09/06/09 02:57:13
a[1],…,a[n]>0において
(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+…+(a[n]/a[1])
≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}+…+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
f(x)は微分可能かつf'(x)が連続で,f(0)=f(π)=0のとき
∫[0,π](f(x))^2dx≦∫[0,π](f'(x))^2dx
a,b,c>0,ab+bc+ca=1において
{(1-a^2)/(1+a^2)}+{(1-b^2)/(1+b^2)}+{(1-c^2)/(1+c^2)}≦3/2
952:１３２人目の素数さん
09/06/09 23:44:18
>>948
地道にやると･･･
∫ e^x･(sinx)^2 dx = ∫ e^x･{1-cos(2x)}/2 dx = e^x･{(1/2) - (1/10)cos(2x) -(1/5)sin(2x)},
(与式) = (2/5)(e^π - 1) だが、 この後が････
>>951 (下)
a^2 + b^2 + c^2 = ab+bc+ca + F_0 ≧ ab+bc+ca,
(左辺) = 2/(1+a^2) + 2/(1+b^2) + 2/(1+c^2) -3
≦ 6/{1 + (a^2 + b^2 + c^2)/3} -3 (← 2/(1+x) は下に凸)
≦ 6/{1 + (ab+bc+ca)/3} -3,
953:１３２人目の素数さん
09/06/10 16:04:31
>>951上
a[i]/a[i+1]=x[i]、a[n]/a[1]=x[n]とおくと
(右辺)=(1+x[1])/(1+1/x[2])+(1+x[2])/(1+1/x[3])+……+(1+x[n])/(1+1/x[1])≦(1+x[1])/(1+1/x[1])+(1+x[2])/(1+1/x[2])+……+(1+x[n])/(1+1/x[n]) (チェビシェフ)
=x[1]+x[2]+……+x[n]=(左辺)
>>951下
左辺を整理すると
1+4abc/(b+c)(c+a)(a+b)
よりabc/(b+c)(c+a)(a+b)≦1/8
をしめせばよいが
2√bc≦b+c,2√ca≦c+a,2√ab≦a+b
を辺々掛ければ明らか
(a=tanA,b=tanB,c=tanCとおいても解ける)
954:１３２人目の素数さん
09/06/11 21:06:25
>>951 中
>>503-512
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
955:１３２人目の素数さん
09/06/11 22:25:59
>>948
e^2.302585･･･ = 10,
π = 2.302585･･･ + 0.83900･･･> 2.302585･･･ + 5/6,
e^(5/6) ≧ 1 + (5/6) + (1/2)(5/6)^2 > 1 + (5/6) + 1/3 > 2 + 1/6,
e^π > (e^2.302585)･e^(5/6) > 10･(2 + 1/6) = 21 + 2/3,
(2/5)(e^π -1) > 8 + 4/15 > 8,
>>952 下
無理筋ですた･････orz
>>953 下 (続き)
cot(A+B+C) = {1-(ab+bc+ca)}/(a+b+c-abc) =0,
より A+B+C = π/2,
(左辺) = cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = 1 + 4sin(A)sin(B)sin(C)
≦ 1 + 4{[sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3}^3 (相乗･相加平均)
≦ 1 + 4{sin((A+B+C)/3)}^3 (上に凸)
= 1 + 4{sin(π/6)}^3
= 1 + 4(1/2)^3
= 3/2,
956:１３２人目の素数さん
09/06/11 23:43:43
x,y,z>0,x^2<y<logzのとき
xy^4<z^2
a,b,c,d∈N,r=1-(a/b)-(c/d),a+c≦1982,r>0のとき
r>(1/1983)^3
957:１３２人目の素数さん
09/06/12 04:01:37
a,b,c≧1のとき
{a^3-(1/a)^3}+{b^3-(1/b)^3}+{c^3-(1/c)^3}≧3{abc-(1/abc)}
a>b>c>0のとき
[1/{(a-b)(a-c)√a}]+[1/{(b-c)(b-a)√b}]+[1/{(c-a)(c-b)√c}]>0
958:１３２人目の素数さん
09/06/12 11:57:35
a_k(k=1,2,3,..n)は正の数
Π[k=1,n]a_k^a_k≧(Π[k=1,n]a_k)^(Σa_k/n)を示せ
959:１３２人目の素数さん
09/06/13 00:21:06
>>957 上
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、
a^3 + b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ 3{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2 (← a,b,c≧1)
≧ (1/a + 1/b + 1/c){[(a-b)/ab]^2 + [(b-c)/bc]^2 + [(c-a)/ca]^2}/2 (← 1≧1/a,1/b,1/c)
≧ 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) - 3/(abc),
>>957 下
(a-c)/{(b-c)(b-a)} = -1/(a-b) - 1/(b-c) より
(左辺)*(a-c) = {1/(a-b)}(1/√a - 1/√b) + {1/(b-c)}(1/√c - 1/√b)
= - 1/(a√b + b√a) + 1/(c√b + b√c) > 0, (← a>c)
