不等式への招待第３章

不等式への招待第３章at MATH

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150:１３２人目の素数さん
 07/10/13 22:21:20 
>149  
 
(略解) 
・n = 1 のとき  
　I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1,  
　I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･,  
ゆえ n=1 のとき成立。 
・n> 1 のとき  
u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。  
xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から  
　I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,  
ここで ヘルダーの不等式 により  
　{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,  
　I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),  
　I(n) > I(2)^(n-1) > 1,  
から  
　I(n+1) > I(n),  
n> 1 のときも成立。 
  
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/637  
東大入試作問者スレ１１

151:１３２人目の素数さん
 07/10/15 15:39:52 
〔問題〕  
α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。 
　　(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ (3√3)/2 
 
〔略解〕  
(sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2} 
= 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3), 
 
∴(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3 
 
θ=α,β,γを代入して辺々足せば得られる。 
 
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/438-462 
東大入試作問者スレ１１

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