07/06/05 04:11:21
凄い！ こんなにガンガン解ければ楽しいだろうな…
A.422、B.3987、B.3989、C.892 （C.892は昔、入試問題で解いたような…）
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.425、B.3997、B.4000
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
52:１３２人目の素数さん
07/06/05 23:57:18
三角関数の問題
△ABCが sin2A/5 = sin2B/4 = sin2C/3 をみたすとき、 Aの値を求めよ。
問54_3
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
53:１３２人目の素数さん
07/06/06 01:32:46
>52
A,B,C は同時に鋭角、直角または鈍角。
3つとも鈍角、直角は不合理なので、鋭角3角形。
A=arctan(1)=45ﾟ, B=arctan(2), C=arctan(3).
54:１３２人目の素数さん
07/06/06 13:40:18
何所が不等式や
55:１３２人目の素数さん
07/06/06 16:42:24
>54
ﾊｧﾊｧできればいいのさ
>53
過程がよくワカリマセン
56:１３２人目の素数さん
07/06/07 01:28:47
>>15 [C.854] 別法
S_n = (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)……(k+n)] とおき、
S_1 = (π^2)/6 と S_n - S_(n+1) = 1/(n^2) から
S_n = (π^2)/6 -1 -1/(2^2) - … - 1/{(n-1)^2}
を示す。
S_1 = Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)]
= Σ[k=1,∞) (H_k){1/k - 1/(k+1)}
= Σ[k=1,∞) {(H_k)/k - H_(k-1)/k} (← H_0 = 0 )
= Σ[k=1,∞) 1/(k^2)
= ζ(2)
= (π^2)/6.
S_n - S_(n+1) = Σ[k=1,∞) (H_k){ (n!)/[k(k+1)…(k+n)] - (n+1)!/[k(k+1)…(k+n+1)] }
= (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[(k+1)……(k+n+1)]
= (n-1)!Σ[k=1,∞) (H_k){1/[(k+1)…(k+n)] - 1/[(k+2)…(k+n+1)] }
= (n-1)!Σ[k=1,∞) { (H_k)/[(k+1)…(k+n)] - H_(k-1)/[(k+1)…(k+n)] } (← H_0 =0)
= (n-1)!Σ[k=1,∞) 1/[k(k+1)…(k+n)]
= (n-1)!Σ[k=1,∞) (1/n){ 1/[k(k+1)…(k+n-1)] - 1/[(k+1)…(k+n)] }
= (n-1)!(1/n)(1/n!)
= 1/(n^2).
57:１３２人目の素数さん
07/06/07 21:52:14
>51 上
[A.422]
Let x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1) be positive real numbers with x_1+x_2+…+x_n = x_(n+1).
Prove that
Σ[i=1,n] √{x_i[x_(n+1) - x_i]} ≦ √{ Σ[i=1,n] x_(n+1)[x_(n+1) - x_i]},
(略解)
(左辺) ≦ (1/n){Σ[i=1,n] √x_i)}{Σ[j=1,n] √(x_{n+1} - x_j)} (← 逆順序積 ≦ 乱順序積)
≦ √{Σ[i=1,n] x_i}･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)} (← コーシー)
= √(x_{n+1})･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}
= √{Σ[j=1,n] x_{n+1}[x_{n+1} - x_j]}
= (右辺).
[B.3989]
a,b,c are positive real numbers, such that a^2 +b^2 +c^2 +abc = 4.
Prove that a+b+c ≦ 3.
(略解)
1-a,1-b,1-c のうち2つは同符号、よって (1-b)(1-c) ≧0 としてもよい。
3(3-a-b-c) + (a^2 +b^2 +c^2 +abc -4)
= (1/2)(2-a-b)^2 + (1/2)(2-b-c)^2 + (1/2)(2-c-a)^2 -(1-a)(1-b)(1-c)
= (1/4)(3-2c-a)^2 + (1/4)(3-2b-a)^2 + (1/2)(1-a)^2 + a(1-b)(1-c)
≧ a(1-b)(1-c).
[C.892]
Prove that if x,y,z are positive real numbers and xyz=1, the values of the expressions
1/(1+x+xy), y/(1+y+yz), xz/(1+z+xz)
cannot all be greater than 1/3.
(略解)
1/(1+x+xy) = yz/(1+y+yz) = z/(1+z+xz),
xy/(1+x+xy) = y/(1+y+yz) = 1/(1+z+xz),
x/(1+x+xy) = 1/(1+y+yz) = xz/(1+z+xz),
辺々たす.
58:１３２人目の素数さん
07/06/07 21:58:46
>51 下
[B.3997]
x,y,z are real numbers. Prove that if xyz=u, then
x^4 + y^4 + z^4 + x^2･y^2 + y^2･z^2 + z^2･x^2 ≧ 2u(x+y+z).
(略解)
(左辺) - (右辺) = (1/2)(x^2 -y^2)^2 + (1/2)(y^2 -z^2)^2 + (1/2)(z^2 -x^2)^2
+ (x^2)(y-z)^2 + (y^2)(z-x)^2 + (z^2)(x-y)^2.
ハァハァ
59:１３２人目の素数さん
07/06/07 22:47:53
>>57
[C.892]の解答みて思い出した。
俺は この問題を解いて（いや解けずに答えを見て）、
不等式の世界に入ったんだ（いや囚われの身になったんだ）！
ﾊｧﾊｧ・・・
60:１３２人目の素数さん
07/06/08 15:06:36
以前あった問題
a,b,c>0
ab+bc+ca=1で
(1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2a^2)/(c+a)^2≧5/2
を誰か解決してくれ。もうノート２冊分くらいぐるぐるしてる。
ちなみにいじってるうちに
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(a-b)^2/(a+b)^2+(b-c)^2/(b+c)^2+(c-a)^2/(c+a)^2
と同値とか、わきにそれてばかりいる。
大体、２文字対称不等式だと、大抵そんなむずかしくはないし、使う式も大体
決まってるんだが、どうも、３文字対称不等式はめんどくさい。誰か解いてくれ。
それから、不等式もそろそろ分類してもいい頃あいだと思うんだが、、、。
むずかしそうで、ルーチンで解ける物、それ以外（これが多いから収集したりする
訳だが、、、）。
結局、相加相乗平均を使うだけの問題も多いと思う。
61:１３２人目の素数さん
07/06/08 16:44:59
対称不等式だから
(1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2 ＋ a^2)/(c+a)^2≧5/2
でいいんだよな
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて
(t^2+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t^2+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t^2+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4
を示す
t^2+a^2+b^2=t^2-2ab+(a+b)^2等を使えば
(t^2-2ab)/(a+b)^2+(t^2-2bc)/(b+c)^2+(t^2-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値
左辺=f/(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2とすれば、根性で対称式で書いて
4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2
=4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su)
st-u≧0は容易、
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は
３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件
s^2-3t≧0はその解がすべて０以上の条件で、終り
間違ってるかもしれん。正しい／いい解法は実力者を待て
62:１３２人目の素数さん
07/06/08 16:55:22
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0と
s^2-3t≧0
合わせて実数解条件だったかもしれん
正の解の条件ではないな、
まあなんか本を見ておくれ
63:１３２人目の素数さん
07/06/08 17:07:40
手許にあった論文
a new look at newton's inequalities (結構面白い、webで拾えると思う）
によると
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は実数解条件でwell-knownだそうだ
s^2-3t=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
は理くつ不要だった
スレ汚しすまん
64:１３２人目の素数さん
07/06/08 17:13:51
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s ＾３ u
なんかボロボロorz
65:１３２人目の素数さん
07/06/08 19:30:22
またt^2とか間違いを見つけたので直したの貼り直しときます
a,b,c>0に対し、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて
(t+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4
を示す。これはt+a^2+b^2=t-2ab+(a+b)^2等を使えば
(t-2ab)/(a+b)^2+(t-2bc)/(b+c)^2+(t-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値。
左辺=f/((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)とすれば、
4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2
=4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u)
と基本対称式で書ける。（一応乱数入れてチェックしてみた）
ここで、s^2-3t=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0...(*)、
st-u=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
≧3(abc)^(1/3)・3(ab・bc・ca)^(1/3)-abc=8abc>0であり、
D_3=18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u≧0は
３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件で
a,b,cがこの方程式の３解だから満たされている
等号条件は(*)よりa=b=cが必要で、このとき実際成立する。
66:１３２人目の素数さん
07/06/08 21:44:08
>>60
あまり考えてないけど、x=b+c, y=c+a, z=a+b と置き換えて
(ab+bc+ca+a^2+b^2)/(a+b)^2
をx,y,zで表したらどうなる？
67:１３２人目の素数さん
07/06/08 22:49:39
>>63
これでおじゃるかな？
( ﾟ∀ﾟ)つ URLﾘﾝｸ(www.emis.de)
68:１３２人目の素数さん
07/06/09 04:33:02
>>67
そうです、ありがと
やってみたらたまたまできた？だけなんで
素人の力づく解法でみっともないかもしれない
このスレすごい人がいるから期待してる
69:１３２人目の素数さん
07/06/09 06:09:48
>>66
それでうまく行きますね、俺何やってんだか・・・やっぱりみっともなかったｗ
70:１３２人目の素数さん
07/06/09 14:26:36
>15
[M.1769]
Determine a formula for the coefficient of x^i･y^j in
P_n(x,y) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] x^(n-k)･(x+y)^k.
(略解)
{(1+u)^(2n+1) - (1-u)^(2n+1)}/(2u) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] (u^2)^k = Q(u^2)
とおくと,
P_n(x,y) = (x^n)Q({x+y}/x) = Σ[i=0,n] C[n+i,n-i] (4x)^i･y^(n-i) = Σ[j=0,n] C[2n-j,j] (4x)^(n-j)･(y^j).
ﾃﾍｯ
71:１３２人目の素数さん
07/06/09 19:52:22
>>70
ｷﾀｯ！ｗﾍ√ﾚｖ-(ﾟ∀ﾟ)-ﾍ√ﾚ- !! ｽﾝﾊﾞﾗｽｨ！
72:訂正>>60
07/06/10 16:03:35
(1+a^2*b^2)/(a+b)^2+(1+b^2*c^2)/(b+c)^2+(1+c^2*a^2)/(c+a)^2≧5/2
ごめんなさい。
73:１３２人目の素数さん
07/06/10 19:28:51
>>72
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
74:１３２人目の素数さん
07/06/10 20:28:38
>>51 下
[A.425]
Let n≧2 and let a_1,a_2,…,a_n, x_1,x_2,…,x_n be positive real numbers such that a_1+a_2+ … +a_n =A, x_1+x_2+ … + x_n =X.
Prove that
2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j ≦ {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {a_i/(A-a_i)}(x_i)^2.
(略解)
コーシーより
Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)} (x_i)^2 ≧{Σ[k=1,n] x_k}^2 /{Σ[j=1,n] (A-a_j)/A } = {1/(n-1)}X^2,
よって
(右辺) = {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)}(x_i)^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
≧ {(n-2)/(n-1)}X^2 + {1/(n-1)}X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
= X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
= 2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j
= (左辺).
[B.3997] >>58
[B.4000]
Find the smallest possible value of x^2 +y^2, given that x and y are real numbers, x≠0 and xy(x^2 -y^2) = x^2 +y^2.
