07/06/24 05:06:30
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2:１３２人目の素数さん
07/06/24 08:44:09
いちょつ
3:１３２人目の素数さん
07/06/24 09:15:11
>>1乙
a^3+2b^3+4c^3-6abc=1を満たす整数(a,b,c)の組は無数に存在することを示せ。
4:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/06/24 09:25:46
>>3
大学受験板で私が出した問題そのままですな。まあいいですが…
5:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/06/24 09:32:04
>>3
(1+2^(1/3)+2^(2/3))^n=a[n]+b[n]2^(1/3)+c[n]2^(2/3)
nは整数です。任意のnについて(a[n],b[n],c[n])は方程式の整数解となります。
いわば3次のペル
6:１３２人目の素数さん
07/06/24 11:02:43
962 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/06/23(土) 23:34:03
x,y,zを正の整数とする。
x+y+zがx,y,zの公倍数になるとき、x,y,zを求めよ。
964 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/06/24(日) 00:34:02
>>956
実際のところ、このスレでも京大系の問題が多いですよね。
あなたのに限らず。
東大っぽい問題って作るのムズイんですかね。（というかメンドイ？）
下の問題は僕の自作なんですけど、こういうのが「東大っぽい」と個人的には思うんです。
こういうのあれば、出してくださいな。
座標平面上の3点O(0, 0), A(0, 1), B(√3, 1)を頂点とする三角形OABがある。
この三角形を、Oを固定して原点のまわりに毎秒1ラジアンの角速度で反時計回りに回転させる。
一方、点Pは三角形OABが回転を始めるのと同時に原点を出発し、
時刻θ(秒)におけるy座標がasinθとなるようにy軸上を運動するものとする。
ただし、aは正の定数である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 0≦θ≦π/3において、Pが三角形OABの外部に脱出することがあるようなaの値の範囲を求めよ。
(2) θが0からπ/3まで変化するとき、Pが三角形OABの外部に脱出して、内部に戻ってこないようなaの値の最小値を求めよ。
(3) aを(2)で求めた値とする。θが0からπ/3まで変化するとき、
三角形OABの内部でPが通過した軌道がえがく曲線は三角形OABを2つの部分に分ける。
このうち、頂点Aのある側の面積を求めよ。
969 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2007/06/24(日) 03:34:50
∫[0,1](xlogx)^ndx を求めよ。
どうよ？ちょっと考えるでしょ？大学生ならβ,γ関数使うけど高校生なら
ちょっと考えないといけない。
7:前スレ972
07/06/24 12:43:40
>>前スレ980
途中で積分が収束するかとかの議論を抜くとこんな流れを考えました
∫[0,1]x^n*(logx)^kdx=I[k]とおく
部分積分により
I[k]=-k/(1+n)*I[k-1] (k>1),I[1]=-1/(1+n)^2
を得る.ここから（I[k]を求め、kにnを代入する措置をとることで)
I[n]=(-1)^n*n!/(1+n)^(n-1)
8:１３２人目の素数さん
07/06/24 13:21:08
まだ前スレ埋まってないよ。
9:１３２人目の素数さん
07/06/24 13:21:20
>>前スレ962
最小公倍数じゃないの？単なる公倍数だと答えが死ぬほどたくさんあるんだけど
10:１３２人目の素数さん
07/06/24 14:57:48
>>前スレ962
x≧y≧z≧1について考える。このとき
3x≧x+y+z＞x
で、x+y+zはxの倍数なのでx+y+z=3xまたは2x
x+y+z=3xは不等式の等号成立条件、すなわちx=y=z
x+y+z=2xではx=y+zより、x+y+zがyの倍数という条件と併せて2zがyの倍数となる
y≧zより2z=yまたは2z=2y、すなわちz=yとなる
以上から求める答えは、kを任意の正の整数として
(x,y,z)=(k,k,k),(2k,k,k),(k,2k,k),(k,k,2k),(3k,2k,k),
(3k,k,2k),(k,3k,2k),(2k,3k,k),(2k,k,3k),(k,2k,3k)
11:１３２人目の素数さん
07/06/24 16:14:04
すまん、最小公倍数って書き直そうと思ったんだが……
12:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/06/24 16:50:26
99年前期を真似て…
(1) 空間の3つのベクトルa↑, b↑, c↑が一次独立であることの定義を述べよ。
(2) x,y,zを実数とする。3つのベクトルa↑=(x,y,z), b↑=(z,x,y), c↑=(y,z,x)が一次独立であるための条件を求めよ。
(3) (2)で求めた条件は、以下に示す3×3の平方行列が逆行列をもつための必要十分条件であることを示せ。
┌ x y z ┐
│ z x y │
└ y z x ┘
13:１３２人目の素数さん
07/06/24 16:52:55
非常にどーでもいい問題
14:１３２人目の素数さん
07/06/24 17:31:05
三次の行列式は高校でやりませぬ
15:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/06/24 17:39:27
>>14
この問題は三次の行列式を知っている必要はありません。逆行列の定義と行列の乗法の定義さえ知っていれば解答できます。
16:１３２人目の素数さん
07/06/24 18:02:42
>>12
(1)実数α、β、γについて
αａ↑＋βｂ↑＋γｃ↑＝０↑ ⇔ α＝β＝γ＝０
(2)(3)文中の正方行列をＸとする。
３つのベクトルが一次独立ではない
⇔零ベクトルではないあるベクトルｐ↑で Ｘｐ↑＝０↑ を満たすｐ↑が存在
⇔(逆行列が存在したらｐ↑＝０↑になるだろうがｺﾞﾙｧってわけで)Ｘに逆行列は存在しない
これを否定系から引っ繰り返す
とりあえず大まかな流れだけ。この手の論証重視系でこんな程度の答案だと点数１割くらいだろうけど。
17:１３２人目の素数さん
07/06/24 19:44:34
今の教科書に一次独立って言葉でてくるっけ？？
18:１３２人目の素数さん
07/06/24 20:02:02
>>17
出てこないよ、カス君。なんで君みたいな無能が生きているのか不思議で仕方ない。早く首くくりなよ。
19:１３２人目の素数さん
07/06/24 20:04:29
>>18の言っている事が理解できないのは俺だけ？
20:１３２人目の素数さん
07/06/24 20:06:57
俺もよくわからん。前スレの終わりあたりから、キチガイが住み着いているみたいｗ
21:１３２人目の素数さん
07/06/24 20:07:06
相手にするなよ
22:１３２人目の素数さん
07/06/24 20:08:56
>>19-20
このカス共は日本語すらまともに読めないと言っております。まさに日本の恥。
23:１３２人目の素数さん
07/06/24 20:10:50
言葉にちょっと棘があるんだよ
このドＳが
24:１３２人目の素数さん
07/06/24 21:06:55
>>18
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
25:１３２人目の素数さん
07/06/24 21:14:47
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ >>18
くく へﾍﾉ
26:１３２人目の素数さん
07/06/24 23:38:42
>>12
のトリビア この行列式の値は
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2 と因数分解されるので
x+y+z>0 のときに正の値になる。
27:１３２人目の素数さん
07/06/24 23:49:58
>>26
それはトリビアというよりも蛇足だろ
いやトリビアルだから間違ってはいないか…
28:１３２人目の素数さん
07/06/25 02:08:57
xの関数f(x)=Σ[k=1, 2007]sin(kx)は
区間0≦x≦2007πにいくつの極値を持つか？
29:１３２人目の素数さん
07/06/25 04:07:06
巡回行列式は原始ｎ乗根を使って因数分解できる。
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+ωｙ+ω^2z)(x+ω^2ｙ+ωz)
ωはω^3=1 の複素数
30:１３２人目の素数さん
07/06/25 06:37:37
ω←なんかかわいいな
31:１３２人目の素数さん
07/06/27 21:06:06
>>7
[前スレ.969,972]
t = -(n+1)log(x) とおくと x = exp(-t/(n+1)),
I[k] = ∫x^n ･ {log(x)}^k dx
= {-1/(n+1)}^(k+1)∫(t^k)exp(-t) dt
= -{-1/(n+1)}^(k+1)} {Σ[j=0,k] (k!/j!)t^j} exp(-t).
32:１３２人目の素数さん
07/06/27 21:40:12
>28
和積公式から
f(x) = Σ[k=1,N] {cos((k-1/2)x) - cos((k+1/2)x)} / {2sin(x/2)}
= {cos(x/2) - cos((N+1/2)x)} / {2sin(x/2)}
= sin(Nx/2)sin((N+1)x/2) / sin(x/2),
0≦x<2π のゼロ点 … 2N個。
x=0, x=(2j/N)π (j=1,2,…,N-1), x=(2k/(N+1))π (k=1,2,…,N)
ゼロ点の間に1個ずつ極値がある。
0≦x<2π の極値 … 2N個。
0≦x<Nπ の極値 … N^2 個。
33:１３２人目の素数さん
07/06/27 22:11:55
>>7,31
広義積分じゃないらしいぞ。
34:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/06/30 21:44:03
a,bは0≦a≦12，1≦b≦12を満たす整数とする。二次方程式
x^2 + (13m+a)x + (13n+b) = 0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組はいくつあるか。
35:１３２人目の素数さん
07/06/30 22:10:17
なんて低レベルな。
36:１３２人目の素数さん
07/07/01 00:53:30
>35
じゃあ解けよｗ
37:１３２人目の素数さん
07/07/01 01:13:03
>>36
低レベルなものを態々解く必要などなかろう！
38:１３２人目の素数さん
07/07/01 01:20:50
>>36
ほっとけって
どうせ口だけだから
39:１３２人目の素数さん
07/07/01 01:26:19
すこし前から雲行きあやしくなったな
40:１３２人目の素数さん
07/07/01 01:36:31
35じゃないですけど解いてみました。
左辺が(x+p)(x+q)ってなったとすると(書くのめんどいんで以下合同式は全てmod13)
p+q≡a および pq≡b
つまりaを固定して考えると、p(a-p)を13で割った余りは0以外で何通りあるかを考えればよい。
このとき1≦p≦12で考えれば十分。1≦i＜j≦12で
i(a-i)≡j(a-j) となるi,jの条件は
(a-i-j)(i-j)≡0 よりi+j≡a となる。
(Ⅰ)a=0の場合
p=1～6のときのbの値6種類がOK
(Ⅱ)aが奇数の場合
p=aはb=0になりダメ。p=(a+1)/2はOK。この2つ以外はうまいこと二つずつの系5ペアになる。
全部で6種類のbがありえる。
(Ⅲ)aが偶数の場合
p=aはb=0になりダメ。p=a/2はOK。この2つ以外はうまいこと二つずつの系5ペアになる。
全部で6種類のbがありえる。
結局全てのaについて6種類のbがありえるので、全部で78組。
41:１３２人目の素数さん
07/07/01 02:07:00
わざと面倒くさく解いたのか？
42:１３２人目の素数さん
07/07/01 04:29:04
-e x -e ≡ e と、ある数eを定義したとき
i*i = e を満足する数i を求めよ
43:42
07/07/01 04:31:55
但し i≠e
44:42
07/07/01 04:45:24
出題ミス
ある数 e≡-e * -e と定義したとき
i * i = e を満足する i≠e なる数iを求めよ
45:１３２人目の素数さん
07/07/01 04:48:55
i=-e
46:１３２人目の素数さん
07/07/01 04:59:43
