07/09/10 20:19:23
>>355一番大切な事書くの忘れてました。
Ａ～・Ｂの表記のＢは何種類目の記号が使われたかを表しています。
Ｂ＝100なら100種類目の記号という意味です。巨大数を表す場合、
なんらかの記号を使って標記すので、最終的にはその記号の数を数える
のが最も大きな数になるという考えから～・を考案したのです。
ただこのままだと、ほとんど反則なので＞＞355では一番解りやすい
→→の法則で次の記号を定義しました。（もともとＡ～・Ｂは絶対
に表記出来ない数がある事の証明で作ったので、Ｂ＝100なら100種類
の記号を必ず使います） 説明下手ですいません。
あと途中の式ですが、これは
ａｂｃｄの自然数において
ｎ＝ａ→→ｂ＞（ａ＾ｂ）→→（ｃ＾ｄ）＞ｂ＞ｄ＞ｃ＞ａ
が成り立つ時のｎは少なくとも3→→1025より大きい数のとき
であるの応用で作りました（ｎの最小値がいくらは、僕にわ
解らないです。誰か計算できるひといませんかね）
358:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/10 20:48:34
ちなみに、>>338 のプログラムでは、F[ε_0](n)を超える
F[φ_ω(0)](n)やF[ψ(Ω^(Ω+ω))](n)がいとも簡単にコーディング
されていますが、このプログラムを理解できる人はいますか？
おそらく、基本的には>>347のアイデアを使っているのだと
思います。私としては、順序数の収束列をこのように多重帰納
関数の様な形で定義できる、ということが驚きで、いまだ理解に
至っていないのですが…。
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
こちらのページを見ても、C(Ｘ, B, □, a)を導く一般式、のような
ものは書かれていないように見えますし。やはり、なぜ>>347の
式で順序数の収束列を定義できるか、という点については解説
していただかないと、私だけではなく皆さん理解できないのでは
ないでしょうか？
359:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/10 20:59:32
ふぃっしゅ数の大きさについては、
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここの58で、m(3)がF(x,y,z)=F(x-1,F(x,y-1,z),F(x,y-1,z)) で
あらわされました。この関数が真の三重帰納か、それとも実は
二重帰納か、という議論があったとは思いますが、いずれにしても、
m(n)は良くて多重帰納、もしかすると二重帰納になる気がします。
F[ε_0](n)になるというのは、落ち着いて考えると過大評価しすぎ
なような…。
また、m(3)が三重帰納であれば、s(n)はm(3)で生成される程度の
関数ですから、それよりも小さく、二重帰納程度です。
360:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/10 21:00:03
そうすると、チェーンはs(2)程度、チェーン回転、バードはs(3)程度
であることが分かっているので、いずれも二重帰納で、
m(n)が多重帰納であるとすれば、
Knuthの上矢印 3(↑^n)3 ≒ F[ω](n)
Ak(n, 3) ≒ F[ω](n)
ふぃっしゅ数バージョン1のSS変換：F[ω^2](n)
n個のnからなるConwayのチェーン ≒ F[ω^2](n)
ふぃっしゅ数バージョン2のSS変換：F[ω^2](n)
チェーンの回転 ↑n (3,3,3) ≒ F[ω^2](n)
バード数の定義の X_n(a) の入れ子操作n回 ≒ F[ω^2](n)
ふぃっしゅ数バージョン3のs(n)変換：F[ω^2](n)
ふぃっしゅ数バージョン５のm(3) ≒ F[ω^3](n)
真の三重帰納関数 ≒ F[ω^3](n)
例: A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
真の四重帰納関数 ≒ F[ω^4](n)
例: A(w+1,x+1,y+1,z+1)=
A(w,A(w+1,x,A(w+1,x+1,y,A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y,A(w+1,x+1,y+1,z)),A(w+1,x+1,y+1,z))
真のn重帰納関数 ≒ F[ω^ω](n)
ふぃっしゅ数バージョン５のf5(n) ≒ F[ω^ω](n)
こんな感じになるのではないでしょうか。
361:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/10 21:01:03
もし、m(n)が二重帰納だよ、ということになれば、>>360で
真の○重帰納関数以外は、すべてF[ω^2](n)でした、という話に
なると思います。
>>311が正しいのか、それとも本当は>>360のような感じなのか。
そして、それはHardy関数を正確に計算することではっきりする
ものなのか。
Hardy で関数の大きさが整理できるといっても、正確に計算
しようとするとけっこう大変ですね。
362:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/10 21:50:11
さてさて、順序数の議論は高度でなかなかついていけずにいますが、
議論の雰囲気を読むと、Hardy + 順序数による巨大数の定義は、
canonical sequence の取り方が１つに保証されないε_0以上の
世界は、関数が１つに定まるかどうか不明という点で、きっちりと
定義された関数、あるいは数の仲間入りをさせていいかどうかと
いう疑問がまだ残っています。
そんなこんなで色々と昔を思い出していると、やはり多重帰納は
強力なので、なんとかして多重帰納を本質的に強める方法はないか、
と考えてしまうわけですが…。
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここの184によって、n重帰納関数 A_n(a_n,...,a_1) を定義する。
ただし、A_1(x)=f(x)、g(x)=A_x(a_x,...,a_1)とすることで、
関数 f(x) から 関数 g(x) への写像が定義される。
この写像は、f(x)=x+1という関数をF[ω^ω]クラスに持って行く
だけの力を持った写像である。
この時に、生成された多重帰納関数に対してこの写像の適用を
繰り返すとどうなるか。
363:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/10 21:51:37
>>362
(1) F[ω^ω] のまま変わらない
(2) F[ω^(ω+1)], F[ω^(ω+2)], ... F[ω^(ω*2)]
(3) F[ω^(ω*2)], F[ω^(ω*3)], ... F[ω^(ω^2)]
(4) F[ω^(ω^2)], F[ω^(ω^3)], ... F[ω^ω^ω]
(5) F[ω^ω], F[ω^ω^ω)], ... F[ε_0]
良くて(3)あたりだと思うのですが…どうでしょう。
この写像をM2変換としたふぃっしゅ数V5を考えたところで、
F[ε_0] までは到底到達しない…のでしょうね。本質的に強める
ためには、更なる工夫が必要かな。
364:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/10 23:29:14
>>362
> ただし、A_1(x)=f(x)、g(x)=A_x(a_x,...,a_1)とすることで、
ただし、A_1(x)=f(x)、g(x)=A_x(x,x,...,x)とすることで、
でした。
365:１３２人目の素数さん
07/09/11 06:44:31
>>353
すいません、書き方がまずかったです。
Hardy Functionはもちろん計算可能ですのでもちろんF[ε_0](x)はBB以下になります。
単にPAではProvably recursiveでない最小のものということですね。
過去スレに（一般的な？）多重帰納関数の例がでてきたときに順序数なしでは
これが最強だと思っていたのでF[ε_0](x)レベルのものは無理なんじゃないかと
勝手に思っていたので、ふぃっしゅ関数ver5がこれに至っているということに懐疑的に
なっていました。
しかし、ふぃっしゅ関数ver5がF[ω^ω](x)（＝H[ω^ω^ω](x)）に至っているというだけ
でも個人的にはすごいことだと思います。
>>362
＞ε_0以上の世界は、関数が１つに定まるかどうか不明
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここの>>655に定義の例が書かれています。
366:366
07/09/11 19:36:39
√(36)=6
367:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/11 20:53:22
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
このスレッドを読み直しているところですが、ふぃっしゅ数バージョン５
(F5)は多重帰納関数以上、ということでどうやら良さそうです。
まず、58の式はm(3)1回で生成されるs(1)に相当するm(2)がアッカーマン
であることを示している式です。それは当たり前のことで、
>>359のようにm(n)が二重帰納ということにはならないわけですが、
そのあたりで本人が錯誤をしていました。
m(n)の威力はm(3)からではなくm(4)からはじまりますが、
m(4)の計算をした63を見ただけでは、まだ2重帰納か多重帰納かは
よく分からない。
368:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/11 20:54:41
そこでまず、3重帰納の定義は、76,155,182をまとめて
3重帰納関数
f(x+1,y+1,z+1) = f(x,f(x+1,y,f(x+1,y+1,z)),f(x+1,y+1,z)))
が3重帰納である所以は、
f(x+1,y+1,z+1) が 3-term でそのなかに現われる f は
f(x,*,*), f(x+1,y,*), f(x+1,y+1,z) という形であり、
ただし、f(0,y,z) はこの定義で 2-term の形で定義される。
ということです。ここで、f(x,*,*), f(x+1,y,*), f(x+1,y+1,z) とは
(1) f(x,*,*) の * に f(x+1,y,*) を入れる
→ f(x,f(x+1,y,*),f(x+1,y,*))
(2) この式の * に f(x+1,y+1,z) を入れる
→ f(x,f(x+1,y,f(x+1,y+1,z)),f(x+1,y+1,z)))
という意味です。
369:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/11 20:59:50
これがなぜ、どの2重帰納よりも大きい3重帰納となるか。
それは、157に書かれている通り、
f(x,*,*), f(x+1,y,*), f(x+1,y+1,z) からxを落とすと
f(y,*), f(y+1,z) 、すなわち f(y, f(y+1,z)) の2重帰納が出てくる。
つまり、f(x,y,z) は、xを1つ増加させる毎に、y,zに関する
2重帰納をしている。したがって、2重帰納を有限回(n回)施して
得られるどんな2重帰納関数よりも、x>nの時点で大きくなるが
ために、3重帰納関数はいかなる2重帰納関数よりも大きくなります。
これは、アッカーマン関数がいかなる原始帰納関数よりも大きい
ことの説明と同じで、アッカーマン関数が原始帰納関数を枚挙
するがごとく、3重帰納関数が2重帰納関数を「枚挙している」
ということです。
Hardy 関数では、2重帰納の操作 ω^2 を枚挙することで、
ω^2, ω^2+ω^2, ω^2+ω^2+ω^2, ..., ω^3
の収束列が得られる、ということに相当するのでしょう。
370:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/11 21:03:54
さて、ここで多重帰納の本質を理解する必要があります。
そこで、あらためて自分が書いた 146-147 を読み直してみると、
どうやらそんなに間違ったことを書いてないです。
s(2)が2重帰納である、というところまでは良しとして
(F5のs(n)はF3のs(n-1)に相当する)、この説明の中でキーと
なるのは、「s(3)が2重帰納の操作を荒い意味で枚挙する」
という表現です。
s(3)の定義は
s(3)f(x)=(s(2)^x)f(x)
となりますが、
s2(n,x)=(s(2)^n)f(x)
と書いた時に、s(2)は2重帰納の操作をあらわしているので、
2重帰帰納をm回施して得られるどんな2重帰納関数よりも、
n>mの時点で大きくなります。このように、s2(x,x)は
2重帰納を枚挙する3重帰納となります。
したがって、s(3)は3重帰納の操作となります。
そうすると、s(n)は同様にn重帰納となります。
いやはや、皆様（分かる人には）分かっていたことを、
ようやくもって本人が理解できた、というところでしょうか。
371:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/11 21:06:02
>>367->>369の考察により、>>360は撤回します。
>>311の前半にふぃっしゅ数Fを加えて
Knuthの上矢印 3(↑^n)3 ≒ F[ω](n)
Ak(n, 3) ≒ F[ω](n)
n個のnからなるConwayのチェーン ≒ F[ω^2](n)
F5のm(2)n回 ≒ F5のs(1)n回 ≒ F[ω^2](n)
チェーンの回転 ↑n (3,3,3) ≒ F[ω^3](n)
F5のs(2)n回 ≒ F3のs(1)n回 ≒ F1,F2のS変換n回 ≒ F[ω^3](n)
バード数の定義の X_n(a) の入れ子操作n回 ≒ F[ω^3+ω+1](n)
F5のs(3)n回 ≒ F3のs(2)n回 ≒ F2のSS変換n回 ≒ F[ω^4](n)
5変数Ak ≒ F[ω^4](n)
多変数Ak Ak(n個のn) ≒ F[ω^ω](n)
F5のs(n) ≒ F3のs(n) ≒ F[ω^ω](n)
F5のm(4) = F5のm(3)n回 ≒ F[ω^ω](n)
ここまでは理解できました。
372:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/11 21:14:50
>>311の後半は、まだ理解できていません。
ふぃっしゅ数考案者の希望的観測としては、>>292のように
