/10^3)^(1/3) ＝ (8/10)*2^(1/3)
右辺 ≒ 1+(1/3)*0.024 (1次近似) であるから
(8/10)*2^(1/3) ≒ 1+0.008
である。両辺に 10/8 ＝ 1.25 を掛けると
2^(1/3) ≒ 1.25 + 0.01 ＝ 1.26
274:258
07/11/10 08:49:38
時間が1分あれば、2次近似も暗算で何とかなる。
(1+ε)^(1/3)
≒ 1 + (1/3)ε + (1/2)(1/3)(-2/3)ε^2
≒ 1 + ε/3 - (ε/3)^2
だから これに ε ＝ 0.024 を代入すると
1.024^(1/3) ≒ 1 + 0.008 - 0.000064
である。これに 10/8 ＝ 1.25 を掛ければ 2^(1/3) の近似値になり
2^(1/3)
≒ 1.25 + 0.01 - 0.00008
≒ 1.25992
275:Sir I.Newton
07/11/11 08:12:06
>>258
a_1 = 5/4,
a_(n+1) = a_n -{(a_n)^2 - 2/a_n}/{2a_n +2/(a_n)^2} = (1/2){a_n + 3/[(a_n)^2 +1/a_n]},
の方が収束が早いらしいお。 >>267
a_2 = 1 + 131/504 ≒ 1.2599206･･･
参考書
一松 信, ｢数値計算｣ 至文堂 近代数学新書 (1963)
第2章, 第3節, §38, (2)立方根, 例1., p.151
276:１３２人目の素数さん
07/11/11 11:53:01
>>269
Taylor展開と聞いてやってみますた
(1+x)^(1/3)=1+(1/3)x-(1/9)x^2+…
にx=1を代入すると 2^(1/3) でつ。
1000次まで計算すると 2^(1/3) ＞ 1.259908747…
1001次まで計算すると 2^(1/3) ＜ 1.259933336…
よって 2^(1/3) ≒ 1.2599
暗算にはかなり苦労しますた。
277:１３２人目の素数さん
07/11/11 20:09:49
>>267 や >>275 は純粋な有理数近似の話で、十進表示するか否かに無関係な議論だな。
おかげで最後の十進表示の所で暗算が苦しくなるが…
>>273-274 は十進表示で計算することを考慮した曲芸だな。1024-1000 が3でも8でも
割り切れるのは幸運という他ない。ファインマンさんとソロバン男の話を思い出したぜ。
278:１３２人目の素数さん
07/11/11 22:11:10
ひろし君のクラスの中から、４人の委員を選ぶことになりました。
クラスの全員がそれぞれ、自分を含めたクラス全員の中から４人の名前を選んで１枚の投票用紙に書きました。
ひろし君がすべての投票用紙を集めて調べたところ、面白いことに気づきました。
２枚の投票用紙をどのように取り出してみても、どちらの投票用紙にも共通して書かれている名前が必ず１人だけ見つかるのです。
このクラスの人数は何人ですか？
ただし、１枚の投票用紙に同じ名前を２人以上書いた人はいませんでした。
279:１３２人目の素数さん
07/11/11 22:11:26
こんな簡単な質問で悪いんだけど・・・
１，２，３，４，５，６，７の番号がついたカード7枚がある。
7枚から4枚を取り出す場合、何通りあるか？
これってどういう風に考えればいいんだっけ、忘れちゃった・・・＿|￣|○
誰か答えを教えてください。。。
280:１３２人目の素数さん
07/11/11 22:12:05
>>279
マルチ
終了
281:１３２人目の素数さん
07/11/11 22:18:02
>>278
８人いたら、二つの投票用紙に全く別の４人の名が書かれている可能性があるから７人てこと？
それじゃ、簡単すぎるか…
投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
282:１３２人目の素数さん
07/11/11 22:21:36
>>281
７人ではないです。
> 投票用紙には４人の名前を書くんだよね？
そうです。
283:１３２人目の素数さん
07/11/12 01:34:05
>>278
1+3+9=13
284:１３２人目の素数さん
07/11/12 08:46:45
>>283
むずい。解説きぼん。
285:１３２人目の素数さん
07/11/12 09:51:49
有限射影平面になるから。
286:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:04:41
【当スレローカルルール】
高２以上の知識はＮＧとする
287:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:17:02
>>272 >>286 氏ね
288:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:27:24
>>285
F_3 上の射影平面が題意を全部満たすのはわかった。
他に無いってのは、やっぱ射影平面の公理を覚えていないとダメ?
289:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:40:06
てっきり中学入試の問題かと思って一生懸命
順列とか組み合わせでがんばっていたのに
290:１３２人目の素数さん
07/11/12 10:46:27
そういう解法があっても構わない。>>289
291:１３２人目の素数さん
07/11/12 12:43:02
生徒は全部で n 人いるとする。
1) どの人を選んでも、その人に投票しなかった人がいる。
ひろし君に m 人が投票したとすると、その m 枚の用紙には
異なる 3m+1 人の名前が書いてある。
2) どの人を選んでも、その人に投票した人は高々 4 人。
ひろし君に 5 人以上投票したとすると、ひろし君に投票しなかった人の票と
その 5 票とに共通する名前が 5 人以上必要。
3) どの人を選んでも、その人に投票した人はちょうど 4 人。
投票用紙に記された名前ののべ総数は 2) より 4n 人以下。
一方、一枚の用紙に 4 人づつ書かれているので総数は ちょうど 4n 人。
4) ひろし君が投票した人の名前を全部の投票用紙から消す。
ひろし君以外の人の投票用紙からはちょうど 1 人の名前が消されるので、
残った名前の総数は 3(n-1) 人。これに n-4 人の名前が 4 回づつ書かれて
いるので、3(n-1)=4(n-4). したがって、n=13.
