不等式への招待第３章

不等式への招待第３章at MATH

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858:１３２人目の素数さん
 09/04/08 23:41:08 
>>857 
　スマン。↓に訂正。 
 
　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ,

859:１３２人目の素数さん
 09/04/09 19:57:31 
>>686  2)  
  
　(pa-qb)/(a-b) =X,　(pb-qc)/(b-c) =Y,　(pc-qa)/(c-a) =Z,  
とおくと、 
　X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2,  
  
本問では p=4, q=3,

860:１３２人目の素数さん
 09/04/09 21:05:57 
>>858 
(左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)} 
　　　 ≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9}　　(-調和≧-相加) 
　　　　=(2/3)s

861:１３２人目の素数さん
 09/04/10 16:55:30 
>>686 1) 
a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき 
a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z) 
が成り立てば示せるが… 
成り立つ？

862:１３２人目の素数さん
 09/04/11 16:35:09 
>>686 2), >>859 の略証･･･  
  
　X = {p+q+(p-q)x}/2,　Y = {p+q+(p-q)y}/2,　Z = {p+q+(p-q)z}/2,  
とおくと  
　X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX)  
　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX)  
　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx)  
　　= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1),  
ところで、題意から  
　x = (a+b)(a-b),　y = (b+c)/(b-c),　z = (c+a)/(c-a),  
∴　xy + yz + zx + 1 = 0,

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