07/10/18 16:29:07
サルでもわかるヒドラゲーム
Hydra Game applet
URLﾘﾝｸ(www.few.vu.nl)
説明スライド
URLﾘﾝｸ(www.few.vu.nl)
597:たろう
07/10/18 19:53:17
>>594
『 t[m]^t[0] t[m-1] ... t[1] t[0] 』 は順番が１通りしか考えられないのでカッコは省略。
カッコが無い方が見やすい。
>>565
> ＝((m(3)m(2)^2)m(1))2
これは
((m(3)(m(2)^2))m(1))2
のことだと思う人のが多いと思うのでカッコは必須。
598:１３２人目の素数さん
07/10/18 20:07:56
ヒドラゲームおもすれー
数学の教養の無い俺でも楽しめる。
こういうのがもっと出てきてほしい。
599:１３２人目の素数さん
07/10/18 20:36:04
実は俺……なんでもない
で、あれ？
m(2)(m(3)m(2))m(2)f(2)
は
=m(2)(m(3)m(2))f^2(2)
なのか
=((m(3)m(2))m(2)f)^2(2)
なのか分からなくなってきた。
うーん…前者だと
m(2)^2f(2)=m(2)m(2)f(2)=m(2)f^2(2)=m(2)g(2)=g^2(2)=f^4(2)
後者だと
m(2)^2f(2)=m(2)m(2)f(2)=(m(2)f)^2(2)=(m(2)f)(m(2)f)(2))=f^(f^2(2))(f^2(2))
なんか前者な気が
600:１３２人目の素数さん
07/10/18 20:39:25
ところでふと気になりましたが
>>539でのω_0, ω_1, ... ω_αは
それぞれ独立した別個の可算or非可算順序数の列
ということでよろしいでしょうか。
具体的にはナゴヤ関数のΩ_nのように
順序数ωを変換する関数に使うのがω_1、
以降同様にω_1を変換する関数にω_2を使う・・・という流れで。
つまり>>190の関数ψで使われている順序数Ωをω_1、
その上位の順序数Ω_2をω_2にするという解釈です。
601:5-682
07/10/18 20:40:07
失礼、>>600は5-682、自分です。
602:599
07/10/18 20:49:39
F版のHardyに直すと（F[0](x)=f(x)）
m(2)^2f(2)=F[2](2)=F[1]^2(2)=F[1](F[1](2))=F[1](F[0]^2)(2)=...
後者だった
ってこんなこと今まで出てきたF5の定義から読み取れるか？
λ式からならできるのかも……勉強せねば
603:たろう
07/10/18 21:24:04
>>599
カッコをつけると、
m(2) (m(3) m(2)) m(2) f (2) = [ m(2) { (m(3) m(2)) (m(2) f) } ] (2) ....☆
>>396 の定義の (m(2)f_1)f_0=(f_1^f_0)(f_0) に対し、
f_1 = (m(3) m(2)) (m(2) f), f_0 = 2 を代入すると、
[ m(2) { (m(3) m(2)) (m(2) f) } ] (2)
= { (m(3) m(2)) (m(2) f) }^2 (2)
先に(m(2) f) の部分を f^2 と展開はできない。
理由は、関数 (m(2) f) の引数が 2 以外でも使われるから。
より簡単な例で、
(m(2) f)^2 (2) を考える。
これの意味は、
(m(2) f) { (m(2) f) (2) }
である。
ここで、右側の (m(2) f) の引数は 2 であるので (m(2) f) = f^2 と置き換えることが出来るが、
左側の (m(2) f) の引数は 2 ではなく { (m(2) f) (2) } であるので、
(m(2) f) = f^{ (m(2) f) (2) } と置き換えなくてはならない。
604:たろう
07/10/18 21:47:22
>>600
>>539 のω_α^CK は（αが加算なら）加算で、
それぞれ、ある大きさに定まっている順序数。
ナゴヤ関数のΩ_nは十分大きな、きりの良い順序数なら何でも良く、
Ω_n = ω_α^CK と考えても良いし、
Ω_n = [濃度が(n番目の無限基数)である最小の順序数] と考えても良い。
>>190 の Ω は「最小の非可算順序数」と書かれていますが、
Ω = ω_1^CK としても、ψ( ) で得られる順序数は同じ。
605:有流才蔵
07/10/18 21:57:38
たろう。言い訳するんじゃない！ｗ
606:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/18 22:08:50
なんか総括がはやっているので、F5誕生の経緯を過去ログを読み
ながら思い出してみます。
4スレ734-735がF5の発想です。いつもながら、とても荒削りな
発想でしたが、l.b.氏や他の方とのやりとりで、739,744,746,747
といったあたりで大まかな方針が固まり、そこから次第にアイデアが
洗練されていきました。
そして、962-966で、ほぼ定義が固まりました。定義の記述は、
だいたいがl.b.氏によるものです。5スレの10-14に書かれているのは、
4スレの内容をそのまま書いただけです。
4スレ734の荒削りな発想（普通の人は読んでも理解できない文章）
から、F5完成までたどり着けたのは、l.b.氏、巨大数スレッドの
底力だと思います。
後の評価によってF5はF[ε_0]つまりヒドラと同じレベルにまで達する
ことが分かりましたが、F5発想時はHardyもヒドラも知りませんでした。
それどころか、多重帰納のなんたるかも正確に理解していませんでした。
作成者の想像と能力をはるかに超えたものが結果としてできたわけです。
607:１３２人目の素数さん
07/10/18 22:10:29
>57 名前：有流才蔵 ：03/04/06 10:23
>それ貫きには、このスレッドの議論は無意味だろう。
文字が違えば、使う場面が違うのは、日本人であれば
当然心得るべきことであるｗ
608:有流才蔵
07/10/18 22:15:23
Hydra gameについてマジメにプログラムを書いたのは
2003年11月10日の5-768が最初だな。
＞引数として、多重にネストした list を許すならば、
＞次のような関数が定義できます。
＞ [ と ] をバランスよく並べた列を考えます。
＞ 例) [[[ ]]] とか [[[ ][ ]][ ]][[ ]][ ]
＞ _list_ を上のような列としたとき、
＞ A{_list_}(n) という関数を次のように定義します。
＞ A{ε}(n)=n
＞ A{_list_[ ]}(n)=A{_list_}(n+1)
＞ A{_list1_[...[_list2_[ ]]...]}(n)=A{_list1_[...[_list2_]*(n+1)...]}(n+1)
＞ (ただし、]...] の部分は ] だけの列)
＞ ただし、εは空列、[_list_]*n は [_list_] を n 個並べた列です。
＞f(x)=A{[[...[ ]...]]}(x) ({} 内の列は x 重のネスト)
＞とおけば、f(x) は猛烈な速さで増加する関数であることが知られています。
609:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/18 22:18:55
>>606
4スレ734、というよりは、732-734と書いた方が良かったです。
610:599
07/10/18 22:24:31
>理由は、関数 (m(2) f) の引数が 2 以外でも使われるから。
意味ワカンネー
あ、わかった
一番内側のm(2)fは何回も呼び出されるのに599前者だと
f^x(x)ではなくf^2(x)になってしまってるわけだな。
……式変形の途中でf^2(x)に確定する、なんて解釈を許さないような
定義にきちんとなってるのか？えーと高階関数の精神をかんがえると
m(2)というM2変換は（（自然数→自然数）→（自然数→自然数））という
写像の中の特定のものであるから、m(2)f(x)も特定の関数を表し、
それは決してf^2(x)ではないわけだ、からいいのか。
611:１３２人目の素数さん
07/10/18 22:27:34
有流
無駄な書き込みしてる暇があったら
はやくこの木なんの木気になる木関数をまとめろ
612:有流才蔵
07/10/18 22:45:09
＞4スレ734-735がF5の発想です。
実はその後の739の名無し氏のカキコが実質的な始まり
＞S0変換＝自然数全体の集合から、自然数全体の集合への写像。
＞S1変換＝S0変換全体の集合から、S0変換全体の集合への写像。
＞・・・
＞例えば、f(x)=x^xはS0変換。関数g(x)をg^x(x)に移すのはS1変換。
つまりここで、Mn変換の実質である
m(n+1)f_n=f_n^i
が決まった。
613:有流才蔵
07/10/18 22:48:29
>>611
そっちはやめたｗ
ヒドラ・ゲームのほうがおもろい。
君子は豹変すｗ
614:１３２人目の素数さん
07/10/18 23:13:20
ヒドラ・ゲームなんてHardy Functionそのものじゃん。
615:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/18 23:27:19
m(n)の定義は、n=1のf(x)=x^x と n=2のg(x) → g^x(x) は
簡単なんですね。問題は n=3 以降なのです。
734はm(3)を着想したもので（形は若干異なりますが）、
739はm(3)がうまく定義できないのでないの？という趣旨の
書き込みでした。それに対して、m(3)が定義可能であることを
744で示して、それを受けて739氏が一般のnに対するm(n)を
構成した746で、ようやくF5の形が見えました。
616:有流才蔵
07/10/18 23:29:35
>>606
＞後の評価によってF5はF[ε_0]つまりヒドラと同じレベルにまで
＞達することが分かりましたが
その件だが・・・
実はF5自身はそう大したことないかもしれないｗ
理由としては、F5は入力として枝のない真っ直ぐな木を使ってるから。
実は596のシミュレータで試してみたんだが
分岐ｍ、長さｎとした場合、高さ１のノードの数がｍ＾＾ｎになる。
これだと、実はアッカーマンより小さくなる可能性が・・・（汗
617:有流才蔵
07/10/18 23:34:17
>>615
＞問題は n=3 以降なのです。
実は、対角化を意識しすぎたから、面倒になった。
m(n+1)f_n=f_n^i と書けば局所的にすむが
繰り返し回数と入力との一致をはかるために
長い変換の定義を必要とすることになった。
でも実はそれは本質ではなかった。
618:有流才蔵
07/10/18 23:42:19
＞ヒドラ・ゲームなんてHardy Functionそのものじゃん。
それはε_0までの話。そっから先はもっと大変（ｗ
619:１３２人目の素数さん
07/10/19 00:01:48
じゃあ早くそっから先の定義をまとめなさい。
620:有流才蔵
07/10/19 06:46:30
>>619はHardy Functionが理解できないDQNｗ
621:有流才蔵
07/10/19 07:23:40
うーん、やっぱり
「この木なんの木気になる木」こと
通称もっさもさ関数が必要だな。
ただし方針は>>582-583とは異なるが。
これは真のH(ε_0)レベルの達成の為。
つまり、ファーストステージのチャンピオンは･･･
まだ決まってない（￣ー￣）
622:有流才蔵
07/10/19 07:31:33
「ふぃっしゅ５、実はチャンピオンじゃなかった！！」
これについては>>616で速報したが、より細かく解説しよう。
ヒドラゲームの振る舞いは、局所的に見れば、高さ２の
クマデ型ツリー（高さ１のノード１つから枝がｎ本）で理解できる。
この場合、実は高さ２の枝を全部切ると、分岐枝数をｍとすれば
高さ１の枝がｍ＾ｎという結果になる。つまり局所的にはベキ関数。
だもんで直線木だと高さがｌならカットで高さ１の枝ばかりにした場合
その本数はｍ＾＾ｌにしかならん。
623:１３２人目の素数さん
07/10/19 07:34:43
>>622はふぃっしゅ５が理解できないDQNw
624:有流才蔵
07/10/19 07:40:41
>>623=>>619=>>614はヒドラ・ゲームが理解できない超DQN（ｗ
625:１３２人目の素数さん
07/10/19 07:48:46
結局、>>566に対する答えは「理解してない」ってことね。
626:有流才蔵
07/10/19 07:53:40
>>625
理解する＝鵜呑みにする、ではない（ｗ
627:有流才蔵
07/10/19 10:52:29
>>617
＞実は、対角化を意識しすぎたから、面倒になった。
＞（中略）
＞でも実はそれは本質ではなかった。
しまった！
ヒドラ・ゲームには関係ないが、
肝心の関数の増大度においては本質だった！
ということで、
>>614
＞ヒドラ・ゲームなんてHardy Functionそのものじゃん。
これ、対角化についてまったく言及してないっていう点で全く誤り。
628:有流才蔵
07/10/19 11:04:11
>>621
＞ファーストステージのチャンピオンは･･･まだ決まってない（￣ー￣）
と思ったが、やっぱりふぃっしゅ５に決まった・・・ＯＴＬ
>>622
＞「ふぃっしゅ５、実はチャンピオンじゃなかった！！」
と思ったが、やっはりチャンピオンだった・・・ＯＴＬ
対角化抜きで、ただヒドラ・ゲームの振る舞いだけを真似ると失敗する。
おそらく対角化の度に関数の増大度があがるため。
629:１３２人目の素数さん
07/10/19 11:28:44
最近特にツンとデレの波が激しいな（w
630:有流才蔵
07/10/19 11:29:37
そんでもって実はふぃっしゅ５はこんな入れ子の形で表される
(λx.x(λx.x(･･･(λx.x(λx.xx)x)･･･)x)x)
要するに対角化の繰り返し。
実はこんなに単純だったのか･･･ＯＴＬ
631:有流才蔵
07/10/19 11:38:30
>>589への追伸
＞2002-2003年の漏れ様は惨敗だから。
＞Ackermannの2重帰納法に目を奪われ、多重帰納法に固執したのも失敗。
＞そしてふぃっしゅの高階関数による拡大の方針を見誤ったのも失敗。
しかし一番の失敗は
「ヒドラゲームに惑わされ、対角化を繰り返せばいい、という
単純な方針に気づかなかったこと。」
オーディナルキッズの諸君。
君らも見た目に騙されると同じ轍を踏むぞ（ｗ
632:有流才蔵
07/10/19 11:46:00
ということでふぃっしゅ５をこれからこう呼びたい
「ふぃっしゅの対角マトリョーシカ」
633:１３２人目の素数さん
07/10/19 13:15:23
ウルサイゾウ氏はもうちょっと書き込みを纏めてくれないか。
(連続レスしすぎで、把握しづらい)
ブログでも立ち上げてくれるとうれしいな。読みやすいし、補足もしやすいんだ。
634:有流才蔵
07/10/19 14:45:38
>>633 最終総括
確定事項
・ふぃっしゅ関数Ver.5のλ項表現(5-714の6スレ37を引数なしで計算した形）
（λx.x(λx.x(･･･(λx.x(λx.xx)x)･･･)x)x)
対角の入れ子になるので「ふぃっしゅの対角マトリョーシカ」なる名前を提案。
・ふぃっしゅ関数Ver.5の引数入力後の計算状態はヒドラ・ゲームに対応する。
（魚スキーの6スレ317より）
未確定事項
・ｎ階対角化functionalとHardy関数の順序数の増加との対応関係
