08/12/29 18:19:53
[A.435] の拡張 >>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。
そこで >>672 に習って
b+c-a = a', c+a-b = b', a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･
[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
ここに s = a'+b'+c'.
等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。
【系】
a,b,c ≧0 のとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:677番)