Ak を２重リストに拡張、Ak([n個のn], [n]) ≒ F[ω^ω^ω](n)
F5のm(5) ≒ F[ω^ω^ω](n)
F5のm(6) ≒ F[ω^ω^ω^ω](n)
F5のf5(n) ≒ F[ε_0](n)
となればいいかな、と思いますが、はたしてそうなるかどうか。
考案した本人も、その大きさを評価できずにいます。
373:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/11 21:33:46
>>365
なるほど。スレッド6の655におけるα<Γ_0 が φ_β(γ) (β,γ<α)の
定義を見ると、このような形できれいに記述できるのであれば、
>>347-350のように順序数の定義を帰納的に記述できて、
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
ここのordinal, stronger ordinal といった表現を簡潔に与える
ことができるとしても、不思議はないような気がしてきました。
とはいえ、>>338のプログラムを見ると、本当にこんなに短い
プログラムでF[ψ(Ω^(Ω+ω))](n) を生成できるのかと、驚くばかり
ですが。それが、計算可能の意味するところといえばそうですね。
374:ルート41
07/09/12 20:26:43
稚拙な質問で申し訳ないですが・・
ＢＢ関数の定義が計算出来るどんな関数より大きな関数という事
らしんですが。無限大に増加する関数以外は全て計算出来る関数
だとしたＢＢ関数は存在しない関数、もしくは大きい事が証明出
来ない関数になると思うんですが。
実際のところＢＢ関数はそこらへんの事はどうｸﾘｱｰしてるんですか？
375:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/12 21:33:18
>>374
> 無限大に増加する関数以外は全て計算出来る関数
無限大に増加する関数y=xは計算できます。
「ある値を代入したときに無限大になる」という
意味でしょうか？だとしたら、BB関数の値は有限
ですが有限時間内に計算できません。
> ＢＢ関数は存在しない関数
BB関数は存在します。しかし、その値を有限時間内に
計算ができません。
> 大きい事が証明出来ない関数
「あらゆる計算可能な関数よりも大きい」という
「大きい事」に関しては、証明ができます。
「どのくらい大きいか」を具体的に計算は出来ません。
さて、
自分の中で、曖昧だった多重帰納の概念がようやくはっきり
したので、これまでのまとめの文章を作ろうと考えていますが、
しっかり作るとかなりの大作になりそう…。
その次の段階ですが、ハーディーを使って、バージョン5よりも
大きな関数がどんどん構成されるようになってきたので、
いよいよバージョン6を考えてみようかという気にもなって
きました。ふぃっしゅ数の特徴である高階集合の定義で、
ハーディーでいうところのどのあたりまで到達できるだ
ろうか、というのが目標です。
376:ルート41
07/09/12 22:21:43
>>375 解答ありがとうございます。
無限大に増加する関数とは、例えばｆ（0）＝0 Ｆ（1）＝1 ｆ（2）＝∞
という意味で書きました。極端にすればｆ（0）＝0 ｆ（極限に小さい数）＝∞
僕的には∞＝∞＾∞＝∞↑↑∞と考え、∞になるものは大小の比較は出来ないと
考えていたもので。
ＢＢ関数の定義は有限時間で計算すると理解します（あと、人間の能力で
も入るかもしれませんが）
377:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/12 23:32:11
ＢＢ関数の定義は、有限時間内で計算できない定義です。
ただし、定義によって有限の数が定まる事が保証されています。
人間の能力は無関係です。
ここから先は、BBの定義そのものを理解しないとどうしようも
ないといえばないのですが、たとえばBB(10)を計算したいとします。
定義にしたがって計算すると、BB(10)の値となる候補が次々と
計算されます。その候補の値は、計算時間がたてばたつほど
大きくなります。真の値BB(10)は必ず存在しますので、
その値に到達する時も来るでしょう。ただ、その計算された値が
BB(10)であるという保証が出ません。保証が出ないという事は、
計算が終了しないということです。計算時間が増えるにつれて、
どんどん候補の値が大きくなるけれど、どこで「本当のBB(10)」
に到達したかを知り得ることができないので、有限時間内に
計算が終了しない、つまり計算できない、ということになります。
378:１３２人目の素数さん
07/09/13 00:33:55
いまさらなんですが、ふぃっしゅ数ver.5の最終的な定義はどれなんでしょうか？
過去スレを見ても何度も変更されているし、途中で話がそれてしまっていて
わからないのですが・・・
379:ルート41
07/09/13 18:23:59
>>377
ＢＢ関数が存在するという事は今の所理解出来ませんが、僕がＢＢ関数を
理解してないという事は理解しました。（ＢＢ関数の公式てあるのかな？）
ちなみに＞＞376の様になる関数には
Ｙ＝Ｎ＾∞や Ｙ＝Ｎ＾Ｙ（Ｎ≠1なら単に成り立たないともいえるが）
が有ります。
あと、ふぃっしゅ数については、僕はまだ理解していませんが、存在して
いる事はわかります。
380:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/13 19:46:14
>>378
そうですね、まずはふぃっしゅ数ver.5の定義をはっきりさせる
ところからはじめようと思います。おおまかな原案は書きましたが、
きちんとこれが定義だという形にはまだしていなかったので。
ちょうどその頃に、色々な議論があってうやむやになってしまって
いました。
>>379
BB関数は、計算理論の勉強をしないと理解できません。
計算理論の専門書を読んで理解するのが、一番いいのだと思います。
私は、英語のホームページを読んで理解しましたが、日本語の
ホームページで分かりやすく解説してあるところは、はたして
あるかどうか。
381:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/13 19:59:46
BBを英語で理解するとすれば、たとえばWikipediaですが
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
ここの2-state S(n,m)の値を見ると、
BB(2) = 6
BB(3) = 21
BB(4) = 107
BB(5) ≥ 47,176,870
BB(6) ≥ 3.0 x 10^1730
となっています。BB(4)までは「=」で、正確な値が分かって
います。BB(5)以降は「≥」となっています。つまり、
BB(5)の値は47,176,870 かもしれないし、それよりも
大きいかもしれない。
我々は、まだBB(5)の正確な値を知り得ていない、という
ことになります。BB(6)の正確な値は、どんなに計算機の
速度が向上しても、どんなに長い年月をかけても
（たとえばふぃっしゅ数年とか）、計算できないでしょう。
382:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/13 20:09:03
今までの話の流れだとBB(n)はS(n,m)ではなくてΣ(n,m)の
方でしたね。訂正しておきます。
BB(2) = 4
BB(3) = 6
BB(4) = 13
BB(5) ≥ 4098
BB(6) ≥ 1.2 x 10^865
383:ルート41
07/09/13 20:28:13
ＢＢ関数がなんとなくですが解ってきました。とりあえず計算理論の勉強からします。
丁寧な解答ありがとうございます。
384:たろう
07/09/13 20:35:35
計算可能な関数とは、>>260 のようなプログラムで書ける関数のこと。
ビジービーバー関数とは、プログラムn文字で作り出せる最大の数。（※）
だからプログラムで書けるどんな関数よりも増大度が大きい。
※実際はBBはチューリングマシンという非常に単純なマシンでの定義となる
ただ、
すべての値に対してBB(n)を返すプログラムがかけないというだけであって、
BB(10)やBB(100)を返すプログラムの存在を否定するものではない。
385:たろう
07/09/13 20:49:16
>>351
微妙にちがう。初項は a+1。
----- >>338 のプログラムの解説 ------
>>266 のプログラムを色々変えて小さくしたもの。
117語のものは、C0の変数を３つに限定し、一番左のは整数に限定したもので順序数を作り出している
132語のものは、C0を多変数のまま使っている。
（コメントに F[ψ(Ω^(Ω+ω))](n) と書いてあるのはF[ψ(Ω^ω)](n) の間違い）
プログラムでは F[ψ(Ω^ω)](9) 程度の数を返すが、
プログラム上の数値のいくつかを変えることで 9 を大きく出来る。
○小さくする工夫
φよりも定義が簡単で加算の定義も不要なC0を用いている
ハーディー関数を再帰ではなくループで表現している
F[ψ(Ω^ω)](9) = F[ψ(Ω^9)](9) なので、F[ψ(Ω^9)](9) を計算している
収束列を微妙に変えている
C言語上の色々な工夫でサイズを小さくしている
など
386:たろう
07/09/13 20:52:16
>>363
F[ω^ω*2], F[ω^ω*3], ... F[ω^(ω+1)]
387:たろう
07/09/13 21:04:29
>>372
ふぃっしゅ数V5のm(5)の大きさは力ずくでもわかる。
（m(2) = m2, m(3) = m3, m(4) = m4, ...）
aは自然数
m2 ===> +1 （f ≒ F[a] の時、 m2 f ≒ F[a+1] という意味）
m2 m2 ===> +2 （f ≒ F[a] の時、 m2 f ≒ F[a+2] という意味）
m2^a ===> +a
m3 m2 ===> +ω
m3 m2 m3 m2 ===> +ω*2
m3 m2 m3 m2 m3 m2 ===> +ω*3
(m3 m2)^a ===> ω*a
m3 m3 m2 ===> ω^2
m3 m3 m3 m2 ===> ω^3
m3^a m2 ===> ω^a
m4 m3 m2 ===> ω^ω
m3 m4 m3 m2 ===> ω^ω*ω
m3 m3 m4 m3 m2 ===> ω^ω*ω^2
m3^a m4 m3 m2 ===> ω^ω*ω^a
m4 m3 m4 m3 m2 ===> ω^(ω*2)
(m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω*a)
(m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω*a)
m4 m4 m3 m2 ===> ω^ω^2
388:１３２人目の素数さん
07/09/13 21:05:21
(m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω*a)
(m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω*a)
m4 m4 m3 m2 ===> ω^ω^2
m3 m4 m4 m3 m2 ===> ω＾(ω^2+1)
m3^a m4 m4 m3 m2 ===> ω^(ω^2+a)
m4 m3 m4 m4 m3 m2 ===> ω^(ω^2+ω)
m4 m4 m3 m4 m4 m3 m2 ===> ω^(ω^2*2)
(m4 m4 m3)^a m2 ===> ω^(ω^2*a)
m4 m4 m4 m3 m2 ===> ω^ω^3
m4^a m3 m2 ===> ω^ω^a
m5 m4 m3 m2 ===> ω^ω^ω
389:たろう
07/09/13 21:33:42
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
ここのたろう的理解です。
●C0
[A General Notation] のCのΩ導入前を多変数化
C0(..., a5, a4, a3, a2, a1, a0) = C(..., Ω^4 * a5 + Ω^3 * a4 + Ω^2 * a3 + Ω * a2 + a1, a0)
C0(..., a4, a3, a2, 0, 0) = φ(..., a4, a3, a2, 0)
>>190 のψ(Ω^ω) 未満の順序数をすべて表現可能。
●C1
[An Ordinal NOtation] の多変数化
C1(1,0,0) を、帰納的でない最小の順序数、
C1(2,0,0) を、C1(1,0,0) と帰納的定義で表現できない最小の順序数、
......
C1(1,0,0,0) を、C1(a2, 0, 0) と帰納的定義で表現できない最小の順序数、
....
というような解釈で良いかと。
C1([C1で生成される順序数], 0) は帰納的な順序数となる。
C1(1,0,0) は 上のΩや >>190 のΩとほぼ同じ意味。
C1(C1(1,0,0),0) = C0(1,0,0)
C1(C1(1,0,0)^2,0) = C0(1,0,0,0)
C1(C1(1,0,0)^3,0) = C0(1,0,0,0,0)
>>202 のψ_a(0) が C1(a,0,0) とほぼ同じ意味。
３変数で >>202 の ψ_0(Ψ) 未満の順序数をすべて表現可能。
390:１３２人目の素数さん
07/09/13 21:38:44
●C2
[Beyond Second Order Arithmetic] の C の多変数化
C0 => C1 の進化を繰り返したもの。
C2(C2(1,0,0),0) = C1(1,0,0)
C2(C2(1,0,0)^2,0) = C1(1,0,0,0)
C2(C2(1,0,0)^3,0) = C1(1,0,0,0,0)
C2([C2で作り出す順序数], 0) はC1でつくり出せる順序数となり、
C2(C2([C2で作り出す順序数], 0)) で帰納的な順序数となる。
391:たろう
07/09/13 21:51:46
C0 の収束列は >>347 で定義。
多変数veblen ＋ 加算 と同等の表現が可能。
C1 の収束列は、>>202 のような方法で定義できる。
だいたい８個くらいに場合分けした定義となる。
３変数で、veblen ＋ 添字付ψ ＋ 加算 と同等の表現か可能。
プログラムで書けば、>>266よりずいぶん小さくできそう。
C2 の収束列はかなり複雑で途中で挫折。
C3, C4.... と拡張できそうな気がする。
さらには、C_n(c, b, a) ==> C_[順序数](c, b, a) ==> C(d, c, b, a) => 多変数化 => さらに大きなΩでの表現 => ...
