07/12/26 12:11:41
>>315
ペルの3次は
x^3+ay^3+(a^2)z^3-6xyz=1
だよ
aは立方数じゃないからな
365:１３２人目の素数さん
07/12/29 14:20:50
動点Pが(0,0)から(1,1)まで移動する。
途中、Pの座標値(x,y)のうちどちらか一つが必ず有理数になるように移動すると考えたとき、
Pの移動距離の最小値を求めよ。
366:１３２人目の素数さん
07/12/29 16:25:27
2
367:１３２人目の素数さん
07/12/29 20:47:53
>>364
具体的な一般解（全ての解）の例を挙げてくれ
a = 2, 3 位で。
368:１３２人目の素数さん
07/12/29 21:06:20
xy平面上に曲線y=log x と直線y=m(x-2)がある。ただしm>0。
この二つのグラフで囲まれる面積の最小を求めよ。
369:１３２人目の素数さん
07/12/31 15:54:09
>>368
最小は2交点が x=2±t, log(2+t)+log(2-t)=0 となるとき。t^2=3 なので
m=(log(2+√3))/(√3) のときに最小。面積も大してキレイにならない。
議論の精密化をしたところで面白い話は出てこない。つまんないなー。
ここは「面白い問題」を楽しむ所だよ。
370:１３２人目の素数さん
07/12/31 22:22:18
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
を見てみると、代数の問題が少ないようだがどうしてだろう。
371:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:31:38
自作問題投下。
無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。
これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。
塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。
各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。
・Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
ただし、i＝jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると
定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ
ことを示せ。
・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。
372:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:32:27
転載ですがどうぞ
1)10cmの直線ABを引く、
2)直線ABのAから90度の角度で、直線AC(3cm)を引く
3)直線ABのBから88度の角度で、直線BD(3cm)を引く
4)点Cと点Dを結ぶ直線を直線CDとする。これで台形(のような)四角形ができる
5)直線ABの中点E1から垂線を引く
6)同様に、直線CDの中点E2から垂線を引く
7)E1の垂線とE2の垂線の交わる点をFとする
8)Fから、点ABCDに線を引く
9)三角形AFCと三角形BFDを考える。この2つは異なる形状となるのが見て取れるだろう
10)しかし、三角形は3辺の長さが同じなら合同のはずである。
10-1)三角形AFCの辺AFと、三角形BFDの辺BFは、ABの中点から伸ばした垂線の任意の1点からの長さなので、同一
10-2)同様に辺CFと辺DFも長さは同じ、辺ACと辺BDは初期条件が3cmでこれも同じ
問題：この話のどこかに間違いがある、それを見つけろ
373:１３２人目の素数さん
07/12/31 23:32:45
たとえば、n＝4として、以下のように4マスを黒で塗りつぶしたとする。
□□□□□
□■■■□
□□□■□
□□□□□
次に、1から4までの番号を適当に書き込む。例えば
□□□□□
□④②③□
□□□①□
□□□□□
と書き込む。このとき、行列Aは
１０１０
０１１１
１１１０
０１０１
となる。A^4を計算すれば、A^4の成分は全て正だと分かるので、A^(n^2)＝A^16もまた、成分が全て正だと
分かり、よって、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である(実際、連結になっている)。
374:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:02:22
>>371
グラフ理論で良く知られた事実と思うが。
375:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:05:38
>>372
問題：この話のどこかに｢間違い｣がある、それを見つけろ
×××××××××××××↑ここに｢間違い｣があるじゃん
376:１３２人目の素数さん
08/01/01 00:13:13
>>732
これも良く知られた話だ。
F が非常に遠くにあって、三角形BDFが裏返っているから。
377:１３２人目の素数さん
08/01/01 01:27:12
>>374
そうなのか。グラフ理論のどんな定理？
378:１３２人目の素数さん
08/01/01 08:56:24
>>377
定理という程の名前はなかったと思う。
379:１３２人目の素数さん
08/01/01 10:42:59
正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通る物とする。
正十二面体ではどうか？
ここでは図を書けないので理論で答えよ。
380:１３２人目の素数さん
08/01/01 11:38:11
a を非負の実数とする。
i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), （iii) Σ[n = 2 → ∞ ]a^(√log n)
が収束する a の範囲をそれぞれ求めよ。
381:１３２人目の素数さん
08/01/01 21:47:40
>>380
問題文列記が汚い
人に読ませる力がない
論文書いても読まずにポイ
382:１３２人目の素数さん
08/01/01 21:59:46
では書き直し。
a を非負の実数とする。
(i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n),
(ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n),
(iii) Σ[n = 2 → ∞] a^(√log n)
の三つの無限級数について、それぞれ収束する a の範囲を求めよ。
383:１３２人目の素数さん
08/01/02 04:30:54
>>382
(ii)があると易し過ぎてツマラナイ。
(ii)がないと結果がツマラナイ。
ゆえにこの問題は
384:１３２人目の素数さん
08/01/02 05:15:44
>>378
ということは、かなり簡単に導けるってことか…
実は、Aの作り方を
(i≠jのとき) Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0
(i＝jのとき) Aの(i,i)成分＝(iが書いてある黒マスの上下左右4箇所が全て黒マスのとき) 0 , (それ以外のとき) 1
に変えても
・A^nの成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。
・A^nの成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。
が成り立つのだが( A^(n^2)は勘違いで、A^nで十分ですた )、これも簡単に導ける？
385:１３２人目の素数さん
08/01/02 08:39:11
>>379
こうゆう消防でも問題自体はわかる問題は良問ノ予感
ただ「理論」というのが漠然として
386:１３２人目の素数さん
08/01/02 09:44:31
>>385
「理論」は大げさだった。
「図で具体例を書くより、簡単な文章で」ぐらいに解して置いて下さい。
387:１３２人目の素数さん
08/01/02 11:00:26
>>384
変形した方の問題は兎も角として、元の問題は、連結でなければ、
A を何乗しても 0 は消えないし、 A^k の要素が全て正ならば、更に A を掛けてもそうだから、
小さい n で示せば十分。グラフ理論の結果では、
「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
が簡単に導けていたと思う。 A^(n^2) については、その系として、
「必要十分が知られている」と言う意味で書いた。
変形した方の問題に対応する直接のグラフ理論の結果は知らないが、
何かの結果から出そうな気はする。
388:１３２人目の素数さん
08/01/02 11:33:43
>>367
便宜上2^(1/3)=pとおく
a=2なら
(1+p+p^2)^n=x[n]+p*y[n]+p^2*z[n]
として
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1
が任意のnで成り立つよ．
389:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:30:38
>>386
＞簡単な文章
経線５回＆逆＋緯線３回＆逆（ｗ
何通りあるかのほうが面白そう
「正多面体逆向二２筆書き」
390:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:33:04
多面体逆向二筆書き
391:１３２人目の素数さん
08/01/02 12:48:01
>>389
うーん、簡単すぎたか。もう少し条件を付けたバージョンを考えておく。
392:１３２人目の素数さん
08/01/02 13:53:06
>>389>>391
>>379では「頂点でＵターンしない」という条件を忘れていた。
その条件を付けても可能となる。それでも簡単なら、改めて付帯条件を考える。
393:１３２人目の素数さん
08/01/02 16:59:03
>>387
＞「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」
＞が簡単に導けていたと思う。
ああ！そうか、確かにn－1乗でOKだわ。
俺のやった方法だと、初めの方も、変形した方も、全く同じ方針で
解けるのだが、グラフ理論からの解法も気になるな。
394:１３２人目の素数さん
08/01/02 21:10:09
>>388
なるほど。しかしこれでは 2^(1/3) の有理数近似は苦しいな。
x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 は
x[n]^3+2y[n]^3+4z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 の誤記
だろうけど、これを2次のペル方程式の真似で
(x[n]+y[n]p+z[n]p^2)(A[n]+B[n]p+C[n]p^2)=1
と因数分解して 「x,y,z がデカイと A[n]+B[n]p+C[n]p^2 ≒ 0」を
利用しようとしても、pの2次方程式を解くことになってしまい、
「2次の無理数による、2^(1/3) の近似値」しか出てこない。
395:１３２人目の素数さん
08/01/02 21:17:56
>>394
x[n]/y[n]→2^(1/3)
x[n]/z[n]→2^(2/3)
てな風に近似すんだよ
極限とってみ
396:１３２人目の素数さん
08/01/02 22:26:34
>>395
あそーか。行列
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
の絶対値最大の固有値の固有ベクトル [2^(2/3),2^(1/3),1] の成分比だな。
なるほどー。
397:１３２人目の素数さん
08/01/03 00:52:39
>>396
成る程、同様にして m^(1/n) の近似分数列も定まってきそうだな。
高次ペル方程式とは一寸違う方向かも知らんが。
398:１３２人目の素数さん
08/01/03 07:05:13
行列 A
[1,2,2]
[1,1,2]
[1,1,1]
を、実射影平面 P^2 の射影変換と見ると、
（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、
[1, 1, 1] からでなくとも、どの整数点 [p, q, r] から始めても
A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
2^(2/3),2^(1/3) の同時近似（同一分母による近似）としては効率は良さそうだが。
単一近似としての効率はどうかな。
一般の初期値から出発した場合は、ペル方程式としては N(α) = 定数 の形になるのかな。
同じく、行列 B
[1, n, n, n]
[1, 1, n, n]
[1, 1, 1, n]
[1, 1, 1, 1]
を、実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[1, 1, 1, 1] 等任意の整点を出発点として、 B を何回も施すと、n^(1/4) の近似分数列が得られるだろう。
この場合、ペル方程式は、 Q(n^(1/4)) の整数環の単数群の torsion free part を表すものとなるのだろうが、
その生成元は、 n = 2, 3 の場合でも結構複雑になるのかな。
399:１３２人目の素数さん
08/01/03 11:54:58
>>398
>（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、(中略)
>A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。
不動点がちょうど1つ、というだけでは収束は保証されないよ。
対応する固有値の絶対値が、虚数固有値の絶対値より大きいからOK。
> 同じく、行列 B(中略)を実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、
>（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、
[ - n^(3/4), n^(2/4), - n^(1/4), 1] も実不動点だよ。でも
