05/04/15 20:45:24
連続関数 f : I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y)+yf(x)≦1 を満たすとき
∫[0,1]f(x)dx≦π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。
272:１３２人目の素数さん
05/04/16 17:33:01
>271
x=cosθ, y=sinθ とおき 0<θ<π/2 で積分する。等号成立は f(x)=√(1-x^2) のとき
273:１３２人目の素数さん
05/04/18 12:07:27
>272
それならｆは↓を満たせば十分か？
(x,y)∈C に対して xf(y)+yf(x)≦1, ここに C={(x,y)|x>0, y>0, x^2+y^2=1}
そうすると等号条件は↓になるか？
f(x) = p√(1-x^2) + q/{2√(1-x^2)} (ただしp+q=1)
274:１３２人目の素数さん
05/04/23 05:29:47
| a + b√2 + c√3 | < 10^(-11)
を満たす、すべては0でなく、いずれも絶対値が10^6未満の整数 a,b,c が
存在することを示せ。
275:１３２人目の素数さん
05/04/24 01:13:42
>274
A={0,1,2,……,m-1}, S={r+s√2+t√3 | r,s,t∈A} とおく。 #A=m.
r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、#S=(#A)^3=m^3.
Sの任意の要素xは区間 [0,d]の中にある。 d≡(1+√2+√3)(m-1).
この区間を(#S-1)等分すると、Sのある2つの元が同じ小区間内に存在する。 ←鳩ノ巣原理(ディリクレ)
小区間の幅は d/(#S-1) = (1+√2+√3)/(m^2 +m+1) < 4.1462643…/[m(m+1)].
0< |x-y| ≦ d/(#S-1) となるので、x-y, y-xが求めるものである。(終)
秋山＋富蘭:[完全攻略] 数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社(1991.11)
276:１３２人目の素数さん
05/04/25 08:07:38
>274 (補足)
> r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、
【補題】{1,√2,√3}はQ上1次独立
(略証) r+s√2+t√3 = 0, r,s,t∈Qとする。
r,s,tのうちの2つが0なら残りも0.
st≠0 のとき √6 = {r^2 -2s^2 -3t^2}/(2st) ∈Q
s=0, t≠0 のとき √3 = -r/t ∈Q
s≠0, t=0 のとき √2 = -r/s ∈Q
いづれも矛盾なので、 s=t=0, r=0 (終)
277:１３２人目の素数さん
05/04/26 22:05:33
【問題】 \sqrt[3]{10} と \sqrt[3]{3/2}+1 の大小を華麗に評価せよ。
278:ヒラメ
05/04/27 08:18:53
0<b<1 のとき y=x^b は上に凸ゆえ、2{(a+1)/2}^b > a^b +1. a=3/2, b=1/3 とおく。
279:１３２人目の素数さん
05/04/29 09:30:10
(1) f(x)を無限回微分可能な関数、f(-1)=f(1)=0とする。
|∫[-√3,√3]f(x)dx|≦A
を満たす定数Aの最小値を求めよ。
(2) 辺の長さが1の正方形の内部に n (>2) 個の点を取る。このとき、
これらに適当に P(1) , P(2) , ... , P(n) と名前を付けて、
Σ[k=1,n] |P(k-1)P(k)|^2 ≦ 4 とできることを示せ。 但し、P(0)=P(n)
280:１３２人目の素数さん
05/05/04 14:17:53
>>279
|∫[-√3,√3]f(x)dx|
は幾らでも大きくなりうる
281:１３２人目の素数さん
05/05/10 01:14:51
いまさらこんな問題で俺様が釣ら…ｸﾏｰ
URLﾘﾝｸ(www.springer-tokyo.co.jp)
282:１３２人目の素数さん
05/05/11 20:01:14
>281
第８回シュプリンガー数学コンテスト
【問題】
a,b,cを3角形の3辺の長さとする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
3/2 ≦ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≦ 2.
→詳しくは URLﾘﾝｸ(www.springer-tokyo.co.jp)
283:１３２人目の素数さん
05/05/12 08:21:11
>281-282
いまさらこんな問題で俺様が釣ら…
[左側]（Shapiroの巡回不等式）.
(ⅰ) 与式 = 2s{1/(b+c) +1/(c+a) +1/(a+b)} -3 として相加･調和平均.
(ⅱ) f(x)=x/(2s-x) は下に凸. (0<x<2s=a+b+c)
[右側]
三角不等式から (分母) ≧ (a+b+c)/2 =s.
クマー！
284:１３２人目の素数さん
05/05/14 14:51:40
>281-282
[定理]
n≦13と正の数a_kに対して
a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.
[1] H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).
[2] URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
[3] ｢不等式への招待｣, 大関信雄･大関清太, 近代科学社 (1987.10), p.28-30
[類題] [ASU 1969.14]
正の数a_kに対して
a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/3.
[前スレ.497(2) & 501]
285:１３２人目の素数さん
05/05/14 22:01:04
巡回不等式って、なんとなくエロくてたまらん。
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
286:１３２人目の素数さん
05/05/17 01:32:14
(1) [Moldova Olympiads 2002]
3≧a≧b≧c≧0 のとき、
(a- b)/(a^2-9) + (a-c)/(b^2-9) + (b-c)/(c^2-9) ≦ 36
(2) a, b, c > 0、a+b+c=1 のとき、
1/(a+bc+3abc) + 1/(b+ca+3abc) +1/(c+ab+3abc) ≦ 1/(ab+bc+ca+abc)
(3) 0 ≦A, B, C, D ≦ π/2 のとき、
(2+sinA+sinB)/(2+sinB+sinC) + (2+sinC+sinD)/(2+sinD+sinA) ≦ 4(2+sinA+sinC)/(2+sinB+sinD)
ひさびさの不等式ヲタです ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
287:１３２人目の素数さん
05/05/17 01:33:12
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| ネタを仕入れてきました
ヽ::::......ワ...ノ 存分に ﾊｧﾊｧ してください
人つゝ 人,, ﾃﾍｯ！
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
288:１３２人目の素数さん
05/05/18 23:06:26
>286 (2)
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。さらに st+3u=X とおく。
(左辺) = 1/(a^2･s +X) +1/(b^2･s +X) +1/(c^2･s +X)
= {(t^2 -2su)(s^2) +2(s^2 -2t)sX +3X^2}/{(s^3)(u^2) +(t^2 -2su)(s^2)X +(s^2 -2t)sX^2 +X^3}.
(右辺) = ２/(st+u) と思われ...
∴ 2s{(s^3)(u^2) +(t^2 -2su)(s^2)X +(s^2 -2t)sX^2 +X^3} - (st+u){(t^2 -2su)(s^2) +2(s^2 -2t)sX +3X^2}
= …… = (u^2){4(s^3 -4st+9u) +(st-9u)} + 2(s^2)tu(s^2 -3t) ≧0.
∴ (左辺) ≦ (右辺), 等号成立は a=b=c のとき。
ひさびさの ハｧハｧ です。
(1) の左辺は分子が正、分母が負になる洋館
289:286(1)の訂正
05/05/18 23:50:55
条件を書き間違えていました。 0≦a≦b≦c≦3 でした。 （切腹 AA略）
290:１３２人目の素数さん
05/05/19 18:17:41
>289
286(1)は
(b-a)(9-a^2) + (c-a)(9-b^2) + (c-b)(9-c^2) < 36.
を示す問題ぢゃない?
291:１３２人目の素数さん
05/05/19 22:20:55
実は (1) はまだ解いてないから、右辺がいくらになるのか知らな…
292:１３２人目の素数さん
05/05/20 09:58:09
>290 (286(1)+289)
左辺は, aについては単調減少, bについては b=b0=(c+a)/2 で極大.
(左辺) = (c-a){18 -a^2 -b^2 -2b0(c-b)} = (c-a){18 -(3/4)(c-a)^2 -2ac -(b-b0)^2}
= 18t -(3/4)t^3 - ⊿ = f(t) -⊿ = 24√2 - (3/4)(4√2 +t)(2√2 -t)^2 -⊿.
ここに t=c-a≧0, ⊿=t{2ac+(b-b0)^2}≧0.
∴ (左辺) ≦ 24√2 < 34,
等号成立は ⊿=0 より a=0, b=b0=(c+a)/2, c=a+2√2 のとき。
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
293:１３２人目の素数さん
05/05/20 15:31:10
>>292
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
294:１３２人目の素数さん
05/05/21 22:57:18
【Ｑ２】
f(z) = z + Σ[k=2,∞) a_k･z^k は |z|<1で正則な一価函数としまつ。
このとき |a_2|≦2, 等号成立は Koebe函数 z/(1-z)^2 のrotationに限る。
を示してくださいです。
exp(-iθ)･f(exp(iθ)z) を f(z)のrotationとか言うらしい。
ヒント
【面積定理】
g(z) = z + Σ[k=0,∞) b_k/z^k は |z|>1で正則な一価函数とする。このとき
Σ[k=1,∞) k･|b_k|^2 ≦ 1.
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
L.Bieberbach: "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln."
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., p.940-955, (1916).
295:１３２人目の素数さん
05/05/21 23:03:14
【Ｑ４】
f(z) = z + Σ[k=2,∞) a_k･z^k は |z|<1で正則な一価函数としまつ。
このとき |a_4|≦4, 等号成立は Koebe函数 z/(1-z)^2 のrotation に限る。
を示してくださいです。
ヒント
【面積定理の拡張】(Grunsky)
g(z) = z + Σ[k=0,∞) b_k/z^k は |z|>1で正則な一価函数とし、
Ln{[g(w)-g(z)]/(w-z)} = - ΣΣ[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[(w^j)(z^k)] とおく。このとき
|ΣΣ[j=1,N][k=1,N] γ_(j,k)･x_j･x_k| ≦ Σ[k=1,N] (1/k)|x_k|^2.
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
R.Garabedian and M.Schiffer: "A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient." J.Rational Mech.Anal.,４,p.427-465(1955)
L.de Branges: "A proof of the Bieberbach conjecture." Acta Math.,１５４, p.137-152, (1985).