(略解)
(1/4)(x^2 +y^2)^2 = (1/4){(2xy)^2 + (x^2 -y^2)^2} ≧ (1/2)(2xy)(x^2 -y^2) = xy(x^2 -y^2)
と与式から
x^2 +y^2 ≧ 4,
等号成立は 2xy = x^2 -y^2,
(x,y) = (±√(2+√2), ±√(2-√2)), (±√(2-√2), 干√(2+√2)) 〔複号同順〕
ハｧハｧ
75:１３２人目の素数さん
07/06/15 09:35:26
△ABCが鋭角三角形のとき，
tanA tanB tanC ≧ 3√3
を示せ。
76:１３２人目の素数さん
07/06/15 10:23:38
>>75
tanA=x tanB=y tanC=zとおく。
△ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。
また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy) ゆえ
z-xyz=-x-y すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。
x/(xyz)^(1/3)>0 ,y/(xyz)^(1/3)>0, z/(xyz)^(1/3)>0
について、相加相乗平均から
(x+y+z)/(xyz)^(1/3)≧3{xyz/(xyz)}^(1/3)=3
x+y+z=xyzから (xyz)^(2/3)≧3 ゆえxyz≧3√3
等号成立はx=y=zのとき、それは
0<θ<π/2でのtanθの狭義単調増加性から
A=B=Cのときなので△ABCが正三角形のとき。
77:１３２人目の素数さん
07/06/15 11:19:19
>>75
tanA=x tanB=y tanC=zとおく。
△ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。
また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy) ゆえ
z-xyz=-x-y すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。
…までは>>76と同じで，ここからはtan xの凸不等式でおしまい。
78:１３２人目の素数さん
07/06/15 11:51:32
>>77
コピペの上に「～でおしまい。」って。
人の事馬鹿にしてるのじゃなければ
もう少し書き様って物があるんじゃないですか?
79:１３２人目の素数さん
07/06/15 12:28:50
>>75
解析的な証明。
tanA=x tanB=yとおく。
まず，A,B<π/2よりx,yは正の数。
また，C<π/2 なので，tan(π-(A+B))=-(x+y)/(1-xy)>0 だから xy>1
つまり，x,y>0, xy>1 の条件下において，xy(x+y)/(xy-1)≧3√3 を示すことになる。
s=x+y, t=xy とおくと，s,t の変域は s>0，t>1，s^2-4t≧0.
この条件下で，st/(t-1)≧3√3 を示せばよい。
言い換えれば，t>1, s≧2√t ⇒ s≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。
つまり，t>1 ⇒ 2√t≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。
f(t)=2√t - 3√3 (1-1/t) とおけば，f'(t)=0 となるのは t=3 のときで，このとき最小値をとる。
よって f(t)≧f(3)=0 なので示された。
80:１３２人目の素数さん
07/06/15 12:39:16
ごめん，怒られてる理由がいまいちわかんない。
だってほんとにtan xの凸不等式でおしまいじゃん。ｗ
81:１３２人目の素数さん
07/06/15 12:49:29
>>78
凸不等式を知っているかね？ オービーくんッ！
82:１３２人目の素数さん
07/06/15 18:07:05
>>80
見通しの悪い駄解答を書き込んですまんかったな。
わざわざコピペ引用までして晒し上げたうえに
あてつけの一言まで頂いたけるとは思わなかったよ。
83:１３２人目の素数さん
07/06/15 23:55:34
仲良くしようぜ ('A`)
84:１３２人目の素数さん
07/06/16 07:16:19
★★小泉純一郎と安部は朝鮮人★★
コピペして各板に貼り付けよう 知人にも話そう 政治板もたまには覗こう
小泉純一郎
・戦前大臣を務めた祖父小泉又次郎は純粋な日本人とされる。だが、純一郎の帰化朝鮮人である父が鮫島姓を買い取り
又次郎の娘をたぶらかして婿として小泉家に入る そこで小泉家は帰化朝鮮人である純一郎の父に乗っ取られた
参照URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・父親の純也は、鹿児島加世田の朝鮮部落の出身者といわれる 日大卒業名簿には、純也の日本名はなく、
見知らぬ朝鮮名が書かれているという
純也は朝鮮人の帰国事業、地上の楽園計画の初代会長であった
・結婚後、子供をもうけ即離婚した宮本佳代子は在日企業エスエス製薬創業者の孫
・小泉の元秘書官の名前は飯島勲←注目 帰化朝鮮人
・派閥のドン森喜朗も生粋の朝鮮人 ←森も帰化人がよく使う通名
・小泉は、横須賀のヤクザ、稲川会と関係が深い
安倍晋三
・岸家 毛利元就が陶晴賢と厳島沖で戦い大勝を収めた際、寝返って毛利方についた船の
調達人が「ガン」と称する帰化人であったという 毛利はその功績によって「ガン」を
田布施周辺の代官に召したてた このガンを岸家の先祖とする説がある
・祖父岸信介が文鮮明と共に 反共団体 国際勝共連合（統一教会）を設立
・官房長官時代統一教会「合同結婚式」に祝電を送り、話題に
・安倍のスポンサーは、下関の朝鮮人パチンコ業者である
・グリコ森永事件時、明らかになった帰化朝鮮人企業森永のご令嬢と結婚
・そのわが国のファーストレディーは電通（会長成田豊、半島生まれの帰化人）勤務という分かりやすい
経歴の持ち主の朝鮮の血筋
・韓国、中国の留学生に日本の企業に入ってもらうために住居費分、学費免除分、生活費など月計２０万～３０万円相当の支給
日本人のワーキングプア層を全く省みない また帰化系在日系朝鮮人が日本の企業で技術を盗み、半島の現代などの企業に
伝授していることが深刻な問題になっている
・多くの朝鮮人が差別を主張し、警察、原発、自衛隊で職を得ている
85:１３２人目の素数さん
07/06/18 00:26:37
>15
[C.847]
面積を ⊿ とおくと、
r=⊿/s, 4R = 2a/sin(A) =abc/⊿,
(⊿^2)/s = (s-a)(s-b)(s-c) (← ヘロン)
より
(左辺) = (r^2･s)^(1/3) = {(⊿^2)/s}^(1/3) = {(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3),
(中辺) = √{(4R+r)r /3} = √{[abc + (⊿^2)/s] /(3s)} = √{[(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a)] /3},
(右辺) = s /3 = {(s-a) + (s-b) + (s-c)} /3.
以下ry)
まとめ
[C.844] >>41 [C.846] >>48 [C.847] ↑ [C.851] >>41 [C.854] >>50, >>56 [M.1769] >>70
ﾊｧﾊｧ
86:57
07/06/18 00:46:37
>51 上
[B.3987]
Let n≧4 be an integer, and let a_1,a_2,…,a_n denote non-negative real numbers.
Prove that
Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1} + a_{k+2})^2 ≧ (2^n)Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1})^2,
where a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2.
｛略解(in Hungarian)｝
(a+t)(t+d) = t(a+t+d) + ad ≧ t(a+t+d),
に t=b+c を入れて
(a+b+c)(b+c+d) ≧ (b+c){(a+b)+(c+d)} ≧ (b+c)・2√{(a+b)(c+d)}. (←相加･相乗平均)
循環的に掛ける。
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
ｺﾞﾎｺﾞﾎ
87:１３２人目の素数さん
07/06/21 01:36:20
( ﾟ∀ﾟ)つ問題投下
a,b,c>0 のとき，
(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ √((a^2+b^2+c^2)/3)
が成立することを示せ。
88:１３２人目の素数さん
07/06/21 14:06:45
まず(b+c)/2≦√((b^2+c^2)/2)等だから、
(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧(√2/3)(a^2/√(b^2+c^2)+...)
よってa^2=x等とおいて、
(√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))≧√((x+y+z)/3)
を示せばよい。
k>0に対し、f(x)=x/√(k-x)は0<x<kで凸であるから、k=x+y+zとしておけば、
(√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))=√2・(f(x)+f(y)+f(z))/3
≧√2f((x+y+z)/3)=√((x+y+z)/3)
89:１３２人目の素数さん
07/06/22 00:19:04
>87
(2/3){a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3}.
(略証)
左側
(左辺)*{(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2} ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)^2, (←コーシー)
(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 ≦ (2/3)(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2), (← 逆順序積 ≦ 乱順序積)
辺々割る。
右側
(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 ≦ 3(a^2 +b^3 +c^2),
∴ 1/(a+b+c) ≧ 1/√{3(a^2 +b^2 +c^2)}.
ﾊｧﾊｧ
90:88
07/06/22 00:25:00
>>89
すげーな、プロの味がするｗ
91:89
07/06/22 00:39:29
>89 の左側の別解
(左辺) ≧ (2/9)(a^2 +b^2 +c^2){1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)} (← 同順序積 ≧ 乱順序積)
≧ 2(a^2 +b^2 +c^2) / {(b+c) + (c+a) + (a+b)} (← 相加･調和平均)
= (a^2 +b^2 +c^2) / (a+b+c).
92:１３２人目の素数さん
07/06/24 01:39:02
>87
〔系〕 a,b,c>0 のとき
(2/3){a^2/(b+c) +b^2/(c+a) +c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3} ≧ (a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3).
2. (IMO 1995 Canada)
Let a,b,c be positive real numbers such that abc=u. Prove that
1/{a^3･(b+c)} + 1/{b^3･(c+a)} + 1/{c^3･(a+b)} ≧ (3/2)u^(-4/3).
(略証) 上式の a→1/a, b→1/b, c→1/c, u→1/u とおく。
93:１３２人目の素数さん
07/06/25 00:14:52
並べ替えの不等式について質問です。
ｎ！個の式のうち一番大きくなるは正順で、一番小さくなるのが逆順ですが
残りの中間の不等式で大小関係がはっきりつくグループは何個なんでしょうか？
ｎ＝３ のときは中間の３！－２＝４個の式が２個のグループに分けられるみたいですが。
94:１３２人目の素数さん
07/07/01 13:14:08
>>93
面白いね、これって論文１本書ける問題じゃないのかな
専門家のコメント希望
95:１３２人目の素数さん
07/07/01 13:31:10
>>93
n=4 のときにやってみたらハッセ図？みたいのが出来たけど、、
96:１３２人目の素数さん
07/07/01 13:56:25
(*ﾟ∀ﾟ)=3
97:１３２人目の素数さん
07/07/01 14:54:06
〔問題〕
a>0 とする。
関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=a, f(a)=0 を満たすとする。
また、関数g(x)は、0≦g(x)≦a を満たす連続関数とする。
このとき次の不等式が成り立つことを示せ（下記不等式中にある積分は全て区間[0,a]の定積分とする)。
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx + a^2 ≦ 2∫f(x)dx.
* f(x)の微分可能性は保証されていません。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:58-61番)
東大入試作問者スレ９
98:１３２人目の素数さん
07/07/01 15:02:42
>97
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx.
(略解)
max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと
(右辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma,
題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、折れ線 (0,f(0))－(h,M)－(a,0) より上側にある。
(左辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.
99:98
07/07/01 15:13:30
>98の訂正, ｽﾏｿ
>97
(略解)
max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと
(左辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma,
題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、y=f(x)+x のグラフは 折れ線 (0,f(0))－(h,M)－(a,a) より上側にある。
(右辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.
