08/02/09 18:24:21
>>255
ふ～ん
じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則
e^{x+y} = e^x e^y
や、三角関数の加法定理
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
を証明してみせてよ。
数学科なんだからこのくらいは出来るよね。
260:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:32:33
>>259
どの定義からも他の定義のものが得られることが知られている
その証明はいい練習になるだろうが、本質的でない
本質でないことに拘ることの意味が分からないのですが
261:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:38:52
>>260
へ～、どの定義から始めるかは大事なことだと思うけどね。
それは個人のスタイルだから、義務ではないけど、その時々に都合良く定義
を変えることは、何も証明をしていないことだね。
どの定義から始めても同等であることの事実は非常に重要なことですけど。
それは、実数の完備性をどの公理を採用するかの問題と似ていますね。
262:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:39:29
>>255
ふ～ん
じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則
e^{x+y} = e^x e^y
や、三角関数の加法定理
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
を証明してみせてよ。
数学科なんだからこのくらいは出来るよね。
263:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:42:47
e^xをどの定義で始めるかは一長一短がある。
お前はそれを知っていて、>>259のようなことを書きやがったな。
その通りだよ、この証明はベキ級数の収束の議論が入るから、非常に面倒だよ。
微分を使ってもいいけど、それには項別微分の可能性を示さなくてはならない。
264:１３２人目の素数さん
08/02/09 18:51:59
指数法則はe^xが絶対収束することと二項定理から得られる
加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる
で、こんなの常識でしかないのだが
265:１３２人目の素数さん
08/02/09 19:16:06
> 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる
それは複素変数の場合
一応大学１年のレベルなんだから、複素数を使わないで証明してもらいたいね
266:１３２人目の素数さん
08/02/09 23:45:00
何言ってるの？ 基地外？
267:１３２人目の素数さん
08/02/10 00:21:54
exp(x)と同じようにやればいいだけなのもわからんのか
268:１３２人目の素数さん
08/02/10 01:07:41
弧長とか使って厳密にsinとかcosとか定義するのも
それはそれで面倒だと思うけどな。
e^{x+y} = e^x e^y は実際にTaylor展開で証明してる本が
結構あると思うけど。三角函数もちょっと面倒になるだけで基本的には同じ。
（本質的には複素変数にしただけなんだから当然といえば当然）
269:１３２人目の素数さん
08/02/10 08:46:25
>>268
>>三角函数
か・・・漢字が読めねぇ・・・orz
270:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:12:25
歴史的名著は大抵函数表記だった気がするが
271:１３２人目の素数さん
08/02/10 14:04:52
>>269
ゆとり世代乙
>>270
収束のことを収斂とか書いていたが、流石に今は直されているだろう
だけど、函数は時々見かける。
あと、個人的には線形代数という表記が気に入らない。
線型代数だろうよと，，，
272:１３２人目の素数さん
08/02/10 15:07:04
函はハコと読みます。
サンカクハコカズです。
273:１３２人目の素数さん
08/02/10 15:30:28
>>271
>>収斂
俺も読めない・・・orz
274:１３２人目の素数さん
08/02/10 15:32:59
>>269
北海道の函館（はこだて）って知らないのか？
275:１３２人目の素数さん
08/02/10 15:34:01
ゆとり・・・
276:１３２人目の素数さん
08/02/10 21:42:47
>>273
釣りかも知れんが「しゅうれん」だ。
覚えておけ！
277:１３２人目の素数さん
08/02/11 15:28:17
〔問題〕
絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して (a,b,c) を
a = x+y+z
b = x^2 +y^2 +z^2
c = x^3 +y^3 +z^3
と定める。下記の不等式が成り立つことを示せ。(MASUDA)
|a^3 +6a -3ab +2c| ＜ 3|a^2 -b+2|,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:350番) ,359
東大入試作問者スレ１３
278:１３２人目の素数さん
08/02/11 15:43:06
>277
示すべき不等式を整理すると
| (xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) | < 1,
を示せばよいことがわかる。
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。そこで
>>222 に習って x=tanhξ, y=tanhη, z=tanhζ とおこう。tanh の加法公式より
(xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) = tanh(ξ+η+ζ),
| tanh(……) | < 1,
よって、問題の不等式も示される。
279:１３２人目の素数さん
08/02/11 17:24:24
>278 の補足
(coshθ)^2 - (sinhθ)^2 = {[e^θ + e^(-θ)]/2}^2 - {[e^θ - e^(-θ)]/2}^2 = 1,
より
1 - (tanhθ)^2 = 1/(coshθ)^2 >0,
よって
|tanhθ| < 1,
280:１３２人目の素数さん
08/02/11 22:53:50
>>269-276
読めない漢字＠数学板
三角函数（さんかく・かんすう）→三角関数
収斂（しゅうれん）→数学の用語で収束のこと
帰謬法（きびゅうほう）→背理法ともいう
281:１３２人目の素数さん
08/02/11 23:01:39
数学板、誤変換
○確率
×確立
○置換
×痴漢
○偏微分
×変微分
○整式
×正式
○小数
×少数
○対数
×大数
（ただし『大学への数学』または"大数の法則"の意の場合も・・・）
○シミュレーション
×シュミレーション
（日本語にない発音のため。ただし方言には近い発音があるらしい）
○キチ（既知）
×ガイチ
（またちなみに、既出（きしゅつ）と読む。"がいしゅつ"ではない。）
既知の既の字に「木」へんが付くと
高木貞治の『解析概論』"かいせき・がいろん"の概の字になる。
282:パトリシア=マーティン （らき☆すた）
08/02/11 23:07:30
､＿＿__,, -――- ､ヽ 、
_＞ ヽ} ）
／ ／ ' / ⌒ヽ
∠（ / ^ﾒ､ // } ',
ヽ/ { / {{ ﾊ } ヽ. |
. ／ ,ﾉx=ﾐ从 / |⌒/ Ｖ |
∠ -ｧフ ,ｲ〃うﾊハ／ _ | ∧ { ﾘ
厶‐'´! } V辷j ≠弌 〉､ ∨
V{. ヽゝ '＿_ / ＼ ＼
＼个 . V _） _厶 人ﾉ￣
＾ j人＞rー/＾}_ ,イﾉ´ ニホンゴのカンジってムズカシイネ
xr＜了 （｀ヽ{ /｀ヽ
/ ｛. {YY´￣ }７ }
/〃} } 人_, j /
/ {{ { {{ ヽ. ＼ /
283:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/11 23:33:13
1stVirtue教では応用数学の習得もする。
284:１３２人目の素数さん
08/02/12 00:49:18
>>283
お前誰だ？ 馬鹿じゃねーの？
285:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 07:26:02
Reply:>>284 日本人の心を持つことをお前様はわかるのだろうか。
286:１３２人目の素数さん
08/02/12 16:30:11
>>285 は気違いだから相手にするな。
「1stVirtue教」だとさｗｗｗ
287:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 16:56:38
Reply:>>286 不心得者は早く日本から去りてくださいませ。
288:1stVirtue
08/02/12 19:01:31
>>287
お前が出て行け！偽者。
289:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/12 19:32:57
Reply:>>288 誰が本物であるかの議論をしなくてはならぬのか。
290:１３２人目の素数さん
08/02/13 21:21:30
>>289
当たり前だろ
それより俺の心を読むのをやめてくれないか
291:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/13 23:38:37
Reply:>>290 どうしろという。
292:１３２人目の素数さん
08/02/14 01:19:01
数学の命題にはそれ自体真か偽かが証明不可能な命題が存在する（ゲーデル）
293:１３２人目の素数さん
08/02/14 11:34:35
1stVirtue ◆.NHnubyYck
お前邪魔やからさっさと消えろや！
294:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/14 11:48:43
Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。
295:１３２人目の素数さん
08/02/16 22:15:57
>>277
示すべき不等式を整理すると
| N | < D,
を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z), D = (xy+yz+zx) +1,
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって
D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0,
D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0,
辺々掛けて
D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0,
| N | < D,
296:KBumDUXdQj
08/02/28 11:50:58
pUNSrO <a href="URLﾘﾝｸ(khiyeukbkpro.com)">khiyeukbkpro</a>, [url=URLﾘﾝｸ(tozwceqtvhzs.com) [link=URLﾘﾝｸ(sisigqwdtxhd.com) URLﾘﾝｸ(yllgcklstqui.com)
297:１３２人目の素数さん
08/03/08 20:45:38
自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:69番)
（補注）
n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。
298:１３２人目の素数さん
08/03/12 00:29:56
同スレからもう一題。
82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30
【補題】
x,y>0 のとき
x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0,
等号成立は x=y のとき。
(略証)
(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k, より明らか。
{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より}
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:82番)
-------------------------------------------------------
(別証)
(左辺) = (x-y)S,
ここに
S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k,
とおいた。
x>y>0 のとき S >0,
(左辺) = (x-y)S >0.
