05/01/25 17:15:41
>21
(左辺) ≧ tan[π/(2√3)] = 1.278171491830440… を示す。
まず π/(2√3) = 0.90689968211711… = α とおく。
x=y のとき、左辺 = 2 > tanα.
x<y の場合を考える。［y<x の場合も F(x,y)=F(π/2 -x,π/2 -y)なので同様にできる。]
左辺 を x/y の函数で評価するのがミソ(補題1,2)。次に補題3より
(左辺) ≧ tan(πx/4y) + tan{α･cos(πx/6y)} = tan(3u/2) + tan{α･cos(u)} ≧ 3u/2 + tan{α･[1-(1/2)(u^2)]}.
ここに πx/6y =u とおいた。 0<u<π/6 = 0.5235987756… 補題4より、
(左辺) ≧ 3u/2 + tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2 = tan(α) + u(3/2 -1.194260986681u) ≧ tan(α), 等号成立はx=0,y=π/6.
ぬるぽ
【補題1】
0≦x<y<π/2 のとき 1 > sin(x)/sin(y) > x/y.
(略証) sin( ) は上に凸だから、(平均変化率)= {(0,0)－(x,sin(x))の傾き} = sin(x)/x は単調減少。∴ sin(x)/x > sin(y)/y.
【補題2】
0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 cos(x)/cos(y) ≧ cos(cx/y)/cos(c) > 1.
(略証) (y +cx/y) - (c+x) = (y-x)(1 -c/y) ≧0.
(y -cx/y) - (x-c) = (y-x)(1 +c/y) ≧0, (y -cx/y) - (c-x) = (y+x)(1 -c/y) ≧0
∴ |y-cx/y| ≧ |x-c|.
∴ 2cos(y)cos(cx/y) = cos(y+cx/y) + cos(y-cx/y) ≦ cos(c+c) + cos|x-c| = 2cos(c)cos(x). 等号成立は y=c または x=y.
【補題3】
u>0 のとき cos(u)>1 -(1/2)u^2. （← -cos(u)<-1 を2回積分）
【補題4】
0<α,α+θ<π/2 のとき tan(α+θ) ≧ tan(α) + θ/[(cosα)^2]. （←tan()は下に凸）
>29-30
0<y<x ⇒ sin(x)/sin(y) >1 ⇒ 左辺第1項 >1.
0<x<y ⇒ cos(x)/cos(y) >1 ⇒ 左辺第2項 >1.