08/07/24 23:21:20
数式部分を書き直すと、
Ｃ＞１で、nが正の整数であるとき、
C≦(1+((C-1)/n))^n
401:１３２人目の素数さん
08/07/24 23:31:57
>>399
x ≧ 0 について (1 + x)^n = 1 + n x + ... ≧ 1 + n x なので
x = (C - 1)/n を代入するだけ。
402:399
08/07/25 11:47:10
早速のご回答ありがとうございます。リロードするのを忘れて
レスが付いたのに気づくのが遅れました。２項定理でしたか。
なるほど。ありがとう。
403:１３２人目の素数さん
08/07/26 18:28:48
図書館に
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
あったから借りてきた
受験参考書っぽくてよさげ
404:１３２人目の素数さん
08/07/26 23:38:37
>>403
すばらしい！
くれ！
405:１３２人目の素数さん
08/07/26 23:42:40
どこの大学にもあるんじゃね？
うちの大学にもあるが数学科が借りてるらしい
406:１３２人目の素数さん
08/07/27 18:03:41
うちの大学って言われても……
407:１３２人目の素数さん
08/07/28 03:43:15
復刊希望ンヌ！
408:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:03:59
他スレから１題･･･
〔問題396〕実数 a,b,c が条件
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60,
を満たすとき、
S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:396番) ,442
409:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:07:48
>>408
(略解)
b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0,
∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。
題意より (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0,
{x,y,z} の2つは正、1つが負である。
x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y),
(最小値)
軸を45ﾟ回して
S/(√8) = (x+y)/√2,
d = (x-y)/√2,
とおくと、
3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S,
題意より、
0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S), （F は単調増加函数）
S ≧ 4･10^(1/3),
等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。
(最大値) なし
x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0, S=2(x+y) →∞.
410:１３２人目の素数さん
08/08/02 12:58:58
π^4+π^5<e^6を示せ
411:１３２人目の素数さん
08/08/02 13:39:34
グーグルで計算したら殆ど同じだった。
でも少しだけe^6が大きかった。
これはただの偶然か？
412:１３２人目の素数さん
08/08/02 14:24:28
これだけ近い値だと近似して示すのは無理ぽいな
なんかうまい方法があるのかな
413:１３２人目の素数さん
08/08/02 23:05:28
π^4 + π^5 ≒ e^6 は有名な近似式でつ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
414:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:29:53
スゲーΣ(0д０`ノ)ノ
誰がこんな近似思いついたんだ！
415:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:49:01
持ってる本で一つ、>>410関連のことをごく短く書いてあるのがあったな
「数のエッセイ」（一松信、ちくま学芸文庫）
のP.236（ただし、俺の持ってるのは第二刷発行のものなので、それ以外はわからん）で、
文庫本編のエッセイに対する補足説明の部分の一文なのだが、
――もっとおもしろいのは
π^4 + π^5 ＝ 403.4267758… ≒ e^6 ＝ 403.4267934…
であろう。
最後の式（↑の式のこと）はカナダでT^3（電卓研究会）が開かれたとき（2003年）、
現地の年配の女性教員から教えられた。
と書いてあった
他にも何かの本で見たような気がするが、ちょっと思い出せないな
416:１３２人目の素数さん
08/08/03 04:36:00
別にすごくないでしょ。
eやπでの近似を考えて掛けたり割ったりしていれば
e^6をπで割っていってe^6/π^4を見れば気づく。
417:１３２人目の素数さん
08/08/03 05:33:41
>>416
じゃあ、eとπだけを使って
π^4+π^5≒e^6
みたいに小さい数で見た目のキレイな誤差0.0001以下の近似を作ってみな
どうせ作れないから
418:１３２人目の素数さん
08/08/03 06:39:02
>>417
20 + π - e^π ≒ 0.0009000208 1052423273 3557015330 9555･･･
e^6 - π^5 - π^4 ≒ 0.0000176734 5123210920 5537811247 561872･･･
419:１３２人目の素数さん
08/08/03 12:07:27
>>418
「e π 整数」
とかで検索すると上の式の載ってるHPがいくつか出てくる。
それと、下の式をそんな自信満々に貼られても……移項しただけじゃん。
そろそろ不等式に戻ろうか。
420:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:32:46
近似式がすごいのか、思いつくのがすごいのか、どっちだ？
421:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:39:08
よく見つけるなーとは思う
422:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:53:21
係数と定数を無視すれば、e1項とπ2項では50乗くらいまでの中で一番良い近似っぽいね
これにて終了
423:１３２人目の素数さん
08/08/04 01:34:21
結局
π^4+π^5<e^6
を示すのは電卓使わないと無理でＯＫ？
424:１３２人目の素数さん
08/08/04 07:08:35
>>423
ゼータ関数ζ(3)を求める事くらい難しいと思うからＯＫ
425:１３２人目の素数さん
08/08/04 07:26:18
>>423
その不等式を数値計算しないで示せというのが数検であったからＯＫじゃない
426:１３２人目の素数さん
08/08/04 19:46:28
>>425 kwsk
427:１３２人目の素数さん
08/08/05 19:33:24
３段の問題だな
428:１３２人目の素数さん
08/08/06 00:32:34
>>427
もっとくわしく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ
429:１３２人目の素数さん
08/08/06 07:51:39
>>415
情報グッジョブ！
430:１３２人目の素数さん
08/08/06 10:09:16
URLﾘﾝｸ(www.suken.net)
これか
431:１３２人目の素数さん
08/08/06 16:29:09
>回答締切 平成２０年９月１２日（当日消印有効）
ここに解答書いたらまずいってことか。
ここにいる猛者なら誰かは出来たであろう
432:１３２人目の素数さん
08/08/06 19:03:52
x>1に対しd/dx (1 - √(ln(x)/x))^(√(xln(x))<0を示せ.
