08/09/18 22:58:03
今気付いたけどこのスレのURL0がいっぱい並んでて綺麗
535:１３２人目の素数さん
08/09/19 01:11:37
>>528 2008 千葉大の問題でした。回答速報の答えはへたくそ。
実際、誘導つきなんですがねえ。
536:１３２人目の素数さん
08/09/19 02:50:44
n個の正の実数x[1],x[2],,,,x[n]がx[1]+x[2]+･･･+x[n]=1を満たすとき
不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。
537:５３６
08/09/19 02:55:48
n> 2です
538:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:19:16
king ↔ うんち
(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²
539:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:20:41
荒らそうと必死ですね わかります
540:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:42:06
>>535-537
(-1+∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2 (x[n+1]=x[1])
=1-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞∑[j=1,n]x[j]^2
541:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:45:52
↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、∑の記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。
542:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:46:41
なんか²
543:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/09/19 12:30:28
Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。
544:１３２人目の素数さん
08/09/19 14:54:59
>>540
＞ =(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞ =∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
これはどういう変形？
545:１３２人目の素数さん
08/09/19 16:20:24
>>544
(∑[j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
546:１３２人目の素数さん
08/09/19 17:52:03
king ≤ うんこ
547:１３２人目の素数さん
08/09/19 18:29:25
荒らそうと必死ですね わかります
548:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/09/19 21:06:37
Reply:>>546 何をしている。
549:１３２人目の素数さん
08/09/20 03:45:57
>>536
x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
s = 1,
∑[j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
550:１３２人目の素数さん
08/09/20 08:07:35
本質的に>>540=>>549
551:551蓬莱
08/09/20 23:51:56
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
552:１３２人目の素数さん
08/09/21 07:57:45
>>533
3段の方が4段より難しかったな。
553:１３２人目の素数さん
08/09/25 20:27:12
〔問題620〕
全ての自然数nについて
n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:620番)
(略証)
左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。
log(1!)=0 より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
= log(n),
b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
= log(n),
よって成立。
554:１３２人目の素数さん
08/09/25 23:57:11
不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
555:１３２人目の素数さん
08/10/03 03:31:17
俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)
556:１３２人目の素数さん
08/10/04 01:08:48
>>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！
557:１３２人目の素数さん
08/10/04 01:37:22
πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。
558:１３２人目の素数さん
08/10/04 07:12:07
>>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理
559:１３２人目の素数さん
08/10/04 09:38:47
>>557
なめんなよ！
560:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:07:15
>>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。
561:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:39:17
〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
f(x) = x … (1)
f(f(x)) = x … (2)
f(f(f(x))) = x … (3)
f(f(f(f(x)))) = x … (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:096番), 104, 118
京都大学入試作問者スレ①
562:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:41:28
>>561 スレ違いっぽいが･････
(略証)
f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴ g(x) は定符号。
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …
563:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:49:07
>>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。
564:１３２人目の素数さん
08/10/05 00:26:53
>>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
565:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:42:02
e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）
だからこの問題は要するに
π を 誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。
2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？） 桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。
で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。
566:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:43:19
arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。
Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。
円周率の公式と計算法
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。
残りの参考サイト
円周率の公式集 暫定版
URLﾘﾝｸ(www.pluto.ai.kyutech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 記事内のリンクも参照。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
567:１３２人目の素数さん
08/10/05 15:38:02
全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある
568:１３２人目の素数さん
08/10/05 17:33:57
綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。
Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。
569:１３２人目の素数さん
08/10/05 18:00:03
>>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)
570:１３２人目の素数さん
08/10/06 20:05:15
>>410 のもとの問題文は↓(>>430)
円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
π^4+π^5≒e^6 (400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
数値計算をせずに
π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。
571:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/10/06 20:54:56
Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。
572:１３２人目の素数さん
08/10/06 23:59:10
>>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！
573:１３２人目の素数さん
08/10/07 00:09:55
>>570
いかにもエレ解な問題だな
574:１３２人目の素数さん
08/10/07 01:17:05
これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、
575:１３２人目の素数さん
08/10/08 01:17:31
>>534
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
最後の2つを参照、作成時刻にも注目
576:１３２人目の素数さん
08/10/09 21:33:02
>373-374 , 394
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:121番)
f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）
・境界上の極大
6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。
・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0 から
f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ, f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴ (a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。
なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)
しかし･････後味わるいな。
577:576
08/10/09 21:47:21
・境界上の極大
6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
578:１３２人目の素数さん
08/10/10 00:57:08
後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな
579:１３２人目の素数さん
08/10/11 00:16:10
ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…
580:576
08/10/13 04:25:00
>> f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴ {x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴ 区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴ 極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
≦ 18, (1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。
なお、a=0.279000307274921･･･ には極小（鞍点、峠点）がある。
581:１３２人目の素数さん
08/10/18 06:28:12
>>341
A.435. Prove
(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.
(略解) (>>394 を参照)
>>373-374 から,
6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,
582:１３２人目の素数さん
08/10/18 08:19:15
>>341
B.4021
a_k = 1 + b_k, b_k≧0 とおくと
(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).
A.433 A.436 A.439 A.447 は解答付き。
583:１３２人目の素数さん
08/10/19 00:12:38
>>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．
t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。
584:583
08/10/19 00:45:17
4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．
585:584
08/10/19 00:46:41
× 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
586:１３２人目の素数さん
08/10/19 07:23:26
〆切過ぎたから今月の大数の宿題
a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}
a_n<5を示せ
587:１３２人目の素数さん
08/10/19 11:54:01
>586
a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴ a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
a_(n+6) = -1/a_n.
∴ はじめの6項を求めれば分かる。
588:583-585
08/10/19 15:08:21
多投スマ祖。
q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。
589:１３２人目の素数さん
08/10/20 04:57:18
>>583
t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,
・3つの実根をもつから
Q <0, R^2 < 4(-Q/3)^3,
・解が t≧1 だから
(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
r-5 ≧0, q-2r+7 ≧0, q-2r+3 ≦0,
590:１３２人目の素数さん
08/10/20 05:37:48
>>341
A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
for every positive integer n.
(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと (← ガウスの記号)
t = {n√2} - {n√3}
= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
= k - (√3 -√2)n (k∈N)
= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
分母は0でない整数。
・ n≧20 のとき
|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
辺々掛けて
|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
より成立。
・n≦20 のとき、
(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).
