06/11/02 20:35:41
>>120
提示したコトの問題点を指摘しないで、いきなり別のコトを提示か。
凄いなｗ
125:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:46:12
>>120
そもそも0.999...[7]とかってどういう意味だ？
一般的に無限十進小数は整数から0～9への写像に自然に対応づけられる。
で、そのように解釈する場合、7に対応する整数は何だ？
言い換えるとその7は何桁目だ？
126:１３２人目の素数さん
06/11/02 20:48:01
∞＋１桁目だ
とか言いそう
127:１３２人目の素数さん
06/11/02 21:00:55
結論は、またこのスレは馬鹿の集団ということになりそうな予感。
128:１３２人目の素数さん
06/11/02 21:57:09
>>121
日本語でＯＫ。
129:１３２人目の素数さん
06/11/02 22:05:30
>>123
>0.999…は1に限りなく近づいているといえるので
「近づいている」というのがちょっと違う。
イメージで言えば0.999…は動いていなくてとまっている。
1に近づいているのは数列 an = { 0.9, 9,99, 0.999, 0.9999, ・・・} であって
その近づく先を0.999…と表記する。
130:１３２人目の素数さん
06/11/03 02:17:56
>>117
文章ではなくて、数式で説明してくれないか。
多分、あなたは無限の問題点がわかっていない。
131:１３２人目の素数さん
06/11/03 05:24:12
(by >>110)
>>111&>>115
謝る。
前スレでの中卒止まりのオッサンとやらの話題振り(８０６ageだった)への回答が、要するに
｢定義次第｣
今更思い出した。
＞副作用
これは、>>101の言う通りに大同小異とし、>>108提示に配慮して扱えば良いと思う。
(1ｰ0.999…)は究極のｱﾝﾀﾞｰﾌﾛｰ。
132:１３２人目の素数さん
06/11/03 11:30:06
ところで1.000…無限個…01についてはどう思う？
(1)そんな数の存在は認めない
(2)1に等しい
(3)1に等しくない
133:１３２人目の素数さん
06/11/03 13:16:22
定義をしない限り(1)。そんな数は実数としてはないんだし。
134:１３２人目の素数さん
06/11/03 15:06:57
数列 { 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ・・・}の極限
すなわち lim[n→∞] ( 1 + 1/10^n )
の意味でなら認めるにやぶさかでないが
「無限個」が気に入らんな。
135:１３２人目の素数さん
06/11/03 15:25:36
>>132
a＝0.000…999 (有限桁目は全部0で、無限桁目は全部9)
b＝0.000…001 (有限桁目は全部0で、無限桁目は最後だけ1で他は0)
とおくと、aとbを足せば繰り上がりがおき、無限桁目は全部0となるが、
かといって有限桁目も0のままだから、結局全ての桁が0になってしまい、
a＋b＝0.000…000＝0
136:１３２人目の素数さん
06/11/03 17:18:21
>>121
定義
0.999…は1に等しい。
定義終わり
で定義したことになると思っているのか。
究極の数学音痴だな。
137:１３２人目の素数さん
06/11/03 17:31:45
印象批判じゃなくてキチンと何処がどうダメか
明記しろよw
138:１３２人目の素数さん
06/11/03 17:41:49
>>137
まともに学校行ってりゃ、普通に解ることだよ。
139:１３２人目の素数さん
06/11/03 17:45:05
まず集合論で自然数を構成し、
それから実数を構成しましょう。
140:１３２人目の素数さん
06/11/03 18:17:31
>>136
なるよ。
>>138
君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の意味は解らないだろうな。
君がリーマン積分の定義を見たら、「それは値を決めただけであり、積分そのものの定義には
なっていない」とバカげた主張をするだろう。
141:１３２人目の素数さん
06/11/03 18:34:05
>>140
思考力の無い奴は、数学を志すなという典型だな。
ある系で定義されたことと、普遍的な定義との違いも解らんとは。
142:１３２人目の素数さん
06/11/03 18:40:27
>>141
「普遍的な定義」は幻想にすぎない。「普遍的な定義」など存在しない。
何を以って、普遍的だと判断するのか？普遍的とは何か？君の言う【普遍的】の
定 義 はどこ？君にはこの【普遍的】という言葉を 定 義 できるのか？
それも、”ある系で定義された”【普遍的】ではなく、”普遍的な定義の”
【普遍的】をね。
143:132
06/11/03 18:44:55
>>133-135
俺自身は(1)
でも1≠0.999…派だと(3)と答えそうな気がする。
そういう人が乗ってこなかったのは残念だけど機会があったら聞いてみたいな
>>135の計算を参考にして思いついた>>132の表現が適切でない説明
0.00…01＋0.00…09=0.00…10=0.00…010=0.00…01
0でない数を足したのに同じ数になってしまう。
だから、そもそもこんな数は存在しない。
あるいはこういう数も0に等しい。
これは説得に使えるだろうか？
144:１３２人目の素数さん
06/11/03 19:05:16
あー。やっぱり「普遍的定義」なるものの存在を信じていたんだなｗ
そうじゃないかと思っていたが…。
「算数」だったら文科省が「これだ！！！」って決めたヤツが普遍的定義になるんかいな。
少なくとも日本内なら。
145:１３２人目の素数さん
06/11/03 19:07:50
>>143
オレがそっち方面の話に乗らなかったのは、そういうのって結局論議している人毎に
イメージ（定義）が違うからいつまでたっても結論がまとまらないからだ。
そういったことで「説得」なんてそもそも無理なんじゃないのか？キチンとした定義も
そもそもないしさー。
146:１３２人目の素数さん
06/11/03 20:53:04
単に10進法の表記の場合、分母が10のベキになる
有理数の10進法表記は一意に決まらない、で済ましちゃうのも一つの手では？
147:１３２人目の素数さん
06/11/03 21:05:50
積分はある関数から別の関数を作る操作、その逆操作が微分。
それが極限操作だったり、網タイツだったりの差だけ
148:１３２人目の素数さん
06/11/03 21:14:35
ちょっと変なネタを思いついた。
自然数に関する命題P(n)について
「P(n)が真ならばn桁目は1、偽ならば0」
と小数を対応づけることができる。
またゲーデルの不完全制定理によると任意の自然数nについて偽であるが、
そのことが証明できない命題が存在する。
そのような命題に対応する小数は0に等しいと言えるだろうか？
言い換えると計算不可能だが0に等しい数。
試しにどこまで計算しても0しか出てこないみたいだが、
本当に1が現れないのか保証できない数。
149:１３２人目の素数さん
06/11/03 22:13:13
>>144-145
たとえば、１０＾（-ｎ）において、
n=∞としたときが定義できればいいのではないのか？
150:１３２人目の素数さん
06/11/03 22:18:29
>>148
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
ここで聞いてみたら？
151:１３２人目の素数さん
06/11/03 22:20:18
自然数論でという制限するのも不自然だから言えるでいいでしょ？
152:１３２人目の素数さん
06/11/04 04:59:15
>>132-135＆>>143
1+(1-0.999)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
153:１３２人目の素数さん
06/11/04 14:38:28
0.999…は1と等しいと何故定義してはいけないのか
まぁ当たり前だね
説明しにくいけど
はぁ？なんでしちゃいけねぇんだよ
って言うんだったら
１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
まぁそれは駄目だろって言うと思うけどね
154:１３２人目の素数さん
06/11/04 14:41:02
"定義する"
と
"仮定する"
ってどう違うんですか？
155:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/11/04 14:46:10
talk:>>154 定義を、言葉の意味の仮定だと思っているのか？
156:１３２人目の素数さん
06/11/04 14:56:48
>>153
別に定義していいよ。１＋１＝３と。
単に２と３の役割を入れ替えればそれでＯＫ。
157:１３２人目の素数さん
06/11/04 15:16:32
数学の問題の答えとかであるじゃん
αを実数と仮定すると、…
とか
定義と仮定の数学の問題的な意味は一緒なのかなと
まぁ辞書引いてくる
158:１３２人目の素数さん
06/11/04 15:34:33
>>153
＞１＋１は３と等しいと定義しても良いんだね？
>>156の言うように、「2」と「3」という記号に与えられた定義を適当に変更した上で、1＋1＝3が
成り立つようにすることは可能。また、「2」「3」の定義はそのままで、「＋」と「＝」の定義を
適当に変更した上では、やはり1＋1＝3とすることが可能である。実際、標数1の素体F1上では
1＋1＝3が成り立つ。
バカは消えろ。君のように、まともに「大学」行ってない奴・まともに「大学の数学」勉強してない奴
には、「定義」の何たるかは理解できない。
159:１３２人目の素数さん
06/11/04 15:52:34
【定義】
概念の内容を限定すること。
すなわち、ある概念の内包を構成する本質的属性を明らかにし、他の概念から区別すること。
その概念の属する最も近い類を挙げ、さらに種差を挙げて同類のほかの概念から区別すること。
例えば「人間は理性的（種差）動物（類概念）である」。
「広辞苑第五版」岩波書店 より抜粋
意味が解りません
160:１３２人目の素数さん
06/11/04 16:27:02
[>>153脱字補正]
>>132-135＆>>143
1+(1-0.999…)
＝2-0.999…
後は場合分け
0.999…＝1⇔2-0.999…＝1
0.999…≠1⇔2ｰ0.999…≠1
161:１３２人目の素数さん
06/11/04 18:43:37
>標数1の素体F1
162:１３２人目の素数さん
06/11/04 22:05:58
なんて言うか、数学の定義ってそんなに自分勝手にできるものじゃないと思うんだ。
大学の数学の授業とかは天下り式に公理や定義から始まるけれど、
本当はwel-definedな定義を作ることこそが数学の重要なポイントだと思う。
163:１３２人目の素数さん
06/11/04 23:52:56
今まで0.999…=1だと言われ、初等的な証明も厨房の頃に先生から
教えられて、それで疑問もなかったが、意外と奥が深いのな。
0.111…×9を例に挙げて、小学生から
筆算で掛け算は掛ける数と掛けられる数を右に寄せる。
でも無限に続くなら掛ける数を置きようがないじゃないか。
と疑問が来た。
再び考え出すときりがないんだが、「無限に続く小数に整数を掛ける」
ことを「有限小数に整数を掛ける」と同様に実行できるか、と言われると
どう説明していいのだろうか…
164:１３２人目の素数さん
06/11/05 01:53:09
>>162
wel-definedだと原理的に証明できんから仕方ない。
>>163
自然科学分野の筆算では、小数点を合わせる乗法の筆算もあるぞ。
165:１３２人目の素数さん
06/11/05 02:10:56
マンフリート・フォン・リヒト普遍
166:１３２人目の素数さん
06/11/05 06:24:07
【>>90改訂(括弧足らず)の>>96、のそのまた補完】
0.1+0.9=(1ｰ0.9)
0.01+0.99=(1ｰ0.99)
0.001+0.999=(1ｰ0.999)
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1 (∵m→∞)
167:166､ｱﾙｺｰﾙ入り
06/11/05 06:36:10
【>>166は脱字した、夜勤明け飲酒中陳謝】
脳内補完、よろ。
各右辺ｰ0.9～を付け足し、で。
168:１３２人目の素数さん
06/11/05 09:06:53
>>166
10^(-n) ＋∑[k=1～n](9*10^(-k))=1において、
ｎを充分大きい値としたときに、10^(-n)は充分小さい値として無視し得る。
よって、(n→∞）∑[k=1～n](9*10^(-k))=1
微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
あと必要なのは、循環小数と（級数？）0.999…が同値である証明？
169:166
06/11/05 10:17:26
>>168
＞微積レベルの証明だったら、こんなもんでいいのでは？
→勿論。しかし当ｽﾚでは一筋縄ではいかない。
170:167の補正も、ｰでなく+だ!!