433:１３２人目の素数さん
08/08/06 20:48:07
(√2)+(√3)-π＞0
であることをなるべく数値計算をせずに示せ
一応、答は用意してある
434:１３２人目の素数さん
08/08/09 08:07:33
東大スレに不等式がらみのが沢山あるね
435:１３２人目の素数さん
08/08/09 18:35:34
分かスレにもある･･･
〔問題823〕
曲面Q： (x/a)^r + (y/b)^r + (z/c)^r = 1 (a,b,c,r>0)と
平面P： ax + by + cy = 0 がある。
平面Pに平行で曲面Qに接する平面P'の式と接点の座標を a,b,c,r で表わせ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:823番) 874
436:１３２人目の素数さん
08/08/09 23:11:58
面白スレに三角比の(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ問題があるね
437:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:38:21
相加相乗平均に新証明法 高校教諭、運転中にひらめく
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
高校の数学で習う定理の新しい証明法を県立倉敷古城池高校教諭の内田康晴さん（４９）が見つけ、オーストラリアの数学専門誌に論文が掲載された。
「高校の教育現場から論文投稿はもっと増えていい。励みになるだろう」と数学者からも喝采の声が上がっている。
証明したのは「相加相乗平均の定理」。高校１年で習うことが多い。
内田さんは、ある定理の証明で描いていた図形が、相加相乗平均の定理の証明に使えることに気づいた。さらに簡単な証明法がないかと連日、考えていたところ、
出勤途中の運転中にひらめいた。高校入学後すぐに扱う簡単な公式を使うだけの方法だった。
438:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:40:34
＞「この証明方法に気づいた人はこれまでにもいたはず。
＞簡単すぎるので発表済みと思ったのかもしれない」と謙遜（けんそん）する
分かってる先生だな。
>>437の証明法ってどういう証明かご存知の方いらっしゃいますか？
439:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:42:33
URLﾘﾝｸ(www.emis.de)
これじゃないでしょうか
440:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:11:56
萌え死にそうでつ
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
441:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:20:19
ありがとう。
442:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:32:14
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
URLﾘﾝｸ(video.google.com)
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
443:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:13:17
>>439
あんまり簡単だとは思えないな。
444:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:22:40
まぁあれだ！
不等式があれば、あと10年は戦える！
445:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:28:24
実数a,b,cに対してf(x)=ax^2+bx+cとする．このとき
∫[-1,1](1-x^2){f'(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
であることを示せ． (08京大文系)
446:１３２人目の素数さん
08/08/18 23:27:08
>>445
x∈[-1,1] のとき 1-x^2 < 6 だから自明？
447:１３２人目の素数さん
08/08/18 23:33:48
∫[-1,1](1-x^2){f’(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
448:446
08/08/18 23:41:22
>>447
thanks
' が見えなかった
449:１３２人目の素数さん
08/08/19 01:04:57
>>439
昔すう折りの本で見た子とあるぞ
450:１３２人目の素数さん
08/08/19 08:32:28
>>437
相加相乗平均に新証明法 県立高校教諭、運転中にひらめく
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
451:１３２人目の素数さん
08/08/21 00:38:27
>>433
用意しといた解答書いておく
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π …(*)
一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12) …(**)
(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π
452:１３２人目の素数さん
08/08/21 00:43:24
>>451
神過ぎる！
453:１３２人目の素数さん
08/08/21 01:53:34
>>452
thx
今、こんなの見つけた
URLﾘﾝｸ(www2.ocn.ne.jp)
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった
454:１３２人目の素数さん
08/08/21 03:13:45
>>451
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
これはどこから沸いてきた。
455:１３２人目の素数さん
08/08/21 04:03:37
3 次のTaylor展開を用いた不等式でしょ。
456:１３２人目の素数さん
08/08/21 18:36:37
ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、
｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝
を示せ。
457:１３２人目の素数さん
08/08/21 22:17:40
>>445
f(x) = ax^2 +bx +c,
f '(x) = 2ax +b,
を与式の両辺に代入する。
奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。
(左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2,
(右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2
= (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2
≧ (16/15)a^2 + 4b^2,
458:１３２人目の素数さん
08/08/21 22:39:41
0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。
459:１３２人目の素数さん
08/08/21 23:30:30
>>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか
460:１３２人目の素数さん
08/08/22 01:40:53
x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。
461:１３２人目の素数さん
08/08/22 07:16:47
>>460
学校の宿題は自分で考えましょうね
462:１３２人目の素数さん
08/08/22 07:30:01
>>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。
463:１３２人目の素数さん
08/08/22 11:48:30
>>462
ですよね
464:１３２人目の素数さん
08/08/22 17:44:47
cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか
465:１３２人目の素数さん
08/08/22 18:17:06
対数とって考えてみるか・・・
466:１３２人目の素数さん
08/08/22 21:43:06
f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。
467:466
08/08/22 21:45:36
最後の1行は勘違い。
468:466
08/08/22 21:49:54
全部勘違いだ～
469:１３２人目の素数さん
08/08/23 00:41:31
>>460(1)解説よろ
470:１３２人目の素数さん
08/08/23 07:00:51
>>458
0≦t≦1 とする。
f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
f(0) = f(1) = 0,
