06/11/04 23:55:04
-×-＝+は定理なのだろうか定義なのだろうか
2:はじめての2ゲッツ
06/11/05 01:58:07
いきなり答えを書いてしまおう：
通常の計算法則が負の数についても成り立つことを認めれば、そうなってなくてはならない
だから定理
0=((+1)+(-1))*((+1)-(-1))=(+1)*(+1)-(-1)*(-1)
3:ストライクフリーダム
06/11/05 05:55:20
それって分配法則を使ってますよね。
分配法則から導かれた定理なのか、
分配法則を成り立たせる為の定義なのか
が問題になっているのです。
>通常の計算法則が負の数についても成り立つことを認めれば、そうなってなくてはならない
>だから定理
の文章を
通常の計算法則が負の数についても成り立つことを認めれば、そうなってなくてはならない
だから「定義」
と変えても文章としては成り立ってますよね。
つまり>>2さんの説明では説明になってないと思うのですが。。。
4:１３２人目の素数さん
06/11/05 06:31:51
つまり定理でも定義でもどっちでもいい、って事なんじゃないかと、、
だいたい整数みたいな直観的に明らかな対象に対して
定義も糞もねえよ、という話なんですが。
日本の中学生用の数学教科書では定義っぽい扱いをしてるかな。
「～が成り立つことを認めるのなら、そうなってなくてはならない」
という場合は一般にどっちでも良い場合が多いかと。
ただ、この場合はどっちからスタートしても同じですが、
「～が成り立つことを認めるのなら、そうなってなくてはならない」と
「そうなっているなら、～が成り立つ」
の二つで証明の難易度が全然違ったり、そもそも片方が言えないこともあるので
そういう場合は必然的に定義か定理かは決まっちゃいますね。
>>1は、定理か定義かどっちか片方しか認めてはいかんと考えてるんですか？
5:１３２人目の素数さん
06/11/05 08:03:00
>>3
あんたが整数とその上の乗算をどう定義しているかによる。
よくある「整数とその上の乗算」の定義は
・整数は自然数に加算に関する逆元を添加したものである。
・整数上に乗算を結合則、分配則を満たすように拡張する。
というものだから、(-1)×(-1)=1 は定理。
一方、例えば他の定義として
・整数は自然数に加算に関する逆元を添加したものである。
・整数上に乗算を結合則、可換則、(-1)×(-1)=1 を満たすように拡張する。
を採用したのであれば (-1)×(-1)=1 は定義。
6:１３２人目の素数さん
06/11/05 08:26:37
誰かe^iπ =-1は定義ですか？それとも公理ですか？
とか言ってスレ立てないだろうかｗ
これとほとんど同じっしょ
7:１３２人目の素数さん
06/11/05 12:53:52
ココまでで、答えが出尽くしている感もあるが…
要するに前スレでは、書き方が不味かったから煽られただけ。
それを自覚して丁寧に論議セヨ。>>1
8:１３２人目の素数さん
06/11/05 15:25:40
あれだよ、解析学の一番最初にやる「実数の公理系」の話と同じじゃん。
歴史的にどっちが先だったかという議論は有用だと思うが。
9:はじめての2ゲッツ
06/11/05 17:41:13
8が言っているのは、４つ（だったっけ？）の同値な命題のどれを
連続性の公理に選んでもいいってことだろうと思う。その透りで、この場合も好みとか歴史の問題。
初心者への解説ならこっちのほうがわかりやすいと思って書いただけ
10:１３２人目の素数さん
06/11/05 21:55:41
これって似たようなスレいくらでも立てられるな
1+1=2は定理ですか？公理ですか？
とか
11:１３２人目の素数さん
06/11/05 22:22:20
>>10
だからこそ、この部分の哲学的論議を数学教育で一切触れていないってことが
如実にわかる事項だよな。
数学者は口頭だけで伝授してたのかいな？だとしたら、数学はある意味独学
不可能？
12:１３２人目の素数さん
06/11/05 22:45:08
>>11
数学教育は数学の教育、哲学の教育じゃないだろ。
乙。
13:１３２人目の素数さん
06/11/05 22:47:40
哲学？
規約ですか？論理的帰結ですか？ってことかいな。
大昔は兎も角、今の数学者はそういうことは考えないと思うよ。
どっちでもいいんじゃない？って人がほとんどかと。
14:１３２人目の素数さん
06/11/05 22:54:36
>>1
> -×-＝+は定理なのだろうか定義なのだろうか
(-1)x(-1) ＝ 1 が 『 可換環の公理系 』 から導かれますので 『 定理 』 です。
15:１３２人目の素数さん
06/11/05 23:16:34
>>14
定理でしたか。
16:１３２人目の素数さん
06/11/05 23:25:06
>>12-13
数学の教育たって、今の日本の教育じゃ延々先に進むんだけど、応用数学は
下に見られる傾向にあるからｗ
立ち戻って数学の意味を考えるが必要なんじゃないの？それをやらないから、この
数学板に多数見られウンザリさせられるようなモノが延々と…。
Wikiにも「数学哲学」って項目…英語もドイツ語もフランス語も中国語もあるんだけど
日本語に項目が無いってのが何かを暗示しているかもなｗ
17:ストライクフリーダム
06/11/05 23:29:42
>本当は「マイナス掛けるマイナス」をどう決めようと構わない。
>問題は、その様な数学が何かの役に立ったり、それ自身が美しかったり、
>他の方面への広がりを見せたりするか否かで、値打ちが決まる。
>それが数学でいう約束、即ち定義の正体なのである。
>この場合には、結果を「プラス」と決めるのが「美しい」のである。
この「虚数の情緒」という本、本屋で立ち読みしてきました。
確かにそう書いてありました。
あるひとは定理といい、ある人は定義という。
ということは前スレで「定理と定義の交換可能性」を言っていた人の意見が
結局は正しかったということになるのでしょうか？
18:ストライクフリーダム
06/11/05 23:30:52
ようするに-×-＝+が定理なのか定義なのかの議論は
>たとえば、三辺の長さが等しい三角形を正三角形と定義すれば
>正三角形の角は全て等しい、というのは定理になるし
>角が全て等しい三角形を正三角形と定義すれば
>正三角形の三辺は全て等しい、というのは定理になる。
がすべてを物語っている、ということになるのでしょうか？
19:１３２人目の素数さん
06/11/05 23:52:52
>>16
普通は数理哲学って言うような
20:１３２人目の素数さん
06/11/06 12:14:25
負の数×負の数
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
前スレ
21:１３２人目の素数さん
06/11/06 12:19:23
普通の教育課程では小学校で
自然数＞正の有理数（分数・小数）＞正の実数（ものの長さの表現程度の意味）
と進む。
自然数で既に分配則が成り立っている（もっと言えば分配則は掛け算の定義を式で書いたもの）。
だから自然数での掛け算を負の数にも拡張する、というのであれば、分配則が先にくる。
一方で、正の実数でのグラフを負にまで拡張したと考えた場合は、
負×負＝正が視覚的に分かりやすい。
22:１３２人目の素数さん
06/11/06 22:32:13
>>21
それは後付けだろ。
自然数で成り立っていた分配則が、偶然整数で構成してみた加法と乗法でも成り立っていた
から、それを使っているだけ。
23:ストライクフリーダム
06/11/07 05:51:13
>>4
＞>>1は、定理か定義かどっちか片方しか認めてはいかんと考えてるんですか？
いえ、どちらにもなりうると思ってます。
ところで
「定理である」と言っている人は「絶対に定理であって、絶対に定義ではない」
「定義である」と言っている人は「絶対に定義であって、絶対に定理ではない」
という立場なのでしょうか？
だとするなら
>>18で引用した三角形の例はいったい、なんなのでしょうか。
24:１３２人目の素数さん
06/11/07 06:31:19
>>22
その理屈からすると、分配則が成り立たない演算でも別に構わないって事だよな？
自然数の掛け算の拡張でそんな演算はいくらでも作れるけど、
なんでそっちを使わないの？
25:１３２人目の素数さん
06/11/07 07:53:33
>>24
現実とそぐわないから。
26:１３２人目の素数さん
06/11/07 13:50:21
>>25
どうせ言うなら「自然が分配則を欲していた」とか言えよｗ
27:１３２人目の素数さん
06/11/07 16:11:00
>22
> 自然数で成り立っていた分配則が、偶然整数で構成してみた加法と乗法でも成り立っていた
そうかなあ？ 自然数からGrothendieck Ringを構成して有理整数にした気がするんだが？
28:１３２人目の素数さん
06/11/07 18:09:28
>>26
西洋的表現だな。日本語的には「～の状態である」って表現でＯＫだろ。
意志があるわけでもないしな。
>>27
根拠は？
29:１３２人目の素数さん
06/11/07 22:45:26
>28
> 根拠は？
自然数を拡張して常に除算が出来るようにしたい、乗算も矛盾がないように。
と考えたら当然の帰結だろう。
30:１３２人目の素数さん
06/11/07 22:57:01
>>17
> ということは前スレで「定理と定義の交換可能性」を言っていた人の意見が
> 結局は正しかったということになるのでしょうか？
あれは意見というよりも妄想に近い数学観の表明。
要するに言っていた事は、
数学の命題はトートロジーの連鎖であり、
どれを定義にしても数学を組み立てることが出来る、
というような話だった。
31:29
06/11/07 23:15:58
あちゃー
除算 ⇒ 減算
32:１３２人目の素数さん
06/11/07 23:33:57
でさー。現実に配列だと乗法では交換法則を捨て去るんだろ？
いろいろやってみると、捨て去るのが現実的だからだろ。
法則の保存云々は後付け。
33:１３２人目の素数さん
06/11/07 23:43:40
で、何故プラスになるんだ？
34:１３２人目の素数さん
06/11/07 23:47:34
>>33
だからー。現実に対応させて考えるとプラスとする方が妥当性があるから。
つーか、負×負の身近な事例を自分で構成できるか？意外に難しいぞ。
35:１３２人目の素数さん
06/11/08 02:21:27
>>34
例えばサイコロを振って奇数の目が出れば＋１点偶数の目が出れば－１点で２人で２回ふって合計点数を競うというゲームをするとする。
Ａさんは２回とも－１が出たとすると、サイコロを振る回数の「－」は過去を意味するので、
２回ふる前の過去は現実に対して＋２点ということになる。よって（－１）×（－２）＝２となる。
36:はぐれこばるといおん ◆cobaltUyP2
06/11/08 03:38:55
複素平面について学んだら納得できるんじゃない？
-1をかけるということは、数直線を180°ひっくりかえすこと。
虚数単位iをかけることは、左回りに90°回転させること。
その他の細々したことは、ご自分で複素平面を学んでください。
高校の教科書にもある程度載っているはずです。
37:１３２人目の素数さん
06/11/08 04:39:19
>>34
その妥当性の一例として、比例グラフの拡張を出したつもりなんだが。
38:１３２人目の素数さん
06/11/08 05:56:13
>>34
その程度自分で思いつけろよ。
39:１３２人目の素数さん
06/11/08 15:47:15
>>32
なにを捨ててよいか、なにを捨ててはいけないか、
ということをよく考えれば分かるとおもうよ。
40:１３２人目の素数さん
06/11/08 16:26:42
＞負×負の身近な事例を自分で構成できるか？意外に難しいぞ。
虚数乗なんてもっと難しい。いまだにいい事例を知らない。
だから虚数乗が「理解」できずに身悶え続ける今井弘一を
心の底から笑うことができない。
多分、心の底から笑う奴こそ真の馬鹿だろう。
結論：トンデモにも一分の理
41:１３２人目の素数さん
06/11/08 16:30:11
負×負＝正の"大義名分"が分配法則だとしたら
虚数乗の大義名分は何だろうか？
exp(x)のベキ級数展開か？
42:１３２人目の素数さん
06/11/08 16:51:30
＞-1をかけるということは、数直線を180°ひっくりかえすこと。
＞虚数単位iをかけることは、左回りに90°回転させること。
このようにいう人たちも、実際に
lim(dx→0) (i^dx-1)/dx=(π/2)i
になると聞くと「おおっ」とたまげる。
回転なんて所詮方便だと思ってたのが
実はそうではなかったと気づかされるから。
教訓：人の自由意志も所詮は神の決定したもの
43:１３２人目の素数さん
06/11/08 20:20:17
前の指導要領を受けた学生には「ド・モアブルの公式の連続拡張」って言ってたけど、
その手は使えなくなったな。というか、複素平面があの時単発だったのか。
44:１３２人目の素数さん
06/11/09 19:14:55
負の乗法の結果を知りたいのに、複素数を利用するってか。
複素数平面は６０年代後半－７０年代初頭にもやっていたようだね。いわゆる
スプートニックショック世代。
45:１３２人目の素数さん
06/11/09 19:21:50
あー、小学校で集合論を教え、
高校物理でキルヒホッフの法則やトランジスタを教えてた頃か。
７５３どころじゃなかっただろうなｗ
46:１３２人目の素数さん
06/11/10 00:54:32
>>45
そう。当時の数学レベルの異様な高さは語りぐさ。