296:294
05/05/22 20:02:26
〔294の補足〕
CをJordan閉曲線とする。Cの内部の面積Sはストークスの公式より
S = ∬ 1 dxdy = ∮_C (xdy-ydx) = -(i/2)∮_C (x-iy)(dx+idy) = -(i/2)∮ z~･dz. (z=x+iy)
また、∂{P'(z)･P(z)~}/∂z~ = P'(z)･P'(z)~ = |P'(z)|^2 より
0 ≦ ∬_C |P'(z)|^2 dxdy = -(i/2)∮_C P'(z)･P(z)~･dz.
〔面積定理〕
円周C(r) = {z,| ∥z∥=r>1}とする。w=g(z) によるC(r)の像D(r)の面積は
S(r) = ∬_D 1･dudv = -(i/2)∮_D w~･dw = -(i/2)∮_C g(z)~･g'(z)･dz
これに g(z) = z + ∑[k=0,∞) b_k/(z^k) を代入し、円周C(r) = { z=r･exp(iθ) | 0<θ<2π} で積分すると、
S(r) = π{r^2 - ∑[k=1,∞) k･|b_k|^2 /r^(2k)}
よって r→1 として所期の不等式を得る。(終)
297:295
05/05/22 21:52:57
〔295の補足〕
〔面積定理の拡張〕(Grunsky)
Ln{[g(ζ)-g(z)]/(ζ-z)} ≡ - ΣΣ[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[(ζ^j)(z^k)]
は {|z|>1,|ζ|>1} で正則であり、γ_(j,k)=γ_(k,j). （Grunsky係数とか言うらしい.）
さて、これをζで微分することにより
ζ･g'(ζ)/[g(ζ)-g(z)] = ζ/(ζ-z) + ∑∑[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[j(ζ^j)(z^k)] ≡ ∑[j=1,∞) F_j(g(z))/ζ^j,
を得る。ここに F_j(g(z)) = z^j + j∑[k=1,∞) γ_(j,k)/(z^k) はg(z)の多項式である。（j次のFaber多項式とか言うらしい.）
F_1(w)=w-b_0, F_2(w)=(w-b_0)^2 -2b_1, …, F_j(w)=w^j + …
N次の多項式P(w)を Faber多項式の一次結合に展開する。係数をλ_k として
P(g(z)) = ∑[k=1,N] (1/k)λ_k･F_k(g(z)) = ∑[k=1,N] (1/k)λ_k･z^k + ∑[k=1,∞) β_j /z^j, β_j = ∑[k=1,N] γ_(k,j)･λ_k.
0 ≦ ∬_D |P'(w)|^2 dudv = -(i/2)∮_D P'(w)･P(w)~･dw = π{∑[k=1,∞) (1/k)|λ_k|^2･r^(2k) - ∑[j=1,∞) j|β_j|^2 /r^(2j)} .
よって r→1 として (左辺) = ∑[j=1,∞) j|β_j|^2 ≦ ∑[k=1,N] (1/k)|λ_k|^2 = (右辺) を得る。
一方、シュワルツの不等式から (左辺)*(右辺) ≧ | ∑[j=1,N]β_j･λ_j |^2.
∴ | ∑∑[j=1,N][k=1,N] γ_(j,k)･λ_j･λ_k | = | ∑[j=1,N] β_j･λ_j | ≦ (右辺).
を得る。（Grunsky不等式とか言うらしい.） (終)
(文献)
小中澤: ｢函数論と不等式｣, 数理科学, ３３(8), 特集･現代の不等式, p.25-29 (1995.8)
R.N.Pederson: "On unitary properties of Grunsky's matrix." Arch. Rational Mech. Anal.,２９, p.370-377, (1968).
298:１３２人目の素数さん
05/05/23 00:28:34
〔294-295 のヒント〕
f(z) を |z|<1 で正則な一価函数とし、g(z) = 1/√f(1/z^2) と置きまつ。
g(z) は |z|>1 で正則な一価函数となる（奇函数）。
ﾛｰﾗﾝ係数の関係は、
b_1=-(1/2)a_2, b_3=(3/8)(a_2)^2 -(1/2)a_3, b_5=(3/4)a_2･a_3 -(5/16)(a_2)^3 -(1/2)a_4,
b_{2k} = 0.
Grunsky係数は、
γ_(1,1) = b_1 = -(1/2)a_2,
γ_(1,3) = γ_(3,1) = b_3 =(3/8)(a_2)^2 -(1/2)a_3,
γ_(3,3) = (1/3)(b_1)^3 + b_1･b_3 + b_5 = -(13/24)(a_2)^3 + a_2･a_3 -(1/2)a_4.
ついでに N=3, λ_1:λ_2:λ_3 = λ:0:1 と置くといいらしい。
299:１３２人目の素数さん
05/05/27 11:00:46
三角函数スレにありますた。
【ネタ】 1994 Russian math. olympiad final round
cos(cos(cos(cos(x)))) > sin(sin(sin(sin(x)))).
|x| ≧ |sin(x)| ≧ |sin(sin(x))| ≧ …….
|t|≦1 ⇒ 0 ≦ cos(t) -√(1-t^2) ≦ 2.
0.0160822310385 = cos(cos(1)) -sin(1) ≦ cos(cos(sin(x))) -sin(sin(x)) ≦ cos(cos(1)) +sin(1) = 1.6990242006543
0 ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) -cos(cos(sin(x))) ≦ cos(cos(cos(1))) -cos(1) = 0.11398748462964
0.1095… ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) - sin(sin(sin(x))) ≦ cos(cos(1)) +sin(sin(1)) = 1.60317735751195
0.16585… ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) - sin(sin(sin(sin(x)))) ≦ cos(cos(1)) +sin(sin(sin(1))) = 1.535983693207
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:734-735番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:879番)
300:１３２人目の素数さん
05/05/27 19:34:49
三角函数スレにありますた。
【ネタ】 x>0 のとき
sin(sin(sin(sin(x)))) < (1/2){tanh(x) +x/(1+x^2)} < sin(sin(tanh(x))) < tanh(tanh(x)) < (1/2){Arctan(x) +x/(1+x^2)} ≦ Arctan(tanh(x)) < π/4.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:880番)
x>0 のとき sin(sin(x)) < tanh(x) < Arctan(x) < Min(x,π/2).
(左) [前スレ.903](3) [前スレ.909]
(中) {tanh(x)} ' = 1/cosh(x)^2 = 1/{1+sinh(x)^2} < 1/(1+x^2) ={Arctan(x)} '.
>294
[298]のようにおくと、b_1=-(1/2)a_2. 面積定理から |b_1|≦1. よって|a_2|≦2 (終)
300げとー.
301:１３２人目の素数さん
05/05/27 21:35:10
しょぼいけど、３問
問 A.371
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
問 387
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
問 3040
URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
302:１３２人目の素数さん
05/05/27 22:23:44
ヽl ヽ l/i ;;;0i｀ ヽ_ ! _,.=-､!ヽ l l l
ﾒ l P''' l i ,;;0jヽ｀l l ! 復刊したんですね
/ i ,' "''''ﾞﾞ jo''' l ｀ | l l
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l l ＼ ｀ ｰ ' ' ' i l !
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i 不等式入門 i. | ./ ○i ヽ /／ i
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く__j ヽ二/ `--､ j l / /
L________________.｀-､_ ＼ l / / URLﾘﾝｸ(www.morikita.co.jp)
303:１３２人目の素数さん
05/05/28 20:23:33
■ 数学ライブラリー教養篇 不等式入門 POD版
元慶應義塾大学教授 渡部隆一／著
A5判・162頁・定価2940円
ISBN4-627-01049-4 C3341 1969年2月発行
■目次
算術平均と幾何平均
凸関数
累乗平均
コーシーの不等式
累乗和
ヘルダーの不等式
ミンコフスキーの不等式
積分に関する不等式
対称式に関する不等式
不等式は数学のほとんどあらゆる部門に現われ，その内容も証明方法もきわめて多種多様である.
しかも，ごく簡単な不等式でさえ，意外に証明のやりにくいものが多い．
本書は，不等式の中でも最も基本的で，かつ，有名な算術平均と幾何平均に関する不等式および，
その仲間と考えられるいくつかの初等的な不等式について解説した．
不等式には，その内容はもちろんであるが，その証明方法にきわめて興味深いものが多いので，
本書ではなるべく多くの証明法を紹介するように努めた．
304:１３２人目の素数さん
05/05/28 20:57:19
>301
問 387.
a,b,c,d は実数で av-bu=1 のとき a^2 +u^2 +b^2 +v^2 + au+bv ≧ √3 を示せ.
a^2 +b^2 =c, u^2 +v^2 =w とおく。
(au+bv)^2 = cw - |av-bu|^2 = cw -1.
(左辺) = c+w +(au+bv) = 2･√(cw) ±√(cw-1)
↓の補題により、 (左辺) ≧ √3, 等号成立は c=w=2/√3, au+bv=-1/√3, av-bu=1 のとき.
(例) a = -b/√3 = u = v/√3 = ±(1/2)√c.
【補題】 x≧1 のとき 2√x -√(x-1) ≧ √3.
(略証) y=√x は上に凸だから
√(x-1) + √3 = √(x-1) + 3･√(1/3) ≦ 4･√(x/4) = 2√x, 等号成立は x=4/3 のとき.(終)
305:１３２人目の素数さん
05/05/30 09:23:16
π(n)をnを超えない素数の個数とする。
n^( π(2n)-π(n) ) ＜ 4^n
を示せ
306:１３２人目の素数さん
05/06/01 11:16:15
【問題】 実数値関数 f(x, y) = (x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3)
のとりうる値の範囲の求め方を、いろいろな方法でキボンヌ。
307:１３２人目の素数さん
05/06/01 15:31:59
>306
とりあえず一つ。
u=(x+2y)/√6, v=(y-x)√(2/3) のように直交変換すると
f(x,y) = (u√6 +3)/(2u^2 +v^2 +3) ≡ g(u,v).
v≠0 のとき |g(u,v)| < |g(u,0)| なので、g(u,0) を考えれば十分。
-(√2-1)/2=a, (√2+1)/2=b とおくと ab=-1.
b(2u^2 +3) - (u√6 +3) = 2b(u +(a/2)√6)^2 ≧0 より g(u,0) ≦ b.
