不等式への招待第３章

不等式への招待第３章at MATH

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50:１３２人目の素数さん
 07/06/05 02:32:32 
>>15　 [C854] 
H_k=∫[0,1]Σ[j=0,k-1]t^j dt=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt 
n!/Π[j=0,n](k+j)=Γ(n+1)Γ(k)/Γ(n+k+1)=Β(k,n+1)=∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt 
これらから 
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j) 
=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt 
=[∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dt]_[x=0,1] 
部分積分を使うことで 
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j) 
=∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx 
　+∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx 
を得る。 
kについてこれらの和を取る。(極限の順序交換の大雑把さは大目に見てください) 
Σ[k=1,∞]∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx 
=∫[0,1]∫[0,x] Σ[k=1,∞] {t^k-(tx)^k}/{t(1-x)}*(1-t)^n dtdx 
=∫[0,1]∫[0,x](1-t)^(n-1)/(1-tx) dtdx  
=∫[0,1]∫[t,1](1-t)^(n-1)/(1-tx) dxdt (積分の順序交換) 
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt 
同様に 
Σ[k=1,∞]∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx 
=-∫[0,1]log(1-x^2)*(1-x)^(n-1)/x dx 
=-∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt (変数をtに書き換えた) 
 
以上から 
Σ[k=1,∞]H_k*n!/Π[j=0,n](k+j) 
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt -∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt 
=-∫[0,1]log(1-t)*(1-t)^(n-1)/t dt  
=∫[0,∞]y*e^(-ny)/{1-e^(-y)} dy ( y=-log(1-t) と変数変換) 
=∫[0,∞]Σ[j=n,∞]y*e^(-jy) dy 
=Σ[j=n,∞]1/j^2=π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2 
ゆえ 
Σ[k=1,∞]H_k/Π[j=0,n](k+j)=1/(n!)*{π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2}

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