f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
f(t) ≦ 0 (0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ), (0<θ≦π/4)
471:１３２人目の素数さん
08/08/23 07:36:55
>>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,
>>460(2)
2x=u^2, y=v^2 とおく。
(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
k ≧ √(3/2),
472:１３２人目の素数さん
08/08/23 09:16:09
>>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ
473:１３２人目の素数さん
08/08/23 21:54:54
>>454
f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
x･f(x) > 0,
{tan(x) - x} ' = 1/cos(x)^2 -1 = tan(x)^2 > 0,
と tan(0) -0 =0 から
x･{tan(x)-x} > 0, (|x|<π/2)
g(x) = tan(x) -x -(1/3)x^3
とおくと
g '(x) = 1/cos(x)^2 -1 -x^2 = tan(x)^2 - x^2 >0 (|x|<π/2)
これと g(0) =0 から
x･g(x) >0,
474:１３２人目の素数さん
08/08/23 23:55:48
>>473
マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。
475:１３２人目の素数さん
08/08/24 00:10:03
>>474
ええじゃん。
476:１３２人目の素数さん
08/08/24 00:14:25
誰か>>456をお願いします
477:１３２人目の素数さん
08/08/24 03:29:33
通約可能って意味を教えてくんなませ
はーでぃの本でいきなりつまったwww
478:１３２人目の素数さん
08/08/25 01:52:02
>>477
ネタ？
何ページ？
479:１３２人目の素数さん
08/08/26 22:46:19
>>456って右辺は ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(9t^2)｝ にならないかな？
勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝ なんだけど。
おらの勘違い？
480:１３２人目の素数さん
08/08/26 23:05:21
>>477
通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。
そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。
Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？
481:１３２人目の素数さん
08/08/27 07:48:32
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:937-945番) より。
937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}
題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
482:１３２人目の素数さん
08/08/30 00:54:44
>>478, 480さん
レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます
「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。
それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
一般的な方法なんですか?
483:１３２人目の素数さん
08/08/30 00:56:27
うわwww 偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。
484:１３２人目の素数さん
08/08/30 01:12:12
ちょっと長めに引用しておきます
「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
485:１３２人目の素数さん
08/09/06 06:57:59
>>456,476
f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x}, (a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。
〔補題〕 a<1, j>0 ならば
(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j, 等号成立は x=j/(1-a) のとき。
486:１３２人目の素数さん
08/09/06 15:45:53
>>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より
(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
487:１３２人目の素数さん
08/09/06 18:52:13
1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？
488:１３２人目の素数さん
08/09/06 18:56:09
>>487
成り立たないだろ
489:１３２人目の素数さん
08/09/06 20:16:27
記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
490:１３２人目の素数さん
08/09/06 20:47:20
(0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
491:１３２人目の素数さん
08/09/06 21:03:58
それはウマい方法じゃないだろｗ
492:１３２人目の素数さん
08/09/07 01:12:43
A+B+C=π π＞A≧B≧C＞0 として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0
log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) ) (∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)
log(x)の単調増加性から cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から 1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2
493:１３２人目の素数さん
08/09/07 01:15:39
>>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。
右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。
[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
494:１３２人目の素数さん
08/09/07 13:37:35
半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
495:１３２人目の素数さん
08/09/07 13:46:11
>>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
496:１３２人目の素数さん
08/09/08 01:06:12
>>494
それ、ハイ理にあったような
497:１３２人目の素数さん
08/09/08 01:15:31
>>496
ハイ理とは何ぞや？
>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
498:１３２人目の素数さん
08/09/08 02:04:14
>>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
499:１３２人目の素数さん
08/09/08 02:31:50
>>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...
----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
S = abc/(4R) を用いる
(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)
(3) チャップル・オイラーの定理を用いる
(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------
私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…
その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します
不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...