でも、順序数の専門家がもっと大きな帰納的順序数を見つけてそう。
392:たろう
07/09/13 21:56:14
>>390
> C2([C2で作り出す順序数], 0) はC1でつくり出せる順序数となり、
ここは間違いで、以下に訂正。
C2([C2で作り出す順序数], 0) はC2(1,0,0) 未満の順序数となり、
393:たろう
07/09/13 22:13:35
>>355
定義がよくわからないけど
◎ = 2♪(3^4+2) かな？
394:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/14 01:54:20
>>389-392
その定義を見ていると、ナゴヤ数(スレッド6の510-511)も
どこかのクラスに入りそうですね。
まだ、雰囲気だけしかつかめませんが。
395:たろう
07/09/14 19:46:19
>>390
まだまちがってた。
C2([C2で作り出す順序数], 0) はC2(1,0,0) 未満の順序数となり、
C2(C2([C2で作り出す順序数], 0),0) で帰納的な順序数となる。
>>394
>>135 が正しければ大きさは、
多変数veblenの極限 = ψ(Ω^ω) = C0の極限 = C1(C1(1,0,0)^ω, 0) 程度
>>125 のveblenの極限はψ(Ω^Ω) = C1(C1(1,0,0)^C1(1,0,0), 0)
同じように拡張していきn重リストにするとその極限は、ψ(ε_(Ω+1)) となって
Howard ordinal に到達。
396:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/14 20:18:53
ふぃっしゅ数バージョン5 (F5) の定義
[1] 集合Mn (n=0,1,2,...)を以下のように定める。
M0=自然数の集合
M{n+1}=写像Mn→Mn全体の集合
Mnの元をMn変換と呼ぶ
[2] Mn変換 m(n) (n≧1) を以下のように定める。
f_n∈M(n)に対して、m(n+1)(f_n)=g_nを以下で定める。
f_{n-1}∈M(n-1)に対して、g_n(f_{n-1})=g_{n-1}を以下で定める。
f_{n-2}∈M(n-2)に対して、g_{n-1}(f_{n-2})=g_{n-2}を以下で定める。
……
f_0∈M(0)に対して、g_1(f_0)=g_0を以下で定める。
g_0=(..((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2})...f_1)f_0
すなわち
m(1)(f_0)=f_0^f_0
(m(2)f_1)f_0=(f_1^f_0)(f_0)
(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0:=(..(f_n^{f_0}f_{n-1})...f_1)f_0
[3] ふぃっしゅ関数 F5(x) を以下のように定める。
F5(x):=((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)
[4] ふぃっしゅ数 F5:=F5^63(3) とする。
397:ルート41
07/09/14 20:25:12
>>393
僕の作った式に解答ありがとうございます。
～・Ｎの定義はＮ×Ｎ＜Ｎ～Ｎ＜Ｎ↑↑ＮならＮが増える毎に表記方法も上位の物を使用して
行く関数を作れば大きな関数を作れると考えて作りました。
よく考えればＮ＾ＮからＮ↑↑Ｎへ変化するのとＮ↑↑ＮからＮ→→Ｎに変化するのは
意味が違うため関数としてはなりたったなかったですね。
考えてる途中にＮ＝1なら1 Ｎ＝2なら22 Ｎ＝3なら333×333 Ｎ＝4なら4444＾4444
にしないといけないかと思ったくらいですから。
（見た目が面白いので1.22.333となる関数を作ろうとしているんですが上手くいかないですね。）
◎を導く式のほうは、大きくなる関数を作る事を、ある巨大数を入れないと成り立たない式を作る
ことで抜けないか考えて挫折したときの残骸です。＞＞357の→の方が実際に作っやつですが。
それでもＡ→→ＢにおいてＢの数が大きいほうがＡの数が大きいときより大きな数になる事を
証明できれる最小の数であれば、グラハム数や現在最も大きい素数2＾32582657-1の様に
意味のある数として使えるかなと思い使いました。これもよく考えてみれば
Ｎ＝Ａ→→Ｂ＞Ｂ→→Ａ＞Ｂ＞Ａ
と書いた方が適切でしたね。
さらにＮ＝3→→4＞4→→3が成り立つことを正確に計算できても、グラハム数＞4→→3
が計算されたらグラハム数より大きい意味のある数にはならないですよね。
3→→4＞グラハム数は当たり前ですから。
もし↓や←を使った場合の計算が膨大すぎて、現在まだ正確な計算が出来ていないなら、
正確に計算することに意味が出てくるんでしょうが。
Ｎ＝Ａ＾Ｂ＞Ｂ＾Ａ＞Ｂ＞ＡならＮの最小値は32
Ｎ＝Ａ↑↑Ｂ＞Ｂ↑↑Ａ＞Ｂ＞ＡならＮの最小値は16
なら僕にも計算できるんですけどね。
僕の様な素人の書き込みでも、大きな数を見つけるヒントでも転がってれば良いんですが。
398:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/14 23:30:10
今となってはとても小さい数であるF1やF2あたりから見直しています。
それで気づいたのですが、今まではふぃっしゅ関数バージョン1 F1(x)
が2重帰納かと思っていましたが、違いました。3重帰納です。
F1(x) ≒ F[ω^3](x) (3重帰納)
なぜかというと、F1(x)は2重帰納のS変換を繰り返す回数が変数のx以上に
なるので、S変換をちゃんと数え上げているんですね。
一方、F2(x)は3重帰納のSS変換を63回繰り返しているので、
F2(x) ≒ F[63*ω^3](x) (3重帰納)
となります。F1(x)もF2(x)も、同じ3重帰納のクラスで、チェーンよりも
強くバードと同じ程度でした。
今まで、F1(x)の強さを過小評価していたようです。
399:たろう
07/09/15 00:23:14
２重帰納 ≒ F[ω](n)
３重帰納 ≒ F[ω^2](n)
じゃないの？
F1(x), F2(x) の定義はどこにありますか？
400:たろう
07/09/15 00:41:46
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここの >>320 で定義されているふぃっしゅ関数が F2(x) だとすると、
F2(x) ≒ F[ω*大きな整数](x) な気がする。
f(x) = x+1 に対してS変換を整数回行う操作を63回繰り返すだけですよね？
401:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/15 00:58:27
ええと、>>398は大きな勘違いでした。
F1(x)は2重帰納です。
>>399
そうでした。
F1(x) ≒ F[ω*大きな整数](x)
F1(x) ≒ F[ω^2*63](x)
です。
>>400
そちらはF1(x)の定義です。
F2(x)の定義は
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここにありますが、F1(x)のSS変換の定義において、
S変換をx回繰り返すものです。
402:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/15 00:59:26
訂正
F1(x) ≒ F[ω*大きな整数](x)
F2(x) ≒ F[ω^2*63](x)
403:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/15 03:05:56
3変数アッカーマン関数
A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
が3重帰納 F[ω^2] であることの証明
A(x+1,y+1,z) からAへの代入(合成)2回で A(x+1,y+1,z+1)ができる
→ zに+1する操作は合成の操作
Z=A(x+1,y+1,z)-a (Z > z+1) とすると、
f=A(x+1,y,Z) からg=A(x+1,y+1,Z)を合成と原始帰納で生成できる。
(1) Zをa増やす → A(x+1,y,A(x+1,y+1,z))
(2) A(x,y,A(x+1,y+1,z))のyに代入 → A(x+1,y+1,z+1)
(3) zをZ-(z+1)増やす (zを増やす操作を数え上げるので原始帰納)
したがって、yに+1するのは原始帰納
Y=A(x+1,y,Z)-bとすると、
f=A(x,Y,Z)からg=A(x+1,Y,Z)を3番目の引数を増やす原始帰納と
2番目の引数を増やす2重帰納で生成できるので、xへの+1は2重帰納
A(x,y,z)はxへの+1を数え上げるので3重帰納
404:１３２人目の素数さん
07/09/15 04:25:11
大野菜協会、長期間の研究の末「３ｍの巨大サツマイモ」の栽培に成功。しかし、ちんこに似ていたため非公開に。【画像あり】
日本大野菜協会が2002年に特別チームを発足し、5年の歳月を費やし、3ｍもの巨大サツマイモの栽培に成功した。
しかし、それが一般に発表される事はなかった。
その理由は栽培された巨大サツマイモがあまりにも男性器に酷似していたためである。
大野菜協会会長は「5年の歳月と沢山の経費をかけて作り出した大作といえるものだし、一般の方々にも見てもらいたい…が、ここまで酷似していてはコレを発表することは出来ない。我々にも恥がある。」
と、肩を落として語った。
長い歳月に渡り研究に研究を重ね、苦労の末栽培された世紀の大サツマイモは性器に似た大サツマイモになるという悲しい結末で幕を閉じた。
ｽﾚﾘﾝｸ(river板)
405:たろう
07/09/15 07:18:19
>>403
> A(x+1,y+1,z+1) = A(x,A(x+1,y,A(x+1,y+1,z)),A(x+1,y+1,z)))
3変数アッカーマン関数の定義はこれに決まってるの？
それとも、単なる拡張方法の１つ？
このスレでの合意？
単なる拡張方法の１つなら、
>>323 の方が簡単で良いと思うんだけど。
------アッカーマンの多変数への拡張の案------
●定義
Ak(□, a) = a+1
Ak(Ｘ, b+1, 0, □, a) = Ak(Ｘ, b, a, □, a)
Ak(Ｘ, b+1, 0) = Ak(Ｘ, b, 1)
Ak(Ｘ, b+1, a+1) = Ak(Ｘ, b, Ak(Ｘ, b+1, a))
ただし、
a, b : 0以上の整数
□ : 0個以上の0
Ｘ : 0個以上の0以上の整数
●大きさ
Ak(..., a2, a1, a0, n) ≒ F[...+ ω^2*a2 + ω*a1 + a0](n)
Ak(1がn個) ≒ F[ω^ω](n)
406:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/15 16:49:58
>>405
多重帰納の定義については、
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここで色々議論されています。
76,77,155,181-184 あたりです。ここで提案されている
3変数アッカーマンについて検証したのが>>403で、2重帰納を
数え上げていることが分かりました。
>>323の方が簡単なので、これでω^2になっていればその方が
いいと思います。どういうしくみになっているのでしょう…。
407:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/15 17:30:30
3,4から、xを定数と見てy,zが2変数アッカーマンになっているから、
ack(x+1,y,z) = ack(x+1,0,z(y)) = ack(x,z(y),z(y))
とすると、z(y)が2重帰納関数になる。
なので、2重帰納をx回繰り返す3重帰納になる、ということか。
408:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/16 00:04:09
>>407
ちょっと書き方が変だったかな。
ack(x+1,y,z) ≒ ack(x+1,0,A(y,z)) ≒ ack(x,A(y,z),A(y,z))
といったところか。
>>405
この場合は
Ak(Ｘ, b+1, 0) = Ak(Ｘ, b, 1)
Ak(Ｘ, b+1, a+1) = Ak(Ｘ, b, Ak(Ｘ, b+1, a))
この箇所で、a0とnの計算について
Ak(..., a0, n) ≒ F[... + ω*a1 + a0](n)
という関係を作って、
Ak(Ｘ, b+1, 0, □, a) = Ak(Ｘ, b, a, □, a)
この箇所で、a=ak, b=a{k+1}として、
Ak(Ｘ, b+1, a, □, a) ≒ Ak(Ｘ, b+1, 0, □, F[ω^k])
= Ak(Ｘ, b, F[ω^k], □, F[ω^k])
≒ Ak(X, b-1, F[ω^k*2],...)
≒ Ak(X, b-2, F[ω^k*3],...)
...
≒ F[ω^(k+1)]
といった関係を作るわけですね。
409:ルート41
07/09/16 11:49:45
ふぃっしゅしゅ氏へ質問なんですがＢＢ関数を理解するため計算理論について調べていたらμ作用素関数というのが出てきました。
（参照） URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
これは、
基本関数 N→→Ｎ＞Ｎ→Ｎ→Ｎ
次にバートの回転記号を○で表す
2○2＝2（2回転目←）（2回転目←）2
3○3＝3（3回転目←）（3回転目←）3
N○Ｎ＞Ｎ→→Ｎ
Ｎ○○Ｎ＞Ｎ○Ｎ○Ｎ
クラウ1 ステプ1
次に○の数を○ー○で表す（－は繋げること表しています）
2○ー○2＝2○○2
3○ー○3＝3○○○3
Ｎ○ー○ー○Ｎ＞Ｎ○ー○ ○ー○Ｎ
ステプ2
次に○ー○の繋がる数を○（＝）○で表す（＝はーの本数が2本の意味です）
2○（＝）○2＝2○ー○2
3○（＝）○3＝3○ー○ー○3
Ｎ○（Ξ）○Ｎ＞Ｎ○（＝）○（＝）○Ｎ
ステプ3
次に・・
410:ルート41
07/09/16 11:51:12
クラス2 ステプ1
クラス1のステプの数を（あ）で表す
2（あ）2＝2（＝）2
3（あ）3＝3（クラス1ステップ3の表記）3
Ｎ（い）Ｎ＞Ｎ（クラス1ステプＮの表記の（あ））Ｎ
ステプ2
（あ）から（い）の変化を（ド）で表す
（ド）の次は（レ）・・・
①ここでクラスの数を数える記号を作ればさらに巨大な関数が作れる
②更にステプ、クラス、（クラスを数える数）と段階が上がる事を数えると更に巨大な関数が作れる
このアルゴリズム（手順）を繰り返すことで大きな関数を作れる事が出来る。（①②を関数にして・・・）
このアルゴリズムその物を関数化した物みたいなんですが。この考えで行くと
①1帰納関数→2帰納関数→3帰納関数
②1重帰納関数→2重帰納関数→3重帰納関数
③1重帰納関数→2重重帰納関数→3重重重
④①→②→③をさらに関数にする。
このアルゴリズムその物を関数にする（その方法が全然判らないんですが）と、
ふぃっしゅ数バージョン5より大きな関数になると思うんですが？
それとも、ふぃっしゅう数ではμ作用素関数は折込済みなんですかね？
（この説明で伝わると良いんですが）
411:１３２人目の素数さん
07/09/16 19:11:17
・いわゆる最小化じゃん
・ふぃっしゅ数はアッカーマン関数を折込済みです
そういえばアッカーマン関数を最小化を使って表すと
どうなるんでしょう。
412:１３２人目の素数さん
07/09/16 19:53:40
>>396
バージョン5の定義ありがとうございます。
自分で計算してないのですが>>387-388を見るとやっぱりF_(ε_0)(x)に到達して
そうな感じですねぇ・・・。
ヴァージョン６楽しみにしています（笑）
>>405
なるほど。おそらくその定義がn重帰納関数の最低ラインっぽいですね。
前に言われていた所謂「正規形」ってやつかもしれません。
413:１３２人目の素数さん
07/09/16 21:02:03
>>411
ﾊｧ?
