05/07/09 23:44:39
バナッハ・タルスキーの定理
大きさの異なる２つの球体KとLを考える。Kを適当に
有限個K1、K2、．．．、Knに分割し、K1、K2、．．．、Knの
それぞれの形を変えずに適当に隙間なく組み合わせなおすと、
Lを作ることができる。
実際に証明されている定理なわけですが、明らかに有りえない定理です。
2:１３２人目の素数さん
05/07/09 23:56:56
n
3:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:08:15
明らかにありえないことを証明してほしいものだ。
4:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:15:42
体積が変わってしまうけどいいの？でもそれは変だよね？
5:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:18:58
体積じゃなくて面積だけど、別に変ではないだろう。
「分割しても面積は変わらない」というのが思い込みだった。というだけで。
6:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:25:58
半径１の球面をバナッハタルスキー分解して、
半径２の球面するやり方を教えれ。
7:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:26:58
>5 わからん、思い込みなのか、、ﾘｰﾏﾝ積分って細かく分割してから集めてそれを面積ってしてなかったっけ？
8:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:29:01
>>7
それは極限の問題だろ。今は有限の話だ。
>>6に答えろ。
9:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:31:52
>>7
分割のしかたによらず、ある一定の値が定まるときに、その値を面積と呼ぶ。
バナッハタルスキの場合、上の意味で面積がない（正確にはルベーグ可測でない）
図形に分割するので、そういう議論はなりたたん。
10:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:33:49
>8 って事は無限個に分解すれば、面積はかわらんが、有限個に分解すればいくらでも面積違うものがつくれるって事か、、不思議だな
11:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:34:47
>9 なるほど
12:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:34:54
>>8
ぐぐれ。"banach tarski"とかで。
13:１３２人目の素数さん
05/07/10 00:41:58
三次元だから体積でいいんだな。面積じゃないや。ｽﾏｿ。
14:１３２人目の素数さん
05/07/10 10:05:29
しかし、コレは事実しっかりと証明されてるんだよなぁ。
知ったときは衝撃をおぼえたよ。
15:１３２人目の素数さん
05/07/10 11:06:23
つーか、二次元だとバナッハ・タルスキー成り立たないだろ
16:１３２人目の素数さん
05/07/10 11:11:13
ノンメジャーラブルだからなんとでもいえる。
17:１３２人目の素数さん
05/07/10 12:31:14
でもこれって選択公理を前提として証明されているんだよね？？
もしこの定理が現実に成り立つとしたら全ての物質は点の離散的集合って事になるんじゃないの？
18:１３２人目の素数さん
05/07/10 15:56:30
U=Q+(R-Q)
S=CosetU
P=S+Q
R=[0,1)=UP
m(S)<∞->m(R)=1=Um(P)=Σm(S)->∞
m(S)=0->m(R)=1=Σ0=0
19:１３２人目の素数さん
05/07/10 20:49:09
バナッハタルスキのスレって無かったのか。意外
20:１３２人目の素数さん
05/07/10 23:36:58
パラドックススレで十分じゃね？
21:１３２人目の素数さん
05/07/11 06:21:05
（ ゜Д゜） バナッハ！！！
タルスキー？ （゜д゜ ）
22:１３２人目の素数さん
05/07/11 13:29:09
選択公理を使わないで、バナッハ・タルスキの定理は
導けるの？
23:１３２人目の素数さん
05/07/11 18:34:44
導けないけど、選択公理を認めなかったら無理数は存在しなくなる和名
24:１３２人目の素数さん
05/07/11 19:03:36
つーとだ、
「現実世界では考えられない（かと言って不可能は証明できない）」
といっても、バナッハタルスキの定理は数学上正しいんだろ？
相対論が日食で初めて正しさが認められ始めたように、
何か現実的な問題に結びつけないかな？
25:１３２人目の素数さん
05/07/11 19:20:33
>>22-23
選択公理より弱いハーン・バナッハの定理から
バナッハ・タルスキの定理が導かれることがわかっている。
26:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/11 19:55:04
talk:>>23 実数の集合が存在する以上、無理数も存在する。
27:１３２人目の素数さん
05/07/11 20:19:16
論理的に矛盾しなければ数学では"非常識"も定理になるということで..
28:23
05/07/11 20:19:45
>>25
選択公理より弱いハーン・バナッハの定理て、どないなもんでっしゃろ？
>>26
んな、むちゃくちゃな。実数はどだい無理数を含んでまんがな
29:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/11 20:51:40
talk:>>28 1,2,5/2,8/3,65/24,…という数列(∑_{k=0}^{n}(1/k!)によって数列を作る。)は有理コーシー列であり、極限は有理数でない。
30:１３２人目の素数さん
05/07/11 20:55:27
別に信じなくてもいいんだよ。そのロジックで行くとそうなるなって納得すれば
いいだけです。意味不明なんだよな、なんか。ピタゴラスの定理を信じますか？
31:１３２人目の素数さん
05/07/11 21:56:03
>>29
誰だお前
32:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:34:00
√2は選択公理がないと構成できないことの証明きぼんぬ。
33:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:34:42
＞GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
こいつは数学をちょっと齧った程度のようだ。
知識の断片だけを吐き出したり飲み込んだりして、
思考が伴っていない（笑）。
34:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/11 22:46:55
talk:>>32
x^2+2x-1の根がx=-1±√(2)なのは理解できるだろう。
適当な初期値を与えてx→(1-x^2)/2という変換を繰り返せばxが-1+√(2)に近づくことも分かるだろう。
すると、適当な初期値を与えてx→(1-(x-1)^2)/2+1という変換を繰り返せばxが√(2)に近づくわけだ。
こうして√(2)に収束する有理数列ができる。
一体何を考えている？
talk:>>33 そんなことを書き込んでいる暇があったら何か数学の話題でも出したらどうだ？
35:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:49:06
＞talk:>>33 そんなことを書き込んでいる暇があったら何か数学の話題でも出したらどうだ？
お前が出せよ、馬鹿（笑）
36:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/11 22:53:39
talk:>>35 君は有理数列の話題が既に出ていることにも気が付かないのか？
37:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:56:01
>知識の断片だけを吐き出したり飲み込んだりして、
>思考が伴っていない（笑）。
山口人生とか松本真吾みたいな
トンデモよりはマシだろう
38:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:56:51
有理数列有理数列って五月蝿ぇなぁ（笑）。
>>29で何が言いたかったの？（笑）。
39:１３２人目の素数さん
05/07/11 22:57:28
>>34
お前は本当に空気読めない奴だなあ。>>32は>>23,>>28に対する質問に決まってるだろうが。
40:１３２人目の素数さん
05/07/12 08:07:38
ビー玉みたいな球を想像するんではなくて、点の集まった「群」みたいなもので考えろ、と
何かの本で読んだ気もするが、それさえよく分からん。眠いし。
41:１３２人目の素数さん
05/07/12 11:29:53
>>32
実数の集合から(-∞,√2)を引いた集合は、選択公理を認めないと整列できない
から最小元が存在しない。つまり√2は存在しない。
って、どうよ？
42:１３２人目の素数さん
05/07/12 11:48:22
というか「√2が構成できない」という
ステートメントの意味が分からないわけだが．
数学では「～出来ない」ことを示すには
まず「～出来る」ということの意味を
厳密に定義してしまわないといけない．
43:GiantLeaves ◆1HQBbUfrvs
05/07/12 13:58:02
talk:>>34 お前誰だよ。
44:１３２人目の素数さん
05/07/12 14:41:19
選択公理を認めればこの手の直観をくつがえす定理は
いくらでもつくれる
別にたいしたことではない
45:１３２人目の素数さん
05/07/12 14:44:41
そもそも直観に反してなどいないが。
46:１３２人目の素数さん
05/07/12 14:47:16
>>23
うそつくなよ馬鹿
47:１３２人目の素数さん
05/07/12 18:19:32
>>37
それをいうなら
「山口人生とか白石誠人みたいな
トンデモよりはマシだろう」
だろ（ｗ
48:１３２人目の素数さん
05/07/12 18:56:33
有理数集合の完備化として無理数集合を定義するには選択公理は必要としない。
49:１３２人目の素数さん
05/07/12 22:24:04
>>42
ZFで、√2を含む有理数体の拡大体を構成できるかどうか。
或いはもっと一般に実数体を構成できるかどうか。
50:正解
05/07/12 23:23:42
>>47
山口人生とか松本真吾とか白石誠人みたいな
トンデモよりはマシだろう
51:１３２人目の素数さん
05/07/12 23:24:49
pdfファイルでお願いしたいけど、
バナッハ・タルスキーの定理の証明を書いた論文
あるいは何かしらのものって無いですかね？
興味が沸きすぎている～～～～！
52:１３２人目の素数さん
05/07/13 01:57:15
>>51
URLﾘﾝｸ(suuri.sci.ibaraki.ac.jp)
53:１３２人目の素数さん
05/07/13 09:33:49
なんつーか証明のキモはなんなの？
ひとことでいってしまうと？
54:１３２人目の素数さん
05/07/13 09:39:52
>>53
洗濯高利
55:１３２人目の素数さん
05/07/13 12:17:35
まさか選択公理を知らずにいきなりバナッハ・タルスキーの定理に臨んでいるわけではあるまいな？
56:１３２人目の素数さん
05/07/13 12:33:25
球を有限個に切るのに
どこに選択公理が入る余地があるん？
説明してみ
57:１３２人目の素数さん
05/07/13 13:28:59
有限個に切るところではなく
そのとんでもない切り方が選択公理から保証される
58:１３２人目の素数さん
05/07/13 13:42:29
>>57
だからどういうふうに切るんだよ？
どうせおまえもわかんねんだろwwwぷ
59:１３２人目の素数さん
05/07/13 15:27:42
これは体積だけの理論なの？二次元とか一次元もしくはより高次元に拡張されないの?
60:１３２人目の素数さん
05/07/13 15:45:25
>選択公理より弱いハーン・バナッハの定理て、どないなもんでっしゃろ？
>Hahn-Banach Theorem
>A linear functional defined on a subspace of a vector space V and
>which is dominated by a sublinear function defined on V has a
>linear extension which is also dominated by the sublinear function.
>URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
61:１３２人目の素数さん
05/07/13 15:46:38
よくわからんが、y=2xって長さ1のものを2に伸ばしたようにも見えるんだが、、でもこれは有限個分割では無理そうだな、、有限個分割ってのが１番不思議かも 逆に無限分割なら何次元でもどんな形でも濃度同じなら可能って事か？
62:１３２人目の素数さん
05/07/13 15:52:12
証明で実際の分割の構成方法はあたえているんだろうか？
63:１３２人目の素数さん
05/07/13 16:42:06
5個に分ければ良いというRobinsonの定理とかがあったような
ただ，分け方で，例えば無理点とそれ以外の二つ、みたいな類の
むちゃくちゃなことするから，普通に切るだけじゃ無理ですね
>>62
選択公理のところで構成できなくなるに決まってる
64:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:03:00
リンゴを包丁で切るような考え方でいると無理。
集合を適当に分割して、それを合わせて別な集合を作ると考える必要がある。
65:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:15:22
>>64
は？
そんなに反則じゃん
たとえば2倍の球にするには
部品をそれぞれ2倍にすればいいという話でしょ？
あたりまえじゃん
66:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:41:24
2倍するという動作は合同変換に入らない。
あくまで分割するのと合同変換だけで同じ球をもう1つ作る。
67:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:44:04
>>59
1 次元と 2 次元ではパラドキシカルな分割ができないことが選択公理を使って
証明されている。一方で、球面や非ユークリッド平面では可能。
68:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:51:20
どうもわからない
普通の言葉でいうと
どんな分割のしかたをするわけ？
69:１３２人目の素数さん
05/07/13 18:56:31
選択公理って事は点毎に分割すんじゃね？
そんでまた組み合わせるんじゃね？
で体積変わっちゃうんじゃね？
70:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:03:40
>>69
それじゃ有限個じゃないじゃん
71:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:07:55
点を無限に選べばいいんじゃね？
その点毎にある集合とんじゃね？
72:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:09:53
>>71
馬鹿かおまえは
有限個の分割だっていってんだろ
ころすぞテメエ
73:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:16:23
無限がどっかでなんらかの形で出てこないとそうはならんだろう？
74:１３２人目の素数さん
05/07/13 19:57:34
>>68
だからさ、普通の言葉で表せるようなまともな形状での分割じゃないんだってば。
75:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:20:03
ここまでのをまとめると、有限個分割というのが、この定理のﾎﾟｲﾝﾄであり、一般の1次元や2次元では不可能なようだ、、て事で今後はこの有限個分割をどのようにイメージしたら、この定理がしっくりくるかに焦点を当てﾚｽしましょう
76:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:23:09
一般の1次元や2次元って言うが、その二つだけが例外なんだぞ。
あと、イメージできたら構成可能じゃね？
77:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:31:33
構成するイメージは無理でも、、この定理の証明の核は選択公理らしいけど、それをどこで使うのかとか
78:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:35:13
可算個に分割すると、パラドキシカルに思わないんだろうか
（これなら簡単に書けるんだけど）
非加測集合の存在
R を可算個の合同な集合に分割して、
区間 (0,1) に重なり合わないように並べ替えることができる
79:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:36:42
どっちにしろ選択公理がないと無理なのでは。
80:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:46:50
選択公理がない足し算
φ+φ=φ
81:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:48:18
これが信じられないってのは、
文系とか工学部の数学音痴に多いな
82:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:49:01
選択公理が間違っていることを示すために生まれたのがこのパラドクス。
現実には
「間違っている」と捕らえるより「選択公理は非直感的な性質をもつ」と納得した数学者が多いようだ。
83:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:54:33
ということは、証明したバナッハやタルスキはこれを信じてなかったって事だな。
バナッハやタルスキは数学音痴だったんだな。
84:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:55:27
選択公理を使っている数学の本は、
どれも間違ってるのかぁ・・・
数学者って何やってるの？
85:１３２人目の素数さん
05/07/13 21:58:12
選択公理を認める公理系と認めない公理系がどのようなかかわりを持つか研究してる数学者も結構いるよ
86:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:01:29
楽しい世界では決してないよな・・・
87:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:02:03
選択公理からは直感に反する結果が出るけど、
別に選択公理が間違ってるわけじゃない
つーか、ZFC(= ZF+選択公理) は無矛盾です
88:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:03:16
ZFの無矛盾性を仮定すればな。
89:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:11:56
バナッハ・タルスキに不安を覚えて、選択公理を排除する、
ってのは、拠り所が直観なのか論理なのかよくわからんなぁ。
物語としては面白いんだが。
90:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:14:32
選択公理は通常の有限では構成できない事の存在を保証している。
これを使うって事はだから、有限構成はできないけど存在を保証するって事を
どっかで使っているはずだ。だってそうでないなら、普通に有限で構成すれば
いいじゃんって話だ。
だから、構成するイメージができるなら、選択公理を使う必要はないし、
使っているしこれが肝ならば、有限構成するイメージは得られない。
要素が有限でもいくらでも無限は使える。分割の仕方とか、etcで、、、。
91:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:14:49
まあどう考えたって選択公理はいんちきだよな。便利だから使うけど。
92:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:15:58
たしか￢ACとなる公理を何か取ったら
R^2が可算個の"直線"の和集合になる，という
定理も出てこなかったっけ？
これはこれできついような
93:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:18:20
URLﾘﾝｸ(sun.dhis.portside.net)
何このサイトのバナッハタルスキーの定理
94:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:18:59
使わないと極めて不便って事が、
正当性を保証してるんじゃね～の？
95:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:20:32
ツォルンの補題についても語ろうぜ
96:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:20:42
>>94
まあそういう考え方もある。
97:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:21:34
>>93
現実の物質はルベーグ非可測には分割できないんじゃないの？
98:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:22:43
公理を排除する時間があれば、
有益な公理を追加する、
数学はこうじゃなくちゃイカン！
99:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:26:36
誰か証明の概略載せてくれ、そうすれば何らかの手掛りが得られるかも、、これが当たり前と思える奴は数学的ｾﾝｽがあるようなｷｶﾞｽ
100:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:26:58
バナタルを信じられないアナタは、とってもピュアな人。
選択公理を信じられないアナタは、とっても疑り深い人。
その二面性が僕は好きだ。
101:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:28:05
>>99
>>52のサイト嫁。
102:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:29:33
>>93
絶対管理人分かってないな、、
>>99
あまりないかと．
ただ，そういうことも起きるさ，別に変なことじゃない，
というセンスはあるかと．
103:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:38:44
>>99
>これが当たり前と思える奴は数学的ｾﾝｽがあるようなｷｶﾞｽ
それは分からんが、これがおかしいという方は
数学的ｾﾝｽが無いパターンが殆どだな。
104:１３２人目の素数さん
05/07/13 22:52:09
>>93
ﾜﾛﾀ
105:１３２人目の素数さん
05/07/13 23:24:04
球体内の点の濃度が同じだから、って感じもしないわけではない。
でも一次元、二次元も濃度は同じだから関係ないか。
106:１３２人目の素数さん
05/07/13 23:24:36
このスレで「どういう形に分割するんだ？」とかいってる香具師は、
測度についてまず勉強したほうがいいような気がする。
107:１３２人目の素数さん
05/07/13 23:39:40
そもそも、有限個に分割、と言っているが
自然数全体のなす集合は無限集合だけども、奇数と偶数で分ければ
２つの集合に分けることが出来る。
そう考えると、非加算個の点をバラバラにしておいて、
そのバラバラな点を或る性質に基づいて有限種類に分類しておいて
適当に繋ぎ直せば、元の集合体より大きくなる（実空間で）、っていうなら
なんとなく「成り立つかも」と思ってしまう。
108:１３２人目の素数さん
05/07/13 23:42:29
>>107
部品は連結じゃなくていいのか？
109:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:35:23
連結はいくらなんでも無理じゃないのか？
110:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:54:14
選択公理を認めれば…が成り立つ、ってのが定理だろ？多分
正しいんじゃねーのか？
選択公理が正しいか、どうかは知らんよ。ｗ
111:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:55:34
>>110
ぱぷー、いくらちゃんです
112:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:55:46
連結してるから「分割数5で必要十分」って言えるんだよ
113:１３２人目の素数さん
05/07/14 00:57:28
あ，そうなんだ．
114:１３２人目の素数さん
05/07/14 01:48:28
そうなの？
合同変換で独立に動かす必要があるのが５個、という意味ではなくて？
知らないから確認したいんだけど。
115:１３２人目の素数さん
05/07/14 02:13:11
>>112
必要十分の意味が分からないのだが、、
116:１３２人目の素数さん
05/07/14 02:13:55
ご免、わかりました
117:１３２人目の素数さん
05/07/17 15:49:32
数学的センスって何？
どんなに優秀な科学者でもこれが直感的に成り立ちそうだと確信してしまう頭脳を持っている人間なんてほとんどいないでしょう