y>x>0 のとき S <0,
(左辺) = (x-y)S >0. (終)
299:１３２人目の素数さん
08/03/12 04:31:35
入試レベルの不等式キボンヌ
300:１３２人目の素数さん
08/03/12 04:34:48
ヘルダーの不等式を証明汁
301:１３２人目の素数さん
08/03/12 08:50:42
>>300
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
302:１３２人目の素数さん
08/03/16 22:15:52
同スレからもう一題。
【問題】(改作)
n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。
半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。
半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:162番), 165
303:１３２人目の素数さん
08/03/16 22:23:59
>302
(略解)
各点の座標を
O = (0,0,…,0), 原点
A_1 = ( r,0,…,0), A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r),
B_1 = (-r,0,…,0), B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r),
P = (x_1,x_2,…,x_n)
とおく。題意より
OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'.
Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。
(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
* {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
= (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i)
= (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2,
i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。
(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4,
等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。
題意より OP≦r', n≧2 だから、
Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2),
とくに r'=r のとき
Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n),
(例)
n=2, r'=r のとき 2r^4,
n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6.
304:１３２人目の素数さん
08/03/16 23:25:16
半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を
単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。
(距離の積の２乗)
=Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2}
≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗）
={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n
={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n
よって右辺はr=1で最大となるから
距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n)
のとき最大値(4-4/n)^(n/2)
305:１３２人目の素数さん
08/03/16 23:26:15
ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz
306:１３２人目の素数さん
08/03/28 01:59:51
同スレからもう一題…
〔問題244〕(改作)
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3, 等号成立は R√3 =a=b=c のとき。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:244番)
307:１３２人目の素数さん
08/03/29 00:24:53
>306
(略解)
a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。
a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2)
= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) (←第2余弦定理)
= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}
= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)} (*)
= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)} (← A+B+C=180ﾟ)
≦(9R^2).
(*) exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。
〔補題〕
三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8, 等号成立は A=B=C=60ﾟ のとき。
(略証)
・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0,
・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,
相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3
= (1/2)^3 = 1/8, (← A+B+C=180ﾟ) (終)
308:307
08/03/29 03:10:13
訂正。スマソ。
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3
309:１３２人目の素数さん
08/03/30 16:20:16
相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ
310:１３２人目の素数さん
08/03/30 23:25:44
>>309
君がしたまえ！
311:１３２人目の素数さん
08/03/31 23:11:01
>>306
[同スレ262]
既に解かれているが別解。
a ≦ b ≦ c として考えてよい。
R = abc/4S （S は三角形の面積）
= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} （∵ヘロンの公式）
= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3
∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
0 = 左辺 - 右辺
= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2
= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2)
≧ 0 （∵ a ≦ b ≦ c）
だから等号は成り立っていなければならない。
等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。
このとき R = a/√3。
312:１３２人目の素数さん
08/05/05 23:07:28
801
313:１３２人目の素数さん
08/05/06 00:59:34
age
314:１３２人目の素数さん
08/05/06 17:50:09
>>309
n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。
すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで
a' = G, b' = a･b/G,
と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は
(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0
より減少する。
この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。
しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終)
参考文献[3] の p.71-72
315:１３２人目の素数さん
08/05/07 00:27:35
0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で
{(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}
のとりえる値の最大値を求めよ。
316:１３２人目の素数さん
08/05/08 09:06:26
半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき，
AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑
の最小値をrで表せ．
317:１３２人目の素数さん
08/05/08 11:22:51
>>316
0
318:１３２人目の素数さん
08/05/10 19:26:12
>>315
(x+y+z)/3 =A の断面で考える。 Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積 より
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A),
よって
(与式) ≦ A + √[3A(1-A)]
= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] }
= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2,
等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。
>>316
球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。
(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ)
= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ)
= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ) (← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ)
= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2) (← 平方完成)
≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2)
= -(1/2)r^2,
等号成立は Ｓ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａ のとき。
(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).)
319:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:17
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
320:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:34
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
321:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:01:49
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
322:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:02:03
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
323:１３２人目の素数さん
08/05/14 03:46:36
ん？タン虫は４連で終わり？
つまらん！
１０００までやりゃいいのに
324:１３２人目の素数さん
08/05/14 21:44:03
宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。
不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。
っていう問題です。
3≦2a-1/3＜4 を満たす a
を求めればよい。となっていますが、
5/3≦a＜13/6 となり
a＝２ と答はなりますが。。
解き方として
2a-1/3＜4 は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが
2a-1/3≧3 がどうして３がでてくるのか分かりません。
機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は
整数値をBとした場合
B-1≦式＜B と機械式に覚えるのでしょうか。
また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は
整数値をCとした場合
C＜式≦C+1 と機械式に覚えるのでしょうか。
325:１３２人目の素数さん
08/05/14 22:20:06
>>324
2a-1/3＜4 は成り立つが
2a-1/3＜3 は成立たない。（← 4は最小値）
326:１３２人目の素数さん
08/05/20 20:20:39
a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式
(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1])
≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}
+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
が成立することを証明せよ.
