07/10/13 04:19:51
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定義：
ｎを自然数とする。長さｎのひもで始めたゲームが
先手必勝のときｎを先手必勝型と呼ぶ。
そうでないとき後手必勝型と呼ぶ
場に二本のひもが存在し、それぞれが後手必勝型である場合を考える。
この局面はその時点での手番の負けである。
なぜならあなたは二つあるひもを別個に扱い、それぞれに対して必勝法を行えるからだ。
例えば二本の紐をＡ，Ｂとする。
ここで相手がＡだけに何か操作を行い、Ｂに何もしなかったとしよう。
この場合、あなたもＢには何もしない。
「元Ａだった部分」だけに注目して必勝法を一手進めるのだ。
この事はひもが三本以上のときも成り立つ。
即ち、後手必勝型のひものみで構成された局面はその時点での手番の負けである。
同様に、先手必勝型のひも(と長さ１のひも)のみの局面はそのときの手番の勝ち
さて、ここで具体的な値に対して、先手必勝型か後手必勝型か考えてみると
1は後手必勝で、2は先手必勝である。
また、２ｎ－１までの全ての奇数が後手必勝と仮定すると、２ｎ＋１は後手必勝である。
∵奇数を二数に分けると必ず偶数と奇数になる
この偶数を奇数＋奇数になるように分ければ２ｎ－１以下の奇数三つができる
後手必勝のひものみの状態で先手に手番が渡ったので２ｎ＋１は後手必勝型
従って全ての奇数は後手必勝であり、偶数は先手必勝。とくに2009は後手必勝