いたら是非あってみたい なぜにこれが自明と感じられるのか
証明をおってるうちにこの定理の核心・イメージが出来上がっていってああたしかに成り立つなという納得・感覚的理解はありえても証明という論理が与えられない限り彼らの頭脳にこの定理のイメージはまったく浮かばないはず
それでこの定理が直感的に理解できないというやつは数学的センスがないっていうのはまったくもって意味不明
そもそも証明した人自体が直感的には明らかと感じていないのになぜその他大勢が直感的に明らかとなるのか
僕の問題にしてる直感的に明らかというのは証明をよまなくても感覚的に理解していてしかもそれが他人に説明できるレベルの話です
数学的センスを持っていたとしても証明を読まなかったとすれば
数学の世界にこういうことは起こっても仕方ないという認識程度で終わると思います
それにこの問題がおかしいと思うのは数学の世界を体験したことがなければ自分の体験・現実世界と比較するのでおかしいと感じるのは当然だし
それで数学的センスがないという結論を下すこと自体頭がおかしい人間の証明かと思われ
ただ一つ疑問なのは
予想としてこれが成り立つ可能性があって示したのかそれとも偶然見つけたのかで意味合いが全然違ってくるということです
前者ならそもそもある程度直感的にこの定理を理解していた人間が存在することを意味します
実際の分割がわからないのにこんな自明でない定理の予想が立っているわけですから
多分前者でしょう
あと選択公理ということがまったく理解できていない知恵遅れレベルの高校生が書き込んでいるみたいだけど（たとえば>>56、>>58 晒しあげとく）
そーいう人間は馬鹿にしか見えないです
選択公理はすげーわかりやすく説明するとそーいう風にえらぶことができるよっていう権利です それが公理という前提として与えられた時点で疑問の余地はないです
そんなことすらもわかっていないなら書き込まないこと
118:１３２人目の素数さん
05/07/17 16:07:49
分かりやすい改行もせずに書き込むのは止めて貰えませんか
それに公理だから疑問の余地がないというのはおかしいと思いますが
公理にも自然な公理とそうでない公理
（たとえば￢ACなどは不自然ですね
その十分条件のADなら自然かもしれませんが）
があるのは一般的なコンセンサスだと思いますが
119:１３２人目の素数さん
05/07/18 01:45:11
>>117
お前さんには、命題が明らかか
そうでないかの二通りしかないのかい？
例えば、証明は分からないが、否定を証明する事は絶望的だな、
とか感じた経験は無いのかい？
120:１３２人目の素数さん
05/07/18 01:49:49
こんな集合論的な命題を見て、
現実世界の直観と対比するのがズレてるわけで。
121:121
05/07/18 14:56:05
√(121) = 11
122:１３２人目の素数さん
05/07/18 20:22:53
たぶん>>117はstream of consciousnessの技法を使っているんだろう。
んなわけないか。
123:１３２人目の素数さん
05/07/18 23:53:22
ｿﾚだ
124:１３２人目の素数さん
05/07/19 01:25:16
この定理の可能性を考える為に、
高橋留美子はらんま１／２を執筆したのである。
125:１３２人目の素数さん
05/07/19 16:42:01
非加測集合の存在
R を可算個の合同な集合に分割して、
区間 (0,1) に重なり合わないように並べ替えることができる
↑
これ教えて
126:１３２人目の素数さん
05/07/19 17:11:23
×非加測集合
○非可測集合
減点 -1
127:１３２人目の素数さん
05/07/19 17:26:39
>>125
R上の同値関係 ～ を、x～y ⇔ (x-y)∈Q で定義する
(Q は有理数全体の集合)。
～ による各同値類から、(0,1/2) に属するように、
選択公理で代表元を取り出して集めた集合を V とする(V⊆(0,1/2))。
V を q(∈Q) 平行移動した集合を V[q] とする (V[q] = {v+q|v∈V})。
q≠r なら V[q]∩V[r] = φ は明らか。
∪[q∈Q]V[q] = R
なので V と合同な集合を可算個集めて R にできる。
一方、
V[1/2]∪V[1/3]∪V[1/4]∪… ⊆ (0,1)
なので V と合同な集合を可算個、(0,1) に重なり合わないように
配置できる。
128:１３２人目の素数さん
05/07/19 18:27:51
100点。合格
129:１３２人目の素数さん
05/07/19 18:33:33
現実に存在する集合は加速なので、人間の感覚では矛盾に見えるのだろう。
すなわち”大きさ”という概念は加速集合にしかあてはまらないので。
130:１３２人目の素数さん
05/07/19 19:16:54
一応突っ込んでおくけど、加速じゃなくて可測だよな？
131:１３２人目の素数さん
05/07/19 22:36:34
>>109-114
F.ル・リヨネの「何だこの数は？」p.94によると、
「さらに1956年、T.J.デッカーとJ.ド・グローはこの分割のどの部分も連結であるようにできることを示した。」
らしいぞ。
132:１３２人目の素数さん
05/07/20 03:13:50
>「何だこの数は？」
ずいぶんと面白い書名だな。
133:１３２人目の素数さん
05/07/22 02:57:37
同一な物が出来るのは理解できるのだが、大きさの違う物が出来る事がワカラン。
中心を起点にして倍率移動？密度が満たされるのだろうか？
134:１３２人目の素数さん
05/07/22 03:43:07
>>133
馬鹿かおまえは
倍率移動が許されるなら
分割せずにそのまま拡大縮小すればいいじゃないか
ばか
135:１３２人目の素数さん
05/07/22 19:14:14
体積が定義できる、他の空間だとどうなんだ？
って、「体積が定義できる空間」の非自明な例知らんわ
136:１３２人目の素数さん
05/07/22 19:32:42
はいはいイミフ
137:１３２人目の素数さん
05/07/23 14:29:30
では結論、質量を持つ物質が、
非可算個の原子から成り立っているわけがないと言う事ね。
138:１３２人目の素数さん
05/07/23 20:49:45
それを結論として持ち出す感性はあまりに貧しいと言わざるをえないなあ。
139:１３２人目の素数さん
05/07/23 20:53:03
同感
でも物理学者なら>>137でFAとしちゃう人多そうだけど
140:１３２人目の素数さん
05/07/24 00:51:38
集合を分割するのになんで質量とか物質とか考える必要が出るんだ？
141:１３２人目の素数さん
05/07/24 07:46:56
>>140
「われわれの住む時空の話以外は受け付けない」って人だからじゃない？
142:１３２人目の素数さん
05/07/29 11:33:34
これを応用すれば１万円を１０万円にできるような気がするが
そんなわけ無いよな。どういうことだ？
凡人にも分かるように説明してくる。
143:１３２人目の素数さん
05/07/29 19:38:46
>>142
がんばれ
144:１４２
05/07/29 20:18:41
書き間違えた。
凡人にも分かるように説明してくれ。
145:１３２人目の素数さん
05/07/29 20:48:20
つまりだな、1万円札を各々の面積が元の３分の２以上になるように１０
等分に切り分けることができるってことだ。３分の２以上あれば、万札
に換金してくれるんだろ？
146:１３２人目の素数さん
05/07/29 20:49:18
>>145
2次元図形では無理だ
147:１３２人目の素数さん
05/07/29 21:05:39
>>146
べつに一万円札１０枚とは言っとらんだろう
148:１３２人目の素数さん
05/07/29 21:24:39
１０年位前俺は大学の数学科に所属していたけど、
バナッハ・タルスキーの定理なんて一度も聞いたことが無かった。
こんなに面白い定理なのに・・・・・・・
149:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/07/29 21:50:33
数学の世界での立体は点集合でできているのだよ。
150:１３２人目の素数さん
05/07/29 22:17:19
R->R^2
151:１３２人目の素数さん
05/07/30 02:13:29
>>146
1万円札には厚さがある
152:１３２人目の素数さん
05/07/30 04:04:04
おいおい、これを信じられない以前に、まんこに精子を注入したら子供が出てくるほうが信じられんぜ？
人体も分割してるじゃん。
153:１３２人目の素数さん
05/07/30 05:01:05
>>152
目の当たりにすれば信じられる。試してみれ。
154:１３２人目の素数さん
05/08/24 23:26:11
>>1
信じられます
155:１３２人目の素数さん
05/08/25 00:57:58
この定理、生命の起源をイメージすると
あり得ないこともなさそうな感じがするが。。。
156:１３２人目の素数さん
05/08/25 03:37:29
>>155
詳しく。
157:１３２人目の素数さん
05/08/25 11:18:06
バナッハ・タルスキーの定理の証明で最初に驚いたのは、補題で
「1個の球を有限個に分割して、組み合わせなおすと、分割する前の球と同じ
半径の球を2個つくることができる。」
を示しているところでしょうか。ここで体積が変化しています。
そして、そのキモは意外と簡単で、次のような群がキモだと私は思っています。
まず、a、a'、b、b'の4つの文字の有限文字列全体の集合に空な文字列を加えて、
さらにaa'、a'a、bb'、b'bなる並びはすべて取り去るというルールを決めます。
するとこのルールの下での有限文字列たちは群をなします。そのときの演算は、
2組の文字列に対して、それを単に1列に並べるという操作です。
その演算の計算例は、演算記号を＊として書くと
aba'＊ab'a=aba'ab'a=abb'a=aa
です。この群をWとして、この群を次のように分割します。
W=W(a)+W(a')+W(b)+W(b')+e
ここでW(x)は、文字xで始まる文字列（つまり左端が文字xとなる文字列）全体
の集合で、eは空な文字列のみからなる集合です。また記号+は単に
集合の和集合の意味です。記号∪を使わなかったのは、お互いに共通部分の
ない集合同士の和集合であることを強調したかったからです。
さてW(a')の要素に左からaを作用させたもの全体の集合をaW(a')とかくと
aW(a')=W(a')+W(b)+W(b')+e
となるので、なんと
W=W(a)+aW(a')
同様に
W=W(b)+bW(b')
となるのです。つまり1つのWから2つのWが作られてしまうのです。
あとは、この群Wを球に作用させ、その軌道(orbit)を考えることで
「1つのWから2つのWを作る」話を「1つの球から2つの球を作る」話に
翻訳します。選択公理は、このあたりで使用します。
なんとなく、自然数を奇数と偶数に分割するイメージのような気も．．．
ちなみに上記のWに同型な群はSO(1)、SO(2)からは取り出せないそうです。
n≧3のSO(n)からは取り出せるそうです。
158:１３２人目の素数さん
05/08/30 12:47:00
('Ａ`)
159:１３２人目の素数さん
05/08/30 23:39:16
age
160:１３２人目の素数さん
05/09/15 15:15:31
>>157のおかげで何かが見えた気がする。まあ気のせいだが。
161:１３２人目の素数さん
05/10/08 12:28:55
572
162:１３２人目の素数さん
05/10/22 21:47:23
age
163:１３２人目の素数さん
05/10/22 22:01:05
１５７さんの書き込みがちゃんと理解できないのが悲しい。
しかしこのパラドックスはそもそも「体積」のあるものが
「不可測」な断片に分解されるという部分の解釈がおかしい
のだとおもわれる。体積なら幾ら細分化しても可測だろうし、
不加測な断片に分解できるようなものなら体積とは言わない。
つまり誤った比喩が矛盾の感覚を生む。
164:１３２人目の素数さん
05/10/23 00:18:40
バナッハ・タルスキーの定理は「定理」です。パラドックスと呼ばれるのは日常の感覚
からパラドックスのように感じられるからに過ぎません。
>>163
＞「体積」のあるものが
＞「不可測」な断片に分解されるという部分の解釈がおかしい
＞のだとおもわれる。
と思うのはあなたの勝手ですが、これは定理なのです。証明されているのです。
可測という言葉を使いながら
＞体積なら幾ら細分化しても可測だろうし
とおっしゃるあなたのセンスのなさには驚きです。自分のもっていらっしゃる日常の
感覚というものがいかにあてにならないのかの経験がないのでしょうか。
あなたがまだ高校生くらいなら、今後の研鑽によって修正は可能なのでしょうが
ある程度お年を召された方なら理解することは不可能なのでしょうね。
165:１３２人目の素数さん
05/10/23 04:42:48
実は幾らでも伸び縮み出来る風船について考えてるだけなんだけどな、、空気を送り込めば幾らでも大きく出来るだろ？その操作と同じ役割を果たすのが有限分割ってだけの話
166:１３２人目の素数さん
05/10/23 10:58:40
>>165
伸び縮みは無くても平行移動と回転だけで体積を変えられるって話なんだが。
167:１３２人目の素数さん
05/10/23 16:10:48
面積などの計量が存在するとは限らない対象に対して
移動を合同変換に限ることにどれほどの意味があるんだろう。
168:１３２人目の素数さん
05/10/23 16:46:34
何その後出しジャンケン
169:１３２人目の素数さん
05/10/23 17:42:45
なんとか感覚的に理解できました。
球の性質だけで見ると可能だということでしょう？
現実世界にある球は球の性質以外の要素があるので不可能というだけでは？
170:１３２人目の素数さん
05/10/23 18:15:50