06/11/05 10:25:14
0.1+0.9=(1ｰ0.9)+0.9
0.01+0.99=(1ｰ0.99)+0.99
0.001+0.999=(1ｰ0.999)+0.999
0.0001+0.9999=(1ｰ0.9999)+0.9999
0.000…1+0.999…9=(1ｰ0.999…9)+0.999…9
lim[m→∞]
{Π[n=1～m]0.1
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
=lim[m→∞]{0.1^m
＋∑[n=1～m](9*0.1^n)}
･ ･
=(1ｰ0.9)+0.9
=1
171:ﾔｹ酒、酔い醒め切らぬ
06/11/05 10:53:24
【つか、酔ってなくても自分はｹｱﾚｽﾐｽ多い性格】
>>168
あと必要なのは、循環小数と(級数？)0.999…が同値である証明？
→(少なくとも>>168では、極限移行ではなく同一扱いだが、表現力が及ばず…)
仰る通り。
極限移行すると、例えば2-(1ｰ0.999…)×2、砕けた表示で0.999…→998も極限表示すれば1となってしまう。
【注意、…→として｢限り無く先｣としたが、これもまた表現不尽である為、脳内補完で宜しく】
つか、何より極限値を取って終わり、ではこの話題の結論には不足とも考える。単純回答として>>108氏参考。
172:１３２人目の素数さん
06/11/05 12:51:53
>>168
ここは物理板ではなく、数学板です。
173:１３２人目の素数さん
06/11/05 13:39:55
>>172
だと、どうなるんだい？
174:１３２人目の素数さん
06/11/05 14:20:48
十分小さい値だから無視できるなんて使っちゃイカンってコト。
175:１３２人目の素数さん
06/11/05 15:20:02
>>174
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]
f(x)=x^2のとき、
lim(h→0)[(x^2+2hx+h^2)-x^2}/{(x+h)-x}]
=lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
数学じゃ、どう説明してんの？
176:１３２人目の素数さん
06/11/05 15:44:55
不等式を使う
177:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:09:07
不等式を使えば、数式の意味が変わる？
178:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:18:59
>ここで、h~2は充分小さい値として、無視できる。
>∴lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}]=2x
記号limを使ってる以上、無視とかそういう問題ではない。
f(x) = x^2のとき、
lim(h→0){{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}] = lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h} = 2x
以上。
179:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:34:56
>>177
端的に言うとε-δ論法。
180:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:39:16
>>178
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
181:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:41:16
>>179
ε-δ論法は、必要なだけ小さい値とすることが出来る、
という意味ではないのか？
182:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:43:01
>>180
真面目に書いてます？
183:１３２人目の素数さん
06/11/05 16:55:25
>>182
どこが不真面目に思える？
184:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:00:39
>>180
>lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
h→0の極限では当然h≠0
>lim(h→0){2x+h} = 2x：このときに、h=0という値を取れるとしたら、矛盾。
意味不明。
185:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:30:18
>>184
では何故、
lim(h→0){2x+h} = 2x
といえるのか説明してくれ。
186:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:41:39
中学生の考えですけど正しいですかね？
誰か指摘よろ。
Ｓ = 0.99 …とおく
0.1Ｓ = 0.099…
Ｓ－0.1Ｓ
= 0.9Ｓ
= 0.9-0.000…9
0.00…9の１が存在する桁目はスレタイのより無限。
∴ 0.00…9 = 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
0.9Ｓ = 0.9 - 0.9*0.1^n ( n → ∞ )
Ｓ = 1 - 0.1^n ( n → ∞ )
0.1^n = 1 / 10^n → 0 ( n → ∞ )
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
有限桁、つまり桁の終端が存在する時(つまり、n → ∞でない時。)に0.1^n≠0となりＳ≠１となる。
終わり。
187:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:51:28
>>185
lim(h→0){2x+h} = lim(h→0){2x} + lim(h→0){h} = 2x + 0 = 2x
前提として
①極限が加法に関して展開可能であること（ lim(f+g) = lim(f) + lim(g) ただしいずれも有限確定のとき）
②lim(h→0){h} = 0
を使用しているが、必要ならばいずれもε-δで証明できる。
省略しているだけで「無視できるから」では断じてない。
188:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:55:23
lim(h→0){(2hx+h^2)/h} = lim(h→0){2x+h}:このときh=0ならば、不能。
え？不能なの・・・
普通に＝2xじゃないんですか
189:１３２人目の素数さん
06/11/05 17:58:33
>>188
「ゼロで割れない」っていいたんじゃないの？ｗ
190:１３２人目の素数さん
06/11/05 18:00:46
>>188
｢#DIV/0!｣
191:１３２人目の素数さん
06/11/05 18:15:38
いや、でもちゃんと約分してるから大丈夫なのでは？
っていうか
lim(h→0){(2hx+h^2)/h}
だけのことを言ってたのか
数学の先生曰く
「lim(h→0){(2hx+h^2)/h}とlim(h→0){2x+h}は『関数的に』違う」
だそうです
192:１３２人目の素数さん
06/11/05 18:19:04
「約分してるから」ってのはそれはそれで間違い。
ゼロになる可能性があるなら約分もしちゃだめ。
ただしh→0の極限を考えているときには問題ない。
193:１３２人目の素数さん
06/11/05 19:07:36
>>186
0.000…9 って表記はおいといて、
> Ｓ－0.1Ｓ
> = 0.9Ｓ
> = 0.9-0.000…9
２行目から３行目はどうして出てくるの？
194:１３２人目の素数さん
06/11/05 19:31:19
>>187
何度も言うようだが、ε-δは必要ならいくらでも小さい値が取れるという意味で、
ゼロとしていいという意味ではないだろう。
省略というが、証明できるならしてみてくれ。
195:非187
06/11/05 19:38:04
>>194
日本語として、｢必要なだけ｣は語弊がある希ｶﾞｽ。
限り無く…
つ無限小
{0|無限小,φ}(無限小≠φ)
196:１３２人目の素数さん
06/11/05 19:43:00
必要ならいくらでも小さい値が取れる = 極限がゼロである
と定義されている。
ってそんな前提もなしに話してるのかよ。
197:１３２人目の素数さん
06/11/05 19:51:45
(limの定義)
x＝aの近傍Vで定義された関数f(x)の、x→aにおける極限値がαであるとは、
∀ε＞0, ∃δ＞0 s,t x∈(a－δ, a＋δ)∩(V－{a}) → ｜f(x)－α｜＜ε
が成り立つときを言う。このときα＝lim[x→a]f(x)と表記する。この
定義から明らかなように、lim[x→a]f(x)が存在すれば、fの定義域Vを
新たなaの近傍V'に拡張しても制限しても、lim[x→a]f(x)の値は変わらない。
なお、集合Vがaの近傍であるとは、(a－t, a＋t)⊂Vを満たすt＞0が
存在するときを言う。
(lim[h→0]h＝0の証明)
VとしてRがとれる。任意のε＞0に対して、δ＝ε/2＞0とすれば、h∈(0－δ, 0＋δ)∩(R－{0})
ならば｜h－0｜＜ε が成り立つので、定義からlim[h→0]h＝0となる。
198:純粋理性批判
06/11/05 21:45:08
【By>>195】
>>196
前提を知らぬ未就学者に、
そのまま向けられる言葉遣いではないと思った。
>>197
乙。
199:186
06/11/05 21:59:29
>>193
文字式で計算したのが二行目
Ｓ－0.1Ｓ = 0.9Ｓ … 左辺
代入して計算したのが三行目です。
0.999… - 0.099… = 0.9 - 0.00…9
200:(0.00…9の記述法では有限少数値！)
06/11/06 06:08:56
【下記は自分の意見ではなく、>>199への問い直し】
【これと同じ事？limで極論移行している？】
※小数点下以降の000…も記述する。
1.000…－0.999…
＝0.000… (本式中混同無い為以下=0.1^n且つn→∞)
⇔1.000…＝0.999…+0.1^n (n→∞)
で、n→∞ ⇔ 0.1^n→0 である。
∴ Ｓ = 1 = 0.99…
201:199
06/11/06 17:56:58
>>200
だいたい、その通りです。
202:１３２人目の素数さん
06/11/06 23:12:14
ってかいまおもた
1-0.999…=0.000…(1)=0になるらしいが
0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…(9)となって最後が0になるのでは・・・
203:１３２人目の素数さん
06/11/06 23:18:21
末尾の()は何？
204:１３２人目の素数さん
06/11/06 23:22:29
∞桁目とか言いたいんじゃねーの？
205:１３２人目の素数さん
06/11/07 00:33:05
1-0.999…=0.000…=0になるらしいが
0.999…=0.9+0.09+0.009+…0.000…となって最後が0になるのでは・・・
206:１３２人目の素数さん
06/11/07 08:52:22
>>205
>>170みたいに並べて、の末に…と言う意味か？
207:１３２人目の素数さん
06/11/07 09:42:33
>>205
てか最後ってなんだ
208:１３２人目の素数さん
06/11/07 19:24:51
1-0.999…=0.000…=0になるらしいが
0.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて0.999…にならないのでは？
209:１３２人目の素数さん
06/11/07 19:29:55
だったら、
> 0.9+0.09+0.009+…と続けていくと0.000…(=0)が出てきて
その場合の和の結果は何なの？
210:１３２人目の素数さん
06/11/07 21:49:04
【1≠0.999…の証明】
ｘ＜1でｘの最大値を求めると
解は0.999…
この解はｘ＜1という条件から1≠0.999…である
テンプレの>>4に対して
0.333…∞に3が続く＝0.333…∞に3が続く
である為には
（左辺の∞）＝（右辺の∞）
でなければならず計算不能
∴0.333…や0.111…なども計算不能であり証明不足
211:１３２人目の素数さん
06/11/07 21:56:22
>ｘ＜1でｘの最大値を求めると
そんなものは存在しない。以上。
212:１３２人目の素数さん
06/11/07 22:22:09
>>210
∞＝∞はOKなんでない？
確か
∞+1＝∞
∞+∞＝∞
は成り立ってたと思うし
∞＝∞ってのは聞いたことがないが上の式から成り立つだろ
213:１３２人目の素数さん
06/11/08 14:59:23
>>210-211
>>101とその補足者>>110&>>131が別表現で既出。
>>212
不充分。
>>170の様に桁が揃っている事を前提にすれば正しくなる。
が、それも1＝0.999…⇒1/3＝0.333…、1≠0.999…⇒1/3≠0.333…
本スレでは両者の内、どちらがより正確なのかという事を議論する。
(明らかに>>110&>>131は1と0.999…を分別している為、後者を選んでいる。)
214:213補足
06/11/08 15:09:34
1/3＝0.333…、余り無限小＝0.333…
1/3＝0.333…、余り無限小≠0､333…
>>101数直線上だと隣り合う二点を、如何に処理すべきか。
215:１３２人目の素数さん
06/11/08 22:32:27
>>213
桁が揃ってないとまずいの？
∞+1＝∞より
0.33＜0.333＜0.3333＜0.333…（∞-1個）3＝0.333…（∞個）3＝0.333…（∞+1個）3───①
が成り立つとは言えないの？
①は3を増やしていると途中から不等号が変わるのではなく
0.333…（∞-1個）3は無限小数を数えきった値であり、その値に桁を増やすことは不可能
0.333…（∞-1個）3と0.333…∞3は既に同じ桁であり前提にする必要はない
216:１３２人目の素数さん
06/11/08 23:12:55
>>213 前にも自分の考えを書いたもんだけど、きちんと数学的に考えた上で、
なおかつ小数表記に優劣つけるなら、やっぱり如何なる数も無限小数表記にするのが
妥当では？10のベキ乗を分母（既約な分母として）として持つ数だけ有限小数表記を
持つのが当然、と考える方が失礼でしょう。もし、有理数まで実在の数と考えるのなら。
217:１３２人目の素数さん
06/11/09 02:33:50
>>215の考え方でいくと
0.333…∞個3…∞個0はどうなるんだ
仮に0.333…∞個3と等しいとすると
0.333…∞個3…∞個1とも等しくなっちゃいそうだが…
218:213-214
06/11/09 05:37:32
>>215
>>217質疑をどう処理するか？
>>216
ならば、それは>>200(但し結論中｢1｣を1.000…として)に振る。
219:１３２人目の素数さん
06/11/09 08:02:42
f:R→R を f(x) = （xの小数点以下を切り捨てた数）
と定義すれば
f(1)=1 だが f(0.999...)=0 となる・・・
と思ったけどこれはただ単にfが写像として定義できないだけのことか？
220:１３２人目の素数さん
06/11/09 10:55:17
>>219
CPU言語でintxになるな。
正実数に限れば只単に[x](ｶﾞｳｽ記号)になるのう。
221:１３２人目の素数さん
06/11/09 11:07:03
>>219の f とガウス記号は別物ということだ。
222:１３２人目の素数さん
06/11/09 11:48:56
>>219
fは写像として定義できるが
Rからの写像ではなく
数字の列からの写像になる
ということでは
223:１３２人目の素数さん
06/11/09 12:14:00
>>219
あなたの言う通り。
a=b⇒f(a)=f(b) が成り立てば well-defind.
