07/06/22 00:19:04
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(2/3){a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3}.
(略証)
左側
(左辺)*{(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2} ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)^2, (←コーシー)
(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 ≦ (2/3)(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2), (← 逆順序積 ≦ 乱順序積)
辺々割る。
右側
(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 ≦ 3(a^2 +b^3 +c^2),
∴ 1/(a+b+c) ≧ 1/√{3(a^2 +b^2 +c^2)}.
ﾊｧﾊｧ