[ n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1 ] は固有値(の絶対値)が最大なので
収束はこっち。
400:１３２人目の素数さん
08/01/03 12:11:00
>>398
>単一近似としての効率はどうかな。
効率は悪いよ。平方根を今のと同じアルゴリズムでやった場合を a[n]、
ニュートン法でやった場合を b[n] とし、初項を b[0]=a[1]=1 にすれば
b[n]=a[2^n] になる。
立方根でも、ニュートン法のような2次収束する数列が、部分列になるか
どうかを調べるのも面白そうだ。
401:１３２人目の素数さん
08/01/03 17:05:37
>>399>>400
tkx
大部感じが分かってきた。有難う。
402:１３２人目の素数さん
08/01/03 18:37:11
リーグ戦の組合せ順は何通りあるか？
例）４チーム（ＡＢＣＤ）の場合は６通り（↓の節の順＝３！）
□ＡＢＣＤ
Ａ□１２３ 第１節がＡ－Ｂ＆ＣーＤ
Ｂ１□３２ 第２節がＡ－Ｃ＆ＢーＤ
Ｃ２３□１ 第３節がＡ－Ｄ＆ＢーＣ
Ｄ３２１□
一般解（ｎチームの場合）を求める問題です。
403:１３２人目の素数さん
08/01/03 18:47:00
放置推奨
404:１３２人目の素数さん
08/01/03 19:01:25
>>401
↓ここに高校生向きの問題として３次ペルがあるよ。２番な。
URLﾘﾝｸ(93.xmbs.jp)
405:１３２人目の素数さん
08/01/03 19:07:43
>>400
f(x) = x^2 -2/x = 0
を使えば3次の収束らしいお。 >>275
406:Eukie_M_SHIRAISHI
08/01/03 19:27:32
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)
407:405
08/01/03 19:38:30
a_(n+1) -p = a_n -p -{(a_n)^2 - (p^3)/a_n}/{2a_n + (p^3)/(a_n)^2},
= (a_n -p)^3 (a_n +p)/{2(a_n)^3 + p^3},
408:400
08/01/03 21:33:05
>>405
本当だ、確かに3次収束だ。はえー
409:１３２人目の素数さん
08/01/03 23:22:15
>>359が2007/12/25(火) 22:25:17
だから、このスレ年末年始で結構進んだな。
社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。
410:１３２人目の素数さん
08/01/04 04:55:41
>>394-401
同じように 整数 a,b,c,d に対して p=d^(1/3) (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) として
x[n] + y[n]*p + z[n]*p^2 = ( a + b*p + c*p^2 )^n
で定まる数列 x[n],y[n],z[n]は、行列 A = aE + bD + cD^2 のn乗 A^n の第1列で与えられる。
ただし Dは
D =
[0,0,d]
[1,0,0]
[0,1,0]
であり Eは3次の単位行列。また Dの固有ベクトルは、ω=exp(i*2π/3) として
Dの固有値 p に対しては t[p^2, p, 1]
Dの固有値 ωp に対しては t[ω^2*p^2, ω*p, 1]
Dの固有値 ω^2p に対しては t[ω*p^2, ω^2*p, 1]
Aの固有値は上のそれぞれに対して
a+bp+cp^2, a+bωp+cω^2p^2, a+bω^2p+cωp^2
になる。従って a,b,c が正なら a+bp+cp^2 が絶対値が最大の固有値だが、たとえば
c=0 で aとbが異符号なら a+bωp+cω^2p^2 や a+bω^2p+cωp^2 の方が絶対値が大きくなる。
このため収束列を作りたいなら a,b,c の選択に制限がある。
411:１３２人目の素数さん
08/01/04 06:13:30
>>成る程。
412:１３２人目の素数さん
08/01/04 17:43:27
>>409
数学板は全般的にこの通りだな。
413:１３２人目の素数さん
08/01/05 00:23:35
URLﾘﾝｸ(www6.atwiki.jp)
に代数の問題が少ないので一つ投入しよう。
但し数検過去問の変形、と言ったら大ヒントになるので、
知っている人は別として、過去問は見ないやうに。
a, b, c, d, e, f の実係数 1 次同次式を成分とする 4 次正方行列 A で、
det A = (a^2 + b^2 + c^2 - d^2 - e^2 - f^2)^2
なる物が存在する。
414:１３２人目の素数さん
08/01/05 10:20:46
>>413
電磁場テンソルF (4次元の二階交代テンソル) の行列表示が
det(F) = ( E_1*B_1 + E_2*B_2 + E_3*B_3 )^2
をみたすな。
E_1=a-d, B_1=a+d, E_2=b-e, B_2=b+e, E_3=c-f, B_3=c+f
とすれば題意をみたす行列の出来上がり。
415:１３２人目の素数さん
08/01/05 10:51:12
>>382 の (ii)
簡単の為 a ＞ 0 とする。
a = e^(log a)
a^(log a) = e^{(log a)*(log n)} = n^(log a)
よって log a ＜ -1, i.e; a ＜ 1/e で収束、
これが a の収束範囲。
416:410
08/01/05 11:05:43
>>410
× (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立)
○ (ただし 1,p,p^2 はQ上1次独立)
417:１３２人目の素数さん
08/01/05 14:50:06
>>414
意外と簡単だったか！
418:１３２人目の素数さん
08/01/05 15:30:21
>>413
が意外と簡単だったので、行列ではなく多項式の代数問題。
n を奇数とし、 f (x, y), g (x, y) を高々 n - 1 次の実係数多項式とする。
この時、連立方程式
x^n = f (x, y)
y^n = g (x, y)
は、少なくとも一つの実数解を持つ。
419:１３２人目の素数さん
08/01/05 15:50:46
>>418
そっちのほうが簡単な気が…
実係数、奇数次だから
(∀y∈R)(∃x∈R) x^n = f (x, y)
(∀x∈R)(∃y∈R) y^n = g (x, y)
よって（ry
420:419
08/01/05 15:57:07
ごめん。できてなかった。
421:１３２人目の素数さん
08/01/05 16:49:57
>>399
前半の話だが、虚数不動点は実の回転みたいなものだが、
整点でそんな点はないんじゃないか？
だから任意の整点から出発して収束するとは云えない・・・・？
いや待てよ、やっぱり云えないか。
複素力学系みたいな振る舞いをするのかな？
422:１３２人目の素数さん
08/01/05 17:17:41
>>382
(1)
a ≧ 1 だと当然収束しないから、
0 ≦ a ＜ 1 とする。
この時適当な定数 C により、
a^(√n) ≦ C/n^2
と評価されるから、その範囲で収束。
423:１３２人目の素数さん
08/01/05 17:32:24
>>418
F:y∈R→x∈R, x^n = f(x,y)
G:x∈R→y∈R, y^n = g(x,y)
を満たす連続関数F,Gがあって、グラフx=F(y)とy=G(x)がxy平面で交点をもつ。
424:１３２人目の素数さん
08/01/05 17:44:34
>>423
F, G は一価連続じゃないぞ。連続な物があるという保証はない。
425:１３２人目の素数さん
08/01/05 18:07:25
遅ればせながら高校生スレに便乗
(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう
(2) 111222333の9つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう
(1)(2)共に回転して一致する並べ方は1通りとする
てかあの問題と同じ仕様で
426:１３２人目の素数さん
08/01/05 18:13:27
ん？
427:１３２人目の素数さん
08/01/05 18:14:14
>>425
ポリアの定理で計算出来る。
428:１３２人目の素数さん
08/01/05 18:52:00
>>379
が出題ミスだったので、もう一度きちんと書いておこう。
正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、
元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。
また、辺上を動いていて、頂点に到達した時、今通った辺にすぐ戻る事（Ｕターン）は禁止する。
正十二面体ではどうか？
429:１３２人目の素数さん
08/01/05 21:32:15
D を xy-平面内の原点中心の「面積」 1 の閉円板、 f, g をその上の連続関数で、条件 ：
任意の p, q ∈ D に対して [ f (p) ≦ f (q) ⇔ g (p) ≦ g (q)] を満たす物とする。
また、関数 g に円板 D の任意の回転を合成した関数を h とする。このとき
(∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy
を示せ。
430:１３２人目の素数さん
08/01/05 23:00:51
>429
ただの ∑乱順序積 ≦ ∑同順序積 (積分版) だって…
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:206-207番)
不等式スレ３
431:１３２人目の素数さん
08/01/06 00:07:59
X=cosX Xはいくつ？
432:１３２人目の素数さん
08/01/06 00:20:41
>>431
で、問題は？
433:１３２人目の素数さん
08/01/06 02:07:17
で、答えは？
434:１３２人目の素数さん
08/01/06 02:44:35
>>431
X=0.7390851332151606416553120876738734040134117589…
死ぬほどクダラナイ
435:１３２人目の素数さん
08/01/06 02:52:44
>>427
ポリア？
436:１３２人目の素数さん
08/01/06 09:16:28
xyz-空間 R^3 で、x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
が、全て整数になる点は 0 ≦ x, y, z ≦ n の範囲で幾つあるか？
a, b, c, n が奇数の場合は 0 ≦ |x|, |y|, |z| ≦ n の範囲で幾つあるか？
a, b, c, d が整数なる平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
で、0 ≦ x, y, z ≦ n なる領域は幾つの領域に分割されるか？
a, b, c, d, n が奇数の時、
x + y + z ≦ n, -x + y + z ≦ n, x - y + z ≦ n ,x + y - z ≦ n
なる領域は、平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d
で、幾つの領域に分割されるか？
437:１３２人目の素数さん
08/01/06 13:13:22
>>435
URLﾘﾝｸ(www.mathreference.com)
438:１３２人目の素数さん
08/01/06 15:15:01
>>436で与えられた各点を中心とする半径 r の球体を考える時、
それらが球面以外で共通点を持たない様な最大の r を求めよ
439:１３２人目の素数さん
08/01/06 17:49:50
>>437
英語は嫌いだぁ
実際に解いてみてよ
440:１３２人目の素数さん
08/01/06 18:01:45
英語が嫌いでは高等数学は出来ない。
441:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:06:39
>>428
シンプルな問題だったのが台無し
正多面体の辺を二筆書きする方法はそれぞれ何通りあるか？
ただし各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。
のほうが汎用性がある。
頂点発着と辺発着は同じとする条件は必要？蛇足？
442:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:19:11
>>425>>439
では(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう
を解いてみよう。
先ず、回転を考えない並び方の総数は 8!/(2!)^4.
このうち、自明でない回転で一致する物は、
各 n に対し、 n と n が中心対称の位置にある物のみで、 4!.
従って答えは (8!/(2!)^4 - 4!)/8 + 4!/4.
443:１３２人目の素数さん
08/01/07 07:46:34
各辺の長さがいずれも整数であり、その最大公約数が1である三角形で
1つの内角がθであるような三角形の集合を S[θ] と書くことにする。
S[θ] が空集合でなく、かつ有限個の要素からなるようなθは存在するか。
444:１３２人目の素数さん
08/01/07 15:09:09
>>425
等間隔とかの条件がないから無限大
線対称は別の条件を入れないと誤解
445:Eukie_M_SHIRAISHI
08/01/07 21:30:59
【賞品付きＱｕｉｚ】(先着１０名まで)
１２個の硬貨ある。 そしてその中には贋金が一つ含まれている。
その偽（にせ）の硬貨は残りの本物の硬貨よりも質量が違うことが分かっている。
上皿天秤が与えられている。 その上皿天秤を３回だけ使って、
その偽（にせ）の硬貨を見つけ出し本物よりも重いか軽いかを判定する方法がある
どんな方法か？ Web Page を作ってその方法を示せ。
E-mailの宛先は：－ ms.eurms@gmail.com
Nao kono Mondai ni wa bimyou ni tsugau（違う）fukusuu-ko no Seikai
ga aru !
Good Luck to YOU and to US ALL !
