不等式への招待 第３章at MATH不等式への招待 第３章 - 暇つぶし2ch■コピペモード□スレを通常表示□オプションモード□このｽﾚｯﾄﾞのURL■項目テキスト350:１３２人目の素数さん 08/07/02 20:57:26 >>341 B.4040. a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2) (0<A,B,C<π) とおく。附帯条件から cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0, A+B+C = π, ABCは三角形をなす。 (1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき (左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3) (← 上に凸) = 3cos(π/3) = 3/2. (2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。 (左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C) (← 上に凸) = 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2 = √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2 (← sin(C/2) > 1/√2) 351:350 08/07/02 21:18:08 〔問題〕は↓でつ･･･ B.4040. a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that (1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2. 352:１３２人目の素数さん 08/07/03 01:31:20 >>351 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4 を示せばよい。 s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、 （右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0 等号成立条件は a=b=c． なぜならばっ！ なぜならばっ！ s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係） 蛇足、t=1 より s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0 s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0 ＿＿＿ |┃三 .／ ≧ ＼ |┃ |:::: ＼ .／ | 久々の出番だね！ |┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ… |┃=＿＿ ＼ ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ… |┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ 次ページ最新レス表示レスジャンプ類似スレ一覧スレッドの検索話題のニュースおまかせリストオプションしおりを挟むスレッドに書込スレッドの一覧暇つぶし2ch