09/04/05 23:12:36
不等式ﾊﾞﾝｼﾞｬｲ！
853:850
09/04/07 21:04:51
スレ違いだったか･････ ---> 線形代数/線型代数スレ
ぢゃあ もう一題
〔問題322'〕
Let a,b,c be positive real numbers satisfying the condition a+b+c=s.
Prove that
(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ 2,
854:１３２人目の素数さん
09/04/07 23:31:17
>>853
忙しいので、とりあえずﾊｧﾊｧしておく！
(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ…
855: ◆BhMath2chk
09/04/08 00:00:00
ａ（１）／（ｘ＋１）＋ａ（２）／（ｘ＋２）＋ａ（３）／（ｘ＋３）＋ａ（４）／（ｘ＋４）＋ａ（５）／（ｘ＋５）－１／ｘ
＝（ｘ－１）（ｘ－４）（ｘ－９）（ｘ－１６）（ｘ－２５）／１２０ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）（ｘ＋５）。
856:１３２人目の素数さん
09/04/08 00:09:21
>>855
？
857:１３２人目の素数さん
09/04/08 01:16:17
>>853
a=b=c=1/2とかで不等式が成立しない気が
858:１３２人目の素数さん
09/04/08 23:41:08
>>857
スマン。↓に訂正。
(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ,
859:１３２人目の素数さん
09/04/09 19:57:31
>>686 2)
(pa-qb)/(a-b) =X, (pb-qc)/(b-c) =Y, (pc-qa)/(c-a) =Z,
とおくと、
X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2,
本問では p=4, q=3,
860:１３２人目の素数さん
09/04/09 21:05:57
>>858
(左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)}
≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9} (-調和≧-相加)
=(2/3)s
861:１３２人目の素数さん
09/04/10 16:55:30
>>686 1)
a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき
a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z)
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
862:１３２人目の素数さん
09/04/11 16:35:09
>>686 2), >>859 の略証･･･
X = {p+q+(p-q)x}/2, Y = {p+q+(p-q)y}/2, Z = {p+q+(p-q)z}/2,
とおくと
X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX)
= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX)
= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx)
= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1),
ところで、題意から
x = (a+b)(a-b), y = (b+c)/(b-c), z = (c+a)/(c-a),
∴ xy + yz + zx + 1 = 0,
863:１３２人目の素数さん
09/04/16 01:49:31
問題投下
３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ
ヘロンでどぞー
864:１３２人目の素数さん
09/04/16 02:05:16
キタコレ！
865:１３２人目の素数さん
09/04/18 10:54:55
>>863
⊿ = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B),
でも解けるお。
⊿ = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3)
≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 (相加･相乗平均)
≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3) (0～πで上に凸)
= (1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3)
= (√3)/4･(abc)^(2/3), (等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.)
⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
866:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:52:00
>>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････
本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
≦ √{s(s/3)^3} (相加･相乗平均)
= (1/√27)s^2
= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2
≦ (√3)/4･(abc)^(2/3), (相加･相乗平均)
⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
867:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:54:39
>>866 はまちがい。
無視してください。
868:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:55:55
無視しません！
869:１３２人目の素数さん
09/04/18 13:48:39
黙殺する
870:866
09/04/18 23:39:33
>>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････
本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。また
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
⊿ = √(su)
= {s･(√su)･u}^(1/3)
≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) (3su≦t^2)
≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) (*)
= (√3)/4･(abc)^(2/3),
※ st-u ≧ (8/9)st ≧ 8u より
st≦(9/8)(st-u), u≦(1/8)(st-u),