446:１３２人目の素数さん
08/01/08 05:03:26
>>444
馬鹿無限大
447:１３２人目の素数さん
08/01/08 15:43:48
>>443
存在しない。二次体の簡単な話題。
448:１３２人目の素数さん
08/01/10 02:46:04
ここに、赤玉と青玉が入った袋がある。玉を無作為に一個取りだして、
玉の色を見て、それを袋に戻す。この操作を n 回行った時、
赤玉が r 回であるである確率はいくらか？
と言うのが問題であるが、ここで赤玉の出る確率は、
途中 k 回まで操作を行った時に赤玉が j 回であったなら、
次に赤玉が出る確率は (j + 1)/(k + 2) とする。
最初、即ち k = j = 0 の場合は 1/2 である。
449:１３２人目の素数さん
08/01/10 03:27:41
>>443
の>>447での解答が素っ気なかったので、もう少し詳しく述べる。
これは、三辺の長さが有理数で、相似で無い物が一個あれば無限個あるという問題と同値なので、
この形で考える。三辺の長さを X, Y, Z, cos∠C = a とすると余弦定理より、
Z^2 = X^2 + Y^2 - 2aXY. X^2 + Y^2 - 2aXY (a ∈ Q) は有理数体 Q または二次体 K で因数分解出来る。
(i) 有理数体 Q で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY) と因数分解された場合。。
相異なる素数 p, q, ...... が無限にあるから、 Z = pq, X - bY = p^2, X - cY =q^2, ...
とすれば、相似でない物が無限に得られる。
(ii) そうでない場合、二次体 K で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY).
K の整数環の元 p, q, ...... で (p), (q) が異なる素イデアルになる様な物が無限にある。
Z = pp~ (p~ は p の共軛元）、X - bY = p, X - cY = p~ とすれば得られる。
450:１３２人目の素数さん
08/01/10 06:00:01
x^2+y^2-axy=1.
y=1+tx.
x=(a-2t)/(1-at+t^2).
y=(1-t^2)/(1-at+t^2).
451:１３２人目の素数さん
08/01/10 06:29:01
>>450
当然有理曲線ではあるよ。
452:１３２人目の素数さん
08/01/10 09:00:18
んー
453:１３２人目の素数さん
08/01/10 16:43:25
n個の数θ_1, θ_2, ... , θ_n が
sinθ_1=θ_2, sinθ_2=θ_3, ... , sinθ_n=θ_1
を満たすとき、θ_nをnを用いて表せ。
454:１３２人目の素数さん
08/01/10 17:17:56
0
455:１３２人目の素数さん
08/01/10 22:16:08
ルービックキューブ（３Ｘ３Ｘ３、面中心色固定）をばらして無作為に組み直すと
完成出来なくなる場合がある。何通りあるか。
456:１３２人目の素数さん
08/01/11 02:08:18
どこまでどうばらして良いのだ？
457:１３２人目の素数さん
08/01/11 03:14:06
クォーク・レベルまで分解して、ハニーフラッシュ。
458:１３２人目の素数さん
08/01/11 23:26:13
世の中、馬鹿が多い様だな。
459:１３２人目の素数さん
08/01/12 12:05:10
ルービックキューブと言えば、
同形の立方体を27個使って、3×3×3に組み上げ、大きな立方体を作る。
はじめに赤いペンキで、その立方体の表面を塗る。
その後、一旦バラバラにして、まだ塗られていない面が表に出るように、
再び大きな立方体を作る。
次に、緑色で表面を塗る。
その後、同様に一旦組みなおして、まだ塗られていない面を表にして
大きな立方体を作る。
最後に、表面を黄色いペンキで塗る。
ここまでの作業で、ひとつひとつの立方体に着目したとき、
6面が2種類の色で塗られているものは何個あるか ( あるいは
その個数は定まるだろうか )。
って問題を思い出した。
なんか発展した問題ない?
460:１３２人目の素数さん
08/01/12 15:58:34
ばらして組みなおしてもまたばらして組みなおせるから完成できなくならない。
461:１３２人目の素数さん
08/01/12 16:22:07
>>455
直感的には
八つの角について位置の違いが２通り。向きの違いが３通り。
辺について位置の違いが２通り。向きが２通り。
２×３×２×２＝２４通り。
違うか…？
462:１３２人目の素数さん
08/01/12 19:38:58
全ての部品が正解位置にある場合だけでも3^8*2^12-1通りはある。
463:１３２人目の素数さん
08/01/12 21:58:17
9*AB*CDE=ABCDE
464:１３２人目の素数さん
08/01/12 22:21:14
>>463
その種の問題はもう飽きた
465:１３２人目の素数さん
08/01/12 22:27:23
どんな問題が「面白いか」は人さまざまだろうが…
このスレの他の問題のレベルを見てから投稿しても遅くはないだろう。
466:455
08/01/12 22:52:59
予想通り茶化された（まじ予想では無視スルーだったから感謝）
コマネチ大の１６パズルの発展系として考えたんだが
ルービックキューブを壊した事がない人には問題自体理解するのも無理か？
467:１３２人目の素数さん
08/01/12 23:10:07
壊した事は無いが、「壊れた」事ならあるよ。
468:１３２人目の素数さん
08/01/12 23:53:28
俺はメタメタにシールを貼りかえたことがある
4歳とか5歳とかそれくらいのときに
469:１３２人目の素数さん
08/01/13 00:30:14
>>468
そりゃばったもの
470:１３２人目の素数さん
08/01/13 00:31:23
もうかなり昔、中1の春にルービックキューブを買った。中の構造が気に
なったんだけど、でも壊すのは勿体無くて、しょうがないから、キューブと
キューブの間の僅かなスキマから中を覗いて、その構造を想像してた。
半年くらい考えて、中1の秋のころ、構造を解明した。友達の持っていた
キーホルダーサイズのルービックキューブを分解してもらい(結局、自分のは
分解せずｗ)実際の構造を見てみたら、バッチリ合ってた。
471:１３２人目の素数さん
08/01/13 00:51:56
>>466
どんな状態からでも1段と半分までは揃うんだな。
あとは3軸周りの移動回数で場合分けすればいけそうだが面倒だな。
472:１３２人目の素数さん
08/01/13 01:44:33
正方形のみで作る立方体の展開図の個数を数学的に解くとか、ってある？
473:１３２人目の素数さん
08/01/13 02:33:09
>>472
無限個
474:１３２人目の素数さん
08/01/13 02:49:47
正方形のみで作る立方体の意味が分からん
475:１３２人目の素数さん
08/01/13 03:29:05
問題
無理数の無理数乗が有理数になる事はあるか？
476:１３２人目の素数さん
08/01/13 03:43:34
e^(ln 2)
477:１３２人目の素数さん
08/01/13 10:38:57
a^b、b^aがいずれも有理数となる無理数a、bは存在するか
478:１３２人目の素数さん
08/01/13 11:07:31
>>466
ばらしたあとどう組みなおせるのかもわからん。
対象の位置にあるのは全部入れ替え可能なのか？
479:１３２人目の素数さん
08/01/13 11:36:18
>>477
x^x = 3 なる実数 x が存在するから、
これが無理数なる事も容易に分かり、
a = b = x とする。
480:475
08/01/13 12:31:31
一応用意しておいた解答を書いとくと
まず√2は無理数である
従って(√2)＾(√2)が有理数ならば、主張が成り立つ
(√2)＾(√2)が無理数ならば((√2)＾(√2))＾(√2)=2 なので
やはり主張が言える
というのがあった
481:１３２人目の素数さん
08/01/13 12:43:52
>>480
(√2)＾((√2)＾(√2)) は、どうして有理数なの？
482:１３２人目の素数さん
08/01/13 13:03:29
>>481
475は(√2)＾((√2)＾(√2))という数には触れてないぞ。((√2)＾(√2))＾(√2)でしょ。
483:１３２人目の素数さん
08/01/13 13:44:15
あ、いや、わかった。>>477と勘違いした。
484:１３２人目の素数さん
08/01/13 14:46:38
>>478
もちろん！
原型に直したら数学の問題にならない
機械組立工作の問題になる
485:１３２人目の素数さん
08/01/14 13:30:20
1から6までの数字を1回ずつと＋､－､×､÷､括弧のいずれかを使った式を考えます
それを例えば6×(1＋25)÷3－4とします
この式を逆から読むと4－3÷(52＋1)×6となります
この2式の差は48－3.66037……≒44.33963となります
この様に逆から見た値と元の式との差が､
0にはならず､できる限り0に近くなる様な式を見つけて下さい
[ﾙｰﾙ]
(1)1から6までの数字を全て1回ずつ使う.これ以外の数字の使用は不可
(2)156の様に数字をくっつけてもよい
(3)＋､－､×､÷､括弧はそれぞれ何回使ってもよいし､使わないものがあってもよい
それ以外の演算子の使用は不可
(4)4の斜め上に3を書いて4の3乗にする等は不可
486:１３２人目の素数さん
08/01/14 14:19:18
>>485
ルールをつけたす必要があるぞ
1+2+3+4+5+6
6+5+4+3+2+1
差は0
487:１３２人目の素数さん
08/01/14 16:17:30
>>486
「0にはならず」だよ
488:１３２人目の素数さん
08/01/14 16:55:06
>>485
数学的な魅力に乏しい気がする。
条件を満たす最良の式を求めたりチェックしたりするには、総当りしかないだろうから。
489:１３２人目の素数さん
08/01/14 17:37:33
ﾙｰﾙを厳密に定義したければ追加要
負の数を表す-は不可
（）は逆使用
例 1+(-2x3)+4+5+6⇔6+5+4+)3+2-(+1
意味不明
490:１３２人目の素数さん
08/01/14 19:01:38
156/234 -> 625/90000
491:１３２人目の素数さん
08/01/14 20:47:44
>480
何が言いたいのかよくわからないけど
(√2)＾(√2) は無理数だよ
492:１３２人目の素数さん
08/01/14 20:51:19
>>491
元の問題良く読め。
(√2)＾(√2) が有理数であっても無理数であっても、どちらを仮定しても、
元の問題が高校レベルで解けるという事だ。
493:１３２人目の素数さん
08/01/14 20:52:04
>>491
高校生向きの解答なら>>480じゃないと無理だろ
高校生には(√2)^√2が無理数であることの証明はできない
494:１３２人目の素数さん
08/01/14 20:56:32
ああ、なるほど よく読んでなかった
すまぬ
うまく考えたものね
495:１３２人目の素数さん
08/01/14 21:11:48
nを2以上の自然数とするとき
√1+√2+…+√n が無理数であることを示せ
496:１３２人目の素数さん
08/01/15 00:21:31
>>485
少しだけやってみた
5÷6＋24÷31＝1.6074･･･
13÷42＋6÷5＝1.5095･･･
上－下≒0.0979
ただこれが最小な自信も根拠も何も無い
問題というかチャレンジだねコレ
497:１３２人目の素数さん
08/01/15 00:37:23
>>490が0.003くらいだな
498:１３２人目の素数さん
08/01/15 01:20:30
156/432-234/651≒0.001664
プログラム書いてこのタイプの商の差を求めたらこれが最小だった
499:１３２人目の素数さん
08/01/15 01:21:17
プログラム書くなら全部やればいいのにｗ
500:１３２人目の素数さん
08/01/15 01:26:02
演算子や括弧まで網羅するのは俺には無理
３桁の商の差は網羅した
501:１３２人目の素数さん
08/01/15 01:46:49
逆ポーランド記法使えば括弧使わなくて済むから
プログラミングが楽になるよ。
でも計算量がなぁ…
502:１３２人目の素数さん
08/01/15 02:14:45
プログラムをちょっと変更して↓のタイプのを試した
6÷5132÷4-4÷2315÷6＝0.00000431
503:１３２人目の素数さん
08/01/15 02:18:11
0でない有理数というと結局は割り算しかないのだからこの辺で限界じゃまいか
504:１３２人目の素数さん
08/01/15 02:39:56
1.05の4分の1乗はどうやって解くのですか?
