07/10/13 22:21:20
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(略解)
・n = 1 のとき
I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1,
I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･,
ゆえ n=1 のとき成立。
・n> 1 のとき
u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。
xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から
I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
ここで ヘルダーの不等式 により
{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
I(n) > I(2)^(n-1) > 1,
から
I(n+1) > I(n),
n> 1 のときも成立。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:637番)
東大入試作問者スレ１１