292:１３２人目の素数さん
07/11/12 13:06:05
ヒルベルトが「机と椅子とビアマグでも幾何学は構築できる」と言った意味が
よくわかったよ >>285 と >>291
293:278
07/11/12 23:18:05
>>285
難しくてよくわかりません・・・
１人が４つの名前を書きますから、平均すると１つの名前が４回。
まず、全員の名前が４回ずつ出なければならないことを示します。
全員が４票ずつの得票ではないと仮定すると５票以上得票した人
がいることになります。
ここではＡという人が５票獲得したとします。
すると、Ａの名前が書いてある５枚は
ＡＢＣＤ
ＡＥＦＧ
ＡＨＩＪ
ＡＫＬＭ
ＡＮＯＰ
のようになります。
上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと、その紙にはＢＣＤのだれかの名前が
記されています。また同様に、この紙にはＥＦＧのどれか、ＨＩＪのどれか、
ＫＬＭのどれか、ＮＯＰのどれかが記されていることになり、最低５人の名前
が記されることになり、１枚の紙には４人の名前が記されることに矛盾します。
一般にＡがｎ票獲得したとき、そのｎ枚以外の紙には、最低ｎ人の名前が記さ
れることになります。
各票には４人の名前が記されているはずだから、５票以上獲得する人はいない
ことになります。
以上で、全員の名前が４回ずつ出なければならないことが示されました。
294:278
07/11/12 23:18:40
つづき
全員の名前が４回ずつ出てくる場合、
１枚の紙にＡＢＣＤと書いてあったとすると、
この紙のほかにＡの名前が書いてある紙が３枚、Ｂ，Ｃ，Ｄの名前が書いてあ
る紙もそれぞれ３枚ずつあります。
しかも、これらは全てＡＢＣＤのうちのどれか１つしか書かれていないはずなの
で重複しません。
また、ＡＢＣＤのどれも含まない紙は存在しません。
よって、全員の名前が４回ずつ出てくるとすると、そのときの紙の枚数は１３枚
でなければならない、すなわちクラスの人数は１３人でなければなりません。
以上のことから、解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。
295:１３２人目の素数さん
07/11/13 01:07:10
>>293 の真ん中あたりの「上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと」
とありますが、そのような紙が少なくとも1枚は存在することも
一応述べておかねばなりません。もちろん、他の紙が無ければ、紙の
枚数とクラスの人数が合いませんのでスグに他の紙の存在がわかります。
296:292
07/11/13 02:10:01
>>292 で書いた事のココロを描いてみる。
[言葉の言い換え]
◎「紙」と呼ぶ代りに「直線」と呼ぶ。これは単なる名称であって、
通常のユークリッド幾何の直線をイメージしてはいけない。以下の
記述もこれと同様である。
◎「人名」と呼ぶ代りに「点」と呼ぶ。
◎「紙Lに人名Aが記されている」と言う代りに「直線Lが点Aを通る」
あるいは「直線L上に点Aがある」と言う。
[言葉の更なる定義]
◎直線Lと直線Mが共に点Aを通るとき、「直線Lと直線Mは点Aで交わる」
あるいは「点Aは直線Lと直線Mの共有点である」と言う。
[問題文の言い換え]
次の条件をみたす「点の集合」と「直線の集合」があるとき、
点の総数を求めよ。
(a) 少なくとも1点が存在する。(←ひろしくん)
(b) 点の総数と直線の総数は等しい。
(c) どの直線上にも、点がちょうど4つある。
(d) どの2直線も、ちょうど1点で交わる。
297:292
07/11/13 02:11:00
[291氏の解答の翻訳]
1) どの点を選んでも、その点を通らない直線が存在する。
(証) 仮に「すべての直線が通過する点A」が存在したら、(d)より
(点の総数)=3*(直線の総数)+1 となって(b)に反する。
2) どの点を選んでも、その点を通過する直線は4本以下である。
(証) 点Aを5本以上の直線が通過したら、これらの直線と 1)で示した
「点Aを通らない直線」との交点が5点以上あることになり、(c)に反する。
3) どの点を選んでも、その点を通過する直線はちょうど4本。
(証) 直線が通過する点ののべ総数は、2)より 4*(点の総数)以下である。
一方(c)(d)よりそれは 4*(点の総数)に等しい。よって各点を通過する直線は
ちょうど4本でなければならない。
4) 点の個数は13個以外にはありえない。
(証) これは291氏のものよりも 278氏の >>294 の方がわかりやすい。
(a)(b)より少なくとも1本直線がある。それをLとすると、L上の各点と
交わる直線が3本ずつあるので、Lと交わる直線の総数は 3*4=12本である。
(d)より、この12本以外の直線はL以外には存在しないので、直線の本数は
13本でなければならない。(b)より点の個数は13以外にはありえない。
298:292
07/11/13 02:12:37
>>294 が最後で触れた、十分性の確認をします。(モデルの構成)
[点゛]
空間の点 (x,y,z) のうち x,y,z の値が 0,1,-1 のいずれかであるものは
3^3 = 27 個ある。このうち原点を除くと26個である。この26個を
(x,y,z)≡(-x,-y,-z) で2つずつ同一視したものを「点゛」と呼ぶと、点゛は
全部で 26/2 = 13 個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(a)は満たされる。
[直゛線゛]
a,b,c は 0,1,-1 のいずれかとし、(a,b,c)≠(0,0,0) とする。すると方程式
ax+by+cz=0 上には普通の点(x,y,z)が8個、「点゛」は4個ある。この点゛集合を
「直゛線゛」と呼ぶと、(a,b,c)と(-a,-b,-c)は同じ直゛線゛を定めるので
やはり13個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(b)(c)は満たされる。
あとは条件(d)だが、2つの「直゛線゛」の「共有点゛」とは、通常の3次元空間の
言葉では 2平面 ax+by+cz=0 と a'x+b'y+c'z=0 の交線上にある点のうち、最初に
述べた同一視で「点゛」に落ちるものである。絵を描けばわかるが、どの2つの
「直゛線゛」も、ちょうど1つの「共有点゛」を持つことが確かめられる。
(もっとキチンと言えんものか)
299:１３２人目の素数さん
07/11/13 03:13:39
