09/03/16 00:22:04
>746 から･･･
〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
H = 2xy/(x+y), G = √(xy), A = (x+y)/2, Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1) H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2) G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。
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H,G,A は等比数列だから
(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G) ････ (*)
よって
G ≦ A ≦ Q,
Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
Q-A ≦ A-G,
あとは
G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,
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