871:１３２人目の素数さん
09/04/22 19:51:53
n：自然数とする。
(1) 2数 x、y の和、積を考え
x+y=p、xy=q この p、q が共に整数ならば
x^n + y^n は整数であることを証明せよ。
(2) x>0、y>0 のとき
( (x+y)/2 )^n ≦ (x^n + y^n )/2 であることを証明せよ。
872:１３２人目の素数さん
09/04/22 20:57:26
>>871
馬鹿か？
873:１３２人目の素数さん
09/04/22 22:15:48
>>861
〔命題〕
a,b,c >0, x,y,z >0 のとき
f(x,y,z) = a/(b+cx) + b/(c+ay) + c/(a+bz) - 9/(x+y+z+3) ≧0,
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
f(0,0,0) = (a/b) + (b/c) + (c/a) -3 ≧0,
x,y,z のいずれかが∞となるとき、(右辺) → 0 で成立。
f(,,)に極値があるとすれば
∂f/∂x = -ca/(b+cx)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
∂f/∂y = -ab/(c+ay)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
∂f/∂z = -bc/(a+bz)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
b+cx >0, c+ay >0, a+bz >0, x+y+z+3 >0 から
a/(b+cx) = 3{√(a/c)}／(x+y+z+3),
b/(c+ay) = 3{√(b/a)}／(x+y+z+3),
c/(a+bz) = 3{√(c/b)}／(x+y+z+3),
に限る。この点でf(,,)が極大なら (←これが問題だが････)
f(x,y,z) ≧ 3{√(a/c) + √(b/a) + √(c/b) -3}／(x+y+z+3) ≧0,
874:１３２人目の素数さん
09/04/22 23:47:37
>>872
馬鹿か？
875:１３２人目の素数さん
09/04/23 08:55:27
( ﾟ∀ﾟ)＜荒らしイクナイ！
876:１３２人目の素数さん
09/04/23 09:10:06
こんなスレがあったとは！！最近不等式に興味持ち出していろいろやってます。
ところSOS不等式って何ですか？
877:１３２人目の素数さん
09/04/23 10:24:04
>>876
sum of squares inequality: Σa_k^2 ≧ 0
「任意の非負有理式は有理式の自乗和で書ける」というArtinの結果があるので，
有理式≧0 は，左辺を記述する有理式の自乗和を構成する方法で必ず証明できる．
（もちろん，それを見つけるのが簡単とか難しいとかはあるけれど）
878:１３２人目の素数さん
09/04/23 13:53:03
マジ？
SOS不等式ってもは初めて聞いたし、877の解説が面白くて、ネタに見えて仕方がないんだけど…
879:１３２人目の素数さん
09/04/23 15:32:04
>>878
SOS不等式と呼ばれている不等式が何種類かあって紛らわしいから，
普通は前後の脈絡無しに「SOS不等式」って言うことはないんだけど，
最近最適化の専門家の間で >>877 の「SOS不等式」が盛んに研究されてて，
個人的にも今その辺がホットだから，勢いで書いちゃった．
数学的な内容としては >>877 の結果は正しくて，
特にここ10年くらいで，この方法を使った多項式の最小値を計算する
アルゴリズムが実用的になってきてる．
興味があるなら，古典的な話題はHilbertの第17問題で調べるとよくて，
最近は Pablo A. Parrilo って人が活発にやってる．
880:１３２人目の素数さん
09/04/24 00:09:49
>>879
勉強になりますた！
881:１３２人目の素数さん
09/05/07 21:53:59
〔問題857〕
xが自然数 のとき
3^(x-1) ≧ LCM(1,2,3,････,x) ≧ 2^(x-1),
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:857番)
東大入試作問者スレ１６
882:１３２人目の素数さん
09/05/08 03:29:09
質問です。
一応、有名不等式(Weighted AM-GM,Cauchy-schwartz,Holder,Rearrangement,
Jensen,Muirhead,Schur,etc...)などについての知識やその証明は理解したのですが
実際に問題に取り組む時に「どんな場合にどの有名不等式を用いるべきか」が見えてきません。
不等式が得意な方々の解法などを眺めていても妙に突拍子なアイディアにしか見えないんです。
数多くの問題に当たってるうちにこういう直観的なものは磨かれどれをいつ適用するかなど
見えてくるものなんでしょうか？
883:１３２人目の素数さん
09/05/08 03:44:16
>>882
そうです！
甘ったれないで下さい！
884:１３２人目の素数さん
09/05/09 19:20:05
>>882
職人芸修行 文献を大量に勉強してどの方法はどこで使うか博覧強記
イメージ戦略 解きたい問題が解けると信じる直観的理由と同じ意味の不等式を利用
試行錯誤 各場面毎に片端から使って出てくる不等式をノートに蓄積
他にもあるが時間が無くなったので
885:１３２人目の素数さん
09/05/09 23:26:18
>>882
とりあえず、片っ端から不等式とその証明（別解も全て）をコレクションし、Texでまとめるんだ！
886:１３２人目の素数さん
09/05/09 23:31:21
>>881
休憩が終わったら、他スレの不等式をここに貼る作業に戻るんだ！
>>882
休憩が終わったら、刺身の上にタンポポを乗せる仕事に戻るんだ！
>>884
休憩が終わったら、不等式を証明する作業に戻るんだ！
>>885
休憩が終わったら、不等式まとめサイトを更新する作業に戻るんだ！
>>886
休憩が終わったら、不等式を収集する作業に戻るんだ！
887:１３２人目の素数さん
09/05/10 03:49:35
>>876
SOS を具体的に用いて解いた解法は >>699 にありますよ。
簡単に言ってしまえば SOS ineq は
それぞれ S[a], S[b], S[c] は a, b, c の関数とし,
S = f(a, b, c) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
とおいたとき, S≧0 を証明するために使われる手法です。
>>887, >>889 で言われているものも SOS ineq ですが, >>876 さんが知りたいのはこういう類の方の ineq ですよね？
888:１３２人目の素数さん
09/05/10 21:46:04
〔問題〕
a,b,c,p,q >0, 1/2 ≦ p/q ≦ 2 のとき
a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) ≧ (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
≧ (1/3)(a+b+c){1/(pb+qc) + 1/(pc+qa) + 1/(pa+qb)}
≧ 3/(p+q),
(Shapiro不等式の一拡張)
889:１３２人目の素数さん
09/05/10 21:59:17
>>888
見かけほど難しくない(?)