>>294
> 解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で
題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。
>>288 のF_3 上の射影平面というのがこれの例。
>>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)
一般の場合、この例を作れるかどうかが難問で、問題文の 4 人を 7 人や
11 人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。
300:292
07/11/13 10:36:51
>>299
> >>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。
> ((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい)
じま゛っ゛だ。
x+y+z=0 上に (x,y,z) は6個、点゛は3個しかないね。
このスレの住人なら合同式は大丈夫だろうから、直゛線゛の定義を
ax+by+cz≡0 (mod3) に変更しておくよ。
> 問題文の 4人を 7人や11人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。
13人が未解決問題とか聞いたことあるな。
301:１３２人目の素数さん
07/11/14 22:25:32
昔の話で悪いですが
>>266
しょぼい暗算で出来る2^(1/3)のだしかたはどうやるのですか？
302:258
07/11/14 23:05:24
>>273
303:１３２人目の素数さん
07/11/18 16:59:39
2^(1/3)
これを音階で考える。
2^(1/3) = 2^(4/12) であるから、これは ド－ミ の長3度である。
俺の経験上、これは1.25より僅かに大きい。
なんて感覚的な答じゃだめかな…
304:258
07/11/18 23:11:49
素敵な答をありがとう！ もっと理屈をこねると次のようになるね。
ミは平均律のミよりも僅かに下げないとハモらない。
ハモるのが 5/4 = 1.25 (純正律)だから 2^(1/3) は 1.25 よりちょっと大きい。
音階も研究したピタゴラスなら次のように言うだろう。
私の音階理論によれば、それは (9/8)^2 = 1.265625 が正しい。
無理数? そんなものは存在しない。（そんな事を言う奴は海に沈めてやる）
305:１３２人目の素数さん
07/11/19 05:29:18
豆知識；
ちなみに実際の音楽で用いられる平均律は
２の１２乗根を基にした半音というわけではないので
平均律のミはドの2^(1/3)倍の周波数ではない
306:１３２人目の素数さん
07/11/19 05:50:49
>>305
ちょっと誤解を招く表現だな。
平均律で調律されるとされる楽器は実際にはそれとは異なる音程に調律されると言うべきだろう。
307:１３２人目の素数さん
07/11/19 06:17:19
【米国】フランスの「人間計算機」、200桁の数字の13乗根の暗算で72.438秒の世界記録[071116]
ｽﾚﾘﾝｸ(news5plus板)
308:１３２人目の素数さん
07/11/21 15:39:19
何を言ってるかわかりませんが、平均律はちゃんと周波数比で等分しますよ。
一般に西洋音楽で使われる十二平均律は12等分します。
ただ、実際にどんな音律を採用するかの段階で
必ずしも普段耳にするものが(十二)平均律でない、という事であって。
平均律は平均律です。
309:１３２人目の素数さん
07/11/21 20:11:22
平均律で調律されている楽器を探すほうが難しいくらいだったのだが
電子楽器の台頭でそうでもなくなったな
310:１３２人目の素数さん
07/11/22 01:08:48
さて問題は「2^(1/3)を如何に計算するか」なのだ。今話題の手段を用いて 2^(1/3) ≒ 1.26 と
結論するには、
2^(1/3) ≒ 1.26 が純正律の 5/4 ＝ 1.25 よりも 0.01 だけ大きい
という事を、この精度で感覚的にワカル事が必要だ。比率としては
1.26/1.25 ＝ 1.008 だが、これは近似的には半音程 2^(1/12) ≒ 1.059463 の
8/59.463 ≒ 0.1345 倍の音程だ。厳密には対数を用いて
log_{2^(1/12)}( 2^(1/3)/1.25 ) ≒ 0.136862861351651825556166846127317889622… 倍
だがもちろんこれは冗談として、結局
「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の1/10強である
と言える感覚の持ち主なら、2^(1/3) ≒ 1.26 を感覚的に計算したと言える。
カラオケで半音は平気でズレる私には、とても無理なことである。
311:１３２人目の素数さん
07/11/22 01:21:13
1/8 = 0.125 < 0.135 < 1.42857… = 1/7 だから
「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の 1/8 以上 1/7 以下である
と言える人なら完璧。
312:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:08:25
>258
√2 > 1.4142 より
(3 -√2)^3 = 45 - 29√2 < 45 -29*1.4142 = 45 - 41.0118 < 2^2,
3乗根をとると
3 -√2 < 2^(2/3),
したがって
√(3-√2) < 2^(1/3) < 2/(3-√2) = (2/7)(3+√2) < (2/7)*4.4143,
1.2592 < 2^(1/3) < 1.2613
313:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:15:06
>258
29*29*2 - 41*41 = 1682 - 1681 = 1,
29√2 > 41,
314:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:31:06
>>313
途中送信みたいだが、2^(1/3) ではなく 2^(1/2) を計算しているように見える。
315:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:34:13
もしも、x^3-2y^3=±1 の整数解で大きい値のがあれば 2^(1/3)≒ x/y となるけど
どうなのでしょうか？ ペル方程式の３次元バージョンですけど。
316:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:36:56
ペル方程式みたいに、解の系列を生成する漸化式があればよいわけだ。
317:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:42:58
単に有理数近似で収束が速いものなら >>275 (2次収束)があるし、
暗算可能なシンプリシティーを追求したものなら >>274 がある。
新たな解法には何らかの美が要求されるぜ。(音階の話は美しいな)
ギャクでもいいけど。
318:１３２人目の素数さん
07/11/22 13:45:01
×ギャクでもいいけど。
○ギャグでもいいけど。
319:１３２人目の素数さん
07/11/22 20:15:27
>317
ギャクも真なり…
320:１３２人目の素数さん
07/11/23 07:23:46
音楽家を含め絶対音感の持ち主とは何度も話をした事があるが
1/7を持ち出したひとは初めてだ。（1/8や1/4はよく聞く。)
おそれく半音の半分の半分とか、さらにその半分というのが
感覚的にわかりやすいのだろう。
1/8と1/7の違いくらいデリケートな話になると、セント（半音の1/100）単位か
A音の周波数（なぜか2hz単位の偶数のことが多い）で話をしていた。
321:１３２人目の素数さん
07/11/23 10:30:31
1/7を持ち出したひとは絶対音感の持ち主ではなく、ただの数学野郎だ。
1/7と言えばガムランのスレンドロ音階はオクターブを7等分するな。
セントみたいに細かいと、「音楽に必要な音程」というよりも「調律用語」か
「民族音楽学の記録用の単位」になってしまうが、「全音の1/9」くらいなら
中東の古典音楽では必須の微分音程だ。
で、2^(1/3) を暗算で計算したいのだ。
322:１３２人目の素数さん
07/11/23 12:50:50
>>315
x^3-2*y^3＝±1 の大きな整数解は見つからないねえ。
仕方が無いので (x,y)=(5,4) が乗ってる曲線 x^3-2*y^3 ＝ -3 で解を生成する
漸化式を立ててみたが、整数解ではなく有理数解を生成する漸化式だったので、
絶対値が大きくなってくれず、2^(1/3)の近似計算には失敗したorz
323:１３２人目の素数さん
07/11/23 16:21:32
>>320
1ヘルツの違いはA音あたりだと聞き分けるの難しいんだよホント
2ヘルツ違うとよくわかる
324:１３２人目の素数さん
07/12/04 18:39:31
保守
325:１３２人目の素数さん
07/12/07 21:27:28
あげ
326:１３２人目の素数さん
07/12/07 21:50:22
よく小学生に出す問題
３、３、７、７
この４つの数字を使って24を作りなさい
ただし使っていいのは四則演算のみ、数字をくっつけるのは無しです(33など)
327:１３２人目の素数さん
07/12/07 22:41:58
消費税率１００％のとき
税込み１００円のものをかいました
さて消費税はいくら？
328:１３２人目の素数さん
07/12/07 22:47:53
(3+3/7)*7=24
3/3+7*7=50円
329:１３２人目の素数さん
07/12/08 00:52:43
地方消費税を考慮する必要はありますか？
330:１３２人目の素数さん
07/12/08 02:09:04
ab+c=a(b+c/a)
331:１３２人目の素数さん
07/12/08 15:07:47
3^n-2 (nは自然数)に含まれる素因子の逆数の和が発散することを示せ。
注:3^n-2 の素因数分解にあらわれるすべての素数って意味ね
332:１３２人目の素数さん
07/12/09 01:27:46
p:3^n-2の素因数として表れない素数とする
このとき
任意のｎに対して
3^n ≠ 2 (mod p)
一方、p＝３のときを例外として、明らかに
3^n ≠ 0 (mod p)
従って、任意の自然数ｎに対し
3^n = 1 (mod p)
つまりpは3^n-1を常に割り切る
とくにn=1のときを考え、pは2を割り切る
2を割り切る素数、それは２しかない
∴pは3^n-2の形の整数の素因数に現れない ⇒ p=２またはp=3
逆に3^n-2が2でも3でも割れないのは明らか
よって
(3^n-2の素因数全体の逆数和)
＝(2と3を除く全ての素数の逆数和)
素数全体の逆数和は発散するのでもとめる級数も発散する
333:１３２人目の素数さん
07/12/09 02:36:02
>>332
７行目がわかりません。
なんで「従って」？
その時点ではｐは３より大きいかもしれないんだから
3^n ≠ 2 (mod p) かつ3^n ≠ 0 (mod p) だからって
3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
334:333
07/12/09 02:41:31
間違った。
誤）3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
正）3^n ＝ 1 (mod p) とはならないんじゃない？
335:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:00:56
3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 1,3,4,5,6,…,3^n－1 (mod p)だけだよな。
336:１３２人目の素数さん
07/12/09 04:24:57
>>332
13 は 3^n-2 の素因数にならない
337:１３２人目の素数さん
07/12/09 16:44:29
332です
どうも頭の中でmod pの話だったのがいつのまにかmod 3にすりかわって
ヘンな勘違いをしてしまったようです
なんでこんなことにも気づかないまま書き込んでしまったのか
我ながら理解に苦しみます
338:１３２人目の素数さん
07/12/11 07:22:29
>>335
いえません
339:１３２人目の素数さん
07/12/11 07:50:06
3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 0,1,2,3,4,5,6,…,3^n－1 (mod p)だけだよな。