（出典；数学セミナー）
327:１３２人目の素数さん
08/05/21 00:48:10
ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`)
328:１３２人目の素数さん
08/05/23 15:21:27
>>327
低脳は書き込まないように。
329:１３２人目の素数さん
08/05/24 00:15:18
>>328
330:１３２人目の素数さん
08/05/24 14:15:32
>>328
331:１３２人目の素数さん
08/05/24 14:16:56
>>328
332:１３２人目の素数さん
08/05/24 21:01:37
>>314
蛇足だが…
その変更操作によって調和平均は
2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-⊿) > 2ab/(a+b),
により増加する。
……
しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終)
333:１３２人目の素数さん
08/05/28 17:29:13
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:79番)
から転載
nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ
ただしnPkは順列の個数を意味する
334:１３２人目の素数さん
08/05/31 20:35:13
>>333
nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n,
C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。
∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]),
〔補題〕
C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2),
等号成立は n=2 のとき。
(略証)
nについての帰納法による。
n=1,2 のとき成立。
nが偶数のとき、n=2m,
C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1),
C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。
C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2),
nが奇数のとき、
C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2), (終)
※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。
335:１３２人目の素数さん
08/06/04 02:51:52
>>334 の補足
C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)},
(略証)
2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0,
336:１３２人目の素数さん
08/06/08 22:07:04
〔問題83〕(改作)
a,b,c>0 とする.
a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3),
を示せ。
東大入試作問者スレ１５
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:83番)
---------------------------------------------------------
(略証)
左端
(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,
巡回的にたす。
中央左
(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc,
巡回的にたす。
中央右
(1/2)(b+c) ≧ √(bc),
巡回的にたす。
右端
√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),
337:１３２人目の素数さん
08/06/08 23:13:45
ﾊｧﾊｧ…
338:１３２人目の素数さん
08/06/14 19:02:42
>>326
a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。
(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])
= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])
= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から
≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)
= Σ_{k=1,n} b[k]
= (左辺).
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。
ぬるぽ
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
339:１３２人目の素数さん
08/06/23 23:58:44
a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ．
|a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} }
340:１３２人目の素数さん
08/06/24 01:01:32
>>339 |a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|} から明らか。
341:１３２人目の素数さん
08/06/26 05:30:00
543
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
B4101
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.447
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4043
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4049
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.439、B.4040
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.435、A436、B.4029
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A.433、B4019、B4021
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4101（懐かしい）
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
342:１３２人目の素数さん
08/06/26 05:31:02
【f(x)】
A.450
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4060
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
【nCr】
B.4091
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
【other】
B.4046
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4035
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4031
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B.4097
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ
343:１３２人目の素数さん
08/06/28 14:55:09
【問題148】(改作)
sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:148番)
---------------------------------------------------
(略解)
・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より
|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ),
・cosθ ≦0 のとき
-1 ≦ cosθ ≦0,
sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ),
344:１３２人目の素数さん
08/06/28 21:48:06
>>341
A.435ムズイな…
345:１３２人目の素数さん
08/06/28 21:58:18
>>341
やさしいのは･･･
B.4019.
1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)),
より
(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4.
なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･
B.4035. 積和公式
2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x),
を使うと
(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2),
x=(2/11)nπ, (nは整数, 但し11の倍数を除く.)
B.4043.
(a,b,c,d) = (1,3,5,11) (1,2,8,17)
B.4046.
(a,b) = (169/9, 196/9) 順不同
|a-b|=3,
346:345
08/06/28 22:07:34
〔問題〕は↓でつ･･･
B.4019. Prove that
1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4,
for every positive integer n.
B.4035. Solve the following equation:
2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0.
B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of
a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ?
B.4046. Solve the following simultaneous equations:
a√a + b√b = 183,
a√b + b√a = 182,
347:１３２人目の素数さん
08/06/29 00:50:11
私のコレクションの中にも無いなぁ…
348:１３２人目の素数さん
08/06/30 22:51:51
A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。
349:１３２人目の素数さん
08/07/02 01:21:20
中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。
↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ
とするとき
↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ
の取りうる値の範囲を求めよ。
350:１３２人目の素数さん
08/07/02 20:57:26
>>341
B.4040.
a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2) (0<A,B,C<π)
とおく。附帯条件から
cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0,
A+B+C = π,
ABCは三角形をなす。
(1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき
(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3) (← 上に凸)
= 3cos(π/3) = 3/2.
(2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。
(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C) (← 上に凸)
= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2
= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2 (← sin(C/2) > 1/√2)
351:350
08/07/02 21:18:08
〔問題〕は↓でつ･･･
B.4040.
a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that
(1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2.
352:１３２人目の素数さん
08/07/03 01:31:20
>>351
ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、
1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
を示せばよい。
s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、
（右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0
等号成立条件は a=b=c．
なぜならばっ！ なぜならばっ！
s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係）
蛇足、t=1 より
s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0
s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ | 久々の出番だね！
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
353:350-351
08/07/03 23:28:16
>>352
成る程。 >>350 は牛刀だったか･･･orz.
>>349
(与式) = ↑a･↑b + ↑b･↑c + ↑c･↑a = {|↑a + ↑b + ↑c|^2 - |a↑|^2 - |b↑|^2 - |c↑|^2 }/2
= {|↑a + ↑b + ↑c|^2 -3}/2,
ここに
0 ≦ |↑a + ↑b + ↑c| ≦ 3,
-3/2 ≦ (与式) ≦ 3,
等号成立は (左側 :ABCが正三角形のとき, 右側 : A=B=C のとき）
ハｧ ハｧ
>>350
354:１３２人目の素数さん
08/07/03 23:58:49
>>353
牛刀も大歓迎です！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
なぜならばっ！ なぜならばっ！
不等式ヲタだからです！
別解が多いほど興奮するからです！
355:１３２人目の素数さん
08/07/04 23:51:52
B.4101.
Assume xyz=8. Prove that
1/√(1+x^2) + 1/√(1+y^2) + 1/√(1+z^2) ≧ 1,
不等式スレッド 143-157
IMO-2001 (USA) Problem 2 の類題らしいよ。
URLﾘﾝｸ(imo.wolfram.com)
356:１３２人目の素数さん
08/07/05 04:38:10
>>355
解けたけど芋のもんだいよりは簡単だった。
357:１３２人目の素数さん
08/07/06 10:42:24
>>341 , >>355 念のため･･･
B.4101.
a=k／(x^(3/2)), b=k／(y^(3/2)), c=k／(z^(3/2)), (k>0) とおくと
x^2 = 4bc/a^2, y^2 = 4ca/b^2, z^2 = 4ab/c^2,
(左辺) = a/√(a^2 + 4bc) + b/√(b^2 + 4ca) + c/√(c^2 + 4ab)
≧ a/√{a^2 +(b+c)^2} + b/√{b^2 +(c+a)^2} + c/√{c^2 +(a+b)^2} (← 相乗相加平均)
> a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)
= 1.