↓は当時ＮＨＫの「みんなのうた」で放映された「算数ちゃちゃちゃ」だ。
URLﾘﾝｸ(omotopi.blog65.fc2.com)
これで、中学レベル。解放が何か標準的じゃなくて異様にテクニカルなのが
気になるが。
47:１３２人目の素数さん
06/11/10 11:56:53
ペギー葉山とヤング101ってｗｗｗ
ちょっと調べてみたが、三角関数を中学校で扱ってるのは昭和３３年告示分だな。
複利計算なんてのもある。
昭和４４年告示分は集合のような基礎概念をねじ込んだお蔭で、
逆に実務的具体的な題材が外されてるわ。さすが「現代化カリキュラム」ｗｗｗ
で、キルヒホッフは高校じゃなくて中学校だったorz
48:１３２人目の素数さん
06/11/10 12:56:17
＞当時の数学レベルの異様な高さは語りぐさ。
もっとも生徒のレベルはそう高くない。
要するに生徒のオツムの容量以上は入らない（ｗ
49:１３２人目の素数さん
06/11/10 13:00:25
＞集合のような基礎概念をねじ込んだお蔭で
でも肝心の無限集合は教えない。
到達不可能基数もコンパクト基数も可測基数も教えないなんて（をひ
50:１３２人目の素数さん
06/11/10 22:43:38
>>10
2が自然数の集合の要素として定義されるのなら
2=1+1は2の定義だろ。
自然数は帰納的に定義されてるんだから。
51:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:00:55
a^0=1が定理でなく定義なのは
a^0が群環体じゃないということなんでしょうか？
52:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:02:42
意味不明。
「a^0が群環体である」とは？
53:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:05:07
>>50
帰納的な定義の仕方もある、という程度の言い方のほうが穏便かもな。
54:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:09:52
仮に帰納的に自然数を定義しても、やり方によっては「2=1+1」が定義にならないこともある。
「次の数」を与える演算と「・+1」は結果的には一致するが、
定義の段階では別物としてスタートするかもしれないので。
55:１３２人目の素数さん
06/11/10 23:19:13
>>26の文才に乾杯ｗ
56:１３２人目の素数さん
06/11/11 12:28:45
>>51
自然数乗は自然に定義出来るとして、
整数や有理数、実数への拡張は(a^x)×(a^y)=a^(x+y)を保存する拡張で、
そうなるように定義したってとこだろ。
>>27
引き算が閉じるように整数を構成した、というのであれば、
今ででいう「Grothendieck Ringからの構成」と結果的に同じ事をやった事になるな。
57:１３２人目の素数さん
06/11/15 03:40:45
任意の実数で分配法則が成り立つ為には(-1)(-1)=+1であることが必要。
例えば
-1(5+(-1))=-4
左辺を分配法則で展開すると
-5+(-1)(-1)=-4
右辺と左辺が同じになるためには(-1)(-1)=+1であることが必要だ。
だから
任意の実数で分配法則を成り立たせる為に(-1)(-1)=+1と定義した
という説明でとくに間違いは無い。
一方、任意の実数で分配法則がすでに成り立っているものとしてしまう。
つまり分配法則は公理として無条件に認めてしまおうと言うものだ。
その立場に立つと
(-1)(-1)=+1は定理として導かれる。
つまり
「分配法則は任意の実数で成り立つ」と、公理の段階ではまだ断定しない
と言う立場に立つのであれば(-1)(-1)=+1は定義ということになる。
「分配法則は任意の実数で成り立つ」と、公理の段階で断定してしまう
という立場に立つのであれば(-1)(-1)=+1は定理ということになる。
任意の実数で分配法則が成り立つと断定するか、断定しないか
によって(-1)(-1)=+1が定理になるか定義になるかが決まる。
58:１３２人目の素数さん
06/11/15 22:25:09
(-1)(-1)を未定義用語と見るならば
(-1)(-1)=+1は定義式です。
定義式とは
左辺が未定義用語、右辺が既定義用語、それをイコールで結んだものです。
(-1)(-1)を既定義用語と見るならば
(-1)(-1)=+1は定理式です。
定理式とは
左辺も右辺も既定義用語です。
59:１３２人目の素数さん
06/11/15 22:54:30
so what?
60:１３２人目の素数さん
06/11/16 21:50:08
>>51
>a^0=1
これは左辺は未定義用語なんですよ。だから定義式なんです。
しかしある式が定義式か定理式かを見分ける方法を正直言って私は知りません。
(-1)(-1)=+1
の左辺が未定義用語なのか既定義用語なのか、よくわかりません。
まず最初に正の数というものから数学を構築していき、そして負の数というものに
その範囲を広げていった場合、
(-1)(-1)というものは未定義用語でしょう。
だとするなら(-1)(-1)=+1は定義式でしょう。
しかし、正から負へ拡張する方法で数学を構築するのではなく
正も負ももともとあるという前提のもとで数学を構築するのであれば
(-1)(-1)は既定義用語でしょう。
その場合、(-1)(-1)=+1は定理式ということになるでしょう。
61:１３２人目の素数さん
06/11/17 22:49:28
みなさんこんばんは。
前スレの定義と定理の交換可能性の提唱者です。
>>60さんの数学観と私のそれは近いと感じました。
何が定理で何が定義かは人によって違うものなのだと思います。
別に、フェルマーの最終定理を公理にしてもいいと思ってます。
ある命題が定理と言われている。
それを定義にして数学を組み立てても良いし
それを公理にして数学を組み立てても良い
と私の数学的直感力が僕にそう感じさせております。
62:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:00:45
>>61
フェルマーの最終定理を公理にした場合、その公理が矛盾していないことの 証明が必要。
63:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:02:24
>>61
あなたの直感が狂っていると殆どの人の直感が告げていたと思います。
64:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:14:26
>>61
とりあえず一人称をそろえろ。
65:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:44:28
関数記号-とか*を無定義述語として導入するならまだわかるけど
(-1)*(-1)全体で一つの無定義述語としてみるのはほとんど無理かと。
(-1)*(-1)以外の掛け算（ 2*(-5） とか 3*4 とか）は扱わない、という方針ならまた別だけど
そんなん掛け算じゃないし。
定義式だとか定理式だとかが>>58が勝手に独自に定義した
専門用語なら話は別なのかもしれないけどね。
66:１３２人目の素数さん
06/11/17 23:50:50
>>61って数学は全て必要十分な同値変形のみで出来ている。
同値変形で無いような導出はありえない、とか言ってた人でしょ。
これは端的に間違いですよ。
負の数×負の数
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)より
231 名前：１３２人目の素数さん[age] 投稿日：2006/08/15(火) 23:52:52
公理と定義が出発点だとするなら、定理はゴールなわけです。
では
定理と公理を出発点にするなら、定義がゴールになりませんか？
数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
ですので、出発点からゴールまで論理を進めることが出来たのであれば
ゴールから出発点に論理を進めることもできるはずです。
何故なら必要十分条件なのですから。
この考えのどこがおかしいのでしょうか？
243 名前：１３２人目の素数さん[age] 投稿日：2006/08/16(水) 13:35:24
>>242
そうですか。
では
「ある定理と交換可能な定義が必ず存在する」
にします。
でもこれって当たり前のことのような気がします。
何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
どうでしょうか？
67:１３２人目の素数さん
06/11/18 00:00:54
>>61の数学直感力は前スレにて全くアテにならないということが明らかにされているのにｗ
68:１３２人目の素数さん
06/11/18 00:22:53
提唱者なんてまた大仰に構えたモンだな。
論理学を少しでも囓れば如何に自分が無知か、恥ずかしくて書き込みも出来なくなるだろうに。
69:１３２人目の素数さん
06/11/18 00:28:09
というか
＞数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
ここらへんから察するに高校数学よりも高度な数学には触れた事無いんじゃないかと。
70:１３２人目の素数さん
06/11/18 00:43:13
>>61って>>57を読んですぐ”負＊負＝正”と”分配法則”を交換可能とか誤解してそうだな
71:１３２人目の素数さん
06/11/18 12:11:14
ここは「提唱者」様に一つ質問への御回答をいただきましょう。
前スレでは明快な答えは得られないようでしたのでよろしく。
可換群Aがあります。記法を＋とし、任意の元aに対しその逆元を-aで表すことにします。
集合Aにもう一つの演算＊を定義しようと思っていますが、
任意の元a,bに対し(-a)*(-b)=abとなっていて欲しいのです。
もし、それがみたされているなら、演算＋と＊の間にはどんな関係があるといえるか
明らかにしていただけないでしょうか。
提唱者様に相応しく、できるだけ一般に答えてください。
或いは研究の道筋だけでも結構でございますよ。
72:１３２人目の素数さん
06/11/18 12:21:07
>>71
まず「提唱者様」には可換群がわからないと思われ。>>69
それと細かい部分でのツッコミ
>任意の元a,bに対し(-a)*(-b)=abとなっていて欲しいのです
これは(-a)*(-b)=a*bと書かなければいけませんな
73:71
06/11/18 12:44:44
>>72
> >任意の元a,bに対し(-a)*(-b)=abとなっていて欲しいのです
> これは(-a)*(-b)=a*bと書かなければいけませんな
仰る通り m_o_m
74:１３２人目の素数さん
06/11/18 13:11:48
整数の集合は順序環である。
順序環の2つの負数の積は正数である。
75:１３２人目の素数さん
06/11/18 14:49:35
>>74
それが何か？
76:１３２人目の素数さん
06/11/18 19:04:05
こんばんは。提唱者です。
まず、私に質問する場合には「自分がどういう立場を取っているのか」
を明らかにしてください。
でないと適切なアドバイスができない場合がありますので。
「自分がどういう立場を取っているのか」
とは具体的には
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
一体この人はどの立場を取っている人なのかを念頭におきながら出ないと
その人に最適な解説ができませんので。
77:１３２人目の素数さん
06/11/18 19:10:26
お馬鹿がアドバイスとは片腹痛いｗ
78:１３２人目の素数さん
06/11/18 20:05:11
質問は質問だよ。
インチキ祈祷師が使う典型はなしだ。
79:60
06/11/18 23:09:44
>>65
>関数記号-とか*を無定義述語として導入するならまだわかるけど
>(-1)*(-1)全体で一つの無定義述語としてみるのはほとんど無理かと。
無定義述語とは無定義用語と同じ意味でしょうか？
例えば行列の積Ａ*Ｂはもともとは無定義用語だったのではないでしょうか？
無定義用語だったから、その計算方法を定義しなければならなかったのではないのでしょうか？
（縦と横を掛けて足す方法のことです）
Ａ*Ｂ全体で一つの無定義用語だったからこそ人間が定義する必要があったのです。
80:１３２人目の素数さん
06/11/18 23:37:53
おいおい数学勉強してるのに「述語」の意味もわかんないのかよ
81:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:29:55
>>79
いやそもそも無定義用語ってどういう意味でしょうか。
まだ定義されてない用語、これから定義する用語、という意味で
あなたがオリジナルに作った用語ですか？
無定義術語というのは簡潔に言うと理論の構成上原理的に
公理をもってしか定義されえない述語記号、関数記号etc.のことです。
単にまだ定義されてないということではありません。
例えばユークリッド幾何学における「直線」「点」「平面」「交わる」などの用語がそうです。
「直線」「点」といった用語自体が意味を持たないからこそ、
射影幾何学で双対原理が成り立ったりするわけです。お分かりでしょうか。
82:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:34:35
「述語」がわかんないのにそんなのがわかるわけがない。
83:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:39:39
>>76
(c)立場によってどちらもありうる。
さて質問ですが、前スレに
「数学は必要十分条件で論理を進めていきます。」
「何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。」
と言って逆が成り立たないような演繹は全く認めない方がいらっしゃったのですが、
数学ではそういう定理は扱ってはいけないのでしょうか？
「逆は必ずしも真ならず」とよく言われますが、
この格言は論理学に限った話で、数学では成り立たないのでしょうか。
具体例を挙げると、pに関する次の二つの性質に関して
(あ)pは素数である。
(い)pの倍数でないような任意の整数aに対して、a^(p-1)をpで割った余りは1になる。
(あ)から(い)が従う、という有名な定理がありますが、
(い)から(あ)は導けないことが知られています。一番小さい反例は三桁の数です。
これは数学の定理ではないのですか？
84:１３２人目の素数さん
06/11/19 00:58:16 BE:468864656-2BP(0)
>>83
＞(あ)から(い)が従う、という有名な定理がありますが、
＞(い)から(あ)は導けないことが知られています。一番小さい反例は三桁の数です。
＞これは数学の定理ではないのですか？
の最後の行の「これ」というのがどういう命題なのかはっきりさせて考えてみよう！
85:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:27:20
まず「提唱者様」はコテとトリップをつけろや
>>84なんて回答にもなってないぞ
86:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:35:39
これ＝(あ)⇒(い)だけど。
87:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:42:11
>>86
定理だろ・・・常識的に考えて・・・
88:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:43:18
ちょっと分かりにくいですね。
「これ」ってのは「(あ)ならば(い)」という命題です。
ところで>>84は「提唱」者の方ですか？
考えてみようとか言われても困るのですが……
89:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:45:41
>>87
逆が成り立たないなら
＞数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
＞ゴールから出発点に論理を進めることもできるはずです。
に反します。
従って「提唱」者さんのアドバイスに拠って考えれば
数学の定理じゃなくなるような気がします。
90:１３２人目の素数さん
06/11/19 01:47:19
>>89
それは単に
＞数学は必要十分条件で論理を進めていきます。
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
＞ゴールから出発点に論理を進めることもできるはずです。
が偽なだけ
91:84その1
06/11/19 17:50:04 BE:250061344-2BP(0)
>>88
漏れは「提唱者」ではないよ。
簡素な答えとしては>>90で十分なわけだが、>>83に根本的な誤解があるようだったので、
>>84で、自分が問題にしている命題は何かを意識させることで、>>83の注意を喚起しようと思ったのだった。
つまり、>>83は、「い⇒あ」が成り立たないということを気にしているけど、それは今回考えている問題には関係ないでしょ、ということ。
「数学は必要十分条件で論理を進めていきます。」
「何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。」
と言って逆が成り立たないような演繹は全く認めない方
のことをA氏と呼ぶことにしよう。
A氏の主張は実際には間違っているわけだが、A氏の主張に従う場合に問題になってくるのは、
「公理⇒（あ⇒い）」が成り立ち、「（あ⇒い）⇒公理」が成り立たないが、「あ⇒い」は定理といっていいのかどうか、ということだ。
だから、（い⇒あ）が成り立つとか成り立たないとか、そもそも関係ない。
しかし、>>83は、（い⇒あ）が成り立たないということを気にしていた。
じゃあ何で>>83が（い⇒あ）が成り立たない、ということを気にしていたかといえば、
>>83が「A氏の主張を受け入れたとすると問題になる」と思っていた点は、
『「あ⇒い」が片向きの矢印であって、「あ⇔い」でないこと』だったからだと思う。
92:84その1
06/11/19 17:51:05 BE:437607247-2BP(0)
では、>>83は何を誤解しているか。
普通に受け取るならば、A氏の主張は、
公理⇔（A⇒B）
という命題「A⇒B」は正当と認めるけど、
公理⇒（A⇒B）
かつ
「((A⇒B)⇒公理)が成り立たない」
という命題「A⇒B」は正当と認めない、ということだ。
>>83は、その主張を勘違いして、
そもそも「A⇒B」という形の命題は正当と認めない
と思ってしまっているから、
『「あ⇒い」が片向きの矢印であって、「あ⇔い」でないこと』なんかを気にしていたのだと思う。
93:60
06/11/19 20:22:54
>>81
>(-1)*(-1)全体で一つの無定義述語としてみるのはほとんど無理かと。
ということはA*B全体で一つの無定義述語としてみるのも無理なのでしょうか？
（A*Bは行列の積です）
94:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:30:58
行列自体は別の方法で定義されていて、演算はその後定義するもんだろ。
負×負は、負の数を定義する前に自然数の積が既にあるから紛らわしいが。
95:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:39:43
仮にA氏の言う数学を「同値数学」とでも呼びましょうかｗ
ふと思ったんだが、ある分野の数学者は確かに、「数学の基本的な定理はほとんど全て
ある少数の公理群のうちのどれかの命題と同値である」とかいう主張をしてるんだよね。
A氏はそういう主張を文字面だけ受け取って妙な誤解しちゃったのかな。
本来ここで言う「基本的な定理」というのは「中心的定理」というくらいの意味だろうけど。
>>91-92
前スレでA氏は
＞x, y, z≧0, x + 2y + 3z≧12
＞ならば
＞x + y + z≧4
＞である
を、仮定と結論は同値なはずだから同値な変形をすると結論が出てくるはずだ。さて、…
のような推論をちらっとしていたので
その時点では「逆は必ず真なり」な認識がされていたし
>>92の両者の区別はされていなかったと思います。
私が「提唱」者の言いたいことを誤解している、というよりは
善意で以って解釈すれば「提唱」者の主張は>>91-92になる、と言ったほうが近いかと。
96:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:56:32
>>93
「A*B」ってのは一つの行列ではありますが、
意味的には「行列」Aと「行列」Bを「掛け合わせた」「行列」、という意味で
そもそも一つの言葉じゃないので…
因みにこういう複数（一つ以上）の言葉を組み合わせて作った、
数学的対象を表す文字列のことは 項 term というのが普通かと思います。
日常用語でも「このヒルベルトと言う偉大な数学者」とか
そういう二語以上の文字列を「用語」とは言いませんよね。
たしか言語学でもこういうのは「項」と言ったかと思います。
「A」と「B」は行列を値に取る変数記号というのが正しいかと思います。
無定義術語ではありません。
因みに行列の理論を形式化したい場合には行列は行列は「nm個の数の組」として
定義するのが普通で、そもそも無定義術語という扱いをしないと思います。
>>94さんが既に仰ってますが。
それともう一つ、言うの忘れてたんですが
>>65の無定義「述語」というのは無定義「術語」のtypoです（^_^;)
別に無定義用語でも構わないんですが>>79の用語法と混同するので別の言葉遣いをしました。
それで下の>>65は「未定義用語」がよく言われる「無定義術語」を意味してるのか、
と思ってつけたレスで、単に「定義してない項」「まだ定義してない（あとから定義する）項」
という意味ならば>>65にほぼ同意です。
97:１３２人目の素数さん
06/11/19 21:20:29
失礼
typoじゃなくて変換ミスですね。どうでもいいですが。
それから>>65に同意じゃなくて>>60に同意です。
そもそも公理というのは間接的に術語を「定義」しているわけで、
そういう（>>81の後ろ二段のような）認識がなければ、
定理φは公理Aと同値である、というときのφの意味内容がはっきりしません。
（つまり、「負×負は正」から公理が導ける、というとき、
整数がまだ定義されない状況で、ある数が「負」であるとはどういう意味なのだろうか、ということ。）
そういう意味でもA氏が>>91-92のような認識をしているとは私には考えがたいです。
---
ここからさらにどうでもいいこと
「同値数学」だと「負掛ける負は必ず正」のような命題は扱えなくなるとおもいますが
よく考えたらこういう命題はある定理の証明の一部として扱えば良い訳で
かえって中心的、本質的な命題しか扱えなくなる、というメリットはあるのかもしれないｗ
ただ、ψ1とそれより弱いψ2という二つの命題があったときに、ψたちがある性質を満たせば、
どの二つも強さの異なる無限個の命題φ1,φ2,.........,φn,.........があって
ψ1⇒φ1⇒φ2⇒φ3⇒........⇒φn⇒ψ2（∀n）が成り立つ、とかそういう定理があるので
超数学的議論をするときは扱えなくなる命題が出てくるのは確か。
98:提唱者
06/11/21 23:27:30
「数学の樹形図」という言葉を導入します。
根っこには公理、定義があります。
幹、枝、葉、これらは定理です。
ふつうの数学では根っこにab=baやa(b+c)=ab+acなどがあります。
この普通の数学の樹形図を、数学の樹形図Ａとします。
そして数学の樹形図Ａの葉を何枚かを取ってきて
それを根っこにして数学を再構築するとします。
すると新たな樹形図が出来るわけです。
これを数学の樹形図Ｂと呼びます。
つまりこういうことなんですよ。
ある人は-*-＝+を定理だと言う。
ある人は-*-＝+を定義だと言う。
食い違うのは当たり前なんですよ。
何故ならその人が採用している数学の樹形図が違うんですから。
樹形図Ａでは葉（定理）かもしれないけど
樹形図Ｂではそれは根（定義、公理）なんですよ。
これならみなさんでもわかるでしょう。
そしてどの樹形図を採用するかはその人の自由なんです。
つまり「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」なんです。
このカッコでくくった部分が、
前スレ8月中旬から約3ヵ月かかってやっとたどり着いた結論です。
99:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:37:01 BE:140659733-2BP(0)
>>98
3ヶ月どころか>>5までで既に語りつくされてると思うのだが。
それに、あなた樹形図とか言ってイメージだけで語ってません？
100:提唱者
06/11/21 23:44:09
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
このようなことを言った人はいますか？
このようなことが書いてある本はありますか？
多分私が最初ではないでしょうか？
もちろん、数学者はうすうすは感ずいていたことかもしれませんが、
言葉としては言ってないし書いてないでしょう。
言葉にしたのは僕が最初でしょう。
101:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:45:35
…
102:提唱者
06/11/21 23:57:27 BE:187546043-2BP(0)
このことを論文にしようと思うのですが、
どこに出せばいいのでしょうか？
103:１３２人目の素数さん
06/11/22 00:14:35
ネタでやっているとしか思えんｗ
馬鹿だ無知だと思っていたが、まさかここまでだったとはｗ
104:１３２人目の素数さん
06/11/22 00:20:15
あれ？おかしいぞ
ウンコ持ちの>>99と>>102（提唱者）は同一人物か？
…自作自演かよｗ
ネタ乙
105:１３２人目の素数さん
06/11/22 01:05:39
公理主義という言葉も知らんのか。
106:１３２人目の素数さん
06/11/22 02:12:13
>>91
＞漏れは「提唱者」ではないよ。
>>102
＞名前：提唱者
＞beポイント:0
＞登録日:2006-08-14
前スレからの壮大なネタだったってことか？
それともこのスレだけで、前スレの「提唱者」は別に居るってこと？？
自演は>>102だけってことは無いと思うが。
諦めて白状しな。
107:１３２人目の素数さん
06/11/22 02:57:07
こうなっている筈だ、いつか誰かが証明してくれるだろう、どうしてこうなっている筈のことを理解できないのだ。
毎年のように数学教室に送りつけられる数十の「論文」ですね。
108:提唱者@teishosha
06/11/22 21:18:05
