08/07/03 01:31:20
>>351
ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、
1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
を示せばよい。
s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、
（右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0
等号成立条件は a=b=c．
なぜならばっ！ なぜならばっ！
s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係）
蛇足、t=1 より
s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0
s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ | 久々の出番だね！
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