（魚スキーの6スレ317で予想されるも未だ証明なし）
635:１３２人目の素数さん
07/10/19 15:43:29
> ｎ階対角化functionalとHardy関数の順序数の増加との対応関係
>>387-388 ではだめですか？
636:有流才蔵
07/10/19 16:15:20
>>635
ダメ。証明がない。
637:有流才蔵
07/10/19 16:29:06
ただ、おそらくふぃっしゅ５こと対角マトリョーシカは
入れ子ｎの場合、H[ω＾(・・・（ｎ個）・・・＾ω）]
になっているものと思われる。
638:１３２人目の素数さん
07/10/19 19:32:45
今は消えているバード氏のサイトから、昔ダウンロードした
バード数のPDFファイルがハードディスクの中に残っていたので、
今更ですがどうぞ。
URLﾘﾝｸ(1rg.org)
639:有流才蔵
07/10/19 21:47:44
うーむ、プログラムがかけてしまった。
しかもこんなに簡単。ホントかよ・・・ＯＴＬ
def f(m,n,i)=if m=1 then if i=1 then n^n
else f(m,n^n,i-1)
else if i=1 then f(m-1,n,n)
else f(m,f(m-1,n,n),i-1)
640:１３２人目の素数さん
07/10/19 21:59:10
友達いないんだろうなぁ、コイツ……
641:１３２人目の素数さん
07/10/19 22:04:57
>>639
m>1, i>1だけ見ると、
f(m,n,i) = f(m,f(m-1,n,n),i-1)
ということだけど、2重帰納程度な希ガス。
分からんけど。
642:有流才蔵
07/10/19 22:15:26
>>641
実は毒ガスｗ
f(m,n,i)
= f(m,f(m-1,n,n),i-1)
= f(m,f(m-1,f(m-1,n,n),f(m-1,n,n)),i-2)
= f(m,f(m-1,f(m-1,f(m-1,n,n),f(m-1,n,n)),f(m-1,f(m-1,n,n),f(m-1,n,n)),i-3)
･･･
うかつに開くと死ぬｗ
643:１３２人目の素数さん
07/10/19 22:18:00
＞友達いないんだろうなぁ、コイツ……
友達いるなら数学は必要ないだろｗ
644:１３２人目の素数さん
07/10/19 22:36:43
>>642
g(n)=f(m-1,n,n)としたらf(m,n,n)=g^n(n)だからアッカーマン程度だよ。
645:5-714
07/10/19 23:21:40
どうもお久しぶりです。にわかに活気付いてきましたね。
もう自分の書いたλ式がどんな形だったかすら覚えていませんでしたが、
最近のやり取りを見ていたら思い出してきました。
で。質問なんですが
> (λx.x(λx.x(･･･(λx.x(λx.xx)x)･･･)x)x)
これはどうやって出てきたんでしょうか？
m_n m_{n-1} ... m_1 かと思いましたが、計算しても出てきませんでした。
646:１３２人目の素数さん
07/10/19 23:35:14
お久しぶりです。そろそろコテハンいかがですか？
ラムダなんてどうです？
（と、名無しの俺が言うなって？）
647:１３２人目の素数さん
07/10/19 23:54:01
>>627
ヒドラ・ゲームとHardy Function が理解できない超DQN（ｗ
>>636
有流才蔵の書くことに証明と呼べるものなど１つもない。
間違ったことを平気で主張する。
ただの占い師。
>>639
これはひどい。
648:１３２人目の素数さん
07/10/20 00:16:36
>642
そのまま開くアホｗ
文系中学生レベルｗ
うかつに開いて氏ねw
649:１３２人目の素数さん
07/10/20 02:29:14
>>639-644
アッカーマン程度のプログラムを書いてふぃっしゅ数バージョン５を
プログラムしたつもりになっていたとは。
つうか、これなんというプログラム言語？
専門書を読んだりして高度な「知識」を持ってはいるけれど、
その知識は正しく理解されていないから、使おうとしても間違った
使い方しかできない、ということだろうな。
だもんで、ふぃっしゅ数バージョン５をλ式などという何も
理解していないもので解釈しようとしたら、アッカーマン
プログラムができてしまったと。
結局、Hardyもヒドラもλ式もふぃっしゅ数も多重帰納も、
全部分かっていないのだと思う。それなのに、今までこれだけ
「分かった風な」書き込みを続けることが出来た、ということは
実に驚くべきことだけど。
650:１３２人目の素数さん
07/10/20 03:40:58
だって彼は日本で最も有名な「ネット数学者」の1人だもの
分かった風なことを書くことに費やした年季は凄いぞ
2chの過去ログを漁るだけでもそりゃもう出てくる出てくる
2chの外ですら「実はさっぱり分かってない半可通」と
本職の論理学者・数学者達に罵られ続けてはや幾星霜
651:有流才蔵
07/10/20 06:50:56
おお、キミがあのλ項を書いた人か。
>>645
＞もう自分の書いたλ式がどんな形だったかすら覚えていませんでしたが
以下がそう。
(6スレ)
＞37 ：5-714：04/05/02 19:43
＞ 帰納的関数を考えると扱いにくそうなので
＞ λを持ち出してみました。
＞ とりあえずm(n)は
＞ m(n+1)=λ f_n f_{n-1} ... f_0． f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0
＞ といったところでしょうか。
＞ そうするとm(n)m(n-1)…m(1)(x)の帰納性は出てくると思いますがどうでしょう。
652:有流才蔵
07/10/20 06:55:42
>>645
＞＞ (λx.x(λx.x(･･･(λx.x(λx.xx)x)･･･)x)x)
＞これはどうやって出てきたんでしょうか？
＞m_n m_{n-1} ... m_1 かと思いましたが、
＞計算しても出てきませんでした。
６スレ52にあった
m_1=λ f_0．f_0f_0
m_2=λ f_1f_0．f_0f_1f_0
・・・
m_{n+1}=λ f_n f_{n-1} ... f_0．f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0
から
m{n+1} ･･･ m_2 m_1
を計算すれば出る。やってみせよう。
653:有流才蔵
07/10/20 07:02:19
例えば
m_3 m_2 m_1
=(λfgx.xfgx)(λhy.yhy)(λz.zz)
=(λgx.x(λhy.yhy)gx)(λz.zz)
=(λx.x(λy.yhy)(λz.zz)x)
=(λx.x(λy.y(λz.zz)y)x)
>>630では文字を変えてなかったが、
上では混乱を避けるため文字を変えた。
654:有流才蔵
07/10/20 07:24:30
>>644
なるほど・・・>>639は失敗か。
よくみりゃ、高階関数を変換する形になってないからな（ｗ
ってゆーか、下手すると6-37すらアヤシイってことか？
655:有流才蔵
07/10/20 07:31:56
>>654
ああ、なるほど。>>645のいうとおりだ。ならんわ。
＞=(λx.x(λy.yhy)(λz.zz)x)
↑ここまではいいとして
＞=(λx.x(λy.y(λz.zz)y)x)
↑ここは誤り。カッコのかかり方を勘違いした。
うわぁ、だからおかしくなったのか・・・ＯＴＬ
656:有流才蔵
07/10/20 08:16:11
>>646
(5-714氏に)
＞そろそろコテハンいかがですか？
＞ラムダなんてどうです？
そうだな。なんかいい名前を考えてくれたまえ。
つーか、漏れはそろそろコテハン止めよう･･･ＯＴＬ
>>630のマトリョーシカも完全な凡ミスだし、そこで気づかず
>>639のプログラムで自爆。うーむ、半可通にふさわしい最期ｗ
まあ、しかし、この一週間、いろいろ楽しかったよ。
漏れが消えてからの進展について勉強させてもらったし
ふぃっしゅ５がＨ[ε_0]に肉薄するところまでいってる
こともなんとなく理解できた。そこにいたるまで数年分の
無理解と誤解を一挙にさらけ出すことにはなったがｗ
これで読者も積年の鬱憤を晴らせて満足だろう。
これが悪役の宿命というものだ。じゃあな。バイバイキーンｗ
657:１３２人目の素数さん
07/10/20 08:22:39
有流才蔵
名前の通り、煩いだけの存在だった･･･
658:１３２人目の素数さん
07/10/20 09:01:25
>>649
> 専門書を読んだりして高度な「知識」を持ってはいるけれど、･･･
> 結局、Hardyもヒドラもλ式もふぃっしゅ数も多重帰納も、
> 全部分かっていないのだ
てゆーか、今頃こういってるよ。
「ああ、あれってそういうことだったんだ！」
ある意味、これも釣りの一種かも。
659:１３２人目の素数さん
07/10/20 09:12:41
余談だけど、λ式はそんな難しくないよ。
ウィキペディアにも「ラムダ計算」の項目あるから読んでみ。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
660:１３２人目の素数さん
07/10/20 23:47:04
ふぃっしゅ関数Ver.5の計算をヒドラ・ゲームと対応づけた
パワーポイントを作ってます。
勉強会で発表できたらいいかな。
661:１３２人目の素数さん
07/10/21 01:53:26
会場に液晶プロジェクタはあるのかな？
662:１３２人目の素数さん
07/10/21 11:54:54
>>614
＞ヒドラ・ゲームなんてHardy Functionそのものじゃん。
正確にいえば、ε_0より小さい順序数opにおける
Hardy関数の計算をヒドラ・ゲームとして実現できる
ということかと。
この場合、ヒドラの首を切る行為がΛ(x)による対角化にあたる。
例：
H[ω^ω](n)
=H[ω＾n](n) （対角化)
=H[ω×ω＾(n-1)](n)
=H[n×ω＾(n-1)](n) （対角化）
…
=H[(n-1)×ω^(n-1)+…+(n-1)×ω+n](n)
=H[(n-1)×ω^(n-1)+…+(n-1)×ω](H[n](n)) (Hの性質より)
=H[(n-1)×ω^(n-1)+…+(n-1)×ω^2+(n-2)×ω+H[n](n))(H[n](n)) (対角化)
=H[(n-1)×ω^(n-1)+…+(n-1)×ω^2+(n-2)×ω)(H[H[n](n)]H([n](n))
…
上記の対角化はふぃっしゅ関数Ver5の高階関数の作用と同じであるので
ふぃっしゅ関数Ver5は、ε_0より小さい順序数opにおけるHardy関数と同じ。
663:１３２人目の素数さん
07/10/21 12:05:30
＞(Hardy関数の)対角化はふぃっしゅ関数Ver5の高階関数の作用と同じである
例えば
m3 m2 m1 n = H[ω^ω](n)
m2^n m1 n = H[ω＾n](n)
(m2^{n-1} m1)^n n = H[n×ω^(n-1)](n)
(m2^{n-1} m1)^n-1 ((m2^{n-2} m1)^n n) = H[(n-1)×ω^(n-1)+n×ω^(n-2)](n)
664:１３２人目の素数さん
07/10/21 15:46:56
nターン目に切ると高さn+1のヒドラに分裂する親ヒドラなるものを考えれば
ε_1まではいける。
665:１３２人目の素数さん
07/10/21 16:35:05
>>659
非常におもしろそうだが、いかんせん俺には難しすぎる……orz
666:１３２人目の素数さん
07/10/21 16:58:04
ヒドラ・ゲームって結局幅（ｘ）と高さ（ｙ）で考えると
首を切ってある枝のｙ部分を縮めると、
残り部分がｘ方向にコピーされるって発想。
ってことは、これを高次元化した拡大木（？）と
ｎ次元方向を切ると、ｎ－１次元以下がコピーされる
って方針で、結構いけるんじゃね？
667:１３２人目の素数さん
07/10/21 17:18:43
そう。結局、順序数を考えることと同じになるんだよ。
668:１３２人目の素数さん
07/10/21 20:28:35
URLﾘﾝｸ(www.cs.swan.ac.uk)
ここによれば、より大きな可算順序数を表記するにはより大きな基数を
用いる必要があるみたいなことが書いてあるので、>>389の方針がかなり
妥当なものと思われる。さらに、なんでもMahlo ordinalsなるordinalが
あるそうで、よくわからないがかなり巨大な順序数だと思われる。
詳しい方いましたら素人にもわかるように解説してもらえるとありがたい
のだが・・・
669:１３２人目の素数さん
07/10/21 20:51:27
「順序数を考える」という言い方は漠然としてる。
重要なのは極限順序数と基本列の関係。
670:１３２人目の素数さん
07/10/21 21:10:25
あと、基本列が何らかの意味で正規(canonical)なものである必要がある。
ちなみに"canonical"は"canon"から派生した言葉だが
canonとはもともと宗教における正典のことであり
広義には規準を指す。
671:１３２人目の素数さん
07/10/21 21:28:02
Veblen関数の意義は、Cantor normal formの拡張なので
その意味では、確かに重要かと思われる。
672:たろう
07/10/21 23:00:52
Hardy Function' を、
H'[0](n) = n
H'[a+1](n) = H'[a](n+1)
H'[A](n) = H'[A_(n+1)](n+1) ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
収束列を、
ω^(a+1) = lim ω^a ･n
ω^A = lim ω^A_n ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
b+A = lim (b+A_n) ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
と定義し、
ヒドラゲームの{ } の中の文字列を、
"[" + a + "]" ==> ω^a
b + a ==> b + a
"" ==> 0
※ヒドラゲームの{ } 内の文字列 ==> Hardy Function の順序数
※文字列の+で文字列の結合を表す
のように順序数に変換すれば、
ヒドラゲームと、H'[ω^x, +, 0で作られるε_0未満の順序数](n) の値は完全に一致する。
673:5-714
07/10/21 23:36:54
>>672 を参考にしつつ……質問というか確認というか。
何度か出ている Hydra と Hardy が同じというのは
Hydra : List -> N^N
Hardy' : Ord -> N^N
なんか変換 : List -> Ord
で作られる三角形が可換だという理解でいいんでしょうか。
674:１３２人目の素数さん
07/10/21 23:41:42
ヒドラは図をかけば簡単なんだがな・・
675:１３２人目の素数さん
07/10/22 00:09:04
ちなみにグッドシュタイン列が0に到達するのもε_0までの
超限帰納法で証明できる。グッドシュタイン列とは自然数を
カントール型n進表示し、nをn+1に置き換えたものから1を引く
ということを繰り返して得られる数列。
例えば初項を4として2進表示から始めた場合、0に到達するまでに
3*2^402653211-3ステップかかる。
4=2^2
→3^3-1=3^2*2+3*2+2
→4^2*2+4*2+1
→5^2*2+5*2
→6^2*2+6*2-1=6^2*2+6+5
...
