08/10/27 08:44:05
>>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
新手の釣り師か？
595:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:34:46
計算機で解けば？
596:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:45:21
釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。
597:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:55:56
それのどこが不等式？
598:１３２人目の素数さん
08/10/27 16:59:40
>597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))
599:１３２人目の素数さん
08/10/27 23:10:30
>>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？
600:１３２人目の素数さん
08/10/29 03:55:59
Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ
a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ
601:１３２人目の素数さん
08/10/29 04:24:00
Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83
602:１３２人目の素数さん
08/10/29 19:49:32
Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ
これだと高校生でも何とかできるか
603:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:34:14
それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。
これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。
604:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:40:55
>603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。
605:１３２人目の素数さん
08/10/29 23:24:13
>>600
S_82 = 5 - 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,
>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,
S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,
S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,
606:592
08/10/29 23:35:18
>>592 の訂正, ｽﾏｿ.
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).
607:１３２人目の素数さん
08/10/31 21:53:26
>>600
↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,
〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0, (ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。
ハｧハｧ
608:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:19:48
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
609:１３２人目の素数さん
08/11/02 04:23:18
正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？
610:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:46:30
>>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？
611:１３２人目の素数さん
08/11/02 10:20:43
>>593>>598の変形し損ね？
612:１３２人目の素数さん
08/11/04 04:11:04
>>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦ 1/3
を示せ。 （２００７ 阪大）
613:１３２人目の素数さん
08/11/04 10:21:31
>>612
誘導なしだったら、いい感じだね
614:１３２人目の素数さん
08/11/04 20:40:08
test
615:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:07:44
lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1
TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。
a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)
≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）
=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
よってTH2が成立。
TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。
という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。
616:１３２人目の素数さん
08/11/04 21:11:03
>>615
>>437
617:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:19:36
日本の高校の教師によって示された。
俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。
次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」
シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。
「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」
618:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:00:11
>>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？
最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)
619:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:27:11
>>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。
620:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:31:41
アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明
のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん
621:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:47:21
>>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。
622:１３２人目の素数さん
08/11/05 05:24:54
x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ
ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？
623:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:24:12
>>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。
a^2-4b≦0
624:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:32:47
すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。
625:１３２人目の素数さん
08/11/06 20:53:25
基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。
626:１３２人目の素数さん
08/11/06 23:19:08
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>625
627:１３２人目の素数さん
08/11/07 00:08:42
>>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。
このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）
--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）
628:１３２人目の素数さん
08/11/07 19:37:45
>>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。
629:>>615訂正
08/11/07 19:53:16
「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。
630:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:07:16
反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？
631:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:09:40
単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？
632:１３２人目の素数さん
08/11/07 23:55:05
>>630-631
少し黙ってろ！
633:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:26:54
a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ
634:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:32:44
>>633
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。
635:１３２人目の素数さん
08/11/08 09:53:36
>>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。
636:１３２人目の素数さん
08/11/08 20:04:09
>>633 (上)
1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.
>>633 (中)
f(a) = 1 - (1+a)/√2, (a≦0)
= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2), (0≦a≦1)
= -1 + (1+a)/√2, (a≧1)
637:１３２人目の素数さん
08/11/08 22:43:41
>>636
それf(a)求めただけやん(笑)
638:１３２人目の素数さん
08/11/08 23:55:39
>>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない
639:１３２人目の素数さん
08/11/09 01:17:19
>>638
おまいはテレパスか！
640:１３２人目の素数さん
08/11/09 02:10:10
>>636
上教えてちょ
641:636
08/11/09 21:47:35
>>637
f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･
642:１３２人目の素数さん
08/11/09 22:10:22
>>633 (下)
部分積分を使うらしい･･･
∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).
643:１３２人目の素数さん
08/11/09 23:17:35
その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。
644:ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ
08/11/09 23:48:18
≧≦
645:446
08/11/10 23:33:38
>>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．
646:１３２人目の素数さん
08/11/11 08:00:00
1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.
647:１３２人目の素数さん
08/11/13 03:04:12
不等式のノート作ってる方とかいます？
648:１３２人目の素数さん
08/11/13 06:56:52
>>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？
649:１３２人目の素数さん
08/11/13 13:03:58
>>647
てふでまとめていますが何か？
650:１３２人目の素数さん
08/11/14 07:59:40
>>649
もううｐせざるを得ないだろう
651:１３２人目の素数さん
08/11/14 10:04:11
B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！
652:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:21:51
【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より
64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),
(略証)
スターリングの不等式
(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),
65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:113番)
さくらスレ２３５
66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65
log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),
log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),
log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8, (n→∞)
653:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:56:52
〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.
(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:202番)
654:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:26:14
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
(略証)
(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
655:１３２人目の素数さん
08/11/19 16:36:21
なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
656:１３２人目の素数さん
08/11/19 22:37:59
>>653-654
ワイルの一様分布定理から、
〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π. (m→∞)
657:656
08/11/20 22:30:32
訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、
658:１３２人目の素数さん
08/11/24 20:12:49
f(x)=x^2-2mx+m+6 とする。
(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。
(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
定数mの値の範囲は-6<m<3である。
これを証明してください。
659:１３２人目の素数さん
08/11/24 22:18:03
>>658
お前は勉強をやめた方がいい。
660:１３２人目の素数さん
08/11/24 23:23:19
>>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！
661:１３２人目の素数さん
08/11/26 01:34:42
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:700番)
1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
662:１３２人目の素数さん
08/11/26 21:32:47
うるさい。
663:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:31:04
ｒ;;;;;ノヾ >>662
ﾋ‐=r=;' ∬ 口を慎みたまえ！
'ヽニ/ っ━~~ 君は不等式王の前にいるのだぞ！
＿と~,, ~,,,ﾉ_ ∀
ﾐ,,,,/~). │ ┷┳━
￣￣￣.じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
664:１３２人目の素数さん
08/11/27 09:56:45
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
665:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:22:39
>>661
[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.
666:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:24:24
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
667:665
08/11/27 23:57:46
>>665 訂正
f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
668:１３２人目の素数さん
08/11/28 05:13:49
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
669:１３２人目の素数さん
08/11/28 23:42:33
>>668
おまえには教えてやらねーよ！
670:１３２人目の素数さん
08/11/29 00:20:54
不等式を制する者は解析を制する。
671:１３２人目の素数さん
08/11/29 12:07:58
△ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ
3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2
∧_∧
_ ( ﾟ∀ﾟ) たぶん、出したことないと思う…
|≡(つc□≡|
`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ
672:１３２人目の素数さん
08/11/29 18:50:59
>>664
(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0, c+a-b = b' >0, a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように s = a'+b'+c' = a+b+c, t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。
ハｧハｧ
673:１３２人目の素数さん
08/11/29 19:19:09
>>671
移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
674:１３２人目の素数さん
08/11/29 20:11:59
さすが。
675:１３２人目の素数さん
08/11/29 21:13:11
問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
676:671
08/11/29 22:30:45
毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。
677:１３２人目の素数さん
08/12/01 20:28:22
1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
678:１３２人目の素数さん
08/12/01 22:14:56
homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？
679:１３２人目の素数さん
08/12/02 16:40:46
1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから
680:１３２人目の素数さん
08/12/02 20:31:05
別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
681:１３２人目の素数さん
08/12/03 03:15:18
>>677 , 679
>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
682:１３２人目の素数さん
08/12/03 11:48:57
もっとすきっとした解法はないもんかねぇ
683:１３２人目の素数さん
08/12/03 19:23:45
>>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589
684:１３２人目の素数さん
08/12/03 23:40:27
>>588
r-q 平面のグラフが見たい････
685:１３２人目の素数さん
08/12/07 00:24:18
>>679
>>680
誤解してた、すまない。
686:１３２人目の素数さん
08/12/07 04:23:34
1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ
2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ
3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
687:１３２人目の素数さん
08/12/08 01:45:32
つURLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
688:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:44:10
>>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
689:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:46:55
>>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
690:１３２人目の素数さん
08/12/08 04:58:11
>>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと
与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0
a,b,c> 0よりこれは正しい。
691:１３２人目の素数さん
08/12/11 13:39:30
実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
692:１３２人目の素数さん
08/12/11 14:36:06
>>691
解答PDFを作ってみた。
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)
693:１３２人目の素数さん
08/12/11 16:39:46
まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。
694:１３２人目の素数さん
08/12/11 17:51:33
定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。
695:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:22:39
数蝉２月号は「不等式の世界」
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
696:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:37:29
>>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！
697:１３２人目の素数さん
08/12/18 22:53:51
>>588
Q,R を >>589 のようにおくと
(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3} >>585
= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。
rを固定したときの q の下限および上限は
q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 (8≦r≦9)
= 2r-3 (r≧9)
rが大きいほど細く鋭くなる。 （素手で触るな）
r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
8<r<9 についても同様。
698:１３２人目の素数さん
08/12/19 22:34:05
>>588, 684, 697
8<r<9 のときは、
r-8 < r/9,
q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),
-------------------------------------
(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0 (r→∞)
699:１３２人目の素数さん
08/12/24 12:09:03
>>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).
700:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:12:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
701:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:30:59
ネ申
702:１３２人目の素数さん
08/12/24 15:50:36
自演乙
703:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:25:07
このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうね アホガド バナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)
704:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:40:29
飯島愛死亡だとよ
705:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:49:15
>>704
死因は何？
706:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:52:47
1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。
■ソース(日テレニュース24）
URLﾘﾝｸ(www.news24.jp)
※有志によるキャプチャ画像
URLﾘﾝｸ(tvde.web.infoseek.co.jp)
■前スレ(1の立った日時 12/24(水) 16:14:24）
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
707:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:59:52
／ ≧ ＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／
| ､ ＿ __,,／ ＼
708:１３２人目の素数さん
08/12/25 01:24:11
x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n
max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}
709:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:06:44
>>708
なん…だと！
710:１３２人目の素数さん
08/12/28 08:06:19
>>708
どうやったんだよ
711:１３２人目の素数さん
08/12/28 13:22:09
>>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。
>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また (c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)} (← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。
712:１３２人目の素数さん
08/12/29 18:19:53
[A.435] の拡張 >>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。
そこで >>672 に習って
b+c-a = a', c+a-b = b', a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･
[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
ここに s = a'+b'+c'.
等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。
【系】
a,b,c ≧0 のとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:677番)
713:712
08/12/29 18:24:36
訂正、すまそ。
【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
714:Shapiro
09/01/03 19:56:03
>>712
Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。
[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,
715:１３２人目の素数さん
09/01/16 19:05:31
数セミ2月号出たね
716:１３２人目の素数さん
09/01/16 23:11:26
>>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)
717:１３２人目の素数さん
09/01/17 23:53:44
>>598 (593,596)
〔問題〕
abc = d^3, √3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},
(略証)
abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0
(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3, T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2, T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。
・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,
・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,
718:717
09/01/17 23:56:03
>>598
〔補題〕↑ のようにおくとき
S ≧ T1 ≧ 3xyz, S ≧ T2 ≧ 3xyz,
(左側) チェビシェフ不等式から、あるいは
(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,
(右側)も 相加・相乗平均。
719:１３２人目の素数さん
09/01/20 00:55:25
>>2に追加
数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号
720:１３２人目の素数さん
09/01/28 07:31:59
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
721:１３２人目の素数さん
09/01/28 13:41:41
>>720 ﾊｧﾊｧ ∩ 不等式と聞ゐちゃぁ
( ⌒)＿ ∩_ _ 黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼ ﾊｧﾊｧ ／/
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ | ／ /＿＿＿
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ./ ／ Σ ＼
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n / ∩.|:::: ＼ .／ |
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E） / .| | | (● (●）|＿
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ ノ／
722:１３２人目の素数さん
09/01/30 20:57:27
非等式と不等式の違いはなんですか。
723:１３２人目の素数さん
09/01/30 21:43:48
a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27
724:１３２人目の素数さん
09/02/05 00:42:33
他スレで見かけたお。
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個
↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}
面白い問題おしえて～な 十五問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:99番)
725:１３２人目の素数さん
09/02/07 20:47:34
このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思
726:１３２人目の素数さん
09/02/07 23:07:15
>>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う
727:１３２人目の素数さん
09/02/08 03:05:54
次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。
任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3
もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。
728:１３２人目の素数さん
09/02/08 04:40:48
s、t、uでズコバコするといいよ
729:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:00:45
>>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略
730:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:01:38
問題見まちがった
731:１３２人目の素数さん
09/02/08 19:32:27
>>727 力づくで解いた
a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺 は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする
a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1 …(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0 …(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1 …(3)
s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0 …(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)
t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2) …(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■
732:731
09/02/08 22:58:40
いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて
因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること
733:１３２人目の素数さん
09/02/08 23:03:07
V
734:１３２人目の素数さん
09/02/09 16:59:31
>>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.
X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.
735:734
09/02/09 20:55:19
とはしてみたものの、もうだめかもわからんね
736:１３２人目の素数さん
09/02/09 21:01:40
5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した
737:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:32:08
>>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと >>728
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。
〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).
738:１３２人目の素数さん
09/02/12 00:57:10
107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数
108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n について たす。
n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),
739:１３２人目の素数さん
09/02/14 00:12:52
>>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、 |⊿| = xy(x+y), s = 3m+2x+y, t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴ t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。
>>727
(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,
740:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:25:55
〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,
(略証)
・左側
(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:555番)
京大入試作問者スレ①
741:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:52:11
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
742:１３２人目の素数さん
09/02/21 18:13:33
不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・
743:１３２人目の素数さん
09/02/26 13:49:15
>>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ
744:１３２人目の素数さん
09/02/26 23:01:51
前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
745:１３２人目の素数さん
09/03/02 17:46:17
ミラーみれなくね？
746:１３２人目の素数さん
09/03/03 23:52:29
【不等式 | 高校数学】
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
747:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:07:59
>>745
Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
URLﾘﾝｸ(cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com)
に避難しました。
748:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:23:39
>>746
グッジョブ！
749:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:32:35
a≧b≧0，c≧d≧0のとき
√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
750:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:47:23
>>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。
751:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:18:18
>>749
簡単すぎ
752:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:38:52
>>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？
753:１３２人目の素数さん
09/03/04 03:06:05
>>749
泥沼にはまった予感
754:１３２人目の素数さん
09/03/05 01:59:49
√(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？
755:１３２人目の素数さん
09/03/05 02:21:41
0
756:１３２人目の素数さん
09/03/05 17:02:58
鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。
その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。
雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。
しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。
リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」
しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。
757:１３２人目の素数さん
09/03/05 21:51:51
(1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.
(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)
(2) 次の不等式を示せ.
