08/07/14 21:51:14
>>375
(ア) [-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は
a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。
(イ) [-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！
(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx
= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)}
= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3 (αβ≧0 のときは 明らかに ≧2/3)
= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2 (← 以下、α≦0≦β とした.)
= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2
≧ 1/2.
等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終)
いくら何でもマンドクセ？