500:１３２人目の素数さん
08/09/08 03:12:31
>>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか
>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
501:１３２人目の素数さん
08/09/08 07:55:04
>>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
502:１３２人目の素数さん
08/09/08 18:39:01
>>501
それ、チャップル・オイラー
503:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:33:32
ヴィルティンガーの不等式
504:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:38:27
有名どころでヘルダーの不等式。
505:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:53:30
>>503
聞いたことないのは不勉強？
506:１３２人目の素数さん
08/09/10 03:09:02
ディルレヴァンガーの方程式
>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ
507:１３２人目の素数さん
08/09/11 17:32:26
ぐぐったら聞いたことがあることになる？
508:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:01:53
聴覚を使わない限り聞いたことにはならないと思う。
ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK
509:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:12:16
>>508
何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ
510:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:54:23
>>509
死ねｗ
511:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:57:09
独学した内容は聞いたことないってのも珍しくないがな
聞いたことはないが知ってるってやつ
512:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:58:30
>>508
KY1級
513:１３２人目の素数さん
08/09/13 16:23:44
不等式ではないですが・・・
θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします
514:１３２人目の素数さん
08/09/13 16:49:42
なぜスレチとわかってて．．．
515:１３２人目の素数さん
08/09/13 17:38:47
マルチと見た
516:１３２人目の素数さん
08/09/13 18:31:11
>>513
ヒント：2倍して1を足せ
517:１３２人目の素数さん
08/09/14 07:01:32
>>513
次の恒等式を考える。 (11倍角公式)
cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴ cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴ 1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
(与式) = -6.
518:１３２人目の素数さん
08/09/15 11:17:09
>498
>>121-122
519:１３２人目の素数さん
08/09/15 12:15:13
>>497
左辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.
(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),
ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S) を使った。
520:１３２人目の素数さん
08/09/15 12:43:00
>>487
中辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,
521:519
08/09/15 21:24:35
>>497
ヘロンの公式も使った。
s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ヘロンの公式
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
遠山 啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同－第一辺)(同－第二辺)(同－第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校 齋藤貞一あて 封書 (1927)
522:１３２人目の素数さん
08/09/15 22:19:32
∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1)
x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3
△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)
523:１３２人目の素数さん
08/09/15 22:49:30
>>521
>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない
524:１３２人目の素数さん
08/09/16 15:30:46
For distinct real numbers $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ such that $a < b < c < d < e < f$ and $abcdef = - 6$, let
\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]
\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.
Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]
525:１３２人目の素数さん
08/09/16 21:58:34
>>523
そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。
526:１３２人目の素数さん
08/09/17 00:56:06
>>522
(上) コーシーの不等式より
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,
(中)
f(x) = x･log(x) とおく。
f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。
527:１３２人目の素数さん
08/09/17 22:00:51
f’(x)≧0とする
∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0
528:１３２人目の素数さん
08/09/17 22:34:51
質問です
(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ
529:１３２人目の素数さん
08/09/18 07:08:59
>>522 (下)
(Toth の証明)
Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,
一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。
文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162
530:１３２人目の素数さん
08/09/18 09:25:58
URLﾘﾝｸ(www.thehcmr.org)
S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。
531:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:03:27
というか寧ろ締切り過ぎてない問題は晒しちゃダメだろうｗ
532:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:04:08
>>522
(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
(右辺) < 3/5.
>>528
XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0, ････ (1)
Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0, ････ (2)
X+Y+Z -a -2b = 0, ････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。
533:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:29:42
そう言えば上の数検の3段の問題は締め切りすぎてそろそろ回答できたやつもいるのかな。
534:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:58:03
今気付いたけどこのスレのURL0がいっぱい並んでて綺麗
535:１３２人目の素数さん
08/09/19 01:11:37
>>528 2008 千葉大の問題でした。回答速報の答えはへたくそ。
実際、誘導つきなんですがねえ。
536:１３２人目の素数さん
08/09/19 02:50:44
n個の正の実数x[1],x[2],,,,x[n]がx[1]+x[2]+･･･+x[n]=1を満たすとき
不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。
537:５３６
08/09/19 02:55:48
n> 2です
538:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:19:16
king ↔ うんち
(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²
539:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:20:41
荒らそうと必死ですね わかります
540:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:42:06
>>535-537
(-1+∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2 (x[n+1]=x[1])
=1-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞∑[j=1,n]x[j]^2
541:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:45:52
↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、∑の記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。
542:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:46:41
なんか²
543:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/09/19 12:30:28
Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。
544:１３２人目の素数さん
08/09/19 14:54:59
>>540
＞ =(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞ =∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
これはどういう変形？
545:１３２人目の素数さん
08/09/19 16:20:24
>>544
(∑[j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
546:１３２人目の素数さん
08/09/19 17:52:03
king ≤ うんこ
547:１３２人目の素数さん
08/09/19 18:29:25
荒らそうと必死ですね わかります
548:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/09/19 21:06:37
Reply:>>546 何をしている。
549:１３２人目の素数さん
08/09/20 03:45:57
>>536
x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
s = 1,
∑[j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
550:１３２人目の素数さん
08/09/20 08:07:35
本質的に>>540=>>549
551:551蓬莱
08/09/20 23:51:56
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
552:１３２人目の素数さん
08/09/21 07:57:45
>>533
3段の方が4段より難しかったな。
553:１３２人目の素数さん
08/09/25 20:27:12
〔問題620〕
全ての自然数nについて
n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:620番)
(略証)
左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。
log(1!)=0 より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
= log(n),
b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
= log(n),
よって成立。
554:１３２人目の素数さん
08/09/25 23:57:11