358:357
08/07/06 10:49:06
>357 の訂正、ｽﾏｿ
a=k／(x^(2/3)), b=k／(y^(2/3)), c=k／(z^(2/3)), (k>0) とおくと
359:１３２人目の素数さん
08/07/09 17:25:53
誰かA.435解いて～
360:１３２人目の素数さん
08/07/09 17:27:45
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:231番)
nは自然数とする
{Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n
を示せ
361:１３２人目の素数さん
08/07/10 00:11:21
バーゼル不等式を自力で見つけた俺は普通より上
362:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:42:46
A435
s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc
S1*S2/S3≧6{a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)}
363:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:45:10
a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)={a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)}/{(s1-a)(s1-b)(s1-c)}
364:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:50:42
a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1-3abc
=S1^3-S1*S2-3*S3
365:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:53:15
>>362-364
証明になっとらん
366:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:53:25
a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1+3abc
=S1^3-2*S1*S2+3*S3
(s1-a)(s1-b)(s1-c)=S1^3-(a+b+c)S1^2+(ab+bc+ca)S1-abc
=S1*S2-S3
367:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:57:14
>>366
続き教えてください
368:１３２人目の素数さん
08/07/10 21:58:19
S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3}
S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0
369:１３２人目の素数さん
08/07/10 22:02:04
-6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0
370:１３２人目の素数さん
08/07/10 22:08:15
>>369
それが常に成り立つことの証明は？
371:１３２人目の素数さん
08/07/10 23:05:37
>>360
(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n),
(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n],
より
(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n]
とおく。
b[1] = 2 = √(2n),
b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
< √{n/(n-1)}.
∴ b[n]/√(2n) は単調減少。
なお、
b[n]/√(2n) → (√π)/2, (n→∞)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:239番)
372:371
08/07/10 23:08:51
b[1] = 2 = 2√n,
b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
< √{n/(n-1)}.
∴ b[n]/(2√n) は単調減少。
なお、
b[n]/(2√n) → √(π/2), (n→∞)
373:１３２人目の素数さん
08/07/11 10:14:37
a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18
374:１３２人目の素数さん
08/07/11 10:15:47
>>373
0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m
375:１３２人目の素数さん
08/07/13 11:09:47
∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2
を示せ
376:１３２人目の素数さん
08/07/13 18:12:00
今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか
377:１３２人目の素数さん
08/07/13 20:49:27
>376
シュワルツの不等式
378:１３２人目の素数さん
08/07/14 21:51:14
>>375
(ア) [-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は
a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。
(イ) [-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！
(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx
= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)}
= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3 (αβ≧0 のときは 明らかに ≧2/3)
= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2 (← 以下、α≦0≦β とした.)
= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2
≧ 1/2.
等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終)
いくら何でもマンドクセ？
379:１３２人目の素数さん
08/07/14 22:40:32
>>342
B.4097.
(x,y) = (6,2), (50,10), (294,42).
>>377
さようなら。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
>>378 (← 注釈無用)
380:379
08/07/14 22:44:37
〔問題〕は↓でつ･･･
B.4097.
Solve the following equation on the set of integers:
2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1.
381:１３２人目の素数さん
08/07/14 23:29:34
>>380
そういや、まだ考えてなかった…
382:１３２人目の素数さん
08/07/15 13:27:24
Jensenの不等式で
f(t_1･x_1+…+t_n･x_n)<=t_1･f(x_1)+…+t_n･f(x_n)
が証明されて、特に
t_1=…=t_=1/n
とおけば
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
ですが、
t_1+…+t_n=1
の場合を示さないで、直接
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
を示すことは可能なんですかね？
383:１３２人目の素数さん
08/07/16 23:32:04
入試問題でも貼ろうか？
384:１３２人目の素数さん
08/07/16 23:36:21
不等式ならドンと来い
385:１３２人目の素数さん
08/07/16 23:59:00
2S|x^2+ax+b|>2S|(1+a)x^2+b|>2S|x^2+b|>2S|x^2|>2/3|x|>2/3>1/2
386:１３２人目の素数さん
08/07/17 01:05:11
>>380
x,yは整数でy≠0よりx≠0、さらに2^(x/y)は整数よりy|xかつｘ≧y≧1
あとはゴリ押しで、任意の正整数nに対して
x=(2/3)(2n+1)((2^n)-1)((2^n)+1)、y=(2/3)((2^n)-1)((2^n)+1)
が求める整数解となる
不等式とか関係ない気がするが
387:１３２人目の素数さん
08/07/17 02:16:55
ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０，ａ＋ｂ≧ｃのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ
｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝≧ｃ／（１＋ｃ）
（５３群馬大，５９中部工大）
２数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１を満たすとき，
｛ａ＋（１／ａ）｝＾２＋｛ｂ＋（１／ｂ）｝＾２≧２５／２
を証明せよ （５２茨城大）
３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき，不等式
｛２＋（１／ｘ）｝｛２＋（１／ｙ）｝｛２＋（１＋ｚ）｝≧１２５
が成り立つことを示せ （５８東京女大・数理）
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ＋ｎ）｝
の最大値を求めよ （５８東京理科大）
暇潰しにもならないと思うがどうぞ
388:１３２人目の素数さん
08/07/17 02:20:48
訂正
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１－（ｘ／ｎ）｝｛１－（ｙ／ｎ）｝｛１－（ｚ／ｎ）｝
の最大値を求めよ （５８東京理科大）
389:１３２人目の素数さん
08/07/17 03:40:53
フハハハハ…、解ける、解けるぞ！
390:１３２人目の素数さん
08/07/17 07:02:42
(1-25/3n)^3
2*2.5^2=2*5^2/2>25/2
2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1)
2^((x-y)/y) － (3/2)y = 1
2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2
2^(x/y)=2+3y
(x/y)log2=log(2+3y)
xlog2=ylog(2+3y)
x=ylog(2+3y)/log2
log(2+3y)=klog2
2+3y=2^k
y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3
2^(k-1)-1=3m
k-1=log(3m+1)/log2
k=log(3m+1)/log2+1
y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m
x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2
391:１３２人目の素数さん
08/07/17 22:10:13
私にも解けますた…
>>387
(1) a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c). {← x/(1+x) は単調増加}
∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0.
(2) a+b=s, b-a=d とおくと
(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2
= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4
= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4
= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4
これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値
(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2.
(別法) f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2) は下に凸だから
f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2.
(3) 基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s),
(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2,
1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3,
(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz)
= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz)
≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3
= {2 + (3/s)}^3
>>388
(4) 相乗相加平均より
(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3.
