07/09/11 20:59:50
これがなぜ、どの2重帰納よりも大きい3重帰納となるか。
それは、157に書かれている通り、
f(x,*,*), f(x+1,y,*), f(x+1,y+1,z) からxを落とすと
f(y,*), f(y+1,z) 、すなわち f(y, f(y+1,z)) の2重帰納が出てくる。
つまり、f(x,y,z) は、xを1つ増加させる毎に、y,zに関する
2重帰納をしている。したがって、2重帰納を有限回(n回)施して
得られるどんな2重帰納関数よりも、x>nの時点で大きくなるが
ために、3重帰納関数はいかなる2重帰納関数よりも大きくなります。
これは、アッカーマン関数がいかなる原始帰納関数よりも大きい
ことの説明と同じで、アッカーマン関数が原始帰納関数を枚挙
するがごとく、3重帰納関数が2重帰納関数を「枚挙している」
ということです。
Hardy 関数では、2重帰納の操作 ω^2 を枚挙することで、
ω^2, ω^2+ω^2, ω^2+ω^2+ω^2, ..., ω^3
の収束列が得られる、ということに相当するのでしょう。