...
→0
676:もやしっ子
07/10/22 02:20:28
＞会場に液晶プロジェクタはあるのかな？
多分ないです。公民館の集会場だと考えていただければ。
ノートPCなどあれば助かります。
677:１３２人目の素数さん
07/10/22 07:31:52
>>673
然り。ただ正確にはListではなくTreeだけど。
ω～ω^ω未満なら自然数のListであらわせる。
(n_1,n_2,…,n_n)→n_1*ω^n+n_2*ω^(n-1)+…+n_n*ω
ここで
((1))→ω＾ω
((1),(2))→ω＾ω＋ω＾（ω＾２）
((1、2))→ω＾(ω＾２＋２ω）
とすれば、ω＾ω～ε_0未満に対応するようにできる。
678:１３２人目の素数さん
07/10/22 07:47:38
＞収束列を、
＞ω^(a+1) = lim ω^a ･n
＞ω^A = lim ω^A_n ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
＞b+A = lim (b+A_n) ......（Aは極限順序数、A_nはその収束列）
＞と定義し、
３番目の規則から明らかではあるが
n*A = lim ((n-1)*A+A_n)
679:１３２人目の素数さん
07/10/22 07:51:27
誤 ((1),(2))→ω＾ω＋ω＾（ω＾２）
正 ((1),(2))→ω＾ω＋ω＾（２ω）
680:5-714
07/10/22 10:38:16
>>677
ありがとうございます
まだ詳細が整理できていませんが、後で考えてみます
681:１３２人目の素数さん
07/10/22 10:52:18
ふぃっしゅ関数Ver5の勝因が
高階関数（あるいは同値だが＾の段数）
に着目したことにあったとすれば
次のステージでも、Veblen階層に関して
自然数の範囲内でおさえられる性質
に着目すればよい。
で、そういう性質は･･･存在する。
Veblen関数をφ[α](β)であらわそう。
φ[0](0)＝1 を、"0の次の順序数"
φ[1](0)=φ[φ[0](0)](0)＝ε_0 を、"φなしではたどり着けない順序数"
φ[ε_0](0)=φ[φ[φ[0](0)](0)](0) を、"φ[]の[]内にφが１つしかない順序数ではたどり着けない順序数"
φ[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](0)を、"φ[]の[]内にφが高々２回入れ子になってる順序数ではたどり着けない順序数"
･･･と続けていくと
Γ_0はこのような入れ子の極限、つまり
φ[α](0)=α となる順序数
として表される。
682:１３２人目の素数さん
07/10/22 11:02:46
>>680
＞まだ詳細が整理できていませんが、後で考えてみます
ところで、もう２年も前のことなので、覚えてないかもしれませんが
6-317で、魚スキーさんが、ヒドラゲームとHardyの関係について述べた際
6-321で、5-714さんはレスでCantor normal formに言及されていたので、
そのあたりのことは、お二人の間では共通認識になっているに違いない
と思っていましたが・・・
683:１３２人目の素数さん
07/10/22 11:34:25
φ[ε_0](0)を、limφ[ω＾(･･･(ω＾ω)･･･)](0)としていいのなら、
これでうまく分解できそうな気がするが
684:5-714
07/10/22 12:01:26
>>682
ポインタをたどってみたらちょっと思い出しました。
hydra との対応は当時もどれだけフォローしていたか記憶がありませんが……
今読み返した印象だと問題にしているのは induction step での挙動みたいなので
base case を抽象化してやるとHb みたいな亜種を作らなくてもいいかもしれませんね。
685:１３２人目の素数さん
07/10/22 12:49:25
ナゴヤ氏とたろう氏は先に進んでいるが
このスレとしては計算できる関数のほうが
嬉しいので、まずΓ_0未満のpredicativeな
順序数に関するHardy関数に相当する、
ふぃっしゅ関数Ver5の拡張版を
誰でもいいから書いてみてほしい。
その人が、ふぃっしゅの次のチャンプということで。
もちろん、ふぃっしゅ氏がVer6を書けば、王座防衛。
いかがでしょうか？
686:ルート41
07/10/22 15:54:32
＞＞462の下数矢印表記と＞＞505の上数矢印表記を使用して名前を付けてもよい
くらいの数字が作れましたので、書きこみます。
復習をかねて下数矢印表記の定義から。（＞＞462を少し変えてます）
a↑0＝a
a↑b＝a＾a^a^・・・＾a ※＾の数がb個
a→b=a↑（a↑（・・・（a↑a) ※（ ）の数がb-1個
矢印回転以降は
ａ○ｂ＝ａ（ｂ/4回転↑）ａ
a◎b=a○（a○（・・・（a○a) ※（ ）の数がb-1個
a3重○b=a◎（a◎（・・・（a◎a) ※（ ）の数がb-1個
※以降は矢印の回転の代わりに、何重にするを使用。
a△b=a（b重○）a
a□b=a（b重△）a
と続けていきます。○△□の変化(ｎ角形）が2重帰納関数
3重帰納関数以降についてては
a☆b=a（b角形）a
a六方星b=a（B重☆）a
と展開していきます。
すると下数矢印表記だけでは3重帰納関数の表記も困難になります。
ｎ重帰納関数にいたっては、表記不能に近い。そこで途中の表記を飛ばし
ｎ重帰納関数を下数矢印表記では
① ａ～・ｂ と定義します。
3～・1＝3↑3 3～・2＝3○3
3～・3＝3☆3 3～・4＝3未定義3
687:ルート41
07/10/22 15:56:15
上記の下数矢印表記を踏まえて、上数矢印表記の定義に入ります。
下数矢印表記の○△☆を＞＞505の定義で上数矢印表記に変換します。
a○↑b=a←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a○↑↑b=a○↑（ａ○↑↑（ｂ-1））
a○→↑b=a○↑↑・・・↑※↑の数がb個
a○○↑b=a○←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a◎↑b=a○○・・・○↑a ※○の数がb個
a◎○↑b=a◎←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
a◎◎↑b=a◎○○・・・○↑a ※○の数がb個
a（3重○）↑b=a◎◎・・・◎↑a ※◎の数がb個
ｎ重○のｎを増やすことで2重のｎ重帰納関数を表記できます。
以降△□も同じ様に表記していきます。
ａ△↑ｂ＝ａ（ｂ重○）ａ
a△○↑b=a△←↓→↑・・・→↑a ※矢印記号がb個
ａ☆↑ｎのとき、ｎを増やすことでｎ重のｎ重帰納関数を表記できます。
上記の法則にのっとりa～・bを上数矢印で表記した値を
② a～・↑b で表記します。
※無量大数は上数では10＾262144となりますが。この値を下数で無量巨大数
とした場合、上数で無量巨大数は10＾（4×（2＾262140））となる。
を矢印表記で行うという事。
3～・↑1＝3↑3 3～・↑2＝3○↑3
3～・↑3＝3☆↑3
688:ルート41
07/10/22 15:57:18
ここまででも、それなりの大きさになりますが、更に
a～・↑b の値を下数矢印表記で a～・・b と表記
a～・・b を上数矢印表記で表記した値を a～・・↑b と表記
と①②を繰り返す事で大きな数を作っていけます。
そこで、①②をａ～・↑ｂ回繰り返したときの上数矢印表記の値を
a・～・b
で表記します。
この・～・表記を僕の好きな作品タイトルから取って
蒼穹表記と命名。また
9・～・9
を蒼穹数と命名します（総9のダジャレでもありますが）
なをa・～・bで①②をａ・～・ｂ回繰り返すとすればさらに大きくなりますが
同じ事の繰り返しになるので、上数矢印表記の利用はひとまず終了します。
689:１３２人目の素数さん
07/10/22 17:06:41
>>681
>>173のほうがはるかにわかりやすい。
690:１３２人目の素数さん
07/10/22 17:13:21
>>685
＞このスレとしては計算できる関数のほうが 嬉しいので
各limit ordinalに対してfundamental sequenceが定まっていれば
Hαは計算可能。
691:１３２人目の素数さん
07/10/22 17:36:51
>>689
>>681には>>173に書いてないことが書いてあるけど。
>>173
>+だけでは到達できない数をφ_0で定義し、
>+とφ_0だけでは到達できない数をφ_1で定義し、
>+とφ_0とφ_1だけでは到達できない数をφ_2で定義し、
>…とやっていって、最終的にはVeblen関数を何回使っても
>到達できない最小の数をΓ_0と定義していることになります。
これだとΓ_0がφを使ってどう下から表せるかがわからない。
>>681には書いてあるけどね。
692:１３２人目の素数さん
07/10/22 17:39:57
>>690
＞各limit ordinalに対してfundamental sequenceが定まっていれば
＞Hαは計算可能。
計算可能かどうかはfundamental sequenceの定め方によると思うけど。
693:１３２人目の素数さん
07/10/22 18:34:16
>>681
6-291, 6-655 に正確な定義を書いておいてある。
694:１３２人目の素数さん
07/10/22 18:42:39
>>668
> より大きな可算順序数を表記するにはより大きな基数を用いる必要があるみたい
必ずしもそういうわけではなくて、最初に大きな可算順序数の表記を作った人は
基数はどこにも用いていない。大きな可算順序数を作るには、大きな基数がある
と仮定すればわかりやすくなるというのは事実だけど。
695:１３２人目の素数さん
07/10/22 18:42:57
＞φ[0](0)＝1 を、"0の次の順序数"
＞φ[1](0)=φ[φ[0](0)](0)＝ε_0 を、"φなしではたどり着けない順序数"
＞φ[ε_0](0)=φ[φ[φ[0](0)](0)](0) を、"φ[]の[]内にφが１つしかない順序数ではたどり着けない順序数"
＞φ[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](0)を、"φ[]の[]内にφが高々２回入れ子になってる順序数ではたどり着けない順序数"
こんな説明では不十分だし、いまさらこんな不正確に定義しなおす必要は無い。
>>671の見解は正しい。CNFは0と＋とφ_0（0番目のVeblen関数）で有限に記述したもの、ということになる。
>>693の通り、定義＝6-292、基本列＝6-655で十分。
696:１３２人目の素数さん
07/10/22 18:43:53
＞最初に大きな可算順序数の表記を作った人
いったい誰のこと？
697:たろう
07/10/22 19:45:52
今のところの各部門でのトップ
A 具体的なアルゴリズムがわかるもの
Hardy Function + 多変数C1
B アルゴリズムを事実上調べる術は無いが計算可能なもの、概念のみ （あんまり意味ない）
>>430
C 厳密に定義可能なもの
>>538 の B[a](n) + 多変数C1
D 概念のみ
Hardy Function + >>575
こんな感じでしょうか。
698:１３２人目の素数さん
07/10/22 21:26:21
>>695
681は定義だとは書いてないけど。
＞こんな説明では不十分だし、
というか、こんな説明は6-655に書いてある、
っていえばいいんじゃない？
実際こう書いてあるし。
＞Γ_0 への収束列は
＞Γ_0[0]=φ_0(0), Γ_0[k+1]=φ_{Γ_0[k]}(0)
＞で定められる。
計算すれば、>>681で書いてあることと同じになるよね。
699:１３２人目の素数さん
07/10/22 21:49:07
>>697
順々に見ていこうかな
＞A 具体的なアルゴリズムがわかるもの
＞ Hardy Function + 多変数C1
これはどうかな？
H[ord] ord < ε_0に関しては、ふぃっしゅ関数ver5と同等。
H[ord] ε_0 =< ord < Γ_0に関しては、やればできそう。
H[ord] Γ_0 =< ord < ω1_CKに関しては、どうやればいいかようわからん。
H[ord] ω1_CK =< ord に関しては、正直無理な気がする。
順序数の定義ができればいいというわけではなく、
計算にあたってより小さな順序数に還元する
手順が示されなくてはならないと思うんだが。
700:１３２人目の素数さん
07/10/22 21:56:51
>B アルゴリズムを事実上調べる術は無いが
>計算可能なもの、概念のみ （あんまり意味ない）
> >>430
ごめん、これ何いいたいのかぜんぜん分からないや。
>C 厳密に定義可能なもの
> >>538 の B[a](n) + 多変数C1
単に集合論の意味での関数を言ってるのなら、
もうそれこそ際限なく大きな関数があると思う。
BBはむしろ計算不可能な関数の一種の下限と
考えられていることに意味があると思う。
701:たろう
07/10/22 22:01:37
>>699
書き方がまずかったかな。
多変数C1 は帰納的でない順序数も生成しますが、
C1(C1で生成した大きな順序数, 0) とすることで、
大きな帰納的順序数が作れます。
この大きな順序数とHardy Functionを組み合わせて作ります。
具体的には、
H[ C1(C1(1, 0がn個),0) ](n)
こんな関数。
具体的な収束列は、>>571 の多変数C1 のところに定義してあります。
702:１３２人目の素数さん
07/10/22 22:09:21
>D 概念のみ
> Hardy Function + >>575
これ、Cとの区別の仕方がようわからん。
思うんだけど、ここでいきなりω1_CKの先とか
そんなすごいことやんなくていいんだよ。
そうじゃなくて例えばΓ_0レベルでも、
ε_0レベルでふぃっしゅ氏がやったような
形まできっちり仕掛けが説明できれば、
そのほうが成果としては分かりやすいんだけどね。
703:たろう
07/10/22 22:14:08
>>700
B
>>430 を見ていただければわかると思いますが、
