07/10/15 15:39:52
〔問題〕
α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ (3√3)/2
〔略解〕
(sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2}
= 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3),
∴(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3
θ=α,β,γを代入して辺々足せば得られる。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:438-462番)
東大入試作問者スレ１１