(u√6 +3) -a(2u^2 +3) = -2a(u +(b/2)√6)^2 ≧0 より g(u,0) ≧ a.
∴ a ≦ g(u,0) ≦ b,
等号成立は (u,v)=(-(b/2)√6, 0) 及び (-(a/2)√6, 0).
∴ -0.20710678118655… = a ≦ f(x,y) ≦ b = 1.2071067811865…
308:１３２人目の素数さん
05/06/01 21:59:16
>>306
最大値を求めてみました。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
x+2y = z とおくと、
x^2 + 2y^2 = (z-2y)^2 + 2y^2 = 6(y- z/3)^2 + (z^2)/3
だから、 x = y = z/3 で最小値 (z^2)/3 をとるから、
f(x, y) = (z+3)/(x^2 +2y^2 +3) ≦ (z+3)/{(z^2)/3 +3} = 3(z+3)/(z^2 +9) … [1]
実数 z が変化するとき、[1] の右辺の最大値は、z+3 > 0 の場合を考えればよい。
3(z+3)/(z^2 + 9) = 3(z+3)/{(z+3)^2 -6(z+3) +18} = 3/{(z+3) +18/(z+3) -6} … [2]
z+3 > 0 より、相加平均・相乗平均の関係から、
(z+3) +18/(z+3) ≧ 2・\sqrt{(z+3)・18/(z+3)} = 6√2
が成り立つ。等号は z+3 = 18/(z+3) かつ z+3 > 0 より z = 3√2のとき。 したがって
[2] ≦ 3/(6√2 -6) = (√2 +1)/2 … [3]
以上より、 f(x, y) ≦ (√2 +1)/2 である。
等号成立条件は、 [1]、[3] の両方で等号が成り立つときで x = y = z/3 = √2 -1 のとき。
ゆえに、最大値は f(√2 -1, √2 -1) = (√2 +1)/2
309:１３２人目の素数さん
05/06/02 08:54:54
>301
問 A.371' 実数a,b,cについて a+b+c+1≧0, a+b≦c+1, b+c≦a+1, c+a≦b+1 が与えられている。次を示せ。
a^2 +b^2 +c^2 ≦ 2abc +1.
(略証) a+b+c+1=s, (a+1)-(b+c)=x, (b+1)-(c+a)=y, (c+1)-(a+b)=z とおくと
1-c=(x+y)/2, 1+c=(z+s)/2.
⊿ ≡ (2abc +1) - (a^2 +b^2 +c^2) = (1-c^2) - [(1-c)/2](a+b)^2 - [(1+c)/2](a-b)^2
= [(1-c)/2]{(c+1)^2 -(a+b)^2} + [(1+c)/2]{(1-c)^2 -(a-b)^2}
= [(1-c)/2](a+b+c+1)[c+1-(a+b)] + [(1+c)/2][b+1-(c+a)][a+1-(b+c)]
= (1/4)(x+y)sz + (1/4)xy(z+s) = (xyz+xys+xzs+yzs)/4.
∴ s,x,y,z≧0 ⇒ ⊿≧0.
[307]と[308]の関係は: u√2 =(x+2y)/√3 = z/√3, v = (y-x)√(2/3) = (y- z/3)√6.
ハｧハｧ
310:１３２人目の素数さん
05/06/02 11:39:09
問 366
正の実数x,y,z, xyz=1 のと狐に次が成立つような最大の数r キボンヌ。
(x^2 +y^2 +z^2 +xy+yz+zx)/(√x +√y +√z) ≧r.
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
311:１３２人目の素数さん
05/06/02 13:26:26
しょぼいけど、２問
問 B.3821
正の数a,b,cは正の数で a^2+b^2+c^2=1 とする。次の和の最小値 キボンヌ
S = ab/c + bc/a + ca/b.
問 B.3829
a_1,a_2,……,a_n を正の数とせよ。次を示せ。
Σ[k=1,n] (a_k)^2／(a_k +a_{k+1}) ≧ (1/2)(a_1 + a_2 +……+ a_n).
a_{n+1} = a_1.
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
312:１３２人目の素数さん
05/06/03 10:42:15
>301
問 3040
左辺をF(a,b,c), 1/a-1/b=x, 1/b-1/c=y とおく。
{a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは a<b<c の場合、を示す。
F(a,b,c) - F(a,c,b) = (1+1/a)y,
F(a,b,c) - F(c,b,a) = 2(2+1/b)(x+y),
F(a,b,c) - F(b,a,c) = (3+1/c)x,
F(a,b,c) - F(b,c,a) = (3+1/c)x + (1+1/b)(x+y),
F(a,b,c) - F(c,a,b) = (3+1/b)(x+y) + (1+1/a)y.
∴ {a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは x>0,y>0 のとき。
∴ a<b<c としてよい。a≦2, b≦3, c≦4. F(a,b,c) は a,b,cについて単調減少だから、
F(a,b,c) ≦ F(2,b,c) ≦ F(2,3,c) ≦ F(2,3,4) = (3/2)(7/3)(13/4) = 91/8.
( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ
313:312
05/06/03 10:47:37
問題は↓ですた。
問 3040
3つの相異なる自然数 a,b,c>1 について次を示せ。
(1+1/a)(2+1/b)(3+1/c) ≦ 91/8.
314:１３２人目の素数さん
05/06/03 21:39:00
【abcd不等式(2)】 (saikorodeka)
a,b,c,d≧0 かつ 右辺の各因子≧0 のとき
abcd ≧ (a+b+c-2d)(b+c+d-2a)(c+d+a-2b)(d+a+b-2c).
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
315:１３２人目の素数さん
05/06/06 07:49:56
21.
a,b,c≧0 のとき (bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.
30. （USAMO 1977/5)
0<p≦a,b,c,d,e≦q のとき
(a+b+c+d+e)(1/a +1/b +1/c +1/d +1/e) ≦ 25 + 6(p/q +q/p -2).
URLﾘﾝｸ(mathcircle.berkeley.edu)
316:風あざみ
05/06/07 00:18:44
y_0が偶数のとき
(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。
m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。
よって示された。
317:風あざみ
05/06/07 01:01:14
誤爆スマソ
318:１３２人目の素数さん
05/06/07 18:05:56
このスレは無限に降下する...
【問題】
u,v,x,y∈Ｚ, u^2+v^2=x^2, u^2-v^2=y^2 ⇒ v=0
さくらスレ１６６
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:383番)
証明は >>395-398 をご覧ください.
>>395で仮定した、x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること ・・・※
の証明が知りたければ
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.sakura.ne.jp)
をご覧ください。
319:１３２人目の素数さん
05/06/07 21:41:11
395 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:18:26
>>383
x^2-y^2とx^2+y^2が共に平方数ならばx^2-y^2=ａ^2、x^2+y^2=ｂ^2
したがってｘ^4-ｙ^4=(ｘ^2+ｙ^2)(ｘ^2-ｙ^2)=(ab)^2
したがって、x^4-y^4は平方数である。
以下で、x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないことをいいます。
証明には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること ・・・※
を証明なして使います。
x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。
mod 4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合のみが起こりえます。
y_0が奇数のとき
({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2=u^2、{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2=v^2
とおくとu^4-v^4=(u^2+v^2)(u^2-v^2)={(x_0)(y_0)}^2
(x_0)^2＞u^2={(x_0)}^2+(y_0)^2}/2となってx_0の最小性に反する。
320:１３２人目の素数さん
05/06/07 21:41:32
396 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:19:27
y_0が偶数のとき
(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。
m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。
よって示された。
321:１３２人目の素数さん
05/06/07 21:41:51
398 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:26:01
>>395-396より
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないから、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0あるいはz=0でなければならない。
仮定よりy≠0だからz=0ゆえにx=y
したがって2x^2=b^2よってb/x=√2
よって、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0でなければなりません。
したがって、√2が有理数となって不合理。
322:１３２人目の素数さん
05/06/08 16:44:49
>311
B.3821
A=a^2, B=b^2, C=c^2 の基本対称式をA+B+C=s, AB+BC+CA=t, ABC=u とおく。
t^2 -3su = (AB)^2 +(BC)^2 +(CA)^2 - (A+B+C)ABC = (1/2){A^2(B-C)^2 +B^2(C-A)^2 +C^2(A-B)^2} ≧0.
t ≧ √(3su).
与式 = (AB＋BC+CA)/√(ABC) = t/√u ≧ √(3s).
B.3829
(a_k)^2 /(a_k +a_{k+1}) = (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1} + ⊿_k ≧ (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1}.
これを循環的にたす。
なお、⊿_k = (a_k -a_{k+1})^2 /[4(a_k +a_{k+1})] ≧ 0.
323:１３２人目の素数さん
05/06/08 16:57:56
>315
【21】a,b,c≧0 のとき
(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ (1/3)(a+b+c)^6 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.
(略証) 基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左側)
s^2 -3t = (a+b+c)^2 -3(bc+ca+ab) = (1/2){(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2} ≧0.
∴ t ≦ (1/3)s^2.
(右側)
9(a^3 +b^3 +c^3) = 9{s(s^2 -3t) +3u} = 9s^3 -27st+27u = s^3 +8(s^3 -4st+9u) +5(st-9u).
st-9u = (a+b+c)(bc+ca+ab)-9abc = a(b-c)^2 +b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧0.
s^3 -4st+9u = a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) = a(a-b)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) +c(b-c)^2 ≧0.
(↑ bはa,cの間にあるとしてよい. (a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0)
∴ s^3 ≦ 9(a^3 +b^3 +c^3).
