07/01/08 21:44:46
>>89
Veblen関数については、6-292の定義だけを見ても全く分からないと思います。
Veblen関数で定義される順序数への収束列というのを考えると理解しやすいでしょう。
以下の説明では具体例を書くと長くなるので、具体例は自分で考えてみてください。
α(n) (ただしnは自然数)という順序数の数列を考えたとき、
α(n)のどの項よりも大きい順序数の中で最小のものをαとすれば、
α(n)はαへの収束列です。ωへの収束列はω(n)=nとして考えます。
Veblen関数に入る前に、和や積に関する収束列を考えます。
以下では、βとγはそれぞれβ(n)とγ(n)の収束先になっているとします。
α=β+γのとき、α(n)=β+γ(n)とします。
α=β*(m+1) (mは自然数)のとき、α(n)=β*m+β(n)とします。
α=φ_0(γ)=ω^γとします。
γ=0のとき、α=ω^0=1なので収束列は考えません。
γ=γ'+1と表されるとき、α(n)=φ_0(γ')*n=ω^γ'*nとします。
α(n)の収束先は、ω^γ'*ω=ω^(γ'+1)=ω^γとなり、αに一致します。
γへの収束列がγ(n)のとき、α(n)=φ_0(γ(n))=ω^(γ(n))とします。
α=φ_(β'+1)(γ)とします。
γ=0のとき、α(0)=φ_β'(0)、α(ｎ+1)=φ_β'(α(n))という漸化式で定義します。
γ=γ'+1のとき、α(0)=φ_(β'+1)(γ')+1、α(ｎ+1)=φ_β'(α(n))とします。
γへの収束列がγ(n)のとき、α(n)=φ_(β'+1)(γ(n))とします。
βへの収束列がβ(n)のとき、α=φ_β(γ)とします。
γ=0のとき、α(ｎ)=φ_(β(n))(0)とします。
γ=γ'+1のとき、α(n)=φ_(β(n))(φ_(β)(γ')+1)とします。
γへの収束列がγ(n)のとき、α(n)=φ_(β)(γ(n))とします。