340:１３２人目の素数さん
07/12/11 07:56:37
3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは
3^n ＝ 3^n (mod p)だけだよな。
341:１３２人目の素数さん
07/12/11 23:30:23
自分で未解決の問題でもここに書いて良いのか？
342:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:30:28
面白ければ。
343:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:33:43
面白くないと承知しねーぞ。
344:１３２人目の素数さん
07/12/13 00:38:02
では一つ。
(a, b) から R への C^1 級関数で、
有理数を有理数に、無理数を無理数に移す関数は１次関数に限るか？
345:１３２人目の素数さん
07/12/13 09:21:47
f(x)=1/x
346:１３２人目の素数さん
07/12/13 10:46:06
そんな簡単なのがあったか！
ではもう一つ。
(a, b) から R への C^∞ 級関数で、
代数的（実）数を代数的数に、超越数を超越数に移す関数は代数関数に限るか
347:１３２人目の素数さん
07/12/13 10:56:25
>>346
は複雑すぎるようだから、
>>344
で、単調増加とするとどうだろうか？
348:１３２人目の素数さん
07/12/13 12:06:10
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
の回答が
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
にあった。よろ。
349:１３２人目の素数さん
07/12/13 14:30:08
>>347
f(x)=1-(1/x) on (0,1)
定義域をR全体にすると難しいかも。
350:１３２人目の素数さん
07/12/13 18:33:10
>>345
を聞いて>>349に気が付かないとは俺も頭悪い。
そろそろ数学やめようか。
351:１３２人目の素数さん
07/12/13 19:32:32
>そろそろ数学やめようか。
面白い問題だな！
352:１３２人目の素数さん
07/12/13 22:33:05
0から9までの数字が書いてあるカードが一枚ずつあり、一列に並べて10桁の数を作った。
その10桁の数は、一番大きい位からn番目までのn桁の数を取り出してできる数はnで割り切れるという
この10桁の数は何でしょう？
353:１３２人目の素数さん
07/12/13 22:39:22
どなたかエクセルで３次方程式の確実な解法教えて下さい。
354:１３２人目の素数さん
07/12/14 01:14:17
>352
3816547290
355:１３２人目の素数さん
07/12/20 03:18:50
>>354
おお、本当にそうなってる、うめぇｗ
356:１３２人目の素数さん
07/12/22 00:31:38
(1/1√1)＋(1/2√2)＋(1/3√3)＋(1/4√4)＋……＋(1/n√n)＋……
はいくつに収束するか？
357:１３２人目の素数さん
07/12/22 03:51:21
>356
(与式) = ζ(3/2) = 2.6123753486 8548834334 8567567924 0716305708 0065240006 3407573328 2488149277 6768827286 0996243868 1263119523 8…
358:１３２人目の素数さん
07/12/22 17:19:35
\Gamma (1/2), \Xi (s) 見たいに「函数等式」って無かったのか！
359:１３２人目の素数さん
07/12/25 22:25:17
>>354
今さらながら、どうやったの？
360:１３２人目の素数さん
07/12/25 22:32:36
>>354
超うめぇｗ
361:１３２人目の素数さん
07/12/25 22:35:41
>>353
エクセルじゃないけど、三次方程式の解の公式（カルダノの公式）↓
URLﾘﾝｸ(www2.biglobe.ne.jp)
362:１３２人目の素数さん
07/12/25 22:52:11
>>359
>>354ではないけど、倍数判定をしていけばよろし。
順番としては最後に７の倍数判定かな
順に絞っていくと、6通りぐらいに絞れて、最後に７の条件を満たす候補を探す。
363:１３２人目の素数さん
07/12/26 05:08:17
OA=OB=OC=1として四面体OABCがある。頂点Oの立体角をπとするとき、この四面体の体積Vの範囲。
364:１３２人目の素数さん
07/12/26 12:11:41
>>315
ペルの3次は
x^3+ay^3+(a^2)z^3-6xyz=1
だよ
aは立方数じゃないからな
365:１３２人目の素数さん
07/12/29 14:20:50
動点Pが(0,0)から(1,1)まで移動する。
途中、Pの座標値(x,y)のうちどちらか一つが必ず有理数になるように移動すると考えたとき、
Pの移動距離の最小値を求めよ。
366:１３２人目の素数さん
07/12/29 16:25:27
2
367:１３２人目の素数さん
07/12/29 20:47:53
>>364
具体的な一般解（全ての解）の例を挙げてくれ
a = 2, 3 位で。
368:１３２人目の素数さん
07/12/29 21:06:20
xy平面上に曲線y=log x と直線y=m(x-2)がある。ただしm>0。
この二つのグラフで囲まれる面積の最小を求めよ。
369:１３２人目の素数さん
07/12/31 15:54:09
>>368
最小は2交点が x=2±t, log(2+t)+log(2-t)=0 となるとき。t^2=3 なので
m=(log(2+√3))/(√3) のときに最小。面積も大してキレイにならない。
議論の精密化をしたところで面白い話は出てこない。つまんないなー。
ここは「面白い問題」を楽しむ所だよ。
370:１３２人目の素数さん
07/12/31 22:22:18
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
を見てみると、代数の問題が少ないようだがどうしてだろう。
371:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:31:38
自作問題投下。