【30】a_1,…,a_n>0 のとき
n^2 ≦ (a_1 + a_2 + … + a_n)(1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_n) ≦ n^2 + N(p/q +q/p -2), N=[(n/2)^2]
(略証)
(中辺) -n^2 = Σ[1≦i<j≦n] (a_i/a_j +a_j/a_i -2) ≡ f(a_1,a_2,…,a_n) とおくと、
f(p,a,q) - 2f(p,q) = f(p,a)+f(a,q)-f(p,q) = -(p+q)(q-a)(a-p)/(paq) ≦0 (反･三角不等式)
また p≦a_1≦a_2≦……≦a_n≦q としても一般性を失わないから
f(a_1,…,a_n) ≦ f(p,a_2,…,a_{n-1},q) ≦ f(p,p,a_3,…,a_{n-2},q,q) ≦ ……
≦ f(p,p,…,p,q,…,q,q) = Nf(p,q) = N(p/q +q/p -2).
nが偶数のとき N=(n/2)^2, nが奇数のとき N={(n+1)/2}{(n-1)/2}=(n^2-1)/4=[(n/2)^2].
324:323
05/06/08 17:04:12
訂正、スマソ
【30】0<p≦a_1,…,a_n≦q のとき
325:１３２人目の素数さん
05/06/13 07:02:57
>>286 (3)
a=sin(A), b=sin(B), c=sin(C), d=sin(D) とおくと 0≦a,b,c,d≦1.
(左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a) ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d)
= 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)] ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)]
= [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d) ≦ 4･[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4･(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺).
等号成立は a=c=0, b=d=1 のとき。
ぬるぽ
326:325
05/06/13 07:44:07
>>286 (3)
【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+b+c)/(2+c+d) + (2+c+d)/(2+d+a) + (2+d+a)/(2+a+b) < 4 +3/2 = 11/2.
(略証) [325]より、(325の左辺) ≦ 2 + 3(a+c)/[2(a+b+c+d)].
327:１３２人目の素数さん
05/06/20 10:57:51
[前スレ.818]の拡張 (saikorodeka)
△ABCの3辺を BC=a, CA=b, AB=c, f(x)を単調減少函数とするとき、
(b+c)cos(A)f(a) +(c+a)cos(B)f(b) + (a+b)cos(C)f(c) ≧ af(a) + bf(b) + cf(c).
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
328:１３２人目の素数さん
05/06/26 19:46:49
>299
cos(cos(cos(cos(x)))) > |sin(sin(sin(sin(x))))|.
(略証)
まず cos(cos(u)) ≧ |sin(u)| が成り立つ。
∵ |t| > |sin(t)| より 1-t^2 < cos(t)^2.
これに t=cos(u)を入れると……. ( 等号成立は u= (n+1/2)π のとき)
|sin(u)| も cos(cos(u)) も 0 ≦ u < π/2 では単調増加.
(左辺) ≧ cos(cos(|sin(x)|)）> |sin(sin(x)| ≧ … ≧ (右辺) または
(左辺) > |sin(cos(cos(x)))| ≧ sin(|sin(x)|) ≧ … ≧ (右辺). (終)
三角函数スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:937番)
出題（不等式）
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
329:１３２人目の素数さん
05/06/27 09:43:28
(続き)
^nでn重合成函数を表わせば
【299の一般化】
cos^(2n)(x) > |sin^n(x)|.
n≧4 のとき cos^(2n)(x) ≧ cos^(2n)(0) > sin^n(π/2) ≧ |sin^n(x)|.
(補足説明)
0≦x≦π/2 では cos^(2n)(x) も |sin^n(x)| も単調増加ゆえ
cos^(2n)(0) ≧ cos^8(0) = 0.722102425026708…
sin^n(π/2) ≦ sin^4(π/2) = 0.678430477358956…
出題（不等式）
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
330:１３２人目の素数さん
05/07/01 12:11:28
問題[3](1) n≧2のとき
π/4 < ∫_[0,1] √{1 -x^n +x^(2n)} dx < 1
URLﾘﾝｸ(www.math.kyushu-u.ac.jp)
九大院、数理学府 H17年度修士 数学基礎科目問題（数学コース）
331:１３２人目の素数さん
05/07/01 19:35:58
>>330
グッジョブ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
332:１３２人目の素数さん
05/07/02 17:13:26
>330 ついでに
【類題】n≧1 のとき
1 -(2-√3)/n < ∫_[0,1] √{1 -x^n +x^(2n)} dx < 1
n=1のときは ∫√(1-x+x^2) dx = (1/2)(x -1/2)√(1-x+x^2) +(3/8)Ln{x -1/2 +√(1-x+x^2)} +c.
I_1 = 1/2 +(3/8)Ln(3) = 0.9119796082505…
n≫1では I_n ～ 1 -1/4n らしい.
hint(?)
3/4 ≦ (3/4) + (1/2-y)^2 = 1-y+y^2 = 1-y(1-y) < 1 (0<y<1).
1-√(1-z) = z/{1+√(1-z)}.
333:１３２人目の素数さん
05/07/04 10:49:50
【220】(saikorodeka)
(π/4)√2=a とおくとき
cos{a*sin(x)} ≧ |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)}.
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
及び 253
334:１３２人目の素数さん
05/07/04 20:30:40
>>333
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
335:１３２人目の素数さん
05/07/04 20:40:53
Prob.390
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
227, 224 など
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
336:１３２人目の素数さん
05/07/06 08:47:06
>333
【220'】(saikorodeka)
0≦a<(π/4)√2 のとき
cos{a*sin(x)} > |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)} ≧ -sin(a),
0 ≦ sin(a) < sin(√2 * π/4) = 0.896018935926807….
出題(不等式)
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
337:１３２人目の素数さん
05/07/06 23:50:36
nCrスレがないので、ここで…
[11164]
URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu)
338:１３２人目の素数さん
05/07/07 10:17:42
【258'】(saikorodeka)
0≦a≦π, |x|≦1 のとき、
2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) + cos{a√(1-x^2)} ≦ 1 +cos(a).
(略証)
(a/2)|x| ≧ sin{(a/2)|x|} ≧ sin(a/2)･|x|
1 -(1/2)(ax)^2 ≦ cos(a|x|) = 1 -2sin{(a/2)x}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･x^2.
1 -(1/2)(a^2)(1-x^2) ≦ cos{a√(1-x^2)} = 1 -2sin{(a/2)√(1-x^2)}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･(1-x^2).
辺々加えて、2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) +cos{a√(1-x^2)} ≦ 2 -2sin(a/2)^2 = 1 +cos(a).
出題(不等式)
URLﾘﾝｸ(post.messages.yahoo.co.jp)
339:１３２人目の素数さん
05/07/08 22:49:36
不等式もあるyo.
[11145]
Ａ(a_1,…,a_n) = (1/n)Σ[i=1,n] a_i
Ｈ(a_1,…,a_k) = k / Σ[j=1,k] 1/a_j
とおく。
n≧1, a_1,…,a_n>0 ⇒ Σ[k=1,n] Ｈ(a_1,…,a_k) ≦ c･n･Ａ(a_1,…,a_n)
が成立つような最小のcをキボンヌ.
Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.4 (Apr 2005)
URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu)
deadline: August 31, 1995
340:１３２人目の素数さん
05/07/09 01:20:39
>>339
問題 [11148] と [11149] にも (´д｀；)ﾊｧﾊｧ しました。まだできてないけど…
341:１３２人目の素数さん
05/07/11 09:09:20
>337
[11164]
左辺 = Σ[1≦i≦j≦k≦n] (-1)^(k+1) Ｃ[n,k] 1/(ij)
= Σ[i=1,n] 1/i Σ[j=i,n] 1/j Σ[k=j,n] (-1)^(k+1) Ｃ[n,k].
に補題↓を3回適用する。
[補題]
1≦x≦n のとき Σ[y=x,n] (-1)^(y+1) Ｃ[n,y] = (-1)^(x+1) Ｃ[n,x] (x/n).
(略証)
左辺に Ｃ[n,y] = Ｃ[n-1,y-1] + Ｃ[n-1,y] を代入する。ただし Ｃ[n-1,n]=0 とする。
次に Ｃ[n-1,x-1]=Ｃ[n,x] (x/n) を使う。(終)
特に x=1 のとき 1+(1-1)^n =1.
(類題)
① Σ[1≦i≦n] (-1)^(i+1) Ｃ[n,i] = 1.
② Σ[1≦i≦j≦n] (-1)^(j+1) Ｃ[n,j] 1/i = 1/n.
④ Σ[i≦i≦j≦k≦L≦n] (-1)^(L+1) Ｃ[n,L] 1/(ijk) = 1/n^3.
⑤ Σ[i≦i≦j≦k≦L≦m≦n] (-1)^(m+1) Ｃ[n,m] 1/(ijkL) = 1/n^4.
342:１３２人目の素数さん
05/07/11 09:18:20
不等式もあるyo.
[11139]
X_n = {1^p +3^p + … + (2n-1)^p}/{(2n+1)^p + … +(4n-1)^p} は
p>1 または p<0 ⇒ 単調増加,
0<p<1 ⇒ 単調減少.
Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.3 (2005 Mar)
URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu)
Y_n = 1 +1/X_n を考え 加比の理を使うらしい...
【加比の理】bd>0 のとき, r=(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
343:１３２人目の素数さん
05/07/11 12:46:36
>>341
すげぇょ！ ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ
344:１３２人目の素数さん
05/07/11 12:47:29
>>342
見た瞬間から (´д｀；)ﾊｧﾊｧ が止まりません！
345:１３２人目の素数さん
05/07/11 13:28:43
まぁ、予想どおりの証明でしたね。
URLﾘﾝｸ(www.springer-tokyo.co.jp)
346:１３２人目の素数さん
05/07/15 11:28:24
【命題268】(math_board_watcher)
f(x)は|x|≦1で正則な解析函数で、マクローリン展開の係数がすべて非負実数かつ
f(0)=0, f(1)=1 のとき
g(x)=x^r (r>0)とおくと, I=[0,1]において
r>1 ⇒ f(g(x)) ≧ g(f(x)).
0<r<1 ⇒ f(g(x)) ≦ g(f(x)).
が成立する。
【系】
f^(-1)(x) [f(x)の逆函数] が命題の条件をみたすなら, I=[0,1]において
r>1 ⇒ f^(-1)(g(x)) ≧ g(f^(-1)(x)) より f(g(x)) ≦ g(f(x)).