0.9999^101<0.99<0.9999^100
758:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:02:25
>>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど
759:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:38:50
>>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。
760:１３２人目の素数さん
09/03/05 23:20:42
>>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
761:１３２人目の素数さん
09/03/06 12:53:46
>>757
これに30分もかけなければ今頃俺は
762:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:22:41
>>757
(1) f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x^2) > g(x),
x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
x･g(x^2) < x･g(x),
f(x^2)/x < f(x),
(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),
763:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:43:26
>>757
(1) f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x) > g(x^2),
x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
x･g(x) < x･g(x^2),
f(x) < f(x^2)/x,
log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
1-x < (1-x^2)^(1/x),
(2) (1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....
764:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:06:15
みんな解いた問題って保存してるの？
765:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:11:03
>>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。
766:１３２人目の素数さん
09/03/07 08:45:08
>>764
最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)
767:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:26:28
>>763 (2) の左側
(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。
768:１３２人目の素数さん
09/03/08 01:00:22
>>754
f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。
(1) f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。
(2) x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。
769:１３２人目の素数さん
09/03/08 16:10:21
コーシー・シュワルツから
(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2
770:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:05:38
>>757
もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな
771:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:57:44
不等式は嫌いなんだ
772:１３２人目の素数さん
09/03/08 23:43:39
>>771
ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…
773:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:02:16
この本に出てくる形の不等式って本当にそのまま論文で出版されてんのか？
他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？
774:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:15:14
>>773だがさ、蛇足するが、
例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。
775:１３２人目の素数さん
09/03/09 22:50:15
>>757 >>763
(2)
|x| << 1 のとき、マクローリン展開から
(1 + 1/x)log(1-x^2) = -x - x^2 -O(x^3),
log(1-x) = -x -(1/2)x^2 -O(x^3),
(1/x)log(1-x^2) = -x -O(x^3),
･･･ぢゃあダメだろうな。
776:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:00:41
xとyはともに正の実数でx+4y=3のとき、1/x+1/yの最小値は。
1文字消して微分したらできたけど全く愉快じゃないので、
かっこいい解法をお願いします。
777:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:10:00
(1^(1/2)+4^(1/2))^2<=(x+4y)(1/x+1/y).
778:776
09/03/11 00:33:11
はやっ。
(√(ax),√(bx)) と (1/√x,1/√y) にCauchy-schwarzってことですね。
かっこいいす。ありがとう。
779:１３２人目の素数さん
09/03/11 21:00:44
モノグラフって調和平均とか重みつきとかないよね
受験ではいらないってことか
他の不等式を学びたい場合はどんな本がいい？
780:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:00:18
>>779
>>2を読め！
781:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:28:00
>746のprime_132ってこのスレの住人？
782:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:34:10
あぁ、だがそれ以上は詮索しないでもらいたい
783:１３２人目の素数さん
09/03/13 16:40:42
そろそろ>>749の大数の宿題は〆切？
784:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:10:07
URLﾘﾝｸ(books.google.com)
これいいよ
785:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:46:55
F(a,b)=√（a^2+ab+b^2）
Fa=(2a+b).5/()^.5=0 a=-.5b
Fb=0 b=-.5a
F(a,b)=(a^2-.5a^2+.25a^2)^.5=(.75)^.5a
a=rcost,b=rsint a>b>0->cost>sint>0
F=r(1+costsint)^.5
786:１３２人目の素数さん
09/03/13 23:45:21
>>783
3/15締め切りです。
787:１３２人目の素数さん
09/03/14 23:52:56
ある直方体の12辺の長さの和を4L、表面積をS、体積をVとする
（1）L、Sが一定のときVのとりうる値を答えよ
（2）L、Vが一定のときSのとりうる値を答えよ
（3）S、Vが一定のときLのとりうる値を答えよ
788:１３２人目の素数さん
09/03/15 00:22:26
>746 から一題･･･
〔問題〕
0 < x のとき e^x > 3sin(x) を示せ。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
789:１３２人目の素数さん
09/03/15 03:04:09
>>788
グラ…接…
790:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:34:14
>>749
後四時間で解禁
791:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:56:47
>>749 は問題としては簡単だが，何がしか背景があるのだろう
792:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:57:41
120°
793:１３２人目の素数さん
09/03/15 23:03:12
>746 からもう一題･･･（外出だったらスマソ）
〔出題87〕
正数列 a[n] >0 の初項から第n項までの総和を S[n] とおく:
S[n] = Σ[k=1,n] a[k].
このとき，
{a[1]/S[n+1]}^(1/n) + ∑[m=1,n+1] {a[m]/(n･S[m])} ≦ 1 + (1/n),
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 121
794:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:04:47
〆切あげ
795:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:22:04
>746 から･･･
〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
H = 2xy/(x+y), G = √(xy), A = (x+y)/2, Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1) H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2) G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。
--------------------------------------------
H,G,A は等比数列だから
(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G) ････ (*)
よって
G ≦ A ≦ Q,
Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
Q-A ≦ A-G,
あとは
G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 100
796:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:18:31
今年の東北大入試問題から
a+b≧cであるとき
a^3+b^3+3abc≧c^3
797:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:53:36
それは易しすぎるだろ・・・
湘南工科大レベル
798:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:59:18
>>796
3乗の因数分解の公式そのもの。
レベル０
高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
799:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:00:00
ｃ＝０。
ｄ＝０。
ｂ＝０。
ｄ＝０。
800:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:55:19
>>796
これはひどい
こんなのが出るのが今の入試は
801:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:57:01
もしかして文系学部の問題？
802:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:12:29
理系だね、（１）もあったね
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
803:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:33:06
>>802
ガセネタかと思ったら、マジかよ！
オ㍗ル
804:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:01:21
おまえら不等式には厳しいなｗ
805:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:02:27
>>797 >>798 >>800 >>801 >>803
勘違いしてないか？そこまで簡単じゃないよ。
806:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:08:35
>>805
アー、アー、キコエマスカー？
どの辺が難しいのかな？
因数分解の公式かな？
それともその後の平方完成の仕方かな？
807:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:10:09
>>796
ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？
808:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:10:12
>>805
Ｆランのお前には難しいのだろう
国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ
809:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:14:48
講評では難易度は標準って書かれてるんだけどな
810:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:16:33
ゆとり的には標準なんじゃないか
811:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:20:19
>>809
そのとおり。
言うほど簡単じゃない。模範解答見ればやさしいけどね。
問い１としての難易度は適切だと思う。
良問かどうかはわかりかねるが、東北大の入試の倍率が３倍だとすると、
この問い１で受験生のうち下３分の１くらいは落とせるんじゃないかな。
812:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:25:08
>>811
どこが難しいのかｋｗｓｋ
813:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:25:12
まず、下１０％くらいは、
a+b>=c ＜＝＞ a^3+b^3+3ab(a+b)>=c^3
として、a+bをｃで置き換えて証明終わり
とする（東北大入試の）受験生はでてくる。
そういった論理性の欠ける人を落とすのがひとつの目的だと推測
814:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:27:21
>>813
え？
815:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:30:04
（１）は=だから、>>813のとおりにやって良いんだけど、
（２）は不等号だから、だめ。
講評では（１）がヒントになる、と書いてあるけれど、かえって（１）の
おかげで間違える人も１０％（いいすぎか５％）はいると思う。
816:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:32:04
だからいくらなんでも
>>798
>3乗の因数分解の公式そのもの。
>レベル０
>高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
は言いすぎだろ。
817:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:34:27
>>816
え？高1はじめの中間に出るレベルだけど？
818:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:40:21
その入試問題１－６全部みるとわかるけど、問題１以外は証明問題は
問題５（１）だけで、あとは、値を求めさせる問題。
問題１は、証明がちゃんと書けるか、を見るのがねらいなんじゃないの？
問題１がなかったら、論証がいいかげんで答えを見つけるのが得意な
人だけが入ってきちゃう。
それに、数学科志望生だけが受けるレベルじゃないからね。
>>817
でも、中間テストでみんなが満点なわけじゃないと思うよ。
しかも公式を習った直後で範囲が狭まっている時に出題すれば
得点率上がるのは当たり前。
君は高１か？予備校の模試受けたら（できれば東北大限定模試）、
各問題の平均点見てみ。
そんなに高くないよ。制限時間内ではね。
問題１としては適当。（６題全部がこれだったらやさしいけどね。）
819:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:42:16
>>817
君の学校は、始業式の翌日に中間テストをやるのか？
820:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:48:50
>>818
そうだね
ごめん
821:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:54:54
今年東北落ちた人か？
河合は標準、駿台はやや易だった
822:１３２人目の素数さん
09/03/16 05:01:08
>>821
＞今年東北落ちた人か？
落ちてない。落ちるほどの学力なら、あぁ、俺には難しいけど、
受かった人にとっては簡単なのかも、、と思って難易度は断定できない。
＞河合は標準、駿台はやや易だった
そうだろ、標準か、やや易、だろ。そんなもんだ。
びっくりするほど易しすぎはしない。入試問題として。
823:１３２人目の素数さん
09/03/16 07:56:31
>>819
>>817のどこに始業式の翌日にやるってかいてあるんだよ
824:１３２人目の素数さん
09/03/16 07:59:47
>>811
真剣な話、どこが難しいのかな？
>>819
入学式の翌日に実力テストをやりましたが何か？
範囲は２次関数の終わりまで。
825:１３２人目の素数さん
09/03/16 08:06:16
そろそろどこか他のところでやってくれ。
826:１３２人目の素数さん
09/03/16 08:40:09
>>811は解けなかっただけだろ
827:１３２人目の素数さん
09/03/16 09:17:11
件の人はa^3 + b^3 + c^3 - 3abcの因数分解の公式知らんのかね。
つうかこのスレは大学入試問題レベルの簡単な問題を
扱うような感じじゃないと思うけど。
828:１３２人目の素数さん
09/03/16 09:21:55
少なくともこのスレ的には対称式に対する標準的な処方箋で解ける問題．
因数分解の公式なんて忘れても，基本対称式で書こうとするだけでいい．
829:１３２人目の素数さん
09/03/16 19:32:17
>>749の正しい問題文は何だろう
830:１３２人目の素数さん
09/03/16 22:31:37
>>795
G-H ≦ Q-A を示そう。
(A-H) = (A^2 -G^2)/A = (Q^2 -G^2)/(2A) = (Q-G){(Q+G)/(2A)},
(Q-A) - (G-H) = (Q-G) - (A-H) = (Q-G){1-(Q+G)/(2A)} = {(Q-G)/(2A)}{(A-G)-(Q-A)} ･･････ (**)
∴ Q-A は G-H と A-G の間にある(G-H寄り)。
**) 右辺の係数は 0 < (Q-G)/(2A) ≦ (Q+G)/(2A) < 1,
よって
(3) (Q-A)-(G-H) ≦ (A-G)-(Q-A),
〔問題〕
3変数(x,y,z) のときは (1) のみが成り立つことを示せ。
831:１３２人目の素数さん
09/03/16 23:39:12
東大入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)
京大入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)
大学入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)
いくつかは不等式の問題拾えるんじゃない？
832:１３２人目の素数さん
09/03/16 23:49:27
そんなもん見るよりジャーナル見るほうが有意義だ
833:１３２人目の素数さん
09/03/17 00:00:13
>>830
(1)
H = 3/(1/x + 1/y + 1/z), G = (xyz)^(1/3), A = (x+y+z)/3, Q = √{(x^2 + y^2 + z^2)/3},
Q^2 - A^2 = (x^2 +y^2 +z^2)/3 - (1/9)(x+y+z)^2 = (1/9){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
A^3 - G^3 = {(x+y+z)/3}^3 -xyz = {(x+y+7z)/2}(x-y)^2 + {(7x+y+z)/2}(y-z)^2 + {(x+7y+z)/2}(z-x)^2 ≧ 0,
(1/H)^3 - (1/G)^3 = {[(1/x)+(1/y)+(1/z)]/3}^3 - 1/(xyz) = {(x'+y'+z')/3}^3 - x'y'z' ≧ 0,
∴ H ≦ G ≦ A ≦ Q,
(2) y=z=1 の場合を考えると
H = 3x/(1+2x), G = x^(1/3), A = (2+x)/3, Q = √{(2+x^2)/3},
x<1 のとき G-H > A-G > Q-A,
x>1 のとき G-H < A-G < Q-A,
834:830
09/03/17 00:05:05
>>833
GJ!!
されど、3変数のときはQよりも
T = {(x^3+y^3+z^3)/3}^(1/3),
使った方が良くね？
835:１３２人目の素数さん
09/03/17 23:05:37
>>830, 833
(2) y=z=1 の場合は････
0 < x < 0.00415949095310635… のとき、 G-H < Q-A < A-G,
0.00415949095310635… < x < 0.15064425… のとき, Q-A < G-H < A-G,
0.15064425… < x < 1 のとき, Q-A < A-G < G-H,
1 < x < 9.33372455･･･ のとき、 G-H < Q-A < A-G,
9.33372455･･･ < x のとき、 G-H < A-G < Q-A,
と成増とんねるず。
但し、区間の端点は
0.15064425142615432931841204604911････ = 1/{2cos(π/9)}^3, x + 3･x^(2/3) -1 =0 の根。
9.3337245536744706772511885807731････ = {(2√3)cos([π-arccos(25/27)]/6) - 1}^3, x + 3･x^(2/3) -6･x^(1/3) -10 =0 の根。
836:１３２人目の素数さん
09/03/17 23:15:33
a≧b≧0，c≧d≧0のとき
√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
837:１３２人目の素数さん
09/03/18 03:27:30
a,b,cを実数とする
a+b+c=0のとき
（|a|+|b|+|c|)^2≧2（a^2+b^2+c^2)
838:１３２人目の素数さん
09/03/18 16:53:54
2(a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
≦(a^2+b^2+c^2)+2(|ab|+|bc|+|ca|) = (|a|+|b|+|c|)^2
839:835
09/03/18 22:01:22
>>830, >>833,
0.00415949095310635… は x^3 +3x^(8/3) +3x^(7/3) +(9/2)x^2 +3x^(5/3) +3x^(4/3) +(39/8)x +(33/8)x^(2/3) + (3/4)x^(1/3) -(1/4) =0 の根。
840:１３２人目の素数さん
09/03/19 16:04:37
>>836
チェビシェフの不等式
841:１３２人目の素数さん
09/03/19 22:36:19
>>836
三角不等式
842:１３２人目の素数さん
09/03/19 23:37:37
>>749>>799>>829>>836
a=1,b=1,c=0,d=0.
√（3）≧2.