1=0.999...を認めるならば写像が定義できてない、というだけの話。
224:１３２人目の素数さん
06/11/09 12:22:16
>>223
だからさ
数字の列からの写像としては定義できるんだよ
実数からの写像としてはwell-definedにならないが
225:１３２人目の素数さん
06/11/09 13:29:10
>>224
{数字の列}という集合を考えたら何が嬉しいのかは判らないが、
まあ、そうなんでしょう。
226:１３２人目の素数さん
06/11/09 13:41:56
> 何が嬉しいのかは判らないが
まあそう言われるとは思ったけど
数学的な事実は事実だから仕方ないよ
227:１３２人目の素数さん
06/11/09 13:51:15
対角線論法とか見たことある？
普通は数字の列の集合と対応させて
|N|<|R|を証明すると思うけど
228:１３２人目の素数さん
06/11/09 15:25:46
>>227
ああ、そうか。
あれ、対角線論法って0.999...の扱いはどうしてたっけ。
229:１３２人目の素数さん
06/11/09 15:44:04
>>228
どの数字列も無限に桁があることにするので
最後がn（≠0）で終わる有限小数については
****n0000・・・
****(n-1)9999・・・
のどちらかに揃えると思う
230:１３２人目の素数さん
06/11/09 18:07:16
>>219
コンピュータにそのまま実行させるからそうなる。
無限桁をメモリーを持つコンピュータなら f(0.999...)=1 だろ。
そうならないのは、コンピュータが有限のメモリーと有限の実行時間をもっているせい。
通常… #define GOSA 1.0D-10 なんて定義して…
f(x) = int(x+GOSA)
ってやれば無問題だろ。当然、f(0.999...)=1 だな。
231:１３２人目の素数さん
06/11/09 18:59:03
GOSAって何かと思ったら
もしかして「誤差」？
君はひょっとして天才か？
232:１３２人目の素数さん
06/11/09 20:12:11
>>230
fの定義は
f(x) ＝( x の 小 数 点 以 下 を 切 り 捨 て た 数 )
なので、メモリーが無限桁であろうがなかろうが、
f(0.999…)＝( 0.999…の小数点以下を切り捨てた数 )＝0
となる。一方で0.999…＝1だから、
f(1)＝( 1の小数点以下を切り捨てた数 )＝1
となる。よって、どのみちfはwell-definedでない。
233:１３２人目の素数さん
06/11/09 20:24:41
コンピュータが内部で 1 と 0.999・・・を区別するかどうかによるだろ
234:１３２人目の素数さん
06/11/09 20:37:08
ほらな
コンピュータが0.9999・・・を
1とは異なる数字の列と扱えば出力が違うし
実数として1と同じと扱えれば同じ出力になるんだよ
well-definedかどうかで考えるのは誤解の元
235:1 ≠ 0.99…の世界に行ってきた。
06/11/09 21:25:27
全ての数ｎ÷ｎにおいて
最初の商に０を立てると次の位には９が立ち、以下同じ数字が繰り返されるので
ｎ÷ｎ = 0.99…
また、最初の商に１を立てると
ｎ÷ｎ = 1
∴ ｎ÷ｎ = 1 = 0.99…
ここで定義より1≠0.999だが明らかに矛盾。
故に1≠0.99…ならばｎ÷ｎは存在しない。
236:１３２人目の素数さん
06/11/09 21:27:02
>>233-234
そりゃまあ>>232は
f(x) ＝(xの小数点以下を切り捨てた数)
を
f(数字列x) ＝(数字列xの小数点以下を切り捨てた数)
と読んでるんだからある意味当然だわな。
xが実数のつもりならまず十進展開の仕方（形式的には
関数g : R→{数字列}）を決めねばならんし。
それでやっとお望みの
fg : R→{数字列}→Z
が定義できるんだからな。
237:１３２人目の素数さん
06/11/10 08:44:21
【>>101を引用しとく】
やはり、0.999…は極限極論で1なのでは？
だか本スレは極論無しに議論を行う積もりの筈。
ここら辺の話(÷0話や∞哲学)で有名な足立恒雄曰わく、0.999…＝１？に対し、
『最後に｢0.0000…1｣の最後の｢1｣は何でしょうか？
無限の先に１があると言うつもりかもしれませんが、無限の先とは何でしょうか。こう問いただすと、質問自身にあまり意味がないことにがわかると思います。
数学では明確に定義されたことしか扱わないということを理解してください。』
(Newtonﾑｯｸ｢ゼロと無限の科学｣なんていう低俗だがﾍﾟﾝﾛｰｽﾞもｲﾝﾀﾋﾞｭｰしとる)
この話をつまり、極限極論も取っ払って行うと、ﾌﾟﾛさえも及ばない領域
(その前に、詳しい方は足立恒雄の頓痴気度診断宜しく)
と。
ﾃﾞｶﾙﾄの切断では、1と0.999…は別々になる事をお忘れなく。
238:１３２人目の素数さん
06/11/10 20:53:29
>極限極論
て何？
239:１３２人目の素数さん
06/11/10 21:08:11
>>237
デカルトの切断って…モノとココロの分離だっけ。そんなモン何か関係あるんか？
240:１３２人目の素数さん
06/11/10 21:28:59
デデキントの切断と違うんか？
241:１３２人目の素数さん
06/11/10 21:31:13
"デカルトの切断"に該当するページが見つかりませんでした。
検索のヒント
・・・
242:１３２人目の素数さん
06/11/10 21:34:22
リミットえっくすアプローチまいなすイチ
243:１３２人目の素数さん
06/11/10 21:36:31
いや、えっくすアプローチイチまいなすぜろか…うんそうだ
マイナスイチだとマイナスいちにアプローチするからね
244:１３２人目の素数さん
06/11/11 01:09:12
デカルトの切断ﾊﾞﾛｽｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
245:237
06/11/11 05:13:53
(誤) デカルト
(正) デデキント
>>239
正解。
246:１３２人目の素数さん
06/11/11 08:38:40
ていうかデデキントの切断でも
1＝0.999…になるような切り方しか認めないだろ
247:１３２人目の素数さん
06/11/11 09:29:45
そうだなｗ しかもそれも何度も指摘されている。
248:１３２人目の素数さん
06/11/11 12:32:59
＞無限の先に１があると言うつもりかもしれませんが、無限の先とは何でしょうか。
非可算な整列集合とか。
249:１３２人目の素数さん
06/11/12 07:53:38
>>246-247
どうかな、
確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど、
分別しても、これらの議論では問題ないのでは？
より難解だろうけど。
第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。
250:１３２人目の素数さん
06/11/12 08:03:11
＞確かに切断でも連続体仮説でも、1と0.999…は同一にしているけど
デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」んだよ。
＞第一、このｽﾚではその様に片付きはしないはず。
バカは消えろ。デデキントの切断では、同一に「している」のではなくて、同一に「なる」わけよ。
251:１３２人目の素数さん
06/11/12 09:43:38
>>250
相手も相手だが、文章に叩きを含めるのも如何なものか？
揃ってお立ち退き頂きたい。
252:１３２人目の素数さん
06/11/12 10:07:01
{ [0 , 1/2) , [1/2 , 1] } と { [0 , 1/2] , (1/2 , 1] }
の同一視（もしくは一方の排除）は
「している」のではなく「なる」ものなの？
253:１３２人目の素数さん
06/11/12 10:43:19
デテキントの切断を認めれば当然「単調増加数列はその上限に収束する」んだろ？
数列 ０．９、０．９９、０．９９９、… の上限は１だから当然１に収束するな。
で、君の立場だと、収束しても同一視はしないってコトか？
254:>>251でも>>252でもないが
06/11/12 10:54:47
収束か。
>>108参照。
255:１３２人目の素数さん
06/11/12 11:14:25
>>253
> ０．９、０．９９、０．９９９、… の上限は１だから
いや、それを切断の形式で書かないと意味が
ないという話だと思ったんだが・・・。
> 君の立場
別に俺何の立場も表明してないけど？
他の奴と間違えんでくれよ。
256:１３２人目の素数さん
06/11/12 11:49:32
>>254
で？
>>255
デテキントの切断と上限に収束するってやつは同値なんだからさー。
片方だけで考える必要あるんか？
257:１３２人目の素数さん
06/11/12 12:06:16
>>256
それ全然>>252に答えられてないよ。
ていうか252きちんと読んだ？
デデキントの切断はまず252の2種類の集合を
どちらか一方に絞ってることは知ってるでしょ？
そうやって絞るからこそ君の言う同値が証明できる
わけなので、その同値を持ち出しても252に
答えてることにはならんべ。
258:１３２人目の素数さん
06/11/12 12:34:41
べつに>>252に答えている訳じゃなかったのだが…紛らわしくてスマソ
259:１３２人目の素数さん
06/11/12 16:04:34
>>252
もしかして、
{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1), [1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？
260:１３２人目の素数さん
06/11/12 16:06:42
あ、ミスった
{[0, 1), [1, 2]} が 0.999・・・で
{[0, 1], (1, 2]} が 1に対応してると考えてるの？
261:252
06/11/12 16:15:37
いや、俺自身はそう考えてないけどね
（俺は>>246だし）
>>237が言いたかったことを好意的に解釈しようとすると
そんなことを考えていたんじゃないかなあと
262:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/12 20:21:50
なんで同じなの？
明らかに違うと思うんだが。
263:１３２人目の素数さん
06/11/12 20:24:08
アルキメデスの原理とかなんでこの問題に使うんだよｗｗｗｗｗ
水の中の物体は、それがおしのけた水の重量だけ軽くなる
どこで使うんだよｗｗｗｗｗ
264:１３２人目の素数さん
06/11/12 20:56:44
>>263
釣れますか？
265:１３２人目の素数さん
06/11/13 00:42:48
>>263
ﾜﾛｽ
266:マジレスするぞぉ！
06/11/13 01:19:14
>>263
そっちかよ！質量保存則の方かよ！
取り尽くし法(古代のε-δ論法)の方だよ!!
