07/01/17 11:11:45
拡張Veblen関数による順序数の大小関係
α=φ(…,[β,γ],…)のとき、γをαのβ成分と呼ぶ。
γ=φ(…)のとき、α＜γ,β＜γならばα+β＜γ
β=φ(…)のとき、α＜βならばα+β=β、α≧βならばα+β＞α,β
α=φ(…),β=φ(…)のとき、αのγ成分＞βのγ成分 となるγが存在して、
δ＜γならばα＞βのδ成分 であり、ε＞γならば αのε成分=βのε成分 が成り立つとき、α＞β
α=φ(…,[β,γ]),γ=φ(…)のとき、δ＜βならば αのδ成分=0 であり、
ε＞βならば αのε成分≦γのε成分 であり、
ζ＞β、αのζ成分＜γのζ成分 となるζが存在するならばα=γ
上記のような大小関係が成り立つように、>>132、>>136で収束列を定めてあります。
ただし、上の式での=は順序数として等しいだけで、>>132、>>136で定義される収束列は異なるので、
>>132、>>136の関数の計算で=とすることはできません。
また、上の大小関係を見ると0以外の自然数が出てきていませんが、
0より大きくφ()よりも小さい数が存在しないとしても矛盾は生じないので
φ()を1とみなせることが分かります。