07/05/24 14:06:06
>>927
良問。
オリジナル？
932:１３２人目の素数さん
07/05/24 18:52:34
>>931
Digit Sum -- from Wolfram MathWorld
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
933:１３２人目の素数さん
07/05/24 23:44:26
2進法展開の場合を計算したらlog4になった。計算の方針は、
f(x)＝Σ[k＝1～∞]t(k)x^(k－1) (0≦x＜1)
とおき、これを別の計算によって簡単な形にする。その結果は
f(x)＝1/(1－x^2)＋{1/(1－x)}Σ[k＝1～∞]{x^(2^k－1)}/{1＋x^(2^k)}
となる(計算は略)。この式から、
Σ[k＝1～∞]t(k)/{k(k＋1)}＝∫[0,1]∫[0,t]f(x)dxdt＝∫[0,1](1－x)f(x)dx
＝∫[0,1]1/(1＋x)＋Σ[k＝1～∞]{x^(2^k－1)}/{1＋x^(2^k)}dx
＝log2＋Σ[k＝1～∞](log2)/2^k
＝log4
になる。積分とΣの順序交換についても確認が必要だが、面倒くさいのでここでは書かない。
10進法の場合も似たような計算かな？
934:１３２人目の素数さん
07/05/25 00:00:17
マテよ、Σ[k＝1～∞]t(k)/{k(k＋1)}＝∫[0,1]∫[0,t]f(x)dxdt＝… という形で
計算するより、Σ[k＝1～∞]t(k)/{k(k＋1)}＝lim[y↑1]∫[0,y](1－x)f(x)dx＝…
の形で計算した方が安全だな。
935:１３２人目の素数さん
07/05/31 22:56:35
自然数l,m,nに対し、m*m行列Aをa_ij=C[l+n,n+i-j]、n*n行列Bをb_ij=C[l+m,m+i-j]で定めるとき、detA=detBを示せ。
936:１３２人目の素数さん
07/06/01 00:03:53
>>935
p<qに対してC[p,q]はどう定義して？
937:１３２人目の素数さん
07/06/01 09:04:04
0だろ
938:１３２人目の素数さん
07/06/01 22:29:25
>>936
ごめん書いてなかった
937の言うとおりでok
939:１３２人目の素数さん
07/06/03 12:55:32
自作問題。
f,g：[0,＋∞) → [0,＋∞)は単調減少関数で、lim[x→＋∞]f(x)＝0,lim[x→＋∞]g(x)＝0
であるとする。このとき、次を示せ。
・任意のε≧0に対して、広義積分∫[0,∞]f(x)g(εx)e^(ix)dxが存在する。
・lim[ε↓0]∫[0,∞]f(x)g(εx)e^(ix)dx＝g(0)∫[0,∞]f(x)e^(ix)dxが成り立つ。
940:１３２人目の素数さん
07/06/12 00:54:02
殆ど、初めて勉強した事を得意になって開陳する厨房状態ですが。ナッシュの埋め込み定理の
具体例に関して。
2次元球面は十分に大きな空間においては好きなだけ小さな領域に等長に埋め込める。私は
めちゃくちゃおおざっぱな評価をしたのですが、このようにできる最小次元は何次元なんで
しょう？これじゃ問題と言うより質問になっちゃうが。4次元でできるかな？以上shape operator
なるものは超曲面の場合しか具体計算したことの無い人間の戯言でした。
941:１３２人目の素数さん
07/06/12 03:36:46
>>940
うせろ！
942:１３２人目の素数さん
07/06/14 21:51:21
1,2,3, ...n から二数 ｘ、ｙを適当に選んで消してｆ（ｘ、ｙ）を付け加える。
この操作を続け最終的に残る数が二数を選ぶ順番によらないようなｆ（ｘ、ｙ）をすべて求めよ。
943:１３２人目の素数さん
07/06/14 22:51:32
定数関数
944:１３２人目の素数さん
07/06/15 01:12:56
交換法則と結合法則を満たす二項演算全部か？
945:１３２人目の素数さん
07/06/22 22:02:47
初等数学で。次の等式を満たす整数x，y，z (x≦y)を全て求めてください。
(1) 2^x+2^y=2^z
(2) 3^x+3^y=3^z
(3) 2^x+2^y=3^z
946:１３２人目の素数さん
07/06/22 23:00:02
>>945
つ…いや、何でもない。
947:１３２人目の素数さん
07/06/22 23:20:52
>>935
に挑戦してるんだが、だめだなあ。
lで帰納法かなあ。うまくいかん。
948:１３２人目の素数さん
07/06/24 17:34:07
>935, >947
det(A) = Π[k=0,m-1] (l+n+k)!k!/[(l+k)!(n+k)!],
det(B) = Π[k=0,n-1] (l+m+k)!k!/[(l+k)!(m+k)!].
949:１３２人目の素数さん
07/06/24 17:40:51
>945
(1) x=y=z-1
(2) なし
(3) (x,y,z)=(-1,-1,0), (0,1,1), (0,3,2)
950:948
07/06/24 20:59:57
>935, >947
>948 に
(l+n+k)!/(n+k)! = Π[p=0,l-1] (p+n+k+1),
k!/(l+k)! = Π[p=0,l-1] 1/(p+k+1),
(l+m+k)!/(m+k)! = Π[q=0,l-1] (q+m+k+1),
k!/(l+k)! = Π[q=0,l-1] 1/(q+k+1),
を代入すると いづれもl項の積の形になり
det(A) = Π[p=0,l-1] {(p+m+n)!/(p+n)!} * {p!/(p+m)!},
det(B) = Π[q=0,l-1] {(q+m+n)!/(q+m)!} * {q!/(q+n)!},
だから、
det(A) = det(B).
951:１３２人目の素数さん
07/06/24 22:26:54
>>948>>950
やるぅー。
ところで>>948式は俺の頭ではどうにも導けそうにないんだが 。
教えて下せえ。ところどころ端折ってもいいんで。