505:１３２人目の素数さん
08/01/15 02:40:27
>>504
「解く」とは？
506:１３２人目の素数さん
08/01/15 02:44:45
どのように計算したら良いですか？
507:１３２人目の素数さん
08/01/15 02:47:52
平方根の筆算ができるのなら、それを２回やるといいよ
508:１３２人目の素数さん
08/01/15 03:02:15
ごめんなさい。
よくわかりません…
509:１３２人目の素数さん
08/01/15 03:07:58
平方根の筆算は検索すればすぐ見つかる。
それができないなら、電卓を使うしかないな。
それから、その問題はこのスレじゃない方がいいだろうね。
510:１３２人目の素数さん
08/01/15 16:52:45
23:MASUDA◆5cS5qOgH3M :2008/01/14(月) 21:46:37
以下の条件をみたす2008個の異なる正整数a[1],a[2],…,a[2008]が存在することを示せ．
条件：『1≦i＜j≦2008をみたすすべての整数の組(i,j)において，(a[j]/a[i])-1がa[i]-1とa[j]-1の最大公約数になる』
511:１３２人目の素数さん
08/01/16 23:01:32
>510
p≧2, b[k]≧2 として
c[n] = Π[k=1,n] b[k],
a[n] = p^c[n]
とおく。
a[j]/a[i] -1 = p^(c[j]-c[i]) -1 = p^{c[i](c[j]/c[i] -1)} -1 = a[i]^(c[j]/c[i] -1) -1,
c[j]/c[i] -1 ≧ 1 だから a[i] -1 の倍数。
a[j] -1 = (a[i] -1)(a[j]/a[i]) + a[j]/a[i] -1,
より
gcd(a[i] -1, a[j] -1) = gcd(a[i] -1, (a[j]/a[i]) -1) = (a[j]/a[i]) -1.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:23-29番)
東大入試作問者スレ１３
512:１３２人目の素数さん
08/01/17 02:34:57
>>511
その答えに反例が挙がってるようだが
513:１３２人目の素数さん
08/01/17 16:07:40
Nを任意の自然数とし、F(n)をフィボナッチ数列とする
F(n)がNで割り切れるような自然数n全体を決定せよ
514:１３２人目の素数さん
08/01/17 17:16:18
>>513
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)
より、フィボナッチ数 F(n) はmod. N 周期を持つが、
それすら分からない難問であるから、
もっと易しくしてちょ。
なお上記より、 N で割り切れるフィボナッチ数が必ず存在することは分かる。
515:513
08/01/17 17:53:43
>>514
n|m ならば F(n)|F(m) であることに注意する
F(n) ≡ 0 (mod M) となる最小の n を n(M) とする
N = Π^{m}_{k=1} p^{a_k}_k と素因数分解されるとする
このとき Chinese Remainder Theorem より次が成り立つ
n(N) = LCM( n(p^{a_1)_{1}) , ... , n(p^{a_m)_{m}) )
従って求める自然数全体は n(N) の倍数全体となる
以上より、素数 p と自然数 a に対して n(p^a) を具体的に求めれば良い
n(p) を具体的に求めるのは大変なので、n(p^a) を n(p) を用いて表せ
516:１３２人目の素数さん
08/01/17 20:39:05
>>515
>n(p) を具体的に求めるのは大変なので、n(p^a) を n(p) を用いて表せ
良く知られた予想はあるが、誰も証明した物はいない。
517:１３２人目の素数さん
08/01/17 21:00:41
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
とその解答参照
518:１３２人目の素数さん
08/01/17 21:16:16
なんだよ転載かよ
519:１３２人目の素数さん
08/01/17 21:43:10
>>441
蛇足
520:１３２人目の素数さん
08/01/17 21:56:54
>>518
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
くらいチェックしておけ
521:513
08/01/17 22:58:17
>>516
用意していた解答にミスを見つけたorz
てか、有名な問題だったのね。知らんかった
お騒がせしました
522:１３２人目の素数さん
08/01/19 23:02:13
平面ではなくて空間に世界地図があるとする。
各国は空間領域とする。各国に色を塗って塗り分けたい。
但し、点や線で接している国は同じ色にしても良いが、
面で接する国は違う色で塗り分けねばならない。最低何色必要か？・・・・
と言いたいが、これでは何色でも必要になってしまう。
それでは条件を付けて、国は全て有界凸閉多面体で、
国の数も有限とするとどうか？
523:１３２人目の素数さん
08/01/20 00:14:08
小学校の時、先生が遊びで出した問題です。
マラソンランナーは42キロの距離をを、1時間で残りの距離の1/2進めるとします。
いつまで行ってもその残りの1/2が残りますが、数は無限大にあるので、
ランナーは永久にゴールできないのか？
確かゴールできるという答えだったと思うのですが、
理系の大学に入った今でもわかりませんｗ
ふと思い出したので、答えを教えてください。
524:１３２人目の素数さん
08/01/20 00:24:59
高校の内容を使ってもいいなら↓
スタート地点をｘ、ゴール地点をｙ、ランナーをaとする。
このとき、aはｙに限りなく近づく。
よって、a=y
つまり、aとｙの位置が同じとなり、ランナーはゴールできる。
525:１３２人目の素数さん
08/01/20 00:42:22
n時間後のランナーとゴールの距離をd[n]とすれば
d[n]=42*(1/2)^n>0
であるから、決してたどり着けない
526:１３２人目の素数さん
08/01/20 01:00:39
足元がゴールラインすれすれになった頃に胸を突き出せばゴールイン扱いになる
そういう問題ではないのか
527:１３２人目の素数さん
08/01/20 01:19:57
実数列A[n]で、以下の条件を満たすものが存在するか？
存在するなら具体例を、存在しないならその証明を示せ
１、lim[n→∞] A[n] = +∞
２、lim[n→∞] A[2^n]/A[n] が存在
528:１３２人目の素数さん
08/01/20 02:08:05
>>527
数列{fn}を次のように定める。
f1＝2 , f(n＋1)＝2^fn
数列{fn}は明らかに狭義単調増加である。g：[2,＋∞)→Rを
g(x)＝k ( fk≦x＜f(k＋1) )
として定め、数列A[n]をA[n]＝g(n)で定義する。このA[n]は、
１と２をともに満たす。
529:１３２人目の素数さん
08/01/20 02:22:56
>>528
別の問題になってしまうが、その fn をn(>0)について実解析的に拡張できないものだろうか。
何らかの意味で自然に。
530:１３２人目の素数さん
08/01/20 07:02:39
f(x)=x^a，a=x^a とする．
(1)x≧1として，f(x)が収束するようなxの範囲を求めよ．
(2)x＜1の場合を論ぜよ．
531:１３２人目の素数さん
08/01/20 07:52:35
>>530
「収束する」という単語は、数列にしか使わない。
「数列{1/n}は0に収束する」という使い方しかしない。
1つの実数を持ってきて、それが何かに収束する、という言い回しはしない。
たとえば、「実数1は1に収束する」という言い回しはしない。
＞x≧1として，f(x)が収束するようなxの範囲を求めよ．
f(x)は数列では無い。各xごとに、f(x)は実数を表しているから、「f(x)が収束するような」
という言い回しはしない。これに対し、たとえば、関数列{fn(x)}が与えられたとき、
「関数列{fn(x)}が収束するようなxの範囲を求めよ」という言い回しは正しい。
532:１３２人目の素数さん
08/01/20 07:56:07
収束フォーーー
数列フォーーー
実数フォーーー
533:１３２人目の素数さん
08/01/20 09:33:29
>>530
x^a = a なんだから、 f (x) = x^a = a は定数
534:１３２人目の素数さん
08/01/20 09:38:30
10^30 を 1002 で割った数の 10 の位を求めよ。
535:530
08/01/20 11:22:45
>>531
訂正どうも。だめだめでｺﾞﾐﾝ
>>533
確かに・・。
f(x)=x^a ←このaにa=x^aを代入を繰り返して
f(x)=x^(x^(x^(x^(x^･･･))))
ってさせたかったんだけど、これじゃ結果が一意にならない？（のかな？）
混乱してきたので問題訂正しますorz
【問】
x^(x^(x^(x^(x^･･･))))＝α (α∈R)
となるようなxの値の範囲を求めよ．
536:１３２人目の素数さん
08/01/20 11:27:48
>>535
f(1)=x
f(n)=x^(f(n-1))
lim [k->∞] f(k) = α
と理解してよいか？
537:１３２人目の素数さん
08/01/20 12:01:11
>>536
なるほどそれなら>>533で指摘された不備が出ないですね。
問題無いと思います
538:１３２人目の素数さん
08/01/20 12:06:07
>>537
-1<x<=1
539:１３２人目の素数さん
08/01/20 12:47:19
>>535-537
URLﾘﾝｸ(www.akanekodou.mydns.jp)
540:１３２人目の素数さん
08/01/20 13:09:29
巡回するとなると厄介だな
541:１３２人目の素数さん
08/01/20 13:10:36
>>539
鼻血出た
542:１３２人目の素数さん
08/01/20 13:20:36
1≦x≦exp(1/e)
と思ったら
exp(-e)≦x≦exp(1/e) までいけるのか
543:１３２人目の素数さん
08/01/20 14:04:44
>>542
学部二年の時にそれ導いたわ
有界で単調な数列は収束する、が本質だった
複素数の範囲は難しくて諦めた
544:１３２人目の素数さん
08/01/20 14:05:09
>>536
そいつを f と書いてしまうと、最初の出題の 「 f(x) 」 という書き方ができなくなってしまう。
g(x,1):=x
g(x,n):=x^( g(x,n-1) )
f(x):=lim [n→∞] g(x,n)
にしとこうぜ。
なおこのf は f^(-1) が簡単な式で書けるな。
545:１３２人目の素数さん
08/01/20 14:07:20
>>543
> 複素数の範囲は難しくて諦めた
y=f(x) は
x=y^(1/y) をみたすから、これを用いて解析接続することになるね。
546:529
08/01/20 14:12:26
オレは >>544 の g(x,n) を、
xについてではなく nについて解析的な拡張をしたい。
g(a,z+1)=g^( g(a,z) ) が成立し、 zが実数を動くときはzについて対数凸な、
そんな拡張はできませんか。
547:１３２人目の素数さん
08/01/20 16:59:56
全部数字を入れるクロスワードです。入れる数字は全て平方数(何とかの2乗)です。同じ数は2度使っては駄目です。
■□■■□□
□□□■□■
□■□□□□
□□□□■□
■□■□□□
□□■■□■
548:１３２人目の素数さん
08/01/20 17:04:08
>>547
それが埋まると、何か面白い数学的事実が証明できたりするのか?