>>169
＞球の性質
＞球の性質以外の要素
具体的には何？
171:169
05/10/23 18:29:18
知らんがなｗ
感覚的な理解に具体的な説明もとめんなｗ
172:１３２人目の素数さん
05/10/23 19:57:38
まあ現実のボールはあくまで原子が有限個集まって出来たものだから
限りなく分割も出来ないし、合同変換で二倍にするのも不可能だよね
173:１３２人目の素数さん
05/10/23 20:18:44
そういうことだな。
そういう現実の常識にとらわれない者が数学を発展させていくのかもな。
174:１３２人目の素数さん
05/10/23 20:22:17
限りなく分割？
175:１３２人目の素数さん
05/10/23 21:01:47
定期的に立つね、バナッハ・タルスキ。
176:１３２人目の素数さん
05/11/18 10:41:34
648
177:１３２人目の素数さん
05/12/18 06:31:59
149
178:１３２人目の素数さん
06/01/02 03:27:58
979
179:１３２人目の素数さん
06/01/16 09:06:42
不思議なこっちゃ
180:ogachan
06/01/16 20:43:05
バナッハ・タルスキーの定理が、ＺＦＣだったけか何だかの公理系に
１００％依存しているものだとすると、その定理は誤りです。なぜなら、
ＺＦＣは誤った体系だから。ゲーデルの不完全定理を再考した結果、その
ような結論に至りました。感想よろ。
URLﾘﾝｸ(members2.tsukaeru.net)
181:１３２人目の素数さん
06/01/16 23:50:42
>>180
スレ違いです。
こちらへどうぞ。
あなたの筆跡晒してみてよ in数学板
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
182:１３２人目の素数さん
06/01/31 10:44:38
k
i
n
g
183:１３２人目の素数さん
06/01/31 11:30:00
age
184:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
06/01/31 12:20:46
talk:>>182 私を呼んだか？
185:１３２人目の素数さん
06/02/05 08:25:38
745
186:ゆんゆん ◆ix/VLkaG4I
06/02/05 15:52:34
二人の関係は？
187:１３２人目の素数さん
06/02/05 16:10:06
>>186
お前誰だよ？
188:１３２人目の素数さん
06/02/06 06:19:03
age
189:１３２人目の素数さん
06/02/08 04:19:21
球体の点集合Ｖ、Ｗについて
Ｖ＝Ｖ1＋...＋Ｖn
かつ
Ｗ＝t1(Ｖ1)＋...＋tn(Ｖn)(＋はdisjoint union)
であるような点集合Ｖ1,...,Ｖnと回転移動変換t1,...,tnがある
ってこと？
190:１３２人目の素数さん
06/02/08 21:09:14
これって要は石井のお弁当君ミートボール
ってこと。
191:１３２人目の素数さん
06/02/09 03:27:50
拡大縮小だって点の間の写像としてみれば一対一だから
べつに体積が変わるのはよい
が回転と移動だけでどれをどれに写せるのかわからん
写像は有限個なのに選択公理はどう使われるの？
192:１３２人目の素数さん
06/02/09 04:36:37
> べつに体積が変わるのはよい
とくにここが駄目駄目
193:１３２人目の素数さん
06/02/09 04:37:23
最初からこのスレを嫁
194:１３２人目の素数さん
06/02/26 23:47:12
測度ってのがいまいちよく分からない…
一般化した量みたいなものなんだよね？
例えば[0,1]の部分集合Aで、任意の実数a,b(0＜a＜b＜1)に対し、
[a,b]∩Aの測度が(b-a)/2になるようなものって存在するの？
195:１３２人目の素数さん
06/02/27 16:51:01
>>194
A=[0,1], m(E)=λ(E)/2, E⊂[0,1]はルベーグ可測集合でλはルベーグ測度
とした測度mがお望みのもの。
196:１３２人目の素数さん
06/02/28 19:40:47
>>195
分かりにくくてごめんなさい。
「[0,1]の部分集合Aで、任意の実数a,b(0＜a＜b＜1)に対し、
[a,b]∩Aのルベーグ測度が(b-a)/2になるような集合Aって存在するの？」って意味でした。
197:１３２人目の素数さん
06/02/28 23:39:04
amenable
198:198
06/03/01 19:11:33
198 円均一
199:１３２人目の素数さん
06/03/01 23:17:45
＾＾
200:200
06/03/02 07:29:16
caltech
201:１３２人目の素数さん
06/03/04 12:30:04
バナッハして一時間以内にタルスキーされなければ逆説的群
202:１３２人目の素数さん
06/03/04 15:15:15
>>194
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:301番)
203:１３２人目の素数さん
06/03/04 15:56:59
>>202
ありがとうございました。
似たような質問が出ていたんですね。
>>317の超準解析を使った手法って超実数の範囲では存在するってことですか？
204:１３２人目の素数さん
06/03/04 21:46:37
banach
205:１３２人目の素数さん
06/03/04 22:31:53
>>204
Λ＿Λ 藤ｬ藤ｬ
（ ・∀・） | | ﾀﾙｽｷｰ
と ） | |
Ｙ /ノ 人
/ ） < >_Λ∩
＿/し' ／／. Ｖ｀Д�ｴ）/
（＿フ彡 / ←>>204
206:205
06/03/04 22:32:29
自分カコ悪いww
207:１３２人目の素数さん
06/03/05 06:41:16
よくわからん。
整数を奇数と偶数に分けて、Z=O+Eとし、OとZは一対一対応があるし
EとZも一対一対応があるからZ=Z+Zとみなすことが出来るので
１＝２だというような感じの議論にしか見えない。
208:１３２人目の素数さん
06/03/05 08:07:49
OとZが一体一対応があるどころか合同ですらある所がポイント
209:１３２人目の素数さん
06/03/05 08:26:06
選択公理ね。靴下を色で分けてね。でもでもでも～～～～～。
さいころでね、くじ引きでね、とゆーのは工学的にはあるのではないの？
210:１３２人目の素数さん
06/03/05 08:30:04
ツェルメロンパンが来たよ～～～～～。
211:１３２人目の素数さん
06/03/05 09:07:32
バナッハは信じられるがタルスキーのおやじは信用ならぬ・：・
212:１３２人目の素数さん
06/03/05 16:53:39
こんにちは。
213:BW of Tama Kinng
06/03/05 17:06:48
こんにちわ。
214:１３２人目の素数さん
06/03/05 17:10:12
>>211
あなたに１０００票
215:１３２人目の素数さん
06/03/07 04:05:24
もしも、そういうことが成り立つのなら（つまりある集合の測度が
それと二倍の測度を持つものと合同？）、積分などにおける測度の
意味とかが怪しくなって来ないか？ 単位球の体積が4/3πだと
思ってたのに、8/3πになったり、さらにその倍になったりとか
じゃあ、何を信じて良いのかわからない。
216:BW of Tama King
06/03/07 04:20:50
>>215 この世に信じられるものなどほとんどないことを忘れたか！！
217:１３２人目の素数さん
06/03/07 16:23:13
馬は暑さに弱いので、樽に入った冷たい麦酒を
好むことを古来日本では「馬夏は樽好き」と呼んで
いた。これがこの定理の語源となったことはあまり
知られていない。
民明書房「日本酒の語源は韓国ニダ」
218:１３２人目の素数さん
06/03/07 16:24:06
最後は起源だったorz
219:１３２人目の素数さん
06/03/08 10:37:09
>>215
測度の定義できない集合もあるってだけじゃねーの？
220:１３２人目の素数さん
06/03/08 19:15:19
R^3で考えるからおかしなことになるんじゃないか？
例えばQ^3上で半径1の球と半径2の球は分割合同なのか？
221:１３２人目の素数さん
06/03/08 21:35:14
>>215
証明を読めばわかるが分割された集合の形がルベーグ測度で測れるような
代物ではないことに起因してるからそういう問題は生じない
222:１３２人目の素数さん
06/03/09 21:59:37
>>196って結局存在するの？
>>202を見てもよく分かんないんだけど。
あと>>220もぜひ知りたい。
223:１３２人目の素数さん
06/03/09 22:50:13
>>222
>>196は、もしそんなAが存在したとすると、
Aの定義関数をTとして、向こうのスレの>>333
＞∫＿［０，ｘ］（Ｔ（ｘ）－１／２）ｄｘ＝０。
＞（２）Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら
＞ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となることを使う。
から、殆ど全てのxについてT(x)=1/2となって、
Aの定義関数Tが0でも1でもない値を取る事となり、矛盾。
「全角」の文章は埋め得る行間が空いてる。
ただ、背理法を使ってるという事とか
省略する必要性が感じられない事まで省略するのってどうなの？
>>220は他の人に任せた。
224:１３２人目の素数さん
06/03/11 07:48:37
>>223
＞Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら、ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となる
これはどうやって導くの？
225:１３２人目の素数さん
06/03/11 09:41:25
>>224
μ(E):=∫_[E]f(x)dxとすると、μは区間に対して0を取る測度なので、
測度の拡張の一意性よりμ=0 (あるいは単調族定理を使っても良い).
特にそれぞれ∫_[f^±>0]f(x)dx=0よりf^±=0 a.e. よってf=0 a.e.
226:226
06/03/11 20:55:41
226 事件
227:１３２人目の素数さん
06/03/12 04:32:32
測度論が分からないと
この定理のもっともらしさはイメージできないのでしょうか
228:１３２人目の素数さん
06/03/12 04:37:09
>>227
取り合えず自分で証明を読んでみて判断してくれ。
難しい概念は出てこないから。
229:１３２人目の素数さん
06/03/12 05:10:44
測度論をよく分かっていない
自分でも証明を読む価値はありますか？
230:１３２人目の素数さん
06/03/12 14:08:03
いや、証明自体には測度とか出てこないから大丈夫だよ。
231:１３２人目の素数さん
06/03/12 14:44:22
選択公理胡散臭いって感覚にはなるかもな
232:１３２人目の素数さん
06/03/12 17:20:19
なんで平面図形では成り立たないの？
θ度回転させて得られる点の集合云々は平面図形でも成り立つよね？
233:１３２人目の素数さん
06/03/12 21:48:58
>>232
>>157
234:１３２人目の素数さん
06/03/12 22:24:00
3次元では全ての立体に体積が定義できないけど、1次元や2次元では定義できるんだよね？
定義の仕方は一意に決まるの？
235:１３２人目の素数さん
06/03/12 22:27:46
>>233
補題(一点を取り除いた図形の分割も同型)までは平面でも成り立つ
という理解で良いのかな？
236:１３２人目の素数さん
06/03/12 22:27:48
>>234
>>125
237:１３２人目の素数さん
06/03/12 22:32:05
>>236
いや、有限分割の話。
238:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:01:10
>>235
自分で読んだ方がはやいと思うよ
239:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:02:32
>>238
補題まで読んで飽きたｗ
240:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:35:17
>>237
(R^n とかの)全ての部分集合に測度が存在するかどうかを単に測度問題と言うことにすると
全ての集合に体積が定義できるかどうか(完全加法的測度問題)
と
有限分割してパラドキシカルな結果が生じるかどうか(有限加法的測度問題)
は別だよ
・R の完全加法的測度問題
反例 >>125 (Vitali 1905)
・R^3 の有限加法的測度問題
反例 >>1 (Banach, Tarski 1924)
・R, R^2 の有限加法的測度問題
肯定的 (Banach 1923)
最後の結果は誰か解説してくれ…
241:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:43:30
>>240
ありがとうございます。
3番目は一意に決まりますか？
242:１３２人目の素数さん
06/03/12 23:54:23
Cの代わりにADを使うと全部ルベーグ可測になるんだよね
ADってどんな公理？
243:１３２人目の素数さん
06/03/13 00:16:00
>>240
R^3よりR, R^2が先に証明されたのが意外…
普通に考えると反例を探すことより証明することの方が難しそうに思えるのに…
244:１３２人目の素数さん
06/03/13 00:48:09