左側:
a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) - (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
= {(2p-q)(2q-p)F_1 + (p+q)(2p-q)G + (p+q)(2q-p)H}/{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0,
G = F_1 + (st-9u+3⊿)/2 = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
H = F_1 + (st-9u-3⊿)/2 = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0,
ここに
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, 基本対称式
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a), 差積
中央と右側:
pb+qc = x, pc+qa = y, pa+qb = z, とおく。
a+b+c = (x+y+z)/(p+q),
よって 相加･調和平均より
(x+y+z)^3 /(9xyz) = (x+y+z){F_0 + 3(xy+yz+zx)}/(9xyz) ≧ (1/3)(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) ≧ 3,
これを (p+q) で割る。ここに
F_0 = (x-y)(x-z) + (y-z)(y-x) + (z-x)(z-y)
= (x^2 + y^2 + z^2) - (xy+yz+zx)
= (1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
890:１３２人目の素数さん
09/05/11 20:17:25
nを正の整数とする。
(n+2)角形A1A2……AnA(n+1)A(n+2)について、面積をS
正整数kに対して辺AkA(k+1)の長さをx(k)とする。
このとき
∑[k=1_n] {(k^2-k+1)*(x(k))^2} + n*x(n+1)^2 ≧4S
を示せ。
891:１３２人目の素数さん
09/05/11 20:28:43
〔問題895〕
正の実数a,b,cに対して不等式
a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1,
が成立することを示せ。 ただし、s = a+b+c.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:895番)
東大入試作問者スレ１６
a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2),
巡回的にたす。
(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1,
ここに
F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
892:１３２人目の素数さん
09/05/11 22:56:21
>>886
つ problem.322
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
893:１３２人目の素数さん
09/05/12 02:26:44
>>891
ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2,
f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。
(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1,
894:１３２人目の素数さん
09/05/12 02:34:51
パネェっす
895:１３２人目の素数さん
09/05/13 03:26:07
nを正の整数とする。
(n+2)角形 A1A2……AnA(n+1)A(n+2) について、面積をS,
正整数kに対して、辺AkA(k+1) の長さをx(k)とする。(1≦k≦n+1)
このとき
(1/2)∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,
を示せ。
896:１３２人目の素数さん
09/05/13 05:00:00
二年。
897:１３２人目の素数さん
09/05/13 23:27:15
>>895
180度より大きい内角が存在するような図形も考慮するの？
898:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:02:41
>>892
Problem 322.
a+b+c=3 のとき、
a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,
(略証)
a+b+c=s とする。
D = (a+b+ab)/(b+1) + (b+c+bc)/(c+1) + (c+a+ca)/(a+1)
= (a+1) -1/(b+1) + (b+1) -1/(c+1) + (c+1) -1/(a+1)
= s + 3 -1/(a+1) -1/(b+1) -1/(c+1),
ところで、
1/(x+1) = 1/{2 + (x-1)} ≧ (1/4){2 - (x-1)} = (3-x)/4,
より
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ (9-s)/4,
あるいは、y=1/(x+1) は下に凸だから、
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ 3/(s/3 +1) = 9/(s+3),
よって
D ≦ s+3 - (9-s)/4 = (5s+3)/4 = 9/2, あるいは
D ≦ s+3 - 9/(s+3) = 9/2,
コーシー不等式より
(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(5s+3)/4} = 2, あるいは
(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(s+3) -9/(s+3)} = 2,
899:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:58:00
>>892
Problem 322.
a,b,c>0, a+b+c=3 のとき、
a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,
(略証)
xy ≦ (1/4)(x+y)^2, より
(左辺) = (a-1) + (a+b)/(a+b+ab) + (b-1) + (b+c)/(b+c+bc) + (c-1) + (c+a)/(c+a+ca)
= s-3 +(a+b)/(a+b+ab) + (b+c)/(b+c+bc) + (c+a)/(c+a+ca)
≧ s-3 + 1/{1 + (a+b)/4} + 1/{1 + (b+c)/4} + 1/{1 + (c+a)/4}
≧ s-3 + 9/(3 + s/2) (← 相加･調和平均)
= 2,
900:１３２人目の素数さん
09/05/16 16:43:25
>>895
凸でない場合は、凸でない部分を折り返すことで
辺の長さの構成を変えずにより面積を大きくできるので
凸の場合を考えればよい。
(n+2)角形を、点A1を端点の一つとする対角線で分割し
それぞれで三角不等式を用いて上からおさえれば示せる。
901:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:33:49
>>900
正解でつ!!