267:１３２人目の素数さん
06/11/13 08:01:36
独力で超限解析を再発見するような活きのいい電波はおらんかのう…
268:平家蟹の舎弟
06/11/13 20:22:10
いまよんできます。
269:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/13 20:24:42
はいはーい。
270:１３２人目の素数さん
06/11/13 20:57:40
>>267
超準解析作ったヤツもこのスレみたいに、数学者から煽られて奮発して作ったに違いないｗ
でも…おいそれとはできんよな…コレ。
271:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/13 21:14:44
超準解析ってなに？
272:１３２人目の素数さん
06/11/13 22:02:14
「超準解析」は難しいけど、超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。
273:１３２人目の素数さん
06/11/14 10:56:21
>>271
簡単に言うと、無限小が実在する世界での微積分、
及び、それと一般的な実数の世界の問題とを互いに翻訳する方法。
274:１３２人目の素数さん
06/11/14 19:15:20
1=0.999…ではないとすればこのスレタイはかなり変になるとは思いませんか
275:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/14 21:48:32
んー、1＝0.9dotってさー、綺麗じゃないよ。綺麗じゃなきゃ駄目だろ。
276:平家蟹 ◆qZKkuPC36I
06/11/14 22:15:45
f(x)=1/x だと
０に右から近付くのと
左から近付くのとだと値違うけどいいの？
277:１３２人目の素数さん
06/11/15 00:18:39
>>275
泥臭いのもまた数学なのさ。
>>276
だから？
278:１３２人目の素数さん
06/11/15 05:04:17
コンウェイの超現実数だと0.999……≠1だな。
279:１３２人目の素数さん
06/11/15 05:51:29
>>278
なにそれ？
280:１３２人目の素数さん
06/11/15 06:34:16
クヌースのこの本をどうぞ。
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
実数と無限大・無限小でできている。平たく言うと、左が右以上にならない数のペア（実際には空でも良い）から作られる。
281:１３２人目の素数さん
06/11/15 21:51:30
実数+無限小とかももちろん含まれている。わかってるだろうけど念のため。
282:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 21:55:53
素人考えなんだがｆ(x)=1/(x-1)で
0.9dot=1=1.0dot
（ニュアンス的にこう書くとすると）
f(0.9d)=-∞
f(1) 定義なし
f(1.0d)=+∞
となるから、0.9dot=1っていかにも違うよなきがするんだが、数学的だとなんら問題ないの？
283:１３２人目の素数さん
06/11/15 22:01:05
全部、定義なしで無問題。
284:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 22:09:08
定義ないのか。わかりました、ありがとう。
しかしひねくれ者だから、いちゃもんつけると、
二進法とかあるわけだから、十一進法にして
０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、うんことすると、
0.9dot<0.うんこdot<1とかはなんねのかな？
同相とかで問題なし？
285:１３２人目の素数さん
06/11/15 22:22:16
>>284
十一進法なら 0.999… < 1 だよ。
で、何が言いたいの？
286:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/15 22:35:20
いやー、十進法から、イメージ沸いたよ。サンチュ
287:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/17 18:57:27
んーしかしさー、0.9DOTって無理数？有理数？
288:１３２人目の素数さん
06/11/19 18:23:11
>>278-280
やっぱり定義次第なんだ。
>>286-287
16進法
0123456789ABCDEF
この時、10進法の0.9dotに相当するのは0.Fdot、つまりそれは全く違う数。
1＝0.9dot⇒0.9dotは有利数
1≠0.9dot⇒0.9dotは無理数
289:１３２人目の素数さん
06/11/19 18:38:33
1-無限小を無理数と言うか？
290:288
06/11/19 19:49:01
>>289
悪い。言えんかった。
超準解析的には、えーと…。
291:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:07:14
整数は有理数
循環小数は有理数
無限小数は無理数
292:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/19 20:44:06
0.9dotが有理数の場合、＝P/Qになる自然数がP=Q=1ってのは釈然としない感じなんですが……
293:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:46:04
１／１ ＝ ２／２ ＝ ３／３ ＝ …
を「釈然としない感じ」という人もいるやも知れないですね。
294:１３２人目の素数さん
06/11/19 20:54:05
>>292
実数論の勉強して来い。その方が早い。
295:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/19 21:21:06
実数論？っージャンルあるの？
296:１３２人目の素数さん
06/11/19 23:17:49
>291に突っ込みが入らない件について
297:１３２人目の素数さん
06/11/19 23:19:30
>>295
「実数論」でググれ。
298:１３２人目の素数さん
06/11/20 12:45:38
０．９９９９・・・は、小数点以下の９の数が多くなるほど
限りなく１に近づく事は分かるが、１より小さい事は明らかである。
１＝０．９９９９・・・はおかしいと思う。
299:１３２人目の素数さん
06/11/20 13:11:31
>>298
＞＞１より小さい事は明らかである。
なんで明らかなの？
300:１３２人目の素数さん
06/11/20 17:43:24
>>291
違う
整数は有理数
有限小数は有理数
循環する無限小数（循環小数）は有理数
循環しない無限小数は無理数
301:１３２人目の素数さん
06/11/20 17:49:54
一般に数列 S(n) (n=0,1,2,…) に対して、その極限
S = lim[n→∞] S(n)
は、
どんな正数 ε に対しても、ある自然数 n_0(ε) が存在して、
n ≧ n_0(ε) ⇒ | S - S(n) | < ε
を満たすようなSとして定義されます。
0.9999… の定義は色々あるでしょうけれど、最も単純なものは、
数列 S(n) = 1 - (0.1)^n の極限
0.9999… = lim[n→∞] S(n)
であり、上の極限の定義から
0.9999… = 1
となります。
302:１３２人目の素数さん
06/11/20 20:15:37
>>298
もうね0.999...を動いているイメージでしか捉えられなくて、「近づく」とか言う人は仕方ないと思うのよ。
「近づくその行き先のことなんだよ」って何回か言ってわからなければそれ以上はムダ
しかしそういう人は 1/3 = 0.3333... には疑問を抱かないのだろうか、とは思う。
0.333...だって「そういう人」から見れば「限りなく1/3に近づくけど1/3より明らかに小さい」
と思うんだが。
303:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/20 22:09:03
じゃ0.9dotは閉区間［０、１］には入っているが、開区間（０、１）には入ってないことになるんだけど、それでokですか？
304:１３２人目の素数さん
06/11/20 22:43:44
OKだけど、1もそうだよ。
305:１３２人目の素数さん
06/11/20 22:44:15
OK。
点列の極限が、点列の入っている集合を飛び出すのはよくあること。
306:１３２人目の素数さん
06/11/20 22:51:24
なぜ「閉」区間というかもそこにあるわけだし。
307:１３２人目の素数さん
06/11/20 22:56:38
数列 an = {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}について、
an in ( 0, 1 ) for any n だが、
lim[n→∞]an not in ( 0, 1 )
308:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/20 23:57:46
ではMAX［０、１］＝１
SUP［０、１］＝１
SUP（０、１）＝１
MAX（０、１）＝？
定義されないのですか？
超準解析だと（１－無限小）みたいなのが定義されるんでしょうか？
なんか質問はかりですみません。
309:１３２人目の素数さん
06/11/21 00:18:41
>>302
その調子だと、>>278-281を否定するわけだ。
やはり定義次第なんと違うのか？
310:１３２人目の素数さん
06/11/21 00:26:51
>>308
実数論の勉強して来い。
311:１３２人目の素数さん
06/11/21 17:48:48
0.999…の極限を表すのって
lim[N→1]Ｎ
で良いんだよね
この問題の答えは１になる・・・はず
Ｎが限りなく１に近づく（0.999…）ときの極限は１
ってな感じ？
0.999…の極限は1
を
0.999…=1
に
するのは・・・変？
312:１３２人目の素数さん
06/11/21 18:10:24
>>311
極限は数列とか関数なんかに使う言葉であり、実数に対しては使わない。
○ an＝1/nの極限は～～～
× 2006の極限は～～～
0.999…もまた実数だから、「0.999…の極限」とは言わない。
313:１３２人目の素数さん
06/11/21 19:41:25
極限の定義
関数f(x)において、xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値aに限りなく近づくならば
x→aのとき f(x)→a または lim[x→a]f(x)
と書き、aをxがaに近づくときのf(x)の極限値という
ほんとだ実数じゃない・・・関数か
じゃあどう書けば良いんだ
314:１３２人目の素数さん
06/11/21 20:28:02
an＝1－1/10^n＝0.99…99 (←9がn個並んでいる) の極限は1
315:１３２人目の素数さん
06/11/21 20:50:01
>>309
1≠0.999…が有意義に定義できるんじゃ、
そっちの方が深度は上じゃなかろうか？
深みにどっぷりな気もするけど。
316:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:02:41
極限に向いてない人、ってのがいるんだな。
317:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:05:45
>>313
重箱のスミだが、xもf(x)も同じaに近付かなくてもいいんだぞ
318:１３２人目の素数さん
06/11/21 23:15:40
>>197参照
319:１３２人目の素数さん
06/11/22 13:42:48
>>313
ε-δ論法知らんのか？
320:１３２人目の素数さん
06/11/22 14:53:50
知らないんじゃね？高校生向けの参考書あたりからコピペしたんだろう。
321:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/22 18:09:01
つーか超準解析の話は？
322:１３２人目の素数さん
06/11/22 20:44:37
>>321
つーかオマエはまず実数論の勉強してこい。
323:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/22 22:10:17
実数論、勉強したよ。わかったo(^-^)o楽勝
S（n)＝1－(0.1)^nとするとだよ、
S(1)=0.9
俺、現在形
S(n)=0.9…9(9がn個)
俺達、ただいま現在進行形
0.9dot=1
俺は過去形
っーことだろ。
しかしさー、
0.999………は、
俺、現在進行完了形、
みたいじゃない？
324:１３２人目の素数さん
06/11/22 23:07:30
>>323
実数をデデキントの切断で構成してくれ。あるいは、有理コーシー列を使う方でもいい。
少なくともこれが出来ないと、実数論を勉強したとは言わない。
325:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/23 07:32:03
DEDEKINDの切断？わからない……、生意気言ってすみません、基礎的な集合論かと思ったんだよ。
よかったら誰か説明してくださいなm(__)m
326:１３２人目の素数さん
06/11/23 18:57:10
基礎的な用語なんだから、それこそ本読むかネットで調べればいいだろ。
327:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/23 20:00:40
あー、ここはそういうスレなのか。