843:１３２人目の素数さん
09/03/20 00:22:31
a≧b≧0，c≧d≧0のとき
√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
じゃね？
844:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:39:13
>>843
bingo!
845:１３２人目の素数さん
09/03/22 07:14:22
>>843
∠UOV = 120ﾟ なる半直線 OU,OV を考える。 >>792
OU上に OA=a, OB=b なる点A,B をとる。
OV上に OC=c, OD=d なる点C,D をとる。
題意により、2つの線分AD, BC は交わるから、交点を X とする。2つの線分AC, BD は交わらない。
(左辺) = AD + BC = (AX + XD) + （BX +XC) = (AX + XC) + (BX + XD) ≧ AC + BD = (右辺).
[初代スレ.068, 071] の類題ぢゃね？
846:１３２人目の素数さん
09/03/25 01:42:40
(；´д｀) ﾊｧﾊｧできそうなネタ満載
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
847:１３２人目の素数さん
09/03/28 00:40:44
>>846
Problem 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,
Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)
Problem 312.
a,b,c を正の実数とするき
(a+1)^4 /(b^2) + (b+1)^4 /(c^2) + (c+1)^4 /(a^2) ≧ 48,
Problem 316.
n>6 のとき, 凸ｎ角形Ａ0Ａ1……Ａn に対して適当な i≠j が存在して
|cos(∠Ａi) －cos(∠Ａj)| < 1/{2(n-6)},
848:１３２人目の素数さん
09/03/28 00:59:42
>>847
Solution 1.
f(x) = (1-x)log(x), とおくと
f "(x) = -(1+x)/(x^2) < 0,
∴ y=f(x) は上に凸。
∴ log(左辺) = f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2log(1/3) = log(1/9) = log(右辺),
Solution 312.
相加相乗平均２回
(a+1)^2 = (a-1)^2 + 4a ≧ 4a, etc.
(左辺) ≧ 16{(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2}
= 16{(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2}/(abc)^2
= 48 + {(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2 -3(abc)^2}/(abc)^2
= 48 + (X^3 + Y^3 + Z^3 -3XYZ)/(abc)^2
≧ 48 = (右辺).
ここに X=(AAC)^(2/3), Y=(BBA)^(2/3), Z=(CCB)^(2/3),
X^3 +Y^3 +Z^3 -3XYZ = (1/2)(X+Y+Z){(X-Y)^2 +(Y-Z)^2 +(Z-X)^2} ≧ 0,
849:１３２人目の素数さん
09/03/29 01:26:28
>>847
Solution 316.
外角 π-A_i の和は2πである:
(π-A_1) + (π-A_2) + …… + (π-A_n) = 2π,
n>k とする。
π-A_i > 2π/k となる A_i は k-1 個以下。
残りの n-k+1 個以上については 0 <π-A_i ≦ 2π/k,
-1 < cos(A_i) ≦ - cos(2π/k),
ディリクレの引き出し論法（鳩ノ巣原理）により、
| cos(A_i) - cos(A_j) | < {1 - cos(2π/k)}/(n-k),
本問では k=6.
〔蛇足〕
nを固定すると、k ≒ 2n/3 の辺りで最小になると･･･
(右辺) < (2π^2)/{(n-k)k^2} < (27/2)π^2 / n^3,
850:849
09/04/05 19:45:07
↑は
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
のp.3に出てた。orz
しかたないので一題･･･
Problem 2.
Let a_1 ～ a_5 be real numbers satisfying the following equations:
a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/(4+k^2) + a_5/(5+k^2),
for k=1～5. Find the value of
a_1/37 + a_2/38 + a_3/39 + a_4/40 + a_5/41,
(Express the value in a single fraction.)
851:１３２人目の素数さん
09/04/05 19:51:15
>>850
結果だけ並べると･･･
a_1 = 1105/72,
a_2 = -2673/40,
a_3 = 1862/15,
a_4 = -1885/18,
a_5 = 1323/40,
より
b_6 = 187465/(3*37*38*39*41) ≒ 1.00061649483987･･･ / 36,
b_7 = 1197/(5*13*17*53) ≒ 1.00150260394436･･･ / 49,
b_8 = 85345/(16*13*17*23*67) ≒ 1.00240485551780･･･ / 64,
b_9 = 277289/(9*17*41*43*83) ≒ 1.00321917612728･･･ / 81,
b_10=12117378/(3*25*7*13*17*101*103) ≒ 1.00391855290609･･･ / 100,
b_0 = 13489 / 3600 ≒ 3.74694444444444･･･
ここに b_k = a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/84+k^2) + a_5/(5+k^2),
852:１３２人目の素数さん
09/04/05 23:12:36
不等式ﾊﾞﾝｼﾞｬｲ！
853:850
09/04/07 21:04:51
スレ違いだったか･････ ---> 線形代数/線型代数スレ
ぢゃあ もう一題
〔問題322'〕
Let a,b,c be positive real numbers satisfying the condition a+b+c=s.
Prove that
(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ 2,
854:１３２人目の素数さん
09/04/07 23:31:17
>>853
忙しいので、とりあえずﾊｧﾊｧしておく！
(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ…
855: ◆BhMath2chk
09/04/08 00:00:00
ａ（１）／（ｘ＋１）＋ａ（２）／（ｘ＋２）＋ａ（３）／（ｘ＋３）＋ａ（４）／（ｘ＋４）＋ａ（５）／（ｘ＋５）－１／ｘ
＝（ｘ－１）（ｘ－４）（ｘ－９）（ｘ－１６）（ｘ－２５）／１２０ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）（ｘ＋５）。
856:１３２人目の素数さん
09/04/08 00:09:21
>>855
？
857:１３２人目の素数さん
09/04/08 01:16:17
>>853
a=b=c=1/2とかで不等式が成立しない気が
858:１３２人目の素数さん
09/04/08 23:41:08
>>857
スマン。↓に訂正。
(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ,
859:１３２人目の素数さん
09/04/09 19:57:31
>>686 2)
(pa-qb)/(a-b) =X, (pb-qc)/(b-c) =Y, (pc-qa)/(c-a) =Z,
とおくと、
X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2,
本問では p=4, q=3,
860:１３２人目の素数さん
09/04/09 21:05:57
>>858
(左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)}
≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9} (-調和≧-相加)
=(2/3)s
861:１３２人目の素数さん
09/04/10 16:55:30
>>686 1)
a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき
a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z)
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
862:１３２人目の素数さん
09/04/11 16:35:09
>>686 2), >>859 の略証･･･
X = {p+q+(p-q)x}/2, Y = {p+q+(p-q)y}/2, Z = {p+q+(p-q)z}/2,
とおくと
X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX)
= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX)
= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx)
= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1),
ところで、題意から
x = (a+b)(a-b), y = (b+c)/(b-c), z = (c+a)/(c-a),
∴ xy + yz + zx + 1 = 0,
863:１３２人目の素数さん
09/04/16 01:49:31
問題投下
３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ
ヘロンでどぞー
864:１３２人目の素数さん
09/04/16 02:05:16
キタコレ！
865:１３２人目の素数さん
09/04/18 10:54:55
>>863
⊿ = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B),
でも解けるお。
⊿ = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3)
≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 (相加･相乗平均)
≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3) (0～πで上に凸)
= (1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3)
= (√3)/4･(abc)^(2/3), (等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.)
⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
866:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:52:00
>>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････
本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
≦ √{s(s/3)^3} (相加･相乗平均)
= (1/√27)s^2
= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2
≦ (√3)/4･(abc)^(2/3), (相加･相乗平均)
⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
867:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:54:39
>>866 はまちがい。
無視してください。
868:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:55:55
無視しません！
869:１３２人目の素数さん
09/04/18 13:48:39
黙殺する
870:866
09/04/18 23:39:33
>>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････
本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。また
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
⊿ = √(su)
= {s･(√su)･u}^(1/3)
≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) (3su≦t^2)
≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) (*)
= (√3)/4･(abc)^(2/3),
※ st-u ≧ (8/9)st ≧ 8u より
st≦(9/8)(st-u), u≦(1/8)(st-u),
871:１３２人目の素数さん
09/04/22 19:51:53
n：自然数とする。
(1) 2数 x、y の和、積を考え
x+y=p、xy=q この p、q が共に整数ならば
x^n + y^n は整数であることを証明せよ。
(2) x>0、y>0 のとき
( (x+y)/2 )^n ≦ (x^n + y^n )/2 であることを証明せよ。
872:１３２人目の素数さん
09/04/22 20:57:26
>>871
馬鹿か？
873:１３２人目の素数さん
09/04/22 22:15:48
>>861
〔命題〕
a,b,c >0, x,y,z >0 のとき
f(x,y,z) = a/(b+cx) + b/(c+ay) + c/(a+bz) - 9/(x+y+z+3) ≧0,
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
f(0,0,0) = (a/b) + (b/c) + (c/a) -3 ≧0,
x,y,z のいずれかが∞となるとき、(右辺) → 0 で成立。
f(,,)に極値があるとすれば
∂f/∂x = -ca/(b+cx)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
∂f/∂y = -ab/(c+ay)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
∂f/∂z = -bc/(a+bz)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
b+cx >0, c+ay >0, a+bz >0, x+y+z+3 >0 から
a/(b+cx) = 3{√(a/c)}／(x+y+z+3),
b/(c+ay) = 3{√(b/a)}／(x+y+z+3),
c/(a+bz) = 3{√(c/b)}／(x+y+z+3),
に限る。この点でf(,,)が極大なら (←これが問題だが････)
f(x,y,z) ≧ 3{√(a/c) + √(b/a) + √(c/b) -3}／(x+y+z+3) ≧0,
874:１３２人目の素数さん
09/04/22 23:47:37
>>872
馬鹿か？
875:１３２人目の素数さん
09/04/23 08:55:27
( ﾟ∀ﾟ)＜荒らしイクナイ！
876:１３２人目の素数さん
09/04/23 09:10:06
こんなスレがあったとは！！最近不等式に興味持ち出していろいろやってます。
ところSOS不等式って何ですか？
877:１３２人目の素数さん
09/04/23 10:24:04
>>876
sum of squares inequality: Σa_k^2 ≧ 0
「任意の非負有理式は有理式の自乗和で書ける」というArtinの結果があるので，
有理式≧0 は，左辺を記述する有理式の自乗和を構成する方法で必ず証明できる．
（もちろん，それを見つけるのが簡単とか難しいとかはあるけれど）
878:１３２人目の素数さん
09/04/23 13:53:03
マジ？
SOS不等式ってもは初めて聞いたし、877の解説が面白くて、ネタに見えて仕方がないんだけど…
879:１３２人目の素数さん
09/04/23 15:32:04
>>878
SOS不等式と呼ばれている不等式が何種類かあって紛らわしいから，
普通は前後の脈絡無しに「SOS不等式」って言うことはないんだけど，
最近最適化の専門家の間で >>877 の「SOS不等式」が盛んに研究されてて，
個人的にも今その辺がホットだから，勢いで書いちゃった．
数学的な内容としては >>877 の結果は正しくて，
特にここ10年くらいで，この方法を使った多項式の最小値を計算する
アルゴリズムが実用的になってきてる．
興味があるなら，古典的な話題はHilbertの第17問題で調べるとよくて，
最近は Pablo A. Parrilo って人が活発にやってる．
880:１３２人目の素数さん
09/04/24 00:09:49
>>879
勉強になりますた！
881:１３２人目の素数さん
09/05/07 21:53:59
〔問題857〕
xが自然数 のとき
3^(x-1) ≧ LCM(1,2,3,････,x) ≧ 2^(x-1),
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:857番)
東大入試作問者スレ１６
882:１３２人目の素数さん
09/05/08 03:29:09
質問です。
一応、有名不等式(Weighted AM-GM,Cauchy-schwartz,Holder,Rearrangement,
Jensen,Muirhead,Schur,etc...)などについての知識やその証明は理解したのですが
実際に問題に取り組む時に「どんな場合にどの有名不等式を用いるべきか」が見えてきません。
不等式が得意な方々の解法などを眺めていても妙に突拍子なアイディアにしか見えないんです。
数多くの問題に当たってるうちにこういう直観的なものは磨かれどれをいつ適用するかなど
見えてくるものなんでしょうか？
883:１３２人目の素数さん
09/05/08 03:44:16
>>882
そうです！
甘ったれないで下さい！
884:１３２人目の素数さん
09/05/09 19:20:05
>>882
職人芸修行 文献を大量に勉強してどの方法はどこで使うか博覧強記
イメージ戦略 解きたい問題が解けると信じる直観的理由と同じ意味の不等式を利用
試行錯誤 各場面毎に片端から使って出てくる不等式をノートに蓄積
他にもあるが時間が無くなったので
885:１３２人目の素数さん
09/05/09 23:26:18
>>882
とりあえず、片っ端から不等式とその証明（別解も全て）をコレクションし、Texでまとめるんだ！
886:１３２人目の素数さん
09/05/09 23:31:21
>>881
休憩が終わったら、他スレの不等式をここに貼る作業に戻るんだ！
>>882
休憩が終わったら、刺身の上にタンポポを乗せる仕事に戻るんだ！
>>884
休憩が終わったら、不等式を証明する作業に戻るんだ！
>>885
休憩が終わったら、不等式まとめサイトを更新する作業に戻るんだ！
>>886
休憩が終わったら、不等式を収集する作業に戻るんだ！
887:１３２人目の素数さん
09/05/10 03:49:35
>>876
SOS を具体的に用いて解いた解法は >>699 にありますよ。
簡単に言ってしまえば SOS ineq は
それぞれ S[a], S[b], S[c] は a, b, c の関数とし,
S = f(a, b, c) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
とおいたとき, S≧0 を証明するために使われる手法です。
>>887, >>889 で言われているものも SOS ineq ですが, >>876 さんが知りたいのはこういう類の方の ineq ですよね？
888:１３２人目の素数さん
09/05/10 21:46:04
〔問題〕
a,b,c,p,q >0, 1/2 ≦ p/q ≦ 2 のとき
a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) ≧ (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
≧ (1/3)(a+b+c){1/(pb+qc) + 1/(pc+qa) + 1/(pa+qb)}
≧ 3/(p+q),
(Shapiro不等式の一拡張)
889:１３２人目の素数さん
09/05/10 21:59:17
>>888
見かけほど難しくない(?)