部門としてはあんまり意味が無いので、
見なかったことにしてください。
C
> 単に集合論の意味での関数を言ってるのなら、
> もうそれこそ際限なく大きな関数があると思う。
もちろんずっと大きな関数はあると思いますが、
このスレではこの程度しか厳密に定義されているものはありません。
もしずっと大きな関数をご存知でしたら教えていただけませんか。
704:たろう
07/10/22 22:29:26
>>702
C と D の違いは、
C:関数や数値として定義がされているもの
D:定義はされていないが、考え方が記されているもの
「きっちり仕掛けが説明できれば」というのは良くわかりません。
きっちり定義できればという意味なら、
部門が D ですので、厳密な定義はありません。
H[Γ_0](n) なら既に定義がいくつかあがっていて、
プログラムにもなっています。
その大きさが一般人でも理解できるような説明は私には出来ません。
枝分かれ部分が veblen と + との区別がある多進木で
図に書くことは出来るでしょうが。
705:１３２人目の素数さん
07/10/22 22:29:57
>>701
＞書き方がまずかったかな。
あれは順序数の作り方であって、
Hardy関数の計算の仕方ではないよなぁ。
706:１３２人目の素数さん
07/10/22 22:36:07
＞H[Γ_0](n) なら既に定義がいくつかあがっていて、
＞プログラムにもなっています。
いいんじゃない。それを書けば。
＞その大きさが一般人でも理解できるような説明は私には出来ません。
そんな説明は要らないよ。だってH[ε_0]のときだって誰もしてないよ。
＞枝分かれ部分が veblen と + との区別がある多進木で
＞図に書くことは出来るでしょうが。
肝心なのは順序数を図に描くことだけではなくて
計算の手順を、図的操作として示すことだな。
ヒドラ・ゲームというのはそういうことだよね。
結局H[ε_0]も、ふぃっしゅ関数Ver5もそれで
実は同じものなんだと理解されたわけだし。
707:１３２人目の素数さん
07/10/22 22:41:29
あと、Γ_0を超える範囲だって、ちゃんと図で表現できて
計算を図的操作で書けるというんなら、それを示せば
いいんじゃない？
順序数とかいったって、結局のところ元を自然数に写像して
しかるべき順序関係をつけたものに対して操作とかなんとか
いってるわけだから。
708:たろう
07/10/22 22:47:56
>>705,706,707
順序数の定義、それを構成する極限順序数の収束列
があれば、
Hardy関数にその順序数を入れた時の定義は十分と思います。
定義から計算の仕方はわかると思いますが、
定義が不明ですか？
それとも、定義はわかるが計算の仕方がわからない？
ヒドラゲームと似た考え方の、H[ψ(Ω^ω)](n) 相当の関数なら、
>>342 にあります。
多変数 C0 による多進木で順序数に対応する文字列を作っています。
709:たろう
07/10/22 22:55:34
H[ψ(Ω^ω)](n) 相当の関数はプログラムにもなっています。
>>571 のテキストの最後を見てください。
最適化しているので非常に見にくいとは思いますが。
710:１３２人目の素数さん
07/10/22 23:51:06
計算の仕方が示されてないとか言ってるのは単に
計算の仕方を理解できてないだけ。責任転換するな。
>>692
いや、基本列が定まれば計算できる。Hαが計算できないとしたら
それは基本列が定まっていないというだけ。
711:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/23 01:36:00
とりあえず、今はこれまでの議論を整理しているところです。
勉強会に向けて、今週中にPDF更新をアップしたいと思います。
しばらくは、あまり先の段階へ進めそうにないので、少しだけ
F6に向けて考えていることを書き留めておきます。
F6の第1段階は、たぶんこうなります。ただ、例によって
その評価がまだ出来ていません。
F5におけるm(n)の定義を拡張して、Mn変換m_1(n)を
m_1(n) f_{n-1}...f_1 f_0 := m(x) m(x-1)...m(n)f_{n-1}...f_1 f_0
ただし x = max(f_0,n)
と定義することをF6の手始めと考えます。
この時のm_1(n)の強さをどうやって評価するか。おそらく、
m_1(1)=F5(x): H[ε_0]
m_1(2): H[+ε_0] (Hardy の op に+ε_0する)
m_1(3): f_2がH[+α]の時にH[+ε_0*α]を生成
といった感じになると考えています。
m_1(4)以降の解釈が難しい。
H[α]からH[ω^α]への変換を与えるM2を定義できれば
H[ε_ω]までは一気にいけるのですが…。
712:１３２人目の素数さん
07/10/23 01:38:08
>>692 は、
αまでの基本列のシステムが recursive でなければ Hα が recursive とは限らない
と言っているのだと思うよ。
713:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/23 01:42:51
Fで書かないとだめだったかな。
m_1(1)=F5(x): F[ε_0]
m_1(2): F[+ε_0] (Hardy の op に+ε_0する)
m_1(3): f_2がF[+α]の時にF[+ε_0*α]を生成
Hの場合は…
m_1(1)=F5(x): H[ε_0]
m_1(2): H[×ε_0] (Hardy の op に×ε_0する)
m_1(3): f_2がH[×α]の時にH[×ε_0^α]を生成
といった感じかな？
714:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/23 01:50:19
> H[×α]の時にH[×ε_0^α]を生成
いやまて…もしそれが本当なら、m_1(3)^xでε_1が生成できて
しまうわけだけど、たぶんそんなことはないです。
ゆっくり考えてみます。
715:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/23 02:10:17
>>711-714の計算は、間違っていました。
>>387-388を元に計算すると、こうなります。
f2 ===> +α
f2 f2 ===> +α*2
f2^a ===> +α*a
m3 f2 ===> +α*ω
m3 f2 m3 f2 ===> +α*ω*2
m3 f2 m3 f2 m3 f2 ===> +α*ω*3
(m3 f2)^a ===> α*ω*a
m3 m3 f2 ===> α*ω^2
m3 m3 m3 f2 ===> α*ω^3
m3^a f2 ===> α*ω^a
m4 m3 f2 ===> α*ω^ω
m3 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω*ω
...
m4 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω^2
m5 m4 m3 f2 ===> α*ω^ω^ω
...
m_1 3 f2 ===> +α*ε_0
716:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/23 02:21:18
したがって、m_1(3)は
f_2がF[+α]の時にF[+α*ε_0]を生成
となります。なので、m_1(3)を繰り返しても
ε_1には到達しません。
+1 → +ε_0 → +ε_0^2 → … +ε_0^ω
程度です。
Hのopで言えば、
f_2がH[*α]の時にH[*α^ε_0]を生成
となると考えると、
*ω → *ε_0 → *ε_0^ε_0 → … *ε_0^ε_0^ω
といった感じでしょうか。
とりあえずここまで。
717:１３２人目の素数さん
07/10/23 08:10:57
>>708
＞定義から計算の仕方はわかると思いますが
わからないのでやってみせてください。
＞定義が不明ですか？
残念ですが理解できませんでした。
＞それとも、定義はわかるが計算の仕方がわからない？
残念ですがこちらも理解できませんでした。
申し訳ありませんが、実際にΓ_0でやってみせていただけませんか？
342は見ましたがふぃっしゅ氏の計算で、
ω^2でも>>346であきらめちゃってます。
でも、その後、まったくフォローされてないようですが。
718:１３２人目の素数さん
07/10/23 08:14:54
>>712
＞αまでの基本列のシステムが recursive でなければ
＞Hα が recursive とは限らない
そういうことです。
その場合、ω1_CKが限界点になるのだとは思いますが。
719:１３２人目の素数さん
07/10/23 10:10:11
>>717
今計算しなおそうとしてその前に記法の確認したら
基本的なところでよう分からん。
>>348
＞"0" => 0
＞"(0)" => 1
＞"((0))" => 2
＞"(((0)))" => 3
＞"((0)0)" => C0(1,0) => ω
＞"(((0))0)" => C0(2,0) => ω^2
でω+1とか２ωとかはどうなるん？
ω+1=(((0)0))
だと思うが、２ωが分からんなあ。
720:１３２人目の素数さん
07/10/23 10:36:39
>>719
仕方ないからSeqの計算みてやってるけど
２ω＝((0)(0)0)？
ホンマか？
つーか、Seq(((0)0),i)=(i)になるか
確認しようとおもたらでけへんやん･･･ＯＴＬ
721:１３２人目の素数さん
07/10/23 11:02:15
>>358
＞ >>338 のプログラムでは、F[ε_0](n)を超える
＞ F[φ_ω(0)](n)やF[ψ(Ω^(Ω+ω))](n)が
＞ いとも簡単にコーディングされていますが、
＞ このプログラムを理解できる人はいますか？
でけへんかった。なんか基本的に抜けが多いと思う。
>>347のアイデアは、要するに順序数の記法の取り扱いってことだよな。
それはええと思うんよ。でも、そのことと、たろう氏がそれを
実現できてるということとは全然別の話。
>>373
＞ >>338のプログラムを見ると、本当にこんなに短いプログラムで
＞ F[ψ(Ω^(Ω+ω))](n) を生成できるのかと、驚くばかりですが。
それはふぃっしゅ関数Ver5かて同しやと思うけどな。
まあ、ふぃっしゅ関数Ver5については、ようわかってきてるから
疑わんけど、たろう氏のプログラムが、ふぃっしゅ関数Ver5のレベル
ですら、ちゃんと実現でけてるのかは、今の時点では大いに疑わしいで。
722:１３２人目の素数さん
07/10/23 11:32:09
>>347
＞URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
＞順序数の生成にはこれを参考にしたC0を使っています。
ところで、これを書いた人について調べてみましたか？
ドミトロ・タラノフスキ(Dmytro Taranovski)は、
1983年、ウクライナのキエフ生まれ。
2005年に、MITで、数学の学士の学位を取得
だそうです。要するに元学生ってことです。
この人は結構な勉強家で他にも数学やら物理やら
に関して膨大なドキュメントをみつけました。
ただし学生の書いてることですから、どの程度
正確なのかわかりませんが・・・
723:１３２人目の素数さん
07/10/23 12:30:57
>>683
>φ[ε_0](0)を、limφ[ω＾(･･･(ω＾ω)･･･)](0)としていいのなら、
>これでうまく分解できそうな気がするが
参考まで
ε_0
=φ[φ[0](0)](0)
=φ[1](0)
=0,φ[0](0),φ[0](φ[0](0)),φ[0](φ[0](φ[0](0))),･･･
=0,1(=ω^0),ω，ω＾ω，・・・
724:１３２人目の素数さん
07/10/23 13:13:06
Hardy&Veblenだとこんな感じか
H[φ[φ[φ[0](0)](0)](0)](2)
=H[φ[ω](0)](2)
=H[φ[2](0)](2)
=H[φ[1]\2 (0)](2)
=H[φ[1] φ[0]\2 (0)](2)
=H[φ[1] φ[0](1)](2)
=H[φ[1](ω)](2)
=H[φ[1](2)](2)
=H[φ[0](φ[1](1)+1)](2)
=H[φ[0](φ[0](φ[1](0)+1)+1)](2)
=H[φ[0](φ[0](ω+1)+1)](2)
=H[φ[0](ω(ω+1)+1)](2)
=H[ω^(ω^(ω+1)+1)](2)
725:１３２人目の素数さん
07/10/23 13:20:26
ああ、なるほど。Hardyをベースにするんなら、
順序数をCNFに還元する計算ができればいいのか。
ということで、セカンドステージは、自然数から
"ふぃっしゅ関数Ver5のm1，m2，･･･による木の形をした関数"
への写像をつくればいいわけだ。
726:たろう
07/10/23 21:40:04
>>717
H[Γ_0] や H[ψ(Γ_(Ω+1))], H[ψ(Ψ)] の具体的な展開は
>>205 氏の Ruby のプログラムを使えばわかります。
>>719
順序数の和や積は可換でないので注意。
ω･2 = C0(1, ω) = C0(C0(0), C0(C0(0),0)) = "((0) ((0) 0))"
Seq(ω, 0) = Seq( C0(C0(0),0) ,0 ) = Seq( "((0) 0)" ,0 ) = "(0)" = 1
Seq(ω, i+1) = Seq( C0(C0(0),0) ,i+1 ) = Seq( "((0) 0)" ,i+1 ) = "(0" + Seq( "((0) 0)" ,i ) + ")" = Seq( ω ,i ) + 1
つまり、Seq(ω, i) = i+1
....【 （s = "(" + Ｘ + B + □ + a + ")" の形の時の式に対し、Ｘ = "", B = "(0)", a = "0" を代入 】
>>721
H[C0(1,0,0,0,0,0,0,0,0)](9) を実装しただけです。