まあ、いいや、しゃしゃりこんでごめんなさい。
328:１３２人目の素数さん
06/11/23 21:38:22
>>327
要するにさー。実数ってのは「連続している」ってイメージあるよね。ところが、「連続している」
なんてのを数学的にイエスかノーかはっきりできる論理の形で表さないと、数学的にはマズイ
わけだ。下手すると、延々とアカデミックの場でここでの論議みたいなのが拡大されて収拾つ
かなくなってしまう。
で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが「結局、皆同じ」ってことが証明されるわけ
だな。
実数が「連続している」ってイメージを認めるなら、結局どこかでこれらを認めて話を進めない
といけない…ってのが解析学の初歩。
デテキントの切断なんていやだーってんで超準解析なんてのを作った人もいるけど、これは
無茶難しい。
329:１３２人目の素数さん
06/11/23 21:54:27
超フィルターを使って超実数を構成するくらいなら簡単。
330:１３２人目の素数さん
06/11/23 22:07:35
もう、>>278-281で
定義次第って話は纏まった筈では？
1≠0.9dotとする事に因る不便さが付き纏って随分と細かく複雑な注意事項が出てきそうだが。
331:１３２人目の素数さん
06/11/23 22:21:13
>>328
> で、世界で初めて明確なイエス・ノーの論理の形で「連続している」ってイメージを表したのが
> デテキントさん。で、使っているのが「デテキントの切断」なわけだ。その後で、コーシーさんとか
> 色々な人が別の表現を試みたけど、後々でそれらが
その「その後で、」の位置を工夫しないと
まるでコーシーがデデキント切断の後みたいじゃないか
332:!^r
06/11/25 03:43:39
もうどっちでもいいんじゃね
333:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/11/28 21:14:49
あースレとめちまったのかな。
こーこーせー、疑問をぶつけるのだ！
334:１３２人目の素数さん
06/11/29 02:11:59
【>>330】
>>333
１＝0.9dotでも１≠0.9dotでも良い事が
>>278-281によって示されている。
335:１３２人目の素数さん
06/11/29 23:00:04
最初のテンプレからして、条件次第って書いているんですけど…。
336:１３２人目の素数さん
06/11/30 01:35:42
普通の実数や超実数
＝
変わった実数やアレンジされた超実数（超現実数等も含む）
≠
337:１３２人目の素数さん
06/11/30 04:03:26
【>>334】
>>335-336
すっかり忘れ。謝。
というわけで取り敢えずＱ＆Ａ７(>>5)に>>278-281を添える。
338:１３２人目の素数さん
06/11/30 15:15:49
Ｑ＆Ａ８かな
339:337
06/11/30 17:18:32
>>338
ありゃま、Ｑ＆Ａ７じゃなかった
新しくＱ＆Ａ８として設置になりますね。
340:１３２人目の素数さん
06/12/02 18:27:48
小数点以下で9が連続する循環小数（0.999…とか1.999…とか10.999…とか)は
その循環小数の整数部分に１を足した値(0.999…なら0に1を足して1、10.999…なら10に1を足して11）と等しい
＜証明＞
実数の定義より、循環小数は有理数であることから、四則演算が適用できる。
あとはＱ７の⑦とか使う
＜証明終わり＞
とかじゃ駄目なのか
341:１３２人目の素数さん
06/12/03 00:48:54
>>340
つうか、1=0.999…と同値な問題だろ
342:平家蟹 ◆CoWlhnNErE
06/12/03 10:31:11
とりあえず１＝０．９dotの話は面白みがないから、≠として、なんか話が展開されないのかな。
343:源氏蛍 ◆EGfEOrbUDA
06/12/03 23:13:40
でも、面白いとかツマラナイの問題じゃないでしょ。
344:１３２人目の素数さん
06/12/04 00:04:50
正直、誰かトンデモ理論を言い出してこないかとワクテカしてる
345:１３２人目の素数さん
06/12/04 00:07:36
考えてるんだけどな＞トンデモ理論。
346:１３２人目の素数さん
06/12/05 20:24:10
1≒0.999…
347:１３２人目の素数さん
06/12/08 22:45:25
Q4がいま一つ理解できない。
不完全性定理が関係有るヤツなの？
348:１３２人目の素数さん
06/12/09 02:23:00
ってか、不完全性定理的回答ってだけで
どっちか一方が絶対、じゃないっ事じゃねっすか
349:１３２人目の素数さん
06/12/09 17:26:37
不完全正定理云々以前に定義の問題だと思うけど。
350:１３２人目の素数さん
06/12/09 18:22:50
ただどう定義してもＱで0.999……=1が証明されたときに、
0.999……≠1が証明されないことは証明できないはず。
なぜならばＱではＮが定義できるので、自然数論を含む体系になるから。
もし0.999……≠1が証明されればＱが矛盾していることになり、
エライことになってしまう。
ということをＱ４は言っているのでは？
351:１３２人目の素数さん
06/12/09 18:25:55
後半死んでるな。
もし0.999……≠1が証明されないことが証明されれば
無矛盾であることが証明できたことになり、Ｑが矛盾している
ことになり、エライことになる。
だな。
352:１３２人目の素数さん
06/12/09 19:35:30
そもそも前提条件が違う証明同士だったらそんな余計な文面要らないんじゃないの？
353:１３２人目の素数さん
06/12/10 02:04:21
>>352でおｋ。
別個の公理系。
354:１３２人目の素数さん
06/12/10 04:04:05
当たり前と言えばそうだが、「前提を定めれば論理的にどちらかが正しいと証明できるはず」
という人もいる。それは厳密には無理と言うことで書いてあるのだと思う。
355:１３２人目の素数さん
06/12/10 04:18:20
>>354
合、其処等辺の解説に不完全性定理的回答也、と云う事で御座る。
356:１３２人目の素数さん
06/12/10 11:42:20
しかし、テンプレのＱ５Ａ５がこのスレの前提条件としたんでは、
㌧でもも超準解析も入り込む余地はないんじゃね。
357:１３２人目の素数さん
06/12/10 11:55:05
まあ通常の解釈の話であればああ書くことになるんじゃない？
というか、通常でない解釈として採用した方が（しても？）いい
ものが具体的にあがっていないからじゃないのかな？
コンウェイの超現実数はたしかに採用されても良いと思うけど。
358:１３２人目の素数さん
06/12/10 23:23:21
URLﾘﾝｸ(www.taiyo-g.com)
↑
これってどーなの？
359:１３２人目の素数さん
06/12/10 23:35:19
文系が哲学者のMLに話題を投げた記録て…
これほど読む気が失せる前文も珍しいな。
360:１３２人目の素数さん
06/12/12 12:34:30
循環小数は、有理数ではない！
いやいやｗ
実数の定義だからね循環小数が有理数ってのは・・・・・
361:１３２人目の素数さん
06/12/12 13:04:50
どうせこんなことが書いてあるんだろ。
・例えば0.333…＝1/3－無限小 であり、1/3には一致せず、有理数でない。
362:１３２人目の素数さん
06/12/12 16:18:10
0.9は、もちろん有理数
0.99も、もちろん有理数
0.999も、もちろん有理数
0.999…は循環小数なので有理数
1は、もちろん有理数
0.999…を考えるときには有理数しか出てこない
だからそんなに難しく考えなくても良いのでは
363:小が臭え
06/12/12 21:23:33
コンウェイの超限実数では…何だろねぃ。
でも普通は有理数じゃんね。
364:.
06/12/13 19:58:15
>>360
洋一石
一石 って ein steinつまりアインシュタインのもじりのつもり？
365:１３２人目の素数さん
06/12/14 05:24:30
純粋に数理的に考えていった場合、実数の定義自体が怪しいんでは？
366:１３２人目の素数さん
06/12/14 19:55:10
なんでやねん！
367:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/12/14 20:52:09
talk:>>365 実数空間の満たすべき性質は、順序体であることと、完備であることだ。その条件を満たす集合を具体的に定義することもでき、それらは互いに同型だ。
368:１３２人目の素数さん
06/12/15 05:20:32
実数はそのまま実数でおｋ。
問題は、1≠0.999なる公理系(例えば、>>278-281)。
儂ゃ知らんがな(´･ω･｀)
369:１３２人目の素数さん
06/12/15 21:59:57
【1≠0.999…の証明】
初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
この数列の無限番目は１と等しくなると仮定する。
次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項a_0=1、一般項a_n=a_(n-1)*10-9。
しかし、この数列の項は、すべて１である。
よって最初の数列の無限番目は１に等しいとは言えない。
370:１３２人目の素数さん
06/12/15 23:28:35
>>369
背理法を使っているつもりなのだろうが、一体どこが矛盾してるのか分からん。
371:１３２人目の素数さん
06/12/15 23:53:30
無限番目ってあんたｗ
372:１３２人目の素数さん
06/12/16 01:56:20
仮定が矛盾してんじゃん
373:１３２人目の素数さん
06/12/16 02:18:22
ブルバキスレにまたもや文keiが偽名を使って出没している
どうにかしてくれ
374:369
06/12/16 07:55:45
無限番目をlim(n→∞)a_nとしてください。
これで仮定は矛盾しないと思う。
375:１３２人目の素数さん
06/12/16 08:44:07
>>374
「無限番目」を「lim(n→∞)a_n」に変えて議論すると、こうなる。
初項a_0=0、一般項a_n=a_(n-1)/10+0.9の数列を考える。
lim(n→∞)a_n＝1だと仮定する。
次に、上と順序が逆の数列を考える。
初項b_0=1、一般項b_n=b_(n-1)*10-9。
さて、この数列{b_n}は、本当に数列{a_n}と「順序が逆」なのだろうか？
そもそも、「順序が逆の数列」とは何なのか？岩波の分厚い数学辞典を
見ても、「順序が逆の数列」なるものは載っていない。従って、>>374に
質問しなければならない。
質問：「順序が逆の数列」の定義は？
376:375
06/12/16 08:51:22
>>374
これも追加で質問。
質問：次の3つの数列に対して、「順序が逆の数列」を教えてくれ。
x_n＝2^n
y_n＝1/n
z_n＝cos(n)
377:369
06/12/16 10:49:52
>>375
>質問：「順序が逆の数列」の定義は？
a_n=f(a_(n-1))のとき、漸化式の逆関数をf^(-1)とすると、
a_n=f(^-1)(a_(n-1))な数列のこと。これは逆数列というのかな？
このとき初項が問題になるけど、a_∞=lim(n→∞)a_n（つまり0.99…=1）ならば
初項は１にすべきだと思う。
わたしは、初項を１にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
ことだけを示せれば十分かなぁと思った。
でも、これを書いている途中で、たとえ初項を0.99…にしたとしても順序が逆の数列は
できない気がしてきたので、>>369はちょっと撤回させてもらいます。
378:１３２人目の素数さん
06/12/16 17:40:25
つうか>>369って本気で書いてたのかよ。
しかもそのキモが俺理論ときたｗ
379:１３２人目の素数さん
06/12/16 17:47:46
>わたしは、初項を１にすると「順序が逆」の数列はlim(n→∞)a_n=0になりえない
>ことだけを示せれば十分かなぁと思った。
「十分かなあと思った」・・・・・
全然十分ではありません。以上。
380:１３２人目の素数さん
06/12/17 11:54:26
射影的極限の話でもするのかと思った
381:１３２人目の素数さん
06/12/23 09:55:18
>>380
じゃあそのネタで
[1＝0.999…の話]or[1≠0.999…の話]でも
してくれ～ぃ。
382:１３２人目の素数さん
06/12/23 10:21:12
0.999……=1であるということは、
0.99=1という系があることも認める事か？
383:１３２人目の素数さん
06/12/25 06:42:33
このスレたまにバカが湧くな
384:１３２人目の素数さん
06/12/25 15:16:24
>>382
どこにそんなおかしな記述がある？
385:１３２人目の素数さん
06/12/26 02:17:44
関連する話で、一つ質問です
普段私達が日常生活や数学の問題を解く中で使用する０なんですが
０そのもの、1から０へ近づけた０、-1から０へ近づけた０
以上、３種類存在すると思うのですが、これも前提条件を元に考えられた概念なのでしょうか？
将来覆される可能性があるのでしょうか？
386:１３２人目の素数さん
06/12/26 03:12:12
>>385
φ|空集合と→+0成る数と→ｰ0成る数か。
極限概念…とだけで答えを済ませてはもらえないだろうな。
387:１３２人目の素数さん
06/12/26 05:02:33
>>384
極限の本質を理解していないな。（ある面ネタではあるけど。）
0.9が充分１に近い数値であれば、0.99は１である。
自然数ｎが無限大という値を取らない限り、