0<r<1 ⇒ f^(-1)(g(x)) ≦ g(f^(-1)(x)) より f(g(x)) ≧ g(f(x)).
が得られる。
出題(不等式)
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
347:１３２人目の素数さん
05/07/15 11:31:26
>346
(証明272) の概略
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k) とマクローリン展開されたとする。
f(1)=1 より Σ[k=1,∞)a_k =1.
もし係数a_kがすべて非負実数であれば、Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ g(x)=x^r は下に凸 ⇒
f(g(x)) = Σ[k=1,∞) a_k･{g(x)}^k = Σ[k=1,∞) a_k･g(x^k) > g{Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)} = g(f(x)).
0<r<1 ⇒ g(x)=x^r は上に凸 ⇒
f(g(x)) = Σ[k=1,∞) a_k･{g(x)}^k = Σ[k=1,∞) a_k･g(x^k) < g{Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)} = g(f(x)).
が得られる。
出題(不等式)
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
348:１３２人目の素数さん
05/07/15 12:07:01
>342
【加比の理】
bd>0 ⇔ r=(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
(略証)
ad-bc =⊿ とおく。
(a/b) -r = ⊿/{b(b+d)},
r -(c/d) = ⊿/{d(b+d)}.
を辺々かけて
{(a/b) -r}{r -(c/d)} = ⊿^2 /{bd(b+d)^2}. (終)
349:１３２人目の素数さん
05/07/15 12:55:09
ここの住民は神か？俺なんて手も足も出ないよ。orz
350:１３２人目の素数さん
05/07/15 14:33:31
>342 (補足)
X_nの分母・分子は奇数のp乗の和でつ。
分子 = {1^p +3^p +5^p +… +(2n-3)^p +(2n-1)^p}
分母 = {(2n+1)^p +(2n+3)^p + … +(4n-3)^p +(4n-1)^p}
351:１３２人目の素数さん
05/07/16 18:19:29
The Cauchy-Schwarz Master Classから一問。
[Exercise 12.8] (Weierstrass's Polynomial Product Inequality)
複素数 a_1, a_2, …, a_n と b_1, b_2, …, b_n が
1≦j≦nにおいて |a_j|≦1、 |b_j|≦1 を満たすとき、
|a_1*a_2*…*a_n - b_1*b_2*…*b_n| ≦ ∑ [1≦j≦n] |a_j - b_j|
の証明キボンヌ。
352:１３２人目の素数さん
05/07/16 21:20:34
>351
(左辺) ≦ Σ[1≦j≦n] |b_1･b_2……a_(j-1)･{a_j-b_j}･a_(j+1)……a_(n-1)･a_n| ≦ (右辺). (終)
「Cauchy-Schwarz不等式」専用スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:18-19番)
353:１３２人目の素数さん
05/07/16 21:33:36
>>21
[前スレ.563(7)] [前スレ.973]
0≦x≦1≦m,n に対して、 (1-x^n)^m + {1-(1-x)^m}^n ≧ 1.
(略証)
f(x) = 1 - (1-x)^m とおくと (左辺) = {1-f(x^n)} + f(x)^n.
f(x) の逆函数を f~(x) と書くと、
f~(x) = 1 - (1-x)^(1/m) = (1/m)x + (1/2m)(1-1/m)x^2 + (1/3m)(1-1/m)(1-1/2m)x^3 + ……
a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)m}･a_{k-1} > 0 かつ f~(0)=0, f~(1)=1.
∴ f~(x) は >346 の【命題268】の条件をみたす。
∴ その【系】から, I=[0,1]において, {1-f(x^n)} + f(x)^n ≧ 1. (終)
>352
|b_1･b_2……b_(j-1)･{a_j-b_j}･a_(j+1)……a_(n-1)･a_n|
354:１３２人目の素数さん
05/07/17 22:11:12
今年の数オリの不等式たん(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
解けねーよ！
355:１３２人目の素数さん
05/07/17 22:11:44
>>354
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
356:１３２人目の素数さん
05/07/20 08:35:08
>354-355
[IMO 2005, Problem 3]
正の実数x,y,z があって xyz≧1 とせよ。このとき次を示せ。
(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 0.
(略証) xyz≧1 を使って分子・分母を同次形に直す。
x^5 -x^2 ≧ x^5 -(x^2)xyz = x{x^4 -(x^2)yz} ≧ x{x^4 -(x^2)(y^2+z^2)/2}
≧ x(2x^2 -y^4 -z^4)/4,
0 < x^5 + y^2 +z^2 ≦ x^5 + (y^2 +z^2)xyz = x{x^4 +(y^2 +z^2)yz}
≦ x{x^4 +(1/2)(y^2 +z^2)^2} ≦ x(x^4 +y^4 +z^4).
∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).
これを循環的にたす。等号成立は x=y=z=1 のとき. (終)
357:１３２人目の素数さん
05/07/20 10:14:18
>>356
さすが神！ （３行目は x(2x^4 -y^4 -z^4)/4 でつね）
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／ .｀´ ＼
('A`) 相加相乗かぁ！ ﾊｧﾊｧ…
ノヽノヽ
くく
358:１３２人目の素数さん
05/07/20 20:27:24
>355
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
ご参考
359:１３２人目の素数さん
05/07/21 08:18:38
＞ ∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).
ここがよくわからん。負の場合もOKなの？
360:356
05/07/21 11:27:22
>359 訂正、スマソ
(略証) (L.Radzivilovsky) 分子の符号によらず,
(x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (x^5 -x^2)/{x^5+(y^2+z^2)x^3} = (x^2 -1/x)/(x^2+y^2+z^2).
これを循環的にたす。 xyz≧1 を使って、
(左辺) ≧ (x^2+y^2+z^2 -1/x 1/y -1/z)/(x^2+y^2+z^2) ≧ {(yz-1/x)+(zx-1/y)+(xy-1/z)}/(x^2+y^2+z^2) ≧0.
または、分母をコーシーして 1/x ≦ yz ≦ (y^2+z^2)/2 を使う。(iandrei2)
(x^5+y^2+z^2)(1/x+y^2+z^2) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2.
Problem3 IMO2005
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
361:１３２人目の素数さん
05/07/21 12:35:13
Σ(ﾟДﾟ) そっか、負の場合を考えてなかった…
362:１３２人目の素数さん
05/07/21 13:11:41
>>360
リンク先の掲示板見て、外国も2chと一緒だなと思った。
夏厨が沸いてるな
363:１３２人目の素数さん
05/07/22 18:07:39
>354-355
n変数の場合は↓かな。。。
Ａ_i = {(x_i)^(2n-1) -(x_i)^(n-1)}/{(x_i)^(2n-1) +Σ[j≠i] (x_j)^(n-1)}
とおけば A_1 +…+ A_n ≧ 0.
364:356
05/07/23 18:25:47
>361
[356]の補足(Ra Mla F)
xyz≧1を使って
x(x^4+y^4+z^4) ≧ x^5 +y^2 +z^2 ≧ x^4 /yz +y^2 +z^2 ≧ x(x+y+z).
これらより
(x^5)/(x^5+y^2+z^2) ≧(x^4)/(x^4+y^4+z^4), x/(x+y+z)≧(x^2)/(x^5+y^2+z^2).
循環的にたすと Σ'(x^5)/(x^5+y^2+z^2) ≧ 1 ≧ Σ'(x^2)/(x^5+y^2+z^2).
365:356
05/07/23 19:34:12
>364
【補題】(Vasc-Petrov)
x_1･x_2……x_n≧1, p>1のとき s={(n-1)p+1}/n とおくと
(x_1^p)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ (x_1^s)/{(x_1)^s +……+ (x_n)^s}.
(略証)
1<s<p だから (x_2)^s +……+(x_n)^s ≧ (x_2……x_n)^(p-s)･(x_2+……+x_n) ≧ (1/x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n).
これに (x_1)^s を加えて整理する。(終)
366:１３２人目の素数さん
05/07/25 13:43:35
>342,350
[11139]
X_n = {1^p +3^p +……+(2n-3)^p +(2n-1)^p} / {(2n+1)^p +(2n+3)^p +……+(4n-1)^p},
Y_n = 1 + 1/X_n = {1^p +3^p +……+(4n-3)^p +(4n-1)^p}/{1^p +3^p +……+(2n-3)^p +(2n-1)^p}
= (a_1 +a_2 +……+a_n)/(b_1 +b_2 +…… +b_n),
ここに a_k = (4k-3)^p +(4k-1)^p, b_k = (2k-1)^p とおいた。
a_k / b_k = (2^p)[(1-δ)^p +(1+δ)^p] = 2^(p+1)f(δ), δ=1/{2(2k-1)} →0 (k→∞).
p>1 または p<0 ⇒ f(δ)は下に凸の偶函数、 a_k/b_k は単調減少 → 2^(p+1)、
加比の理から Y_nも単調減少→2^(p+1)、X_nは単調増加。
0<p<1 ⇒ f(δ)は上に凸の偶函数、 a_k/b_k は単調増加 → 2^(p+1)、
加比の理から Y_nも単調増加→2^(p+1)、X_nは単調減少。
367:１３２人目の素数さん
05/07/26 12:14:25
>>323 の簡略版
1 ≦ A/H ≦ 1 + L(p/q +q/p -2), L=1/4.
(略証)
0 ≦ Σ(q-a_k)(a_k-p)/a_k = Σ(p+q-a_k-pq/a_k) = n(p+q-A-pq/H).
∴ A/H ≦ (A +pq/H)^2 /(4pq) ≦ (p+q)^2/(4pq) = 1 +(p-q)^2 /(4pq) = 1 + (1/4)(p/q +q/p -2).
出題(不等式)
URLﾘﾝｸ(post.messages.yahoo.co.jp)
368:１３２人目の素数さん
05/07/27 08:13:13
>365 を拡充しますた。
【補題】(Vasc-Petrov)
x_k>0, Ｇ^n = x_1･x_2……x_n ≧1 とする。
(i) p>1 ならば (x_1^p)/(x_1^p +x_2 +…… +x_n) ≧ (x_1^s)/{(x_1)^s +…… +(x_n)^s}.