ここまで小さくするのは非常に大変でしたが。
微妙に収束列やHardyFunctionの定義を変えてあります。
ordinal 構造体は９個のordinal 構造体へのポインタを持つので、
９進木ということになります。
ヌルポで順序数の0をあらわします。
HardyFunction は、再帰ではなくループで表現しています。
727:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/23 22:01:14
【ふぃっしゅ数バージョン6 - 暫定版 -】
[1] ふぃっしゅ数バージョン5と同様にMn 変換 (n=0,1,2,...)を定める。
[2] Mn変換 mn(a,b) (n≧1, a,b≧0) を以下のように定める。
mn(0,0) := ふぃっしゅ数バージョン5の定義における m(n)
mn(a,b+1) f_{n-1}...f_1 f_0 := mx(a,b) m{x-1}(a,b)...mn(a,b) f_{n-1}...f_1 f_0
mn(a+1,0) f_{n-1}...f_1 f_0 := mn(a, m_1(a,f_0) f_0)^{f_0} f_{n-1}...f_1 f_0
ただし x = max(f_0,n), f_n は Mnの元とし、
厳密な定義の構造はふぃっしゅ数バージョン5と同様にする。
[3] 暫定版ふぃっしゅ関数を以下のように定める。
F6(x) = m2(m1(x,0) x, 0)^x f (x); f(x)=x+1
[4] 暫定版ふぃっしゅ数 F6 := F6^63(3) とする。
==========================================
m1(0,a+1) ≒ H[ε_a] まではたぶん大丈夫ですが、狙いのH[Γ_0] が実現して
いるかどうかは、かなりあやしいです。暫定版なので、狙いが実現していな
ければ取り下げます。実現が確認できたところで確定版を作ります。
728:ルート41
07/10/23 23:54:16
>>686-688で定義した蒼穹表記をとりあえず自分でハーディ関数
Ｆ「εー0］（ｎ）まで変換してみたんですが、
ａ○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω］（ｎ）
ａ○→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω*ω］（ｎ）
ａ○↓→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾2］（ｎ）
ａ○←↓→↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾3］（ｎ）
ａ○○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾ω］（ｎ）
ａ○○○↑ｂ＝Ｆ［ω＾ω＾ω＾ω］（ｎ）
ａ◎↑ｂ＝Ｆ［εー0］（ｎ）
と予想に反して ａ◎↑ｂでＦ［εー0］（ｎ）に到達してしまいました。
このまま ａ△↑ｂ ａ□↑ｂ 更にａ☆↑ｂをハーディ関数に変換して
いくと、蒼穹表記 ａ・～・ｂ では物凄いことになりそうなんですが。
やはり、どこか計算間違いをしてるんですかね？
Ｆ［εー0］（ｎ）の後はまだ勉強不足で理解してないんですが。
729:１３２人目の素数さん
07/10/23 23:59:24
とりあえずナゴヤ関数Ver2で使用する順序数群について
一部定義をまとめました。
Ω_1 : 関数F[ ]とωのみで表せないときに使う順序数
Ω_n+1 : 関数F[ ]とω, Ω_1, ～ Ω_nで表せないときに使う順序数
として、
各順序数を使用した式は以下のように定義されます。
F[Ω_1](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](ω), φ_1 = ω)
F[Ω_(m+1)](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](Ω_m), φ_1 = Ω_m)
F[Ω_ω](ω) = lim( F[φ_n](ω) ) (φ_(n+1) = F[φ_n](Ω_x), φ_1 = Ω_x)
また、Ωの添え字を(1,0)以上とリスト形式に拡張させて
Ω(1, 0) = lim Ω_(φ_n) (φ_(n+1) = Ω_(φ_n), φ_1 = ω)
Ω_(Ω(1, 0) + 1) = lim Ω_(φ_n) (φ_(n+1) = F[Ω_(φ_n)](ω), φ_1 = F[Ω(1, 0)](ω) + 1)
Ω(1, n+1) = lim Ω_(φ_k) (φ_(k+1) = Ω_(φ_k), φ_1 = Ω(1, n) + 1)
Ω(m+1, n+1) = lim Ω(m, φ_k) (φ_(k+1) = Ω(m, φ_k), φ_1 = Ω(m, n) + 1)
と定義します。
さらに、リスト要素ω番目以降として、a番目要素の値が0の0_aは省略可能とし、
Ω(1_ω, 0_1) = Ω(1_x)
Ω(1_ω, a+1_1) = lim Ω(1_x, φ_k) (φ_(k+1) = Ω(1_x, φ_k), φ_1 = Ω(1_ω, a_1) + 1)
とします。
730:１３２人目の素数さん
07/10/24 00:02:31
順序数のためのHardy function
I[0](β)=β
I[α+1](β)=I[α](β+1)
I[λ](β)=I[λ_β](β) （λがlim(α→Ω) λ_αの極限順序数のとき）
Howard ordinal≒I[ε_(Ω+1)](ω)
731:１３２人目の素数さん
07/10/24 00:05:58
>>728
たぶん正しく計算してないと思われ。
もう一度慎重に計算してみましょう。
あとε_0の_（アンダーバー）はシフトキーを押しながら
ひらがなの「ろ」で変換できるよ。
732:たろう
07/10/24 00:14:35
>>727
たろうの予想は、
m1(b,a) ≒F[ε_(ω･b + a) + 1] ...ただし、b > 0
[2] の３行目は
mn(a+1,0) f_{n-1}...f_1 f_0 := mn(a, f_0) f_{n-1}...f_1 f_0
で十分な気がする。
733:5-682
07/10/24 00:30:32
>>729続き。
以降、
Ω(1_ω, a+1_1) = lim Ω((φ_k)_x) (φ_(k+1) = Ω((φ_k)_x), φ_1 = Ω(1_ω, a_1) + 1)
Ω(n+1_ω, 0_1) = lim Ω(n_ω, (φ_k)_x) (φ_(k+1) = Ω(n_ω, (φ_k)_x), φ_1 = Ω(ω_ω, 0_1) + 1)
Ω(1_(Ω_1), 0_1) = lim Ω(1_(φ_k), 0_1) (φ_(k+1) = F[Ω(1_(φ_k), 0_1)](ω), φ_1 = ω + 1)
Ω(n+1_(Ω_1), 0_1) = lim Ω(n_(Ω_1), 1_(φ_k)) (φ_(k+1) = F[Ω(ｎ_(Ω_1), 1_(φ_k))](ω), φ_1 = ω + 1)
のような形で進んでいきます。
734:１３２人目の素数さん
07/10/24 00:43:02
>>729
F[α](ω) の定義は？
735:１３２人目の素数さん
07/10/24 00:47:40
>>731
有流才蔵うざい
736:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/24 01:08:00
>>732
早いですね。では、早いですが>>727のふぃっしゅ数
バージョン6は取り下げます。
m1(0,a+1) ≒ H[ε_a]からH[η_0]を生成するために、
2変数目に関数をぶちこんで収束列を作ればいいかと
安易に考えましたが、f_0が連動してしまうので結局
定数でした。
やはり、通常の拡張方法をしている限りは、多変数化で
H[ε_{ω^ω}]、多重リストでH[ε_ε_0]が限界ですね。
>>418-419ではε_1の手前でうろついていたので、
それに比べれば大進歩です。
バージョン6は切りよくη_0かΓ_0にしたいので、
新しい着想が出るまでこのままもう少しあたためます。
737:ルート41
07/10/24 01:15:12
>>731
いろいろとアドバイスをありがとう。
ａ○↑ｂはｎ重帰納関数なので
ａ○↑↑ｂ＝ａ○↑（ａ○↑↑（ｂ-1））＝Ｆ［ω＾ω＊ω］（ｎ）
としたのがそもそも間違いだったのかな？
738:5-682
07/10/24 01:18:39
>>734
Ver1での定義と同じです。
F[α_ω](ω) = F[α_x](ω)です。
739:１３２人目の素数さん
07/10/24 01:21:46
>>202
質問があります。
収束列についてなんですが、たとえば
ψ_1(Ω)
だったら、まずΩに注目しますよね。Ω＝ψ_1(0)なのでψ_[δ+1](0)の形になっています
ので次は、これをxに置き換えた関数をf(x)とする
f(x)＝ψ_1(x)
つづいてδ=0なので、
α'_0=0, α'_(n+1)=ψ_0(ψ_1(α'_n))
つまり、
α'_0=0
α'_1=ψ_0(ψ_1(0))=ψ_0(Ω)
α'_2=ψ_0(ψ_1(ψ_0(Ω)))
……
です。
740:１３２人目の素数さん
07/10/24 01:23:49
>>739の続き
そして最終的に収束列は、β=1なので
α_0=0, α_(n+1)=ψ_1(ψ_1(α'_n))
つまり、
α_0=0
α_1=ψ_1(ψ_1(α'_0))=ψ_1(ψ_1(0))
α_2=ψ_1(ψ_1(α'_1))=ψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))
……
です。ここでα_1なんですが、ψ_1(ψ_1(0))=ψ_1(Ω)なのでこれは調べていた順序数
そのものになっています。
α_2はψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))=ψ_1(ψ_1(ψ_0(Ω)))ですが
ψ_1(ψ_0(Ω))＞ψ_1(0)＝Ωなのでもとの順序数より大きくなってしまいます。
定義どおりにしたつもりですがどこが間違っていますか？
741:１３２人目の素数さん
07/10/24 06:42:54
>>735
はずれ
742:１３２人目の素数さん
07/10/24 06:56:43
>>726
＞H[Γ_0] や H[ψ(Γ_(Ω+1))], H[ψ(Ψ)] の具体的な展開は
＞>>205 氏の Ruby のプログラムを使えばわかります。
消えたドキュメント参照してどうするｗ
743:１３２人目の素数さん
07/10/24 07:11:14
>>272に魚拓があったか。
744:たろう
07/10/24 08:13:01
>>742
もう消えてましたか。
展開の様子が順に表示されるすばらしいプログラムだったのですが。
>>272 では展開の様子を見ることは出来ません。
保存はしてありますが、勝手にアップしてはまずいでしょう。
>>205 氏が再び現れるのを待ちますか。
745:釣り人
07/10/24 09:00:30
どうも、釣り人です。
こちらに謎の巨大魚が現れたとか。
ちょっと見せてもらってもいいですか？
F5(n)=m_n m_{n-1} ･･･ m_1(n)
これですか･･･
･･･でも、なんかちっちゃくないですか？
なんつうか、イワシ程度というか･･･
あっ、御気に障ったらごめんなさい。
746:釣り人
07/10/24 09:05:46
要はnに対して本体の長さが同じnでしか伸びないのがいかんのだな。
まあ、これじゃ面白くないので、イワシをエサにしてマグロでも釣りますか。
まずは、ちょっと改造をば
F5改(l,n)=m_l m_{l-1} ･･･ m_1(n)
とりあえず、入力と本体の関数部の長さを分けてみました。
F5(n)=F5改(n,n)ってことです。
まあ、F5改の最初の引数のところに
何か増加する関数を入れれば
元のF5より大きくなるわけですが･･･
747:釣り人
07/10/24 09:12:20
実は本題はここからでして。
要はF5改の増加部に、F5改自身を入れてもいいかな、と。
F5改(F5改(n,n),n)
まあ、これがいいなら、こいつをさらにいれちゃってもいいかな、と
F5改(F5改(F5改(n,n),n),n)
つうことで、ここでマグロ君ことフィッシャーマン関数登場！
FM(n)=F5改(･･･(n回)･･･F5改(F5改(n,n),n))･･･,n)
で、これどのくらいの大きさだと思うかって？
そうだなあ・・・私、大口叩く趣味ないんですが・・・Γ_0行ったかな？
ま、万が一、大したこと無くても、"釣り"ってことで。
748:釣り人
07/10/24 09:19:34
おっ、ジャンボジェット747か。これは幸先いいな。
ま、あとは釣り糸を垂れて気長に待つとしますか。
なんか、ここではHardyだVeblenだと騒がしいようですが
私、そういうムズカシイことはようわかりませんので
聞けばここのヌシの巨大魚さんもゼロからお育ちになられたとか。
その強靭なる生命力、あやかりたいものでございます。
749:１３２人目の素数さん
07/10/24 09:30:12
>>747
また来たか。
F5改(F5改(n,n),n) < F5改(F5改(n,n),F5改(n,n)) < F5^2(n)
FM(n) < F5^n(n)
なので、ε_0程度。
750:１３２人目の素数さん
07/10/24 09:30:49
じゃなくて、ε_0+1 程度
751:１３２人目の素数さん
07/10/24 09:42:39
余計なお世話だけど、ふぃっしゅ数の拡張の前に、原始帰納とか
2重帰納の意味あたりを、もう一度よく考えて理解する方がいいと
思うんだな。
752:釣り人
07/10/24 09:57:54
>>749-750
はっはっはっは。+1ですか。これはキビシイｗ
>>751
こんなこというのもなんですが、
ワタシ、昨日のこともよく覚えてないんですよ。
だからまあ無理だと思いますねｗ。
753:１３２人目の素数さん
07/10/24 10:55:10
コテハン変えさえすればバカな自分を脱皮して
生まれ変われるかのように錯覚するのよくない
