不等式への招待第３章

不等式への招待第３章at MATH

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300:１３２人目の素数さん
 08/03/12 04:34:48 
ヘルダーの不等式を証明汁

301:１３２人目の素数さん
 08/03/12 08:50:42 
>>300 
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%d8%a5%eb%a5%c0%a1%bc%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

302:１３２人目の素数さん
 08/03/16 22:15:52 
同スレからもう一題。 
  
【問題】(改作)  
n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。 
半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。 
半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。 
  
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/162, 165

303:１３２人目の素数さん
 08/03/16 22:23:59 
>302  
(略解)  
各点の座標を 
　O = (0,0,…,0),　　原点  
　A_1 = ( r,0,…,0),　A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r),  
　B_1 = (-r,0,…,0),　B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r),  
　P = (x_1,x_2,…,x_n)  
とおく。題意より  
　OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'.  
Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。 
　(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2} 
　　　　　　　　 * {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2} 
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i)  
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2,  
i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。 
　(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4,  
等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。 
題意より OP≦r', n≧2 だから、 
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2),  
とくに r'=r のとき  
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n),  
  
(例)  
　n=2, r'=r のとき 2r^4,  
　n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6.

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