549:１３２人目の素数さん
08/01/20 17:44:07
>>547
平方数の「数字」は 0, 1, 4, 9 の四つだから重複を許さねば埋まる訳がない。
550:１３２人目の素数さん
08/01/20 17:47:28
>>549
バカなの？
551:１３２人目の素数さん
08/01/20 17:53:24
>>550
お前がな
552:１３２人目の素数さん
08/01/20 17:58:17
〔527の変形〕
以下の条件を満たす実数列 A[n] の具体例を示せ。
1. lim[n→∞) A[n] = +∞
2. lim[n→∞) A[2^n]/A[n] = α, (α>0)
553:１３２人目の素数さん
08/01/20 18:02:33
>552
A[n] = k*α^g(n), (k>0, α≧1)
ただし、g(x) は >>528 に定義されているもの。
554:546
08/01/20 18:11:12
× g(a,z+1)=g^( g(a,z) ) が成立し、
○ g(a,z+1)=a^( g(a,z) ) が成立し、
555:１３２人目の素数さん
08/01/20 18:21:17
>>547
ほう、最近はこういうのも「クロスワード」というのか。
ところで君の言う「クロスワード」の定義を教えてくれないか？
556:１３２人目の素数さん
08/01/20 18:48:30
>>552
α＜1だと困るがな
557:１３２人目の素数さん
08/01/20 18:58:05
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
ぱわたわ…
558:552
08/01/20 20:54:37
>556
α≧1 だった … ｽﾏｿ.
559:１３２人目の素数さん
08/01/20 21:30:21
>>557
も>>529の疑問には答えていない様だな。
これはアーベルの問題として昔から有名な問題だ。
幾つかの解も知られている。
560:１３２人目の素数さん
08/01/20 23:26:53
>>559
kwsk
561:１３２人目の素数さん
08/01/21 01:12:25
>>560
色々検索しても出てこなかったが、
サーティ編「現代の数学 III」（岩波）第一章に出ていた。
君が良く行く図書館にこれがあることを祈る。
562:１３２人目の素数さん
08/01/21 01:17:23
ありがとう。 >>561
英語でいいから、もっといい検索キーはないもんかな。
abel
interpolatoin
power
563:１３２人目の素数さん
08/01/21 13:55:30
俺が今考えてる問題
おまいらにも考えて欲しい
n，mを自然数とする．1からnまでの数字が書かれたカードがそれぞれm枚ずつ，
合計nm枚ある．これらをm枚ずつn組に無作為に分けるとき，それぞれの組から
うまく1枚ずつのカードを拾って1からnまでの数字を集めることができるか．
564:１３２人目の素数さん
08/01/21 14:02:09
>>563
その問題の本質的な部分だけを取り出した問題を、
俺が過去ログに書いたことがある。解答もされた。
565:１３２人目の素数さん
08/01/21 14:45:10
>>564
むうｶﾞｲｼｭﾂだったか
すまん指摘ありがとう
566:１３２人目の素数さん
08/01/21 15:11:04
>>560
やっと見つかった。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
に出てくる
f (h(x)) = f (x) + 1 で h (x) = e^x の場合。
解の具体例まではここには書いてない。
567:１３２人目の素数さん
08/01/21 15:12:08
>>565
過去ログは
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
568:１３２人目の素数さん
08/01/21 16:16:23
ありがとう!! >>566
analytic solution ( "abel functional equation" OR "abel equation")
で検索したら、面白そうなのがザクザク出てきた。
569:１３２人目の素数さん
08/01/21 17:07:37
>>568
そんなに沢山出て来たんだったら、分かり易くて面白いの、一つ教えて！
570:１３２人目の素数さん
08/01/21 21:22:30
方眼紙で，縦2マス，横nマスの長方形を考える．
この長方形の１つの角の点をＳ，Ｓからもっとも遠い点をＧとする．
Ｓを出発してＧに至る経路のうち，同じ点を2度通らないものの個数をa_nとする．
a_nを求めよ．
571:１３２人目の素数さん
08/01/24 11:02:05
>>570
n×2の方眼紙内において
(0,0)を出発して(n,1), (n,0)に行き着く道順の総数をそれぞれb_n, c_nとおく
a_nのうち(n,0)→(n,1)の順路を含むものの数をa'_nとする
c_nのうち(n,2)→(n,1)の順路を含む物の数をc'_nとする
a_0 = a'_0 = b_0 = c_0 = 1, c'_0 = 0 となる
漸化式を図から考えて
a_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1) + a'_(n-1)
b_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1)
c_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1) + c'_(n-1)
a'_n = c_(n-1) + a'_(n-1)
c'_n = a_(n-1) + c'_(n-1)
…もっときれいな解法あるんだろうな
572:１３２人目の素数さん
08/01/29 23:21:46
(m+1)×(n+1) マスの升目がある。一番左側の列と一番下の行には既に碁石が置かれている。
（合計 n*m + 1 個）
残りの n×m の空白の升目に一つずつ碁石を置いて行って全部埋める方法は何通りあるか？
但し碁石を一つ置くには、そのすぐ左とすぐ下には既に碁石が置かれていなければならない。
（結構有名問題？）
573:１３２人目の素数さん
08/01/29 23:40:43
株価2000円の会社があるとして、
ボラティリティ40%の場合、
株価が1000円を一回でも下回るのは、
5年間の場合、何%ありますか？
574:１３２人目の素数さん
08/01/29 23:45:56
>>537
ボラレたくないからあっち行け
575:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:11:23
数時間かけて作ってみた。興味あればやってみてな。答えから先に作ったので矛盾はないと思うが・・・。
二次の係数が1、一次の係数と定数項が整数の二次方程式がある。
その解のうち小さい方は-1より小さく、大きい方は1より小さいという。
AおよびBの二人がこれを解こうとしたが、うち一人は誤って、一次の係数と定数項を入れかえて書いてしまった。
その結果、解の差はAのほうが小さくなった。
正しい二次方程式を示せ。また、それを解いたのはAとBのどちらか。
576:１３２人目の素数さん
08/02/02 01:17:50
1,1,5,8を使って10って作れますか？
教えてくださいm(__)m
577:１３２人目の素数さん
08/02/02 01:19:33
>>576
8/(1-1/5)
578:１３２人目の素数さん
08/02/02 01:33:15
>>575
取り違えた方はもはや
>その解のうち小さい方は-1より小さく、大きい方は1より小さいという。
を満たさなくても良いんだな？
579:１３２人目の素数さん
08/02/02 01:50:14
1.8*5+1
580:１３２人目の素数さん
08/02/02 02:45:51
5*{√(8+1)-1}
581:１３２人目の素数さん
08/02/02 15:01:41
>>578
おｋ。これは正しい二次方程式についての解の性質。
・・・っていうかすまん！よく見たら問題に重大な欠陥があった。
作り直してくるから>>575は無かったことにしてくれ！
582:575の改訂版
08/02/02 16:17:18
二次の係数が1、一次の係数と定数項がいずれも絶対値が一桁の整数という二次方程式がある。
その異なる二解のうち小さい方は-2より大きく、大きい方は2より大きいという。
AおよびBの二人がこれを解こうとしたが、うち一人は誤って、一次の係数と定数項を入れかえて書いてしまった。
その結果、解の差はAのほうが小さくなった。
正しい二次方程式の候補をすべて示せ。また、それを解いたのはAとBのどちらか。
今度こそ間違いはないはず・・・問題作成って想像以上に気を遣うなあ。
583:１３２人目の素数さん
08/02/02 17:09:51
二次方程式の解の大きい方、小さい方という言い方をする以上は
重解の場合（大きい方や小さい方というの解はない）や
解が非実数になる場合（そもそも大小関係がない）は
成り立たないものだと考えてよいのだな？
584:１３２人目の素数さん
08/02/02 19:03:14
>>583
その通り。「～その異なる二実数解～」とでも書けばベターだったかな。
585:１３２人目の素数さん
08/02/02 20:04:09
X_n = { 2^a + 2^b + 2^c | a, b, c は 1 ≦ a, b, c ≦ n なる自然数 } の濃度を求めよ。
586:１３２人目の素数さん
08/02/02 21:43:20
>>585
２０％くらいじゃないの？
587:１３２人目の素数さん
08/02/02 21:45:31
集合の濃度ってそういう意味じゃないだろ…
a＜b＜cのときは、2進法表示の一意性により、全部異なる。
あとは、それ以外の場合でどれだけ重複があるかを調べる。
面倒くさいので他の人に任せた！(＾o＾)
588:１３２人目の素数さん
08/02/03 04:04:37
>>586
４年前にタイムスリップしたのかとオモタじゃないか。
589:１３２人目の素数さん
08/02/04 23:49:40
>>582
>をすべて示せ。
では面白い問題とは云えない。そんな問題なら誰でも作れる。
唯一つ解が有ってこそ面白い。
590:１３２人目の素数さん
08/02/05 00:05:09
>>589
そんなことは百も承知さ。だから初めは>>575のようにしていた。
でもこれは欠陥問題だったから涙を呑んで改変したわけだ。
「間違えて○○してしまった」系の問題って面白いだろ？あとは矛盾無く問題にできるかどうか、だ。
だから君に期待する。「間違えて○○してしまった」系の問題を作っておくれよ・・・。
591:１３２人目の素数さん
08/02/05 00:07:28
>>589
構造を調べたりするのも面白いと思う
まぁ>>582の設問は確かにつまらないが
592:１３２人目の素数さん
08/02/05 05:26:11
１００以上あるのを全て書くのは面倒
593:１３２人目の素数さん
08/02/05 11:33:51
いったい何が１００以上もあるのだろう？
594:１３２人目の素数さん
08/02/05 22:08:05
実数 x_1, x_2, ........... , x_n が全て正なる為の必要十分条件は、
それらの基本対称式の値が全て正なる事である。
595:１３２人目の素数さん
08/02/05 23:53:17
ｽﾚﾘﾝｸ(news4vip板)
問題文がちょっと悪いと思っても気のせいです。
596:１３２人目の素数さん
08/02/06 00:12:05
それ落ちてない？
597:１３２人目の素数さん
08/02/06 00:15:09
うん。未解決なんだ。困ってる。
598:１３２人目の素数さん
08/02/06 01:19:30
糞スレ立ててまで
答え出したのじゃないのか？
11 ：１３２人目の素数さん：2008/02/05(火) 23:04:52
・・・でも解いてくれます？多分オレ答え出したんだけど。
出題者いなくなっちゃったし。数学板の人なら、と思ったんだけど
先にオレの解き方言っちゃたら面白くないだろから言いづらいですけど
IQ160以上の超難問題解けるやついる？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:11番)
599:１３２人目の素数さん
08/02/06 01:20:55
韓東の極左のゴミ共へ
①URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
②URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
③URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
④URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
⑤URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
⑥URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
⑦URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
⑧URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
⑨URLﾘﾝｸ(jp.youtube.com)
600:１３２人目の素数さん
08/02/06 03:54:15
>594
必要性は明らかなので十分性を示す。
基本対称式 S_1, S_2, ……, S_(n-1), S_n がすべて正とする。
f(x) = (x+x_1)(x+x_2)(x+x_3)…(x+x_n) = x^n + S_1･x^(n-1) + S_2･x^(n-2) + …… + S_(n-1)x + S_n,
とおくと
x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0,
根 -x_1, -x_2, ……, -x_n はすべて負。
数セミの「エレガントな解答をもとむ」に出てた…
601:１３２人目の素数さん
08/02/06 10:30:25
具体的な問題でなくてすまん。
ここの住人なら何か情報を知っているんじゃないかと思って
あえてスレ違いを承知で尋ねたい。
平面上の位相幾何の問題なのだけど、
幾つかの点とそれを任意に結ぶ辺からなる図形が
辺が交差しないように変形(点の移動)できるか否か
についての研究などの情報をお持ちでないでしょうか？
・正方形の頂点(４点)を互いに全て結んだもの(辺は６本)はそのままでは対角線で交差しているが
正三角形と重心の位置に点を移動させれば辺は交差しないように変形可能。
・正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?)