日本語がおかしいし、記号の意味も分からん。
そもそも「数」とは何だ。
47:42
07/07/01 06:23:33
寝ぼけてました
すみません(^^;)
ある数の集合Fにおいて
e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
その条件の元に、
ｊ∈F j * j= -i となる
集合Fを求めよ
48:42
07/07/01 06:27:24
補足
*の意味は
∀a∈F a * e = e * a = a
49:42
07/07/01 06:49:14
補足
*の意味は
∀a,b∈F a * b = b * a ∈F
50:１３２人目の素数さん
07/07/01 07:07:55
だから「数」って何。
51:42
07/07/01 07:13:41
すいません、補足です
-の意味は、
∀a∈F a-a=0∈F
です。
52:42
07/07/01 07:18:03
>>50
「数」とは、0∈F を持つ集合です。
53:42
07/07/01 08:16:42
0を含む、ある数の集合Fにおいて
記号 "-" を ∀a a-a=0 と定義し
記号 "*" を ∀a a * e = e * a = a と定義する
e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
その条件の元に、
ｊ∈F j * j= -i となる
集合Fを求めよ
54:１３２人目の素数さん
07/07/01 08:29:09
次の方どうぞ
55:１３２人目の素数さん
07/07/01 08:46:56
>>52
数とは集合なのか。
では「数の集合」とは何であるか。
また、「集合」とは何であるか。
56:42
07/07/01 09:20:28
コント>>55さん
とりあえず、2x2の行列かなんかで考えてください
57:１３２人目の素数さん
07/07/01 10:18:23
日本語がおかしいし、記号の意味も分からん。
もう >>42 は書かなくていいよ。引っ込んで。
58:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/01 11:05:41
>>40
御名答。
関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=1,f(1)=0を満たすものとする。また、関数g(x)は、0≦g(x)≦1を満たす連続関数とする。このとき次の不等式が成り立つことを示せ(下記不等式中にある積分は全て積分区間[0,1]の定積分とする)。
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx
※f(x)の微分可能性は保証されていません
59:１３２人目の素数さん
07/07/01 12:21:00
増田さん、難しすぎです
max_{0\leq x\leq 1}(f(x)+x)=Mとすれば
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx \leq M
一方、\int_0^1 (f(x)+x)dx\geq 1+\frac12(M-1)だから
∫f(x)dx \geq\frac12M
60:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/01 13:15:49
>>59
あっ…やっぱやりすぎました？一応高校の知識だけで解けるよーにはしたつもりでしたが、一般化しすぎましたかね
61:１３２人目の素数さん
07/07/01 13:31:34
うーん、でも面白いし良問ではある
わかってしまえばあっさりだから、難しかったころの京大って感じか
東大なら後期用でしょう
62:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/01 16:50:15
nは自然数とする。数列{a[n]}は以下の条件を満たす。
a[1]=1, a[2]=5
|a[n+2]-a[n]|=1/2^(n-1)
lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
このとき、数列{a[n]}の一般項を求めよ。
63:１３２人目の素数さん
07/07/01 17:18:22
a[2]=3
じゃなくて？
64:１３２人目の素数さん
07/07/01 17:26:12
え
65:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/01 17:38:29
ああ、申し訳ないです。
a[2]=3ですな
66:１３２人目の素数さん
07/07/01 19:16:14
益田さんて、大学受験板のどのスレで問題出してるんですか？
67:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/01 19:37:00
>>66
整数問題のスレに問題出してました。でも先月2ch管理側がスレを整理したのか、整数問題スレもろともあぼーんされてしまったのです。なにゆえ削除したのかいまだに謎ですが
68:１３２人目の素数さん
07/07/01 19:43:44
>>67
情報ありがとうございました。
69:１３２人目の素数さん
07/07/02 00:44:01
>>62
三角不等式からa[2k-1]<7/3<a[2k]ってなるから
a[2k-1]→7/3 かつa[2k]→7/3 (k→∞)
じゃなきゃ困るわけで、このことから、奇数の場合は大きく偶数の場合は小さく、を目指した数列が答え。
｢a[2]＝√2の場合は題意を満たす数列は存在するか｣
みたいな問題はどうでしょうかMASUDAさん
70:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/02 01:00:36
>>69
おぉ、さらにひねりますか(笑)
実はこれ、予備校の直前講習で出したのですが、lim(a[n+1]-a[n])=0から勝手にa[n]が収束するとしてしまう生徒が続出し、答えは合っていても論証で大減点をくらい、平均点がかなり低かった問題です。
確かに>>69氏のおっしゃるようにさらにひねればかなり良問になるのですが、受験生レベルには酷かもしれません。でも発想は面白いですな。
71:42
07/07/02 06:01:30
0を含む、ある数の集合Fにおいて
演算子 "-" を ∀a∈F a-a=0 と定義し
演算子 "*" を ∀a∈F a * e = e * a = a と定義する
ここで e∈F は e*e=e を満足する
そして
e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
その条件の元に、
ｊ∈F j * j= -i となる
集合Fを求めよ
72:71
07/07/02 06:10:20
0を含む、ある数の集合Fにおいて
演算子 "-" を ∀a,b∈F a-b∈F 且つ ∀a∈F a-a=0 と定義し
演算子 "*" を ∀a,b∈F a*b∈F 且つ ∀a∈F a * e = e * a = a と定義する
ここで e∈F は e*e=e を満足する
そして
e∈F は、 -e * -e =e という等式が成り立ち、且つ
i∈F は、 i * i = -e という等式が成り立つ
その条件の元に、
ｊ∈F j * j= -i となる
集合Fを求めよ
73:１３２人目の素数さん
07/07/02 06:17:41
>>71-72
いい加減うざいよ。
74:71
07/07/02 06:27:13
>>73先生
答えを教えてください
75:71
07/07/02 06:29:29
集合Fはnxnの実数の行列の部分集合とした時の
問題７２の答えを教えてください
76:71
07/07/02 06:33:27
東大入試問題としては易しすぎたでしょうか
77:１３２人目の素数さん
07/07/02 07:06:27
何を勘違いしてるのかしらんが、東大入試云々の前にその問題文は受験生には読めん。出直してこい。
78:１３２人目の素数さん
07/07/02 07:32:46
定義がおかしいし、何やってんの？
79:１３２人目の素数さん
07/07/02 07:32:57
>>76
ここは貴様のオナニースレではないぞ！
うせろ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
80:１３２人目の素数さん
07/07/02 09:03:02
71は東大の問題どころか、三流大学の問題すら作れなさそうだな
そもそも高校数学で習わない記号出してるし。
大学入試には高校で習ったことしか書いちゃいけないんだよ～。あんたは高校いってないからわからんかもしれんが。
81:１３２人目の素数さん
07/07/02 09:15:15
>>42=71
お前、提唱者 ◆3j.9eex9S6 だろ？
*提唱者 ◆3j.9eex9S6を知らない方へ
【定理？】負×負＝正【定義？】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
で暴れている基地外
82:１３２人目の素数さん
07/07/02 11:47:09
答えを求めよと言う前に問題文が間違いだらけだな
83:１３２人目の素数さん
07/07/02 12:49:11
反応してもらえるのが嬉しいタイプみたいだから、そろそろスルーすれば？
84:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/02 13:27:01
実数a[1],a[2],…,a[n],b[1],b[2],…,b[n]が以下の等式を満たす(nは自然数、p,qは正の実数)。
Σ[k=1,n]a[k] = 0
Σ[k=1,n]b[k] = 0
Σ[k=1,n]|a[k]| = p
Σ[k=1,n]|b[k]| = q
このとき、Σ[k=1,n]a[k]b[k]のとりうる値の範囲をp,qを用いて表せ。
なんか東工大チックになってしまったであるな…
85:１３２人目の素数さん
07/07/02 13:28:54
お茶の水女子大チックだな。
86:１３２人目の素数さん
07/07/02 13:56:39
>>84
これは類題を解いてないとまず無理じゃないかね
誘導つけないと、答えあってるだけで（論証無しで）
かなりの部分点をあげる羽目になりそう
87:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/02 14:22:05
>>85
そーゆー見方もありますな。
>>86
案外実験したら方針があっさり立たなくもないのです。実際、過去に2題、東大で類題がでてます(絶対値はありませんでしたが)。
88:１３２人目の素数さん
07/07/02 14:31:51
そうか、過去問やっときゃなんとかなるのか
89:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/02 14:47:24
だい～ぶ古い過去問ですよ。受験生はまず手に入らないかと。
90:１３２人目の素数さん
07/07/02 14:52:12
慶応にも類題なかった？
91:71
07/07/02 19:42:57
>>80
0を含む、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
・そして、Fのある元jについて次の等式が成り立つ j * j= -i
集合Fを求めよ。
92:１３２人目の素数さん
07/07/02 19:57:29
一般にabcdを非負整数とすると
0≦a*b+c*d≦e*f (e=a+c f=b+d)
を足ががりに
-ｐ*q≦a1*b1+a2*b2+・・・+an*bn≦p*q (c=a1+・・・an d=b1+・・・+bn)
という流れでいいのですかな？
93:１３２人目の素数さん
07/07/02 20:06:41
∀を抜けばいいってもんじゃないし
いい加減自分で間違いに気付けよ！
94:１３２人目の素数さん
07/07/02 20:14:02
ぬるーしろよ
95:１３２人目の素数さん
07/07/02 20:24:12
*(char *)0 = '\0';
96:71
07/07/02 20:31:36
>>93 ごめんなさい(;´Д`)
0を含む、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
/* ・そして、Fのある元jについて次の等式が成り立つ j * j= -i */
集合Fを求めよ。
97:１３２人目の素数さん
07/07/02 20:32:11
だが、cot、÷！
98:71
07/07/02 22:02:04
jについての記載をコメントアウトしました。
問題として適当でしょうか、添削お願い致します。
99:１３２人目の素数さん
07/07/02 22:22:22
>>84は>>92でいいんだよな
100:１３２人目の素数さん
07/07/02 22:30:27
へ？
101:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/02 22:41:53
>>92
いや、その方針は間違いになってしまいます(実際に>>92氏が予測されている答えは不正解なのです)
102:71
07/07/03 06:38:56
あれ おれ スルー されてる？
ごめんなさい
103:71
07/07/03 06:45:29
