08/10/20 05:37:48
>>341
A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
for every positive integer n.
(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと (← ガウスの記号)
t = {n√2} - {n√3}
= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
= k - (√3 -√2)n (k∈N)
= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
分母は0でない整数。
・ n≧20 のとき
|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
辺々掛けて
|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
より成立。
・n≦20 のとき、
(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).