しかしどこか一箇所を切ったものならば可能。
・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？
602:１３２人目の素数さん
08/02/06 10:54:19
>>601
その研究についての情報は持っていないが、
＞正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?)
これは実際に不可能。平面上の一般の位置(＝どの3点も一直線上に無い)に
5つの点を取ると、その中のある4点は凸四角形を作る(ハッピーエンド問題)。
凸四角形があるならば、交差する2辺が存在するのは明らか。
以下、凸四角形が存在することの証明。
5つの点の凸包を考え、場合分けする。
凸包が五角形のとき：どの4点を選んでも、凸四角形になっている。
凸包が四角形のとき：凸包自身が凸四角形である。
凸包が三角形のとき：三角形の頂点をA,B,Cとする。残りの2点をD,Eとすれば、D,Eは△ABCの内部に
存在する。図を描けば分かるとおり、A,B,Cの3点から適当な2点X,Yを選べば、4点X,Y,D,Eが凸四角形になる。
603:１３２人目の素数さん
08/02/06 11:07:04
>>594>>600
昔どこかのスレで見た
>>601
平面グラフ
604:１３２人目の素数さん
08/02/06 12:19:45
>>601
＞・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？
グラフが K5 あるいは K3,3 に位相同形な部分グラフを
含まなければ変形可能。
605:１３２人目の素数さん
08/02/06 14:11:18
K5ってのは先に出た５角形のようだが
K3,3 ってどんな図形？
606:１３２人目の素数さん
08/02/06 15:12:26
>>605
URLﾘﾝｸ(www32.ocn.ne.jp)
607:１３２人目の素数さん
08/02/06 16:52:23
>>600
thx 確かにエレガントな解答だ。
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)
に、微分を使った解答が載っていたのだが、そんな簡単に証明できるとは気がつかなかった。
608:570
08/02/06 20:29:47
亀ですが
>>571
一解答例としてはその方針でおｋ
a'_nとc'_nについてはもう少し考察が必要
609:１３２人目の素数さん
08/02/07 18:28:04
>>595の問題
>1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。：2008/02/02(土) 19:38:16.48 ID:8Qf0u1wDO
>幽霊が次のような問題を出した
>800ml入る容器が8つあり1～8まで番号がついていて 今それぞれ100mlずつ水が入っている
>何個かの容器の水には お前らには見えないし触れない魚の幽霊が 容器の番号と同じ匹数だけ入っている
>それ以外の容器には水しか入っていない
>何らかの理由で容器が空になった場合は すぐに100mlの水と最初に魚の幽霊が入っていた場合は魚の幽霊を 容器の番号と同じだけ入れる
>大きな水槽があるがこれに容器の水を移した時 移った魚の幽霊の数を教えてやる
>その際水槽に移す時使用した容器は没収する
>魚の幽霊の数はたまに適当な数を教えるがその後3回は正しい数を教えてやる
>最初にどの容器に魚の幽霊が入っていたか確実にわかるためには 何回容器を水槽に移せばいいか またどのようにすればよいか
は>>610のようにすれば容器に移す回数は5回以内である事が分かる
4回以内だと無理かどうかはまた今度考える
610:１３２人目の素数さん
08/02/07 18:28:14
番号nがついた容器に最初に入っていた水を水nと書くとする
ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする
まず
(1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888)
と容器内の水を移し変えれば水1,2,4,8のうちどれに幽霊が入ってるかを3回確かめられる
(3)(6)(5)(7)→(37)(65)(57)(7)→(37)(65)(57)(3655777)→(37)(3657)(365577)(3655777)
と移し変えれば水3,5,6,7についても同様に3回確かめられる
水1,2,4,8について確かめる動作を2回行い、同じ結果が得られれば
水3,5,6,7について確かめる動作を3回行う。
違う結果が得られた場合はもう一度水1,2,4,8について確かめ、
その後に水3,5,6,7について確かめる動作を2回行う。
これで水1-8のうちどれに幽霊が入っていたかが確実に分かる。
611:１３２人目の素数さん
08/02/07 18:50:42
なにを言ってるんだかさっぱりわからん。
このあたりは間違いなく意図通りに正しく書かれているのか？
> ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする
まず
> (1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888)
612:１３２人目の素数さん
08/02/07 19:11:06
>>611
まず最初に容器n（n=1～8）に水nが100mlずつ入っている
この状態は(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)と書ける
次に容器8の水を容器1に入れる
状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)()となる
幽霊が容器8に水8を100ml補充してくれるから状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)となる
容器4の水を容器2に入れる。幽霊が容器4に水4を補充する。
容器8の水を容器4に入れる。幽霊が容器8に水8を補充する。
これで状態は(18)(24)(3)(48)(5)(6)(7)(8)となる。
容器1,2,4の水を容器8に入れると
状態は()()(3)()(5)(6)(7)(1244888)となる。
このように操作を繰り返して最終的に
状態を(18)(1248)(37)(124488)(3657)(365577)(3655777)(1244888)
としたかったんだが、勘違いしてて上手く出来ないっぽい…やり直す
あと>>595のスレ見ると4回のやり方もあるっぽいな
613:１３２人目の素数さん
08/02/07 20:10:55
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)→(14) () (3) () (5) (6) (7) (28)
→(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (28)→(14) () (3) (4) (5) (6) (7) (248)
→(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (248)→(14) () (3) (24) (5) (6) (7) (248)
→(14) (2) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→() (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248)
→(1) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) ()
→(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) ()
→(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) ()
→(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (8)→() (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488)
→(1) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488)→() (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488)
→(1) (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488)
（略）→(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (35677) (12488)
→(1) (1248) (3567) (1248) () (3567) (355677) (12488)
→(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (355677) (12488)
と水を移し変える
水1,2,4,8が入った容器の中身を水槽に入れると
幽霊は0～15匹のどれかを言う→水1,2,4,8のどれに魚の幽霊がいるか分かる
水1,2,4が100ml、水8が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合、
水3,6が100ml、水5,7が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合も同様に分かる
ただ幽霊は嘘をつく事があるから2,3回同じことを確かめなきゃいけず
この場合だと5回かかる
>>611 この説明でも駄目か？
614:１３２人目の素数さん
08/02/08 09:32:27
>>612
> ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする
オレにはこれは 「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」 を意味しているように見えるんだが
444は400mlなのか？ 300mlはどう書くんだ？
意図どおりに正しく書かれているのかを確認してくれ。
前提の大事なところにタイプミスがあったりしたら、意思の疎通ができない。
615:１３２人目の素数さん
08/02/08 14:50:04
>>614
あぁ…そこでタイプミスしてたようでごめんよ
「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」だ
616:１３２人目の素数さん
08/02/10 03:18:01
△ABCがあり、三辺の長さは公差がdの等差数列をなしている。
最大辺の延長上に点Pを取ると、元の辺から増えた長さがdであった。
また、最小辺上に点Qを取ると、元の辺から切り取った長さがd/2であった。
ただしQが切り取った長さは、最大辺を含む点から測ったものとする。
さらに、直線PQの延長が△ABCの残った一辺と交わる点をRとする。
すると、直線PQRは△ABCの面積のうち半分を切り取ることとなった。
三辺の長さをdを用いて表せ。
617:１３２人目の素数さん
08/02/10 04:22:45
>>616
AB < AC < BC として一般性を失わない。
AB = x とすると、 AB + AC > BC より x > d。
Q は AB 上にあり、 R は AC 上にある。
△ABC = 2△AQR より AB*AC = 2*AQ*AR。
メネラウスの定理より (PC/PB)*(QB/QA)*(RA/RC) = 1。
これらを連立して x について解けば良い。
618:１３２人目の素数さん
08/02/15 22:05:18
ABCに正の整数(何桁でも可)を入れて等式を成立させて下さい
ただし同じ文字には同じ整数,違う文字には違う整数が入ります
(A＋B－C)×{(1/A)＋(1/B)－(1/C)}＝564
619:１３２人目の素数さん
08/02/16 18:17:31
正方形をどの２つも合同でない３つの相似な図形に分割せよ(フラクタル不可)
620:１３２人目の素数さん
08/02/16 20:41:18
>>619
七問目-26
621:１３２人目の素数さん
08/02/18 14:11:16
五段の階段があり、サイコロを振って出た目だけ上り、ちょうど一番上に止まったら終了する。
ただし、五段目までの段数よりサイコロの出た目が大きい時は、その分だけ下がるとする。
例えば、三段目で５が出たら、二段上った後三段下がるので、二段目になる。
サイコロの目が出る確率はすべて等しいとする。
一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。
問１．A(2-0),A(2-1),A(2-2),A(2-3),A(2-4),A(2-5)を求めよ。
問２．A(N-5) (N≧1) を、Nを用いてあらわせ。
622:621
08/02/18 15:29:35
せっかく作ったんだから解いてよ！
623:１３２人目の素数さん
08/02/18 16:19:49
まだ一日もたってないだろ&終了したらどうなる？&何故引き算？
624:１３２人目の素数さん
08/02/18 16:21:36
A(i-3-1)
625:621
08/02/18 16:24:53
>>622
引き算？
>一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。
N-nは引き算じゃなくて、添え字ｗｗ
626:１３２人目の素数さん
08/02/18 16:56:36
>>625
だったらN_nって書け
627:１３２人目の素数さん
08/02/18 17:08:06
漸化式書いて終わりのよくある問題にしか見えん
628:１３２人目の素数さん
08/02/18 17:20:00
URLﾘﾝｸ(www.vippers.org)
□の次は何でこうなるの・・・？
わからん・・・やばい・・・
629:sage
08/02/18 17:33:11
職場で
図の斜線が引いてある部分の面積を求めよ。但し、π=3 √3=1.7とする。
と言う問題が出たのですが無知な私にはさっぱり解りません。どなたかご教授お願いします
図
URLﾘﾝｸ(a.pic.to)
630:１３２人目の素数さん
08/02/18 17:37:05
なんというスレ違い
631:sage
08/02/18 17:59:28
お手数ですがお願いします。皆様が頼りなんです
632:１３２人目の素数さん
08/02/18 18:03:59
取り下げて移動しないとここでは回答はいただけないかと
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
>>629
◆指定されたページは存在しないか、携帯端末以外からのアクセスは許可されていません
633:１３２人目の素数さん
08/02/18 18:04:52
>>627
解けないくせに…
634:１３２人目の素数さん
08/02/18 18:37:19
>>633
難しくて全然分からないよ
635:１３２人目の素数さん
08/02/18 18:52:11
>>621
スレ違い
636:１３２人目の素数さん
08/02/18 21:07:26
30になった
637:１３２人目の素数さん
08/02/18 23:22:22
三十路か。
誕生日おめ。
638:１３２人目の素数さん
08/02/19 01:51:03
>>622名大入試問題のパクリやん…
639:１３２人目の素数さん
08/02/19 04:19:38
五段だと他のどこの段にいたときも1/6の確率であがれるわけだから全然面白くない
640:１３２人目の素数さん
08/02/19 13:45:23
４段目で６が出たら落ちて死亡して終了ですか？
641:１３２人目の素数さん
08/02/19 13:50:00
あれ？ ひょっとして５段の階段というのは高さは６種あるのかな？
階段の段数は高さの種類-1なんですかね？
０段の階段というのはいわゆる平地なんでしょうか？
じゃあ１段目ってのは地面と同じ高さ？
それともひとつ上？
１階って地面と同じ高さ、２階はその上
てことは１段目は地面と同じで、ひとつ登ると２段目？
いやいや、ｎ階建のnは高さの種類と等しいから階段とは違うのかな？
642:１３２人目の素数さん
08/02/20 00:01:15
>>618
A = 122 44200 50100 02877 81163 51171 17995 21361 35134 91867 (48桁)
B = 74807 19101 53025 27837 94583 60171 46464 94820 59055 28060 (50桁)
C = 3460 69586 84255 04865 64589 22621 88752 08971 30654 24460 (49桁)
なお、因数分解すると
A = bc * 19 * 29 * 46591 * 100363979,
B = ca * 37 * 1806705194075701,
C = ab * 3 * 11 * 73 * 1543 * 4663 * 169789,
a = lcd(B,C) = 2^2 * 5 * 449 * 35869 * 516624461,
b = lcd(C,A) = 97 * 3769 * 19329352219,
c = lcd(A,B) = 7 * 79 * 239441 * 50787883,
lcd(a,b,c) =1,
らしい。
〔参考文献〕
A.Bremner, R.K.Guy and R.J.Nowakowski;
"Which integers are representable as the product of the sum of three integers with the sum of their reciprocals ?"