100:１３２人目の素数さん
07/07/07 00:26:28
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp) より。
n≧1, m≧2とするとき、
Σ{k=1,n}( (1/k)^((m-1)/m) ) ＜ m n^(1/m)
101:１３２人目の素数さん
07/07/07 04:27:54
>100
左辺に
(1/k)^{(m-1)/m} < ∫[k-1,k] (1/x)^{(m-1)/m} dx
を代入するらしいお…
102:１３２人目の素数さん
07/07/12 11:14:54
x,y,z is possible. Prove
{(xy^2+1)^(1/3)+(yz^2+1)^(1/3)+(zx^2+1)^(1/3)}^3≧xyz+1
103:１３２人目の素数さん
07/07/13 03:23:30
>>102
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
に３通りの解答を載せておきました。
104:102
07/07/13 04:23:56
>>103
ありがとう！
105:102
07/07/13 09:35:05
>>104 どちらさま？
>>103ありがとうございますっ
っってどうみても>>102には右辺の定数倍が欠けてるっっorz
右辺を３倍いやむしろ２７倍してもたぶん成立するという事実
102自体も問題としてはなりたっているが…
103様、もしよろしければ解き直して、wikiのほうも追加してもらえませんか？
申し訳ない
106:１３２人目の素数さん
07/07/13 10:45:35
| |
| ∥ ﾉﾉﾉﾉ -＿_ 勘違いするなよ！
|>>102 (ﾟ∈ﾟ ) ─_＿___ ___
|∧ 从ﾉ (ミ_ (⌒＼ヽ _ __＿
（ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ ノ )
|(つWつ ￣￣＼ ⌒彡) ﾉ ＝＿
| ＼つ つ ＼,_＿_,ノノ
| | ) / ／ ≡＝
| | / ノ __________
| | /ノ ＿─ (´⌒(´
| | ﾐ/＝ (´⌒(´⌒;;
| ''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''
107:１３２人目の素数さん
07/07/14 05:35:41
>102
(xy^2)^(1/3) =Z, (yz^2)^(1/3) =X, (zx^2)^(1/3) =Y とおくと
(X+Y+Z)/3 ≧ XYZ = xyz,
g(t) = (t^n +1)^(1/n) とおくと
g'(t) = t^(n-1) /（t^n +1)^(1 -1/n) >0, (単調増加)
g"(t) = (n-1)t^(n-2) / (t^n +1)^(2 -1/n) >0, (下に凸)
(左辺)^3 = {g(X) + g(Y) + g(Z)}/3 ≧ g((X+Y+Z)/3) ≧ g((XYZ)^(1/3)) = g((xyz)^(1/3)) = (右辺)^3,
108:107
07/07/14 08:01:35
>102 いつもの事だが訂正
(X+Y+Z)/3 ≧ (XYZ)^(1/3) = (xyz)^(1/3),
n>1
(左辺)^(1/3) = …… = (右辺)^(1/3).
109:１３２人目の素数さん
07/07/14 12:41:49
102は、f(e^x)がｘについて凸な関数のときに、（ｘ＞０）
Jensen不等式の相乗平均verが成り立つことを
問題にしたかっただけなんだ。
迷惑かけて申し訳ない。お詫びとして
a,b,cは正の実数。このとき常に次の式が成り立つような最大のαを求めよ
a^b+b^c+c^a>α
110:１３２人目の素数さん
07/07/14 23:23:13
>109
c=a^(1/a) のとき、
(左辺) = a^b + b^c + a,
a→0 のとき c⇒0 なので,
lim[a→0] (左辺) = 0^b + b^0 + 0 = 1,
α = 1.
111:１３２人目の素数さん
07/07/16 13:40:04
>110
Q. ほんとに1以下にならない??
A.
(1) a,b,c の1つでも1以上なら おk,
(2) 0<a,b,c<1 のとき
f(x) = (1/a)^x は下に凸だから、
(1/a)^b < (1-b) + b/a = (a+b-ab)/a … ベルヌーイの不等式
a^b > a/(a+b-ab) > a/(a+b+c),
辺々たす。
URLﾘﾝｸ(www.nikonet.or.jp)
112:１３２人目の素数さん
07/07/21 08:13:14
( ﾟ∀ﾟ)つ>>87の改良版
a,b,c>0 のとき，
(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ ((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3)
が成立することを示せ。
113:１３２人目の素数さん
07/08/02 11:33:35
Polyaの不等式のH.Alzerによる拡張
f,g,h は [a,b] 上の実数値関数で，f は単調増加，g,h はC^1級で，
g(a)=h(a)，g(b)=h(b) を満たすものとするとき，
(∫_[a,b] f(x)g'(x)dx) (∫_[a,b] f(x)h'(x)dx)≦(∫_[a,b] f(x)√[(g(x)h(x))']dx)^2
114:１３２人目の素数さん
07/08/16 02:18:39
〔問題〕
x+y+z=1, x,y,z ≧0 のとき f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) ≦ 1/(6√3) を示せ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:56番)
分かスレ２７９
115:１３２人目の素数さん
07/08/16 02:32:44
>114
f(x,y,z)>0 となるのは 0≦x<y<z またはその cyclic の場合。
そこで、x<y<z の場合を考える。（他の場合も同様）
f(x,y,z) = (y-x)(z-y)(z-x)
は zについて単調増加、xについて単調減少。
f(x,y,z) ≦ f(0,y,z+x) = f(0,y,1-y) = y(1-y)(1-2y)
= 1/(6√3) - 2{y -(1/2) +(1/2√3)}^2･{y +(1/2) +(1/√3)} ≦ 1/(6√3),
等号成立は x=0, y=(1/2)-1/(2√3), z=(1/2)+1/(2√3) のとき。
116:１３２人目の素数さん
07/08/16 08:23:31
数蝉の最新号に、不等式が載っていたなはぁはぁ…せｄｆｒｔｇｙふじこｌｐ
117:１３２人目の素数さん
07/08/16 22:37:32
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:634-番)
【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする．
このとき，不等式
(a + b + c)/r ≧6√3
が成り立つことを示せ．
118:１３２人目の素数さん
07/08/16 23:54:59
>117
a/r = cot(B/2) + cot(C/2), …, …
を左辺に代入し、cotθは下に凸, A+B+C=π を使う。
119:１３２人目の素数さん
07/08/17 22:37:24
【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の外接円の半径をRとする．
このとき，不等式
(a + b + c)/R ≦ 3√3
が成り立つことを示せ．
120:１３２人目の素数さん
07/08/17 22:43:31
>119
だから
a/R = 2sin(A), …, …
を左辺に代入し、sinθ は上に凸, A+B+C=π を使うだお。
〔系〕R ≧ 2r.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:638-639番)
121:１３２人目の素数さん
07/08/17 23:10:15
〔系〕R ≧ 2r.
これは、球殻不等式というんだお。 （・3・）
122:１３２人目の素数さん
07/08/18 18:00:49
>121
㌧クス.
△の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏)
[前スレ.496-499,660,974] 文献[3] p.8 (絶版)
123:１３２人目の素数さん
07/08/18 20:10:08
【問題】
3辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…,
が成り立つことを示せ.
等号は正3角形のとき,
直角3角形のとき 左辺は2.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:674番)
東大入試作問者スレ９
124:１３２人目の素数さん
07/08/21 00:06:01
>123
このスレの解答は↓になるだろうな。ちっともエレガントぢゃねぇが…
a,b,cが3角形の辺をなすとき、次の附帯条件（3角不等式）がある。
s-a >0, s-b >0, s-c >0, s=(a+b+c)/2
そこで s-a, s-b, s-c を独立変数と見れば、附帯条件は無くなる。基本対称式を
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおくと abc = st-u,
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),
r = ⊿/s = √(u/s),
R = abc/(4⊿) = (st-u) / {4√(su)},
(左辺) = {2s - (st-u)/√(su)} / √(u/s) = 2(s^1.5)/√u - (st/u) +1,
示すべき式は
{(st/u) +(右辺-1)}^2 - 4(s^3)/u = (1/t^2)H(s,t,u) ≧0,
H(s,t,u) = {st + 2(右辺-1)u}sF_(-2) + 27(7-4√3)uF_(-1) + 3(16√3 -27)sG ,
ここに F_n はSchurの不等式のF_nで,
F_(-2) = (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0,
F_(-1) = (t^2 -3su)/u ≧0,
F_0 = s^2 -3t ≧0,
G(s,t,u) = st-9u ≧0,
これより、
H(s,t,u) ≧0,
ぬるぽ
125:124
07/08/21 00:22:21
（補足）
3角形の面積を⊿とおくと、
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su), …… ヘロンの公式
126:１３２人目の素数さん
07/08/21 11:18:25
グッジョブ！ (*ﾟ∀ﾟ)
127:１３２人目の素数さん
07/08/23 05:27:52
【類題】
3辺の長さがa,b,cである鈍角*三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
(a + b + c - 4R) /r ≦ 2,
が成り立つことを示せ。 (*直角3角形も含める)
等号は直角3角形のとき.
128:１３２人目の素数さん
07/08/25 10:43:13
>127
r=⊿/s, R=abc/(4⊿) より,
(4R+r)r = {(⊿^2)/s + abc}/s = s^2 + (ab+bc+ca) = (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/4 (=t),
(4R+2r)^2 - (a+b+c)^2 = 16R^2 +4(4R+r)r - (a+b+c)^2
= 16R^2 + (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) - (a+b+c)^2
= 2(8R^2 -a^2 -b^2 -c^2),
= -16R^2 cos(A)cos(B)cos(C), (← 補題)
〔補題〕
(a^2 +b^2 +c^2) -8R^2 = (a^2 +b^2 -c^2) - 2(4R^2 -c^2)
= 2abcos(C) - 2(4R^2 -c^2) (← 第2余弦定理)
= 8R^2 {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C) (← 正弦定理)
= 8R^2 {sin(A)sin(B)+cos(A+B)}cos(C) (← A+B+C=π)
= 8R^2 cos(A)cos(B)cos(C),
これは、鋭角・直角・鈍角に従って 正･0･負。(終)
(数セミ, 2007/09)
ぬるぽ
129:１３２人目の素数さん
07/08/26 13:25:45
〔問題〕
a,b,c は abc=G^3 を満たす正の実数である. 0≦p≦q のとき次の不等式が成り立つことを示せ.
{a^p + b^p + c^p}*G^(q-p) ≦ a^q + b^q + c^q.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:753-754番) を改作
東大入試作問者スレ９
130:１３２人目の素数さん
07/08/26 14:54:55
>>129
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
131:１３２人目の素数さん
07/08/26 15:37:41
>129 相加･相乗平均 と 乱順序積≦同順序積 より 左辺 ≦ (a^p+b^p+c^p)*{a^(q-p)+b^(q-p)+c^(q-p)}/3 ≦ 右辺.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:766番),771
132:１３２人目の素数さん
07/08/26 16:54:33
>129 は q≦p≦0 のときも成立.
q-p = d とおくと >131 より
(左辺) ≦ (a^p + b^p + c^p)(a^d + b^d + c^d)/3 = (右辺) + {(a^p -b^p)(a^d -b^d) + (b^p -c^p)(b^d -c^d) + (c^p -a^p)(c^d -a^d)}/3 ≧ (右辺).
