08/03/12 00:29:56
同スレからもう一題。
82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30
【補題】
x,y>0 のとき
x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0,
等号成立は x=y のとき。
(略証)
(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k, より明らか。
{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より}
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:82番)
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(別証)
(左辺) = (x-y)S,
ここに
S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k,
とおいた。
x>y>0 のとき S >0,
(左辺) = (x-y)S >0.
y>x>0 のとき S <0,
(左辺) = (x-y)S >0. (終)