Math. Comput. Vol.６１, No.203, (1993 July)
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
643:１３２人目の素数さん
08/02/20 00:17:27
〔問題〕
x,y,z に整数を入れて等式を成立させて下さいです。。。
1) x^3 + y^3 + z^3 = 564,
2) x^3 + y^3 +2z^3 = 564,
644:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:11:54
z=0は明らかなんだからただの二元三次連立方程式だな
645:643
08/02/20 04:06:17
>644
1) と 2) は別々の問題でつ。 2) の方が易しいでつ。
646:１３２人目の素数さん
08/02/20 04:50:19
問題番号見てなかったぜorz
>>645
2もｚが奇数でｘ,ｙが偶数であることしかわからないんだぜ
647:１３２人目の素数さん
08/02/20 04:52:49
ん！！？
よく考えたらxyzすべて奇数だよな・・・？
648:643
08/02/20 05:31:00
>643 の 2) はすべて奇数で、2桁以下らしいよ。1桁もあるらしい。
649:１３２人目の素数さん
08/02/20 06:47:58
この問題の面白さがよくわからんのだが
2)
-1^3 - 21^3 + 2*17^3
= 23^3 - 33^3 + 2*23^3
= 93^3 + 95^3 - 2*94^3
= 564
650:１３２人目の素数さん
08/02/20 09:24:38
564 = 538724191073^ + (-1300749634)^3 + (-53872166335)^3
(Leonid Durman, 2007)
きっと URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp) から
持ってきたんだと思うけど、出題者は面白さが分かってるんだよね？
俺は564に関するこの結果は、単に計算がんばったら出た、ってものだと
思ってたんだけど、なんか面白いところがあるなら教えてもらいたいなあ。
651:643
08/02/20 22:39:22
>>649-650
御名答.
見た目は似たような「564」でも、難問もあれば易しいのもある、という事で……（当然だが）
因数分解しても、とくに面白くないし……
564 = 2^2 * 3 * 47,
53872419107 = 13 * 1193 * 3473623,
1300749634 = 2 * 223 * 2916479,
53872166335 = 5 * 13^2 * 47 * 59 * 83 * 277,
>>642
B = c * a * 37 * 2829383 * 638550947,
gcd(a,b,c) =1,
652:１３２人目の素数さん
08/02/20 23:30:00
lcd＝最大公約数？
653:１３２人目の素数さん
08/02/29 02:19:14
いくつ解けますか？
ブラジル数学オリンピック 本選 2004 小学生対象
[1問目] 下記の条件を満たす全ての3桁の自然数nを全て見つけよ。
n は奇数である
n は平方数である
n の各位の数字の平方の和は平方数となる
[2問目] 辺の長さ1の4つの正三角形で、図のように、辺の長さ2の正三角形を作ることができる。
△
△▽△
先の図のような三角形を作るために、3つの種類(白、黒、灰色)の辺の長さが1の正三角形をたくさん持っているとする。
作られた二つの三角形のうち、回転して同じになるもの同士は同じものとみなす。
黒 | 白
白白灰 | 灰白黒
↑同じペア
黒 | 黒
灰白白 | 白白灰
↑異なるペア
この提示された条件でいくつの異なる三角形を作ることができるか。
654:１３２人目の素数さん
08/02/29 02:22:29
[3問目] 自然数が1より大きな二つの自然数の積で表されるとき、それを合成数という。
たとえば91は91=7*13とかけるので、合成数である。
2^(2^2004+2)+1 が合成数であることを示せ。
[4問目] ArnaldoとBernaldoが2*nのテーブルでゲームをする。駒は2*1のドミノで、まずArnaldoが最初にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおく。
プレイヤーは常にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおかなくてはいけない。既に置かれたドミノに重ねてはいけない。
テーブルにおけなくなった方の負けである。
どちらのプレイヤーが必勝であるか？
(a) n = 2004 の時は？
(b) n = 2005 の時は？
[5問目] 辺の数が13のタイルで平面の敷き詰めは可能か
もし可能ならば例を示し、不可能ならばそれを証明せよ。
655:１３２人目の素数さん
08/02/29 03:51:19
>654
[3問目]
2^(3m) + 2 = 4n + 2,
2^(4n+2) = 4^(2n+1) ≡ (-1)^(2n+1) = -1 (mod 5)
∴ 5 の倍数…
656:１３２人目の素数さん
08/02/29 04:50:26
>>654
[4問目]
nが偶数なら後手必勝。 先手と線対称（点対称でもいい）に置き続ける。
nが奇数なら先手必勝。 一手目は(n+1)/2マス目（中央)に縦に置く。
[5問目]
辺の数が13のタイルってのは13角形ならなんでもいいのかな？
だったら、正方形の対角線のあたりを中央点対象にギザギザに切ればいい。
それとも凸型に限定されるのか？
657:１３２人目の素数さん
08/02/29 10:09:11
AKB４８のCDを1枚買うと、ポスターが1枚もらえます。このポスターは全部で４４種類あり
もらえるポスターはランダムです。
そして４４種類全部集めると特典が付いてくるのですが、果たして４４種類コンプリート
するには、平均何枚の購入が必要となるでしょう？
別に問題的には面白くないかｗ
ニュースとしては面白かったが・・・
658:１３２人目の素数さん
08/02/29 10:24:55
>>657
クーポンコレクター問題。
問題としては面白いと思うが、あまりに有名だろう。
659:１３２人目の素数さん
08/02/29 10:28:03
ｎ種類だとおよそ平均ｎ*log ｎ くらいだね。(ｎが十分大きいとき)
660:１３２人目の素数さん
08/02/29 13:37:02
>>657-658
ってか、すでにマルチされまくってるじゃんか。
661:１３２人目の素数さん
08/02/29 19:16:33
3^n (n=1,2,3,‥)を十進表記したとき、
十の位は常に偶数であることを示せ。
662:１３２人目の素数さん
08/02/29 19:33:19
3^1=3, 3^2=9,3^3=27, 3^4=81
3^(n+4)-3^n=3^n*80
663:１３２人目の素数さん
08/02/29 19:52:23
ゴリ押しで解いてみた。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
ちょうどn回目で全てのおまけが集まる確率を実際に計算し、そのあとは
期待値の定義に従ってゴリ押しで期待値を計算し、でも出て来る値は
MΣ[k＝1～M](1/k)の形をしていないので、この形になるように変形。
>>659
γをオイラー定数とするとき、nΣ[k＝1～n](1/k)＝nlogn＋γn＋ε(n)，|ε(n)|≦1 (n＝1,2,…)
664:１３２人目の素数さん
08/02/29 20:46:34
なんか添え字ミスがいっぱいあった。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
665:１３２人目の素数さん
08/03/01 06:38:29
>>655,656
正解.今度は中学生向けのを翻訳してみた.
[Q1] 幾何の問題なので省略
[Q2] 次の数字の列 1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,...は次の方法で作られる.
5つめ以降の各要素はその前の4つの和の下一桁である.
a) 2,0,0,4という並びはこの数列に現れるだろうか
b) 1,2,3,4という並びは再びこの数列に現れるだろうか
[Q3] Esmeraldaは100個の石を持っている.
彼女はこの山を二の新しい山に分け、続いてこの二の山の石の数を掛け合せ
その積を紙に書きこむ.
そして、一つ以上の石がある山を選び次の操作をくりかえす.
一つの山を二つに分け、この二の山の石の数の積を紙に書きこむ.
紙に書かれたすべての積の和はどのような値になるだろうか？
666:１３２人目の素数さん
08/03/01 06:40:51
前の書きこみ, "二の" -> "二つの" に訂正.
[Q4] ArnaldoとBernaldoの二人が交互に正の数を選ぶゲームをする.
それぞれのターンでは、前の人が選んだ数よりも大きく、かつ二倍未満の数を選ばないといけない.
このゲームでは2004を選べたプレイヤーが勝利する.
Arnaldoが先手で2から始めたとき、どちらのプレイヤーが必勝か.
[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.
a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.
[Q6] 0,1,2,...,9の各数字が10個ずつあり、これを10x10の升目に並べることを考える.
どの並べ方に対しても、ある列または行に少なくともn種類の数字が
含まれているというとき、nの最大値を求めよ.
667:１３２人目の素数さん
08/03/01 10:05:24
>>665
[Q2] a)
この数列は 奇数、偶数、奇数、偶数、偶数 の並びを繰り返すので ４つ偶数が並ぶことはない。
b) 実際に書き下せば現れるんだが… うまい方法が見つからん。
「Q3]
Σ_[n=1→99]{n}
ｎ個の山をかならずn-1と1の分けることにするとそうなる。
さらにn-2と2に分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを…
さらにn-kとkに分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを…
結局どう分けようとも…
[Q4]
nを選ぶためには、ｎが偶数ならn/2を、nが奇数なら(n-1)/2を選べられればいい。
2004を選ぶためには1002を選べればいい、そのためには501を、そのためには250を
そのためには125を、62を、31を、15を、７を、3を選べればいい。
後手必勝である。
668:１３２人目の素数さん
08/03/01 12:18:37
Q2のb
ループすることと、列の４つの並びからその前が自動的に決まることから1,2,3,4を含むループだとわかる
669:１３２人目の素数さん
08/03/01 15:22:01
a,b,cは異なる自然数とし、全て2以上であるとする。
(1＋a＋a^2＋…＋a^n)＋(1＋b＋b^2＋…＋b^n)がcで割り切れ、さらに、
(1＋a＋a^2＋…＋a^(n＋1))＋(1＋b＋b^2＋…＋b^(n＋1))がcで割ると
2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを
rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。
670:１３２人目の素数さん
08/03/01 15:24:38
訂正。
2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを
rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。
↓
2余るような自然数n＝n_0が存在するとする。このようなnのうち最小の
ものを rとおけば、rはn_0を割り切ることを示せ。
671:１３２人目の素数さん
08/03/01 15:47:36
>>666
[Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする.