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)
集合論の授業とかでも、こういうことをやると面白いのにね
素朴集合論の範囲を微妙にオーバーするような気がするけど
245:１３２人目の素数さん
06/03/13 02:02:43
いまいちよく分からない
もうちょっと噛み砕いて説明してくれると嬉しい ＞AD
246:１３２人目の素数さん
06/03/13 05:31:38
集合とはなにか、にある説明を書いてみましょうか
決定の公理（以下AD）
二人のプレーヤー I と II が、ゲームをする
最初に I がK := { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }の中から一つの数を選ぶことにする
これをk_1とし、
k_1を見て II がやはり0,.........,9までの数を一つ選んでk_2とし、
これを見て I が0,.........,9の数を一つ選んでk_3とする
こうやってk_1, k_2,.......,k_5までの数を得る
さて今ゲームの規則を
(k_1,..........,k_5)∈A⊆K^5のときに I が勝ち、そうでないとき II の勝ちとする
このとき必ず I または II いずれかの必勝法が存在する.........(*)
（∵ I の必勝法が存在しない
⇔not [∃k_1∀k_2∃k_3∀k_4∃k_5 (k_1,........,k_5)∈A]
⇔ ∀k_1∃k_2∀k_3∃k_4∀k_5 not [(k_1,........,k_5)∈A]
⇔ II の必勝法が存在する）
247:１３２人目の素数さん
06/03/13 05:32:11
この証明を良く見てみると5回でなく任意の有限回でもよく、
Kは一般の無限集合でよいことがわかる
ではnを可算有限回と拡張したとき、命題(*)の対応物はどうなるだろうか？
これが正しいというのがADである
正しいような錯覚がするが、これは実は間違っている！！！
Kがうんと大きな集合のときは反例が容易に得られるので
Kを高々可算の集合とすると、この命題の反例は今までのところ、
選択公理を用いて、対角線論法によらなければ作ることが出来ていない
したがってキチンと定義された集合に限定すればADは成り立つのではないか？
という考えがあり、実際この弱い形のADとZFとは今のところ何も矛盾も出ていない
ではどうしてADに興味を持つのか？
1. 弱い形のADでさえ、可測基数の存在よりはるかに（無矛盾性の意味で）
強い公理であり、この公理を仮定して得られた数学の定理が沢山在る
2. ADは実数についての公理とみることが出来、
実際この公理はある実数の存在とはっきり表すことが出来る
したがって実数についての新しい考えを見出す手がかりになるのではないか？と考えられる
以上のような理由でADの研究は一時非常に流行ったが、現在ではやや下火である
248:１３２人目の素数さん
06/03/13 21:40:18
nを可算有限回と拡張したときのゲームってどんなのですか？
249:１３２人目の素数さん
06/03/14 02:13:48
NWってどんな公理系？
250:１３２人目の素数さん
06/03/14 05:30:27
age
251:１３２人目の素数さん
06/03/14 14:40:48
無限回の反復操作の中に、矛盾を先送りしているのではないだろうか？
252:１３２人目の素数さん
06/03/14 15:28:35
>>240の3つめって選択公理は必要なの？
253:１３２人目の素数さん
06/03/14 15:51:51
>>252
使ってる
254:１３２人目の素数さん
06/03/14 17:45:11
㌧。
>>241は？
255:255
06/03/14 20:45:30
√(25)=5
256:256
06/03/14 22:06:25
√(256) = 16
257:１３２人目の素数さん
06/03/16 22:17:13
banach
258:１３２人目の素数さん
06/03/16 22:48:29
>>257
ﾀﾙｽｷｰ
259:１３２人目の素数さん
06/03/20 18:20:43
ハドヴィガーの定理って何？
260:１３２人目の素数さん
06/03/21 00:31:25
完全加法的測度が有限加法的測度より便利な点って、
積分と極限を交換できる以外には何かあるの？
261:１３２人目の素数さん
06/03/21 03:14:31
バナッハ・タルスキーの定理（ＢＴの定理）を信じられますか？
これにはある意味での肯定と否定が最大限分かっています。
数学的には、ＢＴの定理が成立条件を数学的に容易すれば肯定される。
物理的には、現実の世界はＢＴが成立する事は決してないので、それが
肯定される成立条件を、現実の世界は採用しない。
262:１３２人目の素数さん
06/03/21 03:15:11
バナッハ・タルスキーの定理（ＢＴの定理）を信じられますか？
これにはある意味での肯定と否定が最大限分かっています。
数学的には、ＢＴの定理が成立条件を数学的に容易すれば肯定される。
物理的には、現実の世界はＢＴが成立する事は決してないので、それが
肯定される成立条件を、現実の世界は採用しテイない事が分かる。
263:１３２人目の素数さん
06/03/21 03:21:30
それは、実数濃度を現実の世界は採用していないのではないか？という事を
諮詢している。しかし、それはある精度で現実の現象を、実数濃度を物理量
に要求、それを記述するもの、に要求しても、有効理論として充分に記述して
いるという点は否定していない。
しかし、もっとも根本的な処で、数学的な意味での点、または、実数濃度を
現実の世界は、自然は採用していない事は、はっきりしてきている。その一例
であり、実数濃度を要求した形での現象の記述がある精度の理論構築で、破綻
する判例として、ＢＴの定理があると言われいます。
264:１３２人目の素数さん
06/03/21 03:21:34
業界最安値、激安特価のオトナのおもちゃ♪
ラブラブカップルに熟年夫婦、ＳＭ道具から勿論一人で楽しむアイテムまで大満足！
さらに女の子をオトせる必殺アイテムも多数あり☆（←これが超強力。悪用厳禁!!）
URLﾘﾝｸ(www.acport.com)
265:１３２人目の素数さん
06/03/22 17:18:34
266:１３２人目の素数さん
06/03/22 17:21:28
ADって論理式ではどう書くの？
267:１３２人目の素数さん
06/03/26 14:58:29
268:１３２人目の素数さん
06/03/26 14:59:25
空行レス多いな
269:１３２人目の素数さん
06/03/28 12:08:51
有限加法的測度だと構成不可能な集合の測度も求められるんだよね？
270:１３２人目の素数さん
06/03/28 14:41:05
このスレ
～～～終了～～～
271:中川秀泰
06/03/28 21:56:15
信ずるにタル？
272:１３２人目の素数さん
06/03/28 23:06:58
ZF+ADだとバナッハ・タルスキーの定理はどうなる？
273:１３２人目の素数さん
06/03/28 23:22:51
結局Q^3で大きさの異なる球は分割合同なの？
274:１３２人目の素数さん
06/03/31 12:43:55
>>273
整数論的な問題になるので多分無理
275:１３２人目の素数さん
06/03/31 17:08:08
Q^3で考えちゃったら30°の回転さえできなくなるんでないの？
276:１３２人目の素数さん
06/03/31 17:34:28
元々の定理の中で行なわれている合同変換がQ^3上の合同変換でもあるのなら
Q^3上でも定理は成り立つ。というか全部Q^3上の合同変換に出来た気がする。
277:１３２人目の素数さん
06/03/31 21:28:14
>>276
>>52を読んだんだけど、
「gの回転角θを, θ∈(0,2π)＼Yとする. Yは可算集合なので, (0,2π)＼Y≠φとなる. よって, このようなθは存在する.」
の部分が成り立たないけどどうするの？
278:１３２人目の素数さん
06/03/31 21:35:51
>>275
回転群を制限すればいいだけの話だろ？
制限したところで回数2の自由群は含む群であることには変わらないんだから。
279:１３２人目の素数さん
06/03/31 23:24:53
>>52
気になってリンクに飛んだらリンク切れてるOrz
まだどこかに残ってませんか？
280:１３２人目の素数さん
06/03/31 23:28:23
お前の責任だ
281:１３２人目の素数さん
06/03/32 00:17:02
>>278
話はそんなに簡単なことではない。
282:１３２人目の素数さん
06/03/32 17:02:15
>>281
どう簡単じゃないんだ？
283:１３２人目の素数さん
06/03/32 17:27:31
>>279
googleだろうがInternet Archiveだろうが何処にでも残ってるよ
284:１３２人目の素数さん
06/03/32 19:53:40
URLﾘﾝｸ(www-mi.sci.ibaraki.ac.jp)
普通にサイト移転しただけだし。281のような回りくどい事言うなんて嫌らしいな
285:１３２人目の素数さん
06/03/32 19:54:13
281→283
286:１３２人目の素数さん
06/04/02 21:51:08
バナッハ・タルスキー問題(有限加法的測度問題？)って、3次や2次だけじゃなく
どうにかして非整数次元に拡張することはできないの？
287:１３２人目の素数さん
06/04/02 22:56:49
古代中国において樽という名の現在のチューハイに似た飲料が好まれていた。
時の皇帝、馬夏はこれを好み、さらに樽を増やす方法を考案した。
それは樽を２分割し、それぞれの樽に工業用アルコールを混ぜることで
最後に元の樽よりも多く樽を作ることが出来る。
これを無限に繰り返すと無限の樽が出来るという画期的発明であった。
これが「馬夏は樽好き」転じて「バナッハ・タルスキーの定理」となったのである。
また、この定理はバナッハおよびタルスキーという数学者によって発見されたという
説があるが、全くのデタラメである。
このような虚説が広まった理由として、かつて馬夏という皇帝が存在しなかったことが
根拠としてあげられるが、そのようなことは些細な問題であり馬夏起源説を覆すには至らない。
民明書房刊『小学１年生 さんすう』より
288:１３２人目の素数さん
06/04/03 00:27:35
っていうか、ホリエモンもこの定理で金を増やしていたのは有名な話。
もちろん違法だから逮捕されたけど。
ばれない程度にやってれば、生きていけるよ(10万/月程度にしないと、ばれる恐れ大)。
289:１３２人目の素数さん
06/04/03 21:12:36
（ ﾟДﾟ）＜バナッハ タルスキー＞（ﾟДﾟ ）
290:１３２人目の素数さん
06/04/04 03:09:34
>>287
日本語ネーミングな皇帝・・・
291:１３２人目の素数さん
06/04/05 21:49:23
>>286
非整数次の回転・平行移動ってどんなんだい？
292:１３２人目の素数さん
06/04/05 22:21:17
age
293:& ◆leAf1aNbyo
06/04/05 22:22:39
コホモロジー的に考察できる？
294:１３２人目の素数さん
06/04/06 00:41:36
ａｍｅｎａｂｌｅと群のコホモロジーの関係を調べるということか？
295:295
06/04/06 21:10:11
2+√9=5
296:１３２人目の素数さん
06/04/06 23:30:04
１億円をタダで自由に使ってしまう方法。
１億円借金をして、１年後に１億円を返すとXに云って
とりあえずその１億円を遊びなどに使ってしまう。
１年後にXが金を返せと云ってきたら、Yから１億円を借りて１年後に返すという。
そのYから借りた金一億円をXに返す。さて１年後にYは金を返せといってくるので、
Zから１億円を借りて１年後に返すという。そうしてZから借りた金をYへの
返済に充てる。。。。。。以下同様に永遠に未来に送っていけば破綻しないで
とにかく最初に借りた１億円は自分の物としてどうしても構わない。
以上の話は利息が無いから非現実的だというかもしれない。よろしおま、
ほなら利息もつけさせてもらいまひょう。
Xから１億円を借り、１年後に２億円を返すという。そうしてその借りた
１億円は使ってしまう（あるいは隠匿する）。
さて１年後にXは２億円をよこせといって来る。そこでYに２億円金を
貸してくれ１年後には４億円にして返すからという。そうしてYから借りた
２億円をXへの返済に充てる。１年後にYが４億円を返せといってくる。
そうしたらZから４億円を借りて１年後に８億円を返すと約束して借りた
４億円をYへの返済にあてる。。。。。。。。
これだと、最初に借りた金は自分の為に使いきってしまっていてもよく、
永遠に先送りしつづけることで破綻はしない。
297:１３２人目の素数さん
06/04/06 23:31:50
貸してくれる人がいなくなったら？
298:１３２人目の素数さん
06/04/06 23:44:26
つ[生命保険]
299:１３２人目の素数さん
06/04/06 23:50:46
それってタダなのか？
300:１３２人目の素数さん
06/04/07 09:38:16
与信枠
301:１３２人目の素数さん
06/04/11 10:18:11
日本やアメリカの政府がやっていることは、それに似たようなもんだ。
いずれインフレでチャラにするつもりなんだろけども。
302:１３２人目の素数さん
06/04/11 23:24:37
国債を連鎖的に発行してるから自転車操業といわれても仕方ないな。
303:１３２人目の素数さん
06/04/16 00:54:52
784
304:１３２人目の素数さん
06/04/20 17:22:38
結局、Z^3上におけるバナッハタルスキー問題はどうなったんだ？
305:中川秀泰
06/04/24 09:50:48
悪杉
306:１３２人目の素数さん
06/05/13 21:02:55
417
307:１３２人目の素数さん
06/05/26 12:39:35
741