414:5-682
07/09/17 02:00:15
８ヶ月ぶりです。
ふいっしゅさんも戻って驚きです。
さて、前から放置してたナゴヤ関数について。（以後L[ω]→F[ω]に表記変更）
順序数ですが、F[F[ω](ω)]（ω）ではφ_(φ_ω)(ω)になってしまうようです。
そこで、ここで取り上げているωとは別の非加算(？)順序数Ωを使って
ωで表す順序数を変換する写像を定義できるようにします。
さらに順序数Ω以降(以後Ω_1と表記)についても同様に
その順序数(式)を変換する写像はΩ_2、Ω_3、・・・の順序数を使えばいいです。
このことを踏まえて、ナゴヤ関数Ver1.1を定義し直していきます。
それぞれの写像Fについて以下のように定義します。
F[Ω_1]：ωからなる順序数α1→β1への写像
F[Ω_2]：Ω_1、ωからなる順序数α2→β2への写像
F[Ω_n]：Ω_n-1以下からなる順序数αn→βnへの写像
F[Ω_1](λ) = F[λ](λ) (λはωで表す可算順序数)
F[Λ+n+1](λ) = F[Λ+n]^λ(λ) (ΛはΩ_1で表す順序数、^aはネスト数)
F[Λ_(Ω_1)](λ) = F[Λ_λ]（λ） (例：Λ_2 = (Ω_1)*2のとき、Λ_λ = (Ω_1)*λ)
F[F[Ω_2](Ω_1)](λ) = F[F[λ](Ω_1)]（λ）
F[Ω_n+1](Λn) = F[Λn](Λn) (Λn：Ω_nで表される順序数)
こうすれば、自然数x→可算順序数λ、可算順序数ω→別の順序数Ω_1、・・・に
置き換えたHardyFunctionやVer1のナゴヤ関数の増大度が
順序数ω、Ω_1、Ω_2へとそのまま伝わっていきます。
例えば、
F[Ω_1](ω) = F[ω](ω) ≒ φ_ω(0)
F[Ω_1](F[ω](ω)) = F[ F[ω](ω) ]（ω） ≒ φ_(φ_ω(0))(0)、
F[Ω_1+1](ω) ≒ Γ_0
F[Ω_1*2 + 1](ω)=Γ_Γ_...Γ_ω
となります。
415:5-682
07/09/17 02:48:30
続き。
関数の増大度について。
>>125のVebrenリスト関数と比較して、
F[Ω^2](ω) ≒ φ([2, 1][1, ω])
F[Ω^2+1](ω) ≒ φ([2, 2])
F[Ω^3](ω) ≒ φ([3, 1])
F[Ω^ω](ω) ≒ φ([ω, 1])
F[Ω^Ω + 1](ω) ≒ (λ_ω; λ_0 = ω, φ([λ_n, 1]) = λ_n+1)
（仮にφ([0, 1] [ [0,0] ])とおいてみる ）
になると推測でき、この時点で前Ver1と比べて大幅に増大するようです。
F[Ω^Ω^ ... ^Ω + 1]ではおそらく
ふぃっしゅ関数Ver5 ≒ F[ε0]
で変換元の自然数xを変換元順序数ωに置き換えたときの
増大度に匹敵すると考えられます。（多重リストVeblen関数では表記不可能か？）
F[1, 0](x) = F[F[ ... F[Ω_x](Ω_(x-1)) ... ](ω)](x)
F[n+1, 0](λn) = F[n, F[n, ... F[n, 0](Ω_λn) ... ](λ(n+1))](λn) (λnは任意Ω_nの順序数)
と置くとして、
F[1,0]以降の増大度については後で調べます。
416:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/17 13:10:55
>>409-410
基本関数 N→→Ｎ＞Ｎ→Ｎ→Ｎの計算方法がよく分かりませんが、
μ作用素を大きくする方法をうまく定義できたのでしょうか？
μ作用素そのものは計算可能関数と正確に一致するそうなので、
問題は「どうやってより大きいμ作用素を生成するか」という
ことになると思います。ふぃっしゅ数の場合は、μ作用素では
ありませんが作用素を大きくしていく、という考え方です。
F1のS変換,SS変換→2重帰納作用素の適用回数を増やす
F2のSS変換→2重帰納作用素の適用回数を数え上げて3重帰納
作用素を作る
F3のs(1),s(2),...s(n)→n-1重作用素の適用回数を数え上げて
n重帰納作用素を作る
F5のm(n)→「M1作用素の適用回数を数え上げるM2作用素」
の適用回数を数え上げるM3作用素の…
→この操作全体の回数を数え上げる
といったイメージです。
417:たろう
07/09/17 21:09:39
>>338 の 46580.txt と同じような考え方の関数が過去ログにありました。
5スレ目の >>768 のhydra gameです。
A{ リスト }(n) で、リストには
[[[]]]や[[][]] のような文字列が入ります。
[a] で順序数ω^a 、[a][b] のようにリストを並べたもので順序数の加算をあらわし、
A{ [[[....x個....[ ].....x個.....]]] }(x)
で F[ε_0](n) 程度の増大度になるようです。
418:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/17 22:26:14
>>396のバージョン5では、F[ε_0]=F[C0(1,0,0)]まで到達したので、
バージョン6では、F[η_0]=F[C0(2,0,0)]あたりを目標にしたいと
思いますが、順序数あるいはそれに相当する多進木のような概念を
使わずに、はたしてそこまでたどりつけるかどうか…。
とりあえず、色々と考えながら試行錯誤していきます。
>>396のようにm(1)(x)からF5(x)を生成する変換をm'(2)とします。
m'(2)は+ε_0に相当するので、>>387-388の計算でm2のところを
m'(2)におきかえれば、m2 ===> +ε_0からはじまって、
m5 m4 m3 m2 ===> ε_0*ω^ω^ω
となりそうです。だとすれば、m'(n)を
((..((m'(n)M(n-1))M(n-2))...M(2))M(1))(x)
:=((..((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(n))M(n-1))...M(2)M(1))(x)
にて定義することで、m'(2)m'(1) は ε_0^2 にはなりそうです。
m(n)をm_n(0)に、m'(n)をm_n(1)に書き直すことで、
m_n(a_1,a_2,...)を定義することも可能でしょうが、まずはm'(n)の
強さを評価するところからはじめようと思います。
しかし、この様子だとm'(x)m'(x-1)...m'(1)でもε_0^ω程度という
ことになりそうで、F[η_0]まではほど遠い感じですね。
419:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/17 23:05:25
m_1(0) = x^x
m_1(1) ≒ F[ε_0]
m_1(2) ≒ F[ε_0^ω]
m_1(3) ≒ F[ε_0^(ω*2)]
m_1(1,0) := m_1(x) ≒ F[ε_0^ω^2]
m_1(1,1) ≒ F[ε_0^(ω^2+ω)]
m_1(1,2) ≒ F[ε_0^(ω^2+2ω)]
m_1(2,0) := m_1(1,x) ≒ F[ε_0^(ω^2*2)]
m_1(1,0,0) := m_1(x,0) ≒ F[ε_0^(ω^3)]
m_1(1,(0がn個)) ≒ F[ε_0^(ω^ω)]
こんなもんかな。ε_1にも到達しなさそうですね…。
420:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/17 23:15:25
とりあえず、多変数の定義があまり賢くなかったので、
そこを多変数Akを参考にしつつもう少し工夫してみる
ことにします。
421:5-682
07/09/18 00:16:21
ふぃっしゅさんは順序数などを使わずに挑戦ですか。
巨大数作成者同士仲間でもライバルでもいいので
お互い頑張れればいいですね。
とりあえずVer1.1のF[1,0]→F[1,1]の過程についてあげておきます。
F[1,0](x) = F[Λx](x) ( Λ(n+1) = F[Λn](Ω_(x-n-1) ),
( Λ0 = Ω_(x-1) ) (0≦n≦x, Ω_0=ωとおく)
F[1,0]^x(x) = F[F[1,0](ω)+1](x)
F[ F[1,0]^ω(ω) ](x) = F[ F[ F[1,0](Ω_1)+1 ](ω) ](x)
F[1,1](x) = F[Λx](x)
( Λ(n+1) = F[Λn](Ω_(x-n-1), Λ0 = F[1,0](Ω_(x-1)) + 1 ) (0≦n≦x)
422:ルート41
07/09/18 01:04:19
>>411
アッカーマン関数の意味がやっと解ったです。サンクス
僕が書いたのは最小化をベースにしてアッカーマン関数作るという事だったんですね。
（この書き方で正しいか自分でも疑問だが）
>>416
毎回丁寧な解答ありがとうございます。僕的にはふぃっしゅ数のイメージが
一機に把握できますた。
Ｎ→→Ｎ＞Ｎ→Ｎ→Ｎは、4→→4のほうが4→4→4より大きいという当たり前
の事を書いただけです。（1.2.3は＝になりますが）矢印表記の場合は書き方
によって大きさが全然変わるので確認のために書きました。単純最後の大きな関数
を作るなら、3重回帰関数を作るよりＮ＝1の時1回帰関数 Ｎ＝2の時2重回帰関数
Ｎ＝3の時3重重重回帰関数になる関数を作る方が良いという理想論を書きたかった
だけなんですが（理論上は作れるはずだが、実際に作るのはかなり大変になるはず）
※バージョン6頑張ってください。
423:１３２人目の素数さん
07/09/18 17:15:37
F[a](x)≒H[ω^a](x)なわけだが
+ωでも*ωでも^ωでもなくω^だってのは何気にすごい。
（単にHのやり方がのろすぎるだけともいえるが）
大きい順序数を作って入れるんじゃなく根っこのやり方を変える
ことでη_0に挑戦できないものだろうか。
424:１３２人目の素数さん
07/09/18 17:34:27
逆に次は順序数の概念をとりいれたヴァージョンでも良いかと思います。
ヴァージョン４でもＢＢを取り入れているわけですし、手段を問わずに
ひたすらでかい数を追求するというのもありかと思います。
あくまで計算可能な範囲で・・・
Hardy functionをＢＢで比較できたらおもしろいんですけどね。
>>423
F[a](x)≒H[ω^a](x)ではなくF[a](x)＝H[ω^a](x)です。
F[0](x)＝H[1](x)
F[1](x)＝H[ω](x)
F[ω](x)＝H[ω^ω](x)
F[ω^ω](x)＝H[ω^ω^ω](x)
...