左側:
a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) - (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)}
= {(2p-q)(2q-p)F_1 + (p+q)(2p-q)G + (p+q)(2q-p)H}/{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0,
G = F_1 + (st-9u+3⊿)/2 = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
H = F_1 + (st-9u-3⊿)/2 = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0,
ここに
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, 基本対称式
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a), 差積
中央と右側:
pb+qc = x, pc+qa = y, pa+qb = z, とおく。
a+b+c = (x+y+z)/(p+q),
よって 相加･調和平均より
(x+y+z)^3 /(9xyz) = (x+y+z){F_0 + 3(xy+yz+zx)}/(9xyz) ≧ (1/3)(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) ≧ 3,
これを (p+q) で割る。ここに
F_0 = (x-y)(x-z) + (y-z)(y-x) + (z-x)(z-y)
= (x^2 + y^2 + z^2) - (xy+yz+zx)
= (1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
890:１３２人目の素数さん
09/05/11 20:17:25
nを正の整数とする。
(n+2)角形A1A2……AnA(n+1)A(n+2)について、面積をS
正整数kに対して辺AkA(k+1)の長さをx(k)とする。
このとき
∑[k=1_n] {(k^2-k+1)*(x(k))^2} + n*x(n+1)^2 ≧4S
を示せ。
891:１３２人目の素数さん
09/05/11 20:28:43
〔問題895〕
正の実数a,b,cに対して不等式
a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1,
が成立することを示せ。 ただし、s = a+b+c.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:895番)
東大入試作問者スレ１６
a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2),
巡回的にたす。
(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1,
ここに
F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
892:１３２人目の素数さん
09/05/11 22:56:21
>>886
つ problem.322
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
893:１３２人目の素数さん
09/05/12 02:26:44
>>891
ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2,
f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。
(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1,
894:１３２人目の素数さん
09/05/12 02:34:51
パネェっす
895:１３２人目の素数さん
09/05/13 03:26:07
nを正の整数とする。
(n+2)角形 A1A2……AnA(n+1)A(n+2) について、面積をS,
正整数kに対して、辺AkA(k+1) の長さをx(k)とする。(1≦k≦n+1)
このとき
(1/2)∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,
を示せ。
896:１３２人目の素数さん
09/05/13 05:00:00
二年。
897:１３２人目の素数さん
09/05/13 23:27:15
>>895
180度より大きい内角が存在するような図形も考慮するの？
898:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:02:41
>>892
Problem 322.
a+b+c=3 のとき、
a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,
(略証)
a+b+c=s とする。
D = (a+b+ab)/(b+1) + (b+c+bc)/(c+1) + (c+a+ca)/(a+1)
= (a+1) -1/(b+1) + (b+1) -1/(c+1) + (c+1) -1/(a+1)
= s + 3 -1/(a+1) -1/(b+1) -1/(c+1),
ところで、
1/(x+1) = 1/{2 + (x-1)} ≧ (1/4){2 - (x-1)} = (3-x)/4,
より
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ (9-s)/4,
あるいは、y=1/(x+1) は下に凸だから、
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ 3/(s/3 +1) = 9/(s+3),
よって
D ≦ s+3 - (9-s)/4 = (5s+3)/4 = 9/2, あるいは
D ≦ s+3 - 9/(s+3) = 9/2,
コーシー不等式より
(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(5s+3)/4} = 2, あるいは
(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(s+3) -9/(s+3)} = 2,
899:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:58:00
>>892
Problem 322.
a,b,c>0, a+b+c=3 のとき、
a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2,
(略証)
xy ≦ (1/4)(x+y)^2, より
(左辺) = (a-1) + (a+b)/(a+b+ab) + (b-1) + (b+c)/(b+c+bc) + (c-1) + (c+a)/(c+a+ca)
= s-3 +(a+b)/(a+b+ab) + (b+c)/(b+c+bc) + (c+a)/(c+a+ca)
≧ s-3 + 1/{1 + (a+b)/4} + 1/{1 + (b+c)/4} + 1/{1 + (c+a)/4}
≧ s-3 + 9/(3 + s/2) (← 相加･調和平均)
= 2,
900:１３２人目の素数さん
09/05/16 16:43:25
>>895
凸でない場合は、凸でない部分を折り返すことで
辺の長さの構成を変えずにより面積を大きくできるので
凸の場合を考えればよい。
(n+2)角形を、点A1を端点の一つとする対角線で分割し
それぞれで三角不等式を用いて上からおさえれば示せる。
901:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:33:49
>>900
正解でつ!!
三角形 Ａ1ＡjＡ(j+1) の面積は
(1/2)Ａ1Ａj･x_j･sin(∠Ａ1ＡjＡ(j+1)) ≦ (1/2)Ａ1Ａj･x_j ≦ (1/2){x_1 + x_2 + ･････ + x_(j-1)}x_j
これを j=2 から j=n+1 までたす。
x_(n+2) を含まないところがミソ。この辺が重なるように2つ並べると･･･
〔系〕
点対称または線対称な2n+2角形の 面積を S, 周長を
L = 2(x_1 + x_2 + ･････ + x_n + x_(n+1)),
とすると、
{n/(8(n+1))}L^2 ≧ ∑[1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S,
※ 等周問題からは {1/(4π)}L^2 ≧ S, (等号成立は円のとき)
902:１３２人目の素数さん
09/05/26 03:04:31
a,b,cは正の実数でa+b+c=1を満たす。nを正の整数とするとき
Π(k=0_n) 1/{1+a^(2^k)}{1+b^(2^k)}{1+c^(2^k)} ＞ 8abc
を示せ。
903:１３２人目の素数さん
09/05/26 09:33:40
>>902
難解すぐる…
904:１３２人目の素数さん
09/05/26 21:46:19
>>902
左辺に
1 + a^(2^k) = {1 - a^(2^(k+1))}/{1 - a^(2^k)}, 等
を代入して
Π(k=0,n) 1/{1 + a^(2^k)} = (1-a)/{1 - a^(2^(n+1))} > 1-a, 等(0<a,b,c<1)
ここで a+b+c = s とおくと、
(左辺) - (右辺) > (s-a)(s-b)(s-c) - 8abc
= s(ab+bc+ca) - 9abc
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,
ハｧハｧ
905:１３２人目の素数さん
09/05/27 01:16:53
Σ(ﾟДﾟ )！
ふ、ふつくしい…
906:１３２人目の素数さん
09/05/27 02:20:23
どの角も鈍角でない三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。このとき
(1/a^2+1/b^2+1/c^2)(a^2+b^2)≧5
を示せ。
907:１３２人目の素数さん
09/05/27 02:39:42
>>906
a,bを固定すると、c^2が最大のとき左辺は最小。
鈍角が無いからc^2=a^2+b^2が最大値である。
一般性を失うことなくa^2+b^2=1とすると、
左辺=1/a^2+1/b^2+1 なので、
a^2=b^2=1/2のときに最小値を取る。
908:１３２人目の素数さん
09/05/27 07:01:24
>>906
左辺に c^2 がないから、タイプミスかと思っていたぜ…
909:１３２人目の素数さん
09/05/28 01:42:00
>>2の本でお薦めはありますか？
910:１３２人目の素数さん
09/05/28 05:48:50
>>909
全てだ！
911:１３２人目の素数さん
09/05/28 15:20:08
実数x,y,zが、xyz=1,0＜x＜y≦1を満たすとき
z/(y-x)≧4
を示せ。
912:１３２人目の素数さん
09/05/28 15:29:02
xyz=1 なので z=1/(xy). これをz/(y-x)≧4 に代入して整理すると、
xy(y-x)≦1/4 を示せばよいことがわかる。
相加相乗平均の関係式より x(y-x)≦y^2/4 なので、
xy(y-x)≦y^3/4≦1/4.
