07/01/06 20:57:43
なんか自分の思いつくままに色々なことを書き連ねている気がします。
それはともかく、リストに対する別の見方について。
一重リストは、自然数から自然数への関数と対応付けることができます。
つまり、(a_1,a_2,…,a_n)というリストは、1→a_1, 2→a_2, …, ｎ→a_ｎ, ｎ+1→1, … という関数に対応付けられます。
もしも多重リストの(a_1,a_2,…,a_n)要素というのを、
n重リストのa_n番目の要素である、(n-1)重リストのa_(n-1)番目の要素である、…、
2重リストのa_2番目の要素である、1重リストのa_1番目の要素と定義すれば、
多重リストは一重リストから自然数への関数と対応付けられます。
同様に考えれば、多重リストから自然数への関数と対応付けられるリスト構造を考えることができます。
それは、>>100で少しだけ書いた(一重リスト)重リストと同じものです。
同様にして(多重リスト)重リスト、((一重リスト)重リスト)重リスト、…というリスト構造が作れます。
そして、リストと順序数の対応を考えて見ます。
ωより小さい任意の順序数は、自然数と対応付けできます。
ω^ωより小さい任意の順序数は、一重リストと対応付けできます。
ω^ω^ωより小さい任意の順序数は、多重リストと対応付けできます。
そして、ω^ω^ω^ωより小さい任意の順序数は、(一重リスト)重リストと対応付けできます。
すると、上で考えたリスト構造は、ε_0より小さい任意の順序数と対応付けできます。
ε_0から先を表すには、また別の工夫が必要でしょう。