754:釣り人２人目
07/10/24 11:56:30
おやおや、はじめの人は玉砕ですか。
まあ、ちょっと虫が良すぎますよね。
私は、手堅く行こうかと思います。
まずはこんな関数から。
Phi[mt1](mt2){n}
基本的にVeblen関数φ[α](β)なんですけど
自然数の引数nを追加してみました。
mt1,mt2はm1，･･･，mnからなるツリーで、
出力も同じツリーで返します。
動作ですが
Phi[mt1](()){n}は、mt1を分岐ｎのヒドラゲームで分解して
m1が頭になる枝が現れるところまでやります。
で、m1が頭の枝が出たら
Phi[(mt* m1)](()){n}=Phi[mt*]（Phi[mt*](･･･Phi[mt*](()){n}･･･){n}){n}
と、Phiをn回反復させます。
で、一番中のPhiを評価して[]の中身が()になったら
Phi[()](){n}=(m1)
とすると。
（続く）
755:釣り人２人目
07/10/24 12:11:18
その後は
Phi[mt1](mt2){n}は、mt2をやっぱり分岐ｎのヒドラゲームで分解して
m1が頭になる枝が現れるところまでやります。
で、m1が頭の枝が出たら
Phi[(mt1* m1')]((mt2* m1'')){n}=
Phi[mt1*]（Phi[mt1*](･･･(Phi[mt1*](mt2) mt1){n}･･･){n}){n}
とやっぱりPhiをn回反復させます。
あとmt1が極限順序数なら、mt1をヒドラゲームで分解するとともに
()内の(mt2* m1)をPhi[mt1](mt2){n}に置き換えます。
で、一番中のPhiを評価して[]の中身が()になったら
Phi[()](mt2){n}は、mt2をそっくり１段繰り上げて下にm1を入れると。
まあ、こんな感じでいかがでしょうか。
756:釣り人２人目
07/10/24 12:18:01
最後にフィッシャーマン関数パート２を定義するのを忘れてました。
FM2(n)＝(Phi[Phi[･･･(n回)･･･Phi[()](()){n}･･･](()){n}](()){n})(n)
757:釣り人２人目
07/10/24 12:25:01
追伸
Phiは多分順序数ε0についての原始帰納的関数なのかと。
758:205
07/10/24 17:49:32
>>744
URLﾘﾝｸ(www.uploda.net)
再アップロードしました。中身は>>205と同じものです。
このプログラムについて著作権を主張するつもりはないので、
転載や改良は自由に行っていただいて構いません。
このプログラムで計算できるのは、>>110のFの方なので注意してください。
>>739
>>203の定義に沿って見ていくと、ψ_1(Ω)は
α=ψ_β(γ)(γは収束列の定義されていない非可算順序数)
でβ=1, γ=Ω=ψ_1(0)としたものになります。
ψ_[δ+1](0)をxに置き換えた後に関数を作るときは、
元々γだった部分をf(x)とするので、この場合はf(x)=xとなります。
そうすると、
α_0=0
α_1=ψ_1(0)
α_2=ψ_1(ψ_0(0))
α_3=ψ_1(ψ_0(ψ_0(0)))
…のようになります。
759:１３２人目の素数さん
07/10/24 19:42:21
ナゴヤ関数について質問
Ver1の最終的な定義はどれですか？
L[α](x) のxは自然数？自然数∪{ω}？順序数？
ナゴヤ関数で作った極限順序数のfundamental sequenceは定義されていますか？
L[10](ω), L[10](ω+1), L[ω](ω)
のfundamental sequenceはそれぞれどのように定義されていますか？
760:１３２人目の素数さん
07/10/24 21:10:14
>>758
> >>203の定義に沿って見ていくと
誰が定義したの？205自身？
761:１３２人目の素数さん
07/10/24 21:17:20
有流才蔵うざい
762:１３２人目の素数さん
07/10/24 21:37:16
>>761
またはずれ
763:たろう
07/10/24 22:35:24
>>728
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9[３重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω･2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω･3)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω^2+1)](n)
9～・↑n ≒ F[ω^ω^ω](n)
9～・・↑n ≒ F[ω^ω^ω^ω](n)
9・～・n ≒ F[ε_0](n)
強引に解読するとこんな感じかな。
764:１３２人目の素数さん
07/10/24 22:48:49
捨てたコテハンで呼ばれると
別人だと言い張るのは松本君の病気
765:たろう
07/10/24 22:49:18
>>763 差し替え
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9○→↑n ≒ F[ω^ω+ω](n)
9○↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^2](n)
9○○↑n ≒ F[ω^ω･2](n)
9○○○↑n ≒ F[ω^ω･3](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9[３重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω･2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω･2+1)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^(ω･3)](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω･3+1)](n)
9～・↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
9～・・↑n 以降はよくわからん。
766:5-682
07/10/24 23:57:12
>>759
Ver1の最終的な関数の定義はF[ω_x, ・・・ , 0_2, 0_1](x)です。
L[α](x)のxは普通の自然数です。
質問での各定義については
L[10](ω) = L[9](φ_ω) (φ_n+1 = L[9](φ_n), φ_1 = ω)
L[10](ω+1) = L[9](L[10](ω))
L[L[ω](ω)](x) = L[L[x](ω)](x)
となります。
767:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/25 02:10:06
F6≒H[η_0]ができそうです。とりあえず概要を記します。
>>727の取り下げられたF6の定義で、
H[ε_a] ができましたが、ここから先に進む為には、
H[ε_a]→H[ε_{a+1}]の演算を定義する必要があります。
ところが、m1(0,a)→m1(0,a+1)の変換はm1(0,a)単体
ではできません。
そこで、集合M[m,n]を考えます。
M[0,n]はF5のMnと同じ。
M[m+1,1]はM[m,1],M[m,2],...の元の無限集合。
M[m,1]は、そこに含まれるM[0,1]の元の関数の働きもします。
M[m,n+2]はM[m,n+1]の元からM[m,n+1]の元への変換とします。
そして、M[m,n]の元m(m,n)を定めて行きます。
m(1,1)=[m(1),m(2),...]
m(1,2)[a1,a2,...]=[b1,b2,...]
bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
ここで y=max(x,n)
とすることで、
m(1,2)m(1,1)≒H[ε_0]
m(1,2)^2 m(1,1)≒H[ε_1]
m(1,2)^3 m(1,1)≒H[ε_2]
といった演算が定義できるので、m(1,3),m(1,4)...を
F5のm(n)と同様に定義することで、F5と同様の構造で
m(1,x) m(1,x-1)... m(1,1) ≒H[ε_ε_0]
となります。
768:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/25 02:11:04
以下、m(m,n)を同様に定めて行くと、
m(2,2)m(2,1)≒H[ε_ε_0]
m(3,2)m(3,1)≒H[ε_ε_ε_0]
の収束列ができて、
m(x,2)m(x,1)(x)≒H[η_0]
になると思います。
4スレ846の発想でH[η_0]まで行きました。
769:１３２人目の素数さん
07/10/25 06:45:57
>>764
なんか精神を患ってる奴いるね。
770:１３２人目の素数さん
07/10/25 07:11:49
η_0＝(ε_ε_…ε_0)ってのは…φ[2](0)か。
確かε_0がφ[1](0)だったな。ということは、
η_η_…η_0がφ[3](0)か。いやはやこりゃ大変だ。
で、今気づいたんだが、εとかηとかつかう代わりに
φ[1]、φ[2]、…にしてるってわけか。頭いいな。Veblen。
771:１３２人目の素数さん
07/10/25 07:30:33
ふぃっしゅ関数Ver5の方針ってのは、結局
ｎレベル：自然数
ｍ１レベル：ωの肩に自然数が乗ってる
ｍ２レベル：ωの肩にｍ１レベルの順序数が乗ってる
・・・とやってきて、結局
ε_0：ωの肩の順序数が自分自身と同じである最小の順序数
となるところまでやり続けるってことだよな。
同じ理屈で、いくなら、
φ０レベル：φ[]の[]内の順序数がφが現れない(つまりε0以下)
φⅠレベル：φ[]の[]内の順序数がφ０レベル
φⅡレベル：φ[]の[]内の順序数がφⅠレベル
・・・って感じかな。これなら
Γ_0：φ[]の[]内の順序数が自分と同じである最小の順序数
までいけそうだわな。
772:１３２人目の素数さん
07/10/25 08:21:01
>>766
> Ver1の最終的な関数の定義はF[ω_x, ・・・ , 0_2, 0_1](x)です。
定義はどこにかいてありますか？
> L[α](x)のxは普通の自然数です。
L[α](ω)やL[9](L[10](ω)) という記述があるので定義域は自然数じゃないとおもいますが。
> L[10](ω) = L[9](φ_ω) (φ_n+1 = L[9](φ_n), φ_1 = ω)
これはどこを見れば書いてありますか？
φ_ωの定義がありませんが、
L[10](ω) = lim L[9](φ_n) という意味ですか？
> L[10](ω+1) = L[9](L[10](ω))
これはどこを見れば書いてありますか？
fundamental sequenceは何になりますか？
> L[L[ω](ω)](x) = L[L[x](ω)](x)
これはどこを見れば書いてありますか？
L[ω](ω) の直接的な定義は出来ないのですか？
L[ω](ω) はrecursiveな順序数ですか？
773:１３２人目の素数さん
07/10/25 11:10:38
>>772はウルサイゾウではないよｗ
ところで205のプログラム動かしてみた。
試しにH(Γ_0,2)やってみたけど
φの定義に忠実にやってるね。
でも、この当りでももう収拾がつかない感じだな。
ふぃっしゅVer5みたいに
「簡単な定義でお手軽な巨大化！」
なんて幸せな時代は終わったのかもね。
774:１３２人目の素数さん
07/10/25 12:13:02
>>773
大丈夫、質問のレベルを見ればだいたい分かる。w
775:１３２人目の素数さん
07/10/25 12:35:25
>>774 思い込みって人をとことん狂わせるんだなぁ。ｗ
776:１３２人目の素数さん
07/10/25 12:36:09
さて･･･
777:Ur-Psycho
07/10/25 12:36:40
ところで、Kleeneの記法みたいに、極限順序数を
基本列を構成する関数のゲーデル数を用いて表せば
ω1_CK以下の順序数についてH[ω1_CK]は計算できる。
というか、実際には逆で、基本列がゲーデル数で表せない
最小の順序数がω1_CK。
つまり、これだけではなにもいったことにはならんわけだが。
778:Ur-Psycho
07/10/25 12:39:54
誤：ω1_CK以下の順序数についてH[ω1_CK]は計算できる。
正：ω1_CK以下の順序数ordについてH[ord]は計算できる。
779:１３２人目の素数さん
07/10/25 13:57:48
>>775
いや、そうじゃなくて、>>773がウルサイゾウじゃないってことが
分かるってこと。
780:１３２人目の素数さん
07/10/25 15:06:02
>>779
いや、そうじゃなくて、「分かってる」の貴方一人だけだから
781:もやしっ子
07/10/25 16:28:03
こんちは。巨大数勉強会、会場確定しました。
文京区シビックセンター5階 研修室B(定員24) 設備：白板
URLﾘﾝｸ(www.city.bunkyo.lg.jp)
11/3(土) 13:00～17:00
参加費 0円
現時点の参加予定者
・もやしっ子
・ふぃっしゅしゅ
・たろう
・前回参加者 1名(スレッドには参加してない・素人) 計 4名
(敬称略)
現地集合、現地解散です。事前連絡して頂いた方はシビックセンター
展望台に13:00集合でお願い致します。
ねぎ姉さんTシャツを着ていくので目印代わりに捕まえてください。
URLﾘﾝｸ(negineesan.fc2web.com)
782:もやしっ子
07/10/25 16:28:35
(続き)
基本オープンなので、「覗いてみたい」という方があれば、当日会場に
直接来ても平気です(多分)。だめだったら携帯からメール下さい。
LAN環境は無いと思われるので、ノーパソから無線で飛ばせる環境が
あると助かります。参考書と研究室とWikipediaを多用する可能性があるので…
