08/09/25 20:27:12
〔問題620〕
全ての自然数nについて
n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:620番)
(略証)
左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。
log(1!)=0 より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
= log(n),
b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
= log(n),
よって成立。