392:１３２人目の素数さん
08/07/18 19:46:07
とりあえずIMO
'08 2
(1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。
(2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。
393:１３２人目の素数さん
08/07/19 00:09:16
>>392
(1) 基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2
= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2
= (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5),
= (t-3)^2 (← 題意より u=1)
≧ 0,
これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。
(2) 等号条件は t=3, u=1. なので･･･
394:１３２人目の素数さん
08/07/20 08:47:38
とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。
395:１３２人目の素数さん
08/07/20 15:21:54
そろそろ、３文字の対称式に対する不等式に対して一般的解法をここへ載せてもいい時期ではないか？
表立って現れて来ない条件は３文字が実数を現すって事だけで、後は問題の条件が付け加われば
もう、解法に使える条件式は本質的にはないのだから、後はその式が少々煩雑で
一般的にはそれほどよく目にしないってだけの話なんだから、、、。
そうして、文字の次数をあげれば、それはそれで一般的な理論への道が開けている。
そうして、事はそれほどには単純明快にはならないだろうが、、、。
ここらへんから先には幾何や代数もからんで来て数学を学んで視野や地平線を広げていくのには
格好の話題になると思う。
別に不等式だけからでも、数学の全分野に近い範囲を見渡す事だってできると思うし、
そいつは結構おもしろい旅路だと思うよ。
396:１３２人目の素数さん
08/07/21 00:10:03
>>395
さあ！
397:１３２人目の素数さん
08/07/23 01:01:13
a,b,c≧1のとき、次の不等式を証明せよ。
4(a+b+c)≧(1+a)(1+b)(1+c)
・・・なんか間違ってるような気がするんだが、
どのようなものと間違えたか心当たりある人いる？
398:１３２人目の素数さん
08/07/23 01:38:49
>>397
a = b = c = 2 のとき左辺 = 24、右辺 = 27 にて不成立
399:１３２人目の素数さん
08/07/24 23:12:44
頭悪いので次の式が成り立つのが分かりません。
C>1、nが正の整数であるとき、C<=(1+((C-1)/n))^n
教えてください。引き算と割り算のどちらからも
数学的帰納法をうまく使えませんでした。
400:１３２人目の素数さん
08/07/24 23:21:20
数式部分を書き直すと、
Ｃ＞１で、nが正の整数であるとき、
C≦(1+((C-1)/n))^n
401:１３２人目の素数さん
08/07/24 23:31:57
>>399
x ≧ 0 について (1 + x)^n = 1 + n x + ... ≧ 1 + n x なので
x = (C - 1)/n を代入するだけ。
402:399
08/07/25 11:47:10
早速のご回答ありがとうございます。リロードするのを忘れて
レスが付いたのに気づくのが遅れました。２項定理でしたか。
なるほど。ありがとう。
403:１３２人目の素数さん
08/07/26 18:28:48
図書館に
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
あったから借りてきた
受験参考書っぽくてよさげ
404:１３２人目の素数さん
08/07/26 23:38:37
>>403
すばらしい！
くれ！
405:１３２人目の素数さん
08/07/26 23:42:40
どこの大学にもあるんじゃね？
うちの大学にもあるが数学科が借りてるらしい
406:１３２人目の素数さん
08/07/27 18:03:41
うちの大学って言われても……
407:１３２人目の素数さん
08/07/28 03:43:15
復刊希望ンヌ！
408:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:03:59
他スレから１題･･･
〔問題396〕実数 a,b,c が条件
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60,
を満たすとき、
S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:396番) ,442
409:１３２人目の素数さん
08/07/30 23:07:48
>>408
(略解)
b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0,
∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。
題意より (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0,
{x,y,z} の2つは正、1つが負である。
x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y),
(最小値)
軸を45ﾟ回して
S/(√8) = (x+y)/√2,
d = (x-y)/√2,
とおくと、
3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S,
題意より、
0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S), （F は単調増加函数）
S ≧ 4･10^(1/3),
等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。
(最大値) なし
x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0, S=2(x+y) →∞.
410:１３２人目の素数さん
08/08/02 12:58:58
π^4+π^5<e^6を示せ
411:１３２人目の素数さん
08/08/02 13:39:34
グーグルで計算したら殆ど同じだった。
でも少しだけe^6が大きかった。
これはただの偶然か？
412:１３２人目の素数さん
08/08/02 14:24:28
これだけ近い値だと近似して示すのは無理ぽいな
なんかうまい方法があるのかな
413:１３２人目の素数さん
08/08/02 23:05:28
π^4 + π^5 ≒ e^6 は有名な近似式でつ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
414:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:29:53
スゲーΣ(0д０`ノ)ノ
誰がこんな近似思いついたんだ！
415:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:49:01
持ってる本で一つ、>>410関連のことをごく短く書いてあるのがあったな
「数のエッセイ」（一松信、ちくま学芸文庫）
のP.236（ただし、俺の持ってるのは第二刷発行のものなので、それ以外はわからん）で、
文庫本編のエッセイに対する補足説明の部分の一文なのだが、
――もっとおもしろいのは
π^4 + π^5 ＝ 403.4267758… ≒ e^6 ＝ 403.4267934…
であろう。
最後の式（↑の式のこと）はカナダでT^3（電卓研究会）が開かれたとき（2003年）、
現地の年配の女性教員から教えられた。
と書いてあった
他にも何かの本で見たような気がするが、ちょっと思い出せないな
416:１３２人目の素数さん
08/08/03 04:36:00
別にすごくないでしょ。
eやπでの近似を考えて掛けたり割ったりしていれば
e^6をπで割っていってe^6/π^4を見れば気づく。
417:１３２人目の素数さん
08/08/03 05:33:41
>>416
じゃあ、eとπだけを使って
π^4+π^5≒e^6
みたいに小さい数で見た目のキレイな誤差0.0001以下の近似を作ってみな
どうせ作れないから
418:１３２人目の素数さん
08/08/03 06:39:02
>>417
20 + π - e^π ≒ 0.0009000208 1052423273 3557015330 9555･･･
e^6 - π^5 - π^4 ≒ 0.0000176734 5123210920 5537811247 561872･･･
419:１３２人目の素数さん
08/08/03 12:07:27
>>418
「e π 整数」
とかで検索すると上の式の載ってるHPがいくつか出てくる。
それと、下の式をそんな自信満々に貼られても……移項しただけじゃん。
そろそろ不等式に戻ろうか。
420:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:32:46
近似式がすごいのか、思いつくのがすごいのか、どっちだ？
421:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:39:08
よく見つけるなーとは思う
422:１３２人目の素数さん
08/08/04 00:53:21
係数と定数を無視すれば、e1項とπ2項では50乗くらいまでの中で一番良い近似っぽいね
これにて終了
423:１３２人目の素数さん
08/08/04 01:34:21
結局
π^4+π^5<e^6
を示すのは電卓使わないと無理でＯＫ？
424:１３２人目の素数さん
08/08/04 07:08:35
>>423
ゼータ関数ζ(3)を求める事くらい難しいと思うからＯＫ
425:１３２人目の素数さん
08/08/04 07:26:18
>>423
その不等式を数値計算しないで示せというのが数検であったからＯＫじゃない
426:１３２人目の素数さん
08/08/04 19:46:28
>>425 kwsk
427:１３２人目の素数さん
08/08/05 19:33:24
３段の問題だな
428:１３２人目の素数さん
08/08/06 00:32:34
>>427
もっとくわしく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ
429:１３２人目の素数さん
08/08/06 07:51:39
>>415
情報グッジョブ！
430:１３２人目の素数さん
08/08/06 10:09:16
URLﾘﾝｸ(www.suken.net)
これか
431:１３２人目の素数さん
08/08/06 16:29:09
>回答締切 平成２０年９月１２日（当日消印有効）
ここに解答書いたらまずいってことか。
ここにいる猛者なら誰かは出来たであろう
432:１３２人目の素数さん
08/08/06 19:03:52
x>1に対しd/dx (1 - √(ln(x)/x))^(√(xln(x))<0を示せ.