ですから結局、
F[ε_0](x)＜H[ε_0](x+1)
となりますから、根っこのやり方を変えるんじゃなく大きい順序数を作って入れることが
関数を本質的に大きくするのです。
425:１３２人目の素数さん
07/09/18 17:41:10
ω^ε_0=ε_0なので、
F[ε_0](x)=H[ε_0](x)
です。
426:１３２人目の素数さん
07/09/18 18:18:33
>424いいえイコールではありません。
>425F[ε_0](x)≒H[ε_0](x)なら知ってます。
大きい順序数を作って入れることに相当するほかの手段を
模索したいのですよ。
根っこで1行ですむような定義をしている限り+ωがせいぜい、
よってε_0を超えられない、といいたいなら私もそう思ってます。
427:１３２人目の素数さん
07/09/18 18:46:33
>>425
両辺で(ε_0)_nの取り方を固定した場合、値に関してはイコールにはなりません。
>>426
＞いいえイコールではありません。
反例をお願いします。
428:１３２人目の素数さん
07/09/18 19:17:09
>>427
あ、>>110の定義に基づけばイコールになるのですね。
今まで気づかなかった…
（本来Hの定義は>>70）
429:１３２人目の素数さん
07/09/18 20:56:03
ε_0 = lim ω^^n とした場合、
H[ε_0](n) = H[ω^^n](n) < H[ω^^(n+1)](n) = F[ω^^n](n) = F[ε_0](n)
430:たろう
07/09/18 21:22:54
>>424
手段を問わないなら、
int を無限長整数としたC++言語で、
int function(int a);
という関数を作る。
10000文字以内でできるfunctionのうち増加度が最大のものの１個を考えれば、
この関数は計算可能だが増大度が非常に大きい関数となる。
関数 f と g は、
ある整数aが存在し、b>a となる全ての整数b に対し f(b) > g(b) が成り立った場合に
f > g とする。
上記の関数 f のうち、g > f となる関数 gが存在しないものを、増加度が最大であるとする。
増加度が最大のうちの１個の選び方は、
プログラムの前方からの比較で小さいものを選ぶ。
μ再帰関数でも同様の関数が作れる。
定義の中に基本関数が10000回以内出現するようなμ再帰関数の中で
増大度の最大のものを１個をえらぶ。
これも増大度の非常に大きい計算可能な関数となる。
431:たろう
07/09/18 22:06:08
>>424
>Hardy functionをＢＢで比較できたらおもしろいんですけどね。
>>284 で書いた通り、
H[帰納的でない最小の順序数](n) ≒ BB(n)
と言えそう。
432:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/19 00:49:40
>>424
それはそれで、ちょっと考えた事もありますが、
たとえばm(n)変換上のHardy関数を考えても順序数に
+ω^nする程度になりそうで、あまり意味のある拡張に
なりそうにないんですよね…。
まあ、あくまでも遊びなので、いろいろ考えてみようと
思います。
433:１３２人目の素数さん
07/09/19 02:16:59
>>430
b>aのすべての整数に対してf(b) > g(b)であることを、
計算によって示すアルゴリズムはありますすか？
434:たろう
07/09/19 07:54:25
>>433
関数の具体的構成を調べるアルゴリズムが無くても、
計算可能である関数のうちの１個であることは確かなので、
計算可能である。
435:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/19 20:09:17
>>434
f>gを示すために、h=f-gとして、すべての整数b>aに対して
h(b)>0となることを示すアルゴリズムを考える。
b>aが成り立つb1,b2,...を順番に代入する「代入アルゴリズム」
では、有限の計算において常にmax(b1,b2,...,bn)=Bが存在する。
したがって、すべてのd>cに対してh(d)<0であるようなc>Bが
存在する、すなわちf<gである可能性がある。また、B以上で
h(x)が正負を無限に振動するため、fとgの大小関係を決定でき
ない可能性もある。このように、代入アルゴリズムではf>gを
有限時間内に決定できない。
では、代入アルゴリズム以外であれば決定できるのか？
f>gを有限時間内に決定できる一般的なアルゴリズムは存在
しない様に思いますがいかがでしょう。
436:たろう
07/09/19 21:11:25
>>435
>>433 と同様の疑問と思われます。
> f>gを有限時間内に決定できる一般的なアルゴリズムは存在
> しない様に思いますがいかがでしょう。
私は上記アルゴリズムが存在するという主張はしていません。
関数を決定するアルゴリズムが存在するかどうかに関わらず、
>>430 で定義された関数は計算可能であると思いますがいかがでしょう。
計算可能な関数から特定の１個を選んでいるので当たり前です。
----
関数を決定するアルゴリズムが存在するかどうかは今のところ私にはわかりません。
10000文字以内で出来る関数は有限個しかないので、
「10000文字以内のアルゴリズムがわかっている２つの関数の大小比較が出来ないようなものが存在するか」
という問題と同値になります。
437:たろう
07/09/19 21:26:46
「具体的構成を知るアルゴリズムが存在しない関数なら意味がない」というのであれば、
比較するアルゴリズムが存在する関数に限定してください。
438:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/19 22:05:01
>>436
なるほど、関数fの決定が計算可能かどうかは分からない
（問題にしない）けど、関数fは明確に定義され、計算可能
である、ということですね。了解しました。
それから、ビジービーバーを小さくするアプローチはない
ですかね。なんらかの停止判定アルゴリズムを設定して、
それによって停止しないものは停止しないとみなす、
といったような形で。そのような疑似BBは計算可能で、
計算不可能なBBよりも増大度が一気に小さくなりますが、
その小さくする幅をいかに小さくするか、という問題に
帰着させます。
結局は、停止判定アルゴリズムの計算度に依存するのかな…。
439:もやしっ子
07/09/20 09:15:18
また見ないうちに楽しそうなことを…
440:１３２人目の素数さん
07/09/20 14:59:59
>438
たとえば停止しない判定をステップ数で行うとしたら、
TMはステップ数以上の1を書くことはできないわけで。
TMが停止する十分条件……原始帰納的関数とかですね。
を状態遷移図から判定するアルゴリズムってできても
かなり難しそう。
441:１３２人目の素数さん
07/09/20 19:17:02
>438
わざわざ小さくする意味がわかんね。
442:１３２人目の素数さん
07/09/21 05:07:27
>>431
具体的な値で比較できたら面白いと思いますがそれは無理かな。
たとえば、ＢＢ（６）までなら指数関数くらいで押さえられそう
ですが、ＢＢ（８）とかだとアッカーマン関数でないと追いつかない
とか。実質、H_Ω(x)=BB(x)だとするなら、BB(20)とかBB(30)は
いったいどれくらいの大きさの可算順序数を用いたH_αが必要なのかと
・・・どうアプローチしたらいいのかわかりませんが。
ヒドラ対ヘラクレスのような単純なアルゴリズムでH_[ε_0](x)
になってしまうらしいですからやはりＢＢは人智を超えているのでしょう
ね。といろいろ想像などしています。
443:１３２人目の素数さん
07/09/21 17:03:39
そのBBが基底(MIN)となる世界なんて想像できないww
444:１３２人目の素数さん
07/09/21 22:06:08
BB(100)とかのチューリングマシンはタワーのような数を大きくすることを目的としたような
操作を繰り返すチューリングマシンなのか、それとも数論の答えを求めるような計算をする
チューリングマシンなのか、はたまた全く別物なのか…。
445:１３２人目の素数さん
07/09/22 01:04:17
BB(4)ですらわけわからんよ。あれは急増加関数じゃなくて
たまたま0を入れたら大きな数が出てくる壊れた機械だ。
446:１３２人目の素数さん
07/09/22 08:45:14
どういう計算をしてるのか、人間の能力では解釈できないようなチューリングマシンになると思う。
例えば、コラッツの予想（偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1を足していくといつかは1になる）で
ルールは単純なのにも関わらず、いつかは1になることの理由がなかなか分からないように。
（コラッツの予想が正しいとは限らないが）
447:5-682
07/09/23 23:59:39
F[1,0](Ω_n)→F[1,0](F[1,0](Ω_n))について補足。
F[1,0](Ω_n) = F[ F[1,0](Ω_(n+1)) ](Ω_n)とする。
F[Ω_1](F[1,0](ω)) = F[ F[1,0](ω) ](F[1,0](ω)) = F[Λω](F[1,0](ω))
= F[ F[ ... F[Ω_x] ... ](ω) ](F[1,0](ω))
F[1,0](F[1,0](ω)) = F[ F[1,0](Ω_1) ](F[1,0](ω))
= F[ F[ ... F[Ω_(x+1)] ... ](Ω_1) ](F[1,0](ω))
Ω_ω→Ω_ω+1への定義が非常に困難なのであえて
F[1, 0](λ) = F[F ... F[Ω_ω] ... ](Ω_1)](λ)
と順序数λの形に関わらずΩ_ωに固定収束で定義しています。
この場合、F[1, 1](ω)でネスト元がF[1, 0](Ω_ω)でΩ_(ω*2)に相当します。
またHowardFunction ψ(ε_(Ω+1))については
F[Ω_1^Ω_1^ ... ](ω) = F[ε_(Ω+1)](ω) で達すると考えられます。
F[ F[Ω_2 + 1](Ω_1) ](ω) で ψ(Γ_(Ω+1) 程度になるようです。
448:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/24 18:29:13
少しずつまとめはじめています。
URLﾘﾝｸ(gyafun.jp)
449:１３２人目の素数さん
07/09/24 19:30:14
>>448
おお、乙！
まだ途中までしか見てないけど、すごい丁寧だ
450:１３２人目の素数さん
07/09/24 19:45:07
>>448
グラハム数個の乙!
451:１３２人目の素数さん
07/09/24 20:06:16
sage忘れスマソ
そういえばなんで途中で文体を変えているの?
452:１３２人目の素数さん
07/09/24 20:06:55
おお、すばらしい！
ふりかえってみるとまさかこんなに高度なところまでくるとは
思いませんでしたね。
453:１３２人目の素数さん
07/09/24 20:21:21
ちなみに、Hardy functionの定義は
H_0(x)=x
H_α+1(x)=H_α(x+1)
H_α(x)=H_α_x(x) (αが極限順序数のとき)
Hydra gameとの対応を考えた場合はすこし変える必要がありますが、
これでよいと思います。ほとんどの論文等ではH_0(x)=xとしています。
454:１３２人目の素数さん
07/09/24 20:39:11
>>450
何て少ないんだ……
おまいには人の心というものがないのか！
455:１３２人目の素数さん
07/09/24 21:21:28
・F_α+1(x)
F_αをx回繰り返す関数
・F_α+2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数
・F_α+ω(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数
・F_α+ω+1(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数
・F_α+ω*2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数
・F_α+ω^2(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことをx回繰り返す関数
・F_α+ω*3(x)
F_αをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのをx回繰り返す関数をx回繰り返す関数を………というのを………
このようなことを………
このような………
この……… って感じのことをx回繰り返す関数
・F_α+ω*4(x)
めんどい
・F_α+ω*5(x)
めんどいをx回繰り返す関数を………
アーメン
456:１３２人目の素数さん
07/09/24 21:29:48
*と^間違えたｗ
457:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/09/25 01:37:32
>>451
なんとなく、気分で変えてみました。
が、やはり統一しようかな。
>>453
ありがとうございます。
Hardyの説明は手強そうです。
そこまで行くのはまだ先のことになると思いますが、
とりあえず手元のソースファイルを訂正しておきました。
458:１３２人目の素数さん
07/09/27 03:52:12
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
の表記法を解説していただけるというのはありがたいですね。
自分には数学的知識や英語力が不足しているのか、読んでも理解できなかったので。
459:１３２人目の素数さん
07/09/27 17:01:25
ああ
460:ルート41
07/09/28 20:49:11
ふぃっしゅっしゅ氏が今までの内容をまとめてる間、雑談程度のスレを
命数法に上数、中数、下数があり、我々は普段中数を使用している訳だが。
(無量大数は下数なら10＾20、中数なら10＾68、上数なら10＾262144となる。)
この下数や上数の考えかたで矢印記号を考えてみました。
まずは上数矢印記号から
↑の定義は以下のようになる。
a↑b＝a＾a＾・・・＾a ※aの数がb＾b個となる
例）3↑4＝3＾3＾・・・3＾3 ※3の数が256個
a↑b↑c＝a↑（a↑（a↑・・・a↑b））） ※（）がb↑b回となる
例）3↑4↑5↑＝3↑(3↑（3↑・・・（3↑4））） ※（）が5↑5回
タワー表記では普通このような表記をしないが、矢印記号の統一を図るため
上数矢印記号では上記のように表記しました。
a↑b↑c↑d＝（a↑b↑（a↑b↑・・・（a↑b↑c））） ※（）がd↑d↑d回となる
例）3↑3↑3↑4＝3↑3↑（3↑3↑（3↑3↑・・・（3↑3↑3））） ※（）が4↑4↑4回
ちなみに、（3↑3↑3）が130個で確実にグラハム数を超えると推測されます。
a↑↑b＝a↑a↑・・・a↑a ※Ｎの数がb↑b個となる
例）3↑↑4＝3↑3↑・・・↑3↑3 で3の数が4↑4個
a↑↑↑b＝a↑↑(a↑↑（a↑↑・・・（a↑↑a））） ※（）がb↑↑b回となる
例）3↑↑↑4＝3↑↑(3↑↑（3↑↑・・・（3↑↑3））） ※（）が4↑↑4回
461:ルート41
07/09/28 20:50:15
→の定義は
a→b＝a↑↑・・・↑↑a ※↑の数がb↑b
例）3→4＝3↑↑・・・↑↑3 ※↑の数が4↑4個
上数矢印 3→3でコンウェイのチェーン表記で表現できない程大きくなると推測されます。
a→b→cとa→→bの変換は↑と一緒
→の次は↓となり
a↓b＝a→→・・・→→a ※→の数がb→b個となる
以降。←、2回転目↑、2回転→と繰り返していく。
最後に矢印回転の表記を○で表すと
a○b＝a←a ※←はb↑b回転目の←となる。
例）3○3＝3←3 ※←は3↑3回転目の←
まあ、通常の矢印記号より遥かに大きい数ではあるが、かなり無節操。その上、
アッカーマン関数を工夫すれば簡単に抜けるだろうし、ふぃっしゅ数バージョン5、
ｂｂ関数、ωからみれば無に等しいけど。
462:ルート41
07/09/28 20:51:08
一方、下数矢印記号は
a↑b＝a＾a＾a・・・＾a ※aの数がb個
（通常のa↑↑bから始めるよりa↑bから始めた方が解りやすいので上記のように表記）
例）3↑4＝3＾3＾3＾3
a↑↑b＝a↑（a↑b）
a↑↑↑b＝a↑（a↑（a↑b）
例）3↑↑↑4＝3↑（3↑（3↑4）
a→b＝a↑↑・・・↑↑a ※↑の数がb個
（これも通常のa→b→cよりa→bとした方が解りやすいので上記のように表記）
例）3→4＝3↑↑↑↑3
a→→b＝a→（a→b）
例）3→→4＝3→（3→4）
なお、a→b→c→・・・→zの変換はタワー表記↑で行われないので。矢印記号の統一を
図るため、下数矢印表記では行わないことにしています。
463:ルート41
07/09/28 20:51:49
矢印回転○は
a○b＝a←a ※b回転目の←
例）3○4＝3←3 ※4回転目の←ｙ
下数矢印記号ならグラハム数を超えるのは3↓130と推測されます。
また、下数矢印記号のa○bは上数矢印のa↑↑bより
小さい値を示めします。（ａ≧2でｂ≧2の時）
僕自身は最初、通常の矢印記号を間違って下数矢印記号のように理解しておりりました。
なお、コンウェイのチェーン表記
ａ→→ａ→→ａ→→ａ
の正しい計算方法が判らないため、
ａ→ａ→ａ→ａ
と同じ計算をすると仮定しています。（その計算も膨大過ぎるため、結果は推測です）
464:１３２人目の素数さん
07/09/28 21:03:24
>>463
a→→a→→a→→aは
(a→→(a→→(a→→a)))の順で計算すると僕は思っています（つまり最後から)
465:ルート41
07/09/28 22:43:32
>>464
その計算ならコンウェインのチェーンもそれほど大きくならなくてすみますよね。
仮に
Ａ→→ｂ→→ｃ＝Ａ→→（Ａ→→（ｂ-1）→→ｃ）→→（ｃ-1）
だった場合
3→→3→→3＝3→→（3→→26）
3→→3→→4≒3→→（3→→・・・（3→→3）※（）の数が49個
と物凄い勢いで（）が増えていきますからね。
これで行くと、矢印回転の意味合いが変わってきますからね。
466:たろう
07/09/29 00:12:25
>>460
■上数定義
↑↑↑ の定義は合ってる？
↑から↑↑の変化に比べて、↑↑から↑↑↑の変化が小さすぎる。
↑↑↑↑以降の定義も↑↑から↑↑↑に増やした場合と同じ様だとすると、
a○n でやっとコンウェイのチェーンn個のn位の大きさ。
a↑↑b↑↑c や a↑↑b↑↑c↑↑d を a↑b↑c やa↑b↑c↑d と同じように定義して、
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑....↑↑a
としないと。
これだと、a→n でコンウェイのチェーンn個のn位の大きさ。
■下数定義
a○b でやっとアッカーマン関数と同程度になるような気がする。
3↓130 ではぜんぜんグラハム数に到達しないんじゃ....