>>102は僕じゃないですね
109:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 21:19:40
a
110:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 21:20:48
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
この文章の
「どこが」
「どのように」
間違っているのかを明らかにしてください。
111:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:24:00
-1*(-1)=-1*(-1)+0
=-1*(-1)-1+1
=(-1)(-1+1)+1
=-1*0+1
=1
じゃだめ？
112:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:46:45
>「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
ユークリッドの平行線公理が絶対的に正しいというわけではなく、
幾何学体系を構築する上での仮定に過ぎない、
即ち平行線公理を平行線も交わるという公理に変えても無矛盾な幾何学体系が構築できる
ということを発見したのはガウスで、2世紀近くも前の人間。
現在の数学は「公理とは論理構築の仮定」であるという公理主義の立場をとり、
そのことが常識であり前提である。
つまり提唱者が
>「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
なんて主張したところで、
「だから？百年以上前から数学はそのことを前提にしているんですよ？」
と言われるだけ。
>言葉にしたのは僕が最初でしょう。
はとんだうぬぼれ。
113: ◆HZWpRMWGdI
06/11/22 21:54:45
トリップテスト
114:１３２人目の素数さん
06/11/22 21:55:54
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
と一字一句違わない発言となれば、こいつが初めてかもしれんがな。
それにしても、「そんなのとっくの昔に語られてる」という指摘なのに、
「どこが間違っていますか」と問うているのは、どういうことか。
115:１３２人目の素数さん
06/11/22 22:06:07
とりあえず記号論理学の本でも読みなさい。
哲学の人も読むんだから、文系でも無問題。
116:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/22 22:35:49
じゃあどうして
-*-＝+は定理だと言い張る人、
-*-＝+は定義だと言い張る人がいるんですか？
前スレのあの人達はいったいなんだったんですか？
「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
このことがわかって無かった人達だからこそ
定理だ、いや定義だ、と言い争っていたんでしょう。
代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
117:１３２人目の素数さん
06/11/22 22:37:37
お前はつくづく阿呆だな
前スレにその理由は書いてあるぞ
118:１３２人目の素数さん
06/11/23 01:04:33
>>116
>>115
119:１３２人目の素数さん
06/11/23 02:16:21
>>116
> 代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
> その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
群環のごく普通の定義から出発すれば、それがみちびかれるから定理だと言っていただけ。
それを定義だとする人（たち）は、
「じゃ、そこから極普通の群・環の定義とされている性質を導け」という要求にこたえることができていなかった。
120:１３２人目の素数さん
06/11/23 03:26:37
>>110>>116
あなたがその「提唱」をするときの数学の理解が
非常に貧しいものだから本当に理解して書いているか？と突っ込まれているだけです。
あなたは>>5みたいなことじゃなくて
まるで「負×負は正」だけから整数論の公理が
逆に全て導出できるかのような主張をしていたわけですが。
前スレでの
＞何故なら必要十分条件で論理を進めるのが数学だからです。
が間違いだということはわかりましたか？
これを正しいと思って「定理と定義の交換可能性」とか言われても
何かとんでもないことを考えてるとしか思えないのですが。
121:１３２人目の素数さん
06/11/23 03:37:40
＞代数の群環体が得意な人の多くは「定理だ」と言い張っていた印象があります。
＞その人達は何故「定理だ」と言っていたのでしょうか。
順序体とか群とか環について勉強すりゃわかりますよ。
一般の環における「(-a)(-b)=ab」だとか
順序環における「a<0、b<0ならばab>0」は定理だからです。
＞「何が定理で何が定義で何が公理かはその人の自由」
＞このことがわかって無かった人達だから
そうではなくて、あなたとは考えている問題がそもそも少し違います。お分かりでしょうか。
整数を定義する前に、一般的にある元が「負」であるとはどういうことかとか
考えようとしたら、こういう問題意識になるのはごく自然です。
前スレでは「負掛ける負は正」という命題の具体的内容として、
それぞれ少しずつ違ういくつかの命題が考えられていたんだけど
その違いは理解されてますか。
122:１３２人目の素数さん
06/11/23 09:43:38
>>111
だめ。
マイナス元を表す記号と「マイナス」演算子の違いを理解できず
機械的に記号を並べているだけ。
123:１３２人目の素数さん
06/11/23 11:45:22
以上、前スレのグダグダをダイジェストでお送りしました
124:１３２人目の素数さん
06/11/23 11:56:06
>>123
そうなんだ。そこが2chの悪いところ。
次々と新参者が参入して、前の書き込みを確認することなく同じように話を蒸し返す。
書いている本人はその話題に関して書き込むのは自分が初めてだと思い込んでいるから始末に負えない。
125:１３２人目の素数さん
06/11/23 18:53:15
だいたい５０レス位で繰り替えすよねｗ
126:１３２人目の素数さん
06/11/23 21:09:54
ここの場合新参者が話を蒸し返してるんじゃなくて、プライドだけがいっちょまえに高い不勉強者が
「自分の高邁な意見、見識にみな賛同するべき」
なんて喚いてるだけなんだがな。
生憎知識が無さ過ぎて窘めるレスの意味も理解できないからタチが悪いな
127:１３２人目の素数さん
06/11/24 09:33:44
>>1
＞-×-＝+は定理なのだろうか定義なのだろうか
一方で、分配法則は定義なのか定理なのか、という問いは目にしないな（ｗ
例えばロビンソン算術では、分配法則は定理になる。
128:１３２人目の素数さん
06/11/24 09:43:54
>>127
＞例えばロビンソン算術では、分配法則は定理になる。
うおっ、いきなり大嘘書いちまった。
実は定理にならねえ（汗
帰納法を導入したペアノ算術では、定理になる。
129:１３２人目の素数さん
06/11/24 12:47:05
>>127-128
その話題も前にあったでしょ。
130:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 15:06:49
>群環のごく普通の定義から出発すれば、それがみちびかれるから定理だと言っていただけ。
ということは
「<<<群環の分野では>>>-*-＝+は定理である」
というべきであり
「-*-=+は定理である」
というべきではないと考えますがどうでしょうか？
>>119
>>121
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
これについてはどうお考えでしょうか？
131:１３２人目の素数さん
06/11/24 15:46:09
>>130
前提となるものを明示すべきだという意見は前スレから言われてるわけで。
にもかかわらず、そこにある(a)~(c)は何を前提として判断するのか不明な上に、
「-*-=+」は具体的にどんな命題かという>>121の問いにも触れていない。
132:１３２人目の素数さん
06/11/24 16:29:51
<<<群環の分野では>>>
おいおい分野ってｗ
いい加減基礎的な知識くらいは身につけて来いよ池沼ｗ
133:１３２人目の素数さん
06/11/24 16:33:21
<<<提唱者 ◆3j.9eex9S6の理解の及ばない分野では>>>
134:１３２人目の素数さん
06/11/24 17:16:35
群環なのか群と環なのか
135:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:19:17
>>131
>(a)~(c)は何を前提として判断するのか不明
なるほど。前提となるものが明らかでないと問いに答えられない、
つまり前提となるものによっては答えは変わる、こういうわけですか？
これはまさに私の言っていることではないですか？
「樹形図（前提）が定まらなければ
ある命題が定理なのか定義なのか公理なのかを決めることは出来ない」
136:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:22:34
ということはあなたは
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
のＣを選んだと言うことになりますけどよろしいでしょうか？
137:１３２人目の素数さん
06/11/24 21:25:00
>>136
定理でも定義でもよい、の「よい」の意味が不明。
そして、前提のあやふやさに加えて、「-*-=+」がどんな命題を指しているのかも
いまだに明らかにしていないな。
138:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:30:05
(c)-*-=+は、定理としたとしても定義としたとしても、数学を構築できる
これなら答えれますか？
139:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 21:32:28
＞「-*-=+」がどんな命題を指しているのかも
＞いまだに明らかにしていないな。
これは小学生でも知っている、負掛ける負は正という命題ですよ。
140:１３２人目の素数さん
06/11/24 21:42:45
>前スレでは「負掛ける負は正」という命題の具体的内容として、
>それぞれ少しずつ違ういくつかの命題が考えられていたんだけど
>その違いは理解されてますか。
141:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/24 23:53:25
>その違いは理解されてますか。
どうして結論を言わないんですかね。
どうしてそうやって引き伸ばそうとするんですかね。
私が理解しているかしていないかが
結論を言う言わないに関係あるんですかね。
まあ、言いたくないだけなんでしょうけど。
(a)-*-=+は定理である
だと思っていたのが
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
に変説せざるをえなくなったんでしょ？
だから答えられないんでしょ？
それならそれで別にいいですけど。
もう書き込みをすることも無いでしょう。
それではさようなら。
142:１３２人目の素数さん
06/11/24 23:54:59
逃走宣言
143:１３２人目の素数さん
06/11/25 01:59:40
負×負＝正にならないときだってある。
どんな負の数だ？
144:１３２人目の素数さん
06/11/25 04:59:08
>>135
> なるほど。前提となるものが明らかでないと問いに答えられない、
> つまり前提となるものによっては答えは変わる、こういうわけですか？
「つまり」とはなんですかね？
問に答えられるのは、前提が明らかな場合である、
ということをいっているだけであり、
前提となるものによって答えが変る、などとはひとことも言っていないようですが。
粗雑な議論だ。
145:１３２人目の素数さん
06/11/25 06:40:28
とりあえず半群の公理（結合法則だわな）だけで
Ｉ．a((bc)(de))=(ab)((cd)e)
が証明できるわけだが、ひとつこの I．から
結合法則
II．(ab)c=a(bc)
を証明してみてはくれないか？
146:前スレの者
06/11/25 07:19:02
まだやってたかwww
ちょっとしか見てないが>>1が何を主張したいのか全然わかんねwww
まぁ何の迷いもなく定理っていう奴よりかマシだがww
この前も、とある奴が(-1)*(-1)=1の証明を自慢毛にしてたなー。
『定義と勘違いしてる人多いけど定理だよ』
↑この部分はマジ腹たったwww
147:１３２人目の素数さん
06/11/25 07:32:17
>>130
＞「-*-=+は定理である」
-は演算子を表すただの記号であって、掛けたり足したりする対象じゃないので…
「-*-=+は命題ではない」というのが一番正確かと……
こういうわけのわからない表現をしているあなたが言えた台詞じゃないです
「(-a)(-b)=ab」なのか、「a<0、b<0ならばab>0」なのか、どっちともとれる表現なので