433:１３２人目の素数さん
08/08/06 20:48:07
(√2)+(√3)-π＞0
であることをなるべく数値計算をせずに示せ
一応、答は用意してある
434:１３２人目の素数さん
08/08/09 08:07:33
東大スレに不等式がらみのが沢山あるね
435:１３２人目の素数さん
08/08/09 18:35:34
分かスレにもある･･･
〔問題823〕
曲面Q： (x/a)^r + (y/b)^r + (z/c)^r = 1 (a,b,c,r>0)と
平面P： ax + by + cy = 0 がある。
平面Pに平行で曲面Qに接する平面P'の式と接点の座標を a,b,c,r で表わせ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:823番) 874
436:１３２人目の素数さん
08/08/09 23:11:58
面白スレに三角比の(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ問題があるね
437:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:38:21
相加相乗平均に新証明法 高校教諭、運転中にひらめく
URLﾘﾝｸ(www.asahi.com)
高校の数学で習う定理の新しい証明法を県立倉敷古城池高校教諭の内田康晴さん（４９）が見つけ、オーストラリアの数学専門誌に論文が掲載された。
「高校の教育現場から論文投稿はもっと増えていい。励みになるだろう」と数学者からも喝采の声が上がっている。
証明したのは「相加相乗平均の定理」。高校１年で習うことが多い。
内田さんは、ある定理の証明で描いていた図形が、相加相乗平均の定理の証明に使えることに気づいた。さらに簡単な証明法がないかと連日、考えていたところ、
出勤途中の運転中にひらめいた。高校入学後すぐに扱う簡単な公式を使うだけの方法だった。
438:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:40:34
＞「この証明方法に気づいた人はこれまでにもいたはず。
＞簡単すぎるので発表済みと思ったのかもしれない」と謙遜（けんそん）する
分かってる先生だな。
>>437の証明法ってどういう証明かご存知の方いらっしゃいますか？
439:１３２人目の素数さん
08/08/18 16:42:33
URLﾘﾝｸ(www.emis.de)
これじゃないでしょうか
440:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:11:56
萌え死にそうでつ
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
441:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:20:19
ありがとう。
442:１３２人目の素数さん
08/08/18 17:32:14
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
URLﾘﾝｸ(video.google.com)
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
URLﾘﾝｸ(www.nhk.or.jp)
443:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:13:17
>>439
あんまり簡単だとは思えないな。
444:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:22:40
まぁあれだ！
不等式があれば、あと10年は戦える！
445:１３２人目の素数さん
08/08/18 22:28:24
実数a,b,cに対してf(x)=ax^2+bx+cとする．このとき
∫[-1,1](1-x^2){f'(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
であることを示せ． (08京大文系)
446:１３２人目の素数さん
08/08/18 23:27:08
>>445
x∈[-1,1] のとき 1-x^2 < 6 だから自明？
447:１３２人目の素数さん
08/08/18 23:33:48
∫[-1,1](1-x^2){f’(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx
448:446
08/08/18 23:41:22
>>447
thanks
' が見えなかった
449:１３２人目の素数さん
08/08/19 01:04:57
>>439
昔すう折りの本で見た子とあるぞ
450:１３２人目の素数さん
08/08/19 08:32:28
>>437
相加相乗平均に新証明法 県立高校教諭、運転中にひらめく
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
451:１３２人目の素数さん
08/08/21 00:38:27
>>433
用意しといた解答書いておく
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π …(*)
一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12) …(**)
(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π
452:１３２人目の素数さん
08/08/21 00:43:24
>>451
神過ぎる！
453:１３２人目の素数さん
08/08/21 01:53:34
>>452
thx
今、こんなの見つけた
URLﾘﾝｸ(www2.ocn.ne.jp)
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった
454:１３２人目の素数さん
08/08/21 03:13:45
>>451
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
これはどこから沸いてきた。
455:１３２人目の素数さん
08/08/21 04:03:37
3 次のTaylor展開を用いた不等式でしょ。
456:１３２人目の素数さん
08/08/21 18:36:37
ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、
｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝
を示せ。
457:１３２人目の素数さん
08/08/21 22:17:40
>>445
f(x) = ax^2 +bx +c,
f '(x) = 2ax +b,
を与式の両辺に代入する。
奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。
(左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2,
(右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2
= (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2
≧ (16/15)a^2 + 4b^2,
458:１３２人目の素数さん
08/08/21 22:39:41
0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。
459:１３２人目の素数さん
08/08/21 23:30:30
>>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか
460:１３２人目の素数さん
08/08/22 01:40:53
x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。
461:１３２人目の素数さん
08/08/22 07:16:47
>>460
学校の宿題は自分で考えましょうね
462:１３２人目の素数さん
08/08/22 07:30:01
>>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。
463:１３２人目の素数さん
08/08/22 11:48:30
>>462
ですよね
464:１３２人目の素数さん
08/08/22 17:44:47
cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか
465:１３２人目の素数さん
08/08/22 18:17:06
対数とって考えてみるか・・・
466:１３２人目の素数さん
08/08/22 21:43:06
f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。
467:466
08/08/22 21:45:36
最後の1行は勘違い。
468:466
08/08/22 21:49:54
全部勘違いだ～
469:１３２人目の素数さん
08/08/23 00:41:31
>>460(1)解説よろ
470:１３２人目の素数さん
08/08/23 07:00:51
>>458
0≦t≦1 とする。
f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
f(0) = f(1) = 0,
f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
f(t) ≦ 0 (0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ), (0<θ≦π/4)
471:１３２人目の素数さん
08/08/23 07:36:55
>>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,
>>460(2)
2x=u^2, y=v^2 とおく。
(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
k ≧ √(3/2),
472:１３２人目の素数さん
08/08/23 09:16:09
>>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ
473:１３２人目の素数さん
08/08/23 21:54:54
>>454
f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
x･f(x) > 0,
{tan(x) - x} ' = 1/cos(x)^2 -1 = tan(x)^2 > 0,
と tan(0) -0 =0 から
x･{tan(x)-x} > 0, (|x|<π/2)
g(x) = tan(x) -x -(1/3)x^3
とおくと
g '(x) = 1/cos(x)^2 -1 -x^2 = tan(x)^2 - x^2 >0 (|x|<π/2)
これと g(0) =0 から
x･g(x) >0,
474:１３２人目の素数さん
08/08/23 23:55:48
>>473
マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。
475:１３２人目の素数さん
08/08/24 00:10:03
>>474
ええじゃん。
476:１３２人目の素数さん
08/08/24 00:14:25
誰か>>456をお願いします
477:１３２人目の素数さん
08/08/24 03:29:33
通約可能って意味を教えてくんなませ
はーでぃの本でいきなりつまったwww
478:１３２人目の素数さん
08/08/25 01:52:02
>>477
ネタ？
何ページ？
479:１３２人目の素数さん
08/08/26 22:46:19
>>456って右辺は ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(9t^2)｝ にならないかな？
勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝ なんだけど。
おらの勘違い？
480:１３２人目の素数さん
08/08/26 23:05:21
>>477
通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。
そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。
Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？
481:１３２人目の素数さん
08/08/27 07:48:32
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:937-945番) より。
937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}
題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
482:１３２人目の素数さん
08/08/30 00:54:44
>>478, 480さん
レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます
「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。
それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
一般的な方法なんですか?