467:１３２人目の素数さん
07/09/29 07:53:52
>>465
Ａ→→ｂ→→ｃ＝Ａ→→（Ａ→→（ｂ-1）→→ｃ）→→（ｃ-1）
これは盲点でした確かに凄いことになりますね
468:ルート41
07/09/29 11:59:02
>>466
上数定義はご指摘の通り。
Ａ↑↑ｂ↑↑ｃ＝Ａ↑↑（Ａ↑↑・・・（Ａ↑↑ｂ）※（ ）の数ｃ↑↑ｃ
A↑↑↑ｂ＝A↑↑A↑↑・・・↑↑A ※（↑↑）の数がｂ↑↑ｂ
が抜けていました。
僕はタワー表記を
3↑↑↑↑3
＝3↑↑↑（3↑↑↑3）
＝3↑↑↑（3↑↑（3↑↑3）
＝3↑↑（3↑↑（3↑↑（3↑↑3）
と計算出来ると間違えておりました。勉強になりました。
独学でやっていると間違った計算をそのまま使用してしまいますね。
ところで、矢印2回転目の↑はこのスレではタワーの計算で定義して
るんですかね？それともチェーンの計算方法？
469:１３２人目の素数さん
07/09/29 15:57:31
>>468
それはおそらくチェーンでしょう(↑2)はチェーンよりも上位の矢印なわけですし
470:１３２人目の素数さん
07/09/29 16:49:54
7 名前：【Bird's Revolving Arrow Notation】 ：03/04/04 19:46
定義をまとめておきます。
参考：チェーンとの対応は(a→b→...→x→y→z)=↑1(a,b,...,x,y,z)
タワーとの対応は(a↑...c個...↑b)=(a→b→c)=↑1(a,b,c)
以下a,b,...,zは全て自然数(>0)とします。
まず多変数関数↑1を次で定めます。
↑1(a):=a
↑1(a,b):=a^b
3変数以上に対しては、
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,y) (y=1 or z=1)
↑1(a,b,...,x,y,z):=↑1(a,b,...,x,↑1(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (y>1,z>1)
次に多変数関数↑n-1から、多変数関数↑nを作ります(n>1)。方法は、
↑n(a):=a
↑n(a,b):=a^b
↑n(a,b,c):=a^b (b=1 or c=1)
↑n(a,b,2):=↑n-1(a,a,...,a) (aがb個)
↑n(a,b,c):=↑n(a,↑n(a,b-1,c),c-1) (b>1,c>2)
4変数以上に対しては、
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,y) (y=1 or z=1)
↑n(a,b,...,x,y,z):=↑n(a,b,...,x,↑n(a,b,...,x,y-1,z),z-1) (y>1,z>1)
471:ルート41
07/09/29 17:13:49
>>469 >>470
回答ありがとうございます。
矢印回転はチェーンの計算を基本にしているんですね。
ただし、コンウェインのチェーン表記のA→→ｂ＝A→A→・・・→A ※Aの数がB個
A→→→ｂ＝A→→（A→→A→→・・・→→A）※( ）無いのAの数がｂ個
は含まないみたいですね。
472:１３２人目の素数さん
07/09/29 21:08:34
２日前に何かを検索する途中、なぜか「グラハム数」に出会ってしまいました。
（何を検索していたのかは忘れましたが･･･）
その「暴力的」な増加（というか爆発と表現する方が適切か？）の先に得られるグラハム数に驚愕しました。
また同時にえも云われぬ高揚感を抱きました。
それからすぐに巨大数研究室のページに辿り付き、過去スレの１～６を貪るように読みふけりました。
正直、かなり序盤の方で僕の理解を超える議論がなされていましたが
巨大数探索（今となってはこの表現は不適当でしょうが）スレッドには
ログを読むことを放棄させない魅力、というかなんらかの魔力のようなものがあります。
473:４７２ですが･･･
07/09/29 21:10:02
個人的に確実に理解できているのは今のところチェーン表記がせいぜいというアフォっぷりです。
アッカーマン関数の爆発具合はなんだか凄い、というのも分かります。
熱心に議論している諸氏に対して不謹慎かもしれませんが
スレの途中に出てくるプロジェクトXやRPG風の記載をおもしろく読んでいる程度です。
そんな僕ですがひとつ疑問があります。
今更すぎてスレ汚しなのは承知していますが恥をしのんで聞かせてください。
Hardy functionについて順序数ωが理解できません。
自然数全体集合についての最小の無限順序数がωとのことですが
「つまりωは自然数ではない」との理解でいいのでしょうか？
自然数 → 整数 → 有理数 → 実数･･･というような広がりとは根本的に異なるのでしょうか？
474:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/01 01:03:09
>>473
「ωは自然数ではない」との理解でいいです。
475:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/01 01:06:09
例の文書を書く中で、バード数と多変数アッカーマンの比較などをして
いたところです。
A(1,0,2,1,2)がバード数よりも大きい事が分かりました。
476:１３２人目の素数さん
07/10/01 17:43:33
＞A(1,0,2,1,2)がバード数よりも大きい
ど、どういうことですか?
0と1と2しかないのに
477:１３２人目の素数さん
07/10/01 18:00:18
Veblen関数の日本語wikiが書かれています。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
478:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/01 21:14:03
>>476
細かい計算は、おいおいアップする文書に書く予定です。
興味のある人は楽しみにしていてください。
Aの定義にしたがって計算して行くと、
A(1,0,0,0,x)=A(x,0,0,x)≒↑x(x,x,x)
A(1,0,0,n,x)>X_n(x)
A(1,0,0,1,0)=3
A(1,0,0,2,0)≒↑3(3,3,3)>G
A(1,0,0,3,0)>↑G(3,3,4)=N
A(1,0,1,4,0)>H
A(1,0,1,5,0)>X_H(N)
A(1,0,2,1,2)>B(バード数)
といった感じになります。細かい計算をしなくても、
バード数の定義の X_n(a) の入れ子操作n回 ≒ F[ω^3+ω+1](n)
A(1,0,2,1,n) ≒ F[ω^3+ω*2+1](n)
から考えると妥当な結果だと思います。
> 0と1と2しかないのに
1だけでも十分ですよ。
A(1,1,1,1,1) > A(1,1,1,0,B) ですから。
479:たろう
07/10/02 00:04:59
バード数 < Ak(1,0,1,2,2)
480:たろう
07/10/02 00:23:17
-------- バード数の定義 --------
X[0](n) = ↑n(n,n,n)
X[m+1](n) = X[m]^n(n)
N=↑G(3,3,4)
f(n) = X[n](N)
バード数 = f^(f^2(N)+1) (N)
※↑n(n,n,n) の定義は「巨大数探索スレッド５」の >>7
※n, m = 1,2,3,....
-------------------------
であってるかな？
g(n) = X[n](n) とすると、
g(2) > N となって、g^(n+1)(2) > f^n(N) となり、
バード数 = f^(f^2(N)+1) (N) < g^(g^3(2)+2)(2) となる。
g(n) < Ak(1,0,1,0,2n) から、
g^n(2) < A(1,0,1,1,2n) となり、
g^(g^3(2)+2)(2) < Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,1,6)*2+4) < Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,1,Ak(1,0,1,2,0))) = Ak(1,0,1,2,2)
よって バード数 < Ak(1,0,1,2,2)
481:１３２人目の素数さん
07/10/02 14:02:59
>>478-480
50%くらいはわかりました、しかし5変数でこれならn変数akとかはどうなってしまうのだろう?
482:１３２人目の素数さん
07/10/02 18:42:38
n変数でH[ω^ω^(n-1)]くらいに相当すると思われます。
483:１３２人目の素数さん
07/10/02 18:47:09
>>482
じゃあH[ε_0]のほうがはるかにでかいんですね,すごいぞHardy function
484:１３２人目の素数さん
07/10/02 20:34:14
busy beaver function のほうがはるかにでかい
485:１３２人目の素数さん
07/10/02 21:21:21
BBはなぁ。
でかいことはわかっているがどれくらいでかいかさっぱりわからんからなぁ。
486:ルート41
07/10/02 22:04:47
>>466
＞＞468の修正定義で計算し直してみました。
下数矢印でグラハム数を表記すると
3○（3○・・・（3↓（3→（3↑3）※3○（が63個と計算できました。
ただ、上数矢印の方なんですが、コンウエインのチエーン表記が
4→4→4→9＜4→4→4→3→2であり
（最後の数が多き時よりチェーンを伸ばして3→2にした方が大きい）
a→a→・・・→3→2＝a→a→・・・（a→a→・・・～（a→a→・・・→a)
※Aの数がｎ個の場合（ ）の数が（A→A→・・・→A）Aがｎ個
と計算で出ます。
例）4→4→4→3→2＝（4→4→4→（4→4→4→（・・・（4→4→4）
（ ）の数が4→4→4個
すると上数矢印が
a→a→・・・→a＝a→a→・・・（a→a→・・・～（a→a→・・・→a)
※Aの数が（ｎ+1）個の場合（ ）の数が（A→A→・・・→A）Aがｎ個
となるので、チェーンｎ個のｎに相当すると計算がでたんですが？
例）4→4→4→4＝（4→4→4→（4→4→4→（・・・（4→4→4）
（ ）の数が4→4→4個
また、コンウェインのa→→→・・・→a（右の数がｎ個）と
上数矢印のa↑↑↑・・・↑a（↑がｎ+1個）が同程度になる。
まあ、上のA(1.0.2.1.0）と比べると無に等しいですが。
487:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/02 22:56:33
>>480
なるほど、そうやって計算するんですね。
たとえばグラハム数だと
f(n)=3→3→nとすると
f(n)<A(1,0,n+2) から
f^n(n)<A(1,1,n+2) となり
グラハム数 = f^64(4) < A(1,1,66) < A(1,1,A(1,2,1)) = A(1,2,2)
よって グラハム数 < A(1,2,2)
といった感じかな。
たぶん A(1,2,1) = A(1,1,61) < グラハム数 < A(1,2,2)
488:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/03 00:49:06
よく考えたら、>>487の計算はすでに自分がしていました。
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここの320がF1の定義、329-331がS変換の計算。
S変換をn回施した後のg(x) = A(n-1,x,x)
S変換を2回施した後のg(2) = A(1,2,2) > グラハム数
489:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/03 00:59:22
ふぃっしゅ数バージョン3(F3)と多変数アッカーマンの関係
F3改良型
関数f(x)からg(x)への写像s(n) (n>0)を以下のように定める。
s(1)f:=g; g(x)=f^x(x) [原始帰納]
s(n)f:=g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x)f (n>1) [n重帰納]
（以下略）
（注）旧F3のs(n)が、新F3のs(n+1)に相当する。
このとき、f(x)=x+1として
[s(1)^a1][s(2)^a2]...[s(n)^an]f(x) = A(an,...a2,a1,x)
490:ルート41
07/10/03 03:50:22
>>466
>>486です。
3→3→3→4と3→3→4→3を計算すなおして自分の間違いに築きました。
チェーン表記は僕の理解より大きな数字なんですね。
491:１３２人目の素数さん
07/10/03 17:35:23
Hardy functionすげえなF_α+1(x)あたりから計算してみたけど
F_α+ω^3(x)で矢印回転関数を超えてしまった
492:１３２人目の素数さん
07/10/05 00:55:35
α？
493:１３２人目の素数さん
07/10/06 04:39:09
＞>>266 のように、ある言語を用いて大きな可算順序数を作ることを考える。
＞n文字（またはn単語、nトークンなど） で表せる最大の可算順序数を
＞o(n) とした場合、この極限 lim o は可算なのだろうか？
＞
＞可算だとすると、
＞帰納的定義では到達できないほど大きな可算順序数が存在することになる。
＞
＞非可算（つまりΩ）になるとすると、
＞可算順序数の列で、極限が非加算になるものが存在することになる。
結局これってどっちなの？ビジービーバーっぽいけど…
可算だとしたらBB(x)に匹敵するH[可算順序数](x)が存在するってこと
になるのでは？
494:１３２人目の素数さん
07/10/06 13:19:30
グラハム数<A(1,2,2)
グラハム数の大きさに仰天していた時代がなつかしい、いまじゃこんな（相対的に）小さい
数になってる
495:１３２人目の素数さん
07/10/07 01:53:15
>>493
その文だと分かりにくいが、ω_1^CKのことか
ω^1_CKなら、可算かつ計算不可能な順序数
496:１３２人目の素数さん
07/10/07 02:01:32
>>493
って、>>268-273で既に答えられてるじゃないか
というか、可算のものを用いて可算ステップの構成を行ったとき、
その結果は絶対に可算だよ。
497:もやしっ子
07/10/07 02:30:24
あの、懲りずに勉強会などやりたいのですが。
場所は文京区シビックセンター和室(と思われます。)
前回は告知がグダグダだったのでトータル2人でした。
11/3あたり場所取りできるかも(他力本願)なので初心者からガチの方まで
参加して頂ければ幸せです。
日程、場所は変更することがあります。
気になった方はメール欄のアドレスに送ってどうのこうのして頂ければ。
特にガチで戦える方、切実にご教授を望みます。素人計算だけでは無理です。
498:１３２人目の素数さん
07/10/07 05:01:06
なぜメ欄にねぎ姉さんの作者のメアド？
499:もやしっ子
07/10/07 16:41:39
mixiでばらしているのですが、わたくし「もやしっ子」が
「ねぎ姉さん」の作者だからです。
500:１３２人目の素数さん
07/10/07 21:58:04
ねぎ姉さんの作者がこんなスレに来るなんて意外だ。
東大でゼミをやると聞いて最近驚いたばかりなのに。
501:１３２人目の素数さん
07/10/07 23:47:26
このスレにいることより、初期からいて研究室を立ち上げた
もやしっ子だったのが驚き
502:１３２人目の素数さん
07/10/08 08:07:58
ねぎ姉さんって誰?