ここに、s={(n-1)p+1}/n.
(ii) 1<q<n+1 ならば x_1/(x_1^q +x_2 +…… +x_n) ≦ (x_1^r)/{(x_1)^r +…… +(x_n)^r}.
ここに、r=1 -(q-1)/n.
(略証)
(i) 1<s<p だから 相加･相乗平均より
(x_2)^s +(x_3)^s +…… +(x_n)^s ≧ (n-1)(Ｇ^n /x_1)^(s/(n-1)).
に(1 -1/s)を掛ける。また、
(1 -1/s)･(Ｇ^n /x_1)^(s/(n-1)) + (1/s)(x_k)^s ≧ (Ｇ^n /x_1)^(p-s)･x_k (k=2,3,…,n)
辺々加えて
(x_2)^s +(x_3)^s +…… +(x_n)^s ≧ (Ｇ^n /x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n) ≧ (1/x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n).
これを (x_1)^s で割って 1をたす。
{(x_1)^s +(x_2)^s +…… +(x_n)^s}/(x_1)^s ≧ {(x_1)^p +x_2 +…… +x_n}/(x_1)^p.
(ii) 0<r<1 だから 相加･相乗平均より
(x_1)^q +(1-r)(x_2+x_3+……+x_n) ≧ {1+(n-1)(1-r)}x_1･Ｇ^{n(q-1)/((n-1)q+1)} ≧ {1+(n-1)(1-r)}x_1.
(1-r)x_1 + r･x_k ≧ (x_1)^(1-r)･(x_k)^r (k=2,3,…,n)
辺々加えて
(x_1)^q + x_2 +x_3 +…… +x_n ≧ x_1･{(x_2)^r +(x_3)^r +…… +(x_n)^r}/(x_1)^r. (終)
369:１３２人目の素数さん
05/07/27 13:52:20
すげぇ Σ(ﾟдﾟ；)！
さすが神！ そこに痺れる憧れるぅ～
370:１３２人目の素数さん
05/07/31 11:26:33
(問題) 0<r<1, Ｓ_k = Σ[n=1,∞) (n^k)(r^n)/(1-r^n) とおくとき
Ｓ_0 > r/(1-r),
Ｓ_1 > r/(1-r)^2,
Ｓ_2 > r(1+r)/(1-r)^3,
Ｓ_3 > r(1+4r+r^2)/(1-r)^4,
Ｓ_4 > r(1+11r+11r^2+r^3)/(1-r)^5,
Ｓ_5 > r(1+26r+66r^2+26r^3+r^4)/(1-r)^6.
を示してくださいです。
---------------------------------------------------
(例) r=exp(-2π) のときは
Ｓ_1 =(1/24)- 1/(3π) = 0.0018779308936928…,
Ｓ_3 = (1/80)(ω/π)^4 -1/240 = 0.0018990120511196…,
Ｓ_5 = 1/504 = 0.0001984126984126984…
らしいです。。。
ω =∫_[0,1] 2/√(1-x^4) dx = Γ(1/4)^2 /√(8π) = 2.6220575546888…
371:１３２人目の素数さん
05/07/31 12:37:21
>360,363 を拡充しますた。
【補題】(L.Radzivilovsky)
Ｇ^n = x_1･x_2……x_n≧1, 1≦p≦(2n-1)/(n-1) のとき s={(n-1)p+1}/n とおくと
Σ' (x_1^p -x_1)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ 0
(略証) x_1 -1 の符号によらず
(x_1^p -x_1)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ (x_1^p -x_1)/{x_1^p +(x_2+……+x_n)x_1^(p-1)}
= {x_1 -x_1^(2-p)}/(x_1 +x_2 +……+x_n).
ところで s={(n-1)p+1}/n とおくと
(2-s)x_1 + ((p-1)/n)(x_2 +…+x_n) = (2-p)x_1 +(p-1)Ａ ≧ (2-p)x_1 +(p-1)Ｇ
≧ x_1^(2-p)･Ｇ^(p-1) ≧ x_1^(2-p).
循環的に加えて、x_1 +x_2 +… +x_n ≧ x_1^(2-p) +x_2^(2-p) +… +x_n^(2-p). (終)
>370
Ｓ_5 = 1/504 = 0.001984126984126984…
372:１３２人目の素数さん
05/08/02 22:58:47
(1) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、
2 ≦ √{(1-a)/(1+a)} + √{(1-b)/(1+b)}+ √{(1-b)/(1+b)}+ ≦ 1 + 2/√3
(2) 正の実数 a, b, c, d が a+b+c+d=1 をみたすとき、
abcd/{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)} ≦ 16(abc+bcd+cda+dab)/81
(3) 非負実数 a, b, c に対して
a^3+b^3+c^3+3abc ≧ ab√(2a^2+2b^2) + bc√(2b^2+2c^2) + ca√(2c^2+2a^2)
(4) 非負実数 a, b, c に対して
(a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}
(5) 0 < a, b, c < 1、ab+bc+ca=1 に対して、a+b+c+abc のとりうる値の範囲をキボンヌ。
URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
(1)は凸不等式だろうけど、エレガントなのはないでしょうか？
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| 軽めのネタを仕入れてきました
ヽ::::......ワ...ノ
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
373:おまけ
05/08/03 08:15:59
(6) a, b, c≧0、x > 0 のとき、 x^a + x^b + x^c ≦ x^(a+b+c) +2
(7) a, b, c≧1 のとき、 2^(a+b+c+1) ≧ 2^(a+b) +2^(b+c) +2^(c+a) +4
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
374:１３２人目の素数さん
05/08/03 17:08:51
>>373
(6)の下限は、これでいいですか？
3・x^((a+b+c)/3) ≦ …
375:１３２人目の素数さん
05/08/03 21:03:54
まず ｢おまけ｣ から
(6) 相加･相乗平均、
右側は x^a ≦ {a･x^(a+b+c) +b +c}/(a+b+c) を循環的にたす。
(7) a,b,c≧1 より
2^(a+b+c-1) ≧ 2^(a+b), 2^(b+c), 2^(c+a), 2^2.
辺々たす。
ぬるぽ
376:１３２人目の素数さん
05/08/03 22:38:39
>>373
(6) 右側の別解
a, b, c≧0、x > 0 に対し、 x^a + x^b ≦ x^(a+b) + 1 … (☆) を示す。
x = 1 のとき、等号成立
x > 1 のとき、x^a, x^b≧1、x < 1 のとき、x^a, x^b≦1 でどちらの場合も
x^(a+b) + 1 - (x^a + x^b) = (1-x^a)(1-x^b) ≧ 0
(☆) を２回用いて示すべき不等式をゲット。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
377:１３２人目の素数さん
05/08/04 22:30:16
>372(5) [問.2971]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
題意より、1-s+t-u = (1-a)(1-b)(1-c)>0, ∴ s+u<1+t=2.
a,b,cのいずれか→1 のとき上限 2.
I(a,b,c;k) = (a+b+c) +abc -k(ab+bc+ca-1) とおいて極値を求める。
∂I/∂a = 1 + bc - k(b+c), などより k=(3+t)/2s = 2/s,
a=b=c=1/√3 のとき最小値 10/(3√3).
378:１３２人目の素数さん
05/08/05 23:15:40
使えそうで使えない不等式を、チラシの裏に書き留めておこう。
証明は、差を取って Lagrangeの恒等式を…。
(1+a^2+b^2)(1+c^2+d^2) ≧ (a-c)^2+(b-d)^2
379:１３２人目の素数さん
05/08/06 10:09:22
>378
ラグランジュの恒等式
(x^2+a^2+b^2)(y^2+c^2+d^2) = (xy+ac+bd)^2 + {(ay-cx)^2 + (by-dx)^2 +(ad-bc)^2}
で x=y=1 とおく。
380:１３２人目の素数さん
05/08/07 06:22:13
Lagrangeの恒等式って、n（≧5）文字でも成り立つんだろうか？
381:１３２人目の素数さん
05/08/07 07:10:50
不等式の証明に使えそうで使えない （？） 等式
P=ax+by+cz, Q=ay+bz+cx, R=az+bx+cy のとき、
(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz) = P^3+Q^3+R^3-3PQR
382:１３２人目の素数さん
05/08/07 20:48:02
>380
{∑[i=1,n] (x_i)^2}{∑[j=1,n] (y_j)^2} = {∑[k=1,n] x_k･y_k }^2 + ∑[1≦i<j≦n] (x_i･y_j-x_j･y_i)^2.
