代数的整数論 005

代数的整数論 005at MATH

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■項目テキスト

567:Kummer  ◆g2BU0D6YN2 
 07/07/01 14:33:39 
命題 
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 1 (mod 4) とする。 
χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。 
 
D ≡ 1 (mod 8) のとき χ([2]) = 1 
D ≡ 5 (mod 8) のとき χ([2]) = -1 
 
証明 
1) D ＞ 0 のとき。 
 
χ([2]) = χ([D + 2]) = (D/D + 2) = (D + 2/D) 
= (2/D) = (-1)^(D^2 - 1)/8 
 
よって 
D ≡ 1 (mod 8) のとき χ([2]) = 1 
D ≡ 5 (mod 8) のとき χ([2]) = -1 
 
2) D ＜ 0 のとき。 
χ([2]) = χ([-D + 2]) = (D/-D + 2) = (-1/-D + 2)(-D/-D + 2) 
= (-D/-D + 2) = (-D + 2/-D) = (2/-D) = (-1)^(D^2 - 1)/8 
 
よって 
D ≡ 1 (mod 8) のとき χ([2]) = 1 
D ≡ 5 (mod 8) のとき χ([2]) = -1 
証明終

568:Kummer  ◆g2BU0D6YN2 
 07/07/01 15:24:14 
命題 
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。 
m を D と素な奇数とする。 
 
m が判別式 D のある原始的２次形式により固有に表現される 
(過去スレ４の701)ためには D が m を法として平方剰余になることが 
必要十分である。 
 
証明 
m が判別式 D のある原始的２次形式により固有に表現されるなら 
過去スレ４の717より D は m を法として平方剰余である。 
 
逆に D ≡ b^2 (mod m) となる b があるとする。 
 
m は奇数だから b が偶数なら b + m は奇数であり、 
b が奇数なら b + m は偶数である。 
よって D と b は偶奇が一致すると仮定してよい。 
このとき D ≡ b^2 (mod 4m) となる。 
b^2 - D = 4mc とする。 
 
f(x, y) = mx^2 + bxy + cy^2 は判別式 D の２次形式で、 
gcd(m, D) = 1 だから f は原始的である。 
m = f(1, 0) だから m は f による固有に表現される。 
証明終

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