591:１３２人目の素数さん
08/10/20 23:06:03
>590
分子は0でない整数。
>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]
592:１３２人目の素数さん
08/10/27 01:28:31
>>341
B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),
(略証)
a+b+c =s, abc =u とおく。
(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s} ････(*)
= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
≧ 0,
ここで Schur の不等式 F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。
(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
S = A + B + C = s^2 -3t,
T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
U = ABC = us^3 - t^3,
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.
593:１３２人目の素数さん
08/10/27 02:43:50
次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。
[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))
594:１３２人目の素数さん
08/10/27 08:44:05
>>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
新手の釣り師か？
595:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:34:46
計算機で解けば？
596:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:45:21
釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。
597:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:55:56
それのどこが不等式？
598:１３２人目の素数さん
08/10/27 16:59:40
>597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))
599:１３２人目の素数さん
08/10/27 23:10:30
>>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？
600:１３２人目の素数さん
08/10/29 03:55:59
Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ
a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ
601:１３２人目の素数さん
08/10/29 04:24:00
Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83
602:１３２人目の素数さん
08/10/29 19:49:32
Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ
これだと高校生でも何とかできるか
603:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:34:14
それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。
これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。
604:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:40:55
>603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。
605:１３２人目の素数さん
08/10/29 23:24:13
>>600
S_82 = 5 - 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,
>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,
S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,
S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,
606:592
08/10/29 23:35:18
>>592 の訂正, ｽﾏｿ.
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).
607:１３２人目の素数さん
08/10/31 21:53:26
>>600
↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,
〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0, (ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。
ハｧハｧ
608:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:19:48
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
609:１３２人目の素数さん
08/11/02 04:23:18
正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？
610:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:46:30
>>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？
611:１３２人目の素数さん
08/11/02 10:20:43
>>593>>598の変形し損ね？
612:１３２人目の素数さん
08/11/04 04:11:04
>>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦ 1/3
を示せ。 （２００７ 阪大）
613:１３２人目の素数さん
08/11/04 10:21:31
>>612
誘導なしだったら、いい感じだね
614:１３２人目の素数さん
08/11/04 20:40:08
test
615:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:07:44
lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1
TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。
a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)
≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）
=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
よってTH2が成立。
TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。
という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。
616:１３２人目の素数さん
08/11/04 21:11:03
>>615
>>437
617:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:19:36
日本の高校の教師によって示された。
俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。
次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」
シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。
「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」
618:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:00:11
>>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？
最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)
619:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:27:11
>>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。
620:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:31:41
アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明
のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん
621:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:47:21
>>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。
622:１３２人目の素数さん
08/11/05 05:24:54
x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ
ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？
623:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:24:12
>>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。
a^2-4b≦0
624:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:32:47
すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。
625:１３２人目の素数さん
08/11/06 20:53:25
基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。
626:１３２人目の素数さん
08/11/06 23:19:08
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>625
627:１３２人目の素数さん
08/11/07 00:08:42
>>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。
このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）
--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）
628:１３２人目の素数さん
08/11/07 19:37:45
>>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。
629:>>615訂正
08/11/07 19:53:16
「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。
630:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:07:16
反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？
631:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:09:40
単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？
632:１３２人目の素数さん
08/11/07 23:55:05
>>630-631
少し黙ってろ！
633:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:26:54
a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ
634:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:32:44
>>633
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。
635:１３２人目の素数さん
08/11/08 09:53:36
>>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。
636:１３２人目の素数さん
08/11/08 20:04:09
>>633 (上)
1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.
>>633 (中)
f(a) = 1 - (1+a)/√2, (a≦0)
= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2), (0≦a≦1)
= -1 + (1+a)/√2, (a≧1)
637:１３２人目の素数さん
08/11/08 22:43:41
>>636
それf(a)求めただけやん(笑)
638:１３２人目の素数さん
08/11/08 23:55:39
>>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない
639:１３２人目の素数さん
08/11/09 01:17:19
>>638
おまいはテレパスか！
640:１３２人目の素数さん
08/11/09 02:10:10
>>636
上教えてちょ
641:636
08/11/09 21:47:35
>>637
f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･
642:１３２人目の素数さん
08/11/09 22:10:22
>>633 (下)
部分積分を使うらしい･･･
∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).
643:１３２人目の素数さん
08/11/09 23:17:35
その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。
644:ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ
08/11/09 23:48:18
≧≦
645:446
08/11/10 23:33:38
>>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．
646:１３２人目の素数さん
08/11/11 08:00:00
1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.
647:１３２人目の素数さん
08/11/13 03:04:12
不等式のノート作ってる方とかいます？
648:１３２人目の素数さん
08/11/13 06:56:52
>>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？
649:１３２人目の素数さん
08/11/13 13:03:58
>>647
てふでまとめていますが何か？
650:１３２人目の素数さん
08/11/14 07:59:40
>>649
もううｐせざるを得ないだろう
651:１３２人目の素数さん
08/11/14 10:04:11
B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！
652:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:21:51
【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より
64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),
(略証)
スターリングの不等式
(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),
65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:113番)
さくらスレ２３５
66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65
log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),
log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),
log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8, (n→∞)
653:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:56:52
〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.
(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:202番)
654:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:26:14
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
(略証)
(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
655:１３２人目の素数さん
08/11/19 16:36:21
なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
656:１３２人目の素数さん
08/11/19 22:37:59
>>653-654
ワイルの一様分布定理から、
〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π. (m→∞)
657:656
08/11/20 22:30:32
訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、
658:１３２人目の素数さん
08/11/24 20:12:49
f(x)=x^2-2mx+m+6 とする。
(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。
(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
定数mの値の範囲は-6<m<3である。
これを証明してください。
659:１３２人目の素数さん
08/11/24 22:18:03
>>658
お前は勉強をやめた方がいい。
660:１３２人目の素数さん
08/11/24 23:23:19
>>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！
661:１３２人目の素数さん
08/11/26 01:34:42
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:700番)
1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
662:１３２人目の素数さん
08/11/26 21:32:47
うるさい。
663:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:31:04
ｒ;;;;;ノヾ >>662
ﾋ‐=r=;' ∬ 口を慎みたまえ！
'ヽニ/ っ━~~ 君は不等式王の前にいるのだぞ！
＿と~,, ~,,,ﾉ_ ∀
ﾐ,,,,/~). │ ┷┳━
￣￣￣.じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
664:１３２人目の素数さん
08/11/27 09:56:45
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
665:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:22:39
>>661
[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.
666:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:24:24
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
667:665
08/11/27 23:57:46
>>665 訂正
f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
668:１３２人目の素数さん
08/11/28 05:13:49
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
669:１３２人目の素数さん
08/11/28 23:42:33
>>668
おまえには教えてやらねーよ！
670:１３２人目の素数さん
08/11/29 00:20:54
不等式を制する者は解析を制する。
671:１３２人目の素数さん
08/11/29 12:07:58
△ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ
3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2
∧_∧
_ ( ﾟ∀ﾟ) たぶん、出したことないと思う…
|≡(つc□≡|
`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ
672:１３２人目の素数さん
08/11/29 18:50:59
>>664
(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0, c+a-b = b' >0, a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように s = a'+b'+c' = a+b+c, t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。
ハｧハｧ
673:１３２人目の素数さん
08/11/29 19:19:09
>>671
移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
674:１３２人目の素数さん
08/11/29 20:11:59
さすが。
675:１３２人目の素数さん
08/11/29 21:13:11
問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
676:671
08/11/29 22:30:45
毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。
677:１３２人目の素数さん
08/12/01 20:28:22
1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
678:１３２人目の素数さん
08/12/01 22:14:56
homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？
679:１３２人目の素数さん
08/12/02 16:40:46
1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから
680:１３２人目の素数さん
08/12/02 20:31:05
別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
681:１３２人目の素数さん
08/12/03 03:15:18
>>677 , 679
>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
682:１３２人目の素数さん
08/12/03 11:48:57
もっとすきっとした解法はないもんかねぇ
683:１３２人目の素数さん
08/12/03 19:23:45
>>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589
684:１３２人目の素数さん
08/12/03 23:40:27
>>588
r-q 平面のグラフが見たい････
685:１３２人目の素数さん
08/12/07 00:24:18
>>679
>>680
誤解してた、すまない。
686:１３２人目の素数さん
08/12/07 04:23:34
1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ
2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ
3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
687:１３２人目の素数さん
08/12/08 01:45:32
つURLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
688:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:44:10
>>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
689:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:46:55
>>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
690:１３２人目の素数さん
08/12/08 04:58:11
>>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと
与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0
a,b,c> 0よりこれは正しい。
691:１３２人目の素数さん
08/12/11 13:39:30
実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
692:１３２人目の素数さん
08/12/11 14:36:06
>>691
解答PDFを作ってみた。
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)
693:１３２人目の素数さん
08/12/11 16:39:46
まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。
694:１３２人目の素数さん
08/12/11 17:51:33
定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。
695:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:22:39
数蝉２月号は「不等式の世界」
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
696:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:37:29
>>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！
697:１３２人目の素数さん
08/12/18 22:53:51
>>588
Q,R を >>589 のようにおくと
(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3} >>585
= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。
rを固定したときの q の下限および上限は
q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 (8≦r≦9)
= 2r-3 (r≧9)
rが大きいほど細く鋭くなる。 （素手で触るな）
r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
8<r<9 についても同様。
698:１３２人目の素数さん
08/12/19 22:34:05
>>588, 684, 697
8<r<9 のときは、
r-8 < r/9,
q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),
-------------------------------------
(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0 (r→∞)
699:１３２人目の素数さん
08/12/24 12:09:03
>>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).
700:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:12:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
701:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:30:59
ネ申
702:１３２人目の素数さん
08/12/24 15:50:36
自演乙
703:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:25:07
このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうね アホガド バナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)
704:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:40:29
飯島愛死亡だとよ
705:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:49:15
>>704
死因は何？
706:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:52:47
1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。
■ソース(日テレニュース24）
URLﾘﾝｸ(www.news24.jp)
※有志によるキャプチャ画像
URLﾘﾝｸ(tvde.web.infoseek.co.jp)
■前スレ(1の立った日時 12/24(水) 16:14:24）
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
707:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:59:52
／ ≧ ＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／
| ､ ＿ __,,／ ＼
708:１３２人目の素数さん
08/12/25 01:24:11
x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n
max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}
709:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:06:44
>>708
なん…だと！
710:１３２人目の素数さん
08/12/28 08:06:19
>>708
どうやったんだよ
711:１３２人目の素数さん
08/12/28 13:22:09
>>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。
>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また (c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)} (← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。
712:１３２人目の素数さん
08/12/29 18:19:53
[A.435] の拡張 >>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。
そこで >>672 に習って
b+c-a = a', c+a-b = b', a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･
[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
ここに s = a'+b'+c'.
等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。
【系】
a,b,c ≧0 のとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:677番)
713:712
08/12/29 18:24:36
訂正、すまそ。
【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
714:Shapiro
09/01/03 19:56:03
>>712
Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。
[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,
715:１３２人目の素数さん
09/01/16 19:05:31
数セミ2月号出たね
716:１３２人目の素数さん
09/01/16 23:11:26
>>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)
717:１３２人目の素数さん
09/01/17 23:53:44
>>598 (593,596)
〔問題〕
abc = d^3, √3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},
(略証)
abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0
(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3, T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2, T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。
・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,
・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,
718:717
09/01/17 23:56:03
>>598
〔補題〕↑ のようにおくとき
S ≧ T1 ≧ 3xyz, S ≧ T2 ≧ 3xyz,
(左側) チェビシェフ不等式から、あるいは
(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,
(右側)も 相加・相乗平均。
719:１３２人目の素数さん
09/01/20 00:55:25
>>2に追加
数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号
720:１３２人目の素数さん
09/01/28 07:31:59
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
721:１３２人目の素数さん
09/01/28 13:41:41
>>720 ﾊｧﾊｧ ∩ 不等式と聞ゐちゃぁ
( ⌒)＿ ∩_ _ 黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼ ﾊｧﾊｧ ／/
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ | ／ /＿＿＿
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ./ ／ Σ ＼
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n / ∩.|:::: ＼ .／ |
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E） / .| | | (● (●）|＿
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ ノ／
722:１３２人目の素数さん
09/01/30 20:57:27
非等式と不等式の違いはなんですか。
723:１３２人目の素数さん
09/01/30 21:43:48
a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27
724:１３２人目の素数さん
09/02/05 00:42:33
他スレで見かけたお。
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個
↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}
面白い問題おしえて～な 十五問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:99番)
725:１３２人目の素数さん
09/02/07 20:47:34
このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思
726:１３２人目の素数さん
09/02/07 23:07:15
>>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う
727:１３２人目の素数さん
09/02/08 03:05:54
次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。
任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3
もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。
728:１３２人目の素数さん
09/02/08 04:40:48
s、t、uでズコバコするといいよ
729:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:00:45
>>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略
730:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:01:38
問題見まちがった
731:１３２人目の素数さん
09/02/08 19:32:27
>>727 力づくで解いた
a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺 は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする
a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1 …(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0 …(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1 …(3)
s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0 …(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)
t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2) …(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■
732:731
09/02/08 22:58:40
いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて
因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること
733:１３２人目の素数さん
09/02/08 23:03:07
V
734:１３２人目の素数さん
09/02/09 16:59:31
>>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.