308:１３２人目の素数さん
06/06/16 00:32:06
483
309:１３２人目の素数さん
06/06/18 01:24:38
揚げてみる
310:１３２人目の素数さん
06/06/23 18:55:11
信ずるものは救われる
足を掬われる
311:１３２人目の素数さん
06/06/24 10:03:06
でっかい薄っぺらい紙を１００回折ったら宇宙の大きさ並みの厚さになるってのと同じだろ。
312:１３２人目の素数さん
06/06/24 11:42:46
それは違うという気が。折るという操作では体積は保存されるか、減少だから、厚みが増えるのは
面積が減って高さが増えるってだけ。
313:１３２人目の素数さん
06/06/24 13:20:09
薄っぺらい紙を折って宇宙並みの厚さにするのには
非構成的公理は要らないからね
314:１３２人目の素数さん
06/06/26 16:33:44
ところで>>311
それは「銀河系くらいの大きさの紙は100回くらい折ると葉書くらいになる」の間違いじゃない？
315:１３２人目の素数さん
06/06/27 00:00:57
厚さ
316:１３２人目の素数さん
06/06/30 21:23:48
紙の厚さを0.1mmくらいとすると、0.1mm×2^100≒100億光年って話しじゃない？
2^10=1024≒1000
として
0.1mm*2^100=0.1mm*(2^10)^10≒0.1mm*1000^10
=0.1×10000000000000000000000000000000mm
=100000000000兆km
１光年は
3万km×60秒×60分×24時間×365日
=30000km*60*60*24*365
=946080000000km
≒10兆km
割ると100億になる。（もうちょっと正確に計算すると134億くらい）
もちろん紙を100回折るのは不可能だけどね。
317:１３２人目の素数さん
06/06/30 21:26:55
因みに>>314は全然ウソだな。ケタがまるで合わない。
318:１３２人目の素数さん
06/07/01 21:32:33
だからバナッハタルスキーとは全然関係ないと
319:１３２人目の素数さん
06/07/02 21:17:38
関係のある話キボン
320:１３２人目の素数さん
06/07/06 14:45:57
バナッハタルスキーのﾃｰﾘって結局嘘なんだろ？
321:１３２人目の素数さん
06/07/06 14:55:15
ヒルベルトのプログラムは
「現実的な定理に仮想的な結果を用いても、その結果は変化しない」
ことを目指して行われたわけで、
「仮想的な世界に仮想的な結果を用いた」
場合に何が起こっても知ったこっちゃない。
322:１３２人目の素数さん
06/07/06 15:07:37
合同分解ってのと関係アル？
323:１３２人目の素数さん
06/07/07 02:24:48
実際厚みが無かったらどうなのか？
R^3内に入ってる二次元の円盤を分割→合同変換で三次元の球を覆えるように出来るか？
324:１３２人目の素数さん
06/07/07 02:27:59
というか有限分割じゃ絶対無理だよな。
三次元の領域を有限個の平面じゃ普通に覆えないし。
325:１３２人目の素数さん
06/07/17 20:06:58
>>296
それ日本政府がやっている。
326:１３２人目の素数さん
06/07/17 20:10:08
↑
ガイシュツだった。・・・・orz 逝ってくる。
327:１３２人目の素数さん
06/07/17 20:16:27
まあ日本政府は典型的にそういうイメージを持たれていると。
328:１３２人目の素数さん
06/07/17 22:02:26
つーか世界中でやってますが何か？
329:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/07/19 18:21:07
talk:>>325 それをするには、初めに私が一億円を持っていないといけないだろう。
私ではなくても良かったか？
330:１３２人目の素数さん
06/07/19 18:49:13
すでに聖書の中にこれと同等の出来事が
イエスが行なった奇跡として書かれている
信ずる者は幸いなるかな
331:１３２人目の素数さん
06/07/19 18:52:16
>>325-330
経済の仕組みそのものでんがな （ ﾟДﾟ）ｙ―┛~~
332:１３２人目の素数さん
06/07/20 02:47:39
>>330
「これと同等の出来事」はペテンなわけだが。。
それをイエスがやったって言って良いのかね。。
>>331
信用創造は借金の額面が膨れ上がってはいかないから違うよな
何のこと言ってるのかね？
333:１３２人目の素数さん
06/07/20 10:22:40
バナッハ・タルスキーの定理は結局数学が抽象的な実体のない概念を
扱ってることを証明しているに過ぎない。
数学ってのは具体的な学問のようで哲学みたいな虚学なんだよ。
334:１３２人目の素数さん
06/07/20 12:45:06
実数が抽象的な実体なのか具体的対象なのかは意見が分かれそうだな。
335:１３２人目の素数さん
06/07/21 05:22:08
そんな文学的な話したって
個人の主観で何とでも言える
じゃあ選択公理を拒否すれば良いのか、と言えばそうでもないし
336:１３２人目の素数さん
06/07/21 08:57:56
>>334
実数はフィクション
と明言していたのは佐藤幹夫
こんなことを言うと嫌われるけど
といいながら
337:１３２人目の素数さん
06/07/21 09:02:00
>>336
小平もだね
338:１３２人目の素数さん
06/07/21 09:44:32
>>333 が実は哲学も数学も知らないシッタカであることに一万点。
339:１３２人目の素数さん
06/07/21 10:37:47
>>333はシッタカ
340:１３２人目の素数さん
06/07/21 11:22:20
>>336-337
偉い人が言ったのだから意味はあるんだろうけど、意図がわからないな。
「フィクションでないもの」にだけ基づいた数学を作って見せるとかしたの？
341:１３２人目の素数さん
06/07/21 12:02:01
>>340
佐藤と杉浦の対談を読め
342:１３２人目の素数さん
06/07/21 12:17:43
>>341
ソースは？ 佐藤 杉浦 対談 実数 でググったら
数理科学 No. 359 1993 年 5 月号特集： 多彩な物理現象 ―超低温から超高エネルギー ［品切れ］
連載：数学の方向1 対談・数学の方向（I） 佐藤 幹夫，杉浦 光夫
てのが当たったけど、これ？
343:１３２人目の素数さん
06/07/22 13:36:39
各所で学んだつもりだったが
どうやら自分は選択公理が本質的に理解できていないらしい
たわけてて悪いが
誰か選択公理について頭に染み込むような上手い説明ないし例を教えてくれ。
ぶったぎってスマン
344:１３２人目の素数さん
06/07/22 14:24:25
空でない集合を何個（無限でも）持ってきても、それらから丁度１個ずつ要素を集めた集合が作れるで良いんじゃない？
345:１３２人目の素数さん
06/07/22 14:46:43
>>344
それだ！
346:１３２人目の素数さん
06/07/22 15:36:15
選択公理に関しては、次のような例え話で説明される事があるね。
無限足の靴の集合から、片方の靴を取り出して集合を作る事は可能。
すべての靴から右足の方（左でもいいけど）を選んでくればよい。
しかし、これが靴下の場合だったら、このような選び方が出来ないから
片方を取り出して集合を作るには選択公理が必要。
これはラッセルが言った例えらしいけど、選択公理の独立性の証明を読むと
この例えは結構本質を突いているんじゃないかと思う。
347:１３２人目の素数さん
06/07/22 16:12:25
>>344の「を集めた集合」を「が選ばれて『できていた』集合」にするとニュアンスが伝わるかも
348:333
06/07/22 16:45:03
京大数理解析研出身で東大で哲学修士もとりましたが何か？
349:333
06/07/22 16:46:56
数学修士なのだが
350:１３２人目の素数さん
06/07/22 20:19:45
哲学が虚学であるのは、人によって言うことがバラバラで、また、一人の哲学者であっても
時期によって言うことがバラバラ。つまり学問にcoherenceが無いということ。数学とは全然別。
351:343
06/07/22 21:12:35
>>344-347
しょうもない問いに丁寧に答えてもらってスマン
選択公理のたしかな理解に何歩も近づけたよ
この辺りを念頭においてもう一回文献を紐といてみる
ありがとう
352:１３２人目の素数さん
06/07/23 07:15:17
>>333
帰れ
353:１３２人目の素数さん
06/07/23 16:28:51
>>350
哲学は難解であっても全体として体を成しているように感じられる場合と
そうでない場合があるような気がする
デカルトよりもプラトンの方がまとまっているように感じられるのはなぜだろうか？
デカルトが数学に集中した時期が長かったからか？
354:１３２人目の素数さん
06/07/23 17:17:28
>>333
前段から後段が導き出される事を証明してくれ。
あと虚学とはなんぞやと言う定義もね。
355:１３２人目の素数さん
06/07/23 18:52:46
>>354
こういう奴らは学問的誠意とかと無縁だから
聞かれると喜んで脈絡のないこと延々と並べるぞ。
スルーするしかない。
356:１３２人目の素数さん
06/07/24 18:52:53
>>355
とりあえず２chいりびたりの輩が学問的誠意云々ぬかすな。
あとはマターリ
357:１３２人目の素数さん
06/07/24 20:55:23
>>356
痛いところつかれたからって暴れるな。
358:１３２人目の素数さん
06/07/24 23:38:08
暴れまわっちゃうぞ～
といってみるわな
359:１３２人目の素数さん
06/07/25 22:28:32
バナッハとタルスキーは数学者である
全ての数学者はロリコンである
この続きがわかりません！！だれかおしえてください！！
360:１３２人目の素数さん
06/07/27 18:26:05
ヤバイ。バナッハ・タルスキーの定理ヤバイ。まじでヤバイよ、マジヤバイ。
バナッハ・タルスキーの定理ヤバイ。
まず増える。もう増えるなんてもんじゃない。超増える。
増えるとかっても
「1.5倍くらい？」
とか、もう、そういうレベルじゃない。
何しろ無限増殖。制限とか無いの。質量保存の法則とかを超越してる。超ヤバイ。
しかも証明できる。ヤバイよ、証明できるんだよ。
だって普通は質量とか増殖しないじゃん。だって昨日買ってきたアンパンとか増えないっしょ。
今日になったら50個になってました～じゃ困るっしょ。
毎日アンパン食わざるを得なくなるよ？そんなの泣くっしょ。
だから昨日買ってきたアンパンとか増殖しない。話のわかるヤツだ。
けどバナッハ・タルスキーの定理はヤバイ。そんなの気にしない。増殖しまくり。もとの質量とか気にしない。ヤバすぎ。
質量って言ったけど、もしかしたらそんな概念自体ないかもしんない。でも概念が無いって事になると
「じゃあ、増殖するのは何よ？」
って事になるし、それはバナッハにもタルスキーにもわからない。ヤバイ。バナッハにも
タルスキーにも分からないなんて凄すぎる。
あとその逆も成り立つ。つまり２つのA,Bをばらばらにして再び組み立てるとAと同質量になる。
つまり奮発してアンパン2つ買ってきたら1つになってたとか。ヤバイ。残酷すぎ。せっかく奮発したのに。怖い。
それに4次元以上でも成り立つ。超画期的。それに抽象的。次元とか平気で出てくる。次元て。ルパンでも言わねぇよ、最近。
なんつってもバナッハ・タルスキーの定理は要素の分け方が凄い。
普通分け方といえば千切り？とか短冊切り？とかなのに偶数の集合か奇数の集合かとかも平気。
しかもうちらなんて無限とかたかだか無限小が出てきただけで上手く扱えないから⊿xにしたり、εにしてみたり、
limit使ったりするのに、バナッハ・タルスキーの定理は全然平気。無限を無限のまま扱ってる。凄い。ヤバイ。
とにかく貴様ら、バナッハ・タルスキーの定理のヤバさをもっと知るべきだと思います。
そんなヤバイバナッハ・タルスキーの定理を使ってる集合論とか超偉い。もっとがんばれ。超がんばれ。
361:１３２人目の素数さん
06/07/27 20:49:04
体積は増えるが質量は増えない。
密度が低くなっているのだ。
362:１３２人目の素数さん
06/07/27 23:25:47
>>333
数学が概念論か否かは、アメリカンジョークじゃないが、
まず定義をする必要がある。定義をしていない事より、これは主観論。
だがちょっと待ってほしい。
一部が要素Pなら、全部が要素Pと言えるのだろうか？
俺なら、「バナッハ・タルスキーの定理は数学上に存在する概念論の一例」
としか書けないけどな。
＞数学ってのは具体的な学問のようで哲学みたいな虚学なんだよ。
これも虚学が定義されていないから主観論。
だがちょっと待ってほしい。
前段と同じく、人間にとって虚ならいかなる存在にとっても虚なのか？と。
さて、ここからは俺の主観論だ。
俺は三年前の中二の時、「絶対」について考えてみた。
結論を言えば、「数学にしか存在しない」(厳密には、定義から生まれた世界にしか存在しない)だった。
1+1が、2である事も2でない事も定義から定まる、と。
定義すると言う事は、絶対を定める事。
絶対的定義さえあれば、絶対(定義)+絶対(数値)も絶対となる。
絶対により広がった数学の世界こそが絶対的に真なのだと。
しかし、数値が変化すること自体は無問題でも、
数値が不確定要素になると絶対性が失われる。例えば、人間とか。
人間を定義できるか？となるとおそらく無理だろう。
定義もないのに観測できる範囲をベースに考えるから、人間数学には虚数とか想像上の数なんて言葉が生まれる。
ぬかるみに立派な建築物は建たないだろう？そういうこと。
限りなく広がる「数学の世界」を人間の視野で仕切ったらその外を把握できないのも自明。