級数が極値を取る事はあり得ない。
388:１３２人目の素数さん
06/12/26 07:40:53
>>385
x = lim[n→∞]{ (-0.5)^n } とする。
xはゼロなわけだが、君のいう3種類のうちどれになるの？
389:１３２人目の素数さん
06/12/26 07:46:14
>>387
たった4行で突っ込み所多すぎｗ
390:素人
06/12/26 10:13:42
私は、ド素人ですがこのスレを見て、考えたのですが、答えは仏か神か
のレベルだと思います。
どなたか、数学以外の分野からの感想を聞きたいです。
どなたかいらっしゃいますか？
391:１３２人目の素数さん
06/12/26 10:45:20
＞答えは仏か神かのレベルだと思います。
そう思うのはオマエが素人だから。
392:素人
06/12/26 10:49:06
>>391
でも、常に答えはパラドックスの箱ですよね。
393:１３２人目の素数さん
06/12/26 10:50:00
>>392
そう思うのはオマエが素人だから。
394:素人
06/12/26 11:54:20
>>393
そう言えるのはあなたが素人だからだと思います。
…で、詳細を数学以外の分野から説明できる人いますか？
395:１３２人目の素数さん
06/12/26 12:10:36
>>394
＞そう言えるのはあなたが素人だからだと思います。
自分で「ド素人」だと宣言しておきながら、そのことを実際に指摘されるとこのザマ。
実はこれっぽっちも、自分が「ド素人」だとは思っていないのである。しかし、現実は
やはりド素人。何も知識が無いから、考えても答えが出ない。そんなド素人が最後に
行き着くのは、「仏」「神」という最も安易な結論。典型的な 思 考 停 止 。ド素人が
犯しやすい事例の1つである。
＞…で、詳細を数学以外の分野から説明できる人いますか？
何の分野がいいの？哲学の分野か？(笑)
396:１３２人目の素数さん
06/12/26 12:14:56
数字自体が欠陥品
次世代の数学が必要
１０個の数字で全てを表すのが傲慢
397:素人
06/12/26 12:26:20
>>395
そう言えるのもあなたが素人だからです。
生物化学の分野とかはつながりますかね？
>>396
早い結論、僕もそこだと思います。
398:１３２人目の素数さん
06/12/26 12:32:25
>>397
オマエのような、自分の分からないことは全て「神・仏のレベル」として
思考停止する人間ばかりだったら、数学は今のように進歩していない。
＞そう言えるのもあなたが素人だからです。
オマエは俺を素人呼ばわりしているが、では、俺は”何の分野の”素人なのか？
ちなみに、オマエは”数学の分野の”素人。自分でそう言ってるしな。
>>396
具体的な欠陥はどこだ？
399:素人
06/12/26 12:46:24
>>398
進歩しているのにもかかわらず、いまだに1=0.999
で討論できる数学はどこか間抜けでかわいいように見えます。
僕はあなたのことをけんか腰でしか物事を話せない討論の素人のように見えます。
ついでに僕は人生すべてに対して素人です。
11進法、もしくは36進法などではこの問題は起こりえるのでしょうか？
400:１３２人目の素数さん
06/12/26 13:07:27
もっと簡単に説明してくれ
401:１３２人目の素数さん
06/12/26 13:13:38
>>399
＞進歩しているのにもかかわらず、いまだに1=0.999
＞で討論できる数学はどこか間抜けでかわいいように見えます。
違うな。数学的には、0.999…の問題は既に決着がついている。この
スレでも、討論は既に終わっていて、テンプレにまとめてある。
テンプレが理解できない無知な人間だけが、「まだだ！まだ問題は
終わっていないのだ！」と討論を続けている。
＞僕はあなたのことをけんか腰でしか物事を話せない討論の素人のように見えます。
素人だと宣言しておきながら、「神」だの「仏」だの「常に答えはパラドックスの箱」
だの勝手な解釈を繰り返している(典型的なトンデモ)のを見るとイライラするのだよ。
なぜ、すぐにそういう「俺理論」に走るのか？
＞11進法、もしくは36進法などではこの問題は起こりえるのでしょうか？
2進法の場合、0.111…＝1になる。
5進法の場合、0.444…＝1になる。
10進法の場合、0.999…＝1になる。
11進法の場合、0.aaa…＝1になる(数字は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,aの11個)。
何進法でも同様。
402:素人
06/12/26 13:29:29
>>401
で、答えは何なのですか？
結局、見方によるってことですよね。勝手な解釈が出回る原因は、
答えがしっかりしてないからだと思うのです。
僕はあなたに対して起こってもないし、批判もしてませんよ。
素人であるということはすばらしいことだと思います。
僕はあなたのことをまったく知りません、あなたは私のことをどれだけ知っているのか
疑問です。
11進法の0.aaa になってしまうのは、10進法から見る11進法だからではないのでしょうか？
403:素人
06/12/26 13:32:08
訂正、数学的には１＝0.999であるということですね。
では数学的には1+1＝2ではないということですか？
404:１３２人目の素数さん
06/12/26 13:49:18
>>402
テンプレ2より。
Ａ１： 「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。
＞結局、見方によるってことですよね。勝手な解釈が出回る原因は、
＞答えがしっかりしてないからだと思うのです。
これが素人であるオマエの悪い癖。「俺理論」ってやつよ。トンデモの典型例。
前提によって、与えられた記号が持つ意味が変わるのは当然のことであり、
これを以って「答えがしっかりしていない」と結論することは出来ない。
＞素人であるということはすばらしいことだと思います。
全然素晴らしくない。なぜなら、素人は 間 違 っ た 方 向 に 行 く か ら 。
そして、それを修正する術を知らないから。たとえば、
＞11進法の0.aaa になってしまうのは、10進法から見る11進法だからではないのでしょうか？
こういうトンチンカンな発言を繰り返し(↑n進法の定義を知らない証拠)、挙句の果てには、
「答えがしっかりしてないからだと思うのです」などと勝手な「俺理論」を展開して間違いを
繰り返す。これのどこが素晴らしいのか？いい加減にしろクズ。
ちなみに、数学において「n進法から見るm進法」などという概念は存在しない。従って、
「10進法から見る11進法」などという考え方もまた存在しない。オマエが勝手に構築した
「俺理論」に過ぎない。
質問：「n進法から見るm進法」の定義は？
405:素人
06/12/26 14:05:15
>>404
その質問は僕には答えられません、すみません。
でも、何回回答を見てもすっきりしません。
最初に与えられる定義により答えが変わるというのが答えですか？
あ、あと、
11進法に、－1は入らないのですか？
406:１３２人目の素数さん
06/12/26 14:10:33
>>405
そもそも、君をすっきりさせる必要性が数学側にあるのか？
407:１３２人目の素数さん
06/12/26 14:19:10
というか…数学的には
「こーゆー時にはこれ、こんな時には結論はこれ、こうだったら結論はこう」
みたいな事しかいえないんだけど…。
すべてにおいてすっきりさせたい…なんて人は、自信ありげに何やら自説を述べる
新興宗教にはまってしまう危険性があるんじゃないのか？
408:１３２人目の素数さん
06/12/26 14:24:24
>>405
＞最初に与えられる定義により答えが変わるというのが答えですか？
そういうこと。そして、そんなのは高校時代から皆経験していること。
たとえば、問題集にある二次関数の問題を解くときに、「f(x)＝x^2＋2xとおく」と
定義すれば、その問題を解いている間は、「 f(x) 」という記号列はx^2＋2xを表す
記号となる。三角関数の問題を解くときに、「f(x)＝sinx+xcosx とおく」と定義
すれば、その問題を解いている間は、「 f(x) 」という記号列はsinx+xcosxを表す
記号となる。両方とも「 f(x) 」という同一の記号を使っていながら、その意味が
全然違う。しかし、だからといって「f(x)に2つの意味がある…これはおかしい。
答えがしっかりしていない。」などと考えるバカはいない。
＞11進法に、－1は入らないのですか？
桁を表す記号に「－1」を入れることは無いが、負の数としての「－1」なら当然ある。
409:素人
06/12/26 14:28:25
>>406
もし数学側に人間をすっきりさせる必要性がないとした場合、
数学は一人歩きをし、数学教とされてしまう恐れがあるのではないでしょうか？
数学は、なるたけ、万人に解るようにに考えられているものだと思います。
では、答えは、1=0.999に場合によりなりうるということですね。
410:１３２人目の素数さん
06/12/26 14:32:30
>>409
そう、場合により、1＝0.999になりうる。が、その場合、どのような定義で以って1＝0.999たらしめた
のか、その定義を明示しなければならない。
411:１３２人目の素数さん
06/12/26 17:58:39
うむ、だからこそ、欠陥、なのだ
今は、おもいつかなく、とも、将来、全てのつじつまが、あう
学問が、誕生するだろう
412:１３２人目の素数さん
06/12/26 18:34:31
>>411
適当に答えてやる
数学だと例えば'1'という文字をいろんな意味で使うんだ
文字を増やすのは面倒くさいだろ？
だから定義次第ってことになっちまうのさ
413:412
06/12/26 18:44:57
我ながらいいこといった
414:１３２人目の素数さん
06/12/26 18:45:52
まぁ、実数における
1=0.999…
ってのは定義に近い定理
超実数においては
その定義の部分をもう少し考察する事が可能になる為
1≠0.999…
となる
415:１３２人目の素数さん
06/12/26 19:27:17
>>411
そのような学問が存在することは夢に過ぎない。
416:１３２人目の素数さん
06/12/26 20:18:22
読点が多い文はキチ○イの法則
417:１３２人目の素数さん
06/12/26 21:03:54
今日は新たなタイプのバカが暴れて行ったわけか。
天候さながらだな。
418:１３２人目の素数さん
06/12/26 22:11:13
>>389
突っ込んでくれと思って書込んだので、突っ込んでくれないかな。
419:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:09:23
>>392
「パラドックスの箱」っておいｗ
誰かここに突っ込んでやれよ。
420:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:14:40
>0.9が充分１に近い数値であれば、0.99は１である。
なんだそりゃ。
「無限大という値」「級数が極値を取る」
もう無茶苦茶。
まず新しい辞書を出すところから初めてくれ。
421:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:18:01
>>390の意訳
「私はド素人なので」 => 私には理解する能力がなく、努力する気も全く足りないので
「数学以外の分野からの感想を聞きたいです」 => バカな私にもわかる例え話をして下さい
422:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:28:33
>>396
自分に理解できないと「次世代の数学」とか言い出す奴ｗ
>１０個の数字で全てを表すのが傲慢
「10種類の記号」で「とても多くの数字」を表せるようにした先人は偉大だな。
実数（連続体濃度）は有限個記号の組み合わせでは表しきれないことを数学者は知っているが
限界は限界として受け入れるわけだ。なんせ傲慢だからｗ
423:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:32:20
>409
>数学は一人歩きをし、数学教とされてしまう恐れがあるのではないでしょうか？
>数学は、なるたけ、万人に解るようにに考えられているものだと思います。
自分の理解力不足とは考えないのかこの電波はｗ
君をすっきりさせられないからといって数学がダメポなわけでは断じてない。
424:１３２人目の素数さん
06/12/26 23:38:33
>>409
大丈夫。数学は万人にその正当性を検証しうるように作られてるから。
425:１３２人目の素数さん
06/12/27 08:44:30
援軍ｷﾀｰ(TдT)、>>387、>>420
もう泣き入り(by>>384)
てか、今、このスレに何が起きているのか!?
なぜに神仏領域に委ねる香具師が…
そんなに神仏に委ねたきゃあ、｢0で割る｣事でも妄想して下さい！
＞数学自体が欠陥品
…不完全性定理の事を言うのであれば、
この定理は数学だけに限った事ではない。
更に言ってしまえば、俺っち的には道理だとおもうんだが、果たして?!
426:１３２人目の素数さん
06/12/27 08:54:10
>>402氏の意見に、勝手に自分の意見{>>368、
だが未だにｺﾝｳｪｲ流確かめとらん
つか学力足りん
(´･ω･｀) }を添える。
427:１３２人目の素数さん
06/12/27 15:51:33
equivalenceな有理数のコーシー列同士は『＝』(※)で結ぼうというのが実数における定義
0.9999……っていうのはa_n=1-(1/10)^n
1っていうのは
b_n=1
っていうコーシー列だと思えばいい
その時a_nとb_nはequivalenceだろ
equivalenceの定義は自分で調べてくれ
これで全て解決
超実数においては(※)を採用してないだけ
つまり定義の違い
428:426
06/12/27 17:15:44
>>427
ｻﾝｸｽ!!