X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.
735:734
09/02/09 20:55:19
とはしてみたものの、もうだめかもわからんね
736:１３２人目の素数さん
09/02/09 21:01:40
5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した
737:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:32:08
>>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと >>728
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。
〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).
738:１３２人目の素数さん
09/02/12 00:57:10
107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数
108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n について たす。
n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),
739:１３２人目の素数さん
09/02/14 00:12:52
>>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、 |⊿| = xy(x+y), s = 3m+2x+y, t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴ t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。
>>727
(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,
740:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:25:55
〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,
(略証)
・左側
(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:555番)
京大入試作問者スレ①
741:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:52:11
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
742:１３２人目の素数さん
09/02/21 18:13:33
不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・
743:１３２人目の素数さん
09/02/26 13:49:15
>>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ
744:１３２人目の素数さん
09/02/26 23:01:51
前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
745:１３２人目の素数さん
09/03/02 17:46:17
ミラーみれなくね？
746:１３２人目の素数さん
09/03/03 23:52:29
【不等式 | 高校数学】
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
747:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:07:59
>>745
Yahoo ブリーフケースの有料化に伴い，
URLﾘﾝｸ(cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com)
に避難しました。
748:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:23:39
>>746
グッジョブ！
749:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:32:35
a≧b≧0，c≧d≧0のとき
√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
750:１３２人目の素数さん
09/03/04 00:47:23
>>749は今月号の大数の宿題。
ネタバレになるから回答しないように。
751:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:18:18
>>749
簡単すぎ
752:１３２人目の素数さん
09/03/04 01:38:52
>>749
過去に解いたことがある
入試問題かな？
753:１３２人目の素数さん
09/03/04 03:06:05
>>749
泥沼にはまった予感
754:１３２人目の素数さん
09/03/05 01:59:49
√(x^2)＋√(1－x^2)
の最大値の求め方って何通りありますかね？
755:１３２人目の素数さん
09/03/05 02:21:41
0
756:１３２人目の素数さん
09/03/05 17:02:58
鳥取市の誘致企業リコーマイクロエレクトロニクスにアルバイトに行っていた。
勤務態度不良でリコーのアルバイトをクビ同然で辞めた。
その後、鳥取市のテスコという工場に勤め真面目に働いていた。
「真面目に働いているのはリコーに対する報復（あてつけ？）」という噂でテスコをクビになった。
直後、テスコの社長から雇用保険の書類をとりに来るよう泣きそうな声で電話があった。
噂は嘘だと知ったのだろう。
雇用保険の手続きのため職安に行った。
職安の次長と相談すると、口止めをされた。
職安と会社は連絡を取り合っていたらしい。
しかし噂は狭い鳥取市である程度広がっているようだ。
リコーマイクロエレクトロニクスに電話を掛けた。
「君はうちのような一流企業が組織ぐるみでやったとでも思っているのかね？」
「そんなことはありませんけど」
「じゃあ会社には関係ないじゃないか」
しかし公的機関（職安）も巻き込んだ組織ぐるみの人権侵害の揉み消しである。
757:１３２人目の素数さん
09/03/05 21:51:51
(1) 実数xが-1<x<1,x≠0を満たすとき,次の不等式を示せ.
(1-x)^{1-(1/x)}<(1+x)^(1/x)
(2) 次の不等式を示せ.
0.9999^101<0.99<0.9999^100
758:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:02:25
>>757
なんで命令形なの？むかつくんだけど
759:１３２人目の素数さん
09/03/05 22:38:50
>>757-758
今年の東大入試の第５問のコピペだから。
760:１３２人目の素数さん
09/03/05 23:20:42
>>758
消えろ！カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
761:１３２人目の素数さん
09/03/06 12:53:46
>>757
これに30分もかけなければ今頃俺は
762:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:22:41
>>757
(1) f(x)=log(1-x) は上に凸だから、平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x^2) > g(x),
x>0 のとき g(x^2) < g(x),
よって
x･g(x^2) < x･g(x),
f(x^2)/x < f(x),
(1/x)log(1-x^2) < log(1-x),
763:１３２人目の素数さん
09/03/07 00:43:26
>>757
(1) f(x)=log(1-x) は上に凸で f(0)=0.
平均変化率 g(x)={f(x)-f(0)}/(x-0) は単調減少。
x<0 のとき g(x) > g(x^2),
x>0 のとき g(x) < g(x^2),
よって
x･g(x) < x･g(x^2),
f(x) < f(x^2)/x,
log(1-x) < (1/x)log(1-x^2),
1-x < (1-x^2)^(1/x),
(2) (1-x^2)^{1+(1/x)} < 1-x < (1-x^2)^(1/x),
を示す....
764:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:06:15
みんな解いた問題って保存してるの？
765:１３２人目の素数さん
09/03/07 02:11:03
>>757を改めて試験中の様にエレガントに解いてみせようとしたら間違いに気づいた。
落ちてそうだから死にたい。
766:１３２人目の素数さん
09/03/07 08:45:08
>>764
最近は時間がなくてのぉ…
このスレを保存するだけで精一杯さ ('A`)
767:１３２人目の素数さん
09/03/07 22:26:28
>>763 (2) の左側
(1) で x→-x として, 1+x = (1-x^2)/(1-x) を使えば出る。
768:１３２人目の素数さん
09/03/08 01:00:22
>>754
f(x) = |x| + √(1-x^2),
とおく。
(1) f(x)^2 = 1 + √{4x^2･(1-x^2)} = 1 + √{1 - (1-2x^2)^2} ≦ 2,
等号成立は x = ±1/√2 のとき。
(2) x=cosθ (0≦θ≦π/2) とおく。
f(x) = cosθ + sinθ = (√2)sin(θ + π/4) ≦ √2,
等号成立は θ=π/4 のとき。
769:１３２人目の素数さん
09/03/08 16:10:21
コーシー・シュワルツから
(1*|x|+1*√(1-x)^2)^2≦(1+1)(x^2+(1-x^2))=2
770:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:05:38
>>757
もし(2)の不等式だけ出たらやっぱ(1)の不等式を示すことに帰着されるんかな
771:１３２人目の素数さん
09/03/08 19:57:44
不等式は嫌いなんだ
772:１３２人目の素数さん
09/03/08 23:43:39
>>771
ありえん！？
一度医者に見てもらったほうがいい…
773:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:02:16
この本に出てくる形の不等式って本当にそのまま論文で出版されてんのか？
他の議論をしているときに「たまたま現れました」っていう不等式や、
もっと洗練されたものの特殊ヴァージョンじゃないのか？
774:１３２人目の素数さん
09/03/09 00:15:14
>>773だがさ、蛇足するが、
例えば、(「不等式への招待」)第５章「不等式の作成と証明法」
の例題１の不等式が本当にそのまま論文で出版されているのか、
ということを聞いた訳さ。
ちょっと読みにくかったり曖昧に書かれている箇所がところどころあるんだがな。
775:１３２人目の素数さん
09/03/09 22:50:15
>>757 >>763
(2)
|x| << 1 のとき、マクローリン展開から
(1 + 1/x)log(1-x^2) = -x - x^2 -O(x^3),
log(1-x) = -x -(1/2)x^2 -O(x^3),
(1/x)log(1-x^2) = -x -O(x^3),
･･･ぢゃあダメだろうな。
776:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:00:41
xとyはともに正の実数でx+4y=3のとき、1/x+1/yの最小値は。
1文字消して微分したらできたけど全く愉快じゃないので、
かっこいい解法をお願いします。
777:１３２人目の素数さん
09/03/11 00:10:00
(1^(1/2)+4^(1/2))^2<=(x+4y)(1/x+1/y).
778:776
09/03/11 00:33:11
はやっ。
(√(ax),√(bx)) と (1/√x,1/√y) にCauchy-schwarzってことですね。
かっこいいす。ありがとう。
779:１３２人目の素数さん
09/03/11 21:00:44
モノグラフって調和平均とか重みつきとかないよね
受験ではいらないってことか
他の不等式を学びたい場合はどんな本がいい？
780:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:00:18
>>779
>>2を読め！
781:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:28:00
>746のprime_132ってこのスレの住人？
782:１３２人目の素数さん
09/03/11 23:34:10
あぁ、だがそれ以上は詮索しないでもらいたい
783:１３２人目の素数さん
09/03/13 16:40:42
そろそろ>>749の大数の宿題は〆切？
784:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:10:07
URLﾘﾝｸ(books.google.com)
これいいよ
785:１３２人目の素数さん
09/03/13 20:46:55
F(a,b)=√（a^2+ab+b^2）
Fa=(2a+b).5/()^.5=0 a=-.5b
Fb=0 b=-.5a
F(a,b)=(a^2-.5a^2+.25a^2)^.5=(.75)^.5a
a=rcost,b=rsint a>b>0->cost>sint>0
F=r(1+costsint)^.5
786:１３２人目の素数さん
09/03/13 23:45:21
>>783
3/15締め切りです。
787:１３２人目の素数さん
09/03/14 23:52:56
ある直方体の12辺の長さの和を4L、表面積をS、体積をVとする
（1）L、Sが一定のときVのとりうる値を答えよ
（2）L、Vが一定のときSのとりうる値を答えよ
（3）S、Vが一定のときLのとりうる値を答えよ
788:１３２人目の素数さん
09/03/15 00:22:26
>746 から一題･･･
〔問題〕
0 < x のとき e^x > 3sin(x) を示せ。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
789:１３２人目の素数さん
09/03/15 03:04:09
>>788
グラ…接…
790:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:34:14
>>749
後四時間で解禁
791:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:56:47
>>749 は問題としては簡単だが，何がしか背景があるのだろう
792:１３２人目の素数さん
09/03/15 20:57:41
120°
793:１３２人目の素数さん
09/03/15 23:03:12
>746 からもう一題･･･（外出だったらスマソ）
〔出題87〕
正数列 a[n] >0 の初項から第n項までの総和を S[n] とおく:
S[n] = Σ[k=1,n] a[k].
このとき，
{a[1]/S[n+1]}^(1/n) + ∑[m=1,n+1] {a[m]/(n･S[m])} ≦ 1 + (1/n),
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 121
794:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:04:47
〆切あげ
795:１３２人目の素数さん
09/03/16 00:22:04
>746 から･･･
〔出題95〕
x, yを正の実数とし, x,yの調和平均, 相乗平均, 相加平均, 2乗平均をそれぞれH, G, A, Q とおく.
すなわち,
H = 2xy/(x+y), G = √(xy), A = (x+y)/2, Q = √{(x^2+y^2)/2}
とおく.
(1) H ≦ G ≦ A ≦ Q を示せ.