コメントアウトがいけなかったでしょうか
2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
104:１３２人目の素数さん
07/07/03 06:49:32
うざいから忠告はこれで最後にするが・・・
これ以上書き込んでももう誰もお前相手にしない。しばらく休め。
105:71
07/07/03 06:50:30
わかりました
106:１３２人目の素数さん
07/07/03 07:42:24
カワイソス
107:１３２人目の素数さん
07/07/03 11:51:01
>>84
とりあえず、
n=2 のときは２つの正方形上の点で内積が最大と最小になるペアで
n=３ のときは２つの正８面体上の点で内積が最大と最小になるペアになった。
min =-pq , max=pq 間違っているのかな？
108:益田
07/07/03 12:11:47
>>107
この問題、内積では解けないようになってるんですよ。内積だけでいくとΣ[k=0,n]a[k]=0が無視されてしまうゆえ。
109:１３２人目の素数さん
07/07/03 12:51:49
>>108
ｎ＝２
|a|+|b|=p p,qは正
|x|+|y|=q
a+b=x+y=0
L=ax+by
直線ｙ＝-xと正方形|x|+|y|=p ,q の交点(-p/2, p/2) (p/2, -p/2) (-q/2, q/2) (q/2, -q/2)
の４点で内積を計算すると MaxL=pq/2 MinL=-pq/2
ｎ＝３
|a|+|b|+|c|=p
|x|+|y|+|z|=q
a+b+c=x+y+z=0
L=ax+by+cz
平面x+y+z=0と正八面体|x|+|y|+|z|=p,q の交線を考えて、、、ってやると確かに大変ですね。
110:１３２人目の素数さん
07/07/03 13:00:00
［－ｐｑ／２，ｐｑ／２］。
111:１３２人目の素数さん
07/07/03 16:37:36
>110
証明どうやんの？
112:１３２人目の素数さん
07/07/03 21:20:47
>>84
Σ[k=1,n]a[k] = 0とΣ[k=1,n]|a[k]| = pから、正のa[k]の和=p/2、負のa[k]の和=-p/2。
b[k]の方についても同様（ただしp/2はq/2とする）。
積和Σ[k=1,n]a[k]b[k]に最大を与えるa[k]、b[k]をとる。
番号を取り直して、aは単調増加a[1]≦a[2]≦・・・≦a[n]としてよい。
今b[1]とb[2]を取替えたものは最初の積和より大きくはないので、a[1]b[1]+a[2]b[2]≧a[1]b[2]+a[2]b[1] である。
これから (a[1]-a[2])(b[1]-b[2])≧0 である。 a[1]≦a[2]だったからb[1]≦b[2]である。
これを b[2]とb[3]、b[3]とb[4]、と順にくりかえせば、 b[1]≦b[2]≦・・・≦b[n]であることが分かる。
今、a[m]＜0、b[m]＞0 となる組があるとすれば、そのうちの一番小さいｍにたいし、b[m]の値を
ｂ[n]に足しこんで、b[m]=0としたものと、についての積和をとれば、最初に最大としたものよりも大きくなる。
よって、最大になっている積和では、正の項同士の積、負の項同士の積の和になっている。
最後に、 任意の正の数r_1、r_2、s_1、s_2について、(r_1)(s_1)+(r_2)(s_2)＜(r_1+r_2)(s_1+s_2)である。
任意の４つの負の数についても同様。従って、a[k]、b[k] (ただし2≦k≦n-1) に0でない項があるとするならば、
a[n}=p/2、a[1]=-p/2、b[n]=q/2、b[1]=-q/2と
途中の項の値を正負に応じて両端に纏めたものが最初の積和より大きくなる。。
よって取りうる最大はpq/2。取り得る最大を与えるa[k]の符号を逆転させれば、取りうる最小を与える。つまり-pq/2
メチャクチャ省略、言葉足らずですが、こんな感じでしょうか
113:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/03 22:17:51
>>112
御名答。この掲示板に書く証明としてはそれで十分かと。
114:１３２人目の素数さん
07/07/03 23:00:07
ａ（ｋ），ｂ（ｋ）が正正の和について
０≦Σ（ａ（ｋ）ｂ（ｋ））≦Σ（ａ（ｋ））Σ（ｂ（ｋ））≦ｐｑ／４。
正負，負正，負負についても同様なので
－ｐｑ／２≦Σ（ａ（ｋ）ｂ（ｋ））≦ｐｑ／２。
（ｐ／２）（ｑｒ／２）＋（－ｐ（１－ｒ）／２）（ｑ（１－ｒ）／２）＋（－ｐｒ／２）（－ｑ／２）
＝（ｐｑ／４）（２ｒ－（１－ｒ）＾２）
なので［－ｐｑ／２，ｐｑ／２］の値は全てとりうる。
115:１３２人目の素数さん
07/07/04 00:36:17
うまく問題が作れないので、素材投下。
三方向の辺の長さが全て異なる、同じ大きさの直方体C1,C2,C3がある。
C1とC2、C2とC3を、同じ長さの辺どうしが重なるようにくっつけて、
C1は固定してC2とC3を、接している辺を中心として回転させる。
…問題になってないんだがorz
要は関節のようにクネクネと動くC2とC3の軌跡なんかを題材に、
何か問題が作れないかなと。
116:１３２人目の素数さん
07/07/04 00:51:32
>>115
こんな問題はどうだ？
三方向の辺の長さが全て異なる、同じ大きさの直方体C1,C2,C3がある。
C1とC2、C2とC3を、同じ長さの辺どうしが重なるようにくっつけて、
C1は固定してC2とC3を、接している辺を中心として回転させる。
それはさておき、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
117:１３２人目の素数さん
07/07/04 01:20:48
>>115
例えばC1のある頂点とC3のある頂点の距離の取り得る値の範囲とか。
東大入試というよりパズルっぽい問題だが。
118:１３２人目の素数さん
07/07/04 01:26:10
>>116
ちょｗｗｗおまｗｗｗｗｗｗ
119:１３２人目の素数さん
07/07/04 01:30:39
低床車って釣り氏だったのか
120:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/04 01:37:01
>>115
立体の軌跡となるとC3が複雑すぎてかなり厳しいかと。立体同士がぶつかることもあって制限もかかりますし。
↓こんなんどうでしょうか？計算してないのでどうなるか分かりませんが。
3つの合同な直方体T[1],T[2],T[3]があり、直方体T[k]を
A[k]B[k]C[k]D[k]-E[k]F[k]G[k]H[k]
となるように各頂点を定める(k=1,2,3)。各辺の長さは
AB=CD=EF=GH=p
BC=AD=FG=EH=q
AE=BF=CG=DH=r
とする。座標空間において、点A[1],B[1],D[1],E[1]のそれぞれの座標が(0,0,0),(p,0,0),(0,q,0),(0,0,r)であり、辺C[1]D[1]とC[2]D[2]、F[2]G[2]とF[3]G[3]が一致しているとき、線分A[1]E[3]の長さの最大値を求めよ。
私の文章力ではこの程度が限界です。図がないと訳が分かりません
121:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/04 01:54:20
n,m,aは自然数とする。任意のn,mについて実数xが n/m と {an+(a^2+1)m}/(n+am) の間にあるとき、xをaで表せ。
122:１３２人目の素数さん
07/07/04 02:22:00
n/m=tとおくと、tは正の有理数
t>0において
f(t)=tは狭義単調増加
g(t)=(at+a^2+1)/(t+a)は狭義単調減少
よってf(t)=g(t)=xとなるxを求めれば良い
123:１３２人目の素数さん
07/07/04 03:45:06
>>122
なるほど～
感心した。
124:１３２人目の素数さん
07/07/04 06:33:00
「間にある」という日本語はやはり魔力を持ってるな
125:１３２人目の素数さん
07/07/04 06:41:35
類題投下
どのような正の数ｘ、ｙに対しても
不等式(x+y)^4≦c^3(x^4+y^4)
が成り立つようなcの範囲を求めよ
126:１３２人目の素数さん
07/07/04 08:47:37
>>125
類題って簡単にしすぎだろｗ必要条件から解ける
127:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/04 11:07:02
>>122
御名答。早いですな。
kは自然数とする。多項式x^(3n) + x^n (n=1,2,…)を x^k + 1 で割った余りをR[n](x)とする。
(1) R[n+2k](x) = R[n](x)を示せ。
(2) R[n](x),R[n+1](x),…,R[n+2k-1](x)が全て異なることとkが奇数であることは互いに必要十分であることを示せ。
128:１３２人目の素数さん
07/07/04 16:20:49
f_n=x^(3n) + x^n (n=0,1,2,...)とおき、≡はmod. x^k+1とする
f_{n+k}=x^(3n+3k)+x^(n+k)≡-x^(3n)-x^n=-f_n
よって、f_{n+2k}≡-f_{n+k}≡f_nで、(1)がでる
(2)(1)より、R[n](x),R[n+1](x),…,R[n+2k-1](x)が全て異なる
⇔R[0](x),R[2](x),…,R[2k-1](x)が全て異なる
kが偶数のとき、k=2sとおけば0<s<3s<2kであり、
f_s=x^(3s)+x^s=x^s(x^k+1)≡0,また、f_{3s}=f_{s+k}≡-f_s≡0
よって、R[s](x)=R[3s](x)となる
以下、kは奇数とする。≡でないことを!≡と書く
0≦s<k, 0<k<tに対し、f_{s+t}!≡±f_s、f_s!≡0であることをいえば良い
w=cos(π/k)+isin(π/k)とおけば、多項式fに対し
f(w)=0はf≡0のための必要条件であるから、f(w)≠0を言う事でf!≡0が言えることになる
f_s=x^s(x^(2s)+1)であり、kが奇数であることと0≦s<kより、
f_s(w)≠0であり、f_s!≡0
f_{s+t}-f_s=x^s(x^t-1){x^(2s)(x^(2t)+x^t+1)+1}
|x|=1かつx^(2s)(x^(2t)+x^t+1)+1=0とすると、
|x^(2t)+x^t+1|=1これより、x^t=-1,±iとなるが、
kが奇数であることと0<t<kより、x=wがこれを満たすことはない。
w^s(w^t-1)≠0は明らかで、f_{s+t}!≡f_s
f_{s+t}+f_s=x^s(x^t+1){x^(2s)(x^(2t)-x^t+1)+1}
|x|=1かつx^(2s)(x^(2t)-x^t+1)+1=0とすると、
|x^(2t)-x^t+1|=1これより、x^t=1,±iとなるから、
以下同様にf_{s+t}!≡-f_s
面倒だな、誰かもっと楽にやってくれ
129:１３２人目の素数さん
07/07/04 23:57:53
kを奇数とし、w=cos(π/k)+isin(π/k)とおくと、
w^k+1=0,また(-1)^k+1=0だから、f_n(w)=R[n](w), f_n(-1)=R[n](-1)
f_n(w)=2cos(πn/k){cos(2πn/k)+isin(2πn/k)}
で,|f_n(w)|=2|cos(πn/k)|
よって、0≦n<2kにおいて絶対値が等しくなる組は、
n=0,kの組と、0<t<k/2によってn=t,k-t,k+t,2k-tで与えられる組である。
f_n(-1)=2・(-1)^nだからnが偶数か奇数かでf_n(-1)の値が異なる
また、0<t<k/2のときは、n=t,k-tに対しては、0<argf_n(w)<π
n=2k-t,k+tに対しては、π<argf_n(w)<2πとなるから
結局0≦n<2kに対し、f_n(w)かf_n(-1)の少なくとも一方は異なる値を取り、
R[0](x),R[1](x),…,R[2k-1](x)は全て異なると言える
130:１３２人目の素数さん
07/07/05 00:31:10
f_n(w)=cos(3πn/k)+cos(πn/k)+i{sin(3πn/k)+sin(πn/k)}
x=cos3θ+cosθ, y=sin3θ+sinθは外トロコイドで、
0≦θ<2πにおいて、同じ点を通るのは
θ=π/2,3π/2; θ=π/4,3π/4; θ=5π/4,7π/4
のときに限るが、kが奇数だから、πn/kがこれらの
値を取ることはない。よってn=0,1,...,2k-1に対し
R[n](w)=f_n(w) はすべて異なる値を取り
R[0](x),R[1](x),…,R[2k-1](x)は全て異なると言える
これならキレイかな
131: ◆nQAc.NZenw
07/07/06 20:01:37
⊿[f(x)]=f(x)-f(x-1)
⊿n+1[f(x)]=⊿[⊿n[f(x)]]
とする。
(1)⊿n[f(x)]=C[n.0]*f(x)-C[n.1]*f(x-1)+…C[n.k]*(-1)^k*f(x-k)
…+C[n.n]*(-1)^n*f(x-n)
を示せ。
(2)⊿n[x^n]=n!