三角形 Ａ1ＡjＡ(j+1) の面積は
(1/2)Ａ1Ａj･x_j･sin(∠Ａ1ＡjＡ(j+1)) ≦ (1/2)Ａ1Ａj･x_j ≦ (1/2){x_1 + x_2 + ･････ + x_(j-1)}x_j
これを j=2 から j=n+1 までたす。
x_(n+2) を含まないところがミソ。この辺が重なるように2つ並べると･･･
〔系〕
点対称または線対称な2n+2角形の 面積を S, 周長を
L = 2(x_1 + x_2 + ･････ + x_n + x_(n+1)),
とすると、
{n/(8(n+1))}L^2 ≧ ∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,
※ 等周問題からは {1/(4π)}L^2 ≧ S, (等号成立は円のとき)
902:１３２人目の素数さん
09/05/26 03:04:31
a,b,cは正の実数でa+b+c=1を満たす。nを正の整数とするとき
Π(k=0_n) 1/{1+a^(2^k)}{1+b^(2^k)}{1+c^(2^k)} ＞ 8abc
を示せ。
903:１３２人目の素数さん
09/05/26 09:33:40
>>902
難解すぐる…
904:１３２人目の素数さん
09/05/26 21:46:19
>>902
左辺に
1 + a^(2^k) = {1 - a^(2^(k+1))}/{1 - a^(2^k)}, 等
を代入して
Π(k=0,n) 1/{1 + a^(2^k)} = (1-a)/{1 - a^(2^(n+1))} > 1-a, 等(0<a,b,c<1)
ここで a+b+c = s とおくと、
(左辺) - (右辺) > (s-a)(s-b)(s-c) - 8abc
= s(ab+bc+ca) - 9abc
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,
ハｧハｧ
905:１３２人目の素数さん
09/05/27 01:16:53
Σ(ﾟДﾟ )！
ふ、ふつくしい…
906:１３２人目の素数さん
09/05/27 02:20:23
どの角も鈍角でない三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。このとき
(1/a^2+1/b^2+1/c^2)(a^2+b^2)≧5
を示せ。
907:１３２人目の素数さん
09/05/27 02:39:42
>>906
a,bを固定すると、c^2が最大のとき左辺は最小。
鈍角が無いからc^2=a^2+b^2が最大値である。
一般性を失うことなくa^2+b^2=1とすると、
左辺=1/a^2+1/b^2+1 なので、
a^2=b^2=1/2のときに最小値を取る。
908:１３２人目の素数さん
09/05/27 07:01:24
>>906
左辺に c^2 がないから、タイプミスかと思っていたぜ…
909:１３２人目の素数さん
09/05/28 01:42:00
>>2の本でお薦めはありますか？
910:１３２人目の素数さん
09/05/28 05:48:50
>>909
全てだ！
911:１３２人目の素数さん
09/05/28 15:20:08
実数x,y,zが、xyz=1,0＜x＜y≦1を満たすとき
z/(y-x)≧4
を示せ。
912:１３２人目の素数さん
09/05/28 15:29:02
xyz=1 なので z=1/(xy). これをz/(y-x)≧4 に代入して整理すると、
xy(y-x)≦1/4 を示せばよいことがわかる。
相加相乗平均の関係式より x(y-x)≦y^2/4 なので、
xy(y-x)≦y^3/4≦1/4.
913:１３２人目の素数さん
09/05/28 19:58:50
〔Stirlingの不等式〕
nが自然数のとき、
√(2π)･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。
できれば代数的に･･･
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:50番)
東大入試作問者スレ１７
914:１３２人目の素数さん
09/05/28 22:08:23
>>913
代数的とは？
915:１３２人目の素数さん
09/05/28 22:50:08
>>914
ビブンのことはしない、ってことぢゃね？
916:１３２人目の素数さん
09/05/28 23:07:10
解析使わないってことでしょ
917:１３２人目の素数さん
09/05/28 23:42:26
積分による不等式評価もだめかしら。
expをどうやって定義しようか。
918:１３２人目の素数さん
09/05/29 05:18:05
>>913
オイラーの無限解析に書いてあるよとか確認せずに言って見るテスト
919:１３２人目の素数さん
09/05/29 06:10:07
>>918
責任もって確認してくるように！
920:１３２人目の素数さん
09/05/30 23:38:14
ノート派ですか？ルーズリーフですか？
□□□示すべき不等式□□□
（証明）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
（証明2）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
こんな感じで書いてるんですが、皆さんはどうですか？
921:１３２人目の素数さん
09/05/30 23:56:10
>>920
TeXで書いて、別の証明があったら付け加えて…、の繰り返しだわな… ( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ！
922:１３２人目の素数さん
09/05/31 00:48:23
0＜a，b，cかつa＋b＋c＝6のとき
（a＾a）（b＾b）（c＾c）≧（abc）＾2
923:１３２人目の素数さん
09/05/31 08:50:57
たいしょうせいよりうんたらかんたら
たいすうとってちぇびしぇふ
924:１３２人目の素数さん
09/05/31 10:07:41
>>923
なるほど，上手いね！
925:１３２人目の素数さん
09/05/31 23:08:05
>>906
は C≦90ﾟ ならおk.
