07/01/12 09:17:41
>>132
小さい値について計算してみると、こうなります。
f(0)=F[0](0)=1
f(1)=F[φ([0,1])](1)=F[1](1)=F[0](1)=2
f(2)=F[φ([φ([0,1]),1])](2)=F[φ([φ([0,1]),0],[2,1])](2)=F[φ([2,1])](2)=F[φ([2,0],[1,φ([2,0],[1,0])])](2)
=F[φ([1,φ()])](2)=F[φ([1,1])](2)=F[φ([1,0],[0,φ([1,0],[0,0])])](2)=F[φ([0,φ()])](2)=F[φ([0,1])](2)
=F[2](2)=F[1]F[1](2)=F[1]F[0]F[0](2)=F[1](4)=F[0]F[0]F[0]F[0](4)=8
この関数はH[Γ_0]よりもずっと大きい関数なので、このスレで今まで出てきた関数の中では
ナゴヤ関数とBBを除くどの関数よりも急激に増加するはずです。
BBは計算可能などの関数よりも大きいので、当然この関数よりも大きいです。
ナゴヤ関数は、順序数にHardy functionを適用するとどの位大きくなるか見積もらないと比較できません。
リスト構造で比較してみると、ナゴヤ関数Ver.1は”自然数”個の変数を使っているのに対し、
この関数では[α,β]を「α番目の要素がβ」という意味で解釈しているので、
ある意味では”順序数”個の変数を使っていることになります。
見た目はただの2重リストですが、要素が順序数なので自然数を要素とする2重リストよりは
はるかに複雑な構造となります。
>>116では"Veblen関数を多変数に拡張してもF[ε0](ω)には足元にも及ばない"と書いてありますが、
F[ε0]はあくまでも「自然数のリスト構造」を変数とする関数より大きいだけで、
「順序数のリスト構造」となるとそうは言い切れないと思います。