133:１３２人目の素数さん
07/08/27 11:14:33
>>132
確かに>>130の証明も，q≦p≦0のときにも成り立っていますね。
>>130の証明を追記しておきました。
134:１３２人目の素数さん
07/09/10 22:34:38
IMO longlisted problem 1987
θ[1],θ[2],θ[3]・・・,θ[n]を実数とし、sinθ[1]+sinθ[2]+・・・sinθ[n]=0とするとき次の不等式を示せ。
|sinθ[1]+2sinθ[2]+・・・+nsinθ[n]|≦[n^2/4 ]
The IMO compendium P209 より
この本って問題は豊富なんだけど解答がその半分もないんですね
135:１３２人目の素数さん
07/09/11 00:01:21
あっさりオイラー使えよ
136:１３２人目の素数さん
07/09/11 06:43:58
nt-t+(n-1)t-2t...=tn(n+1)/2-2t(n/2)(n-2+1)/2=
137:１３２人目の素数さん
07/09/11 06:48:20
tn(n+1)/2-2t(n/2)(n/2+1)/2= f
df/dt=n(n+1)/2-n(n+2)/4=0
nn/4=0
t=1->n^2/4
138:１３２人目の素数さん
07/09/11 06:55:08
>134
a[k] = sinθ[k+1] + sinθ[k+2] + …… + sinθ[n],
とおく。題意より
a[0] = a[n] = 0,
また
|a[k-1] - a[k]| = |sinθ[k]| ≦ 1,
よって
|a[k]| ≦ k (k=0,1,2,…,[n/2])
|a[k]| ≦ n-k (k=[n/2]+1,･･･,n-1,n)
与式 = | Σ[k=1,n-1] a[k] | ≦ Σ[k=1,n-1] |a[k]| ≦ ･･･
あっさり。
139:１３２人目の素数さん
07/09/12 16:23:24
>>138 あっさりでしたか。
問題仕入れてきました。1988年/大学への数学「宿題」らしいです。
実数x[1],,x[2],・・・,x[n]が
x[1]+x[2]+・・・+x[n]=0
(x[1])^2+(x[2])^2+・・+(x[n])^2=1
を満たしながら動くとき次の不等式を示せ。ただしnは3以上の整数とする。
(x[1])^3+(x[2])^3+・・・+(x[n])^3≦(n-2)/√(n^2-n)
140:１３２人目の素数さん
07/09/12 20:02:15
xk=-xn-k+1=t
nt^2=1
t^3=n^-3/2
nt^3=n^-1/2
141:１３２人目の素数さん
07/09/14 12:07:31
>>139
[略解]
ラグランジュ乗数法で停留点条件を調べると，
x[1],x[2],……,x[n] たちは2種類の値のみをとることが必要と分かる。
そこで x[1] から x[n] のうちで p 個が a という値をとり，(n-p)個が b という値をとるとする。
ただし x[1]=……=x[n] とはなりえないので a<b，1≦p≦n-1 としてよい。
2本の束縛条件の式に代入して解くと， a, b を p の式で表せる。
すると (x[1])^3 + …… + (x[n])^3 が p の関数として表せる。
この関数は p について単調増加なので，p=n-1 のときが最大値。
その最大値は (n-2)/√(n^2-n) となる。
142:１３２人目の素数さん
07/09/19 12:38:04
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:622-番)
より転載。
622 ：１３２人目の素数さん：2007/09/19(水) 11:28:28
0<x<eのとき，
(e+x)^(e-x)>(e-x)^(e+x)
が成り立つことを示せ。ただし e は自然対数の底である。
ちなみにこれに続く>>624の解答は間違い。
143:１３２人目の素数さん
07/09/23 08:22:51
>142
f(x) = (e-x)log(e+x) - (e+x)log(e-x) とおく。
f(0) =0,
f '(x) = (e-x)/(e+x) + (e+x)/(e-x) -log(e+x) -log(e-x)
= 4(x^2)/(e^2 -x^2) +2 -log(e^2 -x^2)
= 4(x^2)/(e^2 -x^2) - log{1-(x/e)^2} >0,
∴ 0<x<e ⇒ f(x) >0.
144:１３２人目の素数さん
07/10/03 21:44:32
〔問題〕
nは自然数、x>0として、(1+x)(1-x)x^n の最大値を、
「微分積分も 相加相乗平均も コーシーの不等式も 因数定理も 判別式も 平方完成も 使わずに」求めよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:272番), 293
東大入試作問者スレ１１
145:１３２人目の素数さん
07/10/03 21:52:36
>144
最大値は M = {2/(n+2)}{n/(n+2)}^(n/2) の辺りなので、差をとってみよう。
x･√{(n+2)/n} ≡ y とおくと、
M - (1+x)(1-x)x^n = M - {1-(n/(n+2))y^2}･{n/(n+2)}^(n/2)･y^n
= M{1 -(1/2)(n+2)y^n +(n/2)y^(n+2)}
= M(1-y){1 +y +y^2 +･･･+y^(n-1) -(n/2)(1+y)y^n}
= M(1-y)^2･{1 +2y +3y^2 +･･･+ny^(n-1) +(n/2)y^n} ≧ 0,
等号成立は y=1 のとき。
もっとも、x≧1 のときは (左辺)≦0 から明らかだが･･･
146:１３２人目の素数さん
07/10/03 22:23:52
さすがに後付けにもほどがあるな
147:１３２人目の素数さん
07/10/03 22:51:55
これは、「最大値を求めた」のではなく、最大値を取る付近で適当な変数を取って関数を展開しただけのこと。
微分方程式等、動きが判らない関数の性質を調べるときなど、よく使われる手法。お疲れ様
148:１３２人目の素数さん
07/10/06 01:13:14
任意の三角形の三辺a,b,cに対して常に
a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)＜2(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n)
が成り立つような正の整数nを全て求めよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:352番)
まず必要条件を求めるため，xを0<x<1なる実数として，
a=2，b=1，c=1+x という三角形を考える。
このとき，題意を満たす n が存在するとすると，
2^(n+1) + 2(1+x)^n + 2^(n+1)(1+x)^n ＞ 2^(2n) + 1 + (1+x)^(2n)
が成り立つ。
これが0<x<1なる任意のxに対して成立するので，両辺 x→+0 として，
2^(n+2) ≧ 2^(2n)
∴ 4≧2^n
∴ n≦2
よって n≦2 が必要。
n=1のとき，
2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)＝(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a) ＞ 0
より成立。
n=2のとき，
2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)
＝(a+b-c)^2(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)^2(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)^2 ＞ 0
より成立。
以上より n=1,2
149:１３２人目の素数さん
07/10/13 22:17:13
〔問題〕
n を自然数として定積分 I(n) を
I(n) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx
で定める。このとき、すべての自然数n に対して I(n+1) > I(n) が成り立つことを示せ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:174番)
東大入試作問者スレ１１
150:１３２人目の素数さん
07/10/13 22:21:20
>149
(略解)
・n = 1 のとき
I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1,
I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･,
ゆえ n=1 のとき成立。
・n> 1 のとき
u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。
xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から
I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
ここで ヘルダーの不等式 により
{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
I(n) > I(2)^(n-1) > 1,
から
I(n+1) > I(n),
n> 1 のときも成立。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:637番)
東大入試作問者スレ１１
151:１３２人目の素数さん
07/10/15 15:39:52
〔問題〕
α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ (3√3)/2
〔略解〕
(sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2}
= 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3),
∴(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3
θ=α,β,γを代入して辺々足せば得られる。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:438-462番)
東大入試作問者スレ１１
152:１３２人目の素数さん
07/10/15 15:43:15
任意の実数 x[1],……,x[n] に対して
∑[k=1,n](x[k])^2･cosπ/n ≧ ∑[k=1,n-1]x[k]x[k+1]-x[n]x[1]
が成り立つことを示せ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:656番)
東大作問者スレ１１
153:１３２人目の素数さん
07/10/18 03:27:58
>152
2次形式なので行列で表す。半正値であることを使う。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:196-202番)
線形代数/線型代数４
154:１３２人目の素数さん
07/10/26 21:18:01
[問題]
f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0を満たす滑らかな関数とするとき、次を示せ．
∫^1_0 |f'(x) x|^2 dx < 2 ∫^1_0 |f(x)|^2 dx
155:１３２人目の素数さん
07/10/27 07:39:25
>>154
f(x)=sin(2πx) のとき，f(0)=f(1)=0 で，
2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (2π^2)/3 + 1/4 = 6.82……
よって不成立。
156:１３２人目の素数さん
07/10/27 09:27:36
>>154
f(x)=sin(nπx)のとき，
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1/2
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (n^2π^2)/6 + 1/4
なので，>>154の命題は係数２をいかに大きくしても不成立。
157:１３２人目の素数さん
07/10/28 11:31:45
>>154
成り立たないのですか！
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
の本の最後のページにこの手の不等式があって、幾つか自分でやったんですけど、
これだけはどうしても出来なかったが、間違っていたとは思わなかった orz
お騒がせしました。
しかし、直ぐに成り立たないと反例を挙げるその才能に驚きました。
158:１３２人目の素数さん
07/10/28 18:57:34
〔問題〕
こんな問題が流れてきた。カッコ良く解いて呉れってよ。
x+y+z =s, x≧0, y≧0, z≧0 のとき、
w(x,y,z) = (y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2) の最大値は?
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:59番)
分かスレ２８０
159:１３２人目の素数さん
07/10/28 19:03:47
>158
いつものように 基本対称式を x+y+z =s, yz+zx+xy =t, xyz =u とおく。
y^2 +yz +z^2 = s^2 -t -sx,
z^2 +zx +x^2 = s^2 -t -sy,
x^2 +xy +y^2 = s^2 -t -sz,
よって
w(x,y,z) = (s^2 -t -sx)(s^2 -t -sy)(s^2 -t -sz)
= (s^2 -t)^3 -(s^2 -t)^2･s^2 +(s^2 -t)ts^2 -us^3
= (s^2 -t)t^2 -us^3
≦ (s^2 -t)t^2 + min{0, -(s^3)(4st-s^3)/9}, (← s^3 -4st ≧ -9u)
ここで t/s^2 =τ, w/s^6 =ω とおくと 0≦τ≦1/3,
ω ≦ τ^2 - τ^3 + min{0, -(4τ-1)/9},
ω(τ) の増減表から、ωは 0≦τ<1/4 で増加し、1/4<τ≦1/3 では減少する。
ゆえに τ=1/4 で最大値 3/64 をとる。
等号成立は τ =t/s^2 =1/4, u=0 のとき、すなわち
(x,y,z) = (a,a,0), (0,b,b), (c,0,c).