蛇足だが、C>90ﾟ も許すと、
(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(a^2 + b^2) > 9/2,
(略証)
コーシーより
(1/a^2 + 1/b^2)(a^2 + b^2) = 4 + (a/b - b/a)^2 ≧ 4,
c<a+b より
c^2 < (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2) - (a-b)^2 ≦ 2(a^2 + b^2),
(1/c^2)(a^2 + b^2) > 1/2,
926:１３２人目の素数さん
09/06/01 03:22:29
>>920
ルーズリーフに大きく不等式を書いてセクションみたくして
次ページから証明を書けばよい
そうすれば後から追加し放題じゃね？
927:１３２人目の素数さん
09/06/01 14:42:43
>>926
なるほどなー
TeXが使えなかったら、きっとそうしていたね！
928:926
09/06/02 10:42:43
ページの片側だけ使うようにすれば，さらに視認性が上がる(ひっくり返さなくて済む)
ただしページが倍になる．．．
929:１３２人目の素数さん
09/06/02 22:12:20
>>925
C≧90ﾟ のときは
cos(C) ≦ 0,
c^2 = a^2 + b^2 -2ab･cos(C) ≦ {1-cos(C)}(a^2 +b^2), 第二余弦定理
(1/c^2)(a^2 + b^2) ≧ 1/{1-cos(C)},
(906の左辺) ≧ 4 + 1/{1-cos(C)},
930:１３２人目の素数さん
09/06/02 22:15:36
>>926
？？？
931:926
09/06/02 22:35:55
>>930
>>926>>928方式だと
ルーズリーフの
1枚目表： 不等式(1)
2枚目表： 証明(1)
・・・3枚証明に割く・・・
5枚目表： 証明(2)
・・・2枚証明に割く・・・
7枚目表： 不等式(2)
8枚目表： 証明(1)
・・・以下続く・・・
不等式(1)の証明が増えたら，7枚目の前に入れていく．
セクションとは区切りね．不等式ごとに区切る．物理的という意味ではないが，目印として付箋貼っとくとかインデックスシール貼るとか，そのまんまルーズリーフ区切り入れるとか
932:１３２人目の素数さん
09/06/03 02:06:48
>>931
どのくらいのレベルの不等式から取捨選択するかによって大きく異なりそう
長方形ABCDの辺AD,CD(頂点は除く)上にそれぞれ点P,Qをとる
PB+PQ<AB+AQ
a,b,cは自然数とする
2^(a+b)+2^(b+c)+2^(c+a)≧2^(a+b+c+1)+1
933:１３２人目の素数さん
09/06/04 01:12:43
2^(a+b) + 2^(b+c) + 2^(c+a) ≦ 2^(a+b+c) + 4,
(略証)
A,B,C≧0 のとき
(2+A)(2+B)(2+C) +4 -(2+A)(2+B) -(2+B)(2+C) - (2+C)(2+A) = AB+BC+CA + ABC ≧ 0,
934:１３２人目の素数さん
09/06/05 23:06:39
＿＿＿_
／ ＼ 宿題が終わらないお
／ _ノ ヽ､_ ＼
／ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ＼
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／´ ｀＼
/ / l l .＿＿＿
＿_l l_¶＿＿＿＿＿＿/＿/＿_/ ヽ
＼, ´-'ヽ ￣|￣￣￣￣| l二二二二l
ヾ＿ノ | '''' ' | l二二二二l
| 9=ε-8. | '''..-- | l二二二二l:::..
| ..'' | ''-. ,|
935:１３２人目の素数さん
09/06/06 00:57:38
2^x ≧ 2φ(x) のとき
2^(a+b)φ(c) + 2^(b+c)φ(a) + 2^(c+a)φ(b) ≦ 2^(a+b+c) + 4φ(a)φ(b)φ(c),
(略証)
2^a - 2φ(a) = A, 2^b -2φ(b) = B, 2^c -2φ(c) = Cとおくと、
題意により A,B,C≧0,
2^(a+b+c) + 4φ(a)φ(b)φ(c) - 2^(a+b)φ(c) - 2^(b+c)φ(a) - 2^(c+a)φ(b)
= {2φ(a)+A}{2φ(b)+B}{2φ(c)+C} + 4φ(a)φ(b)φ(c) - φ(c){2φ(a)+A}{2φ(b)+B} - φ(a){2φ(b)+B}{2φ(c)+C} - φ(b){2φ(c)+C}{2φ(a)+A}
= ABφ(c) + BCφ(a) + CAφ(b) +ABC ≧ 0,
(例)
φ(x) = 1, x, (x^2 -x+2)/2, ･････, Σ[k=0,n] Ｃ[x-1,k], ････
936:１３２人目の素数さん
09/06/06 14:43:04
>>932 (上)
辺CD上に、CA '= QD なる点A 'をとる。
辺CDの延長線上に、B 'D = DQ なる点B 'をとる。
A 'B '= AB かつ A 'B '//BA ゆえ、ABA 'B 'は平行4辺形。
AD上の点Pは、その内部にある。〔系〕により
BP ＋PB '< BA + AB ',
∴ BP ＋PQ < BA + AQ,
〔補題〕 点Pが △XYZ の内部にあれば PY + PZ < XY + XZ,
