07/01/27 19:57:32
この方法を繰り返していくと、Γ_Γ_Γ_…_0の収束先として定義される順序数
(>>132,>>136の表記を用いるとφ([2,1],[1,1])と書ける)よりも小さな数はすべて作ることができますが、
φ([2,1],[1,1])は作ることができません。そこで、初めてψ(Ω)を考えます。
ψ(Ω)は、0とΩに加法、Veblen関数、ψを適用しても作ることのできない最小の順序数です。
(ただしΩにはψを適用しない) つまり、ψ(Ω)=φ([2,1],[1,1])です。
ψ(ψ(Ω))を考えると、ψ(Ω)=φ([2,1],[1,1])より小さい順序数に
加法、Veblen関数、ψを適用しても作ることのできない最小の順序数なので、
ψ(ψ(Ω))=ψ(Ω)=φ([2,1],[1,1])となります。
ψ(Ω)≦α≦Ωとしてψ(α)を考えると、ψ(Ω)を使うことはできないので、ψ(α)=ψ(Ω)となります。
なので、次はψ(Ω+1)を考えればいいです。
あとは結果だけ書きますが、>>132,>>136の表記とψを用いた表記を比較すると、
ψ(Ω^Ω^α)=φ([α,1]) (α≧ω)となるようなので、
>>132,>>136の表記ではψ(Ω^Ω^Ω)未満の順序数しか表せないようです。
6-708で出てきたHoward ordinalというのはψ(ε_(Ω+1))だそうです。
ε_(Ω+1)はおそらくΩ^Ω^Ω^…^Ωの収束先です。