グラハム数が何なのかわからんという方も、アッカーマンがわからんという
方も、ふぃっしゅVer.1がわからんという方も、その先がなんやねんという方も、
計算理論や極限順序数を叩き込んでくれる先生もこぞってご参加ください。
ちなみに僕は順序数あたりからやばいので、今後初心者に噛み砕いて
説明するために質問魔になる予定です。
よろしくどうぞ。
783:１３２人目の素数さん
07/10/25 17:14:27
>>781-782
この間ヒドラ・ゲームとふぃっしゅ関数の関係について
ｐｐｔで説明しようかなと申した者です。
まあ、それはできそうなんですけど、その後関心が
Veblen関数に移ってきまして、今、拡張ヒドラ・ゲーム
のようなものを考えようとしてるんですが、まだ
オリジナルのヒドラ・ゲームほどクリアになってません
ので、そちらのほうは、発表できるかどうか・・・
784:ルート41
07/10/25 17:40:30
＞＞765
どうも計算ありがとうございます。
Ｆ［ω］（ｎ）の計算方法の一覧表みたいになって、解りやすかったです。
ω＾ωの作成手順を全く理解して降りませんでした。
＞＞686-688での説明があまりに省略しすぎたので、9◎↑ｎ以降は理解
してもらえなかったみたいですね。正直説明悪すぎました（反省）。
一応自分で計算しなおした結果
9☆↑ｎ≒Ｆ［ω＾ω^ω］（ｎ）
9～・↑ｎ≒Ｆ［ε_0］（ｎ）
蒼穹表記 9・～・ｎはＦ［ω＾ω］（ｎ）をＦ［ε_0］（ｎ）に変換することを
Ｆ［ε_0］（ｎ）回行ったのに相当します。（ω→ω→（ω↑↑ω））に相当
ついでにω・～・ωを蒼天数（総て天空のダジャレ）と命名
まあ、このスレは宇宙の彼方も越えてるですけどね。
785:もやしっ子
07/10/25 18:21:07
>>783
僕の手には余りまくりなので、矢のように質問すると思います。
長いこといますが基本素人です。
おさらいだけで2時間くらいいきそうな気もしなくも…
786:１３２人目の素数さん
07/10/25 20:30:58
Wikipediaの記述を整理したので
備忘録として書いておこう。
Veblen関数 φ[α](β) の定義
φ[0](0) =1
φ[0](β) =ω^β
φ[α+1](0) =0,φ[α](0),φ[α](φ[α](0)),…
φ[α+1](β+1) =φ[α+1](β)+1,φ[α](φ[α+1](β)+1),φ[α](φ[α](φ[α+1](β)+1)),…
φ[α+1](γ) =φ[α](γ_0),φ[α](γ_1),φ[α](γ_2),…
φ[η](0) =φ[η_0](0),φ[η_1](0),φ[η_2](0),…
φ[η](β+1) =φ[η_0](φ[η](β)+1),φ[η_1](φ[η](β)+1),φ[η_2](φ[η](β)+1),…
φ[η](γ) =φ[η](γ_0),φ[η](γ_1),φ[η](γ_2),…
α,β：順序数
γ,η：極限順序数
(γ_0,γ_1,γ_2,…:γの基本列）
(η_0,η_1,η_2,…:ηの基本列)
787:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/25 21:23:30
>>767
訂正します。
誤 bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
正 bn f{n-1}...f1(x) := ay a{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
788:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/25 22:15:24
F6をη_0にしたので、F7はΓ_0を目指す事になります。
そのためには、φ[a](0)→φ[a+1](0)の演算を定義する必要があります。
それから、φ[φ[a](0)](0)→φ[φ[a+1](0)](0) の演算を定義して、と
再帰構造を作れれば、Γ_0に達します。
φ[1](0)→φ[2](0) が出来たのだから、同じ様にすれば
φ[3](0) が出来て、φ[a](0)→φ[a+1](0) の定義もできそうに見えます。
ただ、話は若干複雑になっています。
φ[1](0) に相当するm(1,2) m(1,1)から、φ[2](0) に相当する
m(x,2) m(x,1) が出来たわけですが、このm(x,2) m(x,1) をどう
扱うか、ということです。xの変数は、関数の生成には使えますが
η_0^η_0^... を作成するためには、関数だけではだめで一連の
変換も伴わないといけません。もしかすると、M[a,b]の元を要素に
持つ集合、とか考えないとならないかもしれません。
色々考えれば、やってできないことはないと思います。
とりあえずΓ_0は作ってみたいので、そのうちやります。
結局、より大きな順序数を作る作業を、より大きな集合の概念を
作ることに置き換えている、ということになりそうです。
順序数を大きくしていくときには、それまでの順序数を定義に用いる
ことで複雑さを増しています。集合の概念を使う場合には、それまでの
集合を元に持つ集合を定義することで複雑さを増して行く、という
ことです。より高階の概念を定義することで関数の増大度を増す、
というのがふぃっしゅ数の当初からの基本方針です。
789:772
07/10/25 22:35:56
過去ログを読んだけど
ナゴヤ数のL[α](x)はまだまともに定義できてないんだな
＞ということはVeblen関数を多変数に拡張してもF[ε0](ω)には
＞足元にも及ばないと思われます。
こんなことをかいてるわりには
＞120の定義、＞123の定義、＞124の定義を使うと
L[ε0](ω)はΓ_0よりずっとちいさい
Ver2の前にVer1の定義をまとめなよ
790:たろう
07/10/25 23:09:24
>>784
どこが違うのかわかりません。
以下のどこまで合っててどこからが間違ってるか教えていただけませんか？
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
9○→↑n ≒ F[ω^ω+ω](n)
9○↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^2](n)
9○←↓→↑n ≒ F[ω^ω+ω^3](n)
9○○↑n ≒ F[ω^ω･2](n)
9○○○↑n ≒ F[ω^ω･3](n)
9○○○○↑n ≒ F[ω^ω･4](n)
9◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)](n)
9◎○↑n ≒ F[ω^(ω+1)+ω^ω](n)
9◎○○↑n ≒ F[ω^(ω+1)+ω^ω･2](n)
9◎◎↑n ≒ F[ω^(ω+1)･2](n)
9[３重○]↑n ≒ F[ω^(ω+2)](n)
9[４重○]↑n ≒ F[ω^(ω+3)](n)
9[５重○]↑n ≒ F[ω^(ω+4)](n)
9△↑n ≒ F[ω^(ω･2)](n)
9□↑n ≒ F[ω^(ω･2+1)](n)
9[５角形]↑n ≒ F[ω^(ω･2+2)](n)
9[６角形]↑n ≒ F[ω^(ω･2+3)](n)
9☆↑n ≒ F[ω^(ω･3)](n)
9[六方星]↑n ≒ F[ω^(ω･3+1)](n)
9～・↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
791:たろう
07/10/25 23:31:11
>>767
> bn f{n-1}...f1(x) := fy f{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
これは、
bn f{n-1}...f1(x) := a{y} a{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
の書き間違いですか？
間違いでないなら、fy, f{y-1}, ..., f{y+1} は何ですか？
792:たろう
07/10/25 23:38:07
>>787 に書いてありましたね。
失礼しました。
793:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/26 00:29:37
F6については、今清書中です。
金曜日か土曜日に、PDFのアップデート版を出すので、その中に
記述しておきます。
794:ルート41
07/10/26 02:27:23
＞＞790
再計算どうもすみません。
まず、＞＞765を見て僕がωの計算を早合点してました。
9◎○→↑n ≒ F[ω^(ω+1）+ω＾ω)](n)=Ｆ［ω＾（ω+1）*2］
と計算してました。9～・ｎではとてもε_0まで行きません。
＞＞686-688の説明不足については、
ａ［2重△］↑ｂ＝ａ△△…△↑ｂ ※△がｂ個
ａ［2重△］［2重△］↑ｂ＝ａ［2重△］△△…△↑ｂ ※△がｂ個
ａ［3重△］↑ｂ＝ａ［2重△］…［2重△］↑ｂ ※［］がｂ個
が抜けてました。□や五角形、ついでに☆も同じです。
ａ☆↑1＝ａ↑ａ ａ☆↑2＝ａ○↑ａ ａ☆↑3＝ａ△↑ａ
も抜けてましたが、こちらは全体に影響しないですね。
僕の再計算では
9～・↑ｎ≒ｆ［ω＾ω＾ω］（ｎ）
9・～・ｎ≒ｆ［ε_0］（ｎ）
となりましたが、さすがに自信が無い。
あと、なんでａ～・↑ｎでなく、9～・ｎと書いてるのか不思議
に思ってたんですが。考えてみれば僕が総9のダジャレと
書いてたんだから、9～・ｎと書くほうが正しいですよね。（笑）
795:１３２人目の素数さん
07/10/26 06:40:27
>F6をη_0にしたので、F7はΓ_0を目指す事になります。
今の調子ではη_0=φ[2](0)からいきなりΓ_0は無理だな。
φ[2]版をF6.1とすれば
次の中間目標はφ[ω]か(F6.2)
そんでもってその後φ[ε_0](F6.3)
で、ここから最終目標のΓ_0へスパート
796:１３２人目の素数さん
07/10/26 07:12:33
>>786をみて、
φ[0](β+1)=ω^(β+1)
を、ω^βであらわす形に変えようとおもったらこんなのが
ω＾(β+1) =ω＾β*ω=0,ω＾β,ω＾β*2,…
ヒドラゲームっていっても、要はこれが基本なんだな。
797:１３２人目の素数さん
07/10/26 09:42:51
>>796
>ω＾(β+1) =ω＾β*ω=0,ω＾β,ω＾β*2,…
あと、これも必要か。
ω＾γ＝ω＾γ_0,ω＾γ_1,ω＾γ_2,･･･
γ：極限順序数
(γ_0,γ_1,γ_2,…:γの基本列）
特に
ω＾ω＝1,ω＾１,ω＾2,･･･
798:１３２人目の素数さん
07/10/26 11:05:00
>>794
レス番号表記は全角の＞＞ではなくて半角の>>で書いてほしいな。
さて、
>>790では9～・↑n ≒ F[ω^ω^2](n)
>>794では9～・↑n ≒ F[ω^ω^ω](n)
となっているので、まずは>>790の計算でどこまでが同じでどこから
違うのかを書くべきでないかな。
>>688については、
a～・↑b の値を下数矢印表記で a～・・b と表記
a～・・b を上数矢印表記で表記した値を a～・・↑b と表記
とあるけれど、下数矢印表記したものを上数矢印表記に戻したら、
a～・・↑b = a～・↑b と元に戻らないの？
799:１３２人目の素数さん
07/10/26 12:38:56
>>190-191
なんでΩ(非可算順序数)を使うのか不可解だったがやっと分かったよ。
要するに、非可算であることは全く使ってなくて
単に"不動点"に依存しないように、どんな帰納的順序数も
届かないようなトンデモナイところにあるΩを
不動点の代わりとして使ってるだけじゃん！
800:１３２人目の素数さん
07/10/26 13:05:57
帰納の意味がよく分からない。
Ωが帰納的に届かないということと、ω1^CKとはどういう関係なの？
両方とも「帰納的に届かない」順序数だけど、前者よりも後者の方が
ずっと大きいはずで、帰納的という意味の使い方に違いがあると
思うんだけど、そのあたりどうなってるの？
801:１３２人目の素数さん
07/10/26 13:35:37
>>800
Ω＝ω1_CKとしてもいいと思うが。
つまり違わない。
802:１３２人目の素数さん
07/10/26 13:39:59
＞前者よりも後者の方がずっと大きいはずで、
逆。Ω=ω1とするなら、ω1_CKよりずっと大きい。
ちなみにCKは指数ではない(Church_Kleeneの頭文字）
ただしωをどちらにしても役割は変わらん筈。
803:１３２人目の素数さん
07/10/26 13:41:36
>>802
誤：ただしωをどちらにしても役割は変わらん筈。
正：ただしΩをどちらにしても役割は変わらん筈。
804:ルート41
07/10/26 13:47:55
>>798
＞＞は単純ミスなので以降気をつけます。
>>790の計算は9△↑ｎまでは同じで9□↑んから違う訳ですが
その事もまず書くべきでしたね。なるべく長文にならないように
言葉を削ったため、必要な文が抜けてました。
さて、>>688については、
ａ～・・ｂ を上数矢印表記に変換した値を ａ～・・↑ｂと表記
と書くべきだったかな。計算上は
ａ～・↑ｂ＝ａ～・・ｂ ａ～・・↑ｂ＝ａ～・・・ｂ
となります。
805:透明人間
07/10/26 14:07:59
>>798
[ω^ω^ω]
806:１３２人目の素数さん
07/10/26 14:42:41
Veblen関数
初出 2005/08/27(土) 6-292
計算可能な方法 2007/01/08(月) 7-114
ψ
初出 2007/01/27(土) 7-190～192
計算可能な方法 2007/01/28(日) 7-195～196
Church-Kleene順序数
初出 2007/05/19(土) 7-273
で、少なくともψの部分と、おそらくVeblenに関する
今年になってからのカキコは7-203(=7-205)によるものか？
807:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:36:45
>>787
bn f{n-1}...f1(x) := ay a{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