ぬるぽ
160:１３２人目の素数さん
07/10/28 20:46:19
問題を投下した者です。ちょっとこのスレ的ではない解ですが…
ω=exp(2πi/3) を用いて問題の関数は
w(x,y,z)=|(yω-z)(zω-x)(xω-y)|^2
と表せる。そこで p=x+yω+zω^2 という変数を考えるとpは複素平面上で
1,ω,ω^2 を頂点とする三角形の内部または周上 (Tとする) を動く。ここで
p-1=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)=(1-ω^2)(yω-z)
p-ω=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω=(ω-1)(zω-x)
p-ω^2=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω^2=(ω^2-ω)(xω-y)
であるから
w=(1/27)|p^3-1|^2
である。この式の形とTの形状から、pの動く範囲はTのうちの
2π/3≦arg(p)≦4π/3 に制限してもよいことがわかる。このとき
p^3の動く範囲(Dとする)を描いてみればわかるように、max(w)
を与えるpはTの周上のどこかになる。そこで
p = (-1+it√3)/2 (-1≦t≦1)と置いてwを計算してみると
p^3-1 = (3√3/8)(t^2-1)(√3+it)
|p^3-1|^2 = (27/64)(t^2-1)^2(3+t^2)
w = (1/64)(t^2-1)^2(3+t^2)
あとは u=t^2 (0≦u≦1) の3次関数の問題で、u=0で最大となる
ことがわかり、max(w)=3/64 である。最大を与えるpは p=-1/2
のときと p^3の位置が同じp、すなわち p=-1/2,-ω/2,-ω^2/2 である。
161:１３２人目の素数さん
07/10/28 22:11:57
>>160 は >>158 の解でございます。
162:１３２人目の素数さん
07/10/28 22:17:41
おっと >>158 は x+y+z=s になってますね。元の問題は x+y+z=1 です。
163:１３２人目の素数さん
07/10/29 00:47:04
ｲﾊﾟｰﾝ化してしまうのが不等式ヲタのSA・GA
164:156
07/10/29 13:38:52
>>157
>>157
確かにその本にはそう書いてありますね。
しかし，前後の文脈を読むと，おそらく著者が言いたかったのは
「f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0 を満たす C^1級の関数で，かつ恒等的に0でないものとする。
このとき，
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＞ (1/4) ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
が成立する。」
ではないかと思われます。
おそらく著者は，
URLﾘﾝｸ(links.jstor.org)
から引用したものだと思われますが，引用元のこの論文において既に同じミスをしています。
この修正版の不等式は，次のようにして示せます。
g(x) = √(x) f(x)$ とおくと，g(0)=g(1)=0 を満たし，かつg'(x)は[0,1]上で恒等的に0ではない。
また，f(x)=x^(-1/2)g(x)なので
{xf'(x)}^2＝(1/4)x^(-1){g(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 ＝ (1/4){f(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2
よって，
∫_[0,1] {xf'(x)}^2 dx
＝(1/4)∫_[0,1] \{f(x)\}^2dx - (1/2)[{g(x)}^2]_0^1 + ∫_[0,1] x\{g'(x)\}^2 dx
＞ (1/4)∫_[0,1] {f(x)}^2dx (∵g(0)=g(1)=0, x\{g'(x)\}^2≧0で恒等的に0でない)
この係数1/4の最良性は言えそうで言えない……
165:１３２人目の素数さん
07/10/29 14:40:59
>>164
ご丁寧な解答ありがとうございます。
逆向きの不等号ならば、本に書いてある方法でできますね。
ちなみに、積分区間は [0,1] となっていますが、これは任意の区間 [a,b]
（ただし，0<a, b< ∞）でも大丈夫ですね。
私も少し調べたのですが、大体関数 f の積分を f やそれらの微分を
使って上から押さえるタイプのが多いようです。
しかし、逆タイプ、つまり、f の微分を f で押さえるというタイプの
式が見つからなかったので、案の定、間違っていたのですね。
そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？
166:156
07/10/29 15:55:37
>>165
おっと，
URLﾘﾝｸ(links.jstor.org)
をよく読むと，
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。
存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。
つまり，この論文は間違っておらず，この論文を「不等式への招待」に転載したときに
著者が「存在」を「任意」だと取り違えてしまった，というのが実情でしょう。
＞そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？
難しいと思いますね。
直観的に言うと，|f(x)|がいかに小さく抑えられていたとしても，
その小さな幅の中で激しく振動しまくれば，|f'(x)|はいくらでも大きくすることができてしまいます。
逆に，|f'(x)|がある程度小さく抑えられていれば，f(x)の変動が小さいわけですから，
|f(x)|もある程度の幅しか動けなくなります。
また，[0,1]上の関数f(x)を周期１の周期関数と見てexp(2πinx)によって
フーリエ級数展開したときのフーリエ係数をc_nとすると，パーセバルの等式から
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ＝ Σ_[n=-∞,∞] |c_n|^2
∫_[0,1] |f'(x)|^2 dx ＝ (2π)^2Σ_[n=-∞,∞] n^2|c_n|^2
です。Σ|c_n|^2 と Σn^2|c_n|^2 の収束性の善し悪しを比較しても，
|f'(x)|を|f(x)|で評価することの困難さが分かると思います。
167:１３２人目の素数さん
07/10/30 22:30:48
>>166
>∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
>については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。
>存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。
ご丁寧にありがとうございます。それなら、納得です。
（ところで、JSTORってフリーじゃないですね。）
このタイプの不等式、つまり、微分を評価するのは、偏微分方程式の解の
評価とかで非常に重要で、また、いろいろと応用が多いのですが、
さすがにこれだけの条件では無理ですね。
ただ、不等式の形が特殊なのでいけるのかな？と思ったんですけど、おっしゃる
ように関数が激しく振動してしまうと無理ですよね。
積分型の不等式で何か良い本がございましたら、教えてください。
（洋書でも構いません）
168:156
07/10/31 01:14:28
>>167
今手元にあるわけではなく，以前図書館でパラパラ見たときの記憶ですが，
URLﾘﾝｸ(amazon.com)
には積分型の不等式が大量に載っていたように思います。
お探しのタイプの不等式が載っているかどうかは分かりませんが。
169:１３２人目の素数さん
07/11/12 06:25:55
多変数が良いな。L^p, p\neq 2 に関する不等式はないか？
小平-Spencer-NirenbergのL^4 ぐらいで。
170:１３２人目の素数さん
07/11/12 18:01:36
>>169
お前の負けだな。
171:１３２人目の素数さん
07/11/12 18:04:38
リクエスト
｢二次式｣だけで、ごっつい不等式
172:１３２人目の素数さん
07/11/12 21:02:13
>>171
[問題（激難）]
実数 a_i > 0 (i=1,,,n) のとき、
a_1/(a_2 + a_3) + a_2/(a_3 + a_4) + … + a_{n-1}/(a_{n} + a_1) + a_n /(a_1 + a_2) >= n/2
が成り立つような、n の範囲を求めよ。
173:１３２人目の素数さん
07/11/12 22:45:09
>172
n≦13 および n(奇数)≦23 については成り立つらしいお。
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
大関, ｢不等式への招待」 近代科学社 (1987) 絶版
n=3～6 については
過去スレのミイラ置場の 不等式スレ2.html の >889
n≦13 については
H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).
〔余談〕
(左辺) > n/3 ならば、3以上の自然数について成り立つらしい。
過去スレのミイラ置場の 不等式スレ1.html の >501
174:１３２人目の素数さん
07/11/12 23:25:12
>>173
>>171
激難というか、未解決問題じゃねえかよ！
Shapiro の巡回不等式だな。
まあ、答えが直ぐに出る問題もいいが、こんな不等式でも未解決である
ということは不思議だよな。（n によって真偽が異なるし）
これを解いたら、かなりいい雑誌に論文として載るだろうから、挑戦
する価値は十分にあるだろう。
175:１３２人目の素数さん
07/11/12 23:40:49
不等式に未解決問題があるとは驚いた。
176:171
07/11/12 23:50:29
>>172 どうもです。
>>173 なるほど。
干からびるにはもっていこいということですね。
177:１３２人目の素数さん
07/11/13 03:22:28
Shapiro's Cyclic Inequality (google)
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)
J. Ineq. Appl.
Shapiro’s cyclic inequality for even n (by P. J. Bushell and J. B. Mcleod)
URLﾘﾝｸ(www.hindawi.com)
In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n
variables. All the numerical evidence indicates that the inequality
is true for even n≤12 and for odd n≤23.
We give an analytic proof for the case n=12, which implies the former
result. The remaining case n=23 remains an open problem.
2002年の時点ではまだ未解決。
178:１３２人目の素数さん
07/11/14 00:46:05
>177
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!
Full-text PDF もDLして読んでまつ････
179:１３２人目の素数さん
07/11/14 03:11:28
>>178
他にも Shapiroの巡回不等式関係の論文は山ほどあるから、最新のを探して
から読んだほうがいいよ。
漏れも今どこまで分かっているのか知らないから、もし分かったら教えてちょ。
しかし、Journal of Inequality なんて雑誌があるんだ。
不等式は奥が深いぞ！
やべ～、はまりそうだ
180:１３２人目の素数さん
07/11/14 04:48:46
『古田の不等式』は既出？
181:１３２人目の素数さん
07/11/14 07:30:27
>>180
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:95番)
182:１３２人目の素数さん
07/11/14 08:55:34
古田って前に新聞に出ていたけど、この不等式がよほどいい仕事だと
勘違いしているようだねｗ
かなり痛い男だｗ
183:１３２人目の素数さん
07/11/14 08:57:15
95 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:18
古田の不等式。
作った本人に聞けばそれが載ってる数学辞典やら他
様々な文献を見せ付けられることでしょう。
96 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:28
ﾜﾛﾀ
184:１３２人目の素数さん
07/11/14 20:47:18
問題 次の不等式を証明せよ。ただし0<=ｘ<=1とする。
1/2 <= 1/1+√x <= 1/1+x二乗
どうしても分かりません;;;誰か解いてください!!;;;;
185:１３２人目の素数さん
07/11/14 20:51:44
858 名前：１３２人目の素数さん ：2007/11/14(水) 20:41:47
藤川英華っておばはん顔じゃんｗ
ブスだな
186:１３２人目の素数さん
07/11/14 21:11:15
>>182
いや、ホンマに凄いことなんやで！
世界的数学者
古田の不等式
URLﾘﾝｸ(www.zaikai21.co.jp)
187:１３２人目の素数さん
07/11/14 21:14:59
国際的に権威のある「数学百科全書」に名前が掲載されている日本人数学者はわずかしか存在しない。
数学百科全書ってなに？
Springerからでている Encyclopaedia of Mathematical Science？
188:１３２人目の素数さん
07/11/14 21:29:28
ディドロ＆ダランベール
189:１３２人目の素数さん
07/11/15 00:23:04
>>183
すごいな
四年も粘着してるのか
どんな私怨があるんだろ？
190:１３２人目の素数さん
07/11/15 00:41:41
>>189
どこにいる？
191:１３２人目の素数さん
07/11/15 10:00:55
おまえのこと？
192:１３２人目の素数さん
07/11/15 11:14:35
Shapiroの巡回不等式って、
本当に>>172のような単純な形をしているのか？
元の原型はもっと複雑な形をしているんじゃないのか？
不等式の未解決問題にしては妙に単純な形だ。
「不等式への招待」に現れる不等式の中には
何らかの理論の中に現れるものが結構あるのだが。
193:１３２人目の素数さん
07/11/17 10:15:46
【問題】
f: [0,1] ---> R を C^2 級関数で f(0)=f(1)=0 をみたせば，
次の不等式が常に成立することを示せ：
max_{x ∈ [0,1]} |f(x)| ≦ 1/8 max_{x ∈ [0,1]} |f^{(2)}(x)|．
194:１３２人目の素数さん
07/11/17 15:15:42
>193
(左辺) = |f(ξ)| とする。(ξ∈[a,b])
X>ξ でも X<ξ でも f(X)≦f(ξ) だから f'(ξ)≧0 かつ f'(ξ)≦0,
∴ f'(ξ) = 0,
|f'(X)－f'(ξ)| = |(X-ξ)f"(η)| ≦ |X-ξ|･max{|f"(x)|;x∈[a,b]|},
|f (X)－f (ξ)| ≦ (1/2)(X－ξ)^2･max{|f"(x)|;x∈[a,b]},
題意より f(a)=f(b)=0 だから,
(左辺) = |f(ξ)| ≦ (1/2){min(ξ-a,b-ξ)}^2･max{|f"|} ≦ (1/8)(b-a)^2･max{|f"|} = (右辺),
注) ξ∈[a,b] ⇒ min{ξ-a,b-ξ} ≦ |b-a|/2 を使った。
195:１３２人目の素数さん
07/11/18 03:42:56
>180-189
「ある作用素不等式のやさしい証明」
数学(岩波), Vol.40, p.354 (1988)
URLﾘﾝｸ(wwwsoc.nii.ac.jp)
「それはスペルミスの手紙から始まった／フルタの不等式の成立をめぐって」
数セミ, Vol.32, No.10, 通巻385, p.68-71 (1993.10)
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
196:１３２人目の素数さん
07/11/18 14:41:48
>>192
そうだよ。
どうしてこの不等式が出てきたのかは知らないが、まだ未解決らしい。
もっとも、問題が簡単な形をしているから易しい、というのは完全な誤解。
それは、フェルマー予想やポアンカレ予想のことを思えば納得行くだろう。
しかし、Shapiro の巡回不等式の場合、n=14, 20 で反例があることは分かっている。
16≦n の場合を大型計算機ででチェックぐらいはすれば、ある程度は分かると思う。
なお、n が十分大きければ、不成立であることも分かっている。
197:１３２人目の素数さん
07/11/19 20:00:37
Shapiro の巡回不等式は本当にあの形をしているのか！
むしろ、今まで多くの人に知られずにいたのが不思議なくらいだ。
フェルマー予想のように有名な問題であってよかった筈だが。
198:１３２人目の素数さん
07/11/23 04:38:52
92 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [] 投稿日：2007/11/22(木) 21:22:50
a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ．
log√(ab)≦{(a+b)/2}^t
93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:15:42
>>92
a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et) となるので、与不等式が成立するためには
et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。
次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。
y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので
x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。
このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……①
また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……②
①でz=√abとして②と組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。
以上から、求めるtの最小値は1/e。
問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。
94 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:46:51
>92
相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A),
>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。
t*log(A) ≦ (1/e)A^t,
与式成立条件は、t≧1/e,
199:１３２人目の素数さん
07/11/28 05:10:35
高校質問スレで質問したところ、こちらを勧められたので質問させて頂きます。
|a|,|b|,|c|<1のとき、(1)ab+1>a+b(2)abc+2>a+b+cを証明せよ。
という問題があり、この2つはゴリ押しで何とか解けたのですが
4文字以上の場合に繋がるような証明法がどうしても思いつきません。
|a1|,|a2|,・・・,|an|<1のとき、a1・a2・・・an+(n-1)>a1+a2+・・・+an
成り立つかどうかもわからないのですが、わかる方いましたらよろしくお願いします。
200:１３２人目の素数さん
07/11/28 10:00:00
a(bc)+2>a+bc+1>a+b+c.
