整数論の問題を出し合うスレ

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513:１３２人目の素数さん
 09/10/16 23:48:53 
3^4567の下三桁の数字は？

514:１３２人目の素数さん
 09/10/17 06:41:39 
>>512-513  
  
3^100 = 9^50  
　　= (10-1)^50  
　　≡ Ｃ[50,2] 10^2 - Ｃ[50,1] 10^1 + Ｃ[50,0] 10^0　　(←2項展開)  
　　= 1225×100 - 50×10 + 1  
　　≡ 5×100 - 50×10 + 1  
　　= 1,　　　　　　　　(mod 1000) 
  
だから、下二桁を考えれば十分。 
  
3^4798 ≡ {3^(-1)}^2 = (-333)^2 ≡ -111,　(mod 1000)  
3^4567 ≡ 3^67 ≡ 587　(mod 1000)

515:１３２人目の素数さん
 09/10/17 17:25:14 
(1)x+y+z=xyzを満たす整数x,y,zの組を全て求めよ． 
(2)xyz=xy+yz+zxを満たす整数x,y,zの組を全て求めよ． 
(3)x+y+z=xy+yz+zxを満たす整数x,y,zの組を全て求めよ．

516:１３２人目の素数さん
 09/10/17 20:38:34 
>>515  
　nは任意の整数とする。 
  
　(1) x+y+z = xyz,  
　　　(-n, 0, n) → 0,  
　　　(1, 2, 3) → 6,  
　　　(-3, -2, -1) → -6,  
  
　(2) xyz = xy+yz+zx,  
　　　(-n, 1, n) → -n^2,  
　　　(0, 0, n) → 0, 
　　　(3, 3, 3) → 27,  
　　　(2, 4, 4) → 32,  
　　　(2, 3, 6) → 36,  
  
　(3) x+y+z = xy+yz+zx,  
　　　(-n^2, -n, n) → -n^2,  
  
偶数　(0, 2, 2) → 4,  
　　　(-2, 4, 10) → 12,  
　　　(-4, 8, 12) → 16, 
　　　(-4, 6, 26) → 28,  
  
奇数  (-3, 5, 17) → 19,  
　　　(-11, -7, 5) → -13, 
　　　(1, 1, 1) → 3,  
　　　(-1, 3, 5) → 7,  
　　　(-7, 11, 27) → 31, 
　　　(-9, 17, 23) → 31,

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