503:１３２人目の素数さん
07/10/08 10:44:55
,．-─ ─-､─-､
, イ)ィ -─ ─- ､ﾐヽ
ノ ／,．-‐'"´ ｀ヾj ii / Λ
,ｲ／／ ^ヽj(二ﾌ'"´￣｀ヾ､ﾉｲ{
ノ/,／ミ三ﾆｦ´ ﾞ､ﾉi!
{V /ミ三二,ｲ , -─ Yｿ
ﾚ'/三二彡ｲ .:ィこﾗ ;:こﾗ j{
V;;;::. ;ｦヾ!V ｰ '′ i ｰ ' ｿ
Vﾆﾐ( 入 ､ r j ,′
ヾﾐ､｀ゝ ｀ ｰ--‐'ゞﾆ<‐-イ
ヽ ヽ -''ﾆﾆ‐ /
| ｀､ ⌒ ,/
| ＞ ---- r‐'´
ヽ＿ |
ヽ ＿ ＿ 」
ググレカス [ gugurecus ]
（西暦一世紀前半～没年不明）
504:１３２人目の素数さん
07/10/08 12:51:51
ネギまとはかんけいないのか…。
505:ルート41
07/10/11 16:36:09
>>460の上数矢印はとても上数とは呼べる品物ではなかったので。改めて上数の方を
定義しなおしてみました。今度は矢印回転でｎ重帰納関数になったと思うんですが。
段落ごとに整理して定義してみます。
①ａ↑0＝ａ ａ↑ｂ＝a＾a＾・・・a＾a ※＾の数がｂ個
例）3↑1＝3＾3
3↑3＝3＾3＾3＾3
②ａ↑↑0＝ａ ※以降右の数字が0のときはａとなります。
ａ↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑（ｂ-1）） ※タワーの計算と一緒
例）3↑↑2＝3↑（3↑3）
3↑↑3＝3↑（3↑（3↑3））
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
1-①ａ→↑ｂ＝ａ↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
例）3→↑4＝3↑↑↑↑3
1-②ａ→↑↑ｂ＝ａ→↑（ａ→↑↑（ｂ-1））
例）3→↑↑4＝3→↑（3→↑（3→↑（3→↑3）））
2-①ａ→→↑ｂ＝ａ→↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
例） 3→→↑4＝3→↑↑↑↑4
2-②ａ→→↑↑ｂ＝ａ→→↑（ａ→→↑↑（ｂ-1））
※→を伸ばす操作が2重帰納関数
506:ルート41
07/10/11 16:37:40
1-1-① ａ↓→↑ｂ＝ａ→→・・・→↑ａ ※→の数がｂ個
1-1-② ａ↓→↑↑ｂ＝ａ↓→↑（ａ↓→↑↑（ｂ-1））
1-2-① ａ↓→→↑ｂ＝ａ↓→↑↑・・・↑ａ ※↑の数がｂ個
2-1-① ａ↓↓→↑ｂ＝ａ↓→→・・・→↑ａ ※→の数がｂ個
※↓を増やす操作が3重帰納関数
矢印の回転数を○で表すと
ａ○ｂ＝ａ←↓→↑←・・・→↑ａ ※矢印記号がｂ個
※ｂの数値を増やす操作がｎ重帰納関数
ここまで書く気がつく人も多いと思いますが、↓→↑の記号の意味を
左の段階を表す1-1-①のほうが簡単に表してます。
そこで実際の上数矢印は
ａ（ｚ-ｙ-・・・ーｆ-ｅ-ｄ-↑ｃ）ｂと表記します。
例） 7（3-2-4-↑5）6≒7←←7←←7←←7←←6←←5
※コンウエインのチェーン表記の→→の定理を含んだ矢印回転表記です。
また、グラハム数＝3（1-↑1）64となります。
507:133人目の素数さん
07/10/11 20:20:32
簡単すぎて ツマンネーーーーーーーー
508:たろう
07/10/11 22:30:56
N (...-b3-b2-b1-↑b0) c = ↑[..., b3, b2, b1, b0, c] と書くことにすると、
↑[Ｘ, 0] = N
↑[□, 1, a+1] = N ^ ↑[1, a]
↑[□, 1, 1, △, a+1] = ↑[a+1, △, N]
↑[Ｘ, b+2, 1, △, a+1] = ↑[Ｘ, b+1, a+1, △, N]
↑[Ｘ, b+2, a+1] = ↑[Ｘ, b+1, ↑[Ｘ, b+2, a] ]
N○a = ↑[1がa個, N]
ただし、
a, b : 0以上の整数
N: 1以上の整数
□: 0個以上の0
△: 0個以上の1
Ｘ: 0個以上の0以上の整数
まとめるとこんな感じかな？
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
これは
③ａ↑↑↑ｂ＝ａ↑↑（ａ↑↑↑（ｂ-1））
これの間違いですよね？
509:ルート41
07/10/11 22:38:34
>>508
ご指摘の通り間違いです。訂正ありがとうございます。
510:もやしっ子
07/10/12 03:38:26
あ、どうも。
ふぃっしゅしゅ氏とメールでコンタクトを取っています。
僕と遊んで頂けるようなので、2人だと寂しいから誰か来ませんか。
当日の内容は、集まったメンツと流れ次第で決める感じで。
511:有流才蔵
07/10/12 18:13:35
なんだ、まだやってたのかこのスレ
ちなみにHNは「うるさいぞう」って読むんだよｗ
実は関東在住でヒマだから行ってやってもいいけど
もう昔のことなんか忘れちまったよｗ
ちょっと過去ログみたら、モヤシが、カナモリの本持ってるって書いてあって
「をひをひ、そこまでやるか。でも、オレも買ったけど」なんちってｗ
そういえば、どっかの集合論フリークのブログで0#の話書いてあったな。
今のオレはあの程度でもうおなか一杯っていうか、別方面に関心があるんで。
512:有流才蔵
07/10/12 18:28:47
最近凝ってることの一つは、自然数を素数だけで表すこと
自然数は素数の積で表せるが、その場合素数の指数に表れる
自然数をまたシツコク素数の積で表し・・・なんて続けると、
いい加減どっかで１になる。
こうやって出来た素数による「木」を見て眺めるわけだ。
まるで爺ィの盆栽趣味だなｗ
513:１３２人目の素数さん
07/10/12 22:03:16
木か。
木もうまく使えば巨大数生成に役立つかもね。
ていうか多重リストが木に相当するのかな。
514:１３２人目の素数さん
07/10/12 23:07:31
>>342の多進木がそれかな。
515:もやしっ子
07/10/12 23:11:42
盆栽というか、そのものぢゃないですか。趣があっていいと思います。
カナモリ氏の本はね…僕はいまだにforcingも使えませんからね…
思うにあの頃の才蔵氏はツンデレの最先端を地で行っていたと思います。
今回集まってやるのは、よくて才蔵氏の後を追っかけるようなものなので
(Hardy関数ってなんぞ、とかそういう)
半端なことやってるの見られたらリアル雷落とされちゃうかな？
みたいな。
ま、ママゴトですからよかったらお気軽にどうぞ。
516:１３２人目の素数さん
07/10/12 23:39:53
>>512
なんとなくコラッツ予想の木を思い出した
517:有流才蔵
07/10/13 07:00:20
＞僕はいまだにforcingも使えませんからね…
はっはっは、･･･実は漏れも使えん･･･ＯＴＬ
＞思うにあの頃の才蔵氏はツンデレの最先端を地で行っていたと思います。
漏れは涼宮ハルヒかっ！
しかし、このスレに本当に必要なのは・・・長門有希だな・・・
実際には、朝比奈みくるみたいのばっかりだが。
み・み・みらくる・みくるんるんｗ
518:有流才蔵
07/10/13 16:23:30
そういえば、512でいってた写像だけど
木に適当な順序をつければε_0になるので
実は自然数をε_0にみなせるんだよね。
519:１３２人目の素数さん
07/10/13 17:58:15
順序数を木で表し、最も効率の悪い切り方（常に一番端から切る）をした
時にすべてをカットしたときの手数をnとすると、
n=Hα(1)-1 α<ε0
となる。
ただし、
H0(x)=x
Hα+1(x)=Hα(x+1)
Hα(x)=Hα[x+1](x+1) (αが極限順序数のとき)
とする。
520:１３２人目の素数さん
07/10/14 08:45:17
>>519
＞順序数を木で表し
kwsk
521:１３２人目の素数さん
07/10/14 15:10:36
前スレ辺りのHydra gameを要約しすぎたんだと思われ
522:有流才蔵
07/10/14 21:14:00
ところで５スレの６８２ってのは呼びにくいな。
初登場は2003年10月10日か。もうこの頃漏れは別スレで暴れてたな（をひ
（この流儀でいくと
漏れ様は３スレの２６４(2002年11月7日初登場)
モヤシは２スレの６９５(2002年8月8日初登場)
サカナは２スレの１４８(2002年6月20日初登場)）
じゃあ、漏れが渾名をつけてやろう。
ナゴヤンってのはどうだ（ｗ
523:１３２人目の素数さん
07/10/14 21:45:46
有流才蔵マジキモイ
524:有流才蔵
07/10/15 16:49:07
>>380
＞まずはふぃっしゅ数ver.5の定義をはっきりさせる
＞ところからはじめようと思います。
なんかでじゃぶーｗ
もちろん、対角化によって増大度を上げることはいくらでもできるよ。
ただこの場合、関数の列をどう構成するかがカギなので、
そこが記述できてないと全然意味がない。
早い話が、ＢＢだって対角化。でもこの場合関数の列を構成する
手続きが書けないから、関数を手続きとして考える場合には失格。
Hardy関数は、順序数の構成手続きによって、関数の列を構成する
手続きが決まるから、その意味では合格。
525:有流才蔵
07/10/15 17:07:24
>>448をみた。
発想としてはprimitive recursive functionalを用いる
Goedelの自然数論の無矛盾性証明に通じるものか？
ちなみにprimitive recursive functionalによって
作れる関数の範囲はε_0より小さい超限帰納法による
ものと同等。
526:有流才蔵
07/10/15 21:28:09
(ふぃっしゅ評）
>打たれても打たれても立ち上がってくる、
>ジャンプ系の主人公
>戦隊組んだら、間違いなく赤
ふーん。じゃ、後から出てきて
Hardyだのなんだのと、エエとこどりの
ナゴヤンはさしずめクールな青か。
モヤシは・・・喫茶店のマスターだなｗ
そんでもって、漏れは悪役。
イメージとしてはレインボーマンに出てくる
死ね死ね団の団長、ミスターＫだな。
527:１３２人目の素数さん
07/10/16 06:51:43
現時点で、具体的な計算方法が示されている関数の中で
一番大きいのはH[ψ_0(Ψ)]なのかな。
>>391の方針でうまくいけば、もっと大きい関数が作れそうだけど。
528:１３２人目の素数さん
07/10/16 10:18:28
もうなんか巨大順序数探索スレって感じになって来たな。
より大きな帰納的関数を作れば作るほどビジービーバーが
どれだけたがの外れた増加をするのかがわかってくるな。
529:有流才蔵
07/10/16 14:27:28
>>111
>過去ログによれば、
>ふぃっしゅ関数ver.1<F[ω^2]、
>ふぃっしゅ関数ver.2<F[ω^3]、
>ふぃっしゅ関数ver.3はF[ω^ω*63]程度
漏れとしては
・ver.1の評価・・・○ (6スレ526-527)
・ver.2の評価・・・△ (6スレ527-529)
・ver.3の評価・・・× (6スレ544)
(どうみてもω^ω未満。あれではω＾ωが出来たとはいえない）
530:有流才蔵
07/10/16 14:39:45
>>289 >>292
たろうクン、289が正しいよ。292はまちがっとる。
さらに、ω＾ωのレベルになったら、加えたんじゃダメ。掛けなくちゃ。
したがって
>>311
＞ふぃっしゅ数バージョン５のf5(n) ≒ F[ε_0](n)
は却下。差し戻し。
531:有流才蔵
07/10/16 14:54:22
>>387 >>388
力づくで間違ったな。
>m3 m2 ===> +ω
･･･
>m3 m3 m2 ===> ω^2
>m3^a m2 ===> ω^a
ここが力づくの誤り。
そんなことはふぃっしゅは書いてない。
532:有流才蔵
07/10/16 15:02:50
>>531
書いてないから、これはたろうクンのオリジナルな貢献だ。
たろうクン、おめでとう。
ということで、勝手ながら
ふぃっしゅ５に対するたろう氏の解釈を入れた関数を
ふぃっしゅ＝たろう関数、いや、たろう関数、と
呼ぶことにしたい（ｗ
533:１３２人目の素数さん
07/10/16 16:50:59
（オリジナルはむしろ前スレだと思うんだが）
534:有流才蔵
07/10/16 17:26:57
>>533
6スレ305の魚スキーのことか？
だったら、魚スキー関数だな。
魚スキーの解釈は、こういうことらしいが・・・
果たしてふぃっしゅのいう高階関数による"定義"と一致するかい？
(高階関数＝汎関数(functional)だから、
Goedelの仕事と関連づければうまくいきそうな気はするが）
＋１ １、２、３、・・・
(m2) ＋ω ω、２ω、３ω、・・・
m2^n ×ω ω、ω＾２、ω＾３、・・・
(m3) ×（ω＾ω） ω＾ω、ω^２ω、ω＾３ω、・・・
m3^n ＾ω ω＾ω、ω＾（ω＾２）、ω＾（ω＾３）、・・・
(m4) ＾（ω＾ω） ω＾（ω＾ω）、ω＾（ω＾２ω）、ω＾（ω＾３ω）、・・・
m4^n ＾＾ω ω＾（ω＾ω）、ω＾（ω＾（ω＾２））、ω＾（ω＾（ω＾３））、・・・
(m5) ＾＾（ω＾ω） ω＾（ω＾（ω＾ω））、ω＾（ω＾（ω＾２ω））、ω＾（ω＾（ω＾３ω））
・・・
もちろん、これでうまくいくのはε_0より小さい部分だけだが
535:１３２人目の素数さん
07/10/16 19:39:24
>>511
> もう昔のことなんか忘れちまったよｗ
と言っている割には、よく覚えてますね。
536:5-682
07/10/16 21:01:39
>>522
さすがに関東地方までオフ遠征は時間がなくきついです。
東海地方でやるのなら大丈夫ですがさすがにありえないようですね。
>>528
自分がHardy関数を応用して順序数から巨大関数を
作ることを発案してから皆巨大順序数に追求してしまいましたからね。
自分も今はΩ_ωの段階からさらにΩ_Ω_ ... _ωまでの順序数を考えて、
そこからさらに [1,0] → [1_Ω_n, ... , 1_1] = [Ω_n | 1] → [ [ω | 1]_Ω_n, ...]