(2) G-H ≦ Q-A ≦ A-G を示せ。
--------------------------------------------
H,G,A は等比数列だから
(A+H)/2 ≧ √(AH) = G,
G-H ≦ A-G,
また G^2, A^2, Q^2 は等差数列で、公差は
⊿ = Q^2 - A^2 = A^2 - G^2 = (1/4)(x-y)^2 ≧ 0,
(Q+A)(Q-A) = (A+G)(A-G) ････ (*)
よって
G ≦ A ≦ Q,
Q+A ≧ A+G,
これで (*) を割ると
Q-A ≦ A-G,
あとは
G-H ≦ Q-A,
を示せれば･･･
G^2 - H^2 = (H/G)^2･⊿ = (G/A)^2･⊿ = (H/A)･⊿,
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) 100
796:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:18:31
今年の東北大入試問題から
a+b≧cであるとき
a^3+b^3+3abc≧c^3
797:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:53:36
それは易しすぎるだろ・・・
湘南工科大レベル
798:１３２人目の素数さん
09/03/16 01:59:18
>>796
3乗の因数分解の公式そのもの。
レベル０
高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
799:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:00:00
ｃ＝０。
ｄ＝０。
ｂ＝０。
ｄ＝０。
800:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:55:19
>>796
これはひどい
こんなのが出るのが今の入試は
801:１３２人目の素数さん
09/03/16 02:57:01
もしかして文系学部の問題？
802:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:12:29
理系だね、（１）もあったね
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
803:１３２人目の素数さん
09/03/16 03:33:06
>>802
ガセネタかと思ったら、マジかよ！
オ㍗ル
804:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:01:21
おまえら不等式には厳しいなｗ
805:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:02:27
>>797 >>798 >>800 >>801 >>803
勘違いしてないか？そこまで簡単じゃないよ。
806:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:08:35
>>805
アー、アー、キコエマスカー？
どの辺が難しいのかな？
因数分解の公式かな？
それともその後の平方完成の仕方かな？
807:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:10:09
>>796
ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？
808:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:10:12
>>805
Ｆランのお前には難しいのだろう
国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ
809:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:14:48
講評では難易度は標準って書かれてるんだけどな
810:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:16:33
ゆとり的には標準なんじゃないか
811:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:20:19
>>809
そのとおり。
言うほど簡単じゃない。模範解答見ればやさしいけどね。
問い１としての難易度は適切だと思う。
良問かどうかはわかりかねるが、東北大の入試の倍率が３倍だとすると、
この問い１で受験生のうち下３分の１くらいは落とせるんじゃないかな。
812:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:25:08
>>811
どこが難しいのかｋｗｓｋ
813:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:25:12
まず、下１０％くらいは、
a+b>=c ＜＝＞ a^3+b^3+3ab(a+b)>=c^3
として、a+bをｃで置き換えて証明終わり
とする（東北大入試の）受験生はでてくる。
そういった論理性の欠ける人を落とすのがひとつの目的だと推測
814:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:27:21
>>813
え？
815:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:30:04
（１）は=だから、>>813のとおりにやって良いんだけど、
（２）は不等号だから、だめ。
講評では（１）がヒントになる、と書いてあるけれど、かえって（１）の
おかげで間違える人も１０％（いいすぎか５％）はいると思う。
816:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:32:04
だからいくらなんでも
>>798
>3乗の因数分解の公式そのもの。
>レベル０
>高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル
は言いすぎだろ。
817:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:34:27
>>816
え？高1はじめの中間に出るレベルだけど？
818:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:40:21
その入試問題１－６全部みるとわかるけど、問題１以外は証明問題は
問題５（１）だけで、あとは、値を求めさせる問題。
問題１は、証明がちゃんと書けるか、を見るのがねらいなんじゃないの？
問題１がなかったら、論証がいいかげんで答えを見つけるのが得意な
人だけが入ってきちゃう。
それに、数学科志望生だけが受けるレベルじゃないからね。
>>817
でも、中間テストでみんなが満点なわけじゃないと思うよ。
しかも公式を習った直後で範囲が狭まっている時に出題すれば
得点率上がるのは当たり前。
君は高１か？予備校の模試受けたら（できれば東北大限定模試）、
各問題の平均点見てみ。
そんなに高くないよ。制限時間内ではね。
問題１としては適当。（６題全部がこれだったらやさしいけどね。）
819:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:42:16
>>817
君の学校は、始業式の翌日に中間テストをやるのか？
820:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:48:50
>>818
そうだね
ごめん
821:１３２人目の素数さん
09/03/16 04:54:54
今年東北落ちた人か？
河合は標準、駿台はやや易だった
822:１３２人目の素数さん
09/03/16 05:01:08
>>821
＞今年東北落ちた人か？
落ちてない。落ちるほどの学力なら、あぁ、俺には難しいけど、
受かった人にとっては簡単なのかも、、と思って難易度は断定できない。
＞河合は標準、駿台はやや易だった
そうだろ、標準か、やや易、だろ。そんなもんだ。
びっくりするほど易しすぎはしない。入試問題として。
823:１３２人目の素数さん
09/03/16 07:56:31
>>819
>>817のどこに始業式の翌日にやるってかいてあるんだよ
824:１３２人目の素数さん
09/03/16 07:59:47
>>811
真剣な話、どこが難しいのかな？
>>819
入学式の翌日に実力テストをやりましたが何か？
範囲は２次関数の終わりまで。
825:１３２人目の素数さん
09/03/16 08:06:16
そろそろどこか他のところでやってくれ。
826:１３２人目の素数さん
09/03/16 08:40:09
>>811は解けなかっただけだろ
827:１３２人目の素数さん
09/03/16 09:17:11
件の人はa^3 + b^3 + c^3 - 3abcの因数分解の公式知らんのかね。
つうかこのスレは大学入試問題レベルの簡単な問題を
扱うような感じじゃないと思うけど。
828:１３２人目の素数さん
09/03/16 09:21:55
少なくともこのスレ的には対称式に対する標準的な処方箋で解ける問題．
因数分解の公式なんて忘れても，基本対称式で書こうとするだけでいい．
829:１３２人目の素数さん
09/03/16 19:32:17
>>749の正しい問題文は何だろう
830:１３２人目の素数さん
09/03/16 22:31:37
>>795
G-H ≦ Q-A を示そう。
(A-H) = (A^2 -G^2)/A = (Q^2 -G^2)/(2A) = (Q-G){(Q+G)/(2A)},
(Q-A) - (G-H) = (Q-G) - (A-H) = (Q-G){1-(Q+G)/(2A)} = {(Q-G)/(2A)}{(A-G)-(Q-A)} ･･････ (**)
∴ Q-A は G-H と A-G の間にある(G-H寄り)。
**) 右辺の係数は 0 < (Q-G)/(2A) ≦ (Q+G)/(2A) < 1,
よって
(3) (Q-A)-(G-H) ≦ (A-G)-(Q-A),
〔問題〕
3変数(x,y,z) のときは (1) のみが成り立つことを示せ。
831:１３２人目の素数さん
09/03/16 23:39:12
東大入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)
京大入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)
大学入試数学過去問
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)
いくつかは不等式の問題拾えるんじゃない？
832:１３２人目の素数さん
09/03/16 23:49:27
そんなもん見るよりジャーナル見るほうが有意義だ
833:１３２人目の素数さん
09/03/17 00:00:13
>>830
(1)
H = 3/(1/x + 1/y + 1/z), G = (xyz)^(1/3), A = (x+y+z)/3, Q = √{(x^2 + y^2 + z^2)/3},
Q^2 - A^2 = (x^2 +y^2 +z^2)/3 - (1/9)(x+y+z)^2 = (1/9){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0,
A^3 - G^3 = {(x+y+z)/3}^3 -xyz = {(x+y+7z)/2}(x-y)^2 + {(7x+y+z)/2}(y-z)^2 + {(x+7y+z)/2}(z-x)^2 ≧ 0,
(1/H)^3 - (1/G)^3 = {[(1/x)+(1/y)+(1/z)]/3}^3 - 1/(xyz) = {(x'+y'+z')/3}^3 - x'y'z' ≧ 0,
∴ H ≦ G ≦ A ≦ Q,
(2) y=z=1 の場合を考えると
H = 3x/(1+2x), G = x^(1/3), A = (2+x)/3, Q = √{(2+x^2)/3},
x<1 のとき G-H > A-G > Q-A,
x>1 のとき G-H < A-G < Q-A,
834:830
09/03/17 00:05:05
>>833
GJ!!