>381
x^3+y^3+z^3-3xyz =
｜x y z｜
｜z x y｜
｜y z x｜
383:１３２人目の素数さん
05/08/07 20:55:04
>380
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
384:１３２人目の素数さん
05/08/07 20:59:05
>>382-383
㌧㌧クス。
行列式とはエレガントですな。
昼間、置き換えたりしながらゴリゴリ展開して苦戦してたのが馬鹿だった…
385:１３２人目の素数さん
05/08/07 21:09:46
>>377
最小値は、他の方法では出せないでしょうか？
1/a, 1/b 1/c を tanA, tanB, tanC (π/4 < A, B, C < π/2) とおくと
条件式は A+B+C=π となったけど、a+b+c+abc が簡単になりそうにな…
386:１３２人目の素数さん
05/08/10 03:35:53
>>385
(a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) = 3、 a+b+c > 0 より
a+b+c ≧ √3
1-a, 1-b, 1-c > 0 より、相加相乗と上述の不等式から
0 < (1-a)(1-b)(1-c) ≦ (1/27)(3-a-b-c)^3 ≦ 2 - 10/(3√3)
(1-a)(1-b)(1-c) = 2-(a+b+c+abc) を代入してポン！
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
387:１３２人目の素数さん
05/08/11 04:24:44
>>372
> (4) 非負実数 a, b, c に対して
> (a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて
（左辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+9s^2t^2-36stu+12s^3u
（右辺） = 2(s^2t^2-stu-2t^3)
（左辺）-（右辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+7s^2t^2-34stu+12s^3u+4t^3
ここから、うまくでけん。 次が出てくるように括ればいいんだろうけど
s^2-3t≧0, st-9u≧0, 2s^3-7st+9u≧0, s^3-4st+9u≧0, t^2-3su≧0, …
388:１３２人目の素数さん
05/08/11 06:02:18
>>387
間違ってた…
（左辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+9s^2t^2-36stu+36u^2
（左辺）-（右辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+7s^2t^2-34stu-4t^3+36u^2
389:１３２人目の素数さん
05/08/15 19:42:27
(a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3b + b^3c + c^3a)
の証明が20％くらいできません！ おねがいします！
390:１３２人目の素数さん
05/08/15 23:39:54
初歩ですみません．次の不等式の導き方が分かりません．
Σ[i=1,n]|a_i| ≦ n^(1/2)(Σ[i=1,n](a_i)^2)^(1/2)
また，こういうものまで網羅している不等式の本てあるのでしょうか？
>>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした．
391:１３２人目の素数さん
05/08/16 06:36:29
>>390
コーシーシュワルツの不等式そのまんま。
つ 参考文献 [5] ほか高校の参考書を嫁
392:１３２人目の素数さん
05/08/16 07:30:59
>>391
ありがとうございます．そのまんまでしたね．
393:１３２人目の素数さん
05/08/16 10:56:52
>>390
> >>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした．
読んでいない証拠
夏休みの宿題は質問スレに行け
二度と来るな
394:390=392
05/08/16 16:29:24
>393
初めてなのに釣れたっ！
これからも私の宿題をお願いしますね、電卓さん！
395:１３２人目の素数さん
05/08/16 18:12:26
まあ、工房がシュプリンガー読むわけないわね。
396:１３２人目の素数さん
05/08/16 23:23:51
>>389
見た目は簡単なのに、その証明のなんと難しいことよ。
397:１３２人目の素数さん
05/08/17 00:26:35
>>389
(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 3(a^3b + b^3c + c^3a)
= a^2(a-b)(a-2b) + b^2(b-c)(b-2c) + c^2(c-a)(c-2a)
これが0以上であることを示せれば…。
とりあえず a≧b≧c≧0 として、Schurの不等式のときみたいに考えたけど、うまくいかない
不等式オタどもはお盆休みなのか？
398:１３２人目の素数さん
05/08/17 11:42:10
>>35-36
ムーアヘッドの不等式がイマイチよく分かりません。
簡単な不等式の例で説明してもらえると嬉しいです。
399:１３２人目の素数さん
05/08/17 22:43:20
>372(4), 387-388
>>38 の補題を使いますた。>>1 の参考書[1]の定理80.
【補題】
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b)
= (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) +(c^n)(b-c)^2 ≧0.
(略証) bがa,cの中間にあるとすると、 a^n -b^n +c^n ≧0, (a-b)(b-c)≧0. (終)
(左辺) = (s^3 -3st+6u)^2 = (s^3 -3st+6u)(F_1 +st-3u).
(左辺) -(右辺) = (s^3 -3st+6u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0.
残りの項Rも同様にして
R ≡ ab(a^2 +b^2 -c^2)(a-b)^2 +bc(b^2 +c^2 -a^2)(b-c)^2 +ca(c^2 +a^2 -b^2)(c-a)^2
= X(a-b)(a-c) + Y(b-a)(b-c) +Z(c-a)(c-b)
= X(a-b)^2 + (X-Y+Z)(a-b)(b-c) +Z(b-c)^2 ≧0.
ここに X={(b+c)a^2 +(b-c)(b^2 -c^2)}a≧0, Y={(c+a)b^2 +(c-a)(c^2 -a^2)}b≧0, Z={(a+b)c^2 +(a-b)(a^2-b^2)}c≧0.
〔∵ bはa,cの中間にあるとすると X-Y+Z =2ac(a^2 -b^2 +c^2) ≧0, (a-b)(b-c)≧0.〕
>372(3)
(4)の右辺にコーシーを適用。
400:１３２人目の素数さん
05/08/17 23:20:03
>>398
例えば 「数学ライブラリー教養篇 不等式入門 POD版」（>>303） P.150 問１(1)
2(a^6) + 2(b^6) + 2(c^6)
≧ (a^4)(b^2) + (a^4)(c^2) + (b^4)(c^2) + (b^4)(a^2) + (c^4)(a^2) + (c^4)(b^2)
≧ (a^3)(b^2)c + (a^3)(c^2)b + (b^3)(c^2)a + (b^3)(a^2)c + (c^3)(a^2)b + (c^3)(b^2)a
≧ 6(a^2)(b^2)(c^2)
[p, q, r] = (a^p)(b^q)(c^r) + (a^p)(c^q)(b^r) + (b^p)(c^q)(a^r) + (b^p)(a^q)(c^r) + (c^p)(a^q)(b^r) + (c^p)(b^q)(a^r)
で表すと、(6, 0, 0) ゝ(4, 2, 0) ゝ(3, 2, 1) ゝ(2, 2, 2) だから、Muirhead の不等式から
[6, 0, 0] ≧ [4, 2, 0] ≧ [3, 2, 1] ≧ (2, 2, 2)
401:１３２人目の素数さん
05/08/17 23:40:16
>>399
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━!!!!!!!!!!
(4)の右辺にコーシー使ったら(3)になるなんて気づきませんでした ( ﾟ∀ﾟ)！
>>38
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0 について。
〔Schurの不等式〕
任意の実数 r と、正の数 x, y, z に対して
F_r ≡ (a^r)(a-b)(a-c) + (b^r)(b-c)(b-a) +(c^r)(c-a)(c-b) ≧ 0
証明は、>>1 の参考書[3]のPP.27-28。
402:１３２人目の素数さん
05/08/18 06:42:48
>399
(左辺) -(右辺) = t･F_2 +(s^3 -3st+4u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
403:１３２人目の素数さん
05/08/18 13:37:36
>>399
それにしても凄いな！
いま計算を追っているけど、とても自分では思いつかないなぁ…
404:１３２人目の素数さん
05/08/20 10:16:42
>389, 396-397
等号成立は [a,b,c]=[1,1,1] または [a,b,c]=[1, t, (1/t)(1-t)^2] のとき（4つ）
ただし、tは (t-2)^3 -7(t-2) -7=0 の根、0.307978528369905…, 0.643104132107791…, 5.04891733952231…。
405:１３２人目の素数さん
05/08/20 12:47:54
>>404
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
等号成立条件に変なのが入っているので
（左辺）-（右辺） = A(a-b)^2+B(b-c)^2+C(c-a)^2 ≧ 0
になるとは限らないんでしょうね
('A`)
406:１３２人目の素数さん
05/08/22 21:39:51
>389
a,b,cの基本対称式をs,t,uとする。
(左辺)-(右辺) = (a^2+b^2+c^2)^2 -3(a^3b+b^3c+c^3a)
= (s^2 -2t)^2 +3t^2 -3s(u+a^2b+b^2c+c^2a) ……(1)
これは対称式ぢゃないんですぅ…。そこで、
>404 のゼロ方向(3つ)は1次独立なので、それをX,Y,Z軸とする（斜交軸）。
a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
これを(1)に代入すると、うまく対称式になりますた。
(左辺)-(右辺) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2} ≧0.
等号成立は [X,Y,Z]= [1,1,1], [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] のとき.
ぬるぽ
407:１３２人目の素数さん
05/08/22 21:47:03
>406
Q: (a,b,c) ⇔ 反変成分(X,Y,Z) の1次変換
a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
に出てくる p,q,r って何?
A:〔補足説明〕
・3軸の向き（ゼロ方位）を
X軸: [a,b,c]=[p,q,r]
Y軸: [a,b,c]=[r,p,q]
Z軸: [a,b,c]=[q,r,p]
としますた。
p=0.34929169541609…, q=0.10757434232607…, r=0.54313396225783…
（ θ^3 -θ^2 +(2/7)θ -(1/49)=0 の3根.）
・基本対称式の関係
X,Y,Zの基本対称式をS,T,Uとすると ｓ＝S, t=(T+2S^2)/7, u+a^2b+b^2c+c^2a=(U+S^3)/7.
これを(1)に代入すると
(左辺)-(右辺) = (1/7)(T^2 -3SU) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2}.
・X,Y,Zは負のこともある。
408:１３２人目の素数さん
05/08/22 22:39:45
>>406-406
まず >404 のゼロ方向や、3軸の向き（ゼロ方位）という言葉がよく分かりません。
つぎに [a,b,c]=[p,q,r] これは、何かの演算が等しいってことですか？
409:406
05/08/24 02:47:46
>408
ゼロ方向は、(1変数の)ゼロ点と同じ意味。
[a,b,c]はデカルト座標（3Dグラフを考えますた。）
[1,1,1]方向から見ると、X,Y,Z軸はc,a,b軸から33.6311315…°程ずれている。
これを一致させて対称性を回復する所が本題のミソ。
410:１３２人目の素数さん
05/08/28 00:49:39
保守あげ
411:１３２人目の素数さん
05/08/28 19:44:24
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問より
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
81 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/08/23(火) 15:59:35
> e^{e^(e-1)-e}<(e-1)^{e^e-e^(e-1)} を示せ。ただし、eは自然対数の底
131 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/08/28(日) 16:27:44
> >>81ってホントに問題あってるの？計算機で計算したらすげー値に開きが
> あるんだけど。こんなに開いてるならスゲーラフな評価でできるとおもうんだけど。
> どっかまちがってんじゃね？
412:406
05/08/30 06:34:25
>389
こんどは直交軸だけで解いてみますた... 直交変換を次のようにおく。
a=p'X'+r'Y'+q'Z', b=q'X'+p'Y'+r'Z', c=r'X'+q'Y'+p'Z'
ここに、p'､q'､r'は θ'^3 -θ'^2 +(1+2√7)/(27√7) =0 の3根.{ [1,1,1]軸のまわりの回転 }
・基本対称式の関係
X',Y',Z' の基本対称式を S',T',U' とおくと、s=S', t=T'. また u+a^2･b+b^2･c+c^2･a については、
(X'^2･Y'+Y'^2･Z'+Z'^2･X') の係数 (p'^3+q'^3+r'^3 +6p'q'r') +(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)と
(X'･Y'^2+Y'･Z'^2+Z'･X'^2) の係数 (p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') +3(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)
が等しいとおくと、4(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') + 5(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2) = (p'+q'+q')^3, 係数は (4-√7)/9.
p'q'r'+p'^2･q'+q'^2･r'+r'^2･p'= (1+2√7)/27, (p'^3+q'^3+r'^3 +3p'q'r') + 6(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') = (11+4√7)/9 より、
u+a^2･b+b^2･c+c^2･a = ((1+2√7)/27)(S'^3 -3S'T'+3U') -((4-√7)/9)(S'T'-3U') +(√7)U'
= ((1+2√7)/27)S'^3 -{(√7 -1)/3}S'T' +(√7)U' = (1/7)(U +S'^3).