どっちかに限定してその表現を使ってください。
両方とも同じじゃないか、と思うかもしれませんが、有限体なんかでは
前者の命題は意味を持ちますが後者の表現は意味を持ちません。
aやbの動く範囲が有利整数環Zなのか一般の環なのか順序環なのかといったことは
その後で考える事になります。
因みに「群環」というのは群ともただの環とも違う一つの対象なので
抽象代数学の分野において、とか言うべき。
>>135
違います。
具体的に言うと実数の話なのか整数の話なのかもっと広い話なのかわからん、ということです。
148:１３２人目の素数さん
06/11/25 12:58:15
これは有理数の範囲？複素数の範囲？
149:１３２人目の素数さん
06/11/25 13:11:12
おれは自然数（または正の有理数、正の実数）の掛け算を整数へ
どう拡張するのか、という話だと思っていたのだが、どうも違うらしい:-)
150:１３２人目の素数さん
06/11/25 13:18:39
「負掛ける負は正」から逆に公理が出てくる、
とか言われりゃ単純に>>149みたいな話だとも考えにくいからな
151:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/25 13:40:36
定理と定義の交換可能性については忘れてください。
また、数学は必要十分条件のみでの変形であるということも忘れてください。
前スレでその間違いは認めたはずです。
新たに導入した数学の樹形図という概念でものごとを考えてみてください。
「-*-＝+は定理である」
とは、ある樹形図でのみの話であって
別の樹形図では定義にもなるし、さらに別の樹形図では公理にもなる
こういう話なんですよ。
そういえば前スレでは
「定理である」とか「定義である」とか
断定していたレスが多かったのですが、
このスレになってからは、だんだんとそういうレスは減ってきましたね。
確実にパラダイムシフトしてると感じます。
152:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/25 13:44:53
現に
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
から選ばせようとしてもなかなか選ぼうともしませんよね。
このスレになってから(a)か(b)を選んだ人はまだ一人もいませんね。
153:１３２人目の素数さん
06/11/25 14:01:48
＞前スレでその間違いは認めたはずです。
そうだったんですか。そういうレス無かったような…
154:１３２人目の素数さん
06/11/25 14:33:55
お前もう書き込みしないんじゃなかったの？
155:１３２人目の素数さん
06/11/25 17:10:48
＞＞<<<群環の分野では>>>
多分鄭瀟洒ｸﾝは群の定義も環の定義も知らない
例えば環では２つの演算が定義され、
そのうち一方は群になっていることも
知らないから、群環、軍艦とウルサイ。
ちなみに数学では「群環」という言葉は
群および環とは別にあるが、この意味も
当然知るまい
156:１３２人目の素数さん
06/11/25 17:23:52
つうかさ、定理とも定義とも言える、というレスは前スレから既に結構あったぞ。
なんで>>151が「樹形図」だとかわけわかんない言葉使って
自分の手柄だとか言ってるのか知らんが。
157:１３２人目の素数さん
06/11/25 19:10:40
いや定理だと言い張る奴はいたけど定義だと言い張る奴はいなかったぞ
定義だと言い張る奴は定理の証明も理解した上で不自然だから定義にした方が良いと主張していた
つまり、どちらかというとどちらでも良いの立場に近い
158:１３２人目の素数さん
06/11/25 19:13:33
>152
俺はbだぞww
理由はそっちのがシックリくるからだ
159:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/25 20:58:02
前スレの221
2006/08/15(火) 04:12:10
＞公理Ａと定義Ｂから定理Ｃが導かれるとする。
＞このとき
＞定理のＣを定義にしてしまうとする。
＞つまり
＞公理Ａと定義Ｃとする。
＞そうするとそこから定理Ｂが導かれるのではないのだろうか？
＞つまり-×-＝+というのは定義としてもいいし、定理として導いても良いのではないだろうか？
この日が来るまでこの板の人は誰一人として、定理でも定義でもいいとは言っていなかった。
この日を堺にパラダイムがシフトしたのを感じます。
もちろんこの時には私は数学とは必要十分条件での論理の変形であると
勘違いをしておりました。
が、その勘違いから3ヶ月の月日を経、生まれた理論が樹形図理論です。
160:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/25 20:59:04
私は8月の頃には、一つの樹形図内で定理と定義を交換したりできないものか
と考えていたのですが、
11月に入り、考え方を変えて、樹形図はなにも１つである必要はない、
自分の好きな樹形図を新たに作ればいいだけの話ではないか、
と気付いたのです。
-*-＝+が葉（定理）の樹形図、
-*-＝+が根（定義、公理）の樹形図、
いろんな樹形図、
好きなものを作ったらいいじゃないか、
わざわざ同一樹形図内で定理と定義を交換する必要は無く
新しく作ればいいではないか。
これが3ヶ月かけてたどりついた結論です。
そしてそれの意味するところは
「ある命題が定理であるか定義であるか公理であるかは樹形図次第」
つまり、
「●●は定理である」
という文章は数学上存在し得ず、
「私の採用する樹形図では、●●は定理である」
などのような文章が正確な文章となります。
ですから、
「代数の分野では、-*-＝+は定理である」
という文章なら存在しうるが、
「-*-＝+は定理である」
という文章は存在し得ない。
何故なら樹形図が指定されていないから。
おわかりでしょうか。
161:１３２人目の素数さん
06/11/25 21:12:20
>>160
> 「-*-＝+は定理である」
> という文章は存在し得ない。
といいながら、その直前では
> (a)-*-=+は定理である
> (b)-*-=+は定義である
> (c)-*-=+は定理でも定義でもよい
> から選ばせようとしてもなかなか選ぼうともしませんよね。
などというような罠をしかけている。卑怯なやつだ。
公理論の研究の過程で論理構造を樹形図で示すなどというのも既になされたこと。
で、結局のところ何をいいたいのか？
162:１３２人目の素数さん
06/11/26 07:08:51
前スレから続く壮大なネタなのかな？
>>102とかみてもそうとしか思えないのだが…
>>160
＞「私の採用する樹形図では、●●は定理である」
単に「私の採用する公理系では」
「この論文での公理の定め方の下においては」
でいいんじゃないですか。こう表現すれば
実用性のない無駄な用語を新しく定義する必要がなくなりますよ。
163:１３２人目の素数さん
06/11/26 13:24:01
数学と物理と工学で、内容的には同じなのに、
歴史的経緯から用語や議論の仕方が違うというのは良くある。
数学の分野間でもそういう事が起こる事がたまにある。
でもやっぱり、それは混乱の元だわな。
誰の小説だったか、社会学者と教育学者の不毛な議論を皮肉って
「新しい用語を勝手に作って話をまぜっかえす」
という台詞があったが。
164:１３２人目の素数さん
06/11/26 13:57:37
>>163
> 数学の分野間でもそういう事が起こる事がたまにある。
数学の場合は、20世紀初頭の数学の危機の時の有限の立場や、直感主義といった
若干の解釈の余地によるブレがあったけど、基本的には定義が厳格であることで
殆ど混乱は生じてきていないよね。
> 誰の小説だったか、社会学者と教育学者の不毛な議論を皮肉って
> 「新しい用語を勝手に作って話をまぜっかえす」
> という台詞があったが。
学術的論議が定義のぶつけあいでしかないようなところがあるからね。
数学でいう定義とそこのところが全然違う。
「提唱者」が今騒いでいる「「定義」の定義」や「「定理」の定義」もそれに類しているから、
結局それによって何を言いたいのか何も伝わってこない。
165:１３２人目の素数さん
06/11/26 14:11:38
メタとそうでないものをごっちゃにして選択肢にあげるからタチが悪い
しかも基礎的な知識がないからその馬鹿馬鹿しさに気付きもしない
ただ同意と賞賛のみが欲しいメンヘラ臭がプンプンするだけ
166:１３２人目の素数さん
06/11/26 15:11:10
＞メタとそうでないものをごっちゃにして選択肢にあげるからタチが悪い
こういう書き込みが「屁理屈だ。こいつは逃げている」としか
167:１３２人目の素数さん
06/11/26 15:12:22
途中で送っちゃった。
しかも奴には、
＞メタとそうでないものをごっちゃにして選択肢にあげるからタチが悪い
こういう書き込みを見ても「屁理屈だ。こいつは逃げている」としか映らない。
168:１３２人目の素数さん
06/11/26 16:19:21
>>164
×直感主義
○直観主義
Intuitionismはヤマ勘主義とはちゃいまっせ
169:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 18:13:28
前スレで私が
「矢野健太郎という数学者が-*-＝+は定義だと書いていた覚えがある」
と書いたらものすごい反発がありました。
「そんなはずはない、ありえない」などのような。
つまりこの人達は
「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
と思っていたと言うことでしょう。
「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
についてはどう思われますか？
私の樹形図理論と真っ向からぶつかる見解ですが。
170:１３２人目の素数さん
06/11/26 18:17:47
>>169
全称肯定の否定は全称否定ではないのだが、
あなたのそういう勝手なまとめが話を混乱させている。
171:１３２人目の素数さん
06/11/26 18:28:32
阿呆の権威主義にダシにされるんでは矢野先生があまりに可哀想だ
172:１３２人目の素数さん
06/11/26 19:02:43
＞どう思われますか？
それは「公理系に関係なく」定理であると主張していた人に聞いて下さい。
そういう人は多くないと思いますが。
前スレ676に対して反発があったのは、数学のことを良く分かってなさそうな人だから
多分矢野健太郎の主張を何か誤解してるんじゃないのか？
その文章の前後の文脈はどうなっているのだろうか？と思った人が多かったからです。
そう思われるだけのとんでもないレスがありましたから。
大体矢野健太郎の本に
「公理系の取り方によっては」定義になるなんて書いてましたか？
公理系によって定理にもなり得るなんていう事は書いてなかったでしょ。
>>169のような受け取り方なら矢野健太郎は
「いかなる公理系の取り方の下でも」定理になる、と言っていたことになりかねません。
でも実際は多分、単に
「定義なのだから、どうやって証明するのかなどと考えるのは無意味である」
とかそういうことが書いてたんじゃないですか？
「負掛ける負は正」のような命題は公理とほぼ同レベルの基本的な命題だから、
「公理系を指定せずに、ただ「負かける負は正」を証明しようと考えても
あまり意味は無い」（前スレ675）という意味で書いたんじゃないか、と思いますけどね。私は。
173:１３２人目の素数さん
06/11/26 19:13:31
>>169
>「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
>と思っていたと言うことでしょう。
さすがに数学を勉強してる奴でそんな風な主張する奴はいないし、前スレで明確にそう主張した奴もおらん。
お前のお馬鹿な思いこみ。
174:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 20:52:51
ということはみなさんは
定理であるか、定義であるか、
「どっちであるか」
ではなく
「どっちが好きか」
の話をしていたというわけですね。
どっちの公理系が好きかの話をしていたんですね？
これは前スレにも出てきた話ですが
だったら代数が得意な人達は
「定理である」なんて言わず
「定理である公理系のほうが私は好きだ」
と言うべきですよね。
どうやらとんだ茶番に付き合わされてしまったようです。
175:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:07:24
>>174
そう。その茶番があなたの提唱。
付き合わしてしまったようです、が正しい言い方。
176:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:14:09
どこが
”ということは”
なのかがサッパリ理解不能
お前の考察には論理というものが存在しないのか？
177:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 21:15:31
それにしても、「どっちが好きか」の議論でどうしてあんなに反発があったのだろうか？
好き嫌いの話というのは普通「へぇ、そうなんだ」で終わるはずである。
はずなのであるが、
「矢野健太郎という数学者は-*-＝+が定義である公理系が好きらしいよ」
「ええ？そんなことは信じられない、君の記憶違いではないのか？出典をあきらかにせよ」