を示せ。
(3)a(k)={(-1)^(n-k)*k^n}/{k!*(n-k)!}
とするとき
Σ[k=0,n]a(k)
を求めよ。
なお必要ならドラえもんの身長が129.3cmであることを用いても良い。
132:１３２人目の素数さん
07/07/06 21:04:46
差分法の教科書丸写しみたいな問題だなｗ
133:１３２人目の素数さん
07/07/06 23:36:09
だめだw ⊿が
（ﾟ⊿ﾟ）ｲﾗﾈ
に見える
134:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/07 12:18:38
>>130
御名答というかなんとまぁ…そんな解答よく思いつきましたな。
135:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/07 12:26:34
a[1] = 1 , a[2] = 2
a[n+2] = pa[n+1] - 6a[n]
(n=1,2,3,…；pは定数)
で定められる数列{a[n]}に対して、数列{a[n+1]-a[n]}が等比数列になるとき、以下の問いに答えよ。
(1) pの値を求めよ。
(2) 数列{a[n+2]+qa[n+1]+ra[n]}が初項が0でない等比数列になるためのq,rの条件を求めよ。
136: ◆nQAc.NZenw
07/07/07 15:40:48
>>131 の（１）（２）をなくしたらどうでしょう。ちょっとはいい問題になりますかね。
137:１３２人目の素数さん
07/07/08 15:30:29
>136
いや、(1)(2)なくしたら東大っぽくなくなる
138:１３２人目の素数さん
07/07/09 00:08:33
<<135
a(n+1)-a(n)が等比数列
⇔a(n+2)-a(n+1)=L｛a(n+1)-a(n)}…①
変形して与えられた条件と比べるとL＝６、ｐ＝７を得る。(１）
よって①⇔a(n+2)=7a(n+1)-6a(n)…②
また①、a(1)=1,a(2)=2より、a(n+1)-a(n)=6^n-1(2-1)
=6^n-1
よってa(n+1)=a(n)+6^n-1…③
②、③より(２）の条件⇔a(n+2)+qa(n+1)+ra(n)=(q+7)｛a(n)+6^n-1｝+(r-6）a(n)
=(q+r+1)a(n)+(q+7)6^n-1…④
=k｛(q+r+1)a(n-1)+(q+7)6^n-2｝ （kは公比）
=……=k^n-1｛(q+r+1)a(1)+(q+7)6^0｝
=k^n-1(2q+r+8) …⑤
④⑤を比べてq+r=-1のときｋ=6で題意を満たす。(２）
不勉強で申し訳ありませんが、こういうのは有名or既出ですか？
「同じ三角形の外接円、内接円の半径をそれぞれR、ｒとするとき
R／ｒの最小値を求めよ。またそうなるときの三角形はどんな三角形か」
139:１３２人目の素数さん
07/07/09 00:14:18
>>138
既出も何も有名すぎて呆れた。一から勉強しなおして来い！
140:１３２人目の素数さん
07/07/09 00:18:43
>>138の前半
(1) p=5，7
(2)「p=5 かつ 2q+r+4≠0」または「p=7 かつ q+r+1=0 かつ q≠-7」
だと思われ。
>>138の後半
比較的有名だと思う。
141:１３２人目の素数さん
07/07/09 00:50:00
公比１。
142:１３２人目の素数さん
07/07/09 02:42:57
はい！ －から勉強しなおしてきます！
ガッコンとかやって、作り方研究してみます
143:１３２人目の素数さん
07/07/09 06:06:15
さいころを6回振った時、1が連続で出た回数の最大値を求めよ
6回は一般のn回にした方が難易度的にはいいのかもしれんが
144:１３２人目の素数さん
07/07/09 06:43:36
6回。
145:１３２人目の素数さん
07/07/09 07:51:30
6
146:１３２人目の素数さん
07/07/09 08:09:28
6
147:１３２人目の素数さん
07/07/09 08:46:17
じつは７とか意外な結果があなたを待っている。
148:１３２人目の素数さん
07/07/09 08:48:55
実は一の目がない。
149:１３２人目の素数さん
07/07/09 09:07:44
女に振られた回数なら誰にも負けない！
150:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/09 10:16:55
>>138
pの値が7だけというのは見事に仕掛けた罠にかかっておられます。漸化式では係数比較はできません。
>>140
御名答
151:143
07/07/09 10:31:33
1が連続で出た回数の最大値を求めよ
↓
1が連続で出た回数の最大値の期待値を求めよ
と書くの間違えたよ、ごめん。
もう少し正確に書くと「サイコロを6回振った時にn回目に出た目をa[n]とする時、
max{m: a[k]=a[k+1]=...=a[k+m-1]=1 0<k k+m<6}の期待値を求めよ」となるね
お詫びに答えを書く
xで2～6を表し、yで1～6を表すとすると
・最大で0回連続
xxxxxxと表されるケースしかない：5^6通り
・最大で1回連続
1xxxxx,1x1xxx,1x1x1xの様なケースがある：6*5^5+10*5^4+4*5^3=204*5^3通り
・最大で2回連続
11xxxx,11x1xx,11x1x1,11x11xの様なケースがある
合わせて5*5^4+12*5^3+3*5^2+3*5^2=191*5^2通り
・最大で3回連続
111xyy,x111xy,yx111x,yyx111の様なケースがある：132*5通り
・最大で4回連続
1111xy,x1111x,yx1111の様なケースがある：17*5通り
・最大で5回連続
11111x,x11111の様なケースがある：2*5通り
・最大で6回連続：1通り
よって期待値は(204*5^3+382*5^2+396*5+68*5+2*5^2+6)/(6^6)=18713/23328=0.802...回
あと一般にサイコロをN回振る場合に期待値をE_Nとおくと E_N/log_6(N)→1 (N→∞) となる
152:１３２人目の素数さん
07/07/09 10:50:25
>>141の場合が抜けてるのに正解なの？
153:１３２人目の素数さん
07/07/09 12:24:31
>>152
公比は２と６に限られる
154:１３２人目の素数さん
07/07/09 15:30:35
>>131 （３）の結果に惚れた。これって有名な定理かなんか？
155:１３２人目の素数さん
07/07/09 15:39:32
>>132
156:現役東大生
07/07/09 16:41:38
(2x^2+508x+446)/(2x^2+3x+1) が整数値になるような自然数xの値を全て求めよ。
157:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/09 17:13:57
>>154
名前は存じませんが、私が高校生のときの学コンに同じ定理を証明させる問題がありました。マスターオブ場合の数にも第４部に出題があったと記憶しております。そこそこ有名かと。
158:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/09 17:20:40
ちょっとソフトなやつで
常用対数log3=0.4771とする。整数を10進法で表す。3,3^2,3^3,3^4,…,3^67のうちで連続して3回同じ桁数になるのは何回おこるか。
159:１３２人目の素数さん
07/07/09 19:55:28
>>156
(2x^2+508x+446)/(2x^2+3x+1) が整数値になるような自然数xの値を全て求めよ。
(2x^2+508x+446)/(2x^2+3x+1)=1+5(77/(2x+1)+12/(x+1))
2x+1とx+1は互いに素だから、2x+1は5*7*11の約数、x+1は2^2*3*5の約数
(ここからの処理は工夫ができてない）
2x+1=5,7,11,35,55,77,385のときそれぞれx+1=3,4,6,18,28,39,193
で、x=2,3,5
>>158
これは面白い、気づけば簡単だけど本番で出したら意外に解けないかも
オススメの１題
160:１３２人目の素数さん
07/07/09 20:10:00
>>153
>>157
p=7.
q=-8.
r=12.
a(n+2)+qa(n+1)+ra(n)=4.
161:１３２人目の素数さん
07/07/09 21:07:06
>>160
たしかに6q+r+36=0のとき，
{a(n+2)+qa(n+1)+ra(n)}は定数になるね。
問題文で公比が1でないと書いた方がいいかも。
162:７１
07/07/09 22:15:22
2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
163:７１
07/07/09 22:18:17
>>156
解答作成時間に制限を設けると面白そうですね
３分以内とか
164:１３２人目の素数さん
07/07/09 22:19:10
提唱者ｷﾀー
165:１３２人目の素数さん
07/07/09 22:19:25
なんかｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━ !!
166:１３２人目の素数さん
07/07/09 22:26:33
入試って、いうことは、十代のガリ勉対象って ことかなっ ?
つまり、受験の「なぞなぞ」って、ことなんだっ。
うん。
暇つぶしには、もってこいだねっ !
けど、 こんなことに なんの価値があるのやら ?
きっと、自慢満足だよねっ !
うん !
167:167
07/07/09 22:30:30
1+6=7
168:１３２人目の素数さん
07/07/09 22:33:46
>>156
こら、マスターオブ整数の問題張るな
169:７１
07/07/09 22:36:04
ノートＰＣ持ち込み可 ネット禁止
という条件で
何ｍｓで解答を出せるかで点数を決めるのもいいかも>>156
170:１３２人目の素数さん
07/07/09 22:42:42
さいころを6回振った時、2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
171:１３２人目の素数さん
07/07/09 23:13:20
>>164-166の書き込みが、>>71はなんか「自分の人気が出た!」と誤解していると思われw
172:１３２人目の素数さん
07/07/09 23:32:33
>>170
ワロた・・
173:１３２人目の素数さん
07/07/09 23:53:18
>>131
ちょっと前に知り合いの塾講師から(3)単品の質問きたけど、流行ってるのか？
>>158
二回かけて桁があがるか三回かけて桁があがるかのどちらかで
常用対数とか使えば3^67の桁数がわかるから
あとは鶴亀算的な。
174:１３２人目の素数さん
07/07/10 00:40:39
流行りも何もStirling数そのものだろ・・・
175:１３２人目の素数さん
07/07/10 01:16:13
失せろ、蛆虫！
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>156
くく へﾍﾉ
176:１３２人目の素数さん
07/07/10 03:46:54
>>175
ん？
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>166
くく へﾍﾉ
177:１３２人目の素数さん
07/07/10 06:07:07
最近、屁の好きなやつが多いな。宇宙飛行士が向いてるぜ！
178:１３２人目の素数さん
07/07/10 12:43:32
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
＞そんな中、ＡＯ、推薦が「必ずしも優秀な学生の選抜につながっていない」とする分析結果がまとまり、
＞大学入試のあり方に新たな波紋を呼びそうだ。
＞また、倉元助教授が東北大歯学部の学生を９年間調べた追跡調査では、調査書より入試成績の方が、
＞入学後の成績との相関が高い傾向にあった。
やっぱり推薦入試は糞なんだね
179:１３２人目の素数さん
07/07/10 13:36:50
板違い
180:１３２人目の素数さん
07/07/10 14:47:44
f(x,n)=sin(x)+sin(2x)+・・・+sin(nx)
とする。
sin(π/180)の値を p とするとき、
f(π/90,360）
を p を用いて表わせ。
なお必要ならドラえもんの体重が129.3kgであることを用いても良い。
181:１３２人目の素数さん
07/07/10 15:08:12
f(x,n)={sin(n+1)x-sin(nx)-sinx}/(2cosx-2)に代入するだけ。
182:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/10 20:31:01
数列{a[n]}は任意の自然数nに対して
a[1] + a[2] + … + a[n] = 1/a[n]
を満たす。
(1)不等式
1/√(2n-1)≦a[n]≦1/√n
を示せ。
(2)lim[n→∞]a[n]√nを求めよ。
183:１３２人目の素数さん
07/07/10 20:51:24
>>182
何か間違ってない？
184:１３２人目の素数さん
07/07/10 21:27:05
だな。
185:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/10 22:43:25
いえ、間違いはありませんが
186:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/10 22:45:03
と思ったら一つ条件足りずでした、申し訳ない。
a[n]は全て正です
187:１３２人目の素数さん
07/07/11 05:03:39
>>182
(2)高校生に解けるのか？俺が気づかないだけかな
b[n]=a[n]√nとおく
g_n(x)=(√(n+1))(√(4x^2+n)-√n)/(2x) (x>0)とおけば、
b[n+1]=g_n(b[n])とかける
g_n'(x)=√ng_n(x)/(x√(4x^2+n))=2√(n^2+n)/((√(4x^2+n))(√(4x^2+n)+√n))
より、g_n(x)は単調増加で上に凸である
g_nの不動点はc_n=√(n+1-√(n^2+n))であり、
n+1-√(n^2+n)=1/(1+√(1-1/(n+1)))だから、
c_nは単調減少でc_n→1/√2 (n→∞)
さらに、c_n-c_{n+1}=(c_n^2-c_{n+1}^2)/(c_n+c_{n+1})
=(1/√2)(c_n^2-c_{n+1}^2)