真なのは数学のほう。それがいかに人間に理解しがたくとも。
数学を人間の視野に絞って扱いやすくしたのが物理じゃね？
363:１３２人目の素数さん
06/07/28 18:40:37
232
364:１３２人目の素数さん
06/08/30 16:22:07
310
365:１３２人目の素数さん
06/08/31 17:09:33
ご冗談でしょうファインマンさんにこの定理でてきたな
366:１３２人目の素数さん
06/09/18 01:23:20
>>362
メロンパン買ってこい
367:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/09/18 07:50:59
talk:>>366 配達料金10000ドルをくれるなら買ってきてやろう。
368:１３２人目の素数さん
06/09/18 07:56:53
>>367
早くチ○ポしゃぶれよ。
369:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/09/18 08:13:46
talk:>>368 珍宝はどこだ？
370:１３２人目の素数さん
06/09/26 00:32:57
こんな定理ありえねぇよ
371:１３２人目の素数さん
06/09/26 01:20:02
糞ｽﾚはどこだ～
∩-ω-≡-ω-)
｀ヽ |)
|_ |
∪∪
372:１３２人目の素数さん
06/09/26 01:20:59
証明されてるから信じられないんだよな
証明されてなきゃ信じないだけだ。
373:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
06/09/26 11:51:35
扱う対象を、可測集合のみにすればこういう変なことにはならない。
374:１３２人目の素数さん
06/09/27 09:11:41
だからACやめてAD採用すればいいんだって。
375:１３２人目の素数さん
06/09/27 11:32:09
可算選択公理くらいいるぞ
376:１３２人目の素数さん
06/09/27 13:00:01
必要ない。なぜなら証明できてしまうから。
377:１３２人目の素数さん
06/09/27 15:13:46
別に無矛盾ならACくらいばんばん使おうよ。バナッハ・タルスキーなんて目じゃないって。
378:１３２人目の素数さん
06/09/27 16:09:28
連続体仮説みたいなもんで、採用するよりしない方が豊かになるならやめりゃいいよ。今はどっちが面白いか調査段階ってとこだろ。
379:１３２人目の素数さん
06/09/27 17:57:46
する方が一般の数学は豊かになるってのが大方の意見かと。
ADのそういう調査段階はもう過ぎたんじゃないかなあ。
＞しない方が豊かになる
採用しないで、代わりに別の公理（例えば連続体濃度 = アレフ2とか）を採れば
豊かになるってんなら分かるけど、
採用しないじゃ豊かにはならないような気がするけど。
採用しないで色々な可能性を考えようってことだったら、採用した場合と
採用しなかった場合を区別して勉強するようにすりゃ良いだけのことで
採用しないで放っておく意味はあまりないかと。
380:１３２人目の素数さん
06/09/27 18:24:02
もちろん他の公理を採用するのが前提に決まってるじゃん。
ＡＤは結構人気あると思うけどなあ。
381:１３２人目の素数さん
06/09/27 18:25:19
>>378
そういう話なら Axiom of Choice にいろいろ書いてあった。
382:１３２人目の素数さん
06/09/27 18:30:44
記述集合論屋にはADは結構受けがいいね。
構成主義のビショップですら選択公理を使っているぐらいだから
AC優位は当分揺るがないだろうが。
383:１３２人目の素数さん
06/09/27 18:45:33
構成主義でAD採用とかどんなマイナーなんだよ、とか思ったけど、
よく考えたら構成主義の人は思想信条的にADは採用できないんじゃないだろうか。
ω-game とか考えるから。わからんけど。
つうかwikipediaでADの解説があるのは英語版以外はポーランド語版だけっぽいなｗ
なんかﾜﾗﾀ
384:１３２人目の素数さん
06/09/27 20:07:47
>構成主義でAD採用とかどんなマイナーなんだよ、とか思ったけど
ん？どこにそんなこと書いてあった？見逃したかな？
385:１３２人目の素数さん
06/09/27 20:38:03
いや、構成主義のビショップですら、のとこ。
そういう人が居るとは書いてない。
386:１３２人目の素数さん
06/09/27 20:58:12
何を言ってるのか結構意味がわかりにくかった。
やっとわかった。選択公理を使わないならADを使うと言おうとしてると思ったわけか。
想像力豊かだな。
387:１３２人目の素数さん
06/09/27 20:59:59
>>374以降ADの話をしてる文脈だったと思ったので。
388:１３２人目の素数さん
06/10/03 05:00:43
sage
389:１３２人目の素数さん
06/10/11 18:08:14
こういうのって面白い。他になにか直感に反している定理ってない？
390:１３２人目の素数さん
06/10/22 19:53:54
age
391:１３２人目の素数さん
06/11/01 22:39:53
小学校の頃
「連続だが微分不可能な関数」
の話を知ったときには直観に反していて驚いた。
もう慣れちゃったけど。
全ての点が重複点であるトレースしていない曲線とか、三つの領域の境界になる曲線とか、昔は何でも新鮮に驚けた。
392:１３２人目の素数さん
06/11/02 17:05:20
＞小学校の頃
393:１３２人目の素数さん
06/11/02 23:14:53
話なら小学生だってわかるだろ。
394:１３２人目の素数さん
06/11/13 05:45:53
270
395:１３２人目の素数さん
06/11/28 13:19:39
>>391
> 全ての点が重複点であるトレースしていない曲線とか、三つの領域の境界になる曲線とか
kwsk
396:１３２人目の素数さん
06/12/09 09:45:15
バナッハ・タルタルソースキー
397:１３２人目の素数さん
06/12/27 13:59:06
725
398:１３２人目の素数さん
07/01/29 15:03:49
＞実はお札には交換基準というものが定められており、
＞その基準を満たしていれば日本銀行の本・支店（または
＞一部の市中金融機関）へ持っていくと交換してもらえます。
＞
＞・お札の3分の2以上残っている場合は全額交換
＞・お札の5分の2以上3分の2未満の場合は半額交換
＞・お札の5分の2未満の場合は残念ですが交換不可
おい、バナッハタルスキーの定理があればいくらでも錬金出来るぞ！！！！！
399:１３２人目の素数さん
07/01/29 15:13:10
まあ、それは冗談としても、ベシコビッチ集合みたいな測度の判定が難しい
切り方をしたら行員が間違う可能性は十分ありうる。
万が一失敗して小さく見積もられたら、両方持っていけば、少なくとも
元の金額は取り戻せるからリスクは無し。
400:１３２人目の素数さん
07/01/30 04:37:01
バナッハ・タルスキーの定理も選択公理も両方信じられなければ問題ないのだが、
後者は思わず信じちゃうのでまずい。
選択公理を嘘くさく思える脳を作らねば。
401:１３２人目の素数さん
07/02/05 12:23:18
>>286
で、考えてみましたか？
とりあえず、３次元以上のユークリッド空間あるいは無限次元ヒルベルト空間の部分集合で
ハウスドルフ次元が５／２であるものの中に
”バナッハ・タルスキー分割”が可能なものが存在するかどうか
というのが問題らしいですが
402:１３２人目の素数さん
07/02/05 12:56:51
バナッハタルスキーのパラドックスがあれば一万円札がいっぱい作れるぜ
403:明智小五郎
07/02/09 22:56:48
おめーら馬鹿だな
404:１３２人目の素数さん
07/02/10 00:23:39
俺数学とかよくわかんねーから泥団子の半径を二倍にするやり方で教えてくれ。
405:１３２人目の素数さん
07/02/10 06:50:43
＞・お札の3分の2以上残っている場合は全額交換
＞・お札の5分の2以上3分の2未満の場合は半額交換
お札は連結していなければならないのかな？たとえば、中央付近の
1/10が無くなったお札(2枚に分かれる)を全額交換できるのかな？
406:１３２人目の素数さん
07/02/10 07:10:18
昔10枚のお札を11等分してそのうちの1部分ずつを取りだして1枚（10/11枚）のお札を作り、残りもつなげて11枚のお札にして捕まったのがいた。
偽造扱いなのかな？
407:１３２人目の素数さん
07/02/10 07:17:31
そういえば面積64の三角形を並び替えて
面積65にする有名な方法があったなｗ
408:１３２人目の素数さん
07/02/10 17:57:30
n=2
でも成立すんのこれ？
常識的にあり得なくね？
409:408 ◆bT6c9WIwLg
07/02/10 18:16:43
だれかエロイ人
>>408
について教えていただけるとありがたいっす。
410:１３２人目の素数さん
07/02/10 22:55:48
分割が2個の場合はどうなんでしょね。
411:１３２人目の素数さん
07/02/11 21:32:36
>>399
ベシコビッチ集合ってよく知らないけど、多分面積の計算が難しいってだけでしょ？
それと可測か非可測かとは別の話だが。可測集合の可算列の極限は可測だよ。
412:１３２人目の素数さん
07/02/11 21:41:53
>>286
バナッハ・タルスキーの定理って２次元の場合は成り立たないんじゃ
なかったっけ？
413:１３２人目の素数さん
07/02/12 00:27:02
２次元では不成立
414:408 ◆bT6c9WIwLg
07/02/12 02:00:16
>>408>>409
質問スレで解決（？）しました。
415:１３２人目の素数さん
07/02/12 07:05:58
せっかくだからリンク貼ってくれると
416:１３２人目の素数さん
07/02/18 23:04:36
直径1cmのボールを直径2cmにする具体的な分け方をおしえてくれ
417:KingOfUniverse ◆667la1PjK2
07/02/19 08:05:33
talk:>>398 日本銀行券を例えば3/8と5/8に分けてしまったら半分しか戻ってこないのか？
418:１３２人目の素数さん
07/02/19 12:04:59
>>417
それを別の人間にそれぞれ分けてしまったらそうなる。
同時にもっていれば、そうはならない。
2/3とか2/5とかいうのは連続している必要はなく、失われていなければいいのだ。
たとえば、燃えた灰がお札の形のまま残っているという状態でもよい。
419:１３２人目の素数さん
07/02/19 23:32:09
>>416
球を先ずルベーグ非加算集合に分割しなければならない。
で、ルベーグ非可測集合って、物理で言えばつまり体積を「原理的に」測ることが
できない物質ってこと。有限な物質であるにも関わらず、どのような
測定方法を用いても絶対に体積が定まらない物質。
一体全体どんな物質なのか、こっちが教えて欲しいかんじ。
たとえば切り口に非加算無限個のギザギザが入っている半球とか。
あるあ、ねーよ。
420:１３２人目の素数さん
07/02/20 01:52:56
有限個って書いてあったから具体的に出来るのかと思ったけど
やっぱ無理か。さんくす
421:１３２人目の素数さん
07/02/20 08:01:06
選択公理つかって構成するわけだから具体的に集合を指定するのは
たぶん不可能なんじゃないのか
422:１３２人目の素数さん
07/03/11 20:55:25
977
423:１３２人目の素数さん
07/04/27 06:57:33
原子からなる現実の物体は数学上の図形とは異なるってことじゃないかな？
424:１３２人目の素数さん
07/04/28 11:48:38
あげ
425:１３２人目の素数さん
07/04/28 17:16:11
バナフ・タルスキの逆理にいう有限分割とは
現実の風景をピカソの絵にするようなものだな
426:１３２人目の素数さん
07/05/10 18:17:53
２次元の時は成り立たない（有限加法的測度が存在する）証明の素人にも分かりやすいやつはどこかで読めませんか？
前このスレで挙がってたバナッハ・タルスキーの証明サイトくらいに簡単な。
もしくはスレ上で概略を示していただけると嬉しいです。
427:１３２人目の素数さん
07/05/10 20:37:38
分割しても変わらない不変量って何かある？
428:１３２人目の素数さん
07/05/10 20:55:23
ＡＣなんて信じてません
429:１３２人目の素数さん
07/05/11 17:22:41
>>427
そんなのがあったらそれを体積って呼んでるよ
430:１３２人目の素数さん
07/05/11 17:51:51
>>391
＞全ての点が重複点であるトレースしていない曲線
＞三つの領域の境界になる曲線
どんなの？
431:１３２人目の素数さん
07/05/12 09:42:02
>>1
自明
432:１３２人目の素数さん
07/05/13 02:50:32
体積が保存しないのは、分割した時に非可測な図形っていうのが現れるからなんだよね？
ある図形を、なるべくその直径の３乗の和が小さくなるように球で覆って、
それが球を段々小さくしていった時に近付く値がその図形の測度って聞いたんだけど、これであってる？
非可測な図形は測度が求まらないらしいけど、↑の値ならどの図形でも求まりそうな気がするけどそうじゃないの？
433:１３２人目の素数さん
07/05/13 03:36:59
>>432
大雑把に言って、可算無限個の不規則な空白があっても
測度に関して見えないなら被覆になるからな。
んな奇妙な被覆が作るフィルターなんて奇妙極まりないが、
その奇妙極まりないフィルターに関して収束するものなんて
かなり行儀がいい図形だけ。
一方、球だけで作った被覆は、さらに行儀のいい図形しか