不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
555:１３２人目の素数さん
08/10/03 03:31:17
俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)
556:１３２人目の素数さん
08/10/04 01:08:48
>>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！
557:１３２人目の素数さん
08/10/04 01:37:22
πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。
558:１３２人目の素数さん
08/10/04 07:12:07
>>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理
559:１３２人目の素数さん
08/10/04 09:38:47
>>557
なめんなよ！
560:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:07:15
>>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。
561:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:39:17
〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
f(x) = x … (1)
f(f(x)) = x … (2)
f(f(f(x))) = x … (3)
f(f(f(f(x)))) = x … (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:096番), 104, 118
京都大学入試作問者スレ①
562:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:41:28
>>561 スレ違いっぽいが･････
(略証)
f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴ g(x) は定符号。
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …
563:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:49:07
>>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。
564:１３２人目の素数さん
08/10/05 00:26:53
>>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
565:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:42:02
e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）
だからこの問題は要するに
π を 誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。
2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？） 桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。
で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。
566:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:43:19
arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。
Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。
円周率の公式と計算法
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。
残りの参考サイト
円周率の公式集 暫定版
URLﾘﾝｸ(www.pluto.ai.kyutech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 記事内のリンクも参照。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
567:１３２人目の素数さん
08/10/05 15:38:02
全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある
568:１３２人目の素数さん
08/10/05 17:33:57
綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。
Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。
569:１３２人目の素数さん
08/10/05 18:00:03
>>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)
570:１３２人目の素数さん
08/10/06 20:05:15
>>410 のもとの問題文は↓(>>430)
円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
π^4+π^5≒e^6 (400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
数値計算をせずに
π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。
571:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/10/06 20:54:56
Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。
572:１３２人目の素数さん
08/10/06 23:59:10
>>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！
573:１３２人目の素数さん
08/10/07 00:09:55
>>570
いかにもエレ解な問題だな
574:１３２人目の素数さん
08/10/07 01:17:05
これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、
575:１３２人目の素数さん
08/10/08 01:17:31
>>534
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
最後の2つを参照、作成時刻にも注目
576:１３２人目の素数さん
08/10/09 21:33:02
>373-374 , 394
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:121番)
f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）
・境界上の極大
6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。
・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0 から
f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ, f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴ (a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。
なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)
しかし･････後味わるいな。
577:576
08/10/09 21:47:21
・境界上の極大
6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
578:１３２人目の素数さん
08/10/10 00:57:08
後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな
579:１３２人目の素数さん
08/10/11 00:16:10
ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…
580:576
08/10/13 04:25:00
>> f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴ {x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴ 区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴ 極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
≦ 18, (1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。
なお、a=0.279000307274921･･･ には極小（鞍点、峠点）がある。
581:１３２人目の素数さん
08/10/18 06:28:12
>>341
A.435. Prove
(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.
(略解) (>>394 を参照)
>>373-374 から,
6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,
582:１３２人目の素数さん
08/10/18 08:19:15
>>341
B.4021
a_k = 1 + b_k, b_k≧0 とおくと
(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).
A.433 A.436 A.439 A.447 は解答付き。
583:１３２人目の素数さん
08/10/19 00:12:38
>>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．
t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。
584:583
08/10/19 00:45:17
4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．
585:584
08/10/19 00:46:41
× 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
586:１３２人目の素数さん
08/10/19 07:23:26
〆切過ぎたから今月の大数の宿題
a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}
a_n<5を示せ
587:１３２人目の素数さん
08/10/19 11:54:01
>586
a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴ a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
a_(n+6) = -1/a_n.
∴ はじめの6項を求めれば分かる。
588:583-585
08/10/19 15:08:21
多投スマ祖。
q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。
589:１３２人目の素数さん
08/10/20 04:57:18
>>583
t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,
・3つの実根をもつから
Q <0, R^2 < 4(-Q/3)^3,
・解が t≧1 だから
(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
r-5 ≧0, q-2r+7 ≧0, q-2r+3 ≦0,
590:１３２人目の素数さん
08/10/20 05:37:48
>>341
A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
for every positive integer n.
(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと (← ガウスの記号)
t = {n√2} - {n√3}
= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
= k - (√3 -√2)n (k∈N)
= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
分母は0でない整数。
・ n≧20 のとき
|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
辺々掛けて
|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
より成立。
・n≦20 のとき、
(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).
591:１３２人目の素数さん
08/10/20 23:06:03
>590
分子は0でない整数。
>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]
592:１３２人目の素数さん
08/10/27 01:28:31
>>341
B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),
(略証)
a+b+c =s, abc =u とおく。
(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s} ････(*)
= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
≧ 0,
ここで Schur の不等式 F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。
(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
S = A + B + C = s^2 -3t,
T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
U = ABC = us^3 - t^3,
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.