無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。
これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。
塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。
各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。
・Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
ただし、i＝jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると
定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ
ことを示せ。
・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。
372:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:32:27
転載ですがどうぞ
1)10cmの直線ABを引く、
2)直線ABのAから90度の角度で、直線AC(3cm)を引く
3)直線ABのBから88度の角度で、直線BD(3cm)を引く
4)点Cと点Dを結ぶ直線を直線CDとする。これで台形(のような)四角形ができる
5)直線ABの中点E1から垂線を引く
6)同様に、直線CDの中点E2から垂線を引く
7)E1の垂線とE2の垂線の交わる点をFとする
8)Fから、点ABCDに線を引く
9)三角形AFCと三角形BFDを考える。この2つは異なる形状となるのが見て取れるだろう
10)しかし、三角形は3辺の長さが同じなら合同のはずである。
10-1)三角形AFCの辺AFと、三角形BFDの辺BFは、ABの中点から伸ばした垂線の任意の1点からの長さなので、同一
10-2)同様に辺CFと辺DFも長さは同じ、辺ACと辺BDは初期条件が3cmでこれも同じ
問題：この話のどこかに間違いがある、それを見つけろ
373:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:32:45
たとえば、n＝4として、以下のように4マスを黒で塗りつぶしたとする。
□□□□□
□■■■□
□□□■□
□□□□□
次に、1から4までの番号を適当に書き込む。例えば
□□□□□
□④②③□
□□□①□
□□□□□
と書き込む。このとき、行列Aは
１０１０
０１１１
１１１０
０１０１
となる。A^4を計算すれば、A^4の成分は全て正だと分かるので、A^(n^2)＝A^16もまた、成分が全て正だと
分かり、よって、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である(実際、連結になっている)。
374:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:02:22
>>371
グラフ理論で良く知られた事実と思うが。
375:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:05:38
>>372
問題：この話のどこかに｢間違い｣がある、それを見つけろ
×××××××××××××↑ここに｢間違い｣があるじゃん
376:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:13:13
>>732
これも良く知られた話だ。
F が非常に遠くにあって、三角形BDFが裏返っているから。
377:１３２人目の素数さん
08/01/01 01:27:12
>>374
そうなのか。グラフ理論のどんな定理？
378:１３２人目の素数さん
08/01/01 08:56:24
>>377
定理という程の名前はなかったと思う。
379:１３２人目の素数さん
08/01/01 10:42:59
正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通る物とする。
正十二面体ではどうか？
ここでは図を書けないので理論で答えよ。
380:１３２人目の素数さん
08/01/01 11:38:11
a を非負の実数とする。
i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), （iii) Σ[n = 2 → ∞ ]a^(√log n)
が収束する a の範囲をそれぞれ求めよ。
381:１３２人目の素数さん
08/01/01 21:47:40
>>380
問題文列記が汚い
人に読ませる力がない
論文書いても読まずにポイ
382:１３２人目の素数さん
08/01/01 21:59:46
では書き直し。
a を非負の実数とする。
(i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n),
(ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n),
(iii) Σ[n = 2 → ∞] a^(√log n)
の三つの無限級数について、それぞれ収束する a の範囲を求めよ。
383:１３２人目の素数さん
08/01/02 04:30:54
>>382
(ii)があると易し過ぎてツマラナイ。
(ii)がないと結果がツマラナイ。
ゆえにこの問題は
384:１３２人目の素数さん
08/01/02 05:15:44
>>378
ということは、かなり簡単に導けるってことか…
実は、Aの作り方を
(i≠jのとき) Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
(i＝jのとき) Aの(i,i)成分＝(iが書いてある黒マスの上下左右4箇所が全て黒マスのとき) 0 , (それ以外のとき) 1
に変えても
・A^nの成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^nの成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。
が成り立つのだが( A^(n^2)は勘違いで、A^nで十分ですた )、これも簡単に導ける？
385:１３２人目の素数さん
08/01/02 08:39:11
>>379
こうゆう消防でも問題自体はわかる問題は良問ノ予感
ただ「理論」というのが漠然として
386:１３２人目の素数さん
08/01/02 09:44:31
