07/10/06 01:13:14
任意の三角形の三辺a,b,cに対して常に
a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)＜2(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n)
が成り立つような正の整数nを全て求めよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:352番)
まず必要条件を求めるため，xを0<x<1なる実数として，
a=2，b=1，c=1+x という三角形を考える。
このとき，題意を満たす n が存在するとすると，
2^(n+1) + 2(1+x)^n + 2^(n+1)(1+x)^n ＞ 2^(2n) + 1 + (1+x)^(2n)
が成り立つ。
これが0<x<1なる任意のxに対して成立するので，両辺 x→+0 として，
2^(n+2) ≧ 2^(2n)
∴ 4≧2^n
∴ n≦2
よって n≦2 が必要。
n=1のとき，
2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)＝(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a) ＞ 0
より成立。
n=2のとき，
2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)
＝(a+b-c)^2(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)^2(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)^2 ＞ 0
より成立。
以上より n=1,2