429:１３２人目の素数さん
06/12/27 18:00:58
…の読み方があると便利だと思うんだが。
1…とか3…とか
430:１３２人目の素数さん
06/12/29 07:48:53
>>427
大きな勘違いをしてないか？
431:428
06/12/29 09:50:02
>>430
超現実数として考えても
1＝0.999…なる公理系と1≠0.999…なる公理系とが別々にあるんでしたよね。
ところで、次の様な疑問的妄想が沸いたんだが、とうなんでしょか？
｢1≠0.999…なる公理系は、1＝0.999…なる公理系をより区別した系である
～などと考える事でまとめてしまう事(言い変えると、1≠0.999…系の方が精密)
は出来る(と言える)か？｣
432:１３２人目の素数さん
06/12/29 11:49:12
>>431
「綿密」の定義を書いてくれｗ
433:１３２人目の素数さん
06/12/29 15:32:45
>>426-428
もうこんなバカしか数学板には来なくなったんだね
キングだけが頼りとは……
434:１３２人目の素数さん
06/12/29 15:42:28
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
435:１３２人目の素数さん
06/12/29 16:41:52
1＝0.999…は、今の数学では証明不可能、だから定義としている。
436:１３２人目の素数さん
06/12/29 18:59:13
>433
煽るだけではなく、考えを書いてくれ
437:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/12/29 21:19:58
talk:>>433 私を呼んでないか？
talk:>>435 0.999…とは何か、という問題がある。証明以前のことだ。
438:１３２人目の素数さん
06/12/31 15:28:09
結局、＝派も≠派も見ている現象は同じで、＝派は0周りで不定になる事が多くても
それはそういうもんだと納得していて、≠派はそこにはなにかあるというか、今の
実数は何かの近似じゃないかと感じているということでしょうか？
例えば、同値類の考え方と連続の概念の組み合わせが問題だとか。
439:１３２人目の素数さん
06/12/31 15:50:56
↑
そういう事
今は＝で辻褄が合うが、＝に未来は無い
440:１３２人目の素数さん
06/12/31 22:28:29
実数が、自然数という個数の概念の延長では、
その性質を説明しきれなくなっているということだろう。
441:431
06/12/31 22:37:24
>>438
そういう話がしたかった。
>>439
いや、むしろ便利
442:１３２人目の素数さん
07/01/01 03:50:37
一応、最初から流すように見てきたのですが、結論的に言えば、
問題なのは無限の概念ですよね？ そいで、無限というのは、予
めあるものなんでしょうか？ そこが極めて疑問です。その辺は
どうお考えですか？ 予めあると思う人は、0.999...=1といい、
無限など予めないという人は、0.999...≠1というのではないで
すか？ そうだとすれば、これは、無限概念の問題で、もはや数
学の問題ではなく、哲学の問題になるのでは？
今日の0.999...=1という考えを常識とする数学は西洋の哲学の
「無限を予めある」というように考えたことを基礎においているか
らではないでしょうか？
要するに、この問題は、数学的に考えることから、結論を得ない
のではないでしょうか？ 概念の問題となるから。
ご意見どうぞ。
443:１３２人目の素数さん
07/01/01 06:24:50
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
シグマとか出さないとだめなのか？厨房の俺にはさっぱりわからん。
444:１３２人目の素数さん
07/01/01 07:06:32
>>443
無限小数自体が本当はシグマを使って定義されているから。
そうでないと思う人は、ゴマカシの記述「…」を使うことで何となくわかったような気になっているだけで、厳密な定義を読んだことがないはず。
445:１３２人目の素数さん
07/01/01 07:09:45
>>443
Σは足算
446:１３２人目の素数さん
07/01/01 09:57:47
>>442
あらかじめ数があるかと言えば…
負数も分数も人間によって作られたもの。ある数学者は「自然数は神が与えたが、その他の数は
人間がつくった」みたいなこと言っていたな。でも、自然数すら人間が作ったモノかもね。
無限というか、このスレタイの問題は実数があれば、その実数の概念に無限は内包されているわ
けで…。
で、実数は「予めあるか？」だけど、「実数は連続している」というイメージがあるわけで、それを
認めて素直にそしてキチンと定義すると、自然にスレタイのコトも言えるんだよね。
んー。とりとめないけど、無限をあるとしても、人間が無限を作ったとしてもあまり変わりない
気がするなあ。あったとして、色々やっても別段問題ないしね。（ｹﾞｰﾃﾞﾙ？）
447:１３２人目の素数さん
07/01/01 10:02:27
>>442
実無限的な考えは表に出ない（というか出さない）みたいです。
>>443
そこの実数の性質の部分ですが、そもそも0.999…が特定の数を表せるという前提なんですよね。
可能無限的には、その数列の上には1が無いという事しか言えないと思うんですが、「表せると
定義したのが実数だ」という事になっているらしいからややこしいんですよね。
離散的なもので、何か空間のような途切れの無いと思われるものを近似することはできるとは
思うんですが、それによってなんか＝の意味が意図しない範囲にまで広がっているような感じ
がするんですよね。
448:１３２人目の素数さん
07/01/01 11:57:07
実無限を前提にしなければそもそも0.999…なんて無いだろうに
449:１３２人目の素数さん
07/01/01 15:00:12
>>448
私も、収束の考えの裏には実無限的なものがある気がするんですよね。
可能無限と背理法の組み合わせの正当性は自明なんですかね？
450:１３２人目の素数さん
07/01/01 15:27:52
言いたいことがよくわからんが本気で可能無限を扱うなら無限の話に古典論理は使えんだろ
というより無限は対象外
451:１３２人目の素数さん
07/01/01 17:06:16
さて！お待ちかねのトンデモ提言を投下致しますよ！
1≠0.999…なる公理系では
x→+0⇒x=1ｰ0.999…
x→ｰ0⇒x=0.999…ｰ1
が言える！
ちゅどぉーーん!!
452:１３２人目の素数さん
07/01/01 17:52:09
超現実数だと雰囲気は実際にそんな感じだな
1-0.999……が無限大の逆数になるし
453:１３２人目の素数さん
07/01/01 18:19:58
>>442
の続きとして考えてください。
要するに、0.999...=1という一般数学の無限の考えからは、「無限が予めある」
というものです。そのために1-0.999...=0.00000...となり、1は最後尾に取れ
ないというものです。このこと自体が疑問です。
もしそうだとするなら、無限大を考えた場合には明らかに矛盾することになり
ます。すなわち、上記は9の無限小でしたが、逆に9の無限大を考えた場合、
......99999.00000.....となります。これに1を足すと、......000000.00000
というようになり、0になって、これは無限先で1がないといってしまうことであ
り完全に矛盾です。何故なら、.....99999.00000.....は、すでにどう見ても9
以上の数だから0という数になっちまうのはおかしいでしょう。
だとすると、0.999...の無限小先には9があって、0.999...9というように最
後尾はあらわせることになり、それならば、0.000.....1というようにもあらわ
せなければなりません。いかがでしょうか。
454:１３２人目の素数さん
07/01/01 18:27:41
>>453
＞無限が予めある
「予めある」としても、「予めあるわけでは無いが、作れる」としても、どちらでも同じことだな。
＞1は最後尾に取れないというものです。このこと自体が疑問です。
実数の構成法を知っている者から見れば、疑問は無い。オマエが無知なだけ。
＞もしそうだとするなら、無限大を考えた場合には明らかに矛盾することになります。
そもそも無限大は体Rに含まれないので、その後の議論は全て無意味。何も矛盾は起きない。
＞いかがでしょうか。
実数論の勉強をしてから出直して来ること。無知な素人がいくら考察を重ねたところで、
そこから生まれるのは間違いだらけの「トンデモ俺数学」に過ぎない。
455:１３２人目の素数さん
07/01/01 19:01:50
>>453
一つ忠告、「オマエ」はよろしくない。
そこで、今、４５４さんは、数学には精通されている方のようですので、
お聞きします。上記の程の批判をここでされるのですから、いくら相手が
素人でも、その批判の根拠を相手に分かるようにご説明ください。
それと、「じっすう
質問の一つは、「無限大は体Rに含まれない」ということです。
それと「実数の構成法」というものです。この辺は確かに詳しくは知りま
せん。だから簡単に要点だけを説明してもらえませんか？
でないと、本当に４５４さんが、正しいことを言っておられるのかどうか
検討できませんので、そこんとこよろしくです。
それから、こういう議論は冷静にお願いしますね。言葉にご注意を。
456:１３２人目の素数さん
07/01/01 20:02:53
＞それと「実数の構成法」というものです。この辺は確かに詳しくは知りま
＞せん。だから簡単に要点だけを説明してもらえませんか？
では、以下で「簡単に要点だけを説明する」ので、これを読んでも分からない場合は、
自分で実数論の勉強を行い、十分に理解してから出直して来ること。
「数学の基礎―集合・数・位相 齋藤正彦」でも読めばよいだろう。
実数の構成法：有理コーシー列(注1)全体の集合にある同値関係「～」を定義する(注2)。
「～」による同値類全体の集合が実数体Rになる。
注1：数列{pn}が有理コーシー列であるとは、各n∈Nについてpnが有理数であり、
∀ε＞0(ε∈Q),∃M∈N s,t n,m>M → |pn－pm|＜ε が成り立つときを言う。
注2：X上の同値関係「～」は、具体的には次のように定義される。
{pn}～{qn} ⇔ ∀ε＞0(ε∈Q),∃M∈N s,t n>M → |pn－qn|＜ε
＞質問の一つは、「無限大は体Rに含まれない」ということです。
なぜそれを質問するのか？無限大がRに含まれないのは当たり前の事実。
実数体Rはアルキメデスの原理「a,b＞0ならばna＞bを満たすn∈Nが存在する」を
満たすので、無限大は実数体Rに含まれない。なぜRがこの原理を満たすのか
分からない場合は、自分で実数論の勉強すること。
457:１３２人目の素数さん
07/01/01 20:05:24
訂正。
実数の構成法：有理コーシー列(注1)全体の集合に
↓
実数の構成法：有理コーシー列(注1)全体の集合Xに
458:１３２人目の素数さん
07/01/01 21:05:07
数のブラウン運動とでも呼べばいいのかな？
459:１３２人目の素数さん
07/01/01 21:09:35
ブラウン運動の記述に実数使うからアウト。
460:１３２人目の素数さん
07/01/01 21:53:41
分子は体積を持つが、数は体積を持たないから、
実数は超実数となる。
マァ、比喩なんで、あんまり細かいことを言わんでも。
461:１３２人目の素数さん
07/01/02 00:03:58
>>456
見ても良く分かりませんので、勉強してきますが、結局、４５６さんからすれば、
４５３の説明をどのように訂正しますか。そこら辺をご説明願えませんか？
よろしくです。
462:１３２人目の素数さん
07/01/02 01:23:48
>>461
部外者だけど、大学１年で数学を勉強するまでその疑問は解決できないと思う。
理系に行けばどの学部でも勉強できる程度のレベルだしさ。
463:１３２人目の素数さん
07/01/02 01:46:49
ちょい遅レスだけど。
>>449
>収束の考えの裏には実無限的なものがある
そのためのε-δじゃないの？
あと>>453 3行目～4行目
>そのために1-0.999...=0.00000...となり、1は最後尾に取れ
>ないというものです。
そもそも「最後尾」という考え方がアレだと思うよ。
「aとbが同じ数」っていう意味を、良く考えてみるといいんじゃないかな。
何を満たせばa=bと表せるのかって。
それを厳密に表現したのが>>456って考えればいいから。
464:１３２人目の素数さん
07/01/02 01:53:16
それでは、４６２さんでもいいです。理系大学で数学を学ばれたのでしょう
から、分かっておられるはずです。４５３の説明の訂正をお願いします。
理系大学で習った数式ではなく、４５３のような説明の仕方で、その説明の訂
正をするのですよ？ つまり、具体的に分かるようにです。
言ってみれば、結論は、こうですか？
......99999.00000.....に1を足した場合、.....00000.00000....=0でいい
ということですか？ また0.000...1という数はなく、1-0.999...=0.000...