ただ伸ばすだけではε_1は実現できない。
ヒント：枝
808:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:44:15
ヒント出すくらいだったら自分で書いてみたら。
じゃないと、またあの人だと思われるよ。
そんな気もするけど。
809:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:49:14
>>808
＞自分で書いてみたら。
Veblen関数の定義に書いてあるよ。
φ[1](n)で計算してごらん。
じゃないと、あの人みたいになるよｗ
810:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:50:17
やっぱりそうか。
811:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:52:05
>>810
ｗ一つ確信すんなよ･･･イタイ椰子
812:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:54:16
自分では何も書かずに、さも分かっているかの様に
「計算してごらん」とかで誤摩化すのは、あの人しかない。
813:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:56:03
>>812
定義に従って計算すればサルでもわかるって。
なにキレてんだ？●違いが。
814:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:57:06
サル以下の私には分からないので、ぜひ計算を書いてください。
おながいします。
815:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:57:59
定義は>>786に書いてあるぞ。
代入すれば計算できるぞ。
816:１３２人目の素数さん
07/10/26 16:59:24
定義が理解できないサル以下の存在には
このスレどころか数学板自体が無意味だが。
817:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:01:14
計算結果を見れば、"枝"は一目瞭然なんだが。
818:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:05:41
静かになったな。
諦めて計算したか。
何でも自分でやるのが一番だ。
他人に教わって気づくのは楽しくない。
819:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:23:39
φ[1](1)
=φ[1](0)+1,φ[0](φ[1](0)+1),φ[0](φ[0](φ[1](0)+1)),･･･
なるほど。"+1"が枝というわけか。
820:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:24:48
早く、一目瞭然の枝を見せてみそ。
サル以下の存在なので、よろしこ。
821:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:26:35
なんだ、そんなことか。
それならそう書けばいいのに。
822:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:37:41
>>821
＞なんだ、そんなことか。
なんだ、そんなことも自分でみつけられなかったのか。
＞それならそう書けばいいのに。
君、考えないとバカになるぞ。あ・の・ひ・と・み・た・い・に・なｗ
823:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:43:01
ツリー構造とか流行っていたから、枝っていうからもっと
大きな枝かと思ったよ。
ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)なんて、ε_1の定義そのままだから、
そんなことふぃっしゅ氏が知らないわけないじゃん。
そんな当たり前の計算をもったいぶる方がずっと異常だ。
824:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:51:18
＞枝っていうからもっと大きな枝かと思ったよ。
言い訳ばかりに頭を使うと賢くなれないぞ。
＞ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)なんて、ε_1の定義そのままだから、
＞そんなことふぃっしゅ氏が知らないわけないじゃん。
根拠なしの決め付けばっかりだとバカになるぞ。
＞そんな当たり前の計算をもったいぶる方がずっと異常だ。
そんな当たり前の計算一つできず、知ってる知識から
結果一つひねりだせないなんてまったくあ・の・人・そ・っ・く・りｗ
825:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:55:05
>>824
＞そんなことふぃっしゅ氏が知らないわけないじゃん。
知ってるとしても>>787には反映されていないのは確かだな。
826:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:58:12
要するに、>>807で
ただ伸ばすだけではε_1は実現できない。
ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1) だから。
と書けば、807が言いたい事が伝わった訳だ。
そんなことなら、はじめからさっさとそう書け、ということ。
ただ。807には
bn f{n-1}...f1(x) := ay a{y-1}...an f{n-1}...f1(x)
の計算が書かれていないので、ε_1が実現できるかできないかは
分からないけど。
827:１３２人目の素数さん
07/10/26 17:59:15
>>825
そんなこと、>>787の計算をしないでどうして分かるの？
828:１３２人目の素数さん
07/10/26 18:15:56
>>827
＞そんなこと、>>787の計算をしないでどうして分かるの？
そんなこという前に、計算すれば？
829:１３２人目の素数さん
07/10/26 18:17:30
なんだ、計算してなかったのか。計算してないのに、
よく>>825みたいに断言できるね。
830:透明人間
07/10/26 18:33:56
>>823
^ω^
リアルでもこれほど熱い議論が交わされれば
いいのにねぇ・・。内容はともかく。
831:１３２人目の素数さん
07/10/26 18:35:10
いいかげん>824があの人による高度な釣りなんじゃないかと思えてくる
832:１３２人目の素数さん
07/10/26 18:39:39
とりあえずデジャブ
833:透明人間
07/10/26 18:43:23
ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)
⇒ ^ω^ に見えて仕方ない。どうでもいいけれど。
>>ALL
「自分以外バカ時代」をリアルに経験できる
貴重な掲示板ですな。
834:１３２人目の素数さん
07/10/26 18:46:57
>>833
^ω^ のネタは何度か出てるよ。
835:１３２人目の素数さん
07/10/26 18:50:27
それにしても、スレの流れがはやくなって来たな。
週末にはスレが埋まるか？
836:たろう
07/10/26 19:15:58
>>794
>>763 が正しかったんですね。
見直したときに別の定義だと思い込んじゃったみたいです。
>>806
veblenの収束列は前スレ >>655 が初かな。
veblenの２重リストの２変数限定版に拡張したのは >>125。
837:たろう
07/10/26 19:21:37
多変数veblenの定義は以下になる。
----多変数veblen----
□ : 0個以上の0
Ｘ : 0個以上の順序数
a, b : 順序数
A, B : 極限順序数 （A_n, B_n : 収束列）
φ(□) = 1
φ(Ｘ, A, □) = lim φ(Ｘ, A_n, □)
φ(Ｘ, b+1, □, 0) = lim { 初項 0 / ２項目以降 φ(Ｘ, b, １個前の項, □) }
φ(Ｘ, b+1, □, a+1) = lim { 初項 φ(Ｘ, b+1, □, a)+1 / ２項目以降 φ(Ｘ, b, １個前の項, □) }
φ(Ｘ, B, □, a+1) = lim φ(Ｘ, B_n, □, φ(Ｘ, B, □, a)+1)
φ(□, a+1) = lim { 初項 0 / ２項目以降 １個前の項+φ(a) }
この後 >>389 や >>571 のC_n とおなじように進化させることができる。
838:透明人間
07/10/26 19:22:43
>>834
あんがとよ。先輩！
839:１３２人目の素数さん
07/10/26 19:23:16
上数と下数の往復でε_0に達するしくみがよく分からない。
9～・↑n ≒ F[ω^ω^ω](n)
9～・・↑n ≒ F[ω^ω^ω^ω](n)
といった感じで増えるのであれば、タネはω^ω^ωでなくても
9○↑n ≒ F[ω^ω](n)
ここから上下運動を繰り返せばε_0に達する、ということ？
840:透明人間
07/10/26 19:47:55
>>839
>ここから上下運動を繰り返せばε_0に達する、ということ？
[ω^ω^ω] 知ったかぶり。というか全くわからないが
三角関数のように波が描けて、上の波と下の波の振幅が
ε_0になるのでは？
841:たろう
07/10/26 20:05:01
（ちゃんと確かめたわけではないが）
下数定義で F[a] 程度の関数は、上数定義で F[ω^a]程度になり、
下数定義で F[ω^a] 程度まで拡張し、その拡張を上数定義に行えば、
F[ω^ω^a] 程度になり、
これを繰り返せば、F[ε_0] に到達する。
という程度のこと。
具体的な拡張方法が書かれているわけではない。
842:１３２人目の素数さん
07/10/26 20:15:09
なるほど。下数定義で F[a] 程度の関数は、上数定義で F[ω^a]程度に
なることを示せるかどうか、ですね。ならないかもしれませんが。
それが確かめられれば、スタートは上数で最小の関数でもいいわけですね。
ω^aを繰り返せば、結局ε_0に到達しますから。
そのあたりから、実際に計算してみてはいかがでしょうか？＞ルート41さん
843:１３２人目の素数さん
07/10/26 20:37:54
>>836
訂正版
Veblen関数
初出 2005/08/27(土) 6-292
計算可能な方法 2006/04/10(月) 6-655
独自の改変は割愛します。
844:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/26 21:00:15
明日中には、F6の定義と計算が入ったPDFをアップするのでしばらくお待ちを。
計算は、かなり複雑です。特に、ε_0からε_1へ至る計算は複雑です。
ε_1=ω^ω^..^(ε_0+1)の基本列ではなくて、ε_1=ε_0^^ωを使っています。
845:１３２人目の素数さん
07/10/26 21:20:06
巨大な可算順序数に興味があります。
＞たろう氏
>>571のテキストについてですが、とりあえずC0+Ωまでは理解しましたが、
次の多変数C1がわかりません。疑問点は定義の３行目以降についてです。
deg a ＜ [Ｘ, b+1, □]とかdeg f = [Ｘ, b+1, □]はどういう意味でしょう？
それと◇など新しい記号が出てきますがそれも不明です。
なんか急に複雑さが増したように思いますが・・・
あと、できればいくつか具体例を出して説明していただけますか？
846:ルート41
07/10/26 23:17:37
>>842
>>686の下数矢印表記の定義より
ａ↑ｂ＝ａ↑↑ｂ≒Ｆ［0］（ｎ）
※最初は0か1か良く解らないでのでとりあえず0を使用。
ａ→ｂ＝ａ↑↑↑ｂ≒Ｆ［1］（ｎ）
ａ↓ｂ＝ａ↑↑↑↑ｂ≒Ｆ［2］（ｎ）
ａ←ｂ＝ａ↑↑↑↑↑ｂ≒Ｆ［3］（ｎ）
ａ○ｂ＝ａ（↑＾ｂ）ａ≒Ｆ［ω］（ｎ）
>>505と>>687の上数矢印定義より
ａ↑ｂ＝ａ↑↑ｂ≒Ｆ［0］（ｎ）
ａ→↑ｂ＝ａ（↑＾ｂ）ａ≒Ｆ［ω］（ｎ）
ａ↓→↑ｂ＝ａ→→ｂ≒Ｆ［ω＾2］（ｎ）
ａ←↓→↑ｂ＝4重帰納関数≒Ｆ［ω＾3］（ｎ）
ａ○↑ｂ＝ｎ重帰納関数≒Ｆ［ω＾ω］（ｎ）
下数の方は間違ってるかもしれません。
ａ～・ｂからａ～・↑ｂの変換は>>763の計算の通りです。
たろう氏の書いてるように具体的な拡張方法（正確に定義された関数）
ではありません。基本的には命数法の一万の一万倍は一億、
一億の一万倍は1兆程度の事しかしてないわけです。
そのため蒼穹関数ではなく蒼穹表記と僕は書いております。
847:5-682
07/10/27 00:40:54
たまにこのスレもレス集中しますね。
例のあの人はやはりウr(ry
・・・て、余計にネタ振るとさらに荒れるのでやめとこう。
ええと、今更ですが
>>772の質問には悪いけど答えづらいですね・・・。
＞L[α](ω)やL[9](L[10](ω)) という記述があるので定義域は自然数じゃない
()の中はxは自然数、ω（又はλなど）は順序数と定義しているだけです。
＞φ_ωの定義がありませんが
説明不足でしたがlim L[α](φ_n) = L[α](φ_ω)と考えていいです。
これからはφ_ωに統一します。
＞これはどこを見れば書いてありますか
うーん、そのまま式を書いたとおりとしか答えようがありませんが・・・。
一般的にはλを順序数（の式）として、
L[a](λ+1) = L[a-1](L[a](λ))、 L[λ_ω](x) = L[λ_x](x)
と定義しています。
L[a](ω) = λ_aとおくと、
L[L[ω](ω)](x) = L[L[x](ω)](x)
が成り立つことになります。
L[ω](ω) はω*ω、ω^2などと同じく帰納的です。
それでもわからないなら
自分の書き方表現がわかりづらくて下手だと言っておきます。