201:１３２人目の素数さん
07/11/28 23:07:42
ありがとうございました。
202:１３２人目の素数さん
07/12/31 21:24:01
あげ
203:１３２人目の素数さん
07/12/31 21:40:16
>177
Shapiro’s cyclic inequality for even n
を保存しようとした時、何か変なメッセージ
(Acrobat 8 がどうのこうのと言う）
が出た。そんな物持ってないのに普通に保存出来たが、問題あったかな？
204: 【吉】 【371円】
08/01/01 17:31:46
今年こそは Shapiroの巡回不等式予想を解くぞ！
って、まだ本当に未解決なのか？
205:１３２人目の素数さん
08/01/01 18:16:28
ふふ…
206:１３２人目の素数さん
08/01/03 17:26:12
ただの 乱順序積 ≦ 同順序積 （積分版）だが…
〔FKG不等式〕
f(x),g(x) を[a,b]上の単調増加（減少）な関数とすると
∫[a,b] f(x)dx・∫[a,b] g(y)dy ≦ (b-a)∫[a,b] f(x)g(x)dx,
FKG は C.Fortuin, P.Kasteleyn, J.Ginibre の頭文字らしい…
URLﾘﾝｸ(elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp)
207:１３２人目の素数さん
08/01/05 19:20:50
(∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy
208:１３２人目の素数さん
08/01/05 20:13:19
官軍の同志諸君、ならびに賊軍のあほんだれｗに告ぐ：－
御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。
ハイテク筏かどうかは不明！
決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！
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arouka?!!!!
Onaji mana kutte doko tsugau(違う)！！！！
209:１３２人目の素数さん
08/01/06 10:32:49
任意の実数x,y,z,nに対して不等式
(x-y)(x-z)x^n + (y-z)(y-x)y^n + (z-x)(z-y)z^n ≧ 0
を証明せよ
これがわかりません
210:１３２人目の素数さん
08/01/06 10:50:21
あきらか
211:１３２人目の素数さん
08/01/06 14:07:38
>>209
問題設定おかしくね？
212:１３２人目の素数さん
08/01/06 18:44:40
>>206 ただの 乱順序積 ≦ 同順序積 （積分版）だが…
それを、普通はチェビシェフの不等式と言う。
積分版も同じ。
FKGかなんかしらんが、チェビシェフの不等式のパクリ。
213:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:11:46
数学の世界で「パクリ」という言葉を初めて聞いた気がする
214:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:40:39
或る人が書いた数学本の中には、
不等式の本といってよいものが存在する。
215:１３２人目の素数さん
08/01/06 19:49:52
どこの存在定理ですか？
216:１３２人目の素数さん
08/01/06 20:01:48
>>213
でも定理の系や簡単な応用なのに名前をつけるのは、どうかと思う。
最初にやった人の功績は重要だが、それを統一化された現在では、
変てこな名前を言われるより、「チェビシェフの不等式」と言って
くれた方が十分通じるし、理解も早い。
217:１３２人目の素数さん
08/01/06 21:47:55
同時期に独立に出したのなら、パクリではないが、
最近は論文数を増やす為のパクリも多い。
218:１３２人目の素数さん
08/01/16 16:41:27
Shapiro's Cyclic Sum Constant
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Shapiro's Cyclic Inequality is ture for all even n ≦ 12 and
odd n ≦ 23 (Mitrinovic et al. 1993).
219:１３２人目の素数さん
08/01/16 16:46:14
Journal of Inequalities and Applications
URLﾘﾝｸ(www.hindawi.com)
220:１３２人目の素数さん
08/01/16 16:53:26
P. J. Bushell and J. B. Mcleod
"Shapiro’s cyclic inequality for even n",
Journal of Inequalities and Applications Volume 7 (2002),
Issue 3, Pages 331-348
URLﾘﾝｸ(www.hindawi.com)
Abstract
In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n variables.
All the numerical evidence indicates that the inequality is true for even n≤12
and for odd n≤23. We give an analytic proof for the case n=12, which implies
the former result. The remaining case n=23 remains an open problem.
221:１３２人目の素数さん
08/01/26 23:22:02
〔問題〕
a,b,c は 0≦a,b,c<1 をみたす実数とする．また，
S = 3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca),
A = (3+a^2)a/(1+3a^2),
B = (3+b^2)b/(1+3b^2),
C = (3+c^2)c/(1+3c^2),
と定める。このとき，
A+B+C ≦ S < 3,
を示せ．(MASDA)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:155番) ,168
東大入試作問者スレ１３
222:１３２人目の素数さん
08/01/26 23:27:05
>221
右側は
1 - S/3 = 3(1-a)(1-b)(1-c)/(1+ab+bc+ca) >0 より。
左側は
a = tanhα, b = tanhβ, c = tanhγ とおくと、tanhの加法公式より
S = 3tanh(α+β+γ),
A = tanh(3α),
B = tanh(3β),
C = tanh(3γ),
∴ tanhθy は θ≧0で上に凸だから、 A+B+C ≦ S.
ここに tanhθ = {e^θ -e^(-θ)}/{e^θ +e^(-θ)},
223:１３２人目の素数さん
08/01/27 03:00:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
224:１３２人目の素数さん
08/01/28 09:32:39
A(x) = ( a(x)_{ij} ) をn次対称行列で、各成分 a_{ij}(x) は [0,1] 上の連続関数とする。
このとき、次をしめせ。
det { ∫_[0→1] A(x) dx }^{-1} ≦ ∫_[0→1] { det A(x) }^{-1} dx．
ただし，∫_[0→1] A(x) dx = ( ∫_[0→1] a_{ij}(x) dx ) であり、det は行列式を表す。
225:１３２人目の素数さん
08/01/28 09:43:25
>>224
訂正：A(x) はｎ次の「正定値」実対称行列です。
「正定値」がぬけていました。
226:１３２人目の素数さん
08/01/28 22:54:23
x > 2、y > 2、1/x + 1/y ≦ 1/2 のとき、2x+yの最小値を求めよ。
簡単だからエレガントに頼むぜ、ブラザー！
227:１３２人目の素数さん
08/01/29 01:19:46
>>226
レポート問題を人にやらせるなよｗ
228:１３２人目の素数さん
08/01/29 11:43:38
レポートって…（笑）
高校の問題をレポートに出す大学って、教育学部？
229:１３２人目の素数さん
08/01/30 14:23:51
>>228
私立の文系（受験科目に数学なし）の選択必修など沢山ある。
文系は高校の微積分も知らないし、私大だと中学の数学（今はゆとり教育で、
以前は中学の数学が今は高校でやるようになった）が怪しい奴が大勢いる。
不等式の両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが変るのが分からない奴が
いるから。ゆとり教育はマジでやばい。
230:１３２人目の素数さん
08/01/30 14:55:30
>>229
分数の計算すらまともにできない大学生が蔓延っている今の日本
不等号の向きがナンチャラカンチャラなんぞ知らない人がいることなんて
別に驚くにあたらないし、今に始まったことでもない
これが今の日本の現状
事実だ！これが現状だ！
目を背けるな！
そして、じゃあはたして僕らはどうしたらいいのだろうと・・・
日々自問自答を繰り返している
231:１３２人目の素数さん
08/01/30 16:02:14
そんな大学生が居ない大学に行けばいいだけの話だろ
232:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/30 16:47:14
そこで 1stVirtue 王国の創設だ。
233:１３２人目の素数さん
08/01/31 01:23:20
じゃぁ数ヲタ達はエリートだな
234:１３２人目の素数さん
08/01/31 02:39:38
>>231
私立大の文系ではほとんど入試科目に数学が無いから（最近は推薦やAO入試があるから
理系でもやばいけど）、一部の学生を除いて全然数学を勉強してきていない。
そういう奴らに数学を教えると、まあ易しいのをやれば大丈夫なのだが、そこで必ず
単位を落とすような奴が出てくる。よくよく問い詰めるとそういう奴は>>229や>>230
のように中学レベルの数学で落ちこぼれているんだから、救いようが無い。
私立のトップといわれるW大やKOでもそういう奴がいるそうだから、きついよ。
それにこれからもっとゆとり世代が入ってくるから、ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ。
手っ取り早い改善策は、とにかく入試問題に数学を課すことだ。
センターの数学でもいいからさ。
235:１３２人目の素数さん
08/01/31 08:53:16
nを自然数とするとき
e-(1+1/n)^n＜e/(2n+1)
が成り立つことを示せ。
236:１３２人目の素数さん
08/01/31 11:44:55
平成の時代に不平等は許されません
よって与式は成り立たない
237:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/31 18:07:50
不平等を許さないという奴が平成の時代にも居たのか。
238:１３２人目の素数さん
08/01/31 18:49:06
>>235
見かけによらず意外に難しい…
239:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/31 19:03:27
不平等を許さないというやつは、すべての悪人に対しても平等を強いておけ。
Reply:>>235 e*(2*n)/(2*n+1)<(1+1/n)^n.
240:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/31 19:17:06
なんとなくレスをつけてみたが、e<(1+1/n)^n*(1+1/(2*n)) をどうやって証明しよう。
241:１３２人目の素数さん
08/01/31 21:01:57
>>239
人の脳を読む能力を悪用する奴でも？
242:１３２人目の素数さん
08/01/31 21:52:20
自作問題。
nとMは自然数で、1≦n＜Mを満たすとする。Q(n)を次のように定義する。
Q(n)＝Π[k＝0～n－1](1－k/M)＝(1－0/M)*(1－1/M)*(1－2/M)*…*(1－(n－1)/M)
また、非負の実数cに対して、
a＝{－(2c－1)＋√{(2c－1)^2＋8Mc}}/2 , b＝{1＋√{1＋8Mc}}/2
とおく。
(1)次を示せ。
・n≧bならばQ(n)≦e^(－c)である
・n≦aならばQ(n)≧e^(－c)である
・0≦b－a≦2cである
(2)nは自然数で、1≦n＜365とする。n人の人間のうち、誕生日が一致する
2人がいる確率をP(n)とおく。次を示せ。
・n≧42ならばPn≧1－e^(－2.3) (≒0.9)
・n≦39ならばPn≦1－e^(－2.3)
243:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/02 08:21:34
Reply:>>241 思考盗聴で個人の生活に介入する奴を排除するかすべての人が思考盗聴できるようにならないと、平等にはならない。
244:１３２人目の素数さん
08/02/03 05:05:28
>>235
0 ≦ d < 1 とする。
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - ……
≦ -d -(1/2)d^2 -(1/4)d^3 -(1/8)d^4 - …… (等比級数)
= -2d/(2-d),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) ≦ -2/(2n+1),
n･log(1 +1/n) ≧ 2n/(2n+1) = 1 - 1/(2n+1),
あとは exp( ) するだけ。
(1 +1/n)^n ≧ e･exp(-1/(2n+1)) ≧ e{1 - 1/(2n+1)},
245:１３２人目の素数さん
08/02/04 12:15:20
〔235の類題〕
nを自然数とするとき
e･exp(-1/(2n+2)) > (1+1/n)^n > e･exp(-1/(2n+1)),
が成り立つことを示せ。
246:１３２人目の素数さん
08/02/04 12:22:50
>245
右側は >244
左側も同様に
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - ……
≧ -d -(1/2)d^2 -(1/2)d^3 -(1/2)d^4 - …… (等比級数)
= -d -(d^2)/(2(1-d))
= -d(2-d)/(2(1-d)),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) > -(2n+1)/(n(2n+2)),
n･log(1 +1/n) < (2n+1)/(2n+2) = 1 -1/(2n+2),
あとは exp( ) するだけ。
247:１３２人目の素数さん
08/02/05 11:50:54
〔235の拡張〕
nを自然数とするとき
e/(2n+2) < e - (1+1/n)^n < e/(2n+1),
が成り立つことを示せ。
248:１３２人目の素数さん
08/02/05 12:20:13
>247
右側は >244
左側も同様に
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 -(1/5)d^5 - ……
> -d -(1/2)d^2 -(1/3)(d^3 +d^4 +d^5 + …… ) (等比級数)
= -d -(1/2)d^2 -(d^3)/(3(1-d)),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
-log(1 +1/n) = log(1 -1/(n+1))
> -1/(n+1) -1/(2(n+1)^2) -1/(3n(n+1)^2),
= -(1/n){1 -1/(2(n+1)) -1/(6(n+1)^2)},
n･log(1 +1/n) < 1 -1/(2n+2) -2/(3(2n+2)^2)
≦ 1 -1/(2n+2) -1/(2(2n+2)(2n+1)) (← 3(2n+2) ≦ 4(2n+1) )
< 1 + log(1 -1/(2n+2)), ( >246 の公式に d=1/(2n+2) を代入)
あとは exp( ) するだけ。
(1 +1/n)^n < e{1 -1/(2n+2)},
249:１３２人目の素数さん
08/02/05 18:15:11
>>245>>247
同じ問題はいいよ。つまんねえ
250:１３２人目の素数さん
08/02/06 03:28:54
つまんなくて申し訳ねぇ…
nが大きいとき、マクローリン展開して
n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +1/(3n^3) -1/(4n^4) + …}
= 1 -1/(2n) +1/(3n^2) -1/(4n^3) +1/(5n^4) - …,
(1 +1/n)^n = e{1 -1/(2n) +11/(24n^2) -21/(48n^3) +2447/(5760n^4) - …},
{e - (1 +1/n)^n}/e = 1/(2n) -11/(24n^2) +21/(48n^3) -2447/(5760n^4) + …,
e/{e - (1+1/n)^n} -2n = 2n/{1 -11/(12n) + 21/(24n^2) -2447/(2880n^3) + …} -2n
= 2n{1 +11/(12n) -5/(144n^2) +17/(1080n^3) -… } -2n
= 11/6 -5/(72n) + 17/(540n^2) - … → 11/6, (n→∞)
e - (1+1/n)^n ≒ e/(2n +11/6). (n>> 1)
251:１３２人目の素数さん
08/02/06 09:31:57
数学科の微積分での証明だったら、これらは全部不合格だよ。
まず、e の存在を証明して（有界単調数列は収束する）から物事が始まる。
指数関数の定義やその逆関数として log x を定め、さらに、それらが解析的
であること、つまりTaylor展開できることという順番だからな。
ここの「証明」は全部循環論法。
e の不等式の証明にTaylor展開を使うのは、数学科だとアウト。
252:１３２人目の素数さん
08/02/06 12:27:04
最初からTaylor展開でe^xを定義する事だってよくあるけど。
君が知らないだけで。定義も書かないで251みたいな事を書くのはナンセンス。
まあ>>249には大体同意。
253:１３２人目の素数さん
08/02/06 23:24:48
>>251
それ、数学科の微積分じゃなくて、高校の微積分って言った方が正しいと思うよｗ
254:１３２人目の素数さん
08/02/08 17:59:08
【問題】
f を開区間 (a,b) の C^2 級関数とするとき，次の不等式を示せ．
∫^b_a |f ' (x)|^2 dx ≦ 54 [ 1/(b-a)^2 ∫^b_a |f(x)|^2 dx + (b-a)^2 ∫^b_a |f ' ' (x)|^2 dx ]
255:１３２人目の素数さん
08/02/08 20:12:14
>251
小平の解析入門なんかでは
無限級数の極限で定義してる。
いろんな定義が可能なことを知らないなんて
数学科ではないなｗ
256:251
08/02/09 11:19:43
数学科の微積分をナメるなよ！！！！！！！！１１１１１
257:１３２人目の素数さん
08/02/09 11:40:03
ってか、king氏にも分からないことがあるんだと
かつ、このスレの優秀さを改めて見直した
258:１３２人目の素数さん
08/02/09 11:42:33
_,.-‐"':"￣~ﾞ'ヽ、 ＿＿
_,---‐"￣＼ ／ ｀`ｰ‐-、 ノ ＼
／ ヽ ;" ） / ＼
/ ぐ わ ｜ / |ﾉ/ ＼
/ ら か | | )/.| ・ オ |
| .い ら | | ,;';;,, /ﾉ | ・ レ |
| ・ な | |::::.................:::::::::;;,'^;､::::::'''..,,_;､丿 | ・ に |
| ・ い | /:::::::::::::::::::::::::::;"ﾞ, /ﾞ~ﾞ`''::;'ﾞ; | ・ だ. |
| あ こ ｜ `､;;::::::::::::::::;／ ),;' :.'.,、 ｜ ・ っ ｜
| る と | ,へﾉ `'''''"´ .:; .:::_ヽ ｜ ・ て |
| ・ Ｙ ＼ .::; ::::ゝ .| ・ |
| ・ ∧ ＼ ::::::､ .:;` ｜ |
| ・ |ヽ丶 ＼;; :::;;;;::..,,､. ::i | |
| ・ | ` ＼;;;;/ `ﾞ" ＼
259:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:24:21
>>255
ふ～ん
じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則
e^{x+y} = e^x e^y
や、三角関数の加法定理
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
を証明してみせてよ。
数学科なんだからこのくらいは出来るよね。
260:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:32:33
>>259
どの定義からも他の定義のものが得られることが知られている
その証明はいい練習になるだろうが、本質的でない
本質でないことに拘ることの意味が分からないのですが
261:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:38:52
>>260
へ～、どの定義から始めるかは大事なことだと思うけどね。
それは個人のスタイルだから、義務ではないけど、その時々に都合良く定義
を変えることは、何も証明をしていないことだね。
どの定義から始めても同等であることの事実は非常に重要なことですけど。
それは、実数の完備性をどの公理を採用するかの問題と似ていますね。
262:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:39:29
>>255
ふ～ん
じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則
e^{x+y} = e^x e^y
や、三角関数の加法定理
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
を証明してみせてよ。
数学科なんだからこのくらいは出来るよね。
263:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:42:47
e^xをどの定義で始めるかは一長一短がある。
お前はそれを知っていて、>>259のようなことを書きやがったな。
その通りだよ、この証明はベキ級数の収束の議論が入るから、非常に面倒だよ。
微分を使ってもいいけど、それには項別微分の可能性を示さなくてはならない。
264:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:51:59
指数法則はe^xが絶対収束することと二項定理から得られる
加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる
で、こんなの常識でしかないのだが
265:１３２人目の素数さん
08/02/09 19:16:06
> 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる
それは複素変数の場合
一応大学１年のレベルなんだから、複素数を使わないで証明してもらいたいね
266:１３２人目の素数さん
08/02/09 23:45:00
何言ってるの？ 基地外？
267:１３２人目の素数さん
08/02/10 00:21:54
exp(x)と同じようにやればいいだけなのもわからんのか
268:１３２人目の素数さん
08/02/10 01:07:41
弧長とか使って厳密にsinとかcosとか定義するのも
それはそれで面倒だと思うけどな。
e^{x+y} = e^x e^y は実際にTaylor展開で証明してる本が
結構あると思うけど。三角函数もちょっと面倒になるだけで基本的には同じ。
（本質的には複素変数にしただけなんだから当然といえば当然）
269:１３２人目の素数さん
08/02/10 08:46:25
>>268
>>三角函数
か・・・漢字が読めねぇ・・・orz
270:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:12:25
歴史的名著は大抵函数表記だった気がするが
271:１３２人目の素数さん
08/02/10 14:04:52
>>269
ゆとり世代乙
>>270
収束のことを収斂とか書いていたが、流石に今は直されているだろう
だけど、函数は時々見かける。
あと、個人的には線形代数という表記が気に入らない。
線型代数だろうよと，，，
272:１３２人目の素数さん
08/02/10 15:07:04
函はハコと読みます。
サンカクハコカズです。
273:１３２人目の素数さん
08/02/10 15:30:28
>>271
>>収斂
俺も読めない・・・orz
274:１３２人目の素数さん
08/02/10 15:32:59
>>269
北海道の函館（はこだて）って知らないのか？
275:１３２人目の素数さん
08/02/10 15:34:01
ゆとり・・・
276:１３２人目の素数さん
08/02/10 21:42:47
>>273
釣りかも知れんが「しゅうれん」だ。
覚えておけ！
277:１３２人目の素数さん
08/02/11 15:28:17
〔問題〕
絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して (a,b,c) を
a = x+y+z
b = x^2 +y^2 +z^2
c = x^3 +y^3 +z^3
と定める。下記の不等式が成り立つことを示せ。(MASUDA)
|a^3 +6a -3ab +2c| ＜ 3|a^2 -b+2|,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:350番) ,359
東大入試作問者スレ１３
278:１３２人目の素数さん
08/02/11 15:43:06
>277
示すべき不等式を整理すると
| (xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) | < 1,
を示せばよいことがわかる。
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。そこで
>>222 に習って x=tanhξ, y=tanhη, z=tanhζ とおこう。tanh の加法公式より
(xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) = tanh(ξ+η+ζ),
| tanh(……) | < 1,
よって、問題の不等式も示される。
279:１３２人目の素数さん
08/02/11 17:24:24
>278 の補足
(coshθ)^2 - (sinhθ)^2 = {[e^θ + e^(-θ)]/2}^2 - {[e^θ - e^(-θ)]/2}^2 = 1,
より
1 - (tanhθ)^2 = 1/(coshθ)^2 >0,
よって
|tanhθ| < 1,
280:１３２人目の素数さん
08/02/11 22:53:50
>>269-276
読めない漢字＠数学板
三角函数（さんかく・かんすう）→三角関数
収斂（しゅうれん）→数学の用語で収束のこと
帰謬法（きびゅうほう）→背理法ともいう
281:１３２人目の素数さん
08/02/11 23:01:39
数学板、誤変換
○確率
×確立
○置換
×痴漢
○偏微分
×変微分
○整式
×正式
○小数
×少数
○対数
×大数
（ただし『大学への数学』または"大数の法則"の意の場合も・・・）
○シミュレーション
×シュミレーション
（日本語にない発音のため。ただし方言には近い発音があるらしい）
○キチ（既知）
×ガイチ
（またちなみに、既出（きしゅつ）と読む。"がいしゅつ"ではない。）
既知の既の字に「木」へんが付くと
高木貞治の『解析概論』"かいせき・がいろん"の概の字になる。
282:パトリシア=マーティン （らき☆すた）
08/02/11 23:07:30
､＿＿__,, -――- ､ヽ 、
_＞ ヽ} ）
／ ／ ' / ⌒ヽ
∠（ / ^ﾒ､ // } ',
ヽ/ { / {{ ﾊ } ヽ. |
. ／ ,ﾉx=ﾐ从 / |⌒/ Ｖ |
∠ -ｧフ ,ｲ〃うﾊハ／ _ | ∧ { ﾘ
厶‐'´! } V辷j ≠弌 〉､ ∨
V{. ヽゝ '＿_ / ＼ ＼
＼个 . V _） _厶 人ﾉ￣
＾ j人＞rー/＾}_ ,イﾉ´ ニホンゴのカンジってムズカシイネ
xr＜了 （｀ヽ{ /｀ヽ
/ ｛. {YY´￣ }７ }
/〃} } 人_, j /
/ {{ { {{ ヽ. ＼ /
283:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/11 23:33:13
1stVirtue教では応用数学の習得もする。
284:１３２人目の素数さん
08/02/12 00:49:18
>>283
お前誰だ？ 馬鹿じゃねーの？
285:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 07:26:02
Reply:>>284 日本人の心を持つことをお前様はわかるのだろうか。
286:１３２人目の素数さん
08/02/12 16:30:11
>>285 は気違いだから相手にするな。
「1stVirtue教」だとさｗｗｗ
287:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 16:56:38
Reply:>>286 不心得者は早く日本から去りてくださいませ。
288:1stVirtue
08/02/12 19:01:31
>>287
お前が出て行け！偽者。
289:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 19:32:57
Reply:>>288 誰が本物であるかの議論をしなくてはならぬのか。
290:１３２人目の素数さん
08/02/13 21:21:30
>>289
当たり前だろ
それより俺の心を読むのをやめてくれないか
291:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/13 23:38:37
Reply:>>290 どうしろという。
292:１３２人目の素数さん
08/02/14 01:19:01
数学の命題にはそれ自体真か偽かが証明不可能な命題が存在する（ゲーデル）
293:１３２人目の素数さん
08/02/14 11:34:35
1stVirtue ◆.NHnubyYck
お前邪魔やからさっさと消えろや！
294:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/14 11:48:43
Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。
295:１３２人目の素数さん
08/02/16 22:15:57
>>277
示すべき不等式を整理すると
| N | < D,
を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z), D = (xy+yz+zx) +1,
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって
D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0,
D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0,
辺々掛けて
D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0,
| N | < D,
296:KBumDUXdQj
08/02/28 11:50:58
pUNSrO <a href="URLﾘﾝｸ(khiyeukbkpro.com)">khiyeukbkpro</a>, [url=URLﾘﾝｸ(tozwceqtvhzs.com) [link=URLﾘﾝｸ(sisigqwdtxhd.com) URLﾘﾝｸ(yllgcklstqui.com)
297:１３２人目の素数さん
08/03/08 20:45:38
自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:69番)
（補注）
n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。
298:１３２人目の素数さん
08/03/12 00:29:56
同スレからもう一題。
82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30
【補題】
x,y>0 のとき
x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0,