被覆できないので、行儀悪い図形を見るのにはロクに役に立たん。
434:１３２人目の素数さん
07/05/13 03:57:55
>>433
一般には球を段々小さくしていっても収束しないってこと？
発散はしないから、振動するってことだよね？
435:１３２人目の素数さん
07/05/13 05:06:01
>>４３２
球の数が可算無限個になってしまうのではないか？
436:１３２人目の素数さん
07/05/13 05:16:20
和を取るだけなんだから可算なら問題無くないか？
437:１３２人目の素数さん
07/05/13 05:18:41
>>436
有限個の極限として可算無限になることと、
もとから可算無限なものをたくさん一緒に扱うこととは
全然意味が違ってくるよ？
438:１３２人目の素数さん
07/05/13 08:33:00
まあ、R^nでのルベーグ測度なら有限個の極限(考える被覆は工夫が要るが)としても定義できるけどな。
439:１３２人目の素数さん
07/05/13 08:43:18
訂正(＾o＾)
まあ、R^nでのルベーグ測度なら → まあ、ルベーグ測度なら
440:うるとらまん
07/05/13 10:20:31
みんな難しく考えすぎダ
ホーケー手術の皮のつなぎ方（切り方）を思い出せョ！
ソッカ…君ラには必要ない手術か…
441:１３２人目の素数さん
07/05/13 14:15:57
誰か>>240の最後の結果を解説して～
442:１３２人目の素数さん
07/06/25 11:23:27
372
443:１３２人目の素数さん
07/07/01 15:20:33
全体は部分よりも大きいという公理に反していないか？
444:１３２人目の素数さん
07/07/07 02:22:08
>>432
なにか根本的に勘違いしてる気がする。
「非可測な図形が表れる」んじゃなくて、非可測な図形で分割するの。
そうでなければ、分割した後あわせたら元の２倍の体積になるなんて
有り得ないだろが。
＞非可測な図形は測度が求まらないらしいけど、↑の値ならどの図形でも求まりそうな気がするけどそうじゃないの？
何を言ってるのか分からない。
可測なら、バナッハ・タルスキーの定理とは全然関係ない。
ムリから混乱させようとしてないか？
選択公理を仮定する→非可測な集合が存在することになる
→その非可測な集合で球を分割すると、合わせたときに元の球が２つ作れる
ことになる
って話しだよ？
445:１３２人目の素数さん
07/07/09 23:44:39
二年。
446:１３２人目の素数さん
07/08/10 06:19:19
>>444
なんか詳しいみたいだから平面では成り立たないことがどうやったら分かるかを教えてくれ
447:１３２人目の素数さん
07/08/11 08:39:00
>>446
＞>>157
＞ちなみに上記のWに同型な群はSO(1)、SO(2)からは取り出せないそうです。
＞n≧3のSO(n)からは取り出せるそうです。
448:１３２人目の素数さん
07/08/11 20:09:57
>>447は同じ方法では出来ないとは言っているが>>446が尋ねているであろう「どんな方法でもダメ」には答えていないのでは？
449:１３２人目の素数さん
07/08/12 00:56:43
平面では、ルベーグ測度の拡張ですべての集合で定義された有限加法的測度
が存在することが証明できるそうだ。
450:１３２人目の素数さん
07/08/12 02:29:54
その証明過程が知りたいな
バナタルの証明はこのスレで散々出てるけど平面はまだなんだよね
451:１３２人目の素数さん
07/08/12 02:41:15
だって原典がフランス語なんですもの
読めねッスよ
452:１３２人目の素数さん
07/08/12 04:52:19
バナタル……
ダサッｗｗｗ
453:１３２人目の素数さん
07/08/12 17:27:33
フランス語かぁ 自分は第２はドイツ語だったな
もっとも中一英語程度のことしか身に着かなかったけど
454:１３２人目の素数さん
07/08/12 17:48:48
数学を勉強するのに有利だと思って第一をフランス語にしたら、
その後ロジック（独語が圧倒的に有利）とかに興味が移っちまった
455:１３２人目の素数さん
07/08/13 01:27:10
誰か平面版の証明読んだ人いないのー？
456:１３２人目の素数さん
07/08/13 03:16:21
数学を勉強するのに有利だと高校時代の恩師が
言っていたから第二外国語はフランス語とったのに、
フランス語の文献を読むことはついぞ無かった。
457:１３２人目の素数さん
07/08/13 19:15:39
>>454>>456
フランス語とってるならよければ読んで概要教えてくれー
458:１３２人目の素数さん
07/08/14 18:31:53
写経してみたら？
459:459
07/08/14 19:22:13
4+5=9
460:１３２人目の素数さん
07/08/15 22:32:31
写経？
461:１３２人目の素数さん
07/08/15 23:22:39
>>455
平面版はないんだってば
462:１３２人目の素数さん
07/08/15 23:56:49
>>461
逆の証明のことだろ
463:１３２人目の素数さん
07/08/16 04:12:55
>>461
平面なら成り立たないってことの証明ならFundamentaの4巻に載ってるよ
464:１３２人目の素数さん
07/08/23 13:48:16
Banach
465:１３２人目の素数さん
07/08/25 08:01:47
Tarski
466:１３２人目の素数さん
07/08/25 17:25:12
自由群を使うのはいんちき
467:１３２人目の素数さん
07/08/31 05:59:53
フランス語？
468:１３２人目の素数さん
07/08/31 08:50:07
はい。フランス語です。
469:１３２人目の素数さん
07/09/01 03:12:51
>>463の最初の方チラッと読んだら3次元以降はハウスドルフが証明したって書いてあったけど
ハウスドルフ版とバナッハタルスキー版って何が違うの？
470:１３２人目の素数さん
07/09/01 19:35:09
まずおにぎりを作るだろ、そして定理を適用する。
これで食糧問題は解決。
べつにらっきょでもよいだろうし、ゆで卵でも良いかもしれない。
なんにせよ食糧問題は解決。
問題は、質量不変の法則をどうするかだな。こっちを間違えていることにするか。
471:１３２人目の素数さん
07/09/01 19:50:01
位相幾何以前に、ペアノ曲線が二次元を「稠密に覆ってしまう」ってのがそもそもの根源的なパラドクスでしょ？
472:１３２人目の素数さん
07/09/02 02:25:17
>>471
何をパラドクスと感じるかは人それぞれだろう
そもそもRとR^2の間に全単射があること自体がパラドクスだって言う人もいるし
473:１３２人目の素数さん
07/09/03 15:17:22
ここで言うパラドクスとは矛盾を含むという意味ではなくて
直感的ではないという意味でしょ。
それなら、もう、そこは人それぞれでいいんじゃないか。
474:１３２人目の素数さん
07/09/03 16:49:12
とりあえず>470は死ねばいいのにと思う．
475:１３２人目の素数さん
07/09/03 18:12:32
470は可算無限個の棘を構成する方法を発明したのかもしれん。
476:１３２人目の素数さん
07/09/03 18:14:49
>>472
全射だけど単射じゃないでそ？
477:１３２人目の素数さん
07/09/03 22:11:20
>>476
？
478:１３２人目の素数さん
07/09/04 03:56:07
>>476
どして？
479:１３２人目の素数さん
07/09/05 18:19:51
２次元だとどーなの？
480:１３２人目の素数さん
07/09/06 06:41:14
バナッハ・タルスキは甘え
481:１３２人目の素数さん
07/09/08 08:11:36
>>482
ログ嫁
482:１３２人目の素数さん
07/09/08 09:33:22
>>481
読みますた
483:１３２人目の素数さん
07/10/08 00:22:21
まず、連続性が問われるんだ。連続性が。
でさ、思うんだけど、宇宙って膨張してるじゃん？これって・・・・・・
ビッグバン宇宙論が正しいとするだろ。元は1点の宇宙が膨張を続けてるって・・・・。
まさにバナッハ・タルスキ～～～～～～～ん！
484:１３２人目の素数さん
07/10/08 00:24:44
お薬の時間ですよ
485:１３２人目の素数さん
07/10/08 00:36:45
>>484
さっき飲んだけど。
486:１３２人目の素数さん
07/10/30 13:55:26
550
487:１３２人目の素数さん
07/11/27 07:57:45
数理論理学的に言えば、バナッハ・タルスキーの定理が正しいとか正しくないとか言うのはナンセンス。
バナッハ・タルスキーの定理が証明可能になるような公理系もあるし、不可能になるような公理系もある。
ZFCでは証明可能でZFでは証明不可能というだけのこと。
滅茶苦茶な公理系を使えばどんな定理だって証明可能になるわけで、それが正しいとか正しくないとか関係ないし。
要は選択公理を仮定するのとしないのとどちらが良いかという話。
ZFは、バナッハ・タルスキーの定理だけでなく次のようなことも証明できない不便な公理系だから、ふつうはZFCを使う。
*整列可能定理(∀A:集合 ∃≦:順序 s.t. (A,≦):整列集合)
*代数閉包の存在(∀K:体 ∃L⊃K:代数閉体)
*ツォルンの補題(∀(A,≦):帰納的順序集合 ∃a∈A:極大元)
など
488:１３２人目の素数さん
07/11/27 17:43:20
1次元あるいは2次元だと、ちゃんと全部分集合上で定義された
有限加法的測度が存在する。3次元で存在しないのは選択公理
だけの問題ではないよ。
489:１３２人目の素数さん
08/01/12 02:03:17
>>488
＞一次元あるいは～存在する。
証明くれ
490:１３２人目の素数さん
08/01/12 21:26:40
491:１３２人目の素数さん
08/01/13 07:37:42
この世はすべて離散なのに
数学では連続でものごとを考えてるからこんなことになるんじゃないの？
つまり数は有理数までしか拡張してはいけないんじゃないの？
実数まで拡張するからこんなことになるんじゃないの？
492:１３２人目の素数さん
08/01/13 07:39:12
間違えた。
数は整数までしか拡張してはいけない
に訂正
493:１３２人目の素数さん
08/01/13 07:56:21
>>492
訂正したところでお前の書いていることは正しくない。
＞この世はすべて離散なのに
この大前提がねｗｗｗ
494:１３２人目の素数さん
08/01/13 17:37:15
>>493
おれは時間も物も、この世のすべては離散だと思う。
リンゴをこまかく切っていけばもうこれ以上切れないという限界になるはず。
つまり離散なのだ。
もし連続であると仮定すると、リンゴは無限に切れることになり物理学や化学が崩壊する。
495:１３２人目の素数さん
08/01/13 17:40:49
数学では連続で話を進めているからおにぎりが大きくなれるけど
現実は離散だからおにぎりは大きくはならない。
この論理のどこが間違っているというのだろうか。
496:１３２人目の素数さん
08/01/13 17:45:48
おにぎり～
497:１３２人目の素数さん
08/01/13 18:18:13
宇宙が実際にどうなってるか、なんてのはそんなに重要じゃないだろ
重要なのは人間が五感で直接、もしくは道具や機械を使って間接的にどのように認識をするかであって
んで認識の有り様で離散だの連続だのどのようにも言える
そして宇宙の構造をどのように認識すれば美しく感じられるかについては物理学者の言うことが正解だな
498:１３２人目の素数さん
08/01/13 18:44:57
>>494
お前の世界じゃ化学や物理に微分も使わないのか
凄いな
499:１３２人目の素数さん
08/01/13 18:57:13
こういう馬鹿は各階層の数ある構造を満たした集合で、演算なぞ記号間の対応、公理自体はは間違っていても合っていても構わなく、それが真と仮定した時に導出結果も真である対応それ自体の妥当性が問題だと言っても聞かないんだろうな。
500:１３２人目の素数さん
08/01/13 19:06:23
やっぱり連続以前の問題として、無限が問題だべ
この世のすべては有限だろ？
数学では無限で話を進めているからおにぎりが大きくなれるけど
現実は有限だからおにぎりは大きくはならない。
501:１３２人目の素数さん
08/01/14 09:39:48
30cmの定規と30cmの線分は全く別物ということですね。
定規は離散、線分は連続。
そういうことですか？
502:１３２人目の素数さん
08/01/14 09:54:04
>>499
もう少し落ち着いて文章を書いて下さい
503:１３２人目の素数さん
08/01/14 10:51:22
日本語で頼む
504:１３２人目の素数さん
08/01/15 07:10:17
>>501
いいところに気づきましたね。
まさにそういうことです。
この宇宙は数学という言語で記述されているわけではないのでこの定理のようなバグが発生するわけです。
ただ、たとえば身長などを測るときには数直線でもＯＫです。
ニュートン力学と相対性理論のようなものです。
日常生活ではニュートン力学でＯＫなのと同じように。
ただ、数学自体は間違っているわけではないんです。
あくまでもこの宇宙を記述するにはふさわしくないというだけであり、
数学は真か偽か、と問われれば、それは真です。
505:１３２人目の素数さん
08/01/15 21:30:34
>>137-139
506:１３２人目の素数さん
08/01/15 21:55:18
明言はしていないものの、物理が上で数学が下という印象を受ける文ではある。
507:１３２人目の素数さん
08/01/16 01:02:59
そもそもQ^3上でもこの定理が成り立つかどうかさえも分かっていないのに
何を言っているんだ>>137は