=(1/√2)(n(√(1+1/n))(√(1+2/n)-1)-1)
<(1/√2)(n(1+1/(2n))(1+1/n-1/(2n^2)+1/(2n^3)-1)-1)
=(1/(2√2))(1/n^2+1/(2n^3))<1/n^2
また、g_n'(c_n)=√n/√(4c_n^2+n)<√n/√(n+2)
帰納法により0<b[n]-c_n<8/√nを示す
n=1のときはOk。nのとき正しいとする
x>c_nで、c_n=g(c_n)<g_n(x)であるから、0<b[n+1]-c_{n+1}はOk
b[n+1]-c_n=g_n(b[n])-g_n(c_n)<g_n'(c_n)(b[n]-c_n)<8/√(n+2)
∴b[n+1]-c_{n+1}=b[n+1]-c_n+c_n-c_{n+1}<8/√(n+2)+1/n^2
ここで、1/√(n+1)-1/√(n+2)=1/(√(n+1)√(n+2)(√(n+1)+√(n+2)))
≧1/(√(2n)√(3n)(√(2n)+√(3n)))>1/(8n^(3/2))≧1/(8n^2)
だから、b[n+1]-c_{n+1}<8/√(n+1)も出た
よってb[n]=(b[n]-c_n)+c_n→1/√2 (n→∞)
188:１３２人目の素数さん
07/07/11 05:11:02
さらに、c_n-c_{n+1}=(c_n^2-c_{n+1}^2)/(c_n+c_{n+1})
＜(1/√2)(c_n^2-c_{n+1}^2)
だな
長いから他にもミスってるかも
っていうか誰か模範解答plz
189:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/11 08:04:52
>>187
いきなり(2)から解くからですよ。(1)から解けば高校生でも解けます
190:１３２人目の素数さん
07/07/11 09:10:56
こう？
>>182 (2)
与条件から
a[k+1] - (1/a[k+1]) = 1/a[k]
両辺自乗して適当に移項
(1/a[k+1]^2) - (1/a[k]^2) = 2 - a[k+1]^2
k=1～n-1 まで和を取って、a[1]=1 を使う
1/a[n]^2 = 2n - (a[1]^2 + a[2]^2 + … + a[n]^2)
1/a[n]^2 ＜ 2n は明らか、また (1) の結果から a[k]^2 ≦ 1/k なので
2n - ((1/1) + (1/2) + … + (1/n)) ≦ 1/a[n]^2 ＜ 2n
(1/1) + (1/2) + … + (1/n) ≦ log(n) + 1
から、結局
1/√(2n) ＜ a[n] ≦ 1/√(2n - log(n) - 1)
∴ lim[n→∞] a[n]√n = 1/√2
191:187
07/07/11 14:52:01
恥ずかしいｗ
今回は完敗ですww
192:１３２人目の素数さん
07/07/12 06:55:12
あれから頑張って
1/(n-(1/4)log(n)-1/2)≦2(a[n])^2≦(n+(1/4)log(n)+1)/n^2
と評価できました、しんどい
193:71
07/07/12 15:26:46
2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。
・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。
・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
・任意のFの元aについて a*e = e*a であり、これはFに属する。
・e*e=e
・-e * -e =e という等式が成り立つ。
・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e
元、e,iを求めよ。
194:１３２人目の素数さん
07/07/12 19:35:49
ぜんぜん条件が足らん、ボケカス。てゆうか自分で解いてから出してんのか？
195:１３２人目の素数さん
07/07/12 19:47:32
基地外にかまうなよ
196:１３２人目の素数さん
07/07/12 22:18:22
>>193
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
197:１３２人目の素数さん
07/07/12 22:47:43
数Ⅰの範囲だけ使ったガチで難しい問題があったら欲しい。
198:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/12 22:49:36
kを整数とする。自然数nについて、R[n,k]を以下のように定める。
R[1,1] = 1
R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n,k]
R[n,k] = 0 (k＜1,n＜k)
rを自然数、C[r,k]を二項係数として、
Σ[k=1,n]C[r,k]R[n,k]k! = r^n
が成り立つことを示せ。ただし、k＞rのときはC[r,k]=0とせよ。
199:１３２人目の素数さん
07/07/12 22:59:37
つまらん
200:１３２人目の素数さん
07/07/12 22:59:52
R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n-1,k]
じゃないの？
201:１３２人目の素数さん
07/07/12 23:06:04
k＜1？
202:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/12 23:24:19
>>200
あっ、申し訳ないです。その通りです。
R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n,k]
>>201
そこは間違ってませんよ。
203:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/12 23:25:39
R[n,k] = R[n-1,k-1] + kR[n-1,k]
に訂正で
204:１３２人目の素数さん
07/07/12 23:30:31
>>201
すまない。東大数理科学研究科の試験日って
8/27, 28, 30, 31 の4日間もあるのか？
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
205:１３２人目の素数さん
07/07/12 23:39:51
>>202
すまない。見間違えた
206:１３２人目の素数さん
07/07/13 00:38:26
>>198
R[n,k]は以下の条件を満たす数字の並べ方の個数であることをまず示す
・1～kの数字を全て用いてn個並べる。このとき各数字について先頭にあるものをピックアップすると
うまいこと小さい順に並んでいる。
これはn-1個並べた段階でまだk-1までしか出てなければ最後はkを置くしかなく
既にkまで出ていれば最後は1～kのk種類のどれでもよい、という性質から漸化式が導かれ
初期条件などの細かい部分もだいじょうぶ
従ってR[n,k]×k!は「k種類のものを全て用いてn個並べる並べ方の数」となる
C[r,k]はr種類の中からk種類選ぶ方法なので
Σ[k=1,n] C[r,k]R[n,k]k!は「r種類のものから適当に選んでn個並べる並べ方の数」になる。
これは場合の数の頻出問題でr^nとなることは自明
ちなみに>>131の(3)も同様に場合の数と対応させて(ドモルガンの法則を使うと)示せる。
207:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/13 07:22:25
>>206
御名答
任意の実数xについて、適当な整数n,mおよび適当な実数aを選んで、
4m≦a+x≦4m+bかつ10n≦3a+x≦10n+b
を満たすようにできるときの、定数bの取りうる値の範囲を求めよ。
208:１３２人目の素数さん
07/07/13 09:13:00
[1/2
209:１３２人目の素数さん
07/07/13 20:54:02
210:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/14 03:30:17
C[n,r]は二項係数である。
(1) n≧2とする。『nが素数ならば、1≦r≦n-1を満たす任意のC[n,r]はnで割り切れる。』は真であるといえるか。
(2) nを3以上の奇数とする。『1≦r≦(n-1)/2を満たす任意のC[n-r,r]がn-rで割り切れることとnが素数であることは互いに必要かつ十分』は真であるといえるか。
211:１３２人目の素数さん
07/07/14 03:36:35
真
偽
212:１３２人目の素数さん
07/07/14 03:38:08
前も思ったけど、「互いに必要かつ十分」って言い回しは違和感がある。
高校数学じゃ「同値」って言葉はやらないんだっけ？
しょうもないこと突っ込んでごめん。
213:MATSUDA◇Seiko
07/07/14 03:43:39
数列{a[n]}は2以上の自然数nに対して
a[1] + … + a[n-1] + (1/2)a[n] = 1/a[n],
a[1] = √2.
を満たす。
(1)不等式
1/√(2n-1) ≦ a[n] ≦ 1/√(2n-2),
を示せ。
(2) a[n] を求めよ。
214:１３２人目の素数さん
07/07/14 03:50:18
>211
俺、(2)の反例がまだ見つからんのだけど、見つけたの？
215:１３２人目の素数さん
07/07/14 04:10:26
>>213
おー、182をちょっと変えたのか、おもしろい
あれがなかったら解けなかったかも
216:１３２人目の素数さん
07/07/14 04:13:20
>>210
(1)有名問題。もちろん真
(2)たぶん真？n=53まで調べたけど反例見つからない…
217:１３２人目の素数さん
07/07/14 05:12:27
（２）も真だね
218:１３２人目の素数さん
07/07/14 12:16:10
n が素数のとき、n-r と r は互いに素。
C[n-r,r]=(n-r) C[n-r-1,r-1]/r なので、C[n-r-1,r-1]/r は整数となり、
(n-r) | C[n-r,r].
n が素数でないとき、p を n の最小の素因数とする。
n は奇数なので、p<n/2.
C[n-p,p] は n-p で割り切れない。
219:Zzz…
07/07/14 13:45:30
nとrが互いに素ならC[n,r]はnで割り切れる。
なぜなら
C[n,r] ＝ n!/r!(n-r)!
とするとnのある素因数pを取ってきて
[n/p] = [n/p]+[n-r/p]
とできないため(n!にpの倍数は[n/p]個含まれるはず)。
ところで、nが素数ならばn-rとrは互いに素であるはず。
したがってn-rでC[n-r, r]を割り切れる。
やったぜ一番！！
220:Zzz…
07/07/14 13:48:32
我DE無…念
221:Zzz…
07/07/14 13:58:25
訂正です。
[n/p] = [r/p]+[n-r/p]
nにpは[n/p]個
rにpは[r/p]個
n-rにpは[n-r/p]個
含まれる。
nの素因数pすべてについて
[n/p] > [r/p]+[n-r/p]
でないといけない。
ということです。
222:Zzz…
07/07/14 14:04:11
補足です（涙）
n!=1, 2, … , n
なのでこの列にnの因数pは[n/p]個現れるという意味です。
意味不明ですみません
（寝たきり浪人なので大目に見てやってください）。
223:Zzz…
07/07/14 15:54:30
ちなみにnが素数のときはr!の因数とならないのでもっと機械的に割り切れることがいえますね。
こんなとこで油を売らす勉強します。デワ
224:Zzz…
07/07/14 15:58:34
上はC[n,r]が素数nで割り切れる件の話です。
あぁぁ、こんな具合なので俺はだめな奴だ…
誰も俺の言うこと理解してくれん。
225:Zzz…
07/07/14 16:05:54
はうす間抜けん、なアタシですが
1/a + 1/b + 1/c = 3/7
を満たす整数解(a, b, c)の組について
(1) このような解の組は有限か？
(2) 上が正しいなら総数はいくつ？
私は、
(1)については不正確ながら証明しました（まだまとめてません）。
(2)はまだできていません。
226:１３２人目の素数さん
07/07/14 16:35:28
a,b,c＞0の時は明らかに有限個。
次にa≧b＞0、c＜0の時を考える。
この場合は、b≧5と仮定して矛盾を導く。
明らかに1/a,1/b≦1/5、1/c＜0が成立する。
このため、3/7=1/a+1/b+1/c＜2/5となって矛盾。
したがって、b=1,2,3,4のどれか。
b=1の時を考える。
1/a + 1/c = -4/7
c=-7a/(7+4a)より、0＞c＞-7/4 となり、c=-1が成立する。
って考えたけど面倒そうだな。
227:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/15 20:59:05
pは3以上の整数とする。xについての実数係数の二次方程式f(x)について、f(0),f(1),f(2),…,f(q-1),f(q)は全てp^m(mは自然数)の形で表すことができる。このとき、整数qの最大値を求めよ。
228:１３２人目の素数さん
07/07/15 21:59:12
二次方程式？
229:１３２人目の素数さん
07/07/15 22:00:33
>>227
qに応じてある2次式が存在して、ってことですか？
230:１３２人目の素数さん
07/07/15 23:00:00
ｐ＝３。
ｆ（ｘ）＝３＾ｎ（１＋２（ｘ－２）＾２）。
231:１３２人目の素数さん
07/07/16 00:12:14
>>70
a[n]=(7/3)-(4/3)(-1/2)^(n-1)
正確な論証を教えてください
232:１３２人目の素数さん
07/07/16 00:24:23
pも動かすのがデフォ？
g(x)を２次多項式として、g(0)=a, g(1)=b, g(2)=cとおけば、
g(x)=a+(b-a)x+((a+c-2b)/2)x(x-1)である。
a,b,cはすべてp^m(p≧3, mは自然数)の形で、a<b<cとする
g(3)=a-3b+3c<3c≦pc
一方、c≧pb≧3bであるから、g(3)=a-3b+3c≧a-c+3c=c+(a+c)>c
よってg(3)はpの正のべきではあり得ない
また、g(-1)=3a-3b+c≧3a>a=g(0)
左右の反転と平行移動を考えれば,f(x)についてqは高々4（個数で５個）
p≧4のとき、g(x)=((a+c-2b)/2)x^2-((3a+c-4b)/2)x+aと書きなおして軸を考える
a+c-2b≧a+pb-2b>0, 3a+c-4b≧3a+pb-4b≧3a+4b-4b=3a>0