等号成立は x=y のとき。
(略証)
(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k, より明らか。
{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より}
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:82番)
-------------------------------------------------------
(別証)
(左辺) = (x-y)S,
ここに
S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k,
とおいた。
x>y>0 のとき S >0,
(左辺) = (x-y)S >0.
y>x>0 のとき S <0,
(左辺) = (x-y)S >0. (終)
299:１３２人目の素数さん
08/03/12 04:31:35
入試レベルの不等式キボンヌ
300:１３２人目の素数さん
08/03/12 04:34:48
ヘルダーの不等式を証明汁
301:１３２人目の素数さん
08/03/12 08:50:42
>>300
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
302:１３２人目の素数さん
08/03/16 22:15:52
同スレからもう一題。
【問題】(改作)
n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。
半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。
半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:162番), 165
303:１３２人目の素数さん
08/03/16 22:23:59
>302
(略解)
各点の座標を
O = (0,0,…,0), 原点
A_1 = ( r,0,…,0), A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r),
B_1 = (-r,0,…,0), B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r),
P = (x_1,x_2,…,x_n)
とおく。題意より
OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'.
Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。
(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
* {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
= (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i)
= (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2,
i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。
(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4,
等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。
題意より OP≦r', n≧2 だから、
Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2),
とくに r'=r のとき
Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n),
(例)
n=2, r'=r のとき 2r^4,
n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6.
304:１３２人目の素数さん
08/03/16 23:25:16
半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を
単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。
(距離の積の２乗)
=Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2}
≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗）
={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n
={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n
よって右辺はr=1で最大となるから
距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n)
のとき最大値(4-4/n)^(n/2)
305:１３２人目の素数さん
08/03/16 23:26:15
ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz
306:１３２人目の素数さん
08/03/28 01:59:51
同スレからもう一題…
〔問題244〕(改作)
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3, 等号成立は R√3 =a=b=c のとき。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:244番)
307:１３２人目の素数さん
08/03/29 00:24:53
>306
(略解)
a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。
a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2)
= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) (←第2余弦定理)
= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}
= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)} (*)
= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)} (← A+B+C=180ﾟ)
≦(9R^2).
(*) exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。
〔補題〕
三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8, 等号成立は A=B=C=60ﾟ のとき。
(略証)
・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0,
・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,
相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3
= (1/2)^3 = 1/8, (← A+B+C=180ﾟ) (終)
308:307
08/03/29 03:10:13
訂正。スマソ。
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3
309:１３２人目の素数さん
08/03/30 16:20:16
相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ
310:１３２人目の素数さん
08/03/30 23:25:44
>>309
君がしたまえ！
311:１３２人目の素数さん
08/03/31 23:11:01
>>306
[同スレ262]
既に解かれているが別解。
a ≦ b ≦ c として考えてよい。
R = abc/4S （S は三角形の面積）
= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} （∵ヘロンの公式）
= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3
∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
0 = 左辺 - 右辺
= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2
= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2)
≧ 0 （∵ a ≦ b ≦ c）
だから等号は成り立っていなければならない。
等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。
このとき R = a/√3。
312:１３２人目の素数さん
08/05/05 23:07:28
801
313:１３２人目の素数さん
08/05/06 00:59:34
age
314:１３２人目の素数さん
08/05/06 17:50:09
>>309
n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。
すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで
a' = G, b' = a･b/G,
と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は
(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0
より減少する。
この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。
しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終)
参考文献[3] の p.71-72
315:１３２人目の素数さん
08/05/07 00:27:35
0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で
{(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}
のとりえる値の最大値を求めよ。
316:１３２人目の素数さん
08/05/08 09:06:26
半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき，
AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑
の最小値をrで表せ．
317:１３２人目の素数さん
08/05/08 11:22:51
>>316
0
318:１３２人目の素数さん
08/05/10 19:26:12
>>315
(x+y+z)/3 =A の断面で考える。 Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積 より
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A),
よって
(与式) ≦ A + √[3A(1-A)]
= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] }
= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2,
等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。
>>316
球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。
(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ)
= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ)
= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ) (← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ)
= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2) (← 平方完成)
≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2)
= -(1/2)r^2,
等号成立は Ｓ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａ のとき。
(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).)
319:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:17
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
320:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:34
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
321:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:49
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
322:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:02:03
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
323:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:46:36
ん？タン虫は４連で終わり？
つまらん！
１０００までやりゃいいのに
324:１３２人目の素数さん
08/05/14 21:44:03
宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。
不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。
っていう問題です。
3≦2a-1/3＜4 を満たす a
を求めればよい。となっていますが、
5/3≦a＜13/6 となり
a＝２ と答はなりますが。。
解き方として
2a-1/3＜4 は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが
2a-1/3≧3 がどうして３がでてくるのか分かりません。
機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は
整数値をBとした場合
B-1≦式＜B と機械式に覚えるのでしょうか。
また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は
整数値をCとした場合
C＜式≦C+1 と機械式に覚えるのでしょうか。
325:１３２人目の素数さん
08/05/14 22:20:06
>>324
2a-1/3＜4 は成り立つが
2a-1/3＜3 は成立たない。（← 4は最小値）
326:１３２人目の素数さん
08/05/20 20:20:39
a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式
(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1])
≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}
+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
が成立することを証明せよ.
（出典；数学セミナー）
327:１３２人目の素数さん
08/05/21 00:48:10
ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`)
328:１３２人目の素数さん
08/05/23 15:21:27
>>327
低脳は書き込まないように。
329:１３２人目の素数さん
08/05/24 00:15:18
>>328
330:１３２人目の素数さん
08/05/24 14:15:32
>>328
331:１３２人目の素数さん
08/05/24 14:16:56
>>328
332:１３２人目の素数さん
08/05/24 21:01:37
>>314
蛇足だが…
その変更操作によって調和平均は
2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-⊿) > 2ab/(a+b),
により増加する。
……
しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終)
333:１３２人目の素数さん
08/05/28 17:29:13
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:79番)
から転載
nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ
ただしnPkは順列の個数を意味する
334:１３２人目の素数さん
08/05/31 20:35:13
>>333
nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n,
C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。
∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]),
〔補題〕
C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2),
等号成立は n=2 のとき。
(略証)
nについての帰納法による。
n=1,2 のとき成立。
nが偶数のとき、n=2m,
C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1),
C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。
C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2),
nが奇数のとき、
C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2), (終)
※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。
335:１３２人目の素数さん
08/06/04 02:51:52
>>334 の補足
C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)},
(略証)
2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0,
336:１３２人目の素数さん
08/06/08 22:07:04
〔問題83〕(改作)
a,b,c>0 とする.
a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3),
を示せ。
東大入試作問者スレ１５
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:83番)
---------------------------------------------------------
(略証)
左端
(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,
巡回的にたす。
中央左
(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc,
巡回的にたす。
中央右
(1/2)(b+c) ≧ √(bc),
巡回的にたす。
右端
√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),
337:１３２人目の素数さん
08/06/08 23:13:45
ﾊｧﾊｧ…
338:１３２人目の素数さん
08/06/14 19:02:42
>>326
a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。
(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])
= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])
= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から
≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)
= Σ_{k=1,n} b[k]
= (左辺).
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。
ぬるぽ
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