(略証) YPの延長線とXZの交点をP 'とおく。三角不等式により PY + PZ < P 'Y + P 'Z < XY + XZ,
〔系〕 点Pが 平行四辺形ABA 'B 'の内部にあれば、BP + PB ' < BA + AB ',
937:１３２人目の素数さん
09/06/06 15:04:12
〔問題〕
△PQR が △XYZ に含まれるならば PQ+QR+RP ≦ XY+YZ+ZX,
938:１３２人目の素数さん
09/06/06 23:09:59
>>937
(・∀・) ｼﾞﾒｲ…のような気もするが・・・
939:１３２人目の素数さん
09/06/06 23:19:48
>>938
△PQR を相似拡大して △XYZ に内接させる。
（△XYZ を相似縮小して △PQR に外接させる）
かな？
940:１３２人目の素数さん
09/06/06 23:40:00
凸多角形が閉曲線に囲まれた図形に含まれているとき
凸多角形の辺ＡＢのＡの側の延長と閉曲線の共有点の一つをＣ
Ｂの側の延長と閉曲線の共有点の一つをＤとすると
閉曲線のＣＤの部分を線分ＣＤに置き換えると閉曲線の長さは長くはならない。
この置き換えを凸多角形の全ての辺に対して順に行う。
最初の閉曲線の長さ≧最後の閉曲線の長さ＝凸多角形の周の長さ。
941:１３２人目の素数さん
09/06/07 01:01:29
x+y+z=1を満たす正の数x,y,zについて以下の不等式が成立することを示せ。
(1+x^2)/x(y+z)+(1+y^2)/y(z+x)+(1+z^2)/z(x+y)≧3
942:１３２人目の素数さん
09/06/07 01:12:45
>>941
x,y,z≠0も追加で
943:１３２人目の素数さん
09/06/07 13:00:55
>>942
>>941 で正の数x,y,z
っていってるから、
それはなくていいんでわ？
944:１３２人目の素数さん
09/06/07 20:48:48
【トレビアン動画】朝日が台湾を「核保有国」に分類した件で紙面で「おことわり」掲載！ 購読者が電話攻撃！
朝日新聞5月26日朝刊の6面に掲載された「核兵器をめぐる現状」という地図に「核保有５大国」にアメリカ、ロシア、イギリス、フランス、中国に赤色に染められているほか、
なんと台湾まで赤色になっているのだ。台湾は中国領土という見解なのか、6月5日に「おことわり」として紙面に掲載。その内容は以下のようなものだ。
おことわり
5月26日付「闇市場に関与指摘次々」の記事で核不拡散条約（NPT）で認められた核保有5大国などを地図に示しました。
その中で台湾については核保有国と同様の色分けでしたが、台湾は核兵器を保有していません。（原文ママ）
このことに疑問に思った購読者が朝日新聞に電話突撃攻撃。録音した内容を『YouTube』や『ニコニコ動画』にアップしている。
朝日新聞の対応も酷く受話器を放置してそのまま仕事をしたり「名前は名乗っていませんー」と名前も名乗らない対応。
電突者が「一流企業の広報とは思えない対応」というとその後は音信不通になりまたも受話器を放置される始末。
対応の状況をまとめると以下の様な感じだ。
・「おことわり」の意味を聞いても「読んで理解しろ」と言われる
・「おことわり」は訂正では無い（動画10:25～）
・ガキレベルの対応（動画10:25～）
・「ほかにも電話入っているので失礼します！」と強制的に切ろうとする（動画12:50）
・お名前は？ 「名前は名乗っておりませんー」（動画15:27）
19分と長い戦いになるが、この動画を観れば大企業、朝日新聞社の対応の凄さがわかるぞ。
何回も電話を掛け直し、この対応に耐え抜いた忍耐力は凄いものである。
URLﾘﾝｸ(news.livedoor.com)
★動画：朝日新聞に電凸 ６月５日
URLﾘﾝｸ(www.nicovideo.jp)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
945:１３２人目の素数さん
09/06/08 01:26:51
>>941
対称性から考えようとしたけどうまくいかない。。。
1/x + 1/y + 1/z -3 + 2/(1-x) + 2/(1-y) + 2/(1-z)
までは変形したんだけど
946:１３２人目の素数さん
09/06/08 02:20:00
（１＋ｘ＾２）／ｘ（１－ｘ）＞１。
（１＋ｘ＾２）／ｘ（３－ｘ）≧（１＋ｘ）／２。
947:１３２人目の素数さん
09/06/08 21:11:03
>>945
1/x, 1/(1-x) は下に凸から、あるいは相加･調和平均から
1/x + 1/y + 1/z = (9/s) + (st-9u)/(su) ≧ 9/s,
1/(1-x) + 1/(1-y) + 1/(1-z) ≧ 9/(3-s),
(左辺) ≧ (9/s) -3 +18/(3-s),
>>946
(1+x^2)/{x(1-x)} = 1/x -1 +2/(1-x)
は下に凸だから x=1/3 での接線の上側にある。
∴ (1+x^2)/{x(1-x)} = (13-9x)/2 + (1-3x)^2･{(2-x)/(2x(1-x))} ≧ (13-9x)/2,
(左辺) ≧ 3(13-3s)/2,
948:１３２人目の素数さん
09/06/08 22:05:51
∫[0→π]{(e^x)(sinx)^2}dx>8
であることを示せ．ただし，π=3.14…は円周率，e=2.71…は自然対数の底である．
エレガントな解を求む．
949:１３２人目の素数さん
09/06/08 22:13:00
,, -－─－-､、
_,, -－─‐,ｒ'",ｒ''"´￣￣｀"''－、｀ ｰ 、
,ｒ'" 〈 ヽ ヽ、
／ ヽ、 !