O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする.
a) 角O1DO2が直角である事を示せ.
外接円は各辺の垂直二等分線の交点で表されるので,円O2はACの垂直二等分線上にある.∴DO2⊥AC 同様にBD⊥DO1 よってOD1⊥DO2 ∠OD1O2=90°(証明終了)
b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ.
[方針]例えばA(0,4a),B(4b.0)とおき,D,O1,O2の座標を求める.新たな円の中心をO3とする。このときABが円O3の接線になることを示す。又、接線と半径は垂直となるはずだから,<O3D>と<AB>との内積が0になることを示せばよい。
解答は計算が面倒なので...すいません。
[自作問題] 縦1,横√3の長方形をSとする。Sの対角線を中心に30°
回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の重なった部分の面積を
求めよ.
高校入試レベルの問題ですが、辺の長さの求め方などが解答する人によって分かれるという意味で面白いと思います。
672:１３２人目の素数さん
08/03/01 19:52:49
>>668
ループすることはわかるんだが、その先がよくわからない。
もうすこし詳しく教えてもらえないだろうか？
673:１３２人目の素数さん
08/03/01 19:55:51
>>671
> 角線を中心に30°回転
線を中心に回転させると（回転軸）重なる部分は直線(面積０)になると思うのだが
しかし高校入試に空間図形というのもめったに出ないだろうし、なにか出題ミスか？
674:2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw
08/03/01 20:24:58
>>672
ループするのはわかるんだな、じゃあ２つの可能性がある
・途中からループに入る
・最初からループしている
途中からループに入るとしたら、その部分は逆回転するときに枝分かれに見えるだろ？
４つの並びからその前が決るとなら、そんなことは起こり得ない。
だから最初からループしてるてことだ
俺は>>668になるほど、と思っただけで気づいたわけじゃねえよ
675:１３２人目の素数さん
08/03/01 20:27:56
>>674
いやすまん。
> ４つの並びからその前が決るとなら
ここがわからないんだ。
676:2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw
08/03/01 20:30:56
a+b+c+d≡e (mod. 10)
なら
a≡e-b-c-d (mod. 10)
aは0～9だから丁度1個ある
677:１３２人目の素数さん
08/03/01 20:33:25
なるほどそうか。 サンキュ。
678:１３２人目の素数さん
08/03/01 21:38:01
>>666
[Q6]の意味がいまひとつわからん。
679:１３２人目の素数さん
08/03/01 22:38:32
並べ方Aに対し
i行にr_i(A)種類の数字
j列にc_j(A)種類の数字
があるとする
r(A):=max_i(r_i(A))
c(A):=max_j(c_j(A))
n(A):=max{r,c}
としたとき
min_A(n(A))を求めよ、ということだろう
680:671
08/03/01 23:50:28
>>673さん。
問題の部分。「対角線」ではなく。「(二本の)対角線の交点」となり
ます。書き間違えまえてしまってすみません。
[自作問題（訂正）] 縦1,横√3の長方形をSとする。このときSにおける二本
の対角線の交点を中心に30°回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の
重なった部分の面積を求めよ.
681:１３２人目の素数さん
08/03/04 10:48:57
□に1～9の整数を1つずつ入れ成立する等式を全て求めて下さい
同じ数字2度使いは不可
□□□×□□＝□□×□□
682:１３２人目の素数さん
08/03/04 10:55:33
既出
683:１３２人目の素数さん
08/03/04 11:09:16
134*29 = 58*67
138*27 = 54*69
146*29 = 58*73
158*23 = 46*79
158*32 = 64*79
174*23 = 58*69
174*32 = 58*96
186*27 = 54*93
259*18 = 63*74
532*14 = 76*98
584*12 = 73*96
684:１３２人目の素数さん
08/03/04 11:34:32
>>600
アホな質問かも知れんけど、(x+x_i) の偶数個だけ負なんてないん？
685:2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw
08/03/04 11:50:51
>>684
x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0から
f(x)=0の解はx≧0には存在しない
つまり、f(x)=0の解-x_1,-x_2,...,-x_nは（実数だから）すべて負
と考えてるんだと思う
686:１３２人目の素数さん
08/03/04 19:49:41
正整数全体の集合をNとする。A={-1,0,1}に対して
M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A}
とする。このときN⊂M(A)であることを示せ。
687:１３２人目の素数さん
08/03/04 19:53:24
>>686
ただの3進法じゃないの？(0,1,2じゃなくて-1,0,1に変えただけの)
688:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:09:07
三進法と同じです
条件を満たすAは他にあるか、を入れ忘れてました
689:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:12:18
Aを含む集合ならOKだし
690:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:16:41
ノントリビアルなのを考えるのが面白いと思い、出題しました
691:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:24:52
まあ出題者の意図を汲むのも解答者のたしなみとは思うが
もうちょっとシャンとしてくれや
692:１３２人目の素数さん
08/03/04 20:35:26
シャンとしなくて申し訳ないです
問題文を改めてみました
正整数全体の集合をNとする。
相異なる三つ整数からなら集合Aに対して
M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A}
とする。このときN⊂M(A)となるAを全て求めよ。
693:１３２人目の素数さん
08/03/05 03:54:27
この前数学教師から出されて解けなくてｲﾗｲﾗしてる問題を。
既出だったらすまん
三角形がある。
今、△ＡＢＣはＡ=20°の二等辺三角形で
ＡＣの間に、ＡＤ=ＢＣの点Ｄをとる。
このとき、∠ＡＤＢを求めろ。
694:１３２人目の素数さん
08/03/05 04:35:44
ラングレーでググれ
695:１３２人目の素数さん
08/03/05 07:57:30
>>649
レスthx
でもこれラングレーとちがくね？
ラングレーってＢとＣの所に角度の決まった辺が付くし
求める角度の場所も違うような
一応ググったが・・・すまん
696:１３２人目の素数さん
08/03/05 08:07:35
AとBとCそれぞれに0～9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい
AとBは違う組み合わせにして下さい.同じ文字での同じ数字2度使いは不可
AAAAAA×AAAA＝BBBBBB×BBBB＝CCCCCCCCCC
697:１３２人目の素数さん
08/03/05 09:53:08
15864*9327 = 18654*7932 = 147963528
37962*5148 = 51948*3762 = 195428376
26475*9381 = 62481*3975 = 248361975
54186*7923 = 87153*4926 = 429315678
698:１３２人目の素数さん
08/03/05 10:24:05
197208*5346 = 723096*1458 = 1054273968
253098*4176 = 538704*1962 = 1056937248
192087*6435 = 960435*1287 = 1236079845
820794*1536 = 950784*1326 = 1260739584
435618*2970 = 653427*1980 = 1293785460
154638*9072 = 231957*6048 = 1402875936
286794*5103 = 479682*3051 = 1463509782
158640*9327 = 186540*7932 = 1479635280
537186*2940 = 926835*1704 = 1579326840
319875*6042 = 486210*3975 = 1932684750
379620*5148 = 519480*3762 = 1954283760
249651*7803 = 748953*2601 = 1948026753
815430*2679 = 945687*2310 = 2184536970
264750*9381 = 624810*3975 = 2483619750
286071*9354 = 781059*3426 = 2675908134
405612*7938 = 709821*4536 = 3219748056
549780*6231 = 837165*4092 = 3425679180
541860*7923 = 871530*4926 = 4293156780
453186*9702 = 906372*4851 = 4396810572
651840*7293 = 847392*5610 = 4753869120
704592*6831 = 830412*5796 = 4813067952
751398*6420 = 783240*6159 = 4823975160
564732*9180 = 914328*5670 = 5184239760
699:１３２人目の素数さん
08/03/05 18:54:47
>>697-698 どうやって求めんの
700:１３２人目の素数さん
08/03/05 20:33:02
?に0～9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい
分や秒は59以下,時間は1以上.同じ数字2度使いは不可
??分??秒×?＝?時間??分??秒
701:１３２人目の素数さん
08/03/05 20:49:25
kingは死ぬ
702:１３２人目の素数さん
08/03/05 20:55:12
明日ここにカキコしたあと心臓麻痺で死ぬ、とデスノートに書いておいた
703:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:24:23
つぎの やさいのうち なかまはずれは どれ ?
1. だいこん 2. にんじん 3. ごほう 4. じゃがいも
私立幼稚園入試問題
704:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:26:57
じゃがいも。
ほかのみっつはふといねっこそのものをたべる。
705:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:35:29
せいかい
3. ごぼう です。
だいにじせかいたいせん のとき
ほりょとなった あめりかじん にだした りょうりに
ごほう を だしたら、 にほんじんは われわれに
きのねっこ を たべさした と くじょうがあり
そのご しゅうせん を むかえ ほりょしゅうようじょ の
しょちょうが じぃえいちきゅう から せんぱん の ようぎ を
かけられました。
とさ
706:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/03/05 21:35:47
Reply:>>701 お前が先に死ね。
707:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:50:29
もんだい
1. しゃつ 2. ぱんつ 3. くつした 4. はんかち
なかまはずれは どれ ?
国立教育大付属幼稚園入試問題
708:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:54:24
ぱんつ
これはニオイかいでみたいから
709:１３２人目の素数さん
08/03/05 21:55:18
面白くない問題は自粛願います
710:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/03/05 22:02:18
Generalist の修行が足りない奴が仲間はずれを決めてはならぬ。
711:１３２人目の素数さん
08/03/05 22:10:22
>>710
スレチ
712:１３２人目の素数さん
08/03/05 22:14:14
せいかい
4. はんかち
ほかのものは どれも りったいてき であります。
また、ことばに つ が ついています。
713:１３２人目の素数さん
08/03/06 00:35:04
>>700
50分42秒 * 9 = 7時間36分18秒
714:１３２人目の素数さん
08/03/06 03:41:02
シャツとパンツ（小用穴付き）は同相。
ハンカチと靴下は同相。
715:１３２人目の素数さん
08/03/07 07:11:22
>>705
ようぎを かけられたのは よくわかった が
なぜ それが なかまはずれの りゆうに なるんだ？
716:１３２人目の素数さん
08/03/07 15:35:15
>>693 >>695
線分BCのC側の延長上に、BE=ACとなるような点Eをとり、
△BEF≡△ABCとなるような点Fを、BEから見てAと同じ側にとると
△ABEは正三角形，四角形ADEFは平行四辺形
△EDBはED=EBの二等辺三角形