593:１３２人目の素数さん
08/10/27 02:43:50
次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。
[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))
594:１３２人目の素数さん
08/10/27 08:44:05
>>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
新手の釣り師か？
595:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:34:46
計算機で解けば？
596:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:45:21
釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。
597:１３２人目の素数さん
08/10/27 09:55:56
それのどこが不等式？
598:１３２人目の素数さん
08/10/27 16:59:40
>597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))
599:１３２人目の素数さん
08/10/27 23:10:30
>>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？
600:１３２人目の素数さん
08/10/29 03:55:59
Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ
a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b－a）｝log（b／a）＋｛bc／（c－ b）｝log（c／b）＋｛ca／（a－c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ
601:１３２人目の素数さん
08/10/29 04:24:00
Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83
602:１３２人目の素数さん
08/10/29 19:49:32
Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ
これだと高校生でも何とかできるか
603:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:34:14
それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。
これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。
604:１３２人目の素数さん
08/10/29 21:40:55
>603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。
605:１３２人目の素数さん
08/10/29 23:24:13
>>600
S_82 = 5 - 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,
>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,
S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,
S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,
606:592
08/10/29 23:35:18
>>592 の訂正, ｽﾏｿ.
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).
607:１３２人目の素数さん
08/10/31 21:53:26
>>600
↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,
〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0, (ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。
ハｧハｧ
608:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:19:48
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
609:１３２人目の素数さん
08/11/02 04:23:18
正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？
610:１３２人目の素数さん
08/11/02 06:46:30
>>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？
611:１３２人目の素数さん
08/11/02 10:20:43
>>593>>598の変形し損ね？
612:１３２人目の素数さん
08/11/04 04:11:04
>>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦ 1/3
を示せ。 （２００７ 阪大）
613:１３２人目の素数さん
08/11/04 10:21:31
>>612
誘導なしだったら、いい感じだね
614:１３２人目の素数さん
08/11/04 20:40:08
test
615:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:07:44
lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1
TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。
a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と①による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と①による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と①によって成立するので、この事が言える)
≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）
=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
よってTH2が成立。
TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。
という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。
616:１３２人目の素数さん
08/11/04 21:11:03
>>615
>>437
617:不等式だけの学会があるらしい
08/11/04 21:19:36
日本の高校の教師によって示された。
俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。
次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」
シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。
「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」
618:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:00:11
>>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？
最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)
619:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:27:11
>>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。
620:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:31:41
アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明
のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん
621:１３２人目の素数さん
08/11/05 00:47:21
>>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。
622:１３２人目の素数さん
08/11/05 05:24:54
x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ
ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？
623:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:24:12
>>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。
a^2-4b≦0
624:１３２人目の素数さん
08/11/05 07:32:47
すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。
625:１３２人目の素数さん
08/11/06 20:53:25
基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。
626:１３２人目の素数さん
08/11/06 23:19:08
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>625
627:１３２人目の素数さん
08/11/07 00:08:42
>>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。
このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）
--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）
628:１３２人目の素数さん
08/11/07 19:37:45
>>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。
629:>>615訂正
08/11/07 19:53:16
「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。
630:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:07:16
反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？
631:１３２人目の素数さん
08/11/07 20:09:40
単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？
632:１３２人目の素数さん
08/11/07 23:55:05
>>630-631
少し黙ってろ！
633:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:26:54
a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ
634:１３２人目の素数さん
08/11/08 03:32:44
>>633
f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx－a cosx｜dx
の最小値を求めよ
不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。
635:１３２人目の素数さん
08/11/08 09:53:36
>>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。
636:１３２人目の素数さん
08/11/08 20:04:09
>>633 (上)
1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.
>>633 (中)
f(a) = 1 - (1+a)/√2, (a≦0)
= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2), (0≦a≦1)
= -1 + (1+a)/√2, (a≧1)
637:１３２人目の素数さん
08/11/08 22:43:41
>>636
それf(a)求めただけやん(笑)
638:１３２人目の素数さん
08/11/08 23:55:39
>>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない
639:１３２人目の素数さん
08/11/09 01:17:19
>>638
おまいはテレパスか！
640:１３２人目の素数さん
08/11/09 02:10:10
>>636
上教えてちょ
641:636
08/11/09 21:47:35
>>637
f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･
642:１３２人目の素数さん
08/11/09 22:10:22
>>633 (下)
部分積分を使うらしい･･･
∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).
643:１３２人目の素数さん
08/11/09 23:17:35
その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。
644:ヘルマンワイル先生生誕記念カキコ
08/11/09 23:48:18
≧≦
645:446
08/11/10 23:33:38
>>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．
646:１３２人目の素数さん
08/11/11 08:00:00
1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.
647:１３２人目の素数さん
08/11/13 03:04:12
不等式のノート作ってる方とかいます？
648:１３２人目の素数さん
08/11/13 06:56:52
>>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？
649:１３２人目の素数さん
08/11/13 13:03:58
>>647
てふでまとめていますが何か？
650:１３２人目の素数さん
08/11/14 07:59:40
>>649
もううｐせざるを得ないだろう
651:１３２人目の素数さん
08/11/14 10:04:11
B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！
652:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:21:51
【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より
64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),
(略証)
スターリングの不等式
(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),
65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:113番)
さくらスレ２３５
66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65
log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),
log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),
log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8, (n→∞)
653:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:56:52
〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.