と多重リストと順序数を組み合わせたナゴヤ関数Ver2みたいなものも
考えてたりしています。
Ver1.1ではとりあえずF[1_ω, ... , 1_2, 1_1](x)程度にしておきます。
たろう関数とかライバル的な存在も出てきてさらに面白くなると思ってます。
537:たろう
07/10/16 21:45:51
>>532
ふぃっしゅ数バージョン５の定義から単純に導いただけで、
新たな定義を加えてはいません。
だから「たろう関数」ではなく「ふぃっしゅ関数バージョン５」です。
m2 ===> +1 （f ≒ F[a] の時、 m2 f ≒ F[a+1] という意味）
m2 m2 ===> +2 （f ≒ F[a] の時、 m2 f ≒ F[a+2] という意味）
m2^a ===> +a ....☆1
ここまでは理解していただいたようなのでこの先。
m3 の定義より、
m3 m2 f (n) = m2^n f (n) で、 ........ただし、f∈M_1, n∈M_0
これと☆1より、f ≒ F[a] の時、m3 m2 f (n) = m2^n f(n) ≒ F[a+n](n) となる。
F の定義より、F[a+n](n) = F[a+ω](n) であるので、
m3 m2 ===> +ω ...☆2
またm3の定義より、
m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f(n) で、 ........ただし、f∈M_1, n∈M_0
これと☆2より、f ≒ F[a] の時、m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f (n) ≒ F[a+ω･n](n) となる。
F の定義より、F[a+ω･n](n) = F[a+ω^2](n) であるので、
m3 m3 m2 ===> +ω^2
538:たろう
07/10/16 22:47:30
計算可能でない関数についてもう一度考えてみました。
>>232 や >>282 は実はあまり大きくなく、ビジービーバーのハーディー関数的拡張と大差ないです。
つまり、B[a](n) を、
B[0](n) = n
B[a+1](n) = BB｢ B[a] ｣(n)
B[A](n) = B[A_n](n)
と定義したとき、B[a](n) ≒ M[a](n) となるようです。
（....BB｢｣ >>228 のもの）
ふぃっしゅ数V4は
>ふぃっしゅ関数ver.3はF[ω^ω*63]程度
これが正しいとすると、F4(n) ≒ B[ω^ω*63](n) 程度となります。
>>229 の CC は
B[帰納的でない最小の順序数](n) 程度となります。
>>233 は>>229 の拡張のつもりでしたが、動作が足りなくてあまり大きくないようです。
539:たろう
07/10/16 22:58:10
ハーディー関数の順序数を帰納的でないものまで拡張すると、
大きな関数が作れます。
ω_1^CK (Church-Kleene ordinal)
ω_α^CK
などを使います。
テキストで見やすいように、ω_1^CK = CK, ω_α^CK = CK[α] と書くことにし、
便宜的に CK[0] = 0 とします。
CK[0] = 0
CK[a+1]：CK[a] と帰納的定義で作れない最小の順序数
CK[A]：limit CK[A_n]
となります。
CK[a+1] の収束列は、たとえば >>267 のようにします。
つまり、CK[a] と帰納的定義をある表現でn文字で行い、
その中で得られる最大の順序数を S_n としたとき、
CK[a+1] = limit S_n とします。
BB ≒ F[CK]
BB｢BB｣ ≒ F[CK･2]
M[a] ≒ B[a] ≒ F[CK･(1+a)]
CC ≒ F[CK^2]
540:たろう
07/10/16 23:23:10
CK^CK、CK[CK]、CK[CK[.....[CK]]...] など、
順序数から順序数の変換 CK[ ] を用いるとより大きな順序数が作れますが、
これを効率的に行うには以下のようにします。
T[0] = 0
T[a+1]：順序数T[a] と、順序数から順序数の変換CK[ ] と、帰納的定義で作れない最小の順序数
T[A] = lim T[A_n]
多変数化、Ωの導入、C0からC1に拡張したときのような拡張.....
などでさらに大きくすることが出来ます。
541:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g
07/10/17 01:15:05
いよいよ新展開ですね。
頭文字Tが登場したところで、「たろう関数」を定義しては
いかがでしょう。F[T[CK]]とか。
542:１３２人目の素数さん
07/10/17 03:25:26
あ
543:有流才蔵
07/10/17 06:18:48
＞m3 の定義より、
＞m3 m2 f (n) = m2^n f (n) で、
＞またm3の定義より、
＞m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f(n) で、
それはキミの定義だよ。ふぃっしゅの定義は全く存在しない。
＞定義から単純に導いただけ
その定義は全てキミの定義
ふぃっしゅは何も定義しなかった。できなかったんだよ。
544:有流才蔵
07/10/17 06:26:53
>>543
といっても、実際にたろう氏（魚スキー氏？）がやったのは
ふぃっしゅのmnをハーディ関数で解釈しただけ。
実際に仕事したのはハーディか（ｗ
ふぃっしゅは"高階関数"といったのだから、それを生かす形で、
ハーディ関数との関係を示そう。それができてはじめて
”ふぃっしゅの主張”を汲み取ったことになる。
545:たろう
07/10/17 07:14:53
>>543
>>396 の定義より
(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0:=(..(f_n^{f_0}f_{n-1})...f_1)f_0
括弧を省略し、n => 2, f_2 => m2, f_1 => f, f_0 => n
とすると
m3 m2 f (n) = m2^n f (n)
ほとんど定義そのまま。
また、f_2 => (m3 m2) とすれば、
m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f (n)
546:有流才蔵
07/10/17 08:22:53
>>545
>n => 2, f_2 => m2, f_1 => f, f_0 => n とすると
ほら、そこがオリジナルｗ
要は
>(..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0:=(..(f_n^{f_0}f_{n-1})...f_1)f_0
ではダメなので
>(..((m(n+1)m(n))m(n-1))...m(2))f)(x):=(..(m(n)^(x)m(n-1))...m(2))f)(x)
と書くべきであった。
547:有流才蔵
07/10/17 10:58:57
つか、前スレにちゃんと5-714によるλ項による定義あるじゃんｗ
6-52
>m~(1)=λ f_0．f_0 f_0
>m~(2)=λ f_1f_0．f_0 f_1 f_0
>・・・
>m~(n+1)=λ f_n f_{n-1} ... f_0．f_0 f_n f_{n-1} ... f_1 f_0
うーん、もう長門有希はあらわれてたんだな・・・ＯＴＬ
で、誰かこれ試したかい？
548:１３２人目の素数さん
07/10/17 12:38:49
代入がオリジナルなのか…？
549:有流才蔵
07/10/17 13:07:10
>>548
つか、実はエッセンスである５スレの14の
ふぃっしゅの記述が混乱していたのが
問題の始まりなのだ。
5-14
> m(x)^xはm(x+1)m(x)とほとんど同じなので、
こんなことを書くから「でも本当は違うのか？」などと勘繰られる。
実際は、ふぃっしゅはこう書けばよかった。
「m(x+1)m(x)はm(x)^xとして"定義"されるので」
550:有流才蔵
07/10/17 13:28:18
ふぃっしゅ関数Ver.5の決定版定義
m(1): （自然数→自然数）
m(1)x=x^x
m(2): （（自然数→自然数）→（自然数→自然数））
(m(2)m(1))x=(m(1)^x)x
m(3): （（（自然数→自然数）→（自然数→自然数））
→（（自然数→自然数）→（自然数→自然数）））
((m(3)m(2))m(1))x=(m(2)^x m(1))x
一般に、自然数ｎに対して、m(n+1)は以下のように定義される。
(･･･((m(n+1)m(n))m(n-1))･･･m(1))x
=(･･･((m(n)^x m(n-1))･･･m(1))x
ふぃっしゅ関数Ver.5はm(n)を用いて以下のように定義される。
F5(x):=((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)
551:有流才蔵
07/10/17 14:01:32
ふぃっしゅ関数Ver.5の歴史
2003年4月5日 5スレ10、11、14
・ふぃっしゅ氏、ふぃっしゅ関数Ver.5のアイデア
しかしながら、当時は"多重帰納法"ブームの只中で
そこから外れた発想であるVer.5は
しばらく省みられることなく・・・
2004年4月24日 6スレ5
・再び注目され始める
2004年5月2日 6スレ37
・5-714氏 によるλ項の記述
2005年8月29日 6スレ303-305
・魚スキー氏 によるHardy関数を用いた評価（H[ε_0]相当）
ふぃっしゅ関数についていえば、Ver.1ではアッカーマンを
本質的には越えていなかったが、Ver.2でアッカーマンを越え
Ver.3ではほぼ多重帰納法に相当するところまで実現していた
と考えられる。
Ver.5は、これら過去の版を基礎として、結果としては
単純な高階関数を用いた、スッキリとした形で記述された
ふぃっしゅ関数の集大成といってよい。
552:有流才蔵
07/10/17 14:08:52
追伸
正確にいえば、5-714氏によってなされたのは
ふぃっしゅ関数Ver.5の断片であるm(n)の記述であり
これらだけを用いてはH[ε_0]には至らない。
もちろん、ふぃっしゅ関数Ver.5自身をλ項で記述することは
可能であると考えられるが、その場合記述における根本的な
発想の転換が必要と考えられる。
553:有流才蔵
07/10/17 14:30:49
さて過去の総括はこの程度にして
未来への展望を述べてみようか。
まあ、ε_0の次の目標はΓ_0だろうな。
漏れが聞きかじったところでは、Kruskalの定理の証明に
Γ_0までの超限帰納法を用いるらしいから。
Γ_0そのものは無理としても、そこに近づく関数の記述は可能だろう。
Hardy関数は便利かもしらんが、そこで用いられるΛ(x)を
具体的に表すことこそがこのスレッドの意義である。
554:有流才蔵
07/10/17 14:49:33
え？ナゴヤンについてはどう思うかって？知らんよそんな小僧ｗ
最近のオーディナルキッズは、このスレの本質分かってないだろ？
漏れにいわせりゃ「大きいことはいいことだ」なんてのは、
もう１９７０年代のフレーズなわけで。え？知らない？
そんなころには母親どころか父親の中にもいなかった？
じゃ山本直純とか森永エールチョコレートとか知らんわけ？
やれやれ、ほんとにこのスレは小僧ばっかりだな・・・ＯＴＬ
555:１３２人目の素数さん
07/10/17 17:09:34
これはひどい…
556:有流才蔵
07/10/17 18:02:58
>>113
＞多変数関数やリスト構造などを利用した大抵の関数よりもH[ε_0]の方が大きい。
まあ、これは正しい。しかし、だからといって
＞それならば、巨大な順序数を作ってHardy functionを利用する方が
＞簡単に大きな関数が作れます。
こういう安直な方針はつまらない。
やっぱり若いうちは汗をかこう。他人のふんどしで相撲を取るな。
リストでダメならツリーがある。これでε_0は越えられるはず。
で、その場合の新たな限界点はおそらくΓ_0のはず。
昔読んだ、マーチン・レーフの構成的型理論の無矛盾性は
Γ_0までの超限帰納法で証明するとかなんとか聞いた希ガス。
557:１３２人目の素数さん
07/10/17 18:41:19
>>545の
f_2 => (m3 m2) とすれば、
m3 m3 m2 f (n) = (m3 m2)^n f (n)
という計算は、>>550の定義ではできない、はず。
>>553
> Λ(x)を具体的に表すことこそがこのスレッドの意義
そう思うなら、やってみたら？
たしかスネークがあったと思うけど、>>337によれば
あれはω^ω程度のようだし。とりあえずε_0を超えないと。
ふぃっしゅ氏も>>418-419でチャレンジしたけれど、
まだ「ε_1にも到達しなさそう」らしい。
>>338-350の多進木が一つの方法だとは思うけどね。