, ｨ ＼ ﾞ 、
,ｒ' / !:. く） ⌒ヽ､_ .厂￣i
ノ ,イ ﾞ､::. ｒ ￣"'''ー--------一'" ,'
／／ ,' ..::'"⌒ヽ、 !::.. ,' , ヘ､__ _ノ
/ / !:. ﾞ、 ﾄ､::.. ﾉ:::...＿厶_ _＞ﾞーーー‐‐‐‐‐‐‐一''"´
（ ( |:::.. i::. !::｀'''ー-一＜´厂 ￣
ヽ､） !::::... !::::... ﾞ､::.. ﾞ 、
人:::::::.. ﾞ､::::::::.......＿＿_,,ゝ､:::.. ヽ
/::::...＼::::::.... ヾ￣￣ /::::..ヽ､:::.. ＼
,'::::::::::::....ヽ､:::::.... ﾞ、 ノ::::::::::::::...＼::::... ヽ
〈:::::::::::::::::::::/｀ヽ､:::::..... 〉 〈:::::::::::::::::::::...人:::::::::..... 〉
｀ー─一'" ｀ー─一'ﾞ ｀ー－一'" ｀ー─一'ﾞ
950:１３２人目の素数さん
09/06/08 22:59:25
>>949
誰がエレファントなＡＡを貼れと言った！
951:１３２人目の素数さん
09/06/09 02:57:13
a[1],…,a[n]>0において
(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+…+(a[n]/a[1])
≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}+…+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
f(x)は微分可能かつf'(x)が連続で,f(0)=f(π)=0のとき
∫[0,π](f(x))^2dx≦∫[0,π](f'(x))^2dx
a,b,c>0,ab+bc+ca=1において
{(1-a^2)/(1+a^2)}+{(1-b^2)/(1+b^2)}+{(1-c^2)/(1+c^2)}≦3/2
952:１３２人目の素数さん
09/06/09 23:44:18
>>948
地道にやると･･･
∫ e^x･(sinx)^2 dx = ∫ e^x･{1-cos(2x)}/2 dx = e^x･{(1/2) - (1/10)cos(2x) -(1/5)sin(2x)},
(与式) = (2/5)(e^π - 1) だが、 この後が････
>>951 (下)
a^2 + b^2 + c^2 = ab+bc+ca + F_0 ≧ ab+bc+ca,
(左辺) = 2/(1+a^2) + 2/(1+b^2) + 2/(1+c^2) -3
≦ 6/{1 + (a^2 + b^2 + c^2)/3} -3 (← 2/(1+x) は下に凸)
≦ 6/{1 + (ab+bc+ca)/3} -3,
953:１３２人目の素数さん
09/06/10 16:04:31
>>951上
a[i]/a[i+1]=x[i]、a[n]/a[1]=x[n]とおくと
(右辺)=(1+x[1])/(1+1/x[2])+(1+x[2])/(1+1/x[3])+……+(1+x[n])/(1+1/x[1])≦(1+x[1])/(1+1/x[1])+(1+x[2])/(1+1/x[2])+……+(1+x[n])/(1+1/x[n]) (チェビシェフ)
=x[1]+x[2]+……+x[n]=(左辺)
>>951下
左辺を整理すると
1+4abc/(b+c)(c+a)(a+b)
よりabc/(b+c)(c+a)(a+b)≦1/8
をしめせばよいが
2√bc≦b+c,2√ca≦c+a,2√ab≦a+b
を辺々掛ければ明らか
(a=tanA,b=tanB,c=tanCとおいても解ける)
954:１３２人目の素数さん
09/06/11 21:06:25
>>951 中
>>503-512
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
955:１３２人目の素数さん
09/06/11 22:25:59
>>948
e^2.302585･･･ = 10,
π = 2.302585･･･ + 0.83900･･･> 2.302585･･･ + 5/6,
e^(5/6) ≧ 1 + (5/6) + (1/2)(5/6)^2 > 1 + (5/6) + 1/3 > 2 + 1/6,
e^π > (e^2.302585)･e^(5/6) > 10･(2 + 1/6) = 21 + 2/3,
(2/5)(e^π -1) > 8 + 4/15 > 8,
>>952 下
無理筋ですた･････orz
>>953 下 (続き)
cot(A+B+C) = {1-(ab+bc+ca)}/(a+b+c-abc) =0,
より A+B+C = π/2,
(左辺) = cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = 1 + 4sin(A)sin(B)sin(C)
≦ 1 + 4{[sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3}^3 (相乗･相加平均)
≦ 1 + 4{sin((A+B+C)/3)}^3 (上に凸)
= 1 + 4{sin(π/6)}^3
= 1 + 4(1/2)^3
= 3/2,
956:１３２人目の素数さん
09/06/11 23:43:43
x,y,z>0,x^2<y<logzのとき
xy^4<z^2
a,b,c,d∈N,r=1-(a/b)-(c/d),a+c≦1982,r>0のとき
r>(1/1983)^3
957:１３２人目の素数さん
09/06/12 04:01:37
a,b,c≧1のとき
{a^3-(1/a)^3}+{b^3-(1/b)^3}+{c^3-(1/c)^3}≧3{abc-(1/abc)}
a>b>c>0のとき
[1/{(a-b)(a-c)√a}]+[1/{(b-c)(b-a)√b}]+[1/{(c-a)(c-b)√c}]>0
958:１３２人目の素数さん
09/06/12 11:57:35
a_k(k=1,2,3,..n)は正の数
Π[k=1,n]a_k^a_k≧(Π[k=1,n]a_k)^(Σa_k/n)を示せ
959:１３２人目の素数さん
09/06/13 00:21:06
>>957 上
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、
a^3 + b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ 3{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2 (← a,b,c≧1)