>>958
対数を考えれ。チェビシェフより
Σ[k=1,n] (a_k)log(a_k) ≧ {Σ[i=1,n] log(a_i)}(Σ[j=1,n] a_j)/n,
960:959
09/06/13 00:42:37
>>957 上
a^3 + b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ 3{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2 (← a,b,c≧1)
≧ (1/a + 1/b + 1/c){[(a-b)/ab]^2 + [(b-c)/bc]^2 + [(c-a)/ca]^2}/2 (← 1≧1/a,1/b,1/c)
= 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) - 3/(abc),
>>957 下
√a = A, √b = B, √c = C とおくと、
(左辺)*(a-c) = (A-C)(A+B+C)/{(A+B)(B+C)ABC},
(左辺) = (A+B+C)/{(A+B)(B+C)(C+A)ABC} >0,
961:１３２人目の素数さん
09/06/13 02:28:42
f(a)=f(b)=0
f’’(x)≧0 （a≦x≦b）
なら，なぜ
f(x)≦0 （a≦x≦b）なんですか？
962:１３２人目の素数さん
09/06/13 02:50:39
不等式ヲタ＝関数方程式ヲタ＝整数ヲタ＝ＣのΣヲタ
963:１３２人目の素数さん
09/06/13 03:45:15
>>961
ほとんど明らか
964:１３２人目の素数さん
09/06/13 04:49:24
π＞3.05であることを示せ。
965:１３２人目の素数さん
09/06/13 05:37:48
>>962
ほとんど明らか
966:１３２人目の素数さん
09/06/13 09:33:18
>>961
ロルの定理から、
f '(ξ) = 0,
なるξが (a,b) にある。
a<x≦ξ では f '(x) = f '(ξ) -∫[x,ξ] f "(x)dx ≦ f'(ξ) = 0,
f(x) = f(a) + ∫[a,x] f '(y)dy ≦ f(a) = 0,
ξ≦x<b では f '(x) = f '(ξ) +∫[ξ,x] f "(x)dx ≧ f'(ξ) = 0,
f(x) = f(b) - ∫[x,b] f '(y)dy ≦ f(b) = 0,
967:１３２人目の素数さん
09/06/13 13:18:11
これって入試にそのまま使っていいのか悩んだ記憶がある
968:１３２人目の素数さん
09/06/13 17:06:22
最近じゃヘロンの公式も入試で使っていいのかダメなのか議論されている
969:１３２人目の素数さん
09/06/13 17:47:53
使っていいに決まってんじゃん
970:１３２人目の素数さん
09/06/13 19:28:20
それが最近はダメだという意見もあるそうだ
971:１３２人目の素数さん
09/06/13 20:55:32
ロルの定理使ったらダメなら平均値の定理も使ったらダメになるwww
972:１３２人目の素数さん
09/06/13 23:09:24
>>970
どこのヌケ作が言っているんだ？ボケ！
973:１３２人目の素数さん
09/06/13 23:33:34
プロレスの三沢光晴さん、リングで頭強打し死亡
１３日午後８時４５分頃、広島市中区の広島県立総合体育館グリーンアリーナで、
プロレスリング・ノアの試合中、社長でプロレスラーの三沢光晴さん（４６）が
相手選手にバックドロップをかけられ、頭部を強打した。
三沢さんは救急車で市内の病院に運ばれたが、間もなく死亡した。
三沢さんは２代目タイガーマスクとして人気を集め、
全日本プロレスやプロレスリング・ノアで中心選手として活躍してきた。
（2009年6月13日23時24分 読売新聞）
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
974:１３２人目の素数さん
09/06/13 23:50:11
不等式で頭を挟み撃ちにされたわけだな
975:１３２人目の素数さん
09/06/14 16:04:44
ロルの定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ロルの定理
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
高木: 解析概論 (改訂第三版) 第2章, §18. 定理19, p.47 (1961) 岩波
ヘロンの公式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ヘロンの公式
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)
976:１３２人目の素数さん
09/06/14 23:06:06
>>974
かわいいオニャノコに､挟み撃ちにされたいです
977:１３２人目の素数さん
09/06/15 11:04:47
>>972
荒らすなヌケ作ボケ！
978:１３２人目の素数さん
09/06/15 19:10:00
不等式への招待 第４章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
979:１３２人目の素数さん
09/06/15 23:24:53
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ
Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) （t1≦t≦t2）
が成り立つことを示せ
980:１３２人目の素数さん
09/06/16 05:00:00
二年三十四日。
981:１３２人目の素数さん
09/06/16 14:43:59
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ >>977,980
982:１３２人目の素数さん
09/06/16 16:19:53
A,B,C>0，A+B+C=πのとき
sinA+sinB+sinC≦4sinAsinBsinC
を示せ