されど、3変数のときはQよりも
T = {(x^3+y^3+z^3)/3}^(1/3),
使った方が良くね？
835:１３２人目の素数さん
09/03/17 23:05:37
>>830, 833
(2) y=z=1 の場合は････
0 < x < 0.00415949095310635… のとき、 G-H < Q-A < A-G,
0.00415949095310635… < x < 0.15064425… のとき, Q-A < G-H < A-G,
0.15064425… < x < 1 のとき, Q-A < A-G < G-H,
1 < x < 9.33372455･･･ のとき、 G-H < Q-A < A-G,
9.33372455･･･ < x のとき、 G-H < A-G < Q-A,
と成増とんねるず。
但し、区間の端点は
0.15064425142615432931841204604911････ = 1/{2cos(π/9)}^3, x + 3･x^(2/3) -1 =0 の根。
9.3337245536744706772511885807731････ = {(2√3)cos([π-arccos(25/27)]/6) - 1}^3, x + 3･x^(2/3) -6･x^(1/3) -10 =0 の根。
836:１３２人目の素数さん
09/03/17 23:15:33
a≧b≧0，c≧d≧0のとき
√（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
837:１３２人目の素数さん
09/03/18 03:27:30
a,b,cを実数とする
a+b+c=0のとき
（|a|+|b|+|c|)^2≧2（a^2+b^2+c^2)
838:１３２人目の素数さん
09/03/18 16:53:54
2(a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
≦(a^2+b^2+c^2)+2(|ab|+|bc|+|ca|) = (|a|+|b|+|c|)^2
839:835
09/03/18 22:01:22
>>830, >>833,
0.00415949095310635… は x^3 +3x^(8/3) +3x^(7/3) +(9/2)x^2 +3x^(5/3) +3x^(4/3) +(39/8)x +(33/8)x^(2/3) + (3/4)x^(1/3) -(1/4) =0 の根。
840:１３２人目の素数さん
09/03/19 16:04:37
>>836
チェビシェフの不等式
841:１３２人目の素数さん
09/03/19 22:36:19
>>836
三角不等式
842:１３２人目の素数さん
09/03/19 23:37:37
>>749>>799>>829>>836
a=1,b=1,c=0,d=0.
√（3）≧2.
843:１３２人目の素数さん
09/03/20 00:22:31
a≧b≧0，c≧d≧0のとき
√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）
じゃね？
844:１３２人目の素数さん
09/03/20 01:39:13
>>843
bingo!
845:１３２人目の素数さん
09/03/22 07:14:22
>>843
∠UOV = 120ﾟ なる半直線 OU,OV を考える。 >>792
OU上に OA=a, OB=b なる点A,B をとる。
OV上に OC=c, OD=d なる点C,D をとる。
題意により、2つの線分AD, BC は交わるから、交点を X とする。2つの線分AC, BD は交わらない。
(左辺) = AD + BC = (AX + XD) + （BX +XC) = (AX + XC) + (BX + XD) ≧ AC + BD = (右辺).
[初代スレ.068, 071] の類題ぢゃね？
846:１３２人目の素数さん
09/03/25 01:42:40
(；´д｀) ﾊｧﾊｧできそうなネタ満載
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
847:１３２人目の素数さん
09/03/28 00:40:44
>>846
Problem 1.
a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき
a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9,
Austrian M.O. 2008, Final round (part 2)
Problem 312.
a,b,c を正の実数とするき
(a+1)^4 /(b^2) + (b+1)^4 /(c^2) + (c+1)^4 /(a^2) ≧ 48,
Problem 316.
n>6 のとき, 凸ｎ角形Ａ0Ａ1……Ａn に対して適当な i≠j が存在して
|cos(∠Ａi) －cos(∠Ａj)| < 1/{2(n-6)},
848:１３２人目の素数さん
09/03/28 00:59:42
>>847
Solution 1.
f(x) = (1-x)log(x), とおくと
f "(x) = -(1+x)/(x^2) < 0,
∴ y=f(x) は上に凸。
∴ log(左辺) = f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2log(1/3) = log(1/9) = log(右辺),
Solution 312.
相加相乗平均２回
(a+1)^2 = (a-1)^2 + 4a ≧ 4a, etc.
(左辺) ≧ 16{(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2}
= 16{(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2}/(abc)^2
= 48 + {(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2 -3(abc)^2}/(abc)^2
= 48 + (X^3 + Y^3 + Z^3 -3XYZ)/(abc)^2
≧ 48 = (右辺).
ここに X=(AAC)^(2/3), Y=(BBA)^(2/3), Z=(CCB)^(2/3),
X^3 +Y^3 +Z^3 -3XYZ = (1/2)(X+Y+Z){(X-Y)^2 +(Y-Z)^2 +(Z-X)^2} ≧ 0,
849:１３２人目の素数さん
09/03/29 01:26:28
>>847
Solution 316.
外角 π-A_i の和は2πである:
(π-A_1) + (π-A_2) + …… + (π-A_n) = 2π,
n>k とする。
π-A_i > 2π/k となる A_i は k-1 個以下。
残りの n-k+1 個以上については 0 <π-A_i ≦ 2π/k,
-1 < cos(A_i) ≦ - cos(2π/k),
ディリクレの引き出し論法（鳩ノ巣原理）により、
| cos(A_i) - cos(A_j) | < {1 - cos(2π/k)}/(n-k),
本問では k=6.
〔蛇足〕
nを固定すると、k ≒ 2n/3 の辺りで最小になると･･･
(右辺) < (2π^2)/{(n-k)k^2} < (27/2)π^2 / n^3,
850:849
09/04/05 19:45:07
↑は
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
のp.3に出てた。orz
しかたないので一題･･･
Problem 2.