であるから、軸は0と1の間にくる
仮に、g(-2),g(-1)もpの正のべきであれば左右を反転した議論から
軸の位置は-1と0の間にくるはずで矛盾、よってqは高々3
f(x)=(p(p-1)/2)(x-3/2)^2-p(p-9)/8
とすればq=3となってqの最大値は3
p=3のときは、>>230のfをとればqの最大値は4
233:１３２人目の素数さん
07/07/16 00:29:41
＞xについての実数係数の二次方程式f(x)について
予備校でこんなこと書いたらクビにならないのか？
234:１３２人目の素数さん
07/07/16 00:35:46
うっかりは問題無いでしょ
特にこのレベルを担当してるなら
235:１３２人目の素数さん
07/07/16 00:41:53
でも某大学の入試で用語のミスがあってその問題は全員が正解とされた。
236:１３２人目の素数さん
07/07/16 00:45:42
本番でミスは笑えるな
237:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/16 03:22:05
pも動かしますよ。つまりはpで場合分け。
>>232
御名答
>>233
現場では少々言葉変でも出題検討会議の際に他の先生が手直ししてくれるので問題ないんですよ。
238:１３２人目の素数さん
07/07/16 03:40:46
ｐも動かすなら最大値は４
239:１３２人目の素数さん
07/07/16 03:50:42
>>238
俺もそのつもりで書いたんだけどね
240:１３２人目の素数さん
07/07/16 03:58:16
>>237
>>231
241:１３２人目の素数さん
07/07/16 21:44:37
>>240
>>69
242:１３２人目の素数さん
07/07/16 22:52:29
>>241
与えられた条件は
a[1]=1, a[2]=3
|a[n+2]-a[n]|=1/2^(n-1)
lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
の3個。MASUDA先生のおっしゃるとおり，第3の条件 lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0
だけで，lim[n→∞]a[n]が収束するかどうかについては分からない。
最初の2条件から得られることはすべての自然数kに対して，
-(1/3)+(4/3)(1/4)^k≦a[2k+1]≦(7/3)-(4/3)(1/4)^k
(7/3)+(2/3)(1/4)^k≦a[2k]≦(11/3)-(2/3)(1/4)^k
が成り立つということだけ。この2個の不等式から
2(1/4)^k≦a[2k]-a[2k+1]≦4-2(1/4)^k
が得られるけど，そこから，lim[k→∞]a[2k]=7/3，lim[k→∞]a[2k+1]=7/3
になることは導けませんでした。
>>70の人のようにlim[n→∞]a[n]が収束するという前提条件を使えば，
問題文に与えられた第3の条件 lim[n→∞](a[n+1]-a[n])=0 から，
lim[k→∞]a[2k]=7/3，lim[k→∞](2k+1)=7/3 になる必要があるということは
理解できます。そこから，a[n]=(7/3)-(4/3)(-1/2)^(n-1) が導け，
これが題意を満たす解になりうることは理解できます。でもこれだけに
解が限定されるのかどうかの論証(lim[n→∞]a[n]が収束することの論証)
がまだ分からないんです。
243:１３２人目の素数さん
07/07/16 23:18:23
ヴァカだなあ・・・
244:１３２人目の素数さん
07/07/16 23:25:57
>>242
2つ目の条件から、数列{a[2n]}はコーシー列を成すことが分かり、よって収束する。
数列{a[2n-1]}の方も同様。
しかし、この方法は高校の範囲を逸脱する。コーシー列を使わない方法としては、
a[2n+2]-a[2n]=1/2^(2n-1) となるnが1つでも存在したら、7/3より大きいある
実数rが存在してa[2n]＞r (n＝1,2,3,…)が成り立ってしまい、このとき
a[2n-1]＜7/3＜r＜a[2n] となってa[2n]－a[2n-1]＞r－(7/3) となる。この式で
n→∞とすると0≧r－7/3 となって矛盾。よってa[2n+2]-a[2n]=－1/2^(2n-1)が
任意のnで成り立ち、a[2n]の一般項は～～～
とやればよい。rの具体的な値の計算は任せる。
245:１３２人目の素数さん
07/07/16 23:33:53
>>242
あと、君はもう高校の極限の話から卒業する段階に来てる。早いとこε－δ論法を
勉強した方がいい。受験には全く役に立たないがな( ＾ω＾)
246:１３２人目の素数さん
07/07/16 23:43:13
>>243
(゜o゜)
>>244
なるほど。
>>245
いちおう大学生です。受験生じゃありません・・。
εーδ論法ですか。
247:１３２人目の素数さん
07/07/17 01:00:00
｜ａ（２ｎ＋１）－ａ（０）｜≦｜ａ（２ｎ＋１）－ａ（２ｍ＋１）｜＋｜ａ（２ｍ＋１）－ａ（２ｍ）｜＋｜ａ（２ｍ）－ａ（０）｜。
248:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/17 16:27:46
xについての方程式f(x),g(x)を
f(x) = x(x - 1)
g(x) = (x - a)(x - 2a)として、条件P,Qを以下のように定める(aは実数)。
条件P『任意の実数xについて、f(x)≧0またはg(x)≧0が成り立つ』
条件Q『任意の実数xについて、f(x)≧0またはkf(x)+g(x)≧0が成り立つ』条件Pを満たす全てのaについて条件Qが成り立つための実数kが満たすべき条件を求めよ。
249:１３２人目の素数さん
07/07/18 01:15:46
>>248
f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) というのは
f(x)，g(x)が2次関数だという意味でおｋですか。
それとも，やっぱり問題文どおり，
f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) という
xについての方程式を表しているのでしょうか・・。
250:１３２人目の素数さん
07/07/18 01:28:34
方程式って言っちゃうのが癖みたいね
251:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/18 01:53:24
>>249
あいすまんことにて候。関数です
252:１３２人目の素数さん
07/07/18 03:49:03
これでよくクビにならないな。>>233でも書いたが。
万が一、受講生が受験本番で「方程式f(x)をf(x)＝x^2＋ax＋bとおく。」とか
解答したらどうすんだよ。好意的に解釈してくれるとは限らんぞ。>>249みたいに
2通りの解釈をされて、減点の対象になるかもしれない。
253:１３２人目の素数さん
07/07/18 03:58:47
>>234，>>250
f(x)そのものを「方程式」と書いてしまう奴は、質問スレとか他の数学掲示板とかで、何度も見かけたことが
ある。俺が今まで見てきた限りでは、そういう奴の書く文章は「おぼつかない」ことが多い。質問の内容が
文章になってなかったり、質問しようとしている問題文を省略して書いたり(全文写せばいいのに、中途半端に
写すから、問題で与えられている条件が欠けてしまう)。こういうのは数学じゃなくて国語の問題。
「うっかりミス」ではなくて、根はもっと深い。言葉というものに関して無頓着なんだな。
MASUDAも同じ。たとえば>>227は、他の人も指摘しているように、p，q，fの関係が不明瞭。pは動くのか？
fはqに応じて決まるのか？こういうところを明確に書こうとしない神経はオワッテル。大学行っていない
のだろうか？ε－δ論法を習っただけでも、こういうところには凄く気がまわるようになるはずなのだが。
あと、>>237では
＞現場では少々言葉変でも出題検討会議の際に他の先生が手直ししてくれるので問題ないんですよ。
とか言っちゃってるし。言葉というものに関して無頓着な証拠。
254:249(非受験生)
07/07/18 04:17:23
>>248
>MASUDA先生
いちおうxの2次関数 f(x)=x(x-1)，g(x)=(x-a)(x-2a) として問題を
考えてみますた。僕にはこの問題は難しかった。まず個別に
条件Ｐ，Ｑが成り立つ条件を考えると，
条件Ｐ：「a≦0」または「1≦a」
条件Ｑ：「1/3＜a＜1/2 かつ k≦h(α)」または「1＜a かつ k≦h(α)」
(ただし，h(x)={(x-a)(x-2a)}/{x(1-x)}，α=〔2a^2+a√{2(2a-1)(a-1)}〕/(3a-1) とする．)
となると思います。そこで，問題文に転じて，
『条件Pを満たす「全て」のaについて条件Qが成り立つための実数kが満たすべき条件』
を考えるのですが，「全て」とあることから，a≦0 のときも条件Qを満たさなければ
ならないのでしょうか。でも，a≦0 のときは条件Qが成立しないのです。
計算ミスというか考えミスかもしれないですが・・。
255:１３２人目の素数さん
07/07/18 04:33:46
>>253
君、数学科じゃないでしょ？
256:１３２人目の素数さん
07/07/18 04:50:12
>>255のいる数学科では関数のことを方程式というのか
257:１３２人目の素数さん
07/07/18 04:52:51
俺のいた数学科ではすべて「多項式」と言っていたぞ。
258:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:03:41
>>256
いや、ノリが違うというかさ
俺は東大数学科
259:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:20:12
どんなノリなの？
260:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:21:40
どうでもいいことは笑って済ます
個人の能力に言及するとかあり得なくない？
261:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:22:53
もちろん＋の評価をするのはアリね
262:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:26:35
何処だかの数学科と海苔が違うと数学科でないと言い切ってしまう数学科か
263:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:31:02
言いきってないじゃん、質問だしさｗ
どこでも皆（表向きは）＋思考がつよいとおもうけどね
じゃないとやってられないというか
264:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:34:38
マイナスの評価が無しである理由が分からない。
265:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:37:03
そんな事言っても誰も楽しくないからでしょ？
でもよく考えたら教官の悪口は言ってるかもしれん
266:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:40:50
＞言いきってないじゃん、質問だしさｗ
質問とか言いつつ、心の中では「断定」してるんだろ？語尾に「ｗ」をつけてる
あたりから察しても、そう伺える。大体、
「○○じゃないだろ？」
ってのは、質問の皮を被っているだけで、実際は断定しているのと同じだ。
267:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:43:48
>>266
そうかもね
野暮はよせ、とストレートに言うべきだった
なんかスレ汚しになったな
268:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:47:07
何故名無
269:１３２人目の素数さん
07/07/18 05:51:38
>>254
k=0
P=Q
270:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/18 08:45:02
下手に反論したり答えたりすると荒れるので、基本スルーで通すつもりですが、一つだけ。>>253内容ですが、ε-δ論法は私は一切やっておりません。大学にはいきましたが、私の学部では数学は教養で微積しかやらないので。
271:１３２人目の素数さん
07/07/18 08:54:30
ふへ？
ε-δ論法って微積じゃないのか？
272:１３２人目の素数さん
07/07/18 08:58:05
一番最初に実数論でやるはず。
273:１３２人目の素数さん
07/07/18 09:00:22
専門外でここまで勉強してくれてることが嬉しいじゃないか
274:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/18 09:05:33
数学に無縁な学部の微積ではそれすら習わないのが現実です。簡単な偏微分と二重積分だけです。それ以上のことは教えてもらえず。教科書はあれです、「理工系の基礎微分積分」(石原繁・浅野重初)。普通に高校生が読んでもあっさり理解できそうなくらいのレベルです。
今から考えれば理学部にしておけばよかったとも思いましたが、まあ将来のこと考えますとね…
275:１３２人目の素数さん
07/07/18 09:42:54
>>274
MASUDAさんは京大の何学部出身なの？
276:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/18 11:22:03
>>275
それはご想像にお任せします。
277:249(非受験生)
07/07/18 16:00:30
>>269
なるほど・・。完全にボケてたわ・・。
それ以外にも条件が出てきそうですね。
ちゃんと解いてみるかな・・。
278:249(非受験生)
07/07/19 00:25:19
>>248
以下では
h(x)={(x-a)(x-2a)}/{x(1-x)} (0＜x＜1)
α=〔-2a^2-a√{2(a-1)(2a-1)}〕/(1-3a)
β=〔2a^2-a√{2(a-1)(2a-1)}〕/(3a-1)
として，
a＜0 のとき，k≦h(α)
a=0 のとき，k≦0
a=1 のとき，k≦1
1＜a のとき，k≦h(β)
になりました。でも「実数kが満たすべき条件」って，
aによらないんですよね？だからこの解答も間違えているわけだけど・・。
