07/01/11 06:33:04
>>125-126についての説明。
どの定義式もφ(…,[α,β],[0,γ])=という形をしていますが、
α,β,γに対して0 or 1,後続,極限の3通りを考えなければならないので式が27種類もできてしまいます。
(Γ_0=φ([2,1])の定義式は数えない)
うまくまとめれば式を12種類にまで減らせますが、それだとどの式を適用するか多少分かりづらくなります。
「φ(…,[α,β])≠βのとき」とかいうのは、例えばω^ε_0=ε_0で
左辺と右辺に別々の収束列を定義してしまうのを避けるためです。
右辺では1, ω, ω^ω, ω^ω^ω, …となりますが、
左辺ではω, ω^ω, ω^ω^ω, ω^ω^ω^ω, …と一つずれてしまいます。
もっとも、順序数は巨大数の計算のための道具に過ぎないと考えて
ω^ε_0≠ε_0としてしまっても、巨大数の計算をすることは可能です。
つまり、ω^ε_0やε_0は単なる収束列を表す記号に過ぎないという考えをとるわけです。
すると、収束列の異なる順序数は「別のもの」であるとみなせるわけです。
ω^ε_0=ε_0という性質は、関数の増加度を見積もるときに使えば十分なわけです。
>>126の最後の順序数でH[α](2)の計算をしたとすると、順序数の減り方は
φ([φ([1,1]),1])=φ([ε_0,1])→φ([ω^ω,1])→φ([ω^2,1])→φ([ω*2,1])→φ([ω+2,1])→
φ([ω+1,φ([ω+1,1])])→φ([ω+1,φ([ω,φ([ω,1])])])→φ([ω+1,φ([ω,φ([2,1])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,φ([1,1])])])])=φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ε_0])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω^ω])])])→φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω^2])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω*2])])])→φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+2])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1])])])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,ω])])])])])])])→
φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,2])])])])])])])
=φ([ω+1,φ([ω,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω+1],[0,φ([1,ω],[0,φ([1,ω],[0,η_0])])])])])])→
…となり、入れ子構造がすごいことになるのが分かります。