こんな会話ありえます？
誰が何を好きかなんてその人の自由でしょ。
やはり、
「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
と思っていた人が何人かは確実にいたはずです。
でなければあんな驚かれ方をされるはずがありません。
178:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:19:26
誰が「どっちが好きか」の議論だったなんていっている？
お前が勝手にまとめているだけじゃん。
179:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:25:36
>「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
>と思っていた人が何人かは確実にいたはずです。
そんな奴いねぇってのｗ
180:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 21:27:09
>>178
>誰が「どっちが好きか」の議論だったなんていっている？
ということは、あなたは
「公理系に関係なく-*-＝+という命題は定理か定義か必ずどちらかに定まる」
という見解ですか？
とするなら、あなたは定理と定義、どちら「である」とお考えですか？
181:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/26 21:30:34
>>179
>そんな奴いねぇってのｗ
じゃあ何故あんなに驚いたんですか？
他人が何を好きかでそんなに驚くものなんですか？
182:179
06/11/26 21:30:41
>「公理系に関係なく-*-＝+という命題は定理か定義か必ずどちらかに定まる」
これにYESなんて答える馬鹿がいるかよｗ
>とするなら、あなたは定理と定義、どちら「である」とお考えですか？
お前質問が循環してるのわかってる？
183:１３２人目の素数さん
06/11/26 21:56:08
>>180
あなたには数学について話をする素養も能力も今のところないようです。
いや、普通の論理的な話を進める力もないのかもしれない。
周りの人から「どうして、そう決め付けるの」と言われ続けているでしょう。
184:１３２人目の素数さん
06/11/27 08:57:53
>>174
「みなさん」と「公理系に関係なく」定理であると主張していた人」では
指すものが違います。きちんと区別して話して下さい。
「自分」と「自分以外」という纏め方をされても困ります。
どのレスが「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」といっているのか。
具体的に前スレのレスを指定してくれないと。
＞どうしてあんなに反発があったのだろうか？
多分、匿名掲示板だからといってウソばかり書いてた人が居たからです。
＞「どっちが好きか」の議論
通常どっちの公理系がとられるか、の議論だったかもしれないでしょ。
位相空間で閉包作用素の満たす性質(A∪B)^(-)=A^(-1)∪B^(-)
これは公理か定理か？といわれたら公理にもとれるが、
オーソドックスなのは定理として扱う方法なので、雑な答え方では「定理である」
と言い切ってしまうかもしれないし、定義だと言い切っても間違いじゃない。
185:１３２人目の素数さん
06/11/27 20:35:10
>>181
世の中の殆ど全ての人が嫌うようなものについて「好き」と発言したら、驚くと思うがな。
(-*-＝+がそのようなものか、は別として。)
大体、矢野氏の話が初めて出てきたレスの内容は
「矢野氏は-*-＝+が定義である公理系が好き」ではなく
「矢野氏の本によると-*-＝+は定義だ」だからな。
他の人間の議論がどうであれ、少なくともこいつは、好みについての議論だとは思わずに発言してるだろ。
186:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/27 22:38:14
>>184
＞どのレスが「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」といっているのか。
170 ：１３２人目の素数さん ：2006/05/21(日) 14:52:41
>>156
それは、書いた人が一般の人向けに書いたんじゃないの？
数学的には、(－1)(－1)＝1 は、紛れもなく「定理」。
しかも、実数だけでなく、一般の体に対して成立するよ。
とりあえず一個見つけてきました。
探せばもっとあると思いますが疲れてますんで。
この人は
「数学的には紛れもなく定理」
と言っていますよ。
「代数学では紛れもなく定理」
というべきなのに。
この方は、数学にはいろいろな公理系（樹形図）があっていいことを
ご存じないようです。
187:１３２人目の素数さん
06/11/27 23:22:15
というかよく考えたら公理は定理に含まれるような…
188:１３２人目の素数さん
06/11/27 23:29:15
そりゃそうだ。演繹操作０の定理だ。
189:１３２人目の素数さん
06/11/27 23:29:42
>>186
> この人は
> 「数学的には紛れもなく定理」
> と言っていますよ。
> 「代数学では紛れもなく定理」
> というべきなのに。
あなたが「いうべき」と言っている後者から前者がでてくるので
特に変なことを言っているわけではないですね。
どうも十分条件、必要条件の感覚が普通の人と違うようだ。
ちょっと細部の助詞の使い方を微妙に変えているのは、無意識なのかな？
> この方は、数学にはいろいろな公理系（樹形図）があっていいことを
> ご存じないようです。
当面の話題ではそこまで言及する必要性を感じなかったのかもしれないし。
190:１３２人目の素数さん
06/11/27 23:55:13
>>186
>「代数学では紛れもなく定理」
>というべきなのに。
本当に、そう言うべきか？
お前は「いろいろな公理系（樹形図）があっていい」という立場なのに、
別の公理系から環や体など代数学の対象を構築できる可能性は考えていないのか？
>>187
それは前スレでも指摘されていたが、公理を直接引用するだけの定理は除外して考えているのだろう。
提唱者がそのあたりを意識して「定理」という言葉を使っているかは不明だが。
191:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 00:01:27
>あなたが「いうべき」と言っている後者から前者がでてくるので
>特に変なことを言っているわけではないですね。
>どうも十分条件、必要条件の感覚が普通の人と違うようだ。
何を言っているのかさっぱりわかりません。
数学⊃代数ですよね。
代数でしか成り立たないことを数学全体で成り立つかのように
言うことがおかしいと言っているんですけど。
もう少しわかりやすく何がいいたいか言ってもらえませんか？
192:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:04:17
>>191
> 何を言っているのかさっぱりわかりません。
でしょうね。
> 数学⊃代数ですよね。
だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。
193:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:08:29
「代数でなりたつ」とか「代数の分野でなりたつ」という表現に対する解釈が違うのかな？
提唱者はどんな意味で使っているのか明示したほうがいいかも。
といっても、詳しい説明を求めてもまともなレスが返りそうにないが。
194:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:10:18
そもそも代数学ってどういうものかわかってなさそうだしね
195:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:11:03
>>191
> 代数でしか成り立たないことを数学全体で成り立つかのように
> 言うこと
前スレの170の人は、そんなことはいっていないですね。ちゃんと読みましょう。
196:１３２人目の素数さん
06/11/28 00:20:26
>>192
> >>191
> > 何を言っているのかさっぱりわかりません。
> でしょうね。
> > 数学⊃代数ですよね。
> だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。
もうすこし敷衍すれば、普通は、つぎのように会話が進むんですよ。
「数学的には成立するんですよ」
「え、どの分野でです？」
「代数ですよ」
「なるほど」
あなたの会話はこうです
「数学的には成立するんですよ」
「うそです」
「でもすくなくとも代数ではそうなっているんですよ」
「だったら、どうして最初から代数っていわないんですか。
あなたは数学のどの分野ででも成立するっていったのですよ」
197:１３２人目の素数さん
06/11/28 02:04:46
そもそも、前スレ170だって、
抽象代数の分野で「公理系に関係なく」「必ず」定理であるとは言ってない。
「」内は誰かが勝手に付け加えた文言だろ。
任意の次元のベクトル空間の基底の存在だとか
或いは中間値の定理であるとかは、
原理的には公理としてとれるような命題だが
「数学的には定理である」と言って全然問題ないわけで。
198:１３２人目の素数さん
06/11/28 02:28:54
>>197
基底の存在定理は原理的には公理でもいいけど、中間値の定理もそうなの？
199:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 07:39:31
>>192
> 数学⊃代数ですよね。
>だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。
「代数の分野で-*-＝+が定理である ならば 数学の分野で-*-＝+は定理である」
あなたが言ってるのはこのことですか？
しかし数学の中には-*-＝+が定義である数学もあるのですよ。
ですから、
「代数の分野で-*-＝+が定理である ならば 数学の分野で-*-＝+は定理である」
これは文章としては間違ってはいないけど、
私の言いたいことを網羅していない文章ですね。
樹形図Ａでは-*-＝+は定理である
樹形図Ｂでは-*-＝+は定義である
この２つの樹形図ひっくるめて数学なんですよ。
数学の集合の中では「-*-＝+は定理である」と「-*-＝+は定義である」
２つ同時に共存できてしまうんですよ。
あとは自分で考えてみてください。
200:１３２人目の素数さん
06/11/28 11:01:11
>>199
お前は「数学の分野で～」を「全ての数学で～」のように解釈する立場なんだな。
>>190の発言は、お前のその立場に合わせた発言なので、
その解釈を取るなら、お前は>>190の質問に答えなければならない。
「数学的には紛れもなく定理」が許容できないのに
「代数学では紛れもなく定理」が許容できるのはなぜか。
複数の樹形図の存在を意識すべきだと言っておきながら、
一方でそれに反する発言をしていることについて、説明せよ。
201:１３２人目の素数さん
06/11/28 18:47:05
>樹形図Ａでは-*-＝+は定理である
>樹形図Ｂでは-*-＝+は定義である
>この２つの樹形図ひっくるめて数学なんですよ。
違う、ひっくるめたらメタになる。
202:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 22:28:35
>>200
厳密に言えばそうですね。
代数学のなかでもいろいろな樹形図の代数学を構築できるわけですから。
あなたのおっしゃるとおりです。
>>201
どういう意味ですか？
203:１３２人目の素数さん
06/11/28 22:34:50
>>202
あれほど樹形図にこだわっていたのに、
範囲を少し狭めただけで、まるっきり態度が変わってしまったのは何故？
厳密であるべきものとそうでないものの差はどこにある？
お前の好みの問題？
204:１３２人目の素数さん
06/11/28 22:35:58
お前メタ数学も知らずに数学を語るなよｗ
205:１３２人目の素数さん
06/11/28 22:37:58
今度は「メタ数学の分野では」とか言い出すかな。
206:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 22:52:12
>>203
＞まるっきり態度が変わってしまったのは何故？
変わってないでしょ。
もう少し丁寧な言い方をすればいいだけでしょ。
例えば
「代数学の樹形図Ｃでは紛れもなく定理」
のように厳密に言えばいいということですよ。
何でまるっきり変わったと思われたのかさっぱりわかりませんが。
207:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:01:06
>>206
お前は今まで、「-*-＝+」に関して、
>「-*-＝+は定理である」
>という文章は存在し得ない。
のように、樹形図を必ず明示すべきだと言ってきた。
それなのに、代数系の構築方法に関しては、
必ずしも樹形図の指定を厳密に言わなくてもよいと言っている。
何故、全ての場合について、厳密にしようとしないのか。
後者の考え方でいけば、「-*-＝+は定理である」 に対しても
「厳密に言えばそうですね。」で済まされることになるだろ。
208:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 23:05:49
>それなのに、代数系の構築方法に関しては、
>必ずしも樹形図の指定を厳密に言わなくてもよいと言っている。
言ってないですよ。
＞「代数学では紛れもなく定理」 というべきなのに。
この部分のことですか？
これは私の言葉が足らなかっただけです。
ミスです。
だから
＞「代数学の樹形図Ｃでは紛れもなく定理」
＞のように厳密に言えばいいということですよ。
と言い直したじゃないですか。
209:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:08:53
>>199
> >>192
> > 数学⊃代数ですよね。
> >だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。
随分悪質な引用符合の使い方ですね。
オリジナルの >>192 では以下の2行の通りです。
------from
> 数学⊃代数ですよね。
だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。
------to
これを引用するとき普通の引用符合の使い方では
>> 数学⊃代数ですよね。
> だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。
とします。
“>”の数で引用のレベルを示すわけですが、彼（199)の引用の仕方では
まるで2行纏めて同一人物の発言のようになってしまう。
こういうところに、「提唱者」氏のメタな議論に対する無神経さが現れている。
ダメダメですね、この人は。
210:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:10:44
ま、算術の構成方法についても無知なのは明らかだけどね。
代数も知らずに群と環の公理を語り
算術の構成も知らずに演算の定義のあり方を語り
メタ数学も知らずに公理系と数学を語る。
世の中に知ったかぶりほど滑稽なものはない。
211:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 23:14:51
私の発言を具体的に引用して
「どこが」「どう」間違っているか<<具体的>>に指摘したらどうですか？
そんな抽象的な批判なんかしてないで。
212:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:15:48
>>208
「いろいろな公理系（樹形図）」を問題にしているレスなのに、
発言者自身が、範囲を狭めただけで樹形図を１つに特定することをしないなんて、
そんなことあるの？
それなら、樹形図に言及していないように見えるレスでも、実際は特定の樹形図に依存しているが
厳密に表記していないだけであって、「どんな樹形図でも必ず」という意味ではないものも多いと
予想されるな。
だって、提唱者自身も忘れちゃうくらいだから。
213:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:16:57
>>211
抽象的な批判の中で、意味の分からない箇所を<<具体的>>に指摘したらどうですか？
214:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:18:12
>>211
具体的にもなにもお前基礎的な用語さえ理解してないじゃん。
どうやって指摘しろと言うの？
215:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:20:39
>>199
> >>192
> > 数学⊃代数ですよね。
> >だから代数でなりつといっていいなら数学でなりたつといってもいいのですよ。
> 「代数の分野で-*-＝+が定理である ならば 数学の分野で-*-＝+は定理である」
> あなたが言ってるのはこのことですか？
また勝手に文字やら記号やらを挿入して不正確な纏めをしていますね。
192では
代数でなりたつといっていいなら数学でなりつといっていい
つまり
『「代数でなりたつ」という言明が成立するなら「数学でなりたつ」という言明も成立する
ということをいっているだけであり、わけの分からない -*-=+ という判じ物のことなど
なにも言っていない。
216:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:21:15
>>211
抽象的に見えている時点でオマエの負け。無知だから抽象的にしか見えない。
217:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:21:41
そうか？抽象的に見えるのはお前だけだろ。
数学やってる人間でスレの流れがわかってる人間なら十分具体的に理解可能な範疇だけど。
218:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:23:47
このスレの眺めてみると
＊「自分の聞いたことの無い考えは存在しない」 e.g. 提唱者
＊「理不尽な論理は是正しなければならない」 e.g. 一般的な住人
＊「とりあえずバカをバカにするのはよいことだ」 e.g. 俺みたいな
う～ん、黙ってるのが賢そうだねｗ
219:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:24:16
なにやら見えない敵と戦っているっぽいなｗ
220:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/28 23:28:32
抽象的な批判というのは>>210のことです。
批判するならどこがどう間違っているのか
具体的に批判したらどうですかと言っているのです。
221:ある高校生
06/11/28 23:31:43
>>220
いくつもの公理系（所謂「樹形図」）がある＝メタ数学
どの公理系かを選択したもの＝数学
数学はひとつではないがそれぞれの数学には公理系がある
ってことでよいですか？＞偉いひと
222:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:33:11
え？
>>210なんか至極まっとうな批判だぞ。
どこが間違ってるかもなにもお前本当にどの代数、算術、論理学、どの分野も「無知」じゃん？
否定できる？
223:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:34:09
＊「自分の聞いたことの無い考えは存在しない」
224:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:35:08
>>220
提唱者がどの分野について無知だとみなしているのか、具体的に指摘しているだろ。
指摘された分野について、実際は詳しく知っているのだというなら、そのように反論しろ。
225:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:35:35
>>220
すでに前スレから何度もいわれているけど、
あなたはあなたが定義であるとしている命題を基礎の一つとした「なにか」を構成することを何一つしていないのですよ。
あなたの提唱する定義にしたがう数学モデルを一つ提出してごらんなさいな。
226:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:36:54
PAの焼き直しなんかするなよ。
恥の上塗りになるからな。
227:１３２人目の素数さん
06/11/28 23:37:27
>>223
提唱者が好んで採用する公理だな。
＊「自分以外の人間は皆、同じ意見を持っている」
＊「自分の想定する２，３個の可能性のいずれかひとつが必ず成り立つ」
も追加するか。
228:１３２人目の素数さん
06/11/29 01:00:34
＞あなたの提唱する定義にしたがう数学モデルを一つ提出してごらんなさいな。
＞PAの焼き直しなんかするなよ。
↑このような具体的な問いかけにも、>>220のアタマでは「抽象的」としか映らない。無知の証だな。
229:１３２人目の素数さん
06/11/29 01:04:50
＞厳密に言えばいいということですよ。
あなただって「負×負は正」の命題の定式化の仕方も複数あるのに
厳密に指定しなかったじゃないですか。
>>220
あなたが書いてある意味を理解できないから
抽象的だと思ってるんじゃないですか。
というか樹形図がどうだとか言ってないで
実際に具体的に公理系を構成してみたらどうですか？
原理的には公理に取り得るとか抽象的なことばかり言ってないで。
その上で何かメリットがある定式化のしかたになっているかどうか考えるとか。
230:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/29 22:16:03
私が
(a)-*-=+は定理である
(b)-*-=+は定義である
(c)-*-=+は定理でも定義でもよい
という質問をした時、
何故
「公理系（樹形図）を定めなければある命題が定理か定義か公理かは定まらないので
選択肢(a)(b)はおかしい、ありえない」
という反論が全く無かったのか不思議でなりません。
つまり
「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
と思っていた人が何人かいたということでしょう。
それと、私に対する誹謗中傷は必ず「私の文章を引用して」
「ここ」が「おかしい」と誹謗中傷する形を取ってください。
でないと意味が無いですから。
231:１３２人目の素数さん
06/11/29 22:25:32
＞つまり
＞「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
＞と思っていた人が何人かいたということでしょう。
自分が考えているのと違う公理系を想定していなかったという可能性は無いんですか？
232:１３２人目の素数さん
06/11/29 22:49:55
>>230
> つまり
> 「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
> と思っていた人が何人かいたということでしょう。
また、かってに纏めている。
おそらく妥当な解釈は、
その時点でここを覗く殆どの人は、あなたが
現代数学の公理主義をしらないはずはないと思っていたということでしょう。
したがって、それを前提であなたが書いているのを読む限りにおいては、
そのあと何が展開されるか、と面白がって眺めていた、ということでしょう。
> それと、私に対する誹謗中傷は必ず「私の文章を引用して」
> 「ここ」が「おかしい」と誹謗中傷する形を取ってください。
> でないと意味が無いですから。
現時点ではあなたの書いているのは殆ど無意味なので
（展開してこそ（つまり意味のある数学モデルを提案してこそ）意味が生まれる）
言葉を代えれば、低レベルだと言っているだけなのですよ。
233:１３２人目の素数さん
06/11/29 22:59:01
＞何故
＞「公理系（樹形図）を定めなければある命題が定理か定義か公理かは定まらないので
＞選択肢(a)(b)はおかしい、ありえない」
＞
＞という反論が全く無かったのか不思議でなりません。
まず実際に公理と定義を定めて整数なり実数なりを定めてくれ、話はそれからだ、
みたいなレスは前スレから在ったよ。
>>232
「その時点」ってのはこのスレの>>230の「質問をした時」という意味だろうけど、
もうそのときは前スレから見てた人は皆、>>230が公理主義なんて知ってるはずが無い、
複数ある整数の定義の方法だって一つたりとも理解してない、と思ってたようなｗ
234:１３２人目の素数さん
06/11/29 23:09:07
>>233
> まず実際に公理と定義を定めて整数なり実数なりを定めてくれ、話はそれからだ、
> みたいなレスは前スレから在ったよ。
なぜ提案しないのか、不思議でたまりません。
程度はどうであれ、すくなくとも数学的に意味のある提案がなされれば、
彼が「誹謗中傷」と表現しているような書き込みはなされないことでしょうに。
> >>232
> 「その時点」ってのはこのスレの>>230の「質問をした時」という意味だろうけど、
> もうそのときは前スレから見てた人は皆、>>230が公理主義なんて知ってるはずが無い、
> 複数ある整数の定義の方法だって一つたりとも理解してない、と思ってたようなｗ
なぜこの時期に至ってそのような質問を投げつけているのかと
意図を測りかねて（あるいは警戒して）眺めてていた、ということでしょうかね。
235:210
06/11/29 23:49:45
提唱者が…
代数について無知である思われる根拠
→ >「<<<群環の分野では>>>-*-＝+は定理である」 ｉｎ >>130
この一文があまりにも馬鹿すぎる
算術についての無知であると思われる根拠
→ 前スレからずっと続いてるが「-*-＝+」を公理とするモデルを提示できない。
っていうか提唱者はPAって何か知ってる？俺はそれすら疑わしいと思ってるんだが。
メタ数学についての無知であると思われる根拠
→ 定理と定義の交換可能性についての高らかなご高説（実際は論理学の初歩中初歩、てか口にすることすら憚られる）
→ メタという用語すら知りもしない in >>202
と、いうか無知や間違いが多すぎていちいち細かく指摘してられるかってのが本音
甘えるなよ、俺はお前の保護者でも担当教官でもない、無知や間違いは自分で気付け。
前スレからここまでの続く流れで根拠などについては>>210でわざわざ書くまでもないし、むしろ今までの自分の書き込みの