>>385
「理論」は大げさだった。
「図で具体例を書くより、簡単な文章で」ぐらいに解して置いて下さい。
387:１３２人目の素数さん
08/01/02 11:00:26
>>384
変形した方の問題は兎も角として、元の問題は、連結でなければ、
A を何乗しても 0 は消えないし、 A^k の要素が全て正ならば、更に A を掛けてもそうだから、
小さい n で示せば十分。グラフ理論の結果では、
「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
が簡単に導けていたと思う。 A^(n^2) については、その系として、
「必要十分が知られている」と言う意味で書いた。
変形した方の問題に対応する直接のグラフ理論の結果は知らないが、
何かの結果から出そうな気はする。
388:１３２人目の素数さん
08/01/02 11:33:43
>>367
便宜上2^(1/3)=pとおく
a=2なら
(1+p+p^2)^n=x[n]+p*y[n]+p^2*z[n]
として
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1
が任意のnで成り立つよ．
389:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:30:38
>>386
＞簡単な文章
経線５回＆逆＋緯線３回＆逆（ｗ
何通りあるかのほうが面白そう
「正多面体逆向二２筆書き」
390:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:33:04
多面体逆向二筆書き
391:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:48:01
>>389
うーん、簡単すぎたか。もう少し条件を付けたバージョンを考えておく。
392:１３２人目の素数さん
08/01/02 13:53:06
>>389>>391
>>379では「頂点でＵターンしない」という条件を忘れていた。
その条件を付けても可能となる。それでも簡単なら、改めて付帯条件を考える。
393:１３２人目の素数さん
08/01/02 16:59:03
>>387
＞「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
＞が簡単に導けていたと思う。
ああ！そうか、確かにn－1乗でOKだわ。
俺のやった方法だと、初めの方も、変形した方も、全く同じ方針で
解けるのだが、グラフ理論からの解法も気になるな。
394:１３２人目の素数さん
08/01/02 21:10:09
>>388
なるほど。しかしこれでは 2^(1/3) の有理数近似は苦しいな。
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 は
x[n]^3+2y[n]^3+4z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 の誤記
だろうけど、これを2次のペル方程式の真似で
(x[n]+y[n]p+z[n]p^2)(A[n]+B[n]p+C[n]p^2)=1
と因数分解して 「x,y,z がデカイと A[n]+B[n]p+C[n]p^2 ≒ 0」を
利用しようとしても、pの2次方程式を解くことになってしまい、
「2次の無理数による、2^(1/3) の近似値」しか出てこない。
395:１３２人目の素数さん
08/01/02 21:17:56
>>394
x[n]/y[n]→2^(1/3)
x[n]/z[n]→2^(2/3)
てな風に近似すんだよ
極限とってみ
396:１３２人目の素数さん
08/01/02 22:26:34
>>395
あそーか。行列
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
の絶対値最大の固有値の固有ベクトル [2^(2/3),2^(1/3),1] の成分比だな。
なるほどー。
397:１３２人目の素数さん
08/01/03 00:52:39
>>396
成る程、同様にして m^(1/n) の近似分数列も定まってきそうだな。
高次ペル方程式とは一寸違う方向かも知らんが。
398:１３２人目の素数さん
08/01/03 07:05:13
行列 A
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
を、実射影平面 P^2 の射影変換と見ると、
（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、
[1, 1, 1] からでなくとも、どの整数点 [p, q, r] から始めても
A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
2^(2/3),2^(1/3) の同時近似（同一分母による近似）としては効率は良さそうだが。
単一近似としての効率はどうかな。
一般の初期値から出発した場合は、ペル方程式としては N(α) = 定数 の形になるのかな。
同じく、行列 B
[1, n, n, n]
[1, 1, n, n]
[1, 1, 1, n]
[1, 1, 1, 1]
を、実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[1, 1, 1, 1] 等任意の整点を出発点として、 B を何回も施すと、n^(1/4) の近似分数列が得られるだろう。
この場合、ペル方程式は、 Q(n^(1/4)) の整数環の単数群の torsion free part を表すものとなるのだろうが、
その生成元は、 n = 2, 3 の場合でも結構複雑になるのかな。
399:１３２人目の素数さん
08/01/03 11:54:58
>>398
>（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、(中略)
>A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
不動点がちょうど1つ、というだけでは収束は保証されないよ。
対応する固有値の絶対値が、虚数固有値の絶対値より大きいからOK。
> 同じく、行列 B(中略)を実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、
>（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[ - n^(3/4), n^(2/4), - n^(1/4), 1] も実不動点だよ。でも