913:１３２人目の素数さん
09/05/28 19:58:50
〔Stirlingの不等式〕
nが自然数のとき、
√(2π)･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。
できれば代数的に･･･
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:50番)
東大入試作問者スレ１７
914:１３２人目の素数さん
09/05/28 22:08:23
>>913
代数的とは？
915:１３２人目の素数さん
09/05/28 22:50:08
>>914
ビブンのことはしない、ってことぢゃね？
916:１３２人目の素数さん
09/05/28 23:07:10
解析使わないってことでしょ
917:１３２人目の素数さん
09/05/28 23:42:26
積分による不等式評価もだめかしら。
expをどうやって定義しようか。
918:１３２人目の素数さん
09/05/29 05:18:05
>>913
オイラーの無限解析に書いてあるよとか確認せずに言って見るテスト
919:１３２人目の素数さん
09/05/29 06:10:07
>>918
責任もって確認してくるように！
920:１３２人目の素数さん
09/05/30 23:38:14
ノート派ですか？ルーズリーフですか？
□□□示すべき不等式□□□
（証明）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
（証明2）
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
こんな感じで書いてるんですが、皆さんはどうですか？
921:１３２人目の素数さん
09/05/30 23:56:10
>>920
TeXで書いて、別の証明があったら付け加えて…、の繰り返しだわな… ( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ！
922:１３２人目の素数さん
09/05/31 00:48:23
0＜a，b，cかつa＋b＋c＝6のとき
（a＾a）（b＾b）（c＾c）≧（abc）＾2
923:１３２人目の素数さん
09/05/31 08:50:57
たいしょうせいよりうんたらかんたら
たいすうとってちぇびしぇふ
924:１３２人目の素数さん
09/05/31 10:07:41
>>923
なるほど，上手いね！
925:１３２人目の素数さん
09/05/31 23:08:05
>>906
は C≦90ﾟ ならおk.
蛇足だが、C>90ﾟ も許すと、
(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(a^2 + b^2) > 9/2,
(略証)
コーシーより
(1/a^2 + 1/b^2)(a^2 + b^2) = 4 + (a/b - b/a)^2 ≧ 4,
c<a+b より
c^2 < (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2) - (a-b)^2 ≦ 2(a^2 + b^2),
(1/c^2)(a^2 + b^2) > 1/2,
926:１３２人目の素数さん
09/06/01 03:22:29
>>920
ルーズリーフに大きく不等式を書いてセクションみたくして
次ページから証明を書けばよい
そうすれば後から追加し放題じゃね？
927:１３２人目の素数さん
09/06/01 14:42:43
>>926
なるほどなー
TeXが使えなかったら、きっとそうしていたね！
928:926
09/06/02 10:42:43
ページの片側だけ使うようにすれば，さらに視認性が上がる(ひっくり返さなくて済む)
ただしページが倍になる．．．
929:１３２人目の素数さん
09/06/02 22:12:20
>>925
C≧90ﾟ のときは
cos(C) ≦ 0,
c^2 = a^2 + b^2 -2ab･cos(C) ≦ {1-cos(C)}(a^2 +b^2), 第二余弦定理
(1/c^2)(a^2 + b^2) ≧ 1/{1-cos(C)},
(906の左辺) ≧ 4 + 1/{1-cos(C)},
930:１３２人目の素数さん
09/06/02 22:15:36
>>926
？？？
931:926
09/06/02 22:35:55
>>930
>>926>>928方式だと
ルーズリーフの
1枚目表： 不等式(1)
2枚目表： 証明(1)
・・・3枚証明に割く・・・
5枚目表： 証明(2)
・・・2枚証明に割く・・・
7枚目表： 不等式(2)
8枚目表： 証明(1)
・・・以下続く・・・
不等式(1)の証明が増えたら，7枚目の前に入れていく．
セクションとは区切りね．不等式ごとに区切る．物理的という意味ではないが，目印として付箋貼っとくとかインデックスシール貼るとか，そのまんまルーズリーフ区切り入れるとか
932:１３２人目の素数さん
09/06/03 02:06:48
>>931
どのくらいのレベルの不等式から取捨選択するかによって大きく異なりそう
長方形ABCDの辺AD,CD(頂点は除く)上にそれぞれ点P,Qをとる
PB+PQ<AB+AQ
a,b,cは自然数とする
2^(a+b)+2^(b+c)+2^(c+a)≧2^(a+b+c+1)+1
933:１３２人目の素数さん
09/06/04 01:12:43
2^(a+b) + 2^(b+c) + 2^(c+a) ≦ 2^(a+b+c) + 4,
(略証)
A,B,C≧0 のとき
(2+A)(2+B)(2+C) +4 -(2+A)(2+B) -(2+B)(2+C) - (2+C)(2+A) = AB+BC+CA + ABC ≧ 0,
934:１３２人目の素数さん
09/06/05 23:06:39
＿＿＿_
／ ＼ 宿題が終わらないお
／ _ノ ヽ､_ ＼
／ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ＼
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／´ ｀＼
/ / l l .＿＿＿
＿_l l_¶＿＿＿＿＿＿/＿/＿_/ ヽ
＼, ´-'ヽ ￣|￣￣￣￣| l二二二二l
ヾ＿ノ | '''' ' | l二二二二l
| 9=ε-8. | '''..-- | l二二二二l:::..
| ..'' | ''-. ,|
935:１３２人目の素数さん
09/06/06 00:57:38
2^x ≧ 2φ(x) のとき
2^(a+b)φ(c) + 2^(b+c)φ(a) + 2^(c+a)φ(b) ≦ 2^(a+b+c) + 4φ(a)φ(b)φ(c),
(略証)
2^a - 2φ(a) = A, 2^b -2φ(b) = B, 2^c -2φ(c) = Cとおくと、
題意により A,B,C≧0,
2^(a+b+c) + 4φ(a)φ(b)φ(c) - 2^(a+b)φ(c) - 2^(b+c)φ(a) - 2^(c+a)φ(b)
= {2φ(a)+A}{2φ(b)+B}{2φ(c)+C} + 4φ(a)φ(b)φ(c) - φ(c){2φ(a)+A}{2φ(b)+B} - φ(a){2φ(b)+B}{2φ(c)+C} - φ(b){2φ(c)+C}{2φ(a)+A}
= ABφ(c) + BCφ(a) + CAφ(b) +ABC ≧ 0,
(例)
φ(x) = 1, x, (x^2 -x+2)/2, ･････, Σ[k=0,n] Ｃ[x-1,k], ････
936:１３２人目の素数さん
09/06/06 14:43:04
>>932 (上)
辺CD上に、CA '= QD なる点A 'をとる。
辺CDの延長線上に、B 'D = DQ なる点B 'をとる。
A 'B '= AB かつ A 'B '//BA ゆえ、ABA 'B 'は平行4辺形。
AD上の点Pは、その内部にある。〔系〕により
BP ＋PB '< BA + AB ',
∴ BP ＋PQ < BA + AQ,
〔補題〕 点Pが △XYZ の内部にあれば PY + PZ < XY + XZ,
(略証) YPの延長線とXZの交点をP 'とおく。三角不等式により PY + PZ < P 'Y + P 'Z < XY + XZ,
〔系〕 点Pが 平行四辺形ABA 'B 'の内部にあれば、BP + PB ' < BA + AB ',