Let a_1 ～ a_5 be real numbers satisfying the following equations:
a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/(4+k^2) + a_5/(5+k^2),
for k=1～5. Find the value of
a_1/37 + a_2/38 + a_3/39 + a_4/40 + a_5/41,
(Express the value in a single fraction.)
851:１３２人目の素数さん
09/04/05 19:51:15
>>850
結果だけ並べると･･･
a_1 = 1105/72,
a_2 = -2673/40,
a_3 = 1862/15,
a_4 = -1885/18,
a_5 = 1323/40,
より
b_6 = 187465/(3*37*38*39*41) ≒ 1.00061649483987･･･ / 36,
b_7 = 1197/(5*13*17*53) ≒ 1.00150260394436･･･ / 49,
b_8 = 85345/(16*13*17*23*67) ≒ 1.00240485551780･･･ / 64,
b_9 = 277289/(9*17*41*43*83) ≒ 1.00321917612728･･･ / 81,
b_10=12117378/(3*25*7*13*17*101*103) ≒ 1.00391855290609･･･ / 100,
b_0 = 13489 / 3600 ≒ 3.74694444444444･･･
ここに b_k = a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/84+k^2) + a_5/(5+k^2),
852:１３２人目の素数さん
09/04/05 23:12:36
不等式ﾊﾞﾝｼﾞｬｲ！
853:850
09/04/07 21:04:51
スレ違いだったか･････ ---> 線形代数/線型代数スレ
ぢゃあ もう一題
〔問題322'〕
Let a,b,c be positive real numbers satisfying the condition a+b+c=s.
Prove that
(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ 2,
854:１３２人目の素数さん
09/04/07 23:31:17
>>853
忙しいので、とりあえずﾊｧﾊｧしておく！
(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ…
855: ◆BhMath2chk
09/04/08 00:00:00
ａ（１）／（ｘ＋１）＋ａ（２）／（ｘ＋２）＋ａ（３）／（ｘ＋３）＋ａ（４）／（ｘ＋４）＋ａ（５）／（ｘ＋５）－１／ｘ
＝（ｘ－１）（ｘ－４）（ｘ－９）（ｘ－１６）（ｘ－２５）／１２０ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）（ｘ＋５）。
856:１３２人目の素数さん
09/04/08 00:09:21
>>855
？
857:１３２人目の素数さん
09/04/08 01:16:17
>>853
a=b=c=1/2とかで不等式が成立しない気が
858:１３２人目の素数さん
09/04/08 23:41:08
>>857
スマン。↓に訂正。
(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ,
859:１３２人目の素数さん
09/04/09 19:57:31
>>686 2)
(pa-qb)/(a-b) =X, (pb-qc)/(b-c) =Y, (pc-qa)/(c-a) =Z,
とおくと、
X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2,
本問では p=4, q=3,
860:１３２人目の素数さん
09/04/09 21:05:57
>>858
(左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)}
≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9} (-調和≧-相加)
=(2/3)s
861:１３２人目の素数さん
09/04/10 16:55:30
>>686 1)
a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき
a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z)
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
862:１３２人目の素数さん
09/04/11 16:35:09
>>686 2), >>859 の略証･･･
X = {p+q+(p-q)x}/2, Y = {p+q+(p-q)y}/2, Z = {p+q+(p-q)z}/2,
とおくと
X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX)
= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX)
= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx)
= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1),
ところで、題意から
x = (a+b)(a-b), y = (b+c)/(b-c), z = (c+a)/(c-a),
∴ xy + yz + zx + 1 = 0,
863:１３２人目の素数さん
09/04/16 01:49:31
問題投下
３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ
ヘロンでどぞー
864:１３２人目の素数さん
09/04/16 02:05:16
キタコレ！
865:１３２人目の素数さん
09/04/18 10:54:55
>>863
⊿ = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B),
でも解けるお。
⊿ = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3)
≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 (相加･相乗平均)
≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3) (0～πで上に凸)
= (1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3)
= (√3)/4･(abc)^(2/3), (等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.)
⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
866:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:52:00
>>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････
本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
≦ √{s(s/3)^3} (相加･相乗平均)
= (1/√27)s^2
= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2
≦ (√3)/4･(abc)^(2/3), (相加･相乗平均)
⊿ '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3),
辺々掛ける。
867:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:54:39
>>866 はまちがい。
無視してください。
868:１３２人目の素数さん
09/04/18 11:55:55
無視しません！
869:１３２人目の素数さん
09/04/18 13:48:39
黙殺する
870:866
09/04/18 23:39:33
>>863
せっかくのヒントなのでヘロンで･････
本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。また
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
⊿ = √(su)
= {s･(√su)･u}^(1/3)
≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) (3su≦t^2)
≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) (*)
= (√3)/4･(abc)^(2/3),
※ st-u ≧ (8/9)st ≧ 8u より
st≦(9/8)(st-u), u≦(1/8)(st-u),
871:１３２人目の素数さん
09/04/22 19:51:53
n：自然数とする。
(1) 2数 x、y の和、積を考え
x+y=p、xy=q この p、q が共に整数ならば
x^n + y^n は整数であることを証明せよ。
(2) x>0、y>0 のとき
( (x+y)/2 )^n ≦ (x^n + y^n )/2 であることを証明せよ。
872:１３２人目の素数さん
09/04/22 20:57:26
>>871
馬鹿か？
873:１３２人目の素数さん
09/04/22 22:15:48
>>861
〔命題〕
a,b,c >0, x,y,z >0 のとき
f(x,y,z) = a/(b+cx) + b/(c+ay) + c/(a+bz) - 9/(x+y+z+3) ≧0,
が成り立てば示せるが…
成り立つ？
f(0,0,0) = (a/b) + (b/c) + (c/a) -3 ≧0,
x,y,z のいずれかが∞となるとき、(右辺) → 0 で成立。
f(,,)に極値があるとすれば
∂f/∂x = -ca/(b+cx)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
∂f/∂y = -ab/(c+ay)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
∂f/∂z = -bc/(a+bz)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0,
b+cx >0, c+ay >0, a+bz >0, x+y+z+3 >0 から
a/(b+cx) = 3{√(a/c)}／(x+y+z+3),
b/(c+ay) = 3{√(b/a)}／(x+y+z+3),
c/(a+bz) = 3{√(c/b)}／(x+y+z+3),
に限る。この点でf(,,)が極大なら (←これが問題だが････)
f(x,y,z) ≧ 3{√(a/c) + √(b/a) + √(c/b) -3}／(x+y+z+3) ≧0,