問題文が，
『条件P，Qが共に成り立つための実数の定数a，kに関する必要十分条件を求めよ．』
or
『(1) 条件Pが成り立つとき，実数aの取りうる値の範囲を求めよ．
(2) aが(1)で求めた範囲にあるとき，条件Qが成り立つような実数kの
取りうる値の範囲をaを用いて表わせ．』
になってたほうがまだとっつきやすい感じかも。文字係数が2個以上
になる問題の場合，解答の方法が複数生じたりするため，大抵の場合は
「座標平面上に図示せよ」とか，答が1通りに明瞭に定まるような出題形式を
とってますよね，特に入試とかでは。でも小テストとかはこういう感じの問題文
が多いわけですが・・。
279:１３２人目の素数さん
07/07/19 16:48:02
0]
280:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/19 19:25:36
>>279
どーゆー過程かは分かりませんが答えは合ってます。
>>278
一応誘導問題はあったのですが、ここではとっぱらって出しときました。
281:１３２人目の素数さん
07/07/19 20:02:28
(a<=0,1<=a)&0<x<1=>h(x,a)>=0
h(x,a)=2(a-(3/4)x)^2+A
0<x<1=>h(x,0)>=0&h(x,1)>=0
0<x<1=>k<=(k+1)x<=2
x->0=>k<=0
0<x<1,k<=(k+1)0<=2,k<=(k+1)1<=2=>k<=(k+1)x<=2
282:249(非受験生)
07/07/19 20:10:56
>>280
aをa≦0，1≦aの範囲で動かして
kに関する4つの条件を全部満たすkの範囲を求めると
k≦0になるのでこれがkが満たすべき条件でおｋですか？
で，このk≦0という条件は「必要条件」？
それとも「必要十分条件」？
283:249(非受験生)
07/07/19 20:24:23
つまり，問題文を堅苦しく言い換えると，
命題A，Bを
A：条件Pが成り立つ．
B：条件Qが成り立つ．
とする．A⇒B が真となるための実数kに関する必要十分条件を求めよ．
という解釈でおｋでしょうか。
284:284
07/07/19 20:58:00
2=8/4
285:１３２人目の素数さん
07/07/20 16:49:36
ここは受験コンプor大学数学落ちこぼれの巣窟と理解しておｋですね？
286:１３２人目の素数さん
07/07/20 17:02:23
はいはいｗｗｗｗそうだよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
287:１３２人目の素数さん
07/07/20 17:29:35
>>286
こういう態度取れば勝ちとでも思ってる奴の典型キタコレ
288:１３２人目の素数さん
07/07/20 17:29:51
ていうか浪人生多そうだね。
東大京大志望だけどなかなか合格出来ない。
自称京大だけど学部答えられない人とか。
289:１３２人目の素数さん
07/07/20 17:37:02
>>288
で、気はすんだ？用もないなら来るなよ
290:１３２人目の素数さん
07/07/20 17:50:47
13 8 2 7 0 13 13 13 4 11 20 7 0 10 8 11 0 8
291:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/20 17:55:12
>>288
学部言うと後が面倒なので言わなかったんですけどね。医学部ですが何か？
>>283
全部書くの大変なので略解だけ。
まず条件Pが成り立つための実数aの条件を求めます。a≦0または1≦aとなるはずです。
次にまずa=0のとき、条件Qが成り立つためのkの条件を求めるとk≦0です。これは必要条件。あとは逆を示せば(ry
292:１３２人目の素数さん
07/07/20 18:06:27
>>288
そうか？見てたら大学生がかなりいるように見えるが。
293:１３２人目の素数さん
07/07/20 18:18:24
>>291
医学部志望なんだ、合格出来るといいね
学部なんて言っても誰も面倒なこと無いよ、京大医学部なんて腐る程居るんだから
294:１３２人目の素数さん
07/07/20 18:38:08
>285>287>288>283みたいなＤＱＮて周期的に現れるよな。こういう奴こそが東大京大落ちのコンプのように俺には見えるんだが
295:294
07/07/20 18:40:32
おっとすまん、>283じゃなくて>293な
296:249(非受験生)
07/07/20 19:01:19
>ますだセンセ
よくわかりました。トンです。この問題は僕の感覚だと数三に属する感じですが高一生のカテキョ問題としても使えそうですね。一個の問題でかなりの知識を要する総合問題。
297:１３２人目の素数さん
07/07/20 19:50:41
>>293
嫉妬で顔真っ赤ｗ
298:１３２人目の素数さん
07/07/20 20:00:16
>>288
高校生でこんだけ解けてたらどこでも受かるよ
299:１３２人目の素数さん
07/07/20 20:40:54
縦＋横＝12で横＋高さ＝７の直方体がある。縦の長さをxとするとき、次の問に答えよ。
(1)横をｙ、高さをｚとするとき、この２つをｘを用いて表せ。
(2)表面積が１５０のときx,y,zを求めよ。
（３）A1とA2に分けたところy1:y2が5:3であり、A1の表面積ｰA2の表面積=22であった。
このときの縦、横、高さを求めよ
300:１３２人目の素数さん
07/07/20 20:44:28
小学生かよ
301:249(非受験生)
07/07/20 20:48:49
>>278でカキコしたことは数3を使えばだいたいの人が示せると思うんです。
つまり，a=0 のとき，k≦0 であることは容易に示せる。
でもこれから，「a≦0 または 1≦a ⇒ k≦0」を示す発想は思いつきにくいし，
実際，思いついたとしても容易には示せない。やはりこの問題はかなりの難問
に属すると思いました。
302:１３２人目の素数さん
07/07/20 21:29:20
お前の演習不足に過ぎん。
303:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/20 22:05:14
素数pおよび整数x,y,zが
9p^3 = 8(x+y+z)^3 - (x+y)^3 - (y+z)^3 - (z+x)^3
を満たす。
(1) pの値を求めよ。
(2) (x,y,z)の組の個数を求めよ。
304:１３２人目の素数さん
07/07/20 22:20:30
つまらん
305:１３２人目の素数さん
07/07/20 22:48:11
>304
ならお前がだせ
306:１３２人目の素数さん
07/07/20 22:57:39
東京大 理三 <前> 前 78
京都大 医 医 <前> 前 76
大阪大 医 医 <前> 前 76
九州大 医 医 <前> 前 74
東京医科歯科大 医 医 <前> 前 73
東北大 医 医 <前> 前 72
名古屋大 医 医 <前> 前 72
千葉大 医 医 <前> 前 71
北海道大 医 医学系 <前> 前 70
京都府立医科大 医 医 <前> 前 70
神戸大 医 医 <前> 前 68
名古屋市立大 医 医 <前> 前 68
東京大 理一 <前> 前 67
307:１３２人目の素数さん
07/07/21 02:14:38
__,.-‐ｖ‐､/＾ﾝ^ヽ
,. -一'´ ,fl〃リｋ'ﾆヽ、
／ ,-､ '}jﾘ'＾´ ﾚ',ハﾍ ＜何よ！あんまりみるんじゃないわよ！
' ,｣ﾊｌ|ﾚ' /,:仁ﾃ,ﾊ、
j厂ﾘ'-､､ ｯ一'￣´ l
∠_－､>∠、 |
∠_ｰ ､ﾝ´￣｀ｌｌ ｌ
ｒ‐イ－､ﾝ'´ ﾘ 丿
Ｖ/ / ぃ
＼/__ム〉
,.、,､,..,､､.,､,､､..,_ ／i
;'｀;、､:、. .:、:, :,.: ::｀ﾞ:.:ﾞ:｀''':,'.´ -‐i ＜別にあんたの為に調理されたんじゃないんだからね！
'､;: ...: ,:. :.､.:',.: .:: _;.;;..; :..‐'ﾞ ￣ ￣ は、早く食べなさいよ！
308:１３２人目の素数さん
07/07/21 02:17:57
多元の方ですか？
309:１３２人目の素数さん
07/07/21 10:25:10
>303
x+y+z=S とおくと
(右辺) = 8S^3 -(S-z)^3 -(S-x)^3 -(S-y)^3 = 3(S+x)(S+y)(S+z),
310:１３２人目の素数さん
07/07/21 12:18:54
MASUDAさんて京大理学部後期に現役合格なさったんですよね？
それなのに医学部のご出身ということは理学部に入学せずに一浪したということでしょうか？
それとも理学部に入学したが、医学部保健学科に転部したということでしょうか？
私は京大理学部の者ですが、たしか京大医学部医学科へはいかなる場合でも転部できなかったように思いますが…。
311:１３２人目の素数さん
07/07/21 12:24:20
1+2^nは15で割り切れないことを証明せよ
312:１３２人目の素数さん
07/07/21 12:34:56
>>311
n=4k+2(k=0,1,2,…)のときに示せれば良いが、このとき
1+2^n=1+2^(4k+2)=1+4*(16)^k≡1+4*(1)^k=5 (mod15)
で、たしかに15で割り切れない。
313:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/21 12:52:15
>>310
そのまま転部してたんなら１年理学部通ったぶんの大学数学の知識は身についでましたよ。再受験ですが何か？
314:１３２人目の素数さん
07/07/21 13:04:31
>313
再受験なら再受験とちゃんと書きましょー
転部じゃないじゃん
315:１３２人目の素数さん
07/07/21 13:06:49
どうでもいいなホントに
316:１３２人目の素数さん
07/07/21 13:11:08
>>84
東大入試作問者になったつもりのスレに出題された問題が
第二回京都大学前期理系予想模擬試験としてMASUDAのHPに
うpされてるのはどういう了見なんだ？
317:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/21 13:19:19
>>316
私が作った問題が私のサイトにあることに何か不都合でも？
318:１３２人目の素数さん
07/07/21 13:22:12
>>310,>>313-317
正直どーでもいい。ここで面白い問題ないか見に来てるのに無駄レスで消費せんでくれ
319:１３２人目の素数さん
07/07/21 13:41:22
>>318
禿同 という言葉を久々に使ってみるテスト
320:１３２人目の素数さん
07/07/22 00:11:06
>>MASUDA氏
今まで出した問題って、全てオリジナル、だよね?
というのも、今までの過去スレにあったオリジナル問題を集めてみようかな、と思ったので。
321:１３２人目の素数さん
07/07/22 01:37:42
>>303
(1)右辺が偶数なのでp=2
(2)(x,y,z)は(-18,5,7),(-2,0,5),(-4,-2,7)のそれぞれの並べかえで18通り
322:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/22 02:15:11
入試問題を改題しただけものや予備校同僚の先生の問題もいくつかありますゆえ、完全オリジナルとはいきませんが
323:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/22 02:20:36
というより私ごときの問題まとめてどーするんですか？
>>321
御名答
324:１３２人目の素数さん
07/07/22 04:42:00
>>323
販売します。
325:１３２人目の素数さん
07/07/22 04:43:32
もう俺が販売してるから著作権法違反だ。
326:１３２人目の素数さん
07/07/22 08:29:30
>>325
お、紹介してくれ！ 即注文するから！
327:Zzz…
07/07/22 09:03:08
方程式 X^n - 1 = 0（ただし X≠1）が成り立つとき
X^{n-1} + X^{n-2} + … + X + 1 = 0
も成り立つことを示せ。
夏休みは現実を直視するためお遍路さんになります。
328:328
07/07/22 09:16:12
3=log_{2}(8)
329:Zzz…
07/07/22 09:20:47
>>328
自明といいたいのですか？
正解です。
330:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/22 09:45:02
>>324
残念ながらこちらがすでに販売準備に入ってますゆえ
331:１３２人目の素数さん
07/07/22 11:56:08
>>330
>>326
332:１３２人目の素数さん
07/07/22 12:04:58
>330
ちっ！
333:１３２人目の素数さん
07/07/22 12:23:16
>311
【補題】
a>1, b>1, ab>4, nは自然数 のとき,
1 + (a^n) は (a^b) -1 で割り切れない。
(略証)
n ≡ r (mod b) ⇒ 1 + (a^n) ≡ 1 + (a^r) (mod (a^b)-1)
0≦r<b ⇒ 0 < 1 + (a^r) ≦ 1 + a^(b-1) < (a^b) -1.
334:Zzz…
07/07/22 15:28:50
>>311,333
2^kと15は互いに素であるため
2^k＝{1,2,4,8} mod.15（は乗法で巡回群）をなす。
したがって2^k≠-1 mod.15（-1は1,2,4,8に含まれない）。
335:１３２人目の素数さん
07/07/22 17:12:44
平面x+y+z=k （x,y,z,kは正数）を満たす正三角形に対して
（０） x>y>z ,y>z>x, z>x>y を満たす領域を図示せよ。
（１） x,y,zが三角形の三辺となる領域を図示せよ。
（２） x,y,zが直角三角形の三辺となる曲線を図示せよ。
336:Zzz…
07/07/22 18:02:23
>>335
正三角形の各辺に頂点を持つ直角三角形について、
最大の面積を求めよ…
とかだったら問題になるかも。
337:１３２人目の素数さん
07/07/23 06:20:37
あの… ^ ってなんですか？
338:１３２人目の素数さん
07/07/23 06:40:34
３＾２ ３の２乗
339:１３２人目の素数さん
07/07/23 11:42:32
>>335
追加
（３） x,y,zが三角形の三辺となるときxy+yz+zx のとりうる値の範囲を求めよ。
おまけ
周の長さが一定の三角形がランダムに変わるとき鈍角三角形になる確率を求めよ。
答えは 9-12*log2 =0.6822. .
340:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/23 13:07:48
>>335,>>336,>>339
なかなか興味深いです。いろいろ新たな問題を作れそうな問題でありますな。
341:１３２人目の素数さん
07/07/23 13:38:21
>>340
パクルなよ
342:１３２人目の素数さん
07/07/23 14:17:09
>>340
前スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:911番)
911 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/06/22(金) 08:16:07
問１
６点 P1=(a,b,c),P2=(b,c,a),P3=(c,b,,a)P4=(a,c,b),P5=(c,b,a),P6=(b,a,c)
は同一平面上にあることを示せ。
問２ 上の６点が作る六角形の面積を求めよ。
343:１３２人目の素数さん
07/07/23 16:32:06
＞周の長さが一定の三角形がランダムに変わるとき鈍角三角形になる確率を求めよ。
事象が無限にあるときは、何を以って「ランダム」とするのか明確にして
おかないと、問題として成立しない。
344:１３２人目の素数さん
07/07/23 16:44:17
>>338さん
ありがとうございます。
345:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/23 21:19:24
ソフトなやつで
1枚の硬貨をn回続けて投げる。k回目(k=1,2,…,n)に投げたとき、表が出れば2^(k-1)点、裏が出れば0点として、n回の合計を得点とするゲームをAとBの2人が行ったとき、Aの得点がBの得点の2倍より大きくなる確率を求めよ。
346:１３２人目の素数さん
07/07/24 02:32:41
>>345
あえてごちゃごちゃに解いてみる
「A、B共にn回目は裏」である表裏の出方の一つを事象Pとする。
Aの表裏の出方はPと一緒で、Bはn回目だけがPと異なる、のような表裏の出方を事象Qとする。
Aの表裏の出方はPと全て逆で、Bはn回目だけがPと一緒、のような表裏の出方を事象Rとする。
A、B共に表裏の出方がPと全て逆、のような表裏の出方を事象Sとする。
全ての事象はP,Q,R,Sのいずれか一つに分類され、P,Q,R,Sは同数。
Pが問題の条件を満たすとき、Q,R,Sは条件を満たさず
Pが問題の条件を満たさないときQ,Sは条件を満たさないが、Rが必ず条件を満たすのは簡単に確かめられる。
以上から全体の丁度1/4が条件を満たす。
347:１３２人目の素数さん
07/07/24 13:39:53
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a、b、c、d は実定数 a≠0)) とする。
このとき |x|＞M ならば f(x)≠0 が成り立つ M の例を a、b、c、d を用いて表せ。
348:１３２人目の素数さん
07/07/24 14:55:52
【駿台の浪人本科は ＜糞＞ 】
★テキストの問題は古臭い有名問題ばかりで何年も改訂していない。なのに誤植が多い。
★校内テストやベネッセ共催模試が激しく糞。しかも強制。
★信じられないような糞講師が多数いる。こいつらは講習や外部向けイベントには一切出てこない。
★１コマ50分で１人の講師が割り当てられるから、授業の種類ばかりが無駄に増える。
すると優秀な先生の授業時間は少なくなり、圧倒的に糞講師の授業時間数が増える。
本科の授業は大量の糞講師の職業安定化のためにコマ細分化されているのかと疑いたくなる。
★講師同士がものすごく仲が悪い。他講師の作ったテキストをけなす先生が多すぎる。
★人気講師ほど本科で露骨に手を抜いて、講習や自分の特設単科に力を注ぐ。なめすぎ。
★不快になるほど他予備校・他塾の批判を聞かされる。ここは北朝鮮か。
★座席指定で同じ固定メンバーと隣席になる。席替えは全て平行移動式。ふざけるな。
★予想外に生徒の質が悪い。下の方のクラスは託児所か保育園状態。
自習室前で騒ぎわめくDQN・廊下や階段を占拠して飲食するZQNが後を絶たない。
★質問厨で講師室は洪水。多浪が当たり前のような態度で講師と談笑している。死ね。
★職員の営業行為が迷惑すぎる。講習２０個取らないと合格できないと脅迫することすらある。
連中はひたすら生徒と保護者を洗脳して金まきあげることしか考えていない。東進より酷い。
★担任が役立たずで無能。受験について無知で何のサポートも感じられない。
★インターネットで工作してる職員が多い。あらゆる掲示板に駿台の職員がいる。
★廊下や階段の掲示物類が幼稚でDQN臭い。淡色のカラーペンの丸字で連絡事項を書くな。
★とにかく授業料が高い。大金取った上にまだエンカレッジだスペシャルセミナーだで
金をむしりとろうと必死。andいらない副教材を買わせようとしてくる。
★合格実績を大幅に捏造している。１つの校舎から何処に何人受かったのか全くわからない。
職員に数字を聞くと「南京大虐殺３０万人」も吹っ飛ぶような嘘を返してくる。
★既に合格校と進学先を告げたのに上を狙えと＋１浪を薦めてくる。いいかげんにしろ。
駿台の浪人本科は糞。
349:１３２人目の素数さん
07/07/24 16:34:32
>>347
例でよいなら
ｃ＝0、ｄ＝0のときM＝-ｂ/a
350:１３２人目の素数さん
07/07/24 21:28:29
>>349
a,b,c,dがgivenの時の例をよろしく。
351:１３２人目の素数さん
07/07/24 21:56:59
>>350
夏休みの宿題か？
352:１３２人目の素数さん
07/07/24 22:58:59
>>349
題意も掴めないか．．．
353:349
07/07/24 23:48:50
いや問題がつまらんのでひねくれてみただけ
354:１３２人目の素数さん
07/07/25 00:36:30
つまらないのはおまいだろ。
355:１３２人目の素数さん
07/07/25 02:12:09
こういう問題の側のケアレスミスは確かに興醒めだ
356:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/26 17:16:11
連続する4つの自然数を並べ替えたものをa[1],a[2],a[3],a[4]とする。このとき、どのように並べ替えていても、以下のことが成り立つことを示せ。
『任意の整数は、適当な整数p,q,r,sを定めることによって
5(pa[1]+qa[2])+7(ra[3]+sa[4])
という形に表すことができる。』
357:１３２人目の素数さん
07/07/26 17:36:57
不定方程式の解放知ってれば明らかだな
でも書くのは面倒
上手いやりかたがあるってことかな？
358:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/26 18:08:56
>>356
そーゆーことです。うまいこといじれば頻出問題に帰着します
359:１３２人目の素数さん
07/07/27 17:46:51
sin10ﾟは有理数か
360:１３２人目の素数さん
07/07/27 19:09:38
>>359
京大のパクリ
361:１３２人目の素数さん
07/07/27 19:53:06
プランク定数は有理数か？
362:１３２人目の素数さん
07/07/27 20:08:03
>>361
それ、数学の問題？
363:１３２人目の素数さん
07/07/27 22:35:14
>342
>342
問1. x+y+z = a+b+c.(一定)
問2. u=(w-3z)/√6, v=(x-y)/√2, w=(x+y+z)/√3 = 一定.
により軸を回転し、(u,v)平面で考えると、u軸に関して上下対称。
b ∈ [a,c] としても一般性を失わない。
u ∈ [(a+b-2c)/√6, (c+a-2b)/√6] と u ∈ [(c+a-2b)/√6, (b+c-2a)/√6] で其々 等脚台形となるから
S = √(3/2) * {(c-a)^2 + 2(c-b)(b-a)}.
364:363
07/07/27 22:40:01
>363 訂正
問2. u=(x+y-2z)/√6, …
365:１３２人目の素数さん
07/07/28 01:28:38
MASUDAは何浪
366:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/28 02:28:58
仮浪を数えるなら１浪ですが何か？
ちなみに今は普通の社会人です
367:１３２人目の素数さん
07/07/28 02:44:45
>>366今は医者？それか予備校講師？
368:１３２人目の素数さん
07/07/28 02:52:36
MASUDAは>>306で
京都大 医 医 <前> 前 76
の位置づけでおそらくこの中のトップ
一浪分を差し引いてもトップ
369:１３２人目の素数さん
07/07/28 06:18:54
>>342
P1=(a,b,c),P2=(b,c,a),P3=(c,a,b)P4=(a,c,b),P5=(c,b,a),P6=(b,a,c)
P1P2P3 とP4P5P6は 各々直線x=y=zの周りにこの順列で時計回り
に１２０度回転させたものだから出来る六角形の頂点は時計回りに
場合Ａ 142536 (c>b>a or a>b>c のとき)
場合Ｂ 152634 (b>c>a or a>c>b のとき)
場合Ｃ 162435 (c>a>b or b>a>c のとき)
の３通りがある。(Pは略）
このときＡもＢＣの場合いずれも六角形は内角がすべて等しく１２０度で
辺の長さがm,n,m,n,m,nと交互に変化する六角形であることが計算すると出る。
Ｓ＝√(３/４) * （m＾２＋n＾２＋４mn）
場合Ａ m= √2|b-c| ,n= √2|a-b|
場合B m= √2|a-c| ,n= √2|b-c|
場合Ｃ m= √2|a-b| ,n= √2|a-c|
370:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/28 08:51:25
>>366
免許はとりましたが医者やってません。予備校講師は副業。本業はとある事業をやってます。
371:１３２人目の素数さん
07/07/28 09:39:04
>>370 特定しまつた
372:１３２人目の素数さん
07/07/28 11:05:30
>368
このスレは理３もいるぜ
俺だがな
373:１３２人目の素数さん
07/07/28 11:32:54
お前ら負けず嫌いだねｗ
374:１３２人目の素数さん
07/07/28 11:46:36
じゃあ俺は慶應医ってことにしとこう
375:１３２人目の素数さん
07/07/28 11:48:56
じゃあ私はレンタカー！
376:１３２人目の素数さん
07/07/28 11:54:32
じゃあ俺はOKADA
377:１３２人目の素数さん
07/07/28 13:28:23
そんな学歴自慢したけりゃ他でやれ
378:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/28 19:07:00
xに関する多項式
Σ[k=1,n](1+x)^k
のx^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数a,b,cがこの順に等差数列をなす(abc≠0)。このとき、nはどのような形で表されるか。一般形で答えよ。
379:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/28 19:09:18
>>378
少し説明不足でした。答えるべき一般形には問題文中の文字を使わずに答えてください。
380:１３２人目の素数さん
07/07/28 19:29:26
>>379
それで説明したつもりか？もっと肝心なところの説明はどうした？
任意のpについて「x^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数がこの順に等差数列を成す」のか？
あるpについて「x^p,x^(p+1),x^(p+2)の係数がこの順に等差数列を成す」のか？
どうしてこの部分について詳しく書かないんだ？オマエが出す問題で、文字がたくさん
出てくるものは、いつだってそうだ。どの文字がどの文字に依存しているのか？どの
文字が「∃」扱いで、どの文字が「∀」扱いなのか？オマエの書き方では2通り以上の
解釈が可能になってしまい、問題として成立してないんだよ。いい加減にしろ。
381:１３２人目の素数さん
07/07/28 19:53:59
受験生が見てるなら気をつけてほしいかもねｗ
あるｐと解釈しないと無理だからそうすると
知識問題に近いかな
答えは平方数-3でしょ？
382:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:15:54
n=7､p=1でなりたつ希ガス
383:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:17:31
ん？なんかミスったかな？
384:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:17:59
>>381がいうように、このままじゃ知識問題だから
(x+2)^kの和とかの方が東大っぽいのでは
385:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:24:14
受験は全部知識問題
386:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:25:06
多分 n=k^2-2
387:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:28:17
>380
確かに言及ないのは微妙だが
任意だと題意がおかしくなることはすぐ分かるえ
388:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:33:39
n=k^2-3だろ
389:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:36:00
熱いからチェックしたくないｗ
一般解求めるのは楽しめるんだけどね
390:数学科逃亡者リスト
07/07/28 21:01:46
東京大 理三 <前> 前 78
京都大 医 医 <前> 前 76 MASUDA（年度不祥・一浪進学）201?年自殺
慶應義塾大 医 医 74 菊川怜（1996年・現役進学せず）長助（2004年・現役進学せず）Reuleaux（2005年・現役進学）こけこっこ（2006年・現役進学せず）
東京医科歯科大 医 医 <前> 前 73 長助（2004年・現役進学）こけこっこ（2006年・現役進学）
千葉大 医 医 <前> 前 71 南まひろ（200?年度・一浪進学）
東京大 理一 <前> 前 67
391:１３２人目の素数さん
07/07/28 21:10:07
ｎ＝ｋ＾２－３であることを示せ
392:１３２人目の素数さん
07/07/28 21:12:26
>>391
n=k^2-3 p=k(k±1)/2-3で勘弁して
393:１３２人目の素数さん
07/07/28 21:51:53
厭、どぉあっても
n=k^2-2、p={k(k±1)-4}/2
394:１３２人目の素数さん
07/07/28 22:00:20
正確には
n=6, p=3
n=k^2-3 p=k(k±1)/2-3 (k=4,5,6,...)
かな
395:１３２人目の素数さん
07/07/28 22:08:31
多分おれが何か勘違いしているんだろうな、
6C5+6C3=2*(6C4)がなりたたないんだが。
396:１３２人目の素数さん
07/07/28 22:10:41
Σ[k=1,n]
和はとった？
397:１３２人目の素数さん
07/07/28 22:11:13
今気が付いたＷ。
398:Zzz…
07/07/28 22:19:18
>>356
話題とは違うけど簡単そうなので…
7と5は互いに素である。
ユークリッドの互除法より7x+5y=1となる(x, y)の組が存在する。
(nx, ny)とすることによって、任意の整数nを作ることができる。
a[1]～a[4]は4つの連続した整数で、
n+0,n+1,n+2,n+3とかけるが、この列の素因数について考える。
この列は長さが4であるため、2回現れる可能性がある素因数は、
2と3だけであり、6となるときは、1回現れるきりである。
したがって、この列から互いに素な二組を選び出すことができるため、
ユークリッドの互除法より任意のxとyを得ることができる。
あってるかな？
399:１３２人目の素数さん
07/07/28 22:30:15
組の選び方をどう選んでもってはなしじゃないかな
400:Zzz…
07/07/28 22:44:27
>>399
よく読むとそうですね。
考え直してみます。
401:１３２人目の素数さん
07/07/28 23:15:13
MASUDA って 増田和悦さん？
402:MASUDA ◆wqlZAUTQF.
07/07/28 23:59:50
お一人がn=k^2-2だと主張されてますが、n=k^2-3が正解です
>>401
全くの別人です。そもそも私の名前「益田」は本名じゃありません。これはハンネです。mathから文字っただけですよ
403:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 01:15:54
だれか解法おしえて
和を求めて、微分して係数を出すの？
404:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 01:26:29
>>402
>>394
405:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 02:58:18
>>356の模範解答はどうなるのか
406:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 06:45:00
できたどー・・・
5a+7b=1->m=5(3+7k)m+(-2-5k)m
pa1+qa2=(3+7k)m->(a1,a2)=1->ok
(a1,a2)=2->set k so that 3+7k=even->pa1^+qa2^=(3+7k)m/2
あとははなくそ
407:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 08:04:51
ヘロンの公式を、行列式を使って導け
408:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 09:15:46
>>407
ヘロンじゃなくてブラーマグプタじゃない？
409:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 17:16:58
そのほうがいいね。じゃあそっちで
ブラーマグプタの公式を、行列式を使って導け
ただし、導出に関して、三角関数を使ってはならない