483:１３２人目の素数さん
08/08/30 00:56:27
うわwww 偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。
484:１３２人目の素数さん
08/08/30 01:12:12
ちょっと長めに引用しておきます
「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
485:１３２人目の素数さん
08/09/06 06:57:59
>>456,476
f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x}, (a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。
〔補題〕 a<1, j>0 ならば
(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j, 等号成立は x=j/(1-a) のとき。
486:１３２人目の素数さん
08/09/06 15:45:53
>>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より
(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
487:１３２人目の素数さん
08/09/06 18:52:13
1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？
488:１３２人目の素数さん
08/09/06 18:56:09
>>487
成り立たないだろ
489:１３２人目の素数さん
08/09/06 20:16:27
記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
490:１３２人目の素数さん
08/09/06 20:47:20
(0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
491:１３２人目の素数さん
08/09/06 21:03:58
それはウマい方法じゃないだろｗ
492:１３２人目の素数さん
08/09/07 01:12:43
A+B+C=π π＞A≧B≧C＞0 として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0
log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) ) (∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)
log(x)の単調増加性から cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から 1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2
493:１３２人目の素数さん
08/09/07 01:15:39
>>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。
右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。
[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
494:１３２人目の素数さん
08/09/07 13:37:35
半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
495:１３２人目の素数さん
08/09/07 13:46:11
>>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
496:１３２人目の素数さん
08/09/08 01:06:12
>>494
それ、ハイ理にあったような
497:１３２人目の素数さん
08/09/08 01:15:31
>>496
ハイ理とは何ぞや？
>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
498:１３２人目の素数さん
08/09/08 02:04:14
>>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
499:１３２人目の素数さん
08/09/08 02:31:50
>>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...
----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
S = abc/(4R) を用いる
(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)
(3) チャップル・オイラーの定理を用いる
(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------
私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…
その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します
不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...
500:１３２人目の素数さん
08/09/08 03:12:31
>>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか
>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
501:１３２人目の素数さん
08/09/08 07:55:04
>>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
502:１３２人目の素数さん
08/09/08 18:39:01
>>501
それ、チャップル・オイラー
503:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:33:32
ヴィルティンガーの不等式
504:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:38:27
有名どころでヘルダーの不等式。
505:１３２人目の素数さん
08/09/10 02:53:30
>>503
聞いたことないのは不勉強？
506:１３２人目の素数さん
08/09/10 03:09:02
ディルレヴァンガーの方程式
>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ
507:１３２人目の素数さん
08/09/11 17:32:26
ぐぐったら聞いたことがあることになる？
508:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:01:53
聴覚を使わない限り聞いたことにはならないと思う。
ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK
509:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:12:16
>>508
何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ
510:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:54:23
>>509
死ねｗ
511:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:57:09
独学した内容は聞いたことないってのも珍しくないがな
聞いたことはないが知ってるってやつ
512:１３２人目の素数さん
08/09/11 21:58:30
>>508
KY1級
513:１３２人目の素数さん
08/09/13 16:23:44
不等式ではないですが・・・
θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします
514:１３２人目の素数さん
08/09/13 16:49:42
なぜスレチとわかってて．．．
515:１３２人目の素数さん
08/09/13 17:38:47
マルチと見た
516:１３２人目の素数さん
08/09/13 18:31:11
>>513
ヒント：2倍して1を足せ
517:１３２人目の素数さん
08/09/14 07:01:32
>>513
次の恒等式を考える。 (11倍角公式)
cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴ cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴ 1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
(与式) = -6.
518:１３２人目の素数さん
08/09/15 11:17:09
>498
>>121-122
519:１３２人目の素数さん
08/09/15 12:15:13
>>497
左辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.
(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),
ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S) を使った。
520:１３２人目の素数さん
08/09/15 12:43:00
>>487
中辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,
521:519
08/09/15 21:24:35
>>497
ヘロンの公式も使った。
s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ヘロンの公式
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
遠山 啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同－第一辺)(同－第二辺)(同－第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校 齋藤貞一あて 封書 (1927)
522:１３２人目の素数さん
08/09/15 22:19:32
∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1)
x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3
△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)
523:１３２人目の素数さん
08/09/15 22:49:30
>>521
>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない
524:１３２人目の素数さん
08/09/16 15:30:46
For distinct real numbers $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ such that $a < b < c < d < e < f$ and $abcdef = - 6$, let
\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]
\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.
Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]
525:１３２人目の素数さん
08/09/16 21:58:34
>>523
そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。
526:１３２人目の素数さん
08/09/17 00:56:06
>>522
(上) コーシーの不等式より
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,
(中)
f(x) = x･log(x) とおく。
f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。
527:１３２人目の素数さん
08/09/17 22:00:51
f’(x)≧0とする
∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0
528:１３２人目の素数さん
08/09/17 22:34:51
質問です
(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ
529:１３２人目の素数さん
08/09/18 07:08:59
>>522 (下)
(Toth の証明)
Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,
一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。
文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162
530:１３２人目の素数さん
08/09/18 09:25:58
URLﾘﾝｸ(www.thehcmr.org)
S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。
531:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:03:27
というか寧ろ締切り過ぎてない問題は晒しちゃダメだろうｗ
532:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:04:08
>>522
(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
(右辺) < 3/5.