だということですか？ お答えください。よろしくです。
465:456
07/01/02 02:27:07
>>461
無限大を考えた場合には何も矛盾しない。 ......99999.00000.....はRに含まれないので、
「＋」という演算も定義されていない。よって、これに「1を足す」という操作も出来ず、
これ以上議論が出来ない。オシマイ。
>>464
＞......99999.00000.....に1を足した場合、.....00000.00000....=0でいい ということですか？
......99999.00000.....は実数ではないので、「＋」という演算も定義されず、よって、これに
「1を足す」という操作も出来ない。
466:456
07/01/02 02:36:10
＞また0.000...1という数はなく、1-0.999...=0.000... だということですか？ お答えください。よろしくです。
0.000…1って何？どの桁が1なの？まさか、「無限桁目が1」とでも言う気か？もしそうなら、そのような実数は無い。
君が考え出した「実数モドキ」に過ぎない。そして、1－0.999…＝0.000…＝0になる。
0.00…01などという実数モドキを考えるのなら、0.000…999 (有限桁目は全て0,無限桁目は全て9)という実数モドキに
ついても考えてごらん。0.00…01＋0.000…999＝0.000…00になってしまうよ。君が主張してきた矛盾と同じ現象が起きる。
467:１３２人目の素数さん
07/01/02 07:00:34
>>465
> ......99999.00000.....はRに含まれないので、
>「＋」という演算も定義されていない。よって、これに「1を足す」という操作も出来ず、
>これ以上議論が出来ない。
とおっしゃっていますが、この定義は定義ですよね。そいで、普通に考えた場合、無限小
としての無限も無限大としての無限もその概念的な印象としての無限の意味は同じと思わ
れます。だから、...99999.00000...の9の無限先という印象も、0.999...の9の無限先
の印象も同じだと思います。その上で、0.999...の方の無限小の場合の無限先だけが、1
に収束するので1だとするというなら、無限大の無限先の9はどうして1に近づいていると
いえないことになるのでしょうか？ そこが分からない。ここで1というのは、
100000...00.00000...というようなことです。
要するに、定義自体は疑わねばならないということです。
定義は作られたものといっても、でたらめではなりません、数理に即応していなければ
なりません。論理にかなっていなければなりません。 いかがでしょうか？
468:１３２人目の素数さん
07/01/02 07:47:38
>>467
それじゃあ逆に聞くけど、「......99999.00000.....」って何？
数学では「.....」って書いたときは、別に正確な定義があって、その定義を書き下すと長くなるから省略するための方便なんだよ。
だから、貴方の「......99999.00000.....」という「数」を「.....」を使わないで定義してみて。
それができないなら、「......99999.00000.....」などという「数」は、貴方の脳内にしか存在しない幻。
469:456
07/01/02 07:54:19
>>467
＞0.999...の方の無限小の場合の無限先だけが、1に収束するので1だとするというなら、
＞無限大の無限先の9はどうして1に近づいているといえないことになるのでしょうか？
＞そこが分からない。
それが言えるような、「でたらめない」「数理に即応している」「論理にかなっている」
定義が作れないから。実際、0.000…999 (←有限桁目は全て0)という実数モドキについて
考えると、0.00…01＋0.000…999＝0.000…00になってしまう。君の主張する実数モドキを
正当化する定義は存在しない。
＞要するに、定義自体は疑わねばならないということです。
＞定義は作られたものといっても、でたらめではなりません、数理に即応していなければ
＞なりません。論理にかなっていなければなりません。 いかがでしょうか？
もちろんその通り。そして、>>456で書いた実数の構成法は「でたらめで無い」「数理に対応している」
「論理にかなっている」ので、何も問題は無い。
一方で、君の主張する「実数モドキ」には矛盾がある。>>466でも書いたが、0.000…999 (←有限桁目は全て0)
という実数モドキについて考えると、0.00…01＋0.000…999＝0.000…00になってしまう。
470:451
07/01/02 08:34:33
>>451ｰ452
が～ん、トンデモにならんかった、コンウェイ恐るべし…。
471:１３２人目の素数さん
07/01/02 08:35:31
アンカー失敗
>>451-452
472:１３２人目の素数さん
07/01/02 10:26:44
要するにこないだのド素人君がまた暴れだしたんだね。
相手をしてあげてる人も大変だな。
473:470-471
07/01/02 14:02:58
>>472
そういう事ですね。
私も素人だが、
これはひどい。
474:１３２人目の素数さん
07/01/02 14:57:01
学ぶ姿勢のある謙虚なド素人ならまあいいだろうし、相手してくれる人もいるだろうけど
それだとて相手しなきゃいけないというものでもない
475:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
07/01/02 17:04:04
相手しなきゃいけないというものでもない。
人々のすべきことは、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すことだ。
476:１３２人目の素数さん
07/01/02 17:08:14
俺様が答を教えてやろう。
1＝0.999999999・・・・
はすでにいくつかまともな答が出ている。
しかし
1≠0.999999999・・・・
は証明できません。
よって
1＝0.999999999・・・・
が成り立つのです。
477:１３２人目の素数さん
07/01/02 18:17:22
>>469
0.00…01＋0.000…999(←有限桁目は全て0) ＝0.000…00になってしまう。
これはどういう意味？ 特に...999のところの9は無限桁目ってこと？
そいで、足すと0になる、ってどういうこと？ 0になるの？ 足すと
0.000...1000じゃないの？（笑）
478:１３２人目の素数さん
07/01/02 18:50:01
それから、...999.000...に1をたしたら、...000.000...=0になることについて、
これは足し算が出来ないといったけど、下記のURLで説明していることをどう思う？
ゆっくりじっくり読んでみてよ？
URLﾘﾝｸ(www.rd.mmtr.or.jp)
ここでは、0.999...=1とはいってるけど、...999.000...に1を足すと
...000.000...=0になるといっていて、足すことが出来るといってるよ？
それに不思議な計算法もあり、数式で証明さえしている。実に面白い問題だ。
479:１３２人目の素数さん
07/01/02 22:08:29
>>477
君は>>467とは別人だな？
＞0.000...1000じゃないの？（笑）
その1は何桁目？無限桁目か？俺が書いている「0.000…999」は、有限桁目が全て0,その他の桁が
全て9だから、0.000…999に0.00…01を足すと、繰り上りが起きて、無限桁目は全て0になる。そう、
どの無限桁目も0になる。だから0.000...1000にはならない。
>>478
体どころか、整域にすらなってないじゃん(10.を参照)。>>467が主張している実数(モドキ)とは
全然違うものだね。
＞数式で証明さえしている。
「数式で証明」という言い回しを使うのは、数学に無縁の素人だけです(笑)いやマジで。
で、どこを探しても証明など見当たらないのだが。最後の11. に書いてあるのはP進数体の話。P進数体は
文字通り「体」であり、 一方、サイトの作者が1.～10. で書いている数の体系(モドキ)は体になって
いないから、全然 別のもの。だいたい、P進数体でも「…9999」という表記は見たことない。
480:１３２人目の素数さん
07/01/02 22:15:15
…999.000…
ってどういういみ？
999…999.000…
って意味？
481:１３２人目の素数さん
07/01/02 22:36:23
>>479
>P進数体でも「…9999」という表記は見たことない。
近大の先生が素人向けに書いたのを見たことがある。
482:１３２人目の素数さん
07/01/03 01:15:21
>>480
水平線の彼方まで9が続いてるんだろ。
どう考えても無限大に発散します。本当に（ｒｙ
483:１３２人目の素数さん
07/01/03 02:14:08
...99999.00000...というのは、別に...99999でもいいです。ただ右端の9が1
の位だということをはっきりさせるために...99999.00000...と真ん中に小数点
を打ったのです。
ところで、４７８のURLを見ましたが、ここでも上記に１を足せば、...00000
となって0になるとかいてますよね。ただ、私の場合はそのように...99999に1
を足して元の形より少ない0になるという矛盾を矛盾のままにほっておいて、別
な体系をどんどん推し進めて形作るというそのURLのHPの内容の考え方とは逆に
考えているということです。矛盾は矛盾のまま放って置けないだけです。
だから、...99999＋1=...00000=0という矛盾や奇妙さをそのままにせず、
それは単純に無限先の1を無視するからだと考えるわけです。
第一、0.999...の場合も、1-0.999...=0.000...となって0に等しくなると
いうのは無限先の9を無視するのだからです。もし、1-0.999...を1-0.999...9
で「...」を無限にすれば、筆算で、
1.000...000
)0.999...999
-------------
0.000...001
というようにきちんと最後尾１は表れるのであって、このことから、...99999の
場合も1を足して100000...000となるであろうことは自明なわけです。ただ、ここ
での1が何桁目になるかは、計算者の恣意に関わるだけだと思うのです。
要するに、予め無限などないという前提であるわけですから。あるのは、無限
の増減の動きがあるだけです。その限りない動きを無限というのであって、存在
の恣意や偶然にかかって有限となるだけです。
484:１３２人目の素数さん
07/01/03 02:21:01
結局、0.999...の右無限配列は1に収束する（近づく）というのと、
...99999の左無限配列は1に収束するというのとは同じ意味だと思うのです。
何故なら、この0.999...の無限配列が1であること示すとすれば、それは
一体何桁目でそうなるかの問題ではなく、無限桁目にそうなるとしか言いよ
うがなく、その無限桁目とは、...99999が一体何桁目の1に近づいているの
かというのとちっとも変わらないからです。結局のところどちらの場合も
何桁目で1と言えるようになるのかはどうでもよく、単に無限桁目と言うか、
任意に人が何桁目だと決定するほかないという意味で同じ意味だということ
です。
それで、両者が同じ意味である場合、結局、...99999について考えると
、これは無限先で1000...000というようになるのだとは到底にいえそうに
なく、単に9の桁が上がれば上がるだけ一つ上の位の1、つまり一つ桁の上
の1000...000に近い数の直前の999...9だと言えるだけだと分かる以上、
0.999...の方もどんなに9を続けても単に一つだけ位の高い1の位の１に
近づいていると言えるだけだと分かるのです。この場合、考え方は左端を
最小の起点として考えなければならないことに留意しなければなりません
。つまり、0.999...は、1の位の１に近づいているのであるけれども9の
数が増えれば増えるほど桁数から言うと、...99999の場合と同じで、どの
１に近づいているかは9の桁数によって決まるというのと同じ意味で、相
対的に小数以下の9の桁数によってどの1に近づいているかが決まるのです。
ただ、最高位を小数点以下第一位の9に決定されているという意味で１の位
の１に近づいているというだけです。もし小数点がなければ、両者は全く
同じ事情なのだとういうことです。それに、0.999...は、最小の9をどんな
に増やしても最大値の少数第一位の9、左先頭の9の１の位の1のすぐ右にあ
る9が繰り上がらなければ、１の位の１にはなりえないわけで、その先頭の9
を保ったまま、いくら無限の9を並べても、繰り上がって1になるわけはない
のです。