≧ (1/a + 1/b + 1/c){[(a-b)/ab]^2 + [(b-c)/bc]^2 + [(c-a)/ca]^2}/2 (← 1≧1/a,1/b,1/c)
≧ 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) - 3/(abc),
>>957 下
(a-c)/{(b-c)(b-a)} = -1/(a-b) - 1/(b-c) より
(左辺)*(a-c) = {1/(a-b)}(1/√a - 1/√b) + {1/(b-c)}(1/√c - 1/√b)
= - 1/(a√b + b√a) + 1/(c√b + b√c) > 0, (← a>c)
>>958
対数を考えれ。チェビシェフより
Σ[k=1,n] (a_k)log(a_k) ≧ {Σ[i=1,n] log(a_i)}(Σ[j=1,n] a_j)/n,
960:959
09/06/13 00:42:37
>>957 上
a^3 + b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ 3{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2 (← a,b,c≧1)
≧ (1/a + 1/b + 1/c){[(a-b)/ab]^2 + [(b-c)/bc]^2 + [(c-a)/ca]^2}/2 (← 1≧1/a,1/b,1/c)
= 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) - 3/(abc),
>>957 下
√a = A, √b = B, √c = C とおくと、
(左辺)*(a-c) = (A-C)(A+B+C)/{(A+B)(B+C)ABC},
(左辺) = (A+B+C)/{(A+B)(B+C)(C+A)ABC} >0,
961:１３２人目の素数さん
09/06/13 02:28:42
f(a)=f(b)=0
f’’(x)≧0 （a≦x≦b）
なら，なぜ
f(x)≦0 （a≦x≦b）なんですか？
962:１３２人目の素数さん
09/06/13 02:50:39
不等式ヲタ＝関数方程式ヲタ＝整数ヲタ＝ＣのΣヲタ
963:１３２人目の素数さん
09/06/13 03:45:15
>>961
ほとんど明らか
964:１３２人目の素数さん
09/06/13 04:49:24
π＞3.05であることを示せ。
965:１３２人目の素数さん
09/06/13 05:37:48
>>962
ほとんど明らか
966:１３２人目の素数さん
09/06/13 09:33:18
>>961
ロルの定理から、
f '(ξ) = 0,
なるξが (a,b) にある。
a<x≦ξ では f '(x) = f '(ξ) -∫[x,ξ] f "(x)dx ≦ f'(ξ) = 0,
f(x) = f(a) + ∫[a,x] f '(y)dy ≦ f(a) = 0,
ξ≦x<b では f '(x) = f '(ξ) +∫[ξ,x] f "(x)dx ≧ f'(ξ) = 0,
f(x) = f(b) - ∫[x,b] f '(y)dy ≦ f(b) = 0,
967:１３２人目の素数さん
09/06/13 13:18:11
これって入試にそのまま使っていいのか悩んだ記憶がある
968:１３２人目の素数さん
09/06/13 17:06:22
最近じゃヘロンの公式も入試で使っていいのかダメなのか議論されている
969:１３２人目の素数さん
09/06/13 17:47:53
使っていいに決まってんじゃん
970:１３２人目の素数さん
09/06/13 19:28:20
それが最近はダメだという意見もあるそうだ
971:１３２人目の素数さん
09/06/13 20:55:32
ロルの定理使ったらダメなら平均値の定理も使ったらダメになるwww
972:１３２人目の素数さん
09/06/13 23:09:24
>>970
どこのヌケ作が言っているんだ？ボケ！
973:１３２人目の素数さん
09/06/13 23:33:34
プロレスの三沢光晴さん、リングで頭強打し死亡
１３日午後８時４５分頃、広島市中区の広島県立総合体育館グリーンアリーナで、
プロレスリング・ノアの試合中、社長でプロレスラーの三沢光晴さん（４６）が
相手選手にバックドロップをかけられ、頭部を強打した。
三沢さんは救急車で市内の病院に運ばれたが、間もなく死亡した。
三沢さんは２代目タイガーマスクとして人気を集め、
全日本プロレスやプロレスリング・ノアで中心選手として活躍してきた。
（2009年6月13日23時24分 読売新聞）
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
974:１３２人目の素数さん
09/06/13 23:50:11
不等式で頭を挟み撃ちにされたわけだな
975:１３２人目の素数さん
09/06/14 16:04:44
ロルの定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ロルの定理
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
高木: 解析概論 (改訂第三版) 第2章, §18. 定理19, p.47 (1961) 岩波
ヘロンの公式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ヘロンの公式
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)
976:１３２人目の素数さん
09/06/14 23:06:06
>>974
かわいいオニャノコに､挟み撃ちにされたいです
977:１３２人目の素数さん
09/06/15 11:04:47
>>972
荒らすなヌケ作ボケ！
978:１３２人目の素数さん
09/06/15 19:10:00
不等式への招待 第４章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
979:１３２人目の素数さん
09/06/15 23:24:53
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ
Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) （t1≦t≦t2）
が成り立つことを示せ
980:１３２人目の素数さん
09/06/16 05:00:00
二年三十四日。
981:１３２人目の素数さん
09/06/16 14:43:59
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ >>977,980
982:１３２人目の素数さん
09/06/16 16:19:53
A,B,C>0，A+B+C=πのとき
sinA+sinB+sinC≦4sinAsinBsinC
を示せ