>>528
XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0, ････ (1)
Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0, ････ (2)
X+Y+Z -a -2b = 0, ････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。
533:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:29:42
そう言えば上の数検の3段の問題は締め切りすぎてそろそろ回答できたやつもいるのかな。
534:１３２人目の素数さん
08/09/18 22:58:03
今気付いたけどこのスレのURL0がいっぱい並んでて綺麗
535:１３２人目の素数さん
08/09/19 01:11:37
>>528 2008 千葉大の問題でした。回答速報の答えはへたくそ。
実際、誘導つきなんですがねえ。
536:１３２人目の素数さん
08/09/19 02:50:44
n個の正の実数x[1],x[2],,,,x[n]がx[1]+x[2]+･･･+x[n]=1を満たすとき
不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。
537:５３６
08/09/19 02:55:48
n> 2です
538:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:19:16
king ↔ うんち
(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²
539:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:20:41
荒らそうと必死ですね わかります
540:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:42:06
>>535-537
(-1+∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2 (x[n+1]=x[1])
=1-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞∑[j=1,n]x[j]^2
541:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:45:52
↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、∑の記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。
542:１３２人目の素数さん
08/09/19 11:46:41
なんか²
543:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/09/19 12:30:28
Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。
544:１３２人目の素数さん
08/09/19 14:54:59
>>540
＞ =(∑[j=1,n]x[j])^2-2∑[j=1,n]x[j]x[j+1]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞ =∑[j=1,n]x[j]^2+2∑[1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(∑[j=1,n]x[j]x[j+1])^2
これはどういう変形？
545:１３２人目の素数さん
08/09/19 16:20:24
>>544
(∑[j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
546:１３２人目の素数さん
08/09/19 17:52:03
king ≤ うんこ
547:１３２人目の素数さん
08/09/19 18:29:25
荒らそうと必死ですね わかります
548:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/09/19 21:06:37
Reply:>>546 何をしている。
549:１３２人目の素数さん
08/09/20 03:45:57
>>536
x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
s = 1,
∑[j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
550:１３２人目の素数さん
08/09/20 08:07:35
本質的に>>540=>>549
551:551蓬莱
08/09/20 23:51:56
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
552:１３２人目の素数さん
08/09/21 07:57:45
>>533
3段の方が4段より難しかったな。
553:１３２人目の素数さん
08/09/25 20:27:12
〔問題620〕
全ての自然数nについて
n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:620番)
(略証)
左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。
log(1!)=0 より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
= log(n),
b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
= log(n),
よって成立。
554:１３２人目の素数さん
08/09/25 23:57:11
不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
555:１３２人目の素数さん
08/10/03 03:31:17
俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)
556:１３２人目の素数さん
08/10/04 01:08:48
>>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！
557:１３２人目の素数さん
08/10/04 01:37:22
πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。
558:１３２人目の素数さん
08/10/04 07:12:07
>>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理
559:１３２人目の素数さん
08/10/04 09:38:47
>>557
なめんなよ！
560:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:07:15
>>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。
561:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:39:17
〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)～(4)を考える。
f(x) = x … (1)
f(f(x)) = x … (2)
f(f(f(x))) = x … (3)
f(f(f(f(x)))) = x … (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)～(4)も実数解を持たないことを示せ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:096番), 104, 118
京都大学入試作問者スレ①
562:１３２人目の素数さん
08/10/04 20:41:28
>>561 スレ違いっぽいが･････
(略証)
f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴ g(x) は定符号。
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …
563:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:49:07
>>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。
564:１３２人目の素数さん
08/10/05 00:26:53
>>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
565:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:42:02
e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）
だからこの問題は要するに
π を 誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。
2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？） 桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。
で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。
566:１３２人目の素数さん
08/10/05 04:43:19
arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。
Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。
円周率の公式と計算法
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。
残りの参考サイト
円周率の公式集 暫定版
URLﾘﾝｸ(www.pluto.ai.kyutech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 記事内のリンクも参照。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
567:１３２人目の素数さん
08/10/05 15:38:02
全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある
568:１３２人目の素数さん
08/10/05 17:33:57
綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。
Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。
569:１３２人目の素数さん
08/10/05 18:00:03
>>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)
570:１３２人目の素数さん
08/10/06 20:05:15
>>410 のもとの問題文は↓(>>430)
円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
π^4+π^5≒e^6 (400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
数値計算をせずに
π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。
571:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/10/06 20:54:56
Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。
572:１３２人目の素数さん
08/10/06 23:59:10
>>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！
573:１３２人目の素数さん
08/10/07 00:09:55
>>570
いかにもエレ解な問題だな
574:１３２人目の素数さん
08/10/07 01:17:05
これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、
575:１３２人目の素数さん
08/10/08 01:17:31
>>534
URLﾘﾝｸ(www3.tokai.or.jp)
最後の2つを参照、作成時刻にも注目
576:１３２人目の素数さん
08/10/09 21:33:02
>373-374 , 394
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:121番)
f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）
・境界上の極大
6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。
・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0 から
f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ, f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴ (a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。
なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)
しかし･････後味わるいな。
577:576
08/10/09 21:47:21
・境界上の極大
6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
578:１３２人目の素数さん
08/10/10 00:57:08
後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな
579:１３２人目の素数さん
08/10/11 00:16:10
ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…
580:576
08/10/13 04:25:00
>> f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴ {x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴ 区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴ 極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
≦ 18, (1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。
なお、a=0.279000307274921･･･ には極小（鞍点、峠点）がある。
581:１３２人目の素数さん
08/10/18 06:28:12
>>341
A.435. Prove
(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.
(略解) (>>394 を参照)
>>373-374 から,
6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,
582:１３２人目の素数さん
08/10/18 08:19:15
>>341
B.4021
a_k = 1 + b_k, b_k≧0 とおくと
(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn～2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).
A.433 A.436 A.439 A.447 は解答付き。
583:１３２人目の素数さん
08/10/19 00:12:38
>>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．
t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。
584:583
08/10/19 00:45:17
4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．
585:584
08/10/19 00:46:41
× 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
586:１３２人目の素数さん
08/10/19 07:23:26
〆切過ぎたから今月の大数の宿題
a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}
a_n<5を示せ
587:１３２人目の素数さん
08/10/19 11:54:01
>586
a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴ a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
a_(n+6) = -1/a_n.
∴ はじめの6項を求めれば分かる。
588:583-585
08/10/19 15:08:21
多投スマ祖。
q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。
589:１３２人目の素数さん
08/10/20 04:57:18
>>583
t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,
・3つの実根をもつから
Q <0, R^2 < 4(-Q/3)^3,
・解が t≧1 だから
(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
r-5 ≧0, q-2r+7 ≧0, q-2r+3 ≦0,
590:１３２人目の素数さん
08/10/20 05:37:48
>>341
A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
for every positive integer n.
(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと (← ガウスの記号)
t = {n√2} - {n√3}
= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
= k - (√3 -√2)n (k∈N)
= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
分母は0でない整数。
・ n≧20 のとき
|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
辺々掛けて
|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
より成立。
・n≦20 のとき、
(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).
591:１３２人目の素数さん
08/10/20 23:06:03
>590
分子は0でない整数。
>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]
592:１３２人目の素数さん
08/10/27 01:28:31
>>341
B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),
(略証)
a+b+c =s, abc =u とおく。
(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s} ････(*)
= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
≧ 0,
ここで Schur の不等式 F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。
(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
S = A + B + C = s^2 -3t,
T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
U = ABC = us^3 - t^3,
(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.
593:１３２人目の素数さん
08/10/27 02:43:50
次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。
[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))
594:１３２人目の素数さん
08/10/27 08:44:05
>>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
新手の釣り師か？