09/05/16 15:02:41
>>892
Problem 322.
a+b+c=3 のとき、
a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,
(略証)
a+b+c=s とする。
D = (a+b+ab)/(b+1) + (b+c+bc)/(c+1) + (c+a+ca)/(a+1)
= (a+1) -1/(b+1) + (b+1) -1/(c+1) + (c+1) -1/(a+1)
= s + 3 -1/(a+1) -1/(b+1) -1/(c+1),
ところで、
1/(x+1) = 1/{2 + (x-1)} ≧ (1/4){2 - (x-1)} = (3-x)/4,
より
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ (9-s)/4,
あるいは、y=1/(x+1) は下に凸だから、
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ 3/(s/3 +1) = 9/(s+3),
よって
D ≦ s+3 - (9-s)/4 = (5s+3)/4 = 9/2, あるいは
D ≦ s+3 - 9/(s+3) = 9/2,
コーシー不等式より
(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(5s+3)/4} = 2, あるいは
(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(s+3) -9/(s+3)} = 2,