09/10/16 23:48:53
3^4567の下三桁の数字は？
514:１３２人目の素数さん
09/10/17 06:41:39
>>512-513
3^100 = 9^50
= (10-1)^50
≡ Ｃ[50,2] 10^2 - Ｃ[50,1] 10^1 + Ｃ[50,0] 10^0 (←2項展開)
= 1225×100 - 50×10 + 1
≡ 5×100 - 50×10 + 1
= 1, (mod 1000)
だから、下二桁を考えれば十分。
3^4798 ≡ {3^(-1)}^2 = (-333)^2 ≡ -111, (mod 1000)
3^4567 ≡ 3^67 ≡ 587 (mod 1000)
515:１３２人目の素数さん
09/10/17 17:25:14
(1)x+y+z=xyzを満たす整数x,y,zの組を全て求めよ．
(2)xyz=xy+yz+zxを満たす整数x,y,zの組を全て求めよ．
(3)x+y+z=xy+yz+zxを満たす整数x,y,zの組を全て求めよ．
516:１３２人目の素数さん
09/10/17 20:38:34
>>515
nは任意の整数とする。
(1) x+y+z = xyz,
(-n, 0, n) → 0,
(1, 2, 3) → 6,
(-3, -2, -1) → -6,
(2) xyz = xy+yz+zx,
(-n, 1, n) → -n^2,
(0, 0, n) → 0,
(3, 3, 3) → 27,
(2, 4, 4) → 32,
(2, 3, 6) → 36,
(3) x+y+z = xy+yz+zx,
(-n^2, -n, n) → -n^2,
偶数 (0, 2, 2) → 4,
(-2, 4, 10) → 12,
(-4, 8, 12) → 16,
(-4, 6, 26) → 28,
奇数 (-3, 5, 17) → 19,
(-11, -7, 5) → -13,
(1, 1, 1) → 3,
(-1, 3, 5) → 7,
(-7, 11, 27) → 31,
(-9, 17, 23) → 31,
517:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:37:32
ある自然数nがあり
n=p[1]^(α[1])p[2]^(α[2])…p[k]^(α[k])
と素因数分解出来るとき
Φ(n)=(2^β)f(fは2の素因数を持たない最大の正の整数)
と表せるがβ≧k-1
であることを証明せよ
518:１３２人目の素数さん
09/10/18 15:11:07
φが乗法的、かつ奇素数pに対してφ(p^α)が偶数であることから明らか。
519:１３２人目の素数さん
09/10/19 23:58:44
>>475
Problem 2.
n は自然数とする。
Π_{0<d|n} (d/√n) = 1,
よって xの多項式
1 - Π_{0<d|n} (d-x)/(√n)
は、x=0 のときは =0,
∴ 因数定理により
n{1 - Π_{0<d|n} (d-x)/(√n)} = x･P(x),
と書けて、
0<d|n ⇒ P(d) = n/d,
これが整数係数になるかどうか････が問題････
520:１３２人目の素数さん
09/10/20 00:14:42
>>475
Problem 5.
与式の第1項は、nと共に1つづつ増加する。
第2項または第3項が増加した所で与式に「飛び」が発生する。
それは具体的には
・n=m^2 のとき m^2 +m + [ m^(2/3) ] -1,
・n=m^3 のとき m^3 + [ m√m ] +m -1,
・n=m^6 のとき m^6 +m^3 +m^2 -2, (m^6 +m^3 +m^2 -1 は既出)
521:１３２人目の素数さん
09/10/20 10:00:00
>>515
ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙ＋ｘｚ＋ｙｚ。
（ｘ＋ｚ－１）（ｙ＋ｚ－１）＝ｚ＾２－ｚ＋１。
ｗはｚ＾２－ｚ＋１の約数。
ｘ＝ｗ－ｚ＋１。
ｙ＝（ｚ＾２－ｚ＋１）／ｗ－ｚ＋１。
522:１３２人目の素数さん
09/11/09 19:06:00
次の性質 *) を持つ自然数 n を全て決定せよ。
*) r が n の約数で r+1 が素数なら r+1 も n の約数
**) についてはどうか？
*) r が n の約数で r-1 が素数なら r-1 も n の約数
523:１３２人目の素数さん
09/11/30 10:24:27
4^x+9^y=25^zを満たす整数x,y,zを全て求めよ
524:１３２人目の素数さん
09/12/06 16:58:28
p = 2n + 1 を奇素数とする。
(x -(tan(π/p))^2)*(x -(tan(2π/p))^2)*(x -(tan(3π/p))^2)* ........*(x -(tan(π/p))^2)
は、 x の整係数多項式であり、最高次の係数以外の係数は p の倍数であり、
定数項は p^2 で割り切れない
525:１３２人目の素数さん
09/12/15 23:27:55
整数問題でmod８で解ける問題が多い気がするんですが、なぜ？
526:１３２人目の素数さん
09/12/17 00:17:49
>>522-524
そんな問題も解けない馬鹿ですか？
527:１３２人目の素数さん
10/01/17 10:20:11
>>524
de Moivre の公式から、
sin(pθ) = ∑[k=0,n] (-1)^k C[p,2k+1] (cosθ)^(p-1-2k) (sinθ)^(2k+1)
= (cosθ)^p ∑[k=0,n-1] (-1)^k C[p,2k+1] (tanθ)^(2k+1),
cos(pθ) = ∑[L=0,n] (-1)^L C[p,2L] (cosθ)^(p-2L) (sinθ)^(2L)
= (cosθ)^p ∑[L=0,n] (-1)^L C[p,2L] (tanθ)^(2L),
よって
tan(pθ) = sin(pθ) / cos(pθ)
= (tanθ) {∑[k=0,n] (-1)^(n-k) C[p,2k+1] ((tanθ)^2)^k} / {∑[L=0,n] (-1)^(n-L) [p,2L] ((tanθ)^2)^L}
= (tanθ) F((tanθ)^2) / G((tanθ)^2),
ところで
θ = ±kπ/p, (k=1,2,････,n)
ならば、
tan(pθ)=0, tanθ≠0,
∴ F((tanθ)^2) = ∑[k=0,n-1] (-1)^(n-k) C[p,2k+1] ((tanθ)^2)^k = 0,
ここに
F(x) = ∑[k=0,n] (-1)^(n-k) C[p,2k+1] x^k,
はn次の多項式で、最高次の係数(1)以外の係数はpの倍数であり、定数項(k=0)は (-1)^n C[p,1] = (-1)^n･p,
>>526
すいません。
528:１３２人目の素数さん
10/01/18 03:04:43
>>524
θ = ±kπ/p, (k=1,2,････,n)
ならば、
sin(pθ)=0, sinθ≠0, cosθ≠0,
∴ F((tanθ)^2) = 0,
でもいいな。
529:１３２人目の素数さん
10/02/02 16:49:58
>>527-528
正解
ついでに言うとp が素数のときQ上既約
530:１３２人目の素数さん
10/02/13 11:11:25
ここで聞くのもスレ違いかもしれないけど、
a,b,cが互いに素であり、a^2=b^2+c^2を満たすとき
b-cが素数になるっぽいけど、これって証明されてる？
531:530
10/02/13 11:13:00
ごめん、1か素数だ。
532:１３２人目の素数さん
10/02/13 13:40:30
61＾2=60^2+11^2.
533:530
10/02/13 14:29:13
違ったか。すまん。