(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:202番)
654:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:26:14
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
(略証)
(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
655:１３２人目の素数さん
08/11/19 16:36:21
なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
656:１３２人目の素数さん
08/11/19 22:37:59
>>653-654
ワイルの一様分布定理から、
〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π. (m→∞)
657:656
08/11/20 22:30:32
訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、
658:１３２人目の素数さん
08/11/24 20:12:49
f(x)=x^2-2mx+m+6 とする。
(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。
(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
定数mの値の範囲は-6<m<3である。
これを証明してください。
659:１３２人目の素数さん
08/11/24 22:18:03
>>658
お前は勉強をやめた方がいい。
660:１３２人目の素数さん
08/11/24 23:23:19
>>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！
661:１３２人目の素数さん
08/11/26 01:34:42
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:700番)
1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
662:１３２人目の素数さん
08/11/26 21:32:47
うるさい。
663:１３２人目の素数さん
08/11/26 22:31:04
ｒ;;;;;ノヾ >>662
ﾋ‐=r=;' ∬ 口を慎みたまえ！
'ヽニ/ っ━~~ 君は不等式王の前にいるのだぞ！
＿と~,, ~,,,ﾉ_ ∀
ﾐ,,,,/~). │ ┷┳━
￣￣￣.じ'Ｊ￣￣| ┃
￣￣￣￣￣￣￣ ┻
664:１３２人目の素数さん
08/11/27 09:56:45
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
665:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:22:39
>>661
[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1－(x/nπ)^2},
{1－(x/nπ)^2}{1－1/(nπx)^2} = {1－1/(nπ)^2}^2 －(1/nπ)^2 (x－1/x)^2 ≦ {1－1/(nπ)^2}^2,
等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.
666:１３２人目の素数さん
08/11/27 23:24:24
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
667:665
08/11/27 23:57:46
>>665 訂正
f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
668:１３２人目の素数さん
08/11/28 05:13:49
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
669:１３２人目の素数さん
08/11/28 23:42:33
>>668
おまえには教えてやらねーよ！
670:１３２人目の素数さん
08/11/29 00:20:54
不等式を制する者は解析を制する。
671:１３２人目の素数さん
08/11/29 12:07:58
△ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ
3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2
∧_∧
_ ( ﾟ∀ﾟ) たぶん、出したことないと思う…
|≡(つc□≡|
`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ
672:１３２人目の素数さん
08/11/29 18:50:59
>>664
(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0, c+a-b = b' >0, a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように s = a'+b'+c' = a+b+c, t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。
ハｧハｧ
673:１３２人目の素数さん
08/11/29 19:19:09
>>671
移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
674:１３２人目の素数さん
08/11/29 20:11:59
さすが。
675:１３２人目の素数さん
08/11/29 21:13:11
問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
676:671
08/11/29 22:30:45
毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。
677:１３２人目の素数さん
08/12/01 20:28:22
1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
678:１３２人目の素数さん
08/12/01 22:14:56
homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？
679:１３２人目の素数さん
08/12/02 16:40:46
1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから
680:１３２人目の素数さん
08/12/02 20:31:05
別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
681:１３２人目の素数さん
08/12/03 03:15:18
>>677 , 679
>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
682:１３２人目の素数さん
08/12/03 11:48:57
もっとすきっとした解法はないもんかねぇ
683:１３２人目の素数さん
08/12/03 19:23:45
>>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589
684:１３２人目の素数さん
08/12/03 23:40:27
>>588
r-q 平面のグラフが見たい････
685:１３２人目の素数さん
08/12/07 00:24:18
>>679
>>680
誤解してた、すまない。
686:１３２人目の素数さん
08/12/07 04:23:34
1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ
2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ
3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)
687:１３２人目の素数さん
08/12/08 01:45:32
つURLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
688:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:44:10
>>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中
689:１３２人目の素数さん
08/12/08 03:46:55
>>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した
690:１３２人目の素数さん
08/12/08 04:58:11
>>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと
与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0
a,b,c> 0よりこれは正しい。
691:１３２人目の素数さん
08/12/11 13:39:30
実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。
692:１３２人目の素数さん
08/12/11 14:36:06
>>691
解答PDFを作ってみた。
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)
693:１３２人目の素数さん
08/12/11 16:39:46
まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。
694:１３２人目の素数さん
08/12/11 17:51:33
定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。
695:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:22:39
数蝉２月号は「不等式の世界」
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
696:１３２人目の素数さん
08/12/18 00:37:29
>>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！
697:１３２人目の素数さん
08/12/18 22:53:51
>>588
Q,R を >>589 のようにおくと
(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3} >>585
= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。
rを固定したときの q の下限および上限は
q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 (8≦r≦9)
= 2r-3 (r≧9)
rが大きいほど細く鋭くなる。 （素手で触るな）
r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
8<r<9 についても同様。
698:１３２人目の素数さん
08/12/19 22:34:05
>>588, 684, 697
8<r<9 のときは、
r-8 < r/9,
q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),
-------------------------------------
(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0 (r→∞)
699:１３２人目の素数さん
08/12/24 12:09:03
>>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).
700:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:12:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
701:１３２人目の素数さん
08/12/24 14:30:59
ネ申
702:１３２人目の素数さん
08/12/24 15:50:36
自演乙
703:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:25:07
このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうね アホガド バナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)
704:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:40:29
飯島愛死亡だとよ
705:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:49:15
>>704
死因は何？
706:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:52:47
1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。
■ソース(日テレニュース24）
URLﾘﾝｸ(www.news24.jp)
※有志によるキャプチャ画像
URLﾘﾝｸ(tvde.web.infoseek.co.jp)
■前スレ(1の立った日時 12/24(水) 16:14:24）
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
707:１３２人目の素数さん
08/12/24 16:59:52
／ ≧ ＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／
| ､ ＿ __,,／ ＼
708:１３２人目の素数さん
08/12/25 01:24:11
x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n
max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}
709:１３２人目の素数さん
08/12/25 02:06:44
>>708
なん…だと！
710:１３２人目の素数さん
08/12/28 08:06:19
>>708
どうやったんだよ
711:１３２人目の素数さん
08/12/28 13:22:09
>>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。
>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また (c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)} (← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。
712:１３２人目の素数さん
08/12/29 18:19:53
[A.435] の拡張 >>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。
そこで >>672 に習って
b+c-a = a', c+a-b = b', a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･
[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
ここに s = a'+b'+c'.
等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。
【系】
a,b,c ≧0 のとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:677番)
713:712
08/12/29 18:24:36
訂正、すまそ。
【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.
714:Shapiro
09/01/03 19:56:03
>>712
Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。
[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,
715:１３２人目の素数さん
09/01/16 19:05:31
数セミ2月号出たね
716:１３２人目の素数さん
09/01/16 23:11:26
>>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)
717:１３２人目の素数さん
09/01/17 23:53:44
>>598 (593,596)
〔問題〕
abc = d^3, √3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},
(略証)
abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0
(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3, T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2, T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。
・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,
・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,
718:717
09/01/17 23:56:03
>>598
〔補題〕↑ のようにおくとき
S ≧ T1 ≧ 3xyz, S ≧ T2 ≧ 3xyz,
(左側) チェビシェフ不等式から、あるいは
(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0, (相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,
(右側)も 相加・相乗平均。
719:１３２人目の素数さん
09/01/20 00:55:25
>>2に追加
数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号
720:１３２人目の素数さん
09/01/28 07:31:59
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
721:１３２人目の素数さん
09/01/28 13:41:41
>>720 ﾊｧﾊｧ ∩ 不等式と聞ゐちゃぁ
( ⌒)＿ ∩_ _ 黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼ ﾊｧﾊｧ ／/
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ | ／ /＿＿＿
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ./ ／ Σ ＼
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n / ∩.|:::: ＼ .／ |
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E） / .| | | (● (●）|＿
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ ノ／
722:１３２人目の素数さん
09/01/30 20:57:27
非等式と不等式の違いはなんですか。
723:１３２人目の素数さん
09/01/30 21:43:48
a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27
724:１３２人目の素数さん
09/02/05 00:42:33
他スレで見かけたお。
次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個
↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}
面白い問題おしえて～な 十五問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:99番)
725:１３２人目の素数さん
09/02/07 20:47:34
このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思
726:１３２人目の素数さん
09/02/07 23:07:15
>>725
分かってないな～チミ
そんなこと百も承知の助さ～
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ～う
727:１３２人目の素数さん
09/02/08 03:05:54
次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。
任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3
もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。
728:１３２人目の素数さん
09/02/08 04:40:48
s、t、uでズコバコするといいよ
729:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:00:45
>>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略
730:１３２人目の素数さん
09/02/08 09:01:38
問題見まちがった
731:１３２人目の素数さん
09/02/08 19:32:27
>>727 力づくで解いた
a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺 は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする
a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1 …(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0 …(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1 …(3)
s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0 …(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)
t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2) …(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■
732:731
09/02/08 22:58:40
いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて
因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること
733:１３２人目の素数さん
09/02/08 23:03:07
V
734:１３２人目の素数さん
09/02/09 16:59:31
>>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.
X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.
735:734
09/02/09 20:55:19
とはしてみたものの、もうだめかもわからんね
736:１３２人目の素数さん
09/02/09 21:01:40
5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した
737:１３２人目の素数さん
09/02/11 22:32:08
>>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと >>728
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
だから↓を示せればいいのだが。。。
〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a).
738:１３２人目の素数さん
09/02/12 00:57:10
107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数
108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n について たす。
n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),
739:１３２人目の素数さん
09/02/14 00:12:52
>>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、 |⊿| = xy(x+y), s = 3m+2x+y, t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴ t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。
>>727
(左辺) - (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st⊿ + ⊿^2
≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,
740:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:25:55
〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,
(略証)
・左側
(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:555番)
京大入試作問者スレ①
741:１３２人目の素数さん
09/02/21 03:52:11
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
742:１３２人目の素数さん
09/02/21 18:13:33
不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・
743:１３２人目の素数さん
09/02/26 13:49:15
>>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ
744:１３２人目の素数さん
09/02/26 23:01:51
前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…