[ n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1 ] は固有値(の絶対値)が最大なので
収束はこっち。
400:１３２人目の素数さん
08/01/03 12:11:00
>>398
>単一近似としての効率はどうかな。
効率は悪いよ。平方根を今のと同じアルゴリズムでやった場合を a[n]、
ニュートン法でやった場合を b[n] とし、初項を b[0]=a[1]=1 にすれば
b[n]=a[2^n] になる。
立方根でも、ニュートン法のような2次収束する数列が、部分列になるか
どうかを調べるのも面白そうだ。
401:１３２人目の素数さん
08/01/03 17:05:37
>>399>>400
tkx
大部感じが分かってきた。有難う。
402:１３２人目の素数さん
08/01/03 18:37:11
リーグ戦の組合せ順は何通りあるか？
例）４チーム（ＡＢＣＤ）の場合は６通り（↓の節の順＝３！）
□ＡＢＣＤ
Ａ□１２３ 第１節がＡ－Ｂ＆ＣーＤ
Ｂ１□３２ 第２節がＡ－Ｃ＆ＢーＤ
Ｃ２３□１ 第３節がＡ－Ｄ＆ＢーＣ
Ｄ３２１□
一般解（ｎチームの場合）を求める問題です。
403:１３２人目の素数さん
08/01/03 18:47:00
放置推奨
404:１３２人目の素数さん
08/01/03 19:01:25
>>401
↓ここに高校生向きの問題として３次ペルがあるよ。２番な。
URLﾘﾝｸ(93.xmbs.jp)
405:１３２人目の素数さん
08/01/03 19:07:43
>>400
f(x) = x^2 -2/x = 0
を使えば3次の収束らしいお。 >>275
406:Eukie_M_SHIRAISHI
08/01/03 19:27:32
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)
407:405
08/01/03 19:38:30
a_(n+1) -p = a_n -p -{(a_n)^2 - (p^3)/a_n}/{2a_n + (p^3)/(a_n)^2},
= (a_n -p)^3 (a_n +p)/{2(a_n)^3 + p^3},
408:400
08/01/03 21:33:05
>>405
本当だ、確かに3次収束だ。はえー
409:１３２人目の素数さん
08/01/03 23:22:15
>>359が2007/12/25(火) 22:25:17
だから、このスレ年末年始で結構進んだな。
社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。
410:１３２人目の素数さん
08/01/04 04:55:41
>>394-401
同じように 整数 a,b,c,d に対して p=d^(1/3) (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) として
x[n] + y[n]*p + z[n]*p^2 = ( a + b*p + c*p^2 )^n
で定まる数列 x[n],y[n],z[n]は、行列 A = aE + bD + cD^2 のn乗 A^n の第1列で与えられる。
ただし Dは
D =
[0,0,d]
[1,0,0]
[0,1,0]
であり Eは3次の単位行列。また Dの固有ベクトルは、ω=exp(i*2π/3) として
Dの固有値 p に対しては t[p^2, p, 1]
Dの固有値 ωp に対しては t[ω^2*p^2, ω*p, 1]
Dの固有値 ω^2p に対しては t[ω*p^2, ω^2*p, 1]
Aの固有値は上のそれぞれに対して
a+bp+cp^2, a+bωp+cω^2p^2, a+bω^2p+cωp^2
になる。従って a,b,c が正なら a+bp+cp^2 が絶対値が最大の固有値だが、たとえば
c=0 で aとbが異符号なら a+bωp+cω^2p^2 や a+bω^2p+cωp^2 の方が絶対値が大きくなる。
このため収束列を作りたいなら a,b,c の選択に制限がある。
411:１３２人目の素数さん
08/01/04 06:13:30
>>成る程。
412:１３２人目の素数さん
08/01/04 17:43:27
>>409
数学板は全般的にこの通りだな。
413:１３２人目の素数さん
08/01/05 00:23:35
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
に代数の問題が少ないので一つ投入しよう。
但し数検過去問の変形、と言ったら大ヒントになるので、
知っている人は別として、過去問は見ないやうに。
a, b, c, d, e, f の実係数 1 次同次式を成分とする 4 次正方行列 A で、
det A = (a^2 + b^2 + c^2 - d^2 - e^2 - f^2)^2
なる物が存在する。
414:１３２人目の素数さん
08/01/05 10:20:46
>>413
電磁場テンソルF (4次元の二階交代テンソル) の行列表示が
det(F) = ( E_1*B_1 + E_2*B_2 + E_3*B_3 )^2
をみたすな。
E_1=a-d, B_1=a+d, E_2=b-e, B_2=b+e, E_3=c-f, B_3=c+f
とすれば題意をみたす行列の出来上がり。
415:１３２人目の素数さん
08/01/05 10:51:12
>>382 の (ii)
簡単の為 a ＞ 0 とする。
a = e^(log a)
a^(log a) = e^{(log a)*(log n)} = n^(log a)
よって log a ＜ -1, i.e; a ＜ 1/e で収束、
これが a の収束範囲。
416:410
08/01/05 11:05:43
>>410
× (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立)
○ (ただし 1,p,p^2 はQ上1次独立)
417:１３２人目の素数さん
08/01/05 14:50:06
>>414
意外と簡単だったか！
418:１３２人目の素数さん
08/01/05 15:30:21
>>413
が意外と簡単だったので、行列ではなく多項式の代数問題。
n を奇数とし、 f (x, y), g (x, y) を高々 n - 1 次の実係数多項式とする。
この時、連立方程式
x^n = f (x, y)
y^n = g (x, y)
は、少なくとも一つの実数解を持つ。