振り返りもせずに流れを踏まえた書き込みを誹謗中傷という精神構造が理解不可能。
で、これらの分野について君が「無知」でないってことを覆す反論ができるかね？
他人に誹謗中傷というからにはそれが出来るんだろうね？
やってみたまえ存分に。話はそれからだ。
236:１３２人目の素数さん
06/11/29 23:58:07
「提唱者」ってただのバカな主婦なんじゃないの？
237:210
06/11/30 00:01:35
ごめ
>>235の文中の間違いを訂正
>で、これらの分野について君が「無知」でないってことを覆す反論ができるかね？
→ これらの分野について君が「無知である」ってことを覆す反論ができるかね？
逆だわさ。
238:１３２人目の素数さん
06/11/30 00:20:05
>>230
>それと、私に対する誹謗中傷は必ず「私の文章を引用して」
>「ここ」が「おかしい」と誹謗中傷する形を取ってください。
>でないと意味が無いですから。
この>>230のレス自体が、それまでに提唱者に向けられたレスに対して
「ここがおかしい」と具体的に反論していない。
引用して詳しく説明してくれないと分からない、と感じたのは
どのレスのどの部分についてか。
また、引用つきのレスで、これまでに提唱者からの返答がないものは
もう反論できないということでよいのか。
239:１３２人目の素数さん
06/11/30 00:25:51
>>230の主張したいこと
「公理系（樹形図）を定めなければある命題が定理か定義か公理かは定まらないので
選択肢(a)(b)はおかしい、ありえない」
ということを考えずに自分に批判した人は謝罪と賠償をしろ
ん？これって数学の話じゃないから板違いじゃないか？
結論 VIPでやれ
240:１３２人目の素数さん
06/11/30 01:38:49
>それと、私に対する誹謗中傷は必ず「私の文章を引用して」
>「ここ」が「おかしい」と誹謗中傷する形を取ってください。
>でないと意味が無いですから。
そうやってオマエは、周りの人から送られてきたレスに対して
これらのレスは、「私の文章を引用して」「ここがおかしい」という形で書かれては
いないから、意味がない。よって、私はこれらのレスに答える必要がない。
という姿勢を取っているが、これは詭弁だ。なぜなら、オマエに当てられたレスは、
「誹謗中傷」ではなく「質問・要求」だからだ。たとえば>>225。これは誹謗中傷
ではなく、質問・要求だ。そして、
「質問・要求」という形式を取る場合は、必ずしもオマエの文章を引用する必要がない。
「質問・要求」という形式を取る場合は、オマエの文章が引用されていなくても、十分意味がある。
「質問・要求」という形式を取る場合は、必ずしも「ここがおかしい」という文章形態をとる必要がない。
従ってオマエは、周りの人から送られてきたレスにキチンと返答しなければならない。たとえそれが
「私の文章を引用」していなくても、「ここがおかしい」という文章形態でなくても、それで十分
意味があるレスであり、キチンと返答しなければならない。勝手に「誹謗中傷」だの「意味がない」だの
詭弁をぶちまけて逃げるんじゃない。
241:１３２人目の素数さん
06/11/30 02:30:14
＞「-*-＝+は公理系に関係なく必ず定理である」
＞と思っていた人が何人かいたということでしょう
誰もが常に、公理系（樹形図）を明示して発言しているわけではない。
提唱者自身も、それを忘れた(間違えた？)ことがあるくらいだし。
だから、公理系への言及がなくとも、それが「公理系に関係なく必ず」という意図であるとは限らない。
（もしそれが言いたいなら、「公理系に関係なく必ず」と強調して書くだろうしな。）
＞公理系（樹形図）を定めなければある命題が定理か定義か公理かは定まらないので
公理系（樹形図）を定めても、「ある命題」が何を指すのかわからなければ
「定理か定義か公理か」なんて定まるわけないのだが
「-*-=+」がどの命題を指すのか、説明を求められても提唱者は拒んだ。
公理系の選択を問題にするなら、命題の指定を明確にしないとな。
「でないと意味が無いですから。」
242:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/30 06:44:00
>>225
>あなたはあなたが定義であるとしている命題を基礎の一つとした「なにか」を構成することを何一>つしていないのですよ。
>あなたの提唱する定義にしたがう数学モデルを一つ提出してごらんなさいな。
このスレは-*-＝+が定理か？定義か？の疑問に答えるスレです。
そして私はその疑問に答えました。
それ以上でもそれ以下でもありません。
243:１３２人目の素数さん
06/11/30 06:44:48
みなさんに踏絵を踏んでもらっていいですか？
見えない敵と戦っているようで
どんな人物像を思い浮かべながらレスしたらいいのか混乱している状態です。
(a)負×負＝正は公理系の取り方によっては定理にも定義にも公理にもなりうる。
(b)負×負＝正が定義か公理か定理かはその人の好みの問題である。
(c)言葉の厳密さにこだわるなら「●●は定理である」と言う文章は「●●が定理であるような公理系が私は好きだ」と言うべきである。
(d)まず最初に公理系（樹形図）を定めなければある命題が定理か定義か公理かは絶対に定まらない。
yes no でお願いします。
ちなみに私は全部yesです。
もしこの中にnoがありましたらその部分から詰めていきましょう。
とにかくどんな立場の人なのかわからないし
敵が何人いるのかもわからないので、レスをかえしようがないのです。
244:１３２人目の素数さん
06/11/30 07:02:05
＋*＋＝＋
＋*－＝－
を定義すれば
－*－＝＋
は定理になる
245:提唱者 ◆3j.9eex9S6
06/11/30 07:13:33
>>243は私です。
何故か名前が消えてました。
246:１３２人目の素数さん
06/11/30 07:53:39
>>243
(a)no(b)no(c)no
(d)yes(「言葉の概念が共有されなければ命題の意味がない」という意味で)
まず、設問に「正・負・乗算」という概念が自明のものとして与えられている。
自明とされているものについては、これまでの数学にしたがわないとならない。
群論によって、加減・正負・乗除が定義されている。
任意の数a,b,cについて
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c) (加算の定義)
a+0=0+a=a (0の定義)
a-a=0 (減算の定義)
a*b=b*a, (a*b)*c=a*(b*c) (乗算の定義)
a*1=1*a=a (1の定義)
a*(b+c)=a*b+a*c (加乗の関係の定義)
a* 1/a = 1 (除算の定義)
ちなみに負はある数をaが正であるときの-aのこと。
以上より
(-a)*(-b)=(0-a)*(-b)
= (a-a-a)*(-b)
=a*(-b)+(-a)*(-b)+(-a)*(-b)
=a*(b-b-b)+(-a)*(-b)+(-a)*(-b)
=a*b+a*(-b)+a*(-b)+(-a)*(-b)+(-a)*(-b)
=a*b+{a*(-b)+(-a)*(-b)}+{a*(-b)+(-a)*(-b)}
=a*b+(a-a)*(-b)+(a-a)*(-b)
=a*b+0*(-b)+0*(-b)...#
ここで 0*b=mとすると
m=0*b=(0+0)*b=0*b+0*b=m + m
m=m+m より足してもとの数になるのでm=0.
また、0=0*0=0*(b-b)=0*b+0*(-b)=0+0*(-b)
0=0+*(-b) より0*(-b)=0
ゆえに、# = a*b+0+0=a*b（a,bは任意の数なのでともに正の場合でも成り立つ）
(-a)*(-b)=a*bという定義をせずとも*の定義だけで十分なので定義しない（オッカムの剃刀）。
受験生なのでちょっと怪しいので偉い人補足してください。
247:１３２人目の素数さん
06/11/30 08:09:49
>>243
(a): yes (b): no (c): no (d): yes
(a) は >>5 くらいまでに終わっている議論。
(b) は質問の意味が不明瞭だが、
「『 "負×負＝正" は定義，公理，定理のどれか』という問題の解は
『その人の好みの問題である』である．」
という主張ならば、明らかに no。なぜならば、その問題の答えは
「設定する公理系による」または「（通常の公理系で）定理である」などが
正しい。「その人の好み」などというものは介在しない。
(c) は明らかに間違い。
「X は定理である」という文章は、厳密には
「Y という公理を採用したとき X は定理である」の略である。
通常「Y という公理を採用したとき」の部分は暗黙のうちに
普通の公理を採用したことにするので省略されただけ。
ここでも「各人の好み」のような曖昧なものは一切介在しない。
(d) は正しい。任意の命題についてそれを公理とする公理系と
それを定理とする公理系が少なくともひとつ存在する。具体的には
「それを公理とする公理系」は、その命題のみを公理とするもの。
「それを定理とする公理系」は、「真 = 偽」のみからなる公理。
248:１３２人目の素数さん
06/11/30 08:25:10
>>246
添削したる。
> 群論によって、加減・正負・乗除が定義されている。
間違い。これらをすべて定義するには最低でも順序環が必要。
> 任意の数a,b,cについて
このような議論を行う際は「数」でなく「実数」などと言うべき。
> ちなみに負はある数をaが正であるときの-aのこと。
ひどい。正の定義は？
> a* 1/a = 1 (除算の定義)
a ≠ 0 が必要。もしくは考えているものが「実数」ではなくなる。
> a-a=0 (減算の定義)
間違い。a + (-a) = 0， a - b = a + (-b)
としなければならない。さもなくば
> (-a)*(-b)=(0-a)*(-b)
のような計算はできない。
> 導出
間違ってはいないが冗長。
> (-a)*(-b)=a*bという定義をせずとも*の定義だけで十分なので定義しない（オッカムの剃刀）。
オッカムの剃刀は指針であって原理ではないので、
それを根拠に「定義しない」というのは言いすぎ。
249:１３２人目の素数さん
06/11/30 08:57:52
>>248 添削ありがとうございます。
一応32行の枠があったことのと導出が簡潔に書けなかったことで
曖昧なところができてしまいました（言い訳になりませんねorz）。
でも、それ以外にも致命的な見落としがたくさんあって恥ずかしい限りです。
一応、弁明を試みます（反論には成りえない）。
>間違い。これらをすべて定義するには最低でも順序環が必要。
>「数」でなく「実数」などと言うべき。
>正の定義は？
順序環は名前は耳にしていただけで、まだ説明できる状態ではありませんでした。
setとgroup theoryはアメリカで習ったのですが、要素と数の関係がまだ整理できていませんでした。
> a* 1/a = 1 (除算の定義)、a ≠ 0 が必要。
除算は使わなかったですね。でも無条件で割るのは厳に慎まねば・・・orz
> a + (-a) = 0， a - b = a + (-b) としなければならない。
最初、加法の逆数だけで行こうと思ったのですが、中途半端になりました。
>オッカムの剃刀は指針であって原理ではない
原理だと思いこんでました；；。
定義にす「べき」かの判断基準の求め方として唯一思いついたのですが・・・
やはり定義すること自体の可否は解はないのでしょうか？
検索しても知らない用語の説明に知らない用語があるという状態なので、
もし、お勧めのサイト・勉強法とかがあれば教えてください。（って受験勉強が先ですが・・・；）
250:１３２人目の素数さん
06/11/30 10:02:05
有理整数環でなら正の数の定義は
0≦x⇔∃k,l,m,n[k^2+l^2+m^2+n^2=x]
という手があるがなw
251:１３２人目の素数さん
06/11/30 10:03:06
おっと、0以上の定義だから0を除いといてね
252:231
06/11/30 15:32:26
提唱者 ◆3j.9eex9S6さんの文章を引用して
聞いたんですがレスがありません。
見落とされてるんでしょうか。。
253:１３２人目の素数さん
06/11/30 15:48:04
(a)整数の話をしている場合「負×負＝正」という命題を
公理として持つような公理系は見たことないし、作るのも難しいと思います。
今の議論は整数の話ですか？実数の話ですか？もっと一般の順序環の話ですか？
(b)no。好みの問題ではなくてそれぞれの公理系の取り方の
メリット、デメリットを勘案して一つの公理系を選択すると定まる事項です。
好みの問題ではありません。前スレ990とかでも説明しましたが。
(c)no。前者の文と後者の文は意味が違います。
その公理の定め方は別に好きでも何でもないけど
一番ポピュラーだから、とか証明の長さを短くするためとかで
ある公理系を選ぶ事もあります。
「何々は定理である」は厳密に言うと「これこれの公理系の下では何々は定理である」
であって誰かの好みとかを述べた文章じゃありません。
(d)yes。ですから誰かが最初に公理系を定めないと
「-*-＝+が定理か？定義か？の疑問」には答えられません。
254:１３２人目の素数さん
06/11/30 15:59:46
>>246
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
あなたがやってるのはringの話っぽい議論であってordered ringの話じゃないです。