これを(1)に代入すると
(左辺)-(右辺) = (S'^2 -2T')^2 +3T'^2 -(3/7)S'(U+S'^3)
= (1/7){(7T'-2S'^2)^2 -3S'U}
= (1/2)[X^2(Y'-Z')^2 +Y^2(Z'-X')^2 +Z^2(X'-Y')^2］≧0.
ここで、X=(X'-S/3)√7 +S/3, Y=(Y'-S/3)√7 +S/3, Z=(Z'-S/3)√7 +S/3.
U = XYZ = (7√7)U'-(7/3)(√7 -1)S'T' +{2(7√7-10)/27}S'^3.
>406 と同じことだが。
413:１３２人目の素数さん
05/08/30 21:40:33
>>354
大数９月号に解説が載っていたので買っていた （ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ？）
示すべき不等式を
(x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^5+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≦ 3 … (1)
として、Cauchyの不等式を用いて
(x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) ≦ (yz+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)
を示し、巡回させて和をとると
(1)の左辺 ≦ 2 + (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2) ≦ 3
----------------------------------------------------------------------
より強い不等式が載っていた。証明は同様にするらしいけど… ('A`) お願いします。
正の実数x,y,z が xyz≧1 をみたすとき、
(x^5)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 1 ≧ (x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^2)/(x^2+y^2+z^5)
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
414:１３２人目の素数さん
05/08/30 21:58:37
>>413
>>364
415:１３２人目の素数さん
05/08/31 00:35:43
Σ(ﾟДﾟ) ﾊｯ！
416:１３２人目の素数さん
05/09/06 12:00:05
ager
417:１３２人目の素数さん
05/09/09 04:24:39
「数学オリンピック２」 スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:134番)
> 134 名前：sage[] 投稿日：2005/09/08(木) 12:00:58
>
> 微積分不等式
>
> x0, 1, x2, …,xn を x0 + x1 + x2 + … + xn = 1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．
>
> ∑( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) ) < π / 2
>
> 解答
>
> ∑( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) )
> < ∫( 0 , 1 ) dt / ( √ ( 1 - t^2 ) )
> = π / 2
418:１３２人目の素数さん
05/09/10 16:54:49
>417
∑(i=0,1,…,n) ぢゃないか?
解答
x_0 + x_1 + … + x_{i-1} = sin(θ_i) とおくと、0 = θ_0 < θ_1 < … < θ_n < θ_(n+1) = π/2.
(左辺) = ∑[i=0,n] {sin(θ_(i+1)) - sin(θ_i)} / cos(θ_i).
ところで、{sin(Ａ+⊿)-sinＡ}/cosＡ = sin⊿ - (1-cos⊿)tanＡ < sin⊿ < ⊿.
(左辺) < ∑[i=0,n] {θ_(i+1)) -θ_i} = θ_(n+1) - θ_0 = π/2.
ぬるぽ
419:１３２人目の素数さん
05/09/12 03:17:01
「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問」
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:221番)
> m個の正の実数a1,a2,..amと正の整数k,lについて
> (a1^k++a2^k+...+am^k)(a1^l+a2^l+...am^l)≦m(a1^(k+l)+a2^(k+l)+...am^(k+l))
420:１３２人目の素数さん
05/09/12 20:32:14
>>419
Σ[i=1 to m]ti=1、ti≧0、p+q=1、p,q>0とする。x^p,x^qは凸関数なので、
0≦(Σ(1/m)(ti)^p)≦(Σti/m)^p=m^(-p)
0≦(Σ(1/m)(ti)^q)≦(Σti/m)^q=m^(-q)
よって、
(Σ(1/m)(ti)^p)(Σ(1/m)(ti)^q)≦m^(-p-q)=1/m
(Σ(ti)^p)(Σ(ti)^q)≦m
等号はti=1/mのとき成立。
ti=ai^(k+l)/Σai^(k+l)、p=k/(k+l)、q=l/(k+l)とおいて示せる。
421:１３２人目の素数さん
05/09/12 20:37:00
>>420
凸関数→上に凸 or 凹関数に訂正
422:１３２人目の素数さん
05/09/12 23:02:19
チェビシェフそのものって感じもするが
423:１３２人目の素数さん
05/09/13 21:55:07
５ページ目の問題313は既出だっけ？
URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
424:１３２人目の素数さん
05/09/13 21:58:32
>>422
たしカニ
* +
(V)∧_∧(V)
+ ヽ(ﾟ∀ﾟ)ノ ｻｲﾀﾏｻｲﾀﾏ +
+ / / +
ノ￣ゝ *
+ +
*
. + (V)∧_∧(V)
+ ヽ( )ノ ｻｲﾀﾏｻｲﾀﾏ
. * / / +
+ .......... ノ￣ゝ +
425:１３２人目の素数さん
05/09/16 13:27:44
>>423
Jensenで瞬殺かと思ったけど…、あまいあまいッ！ あまいわッ！
426:１３２人目の素数さん
05/09/16 14:55:35
5ページ目の問3073
URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
見たことあるような、ないような ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
427:１３２人目の素数さん
05/09/16 15:42:10
正の数 a、b、c が abc=8 をみたすとき、
(a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3
ABMO 2005
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
428:１３２人目の素数さん
05/09/17 11:21:02
たしか初参加
>>427
AM-GMを繰り返し使って
(a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)
≧ 3( a^2b^2c^2 / {(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} )^(1/3)
≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)}
≧ 36 / (3+3abc)
= 4/3
等号は a=b=c=2
429:１３２人目の素数さん
05/09/17 13:03:54
>423
[313]
In 1965 the Romanian mathematician T.Popoviciu proved the following inequality
f(x) + f(y) + f(z) +3f((x+y+z)/3) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2),
where f is a convex function on an interval Ｉ and x,y,z∈Ｉ.
(略証) yはxとzの間（端点も含む）にあるとしてよい。このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。
(M-x)/(z-M) = t とおくと 1/2≦t≦2.
(i) yがxとM の間にあるとき、1/2≦t≦1.
f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2), ｔf(z) + (2-t)f(M) ≧ 2f((y+z)/2), (1-t)f(z) + (1+t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2).
辺々たす。
(ii) yがMとzの間にあるとき、1≦t≦2.
(1/t)f(x) + (2 -1/t)f(M) ≧ 2f((x+y)/2), f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2), (1 -1/t)f(x) + (1 +1/t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2).
辺々たす。
430:１３２人目の素数さん
05/09/17 15:06:58
>426
[3073] Let x,y,z be positive real numbers. Prove that
1/(x+y+z+1) -1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/8.
and determine when there is equality.
(x+y+z)/3=A とおく。相加相乗平均より (x+1)(y+1)(z+1) ≦ (A+1)^3, 等号成立はx=y=zのとき.
(左辺) = 1/(x+y+z+1) - 1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/(3A+1) -1/(A+1)^3 = (A^2)(A+3)/[(3A+1)(A+1)^3]
= 1/8 - (A-1)^2(3A^2 +8A+1)/[8(3A+1)(A+1)^3] ≦ 1/8.
等号成立は x=y=z=1 のとき。
431:１３２人目の素数さん
05/09/17 16:16:29
>>428
pu
432:１３２人目の素数さん
05/09/17 20:41:36
>>428
> AM-GMを繰り返し使って
> ≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)}
> ≧ 36 / (3+3abc)
不等号の向きが逆になるのでは？
433:１３２人目の素数さん
05/09/17 20:43:43
言葉をつつしみ給え！ 君達はラピュタ王の前にいるのだぞ！
/ヘ;;;;;
';=r=‐ﾘ | |
ヽ二/ | | ｶﾞｯ
と ） | |
Ｙ /ノ 人
/ ） < >__Λ∩
＿/し' ／／. Ｖ｀Д´）/ ←>>431
（＿フ彡 /
434:１３２人目の素数さん
05/09/18 01:37:54
ﾊｽﾞｶｼｽ
435:１３２人目の素数さん
05/09/19 09:37:36
1≦a,b,c,d,e≦2のとき、
25≦(a+b+c+d+e)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e)≦28を示せ。
436:１３２人目の素数さん
05/09/19 15:47:54
>435
>>315, >>323-324
【30】（USAMO 1977/5) L=6/25.
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
URLﾘﾝｸ(mathcircle.berkeley.edu)
L=1/4 なら簡単
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
437:１３２人目の素数さん
05/09/19 17:50:59
>436
L=1/4, N=(n^2)/4 の方だけ...
0 ≦ Σ(q-a_k)(a_k-p)/a_k = Σ(p+q-a_k-pq/a_k) = n(p+q-A-pq/H).
∴ A + pq/H ≦ p+q.
∴ A/H ≦ (A +pq/H)^2 /(4pq) ≦ (p+q)^2/(4pq) = 1 +(1/4)(p/q +q/p -2).
438:１３２人目の素数さん
05/09/20 02:09:35
>>430
もし最大値が 1/8 と分かっていなかった場合は、どうするのでしょうか？
微分以外で…。
439:１３２人目の素数さん
05/09/21 00:55:53
LMO 2002 らしい
正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
(abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3
( ﾟ∀ﾟ) 分からんぽよ。
440:１３２人目の素数さん
05/09/22 06:02:07
>>439
こうかな？
s=1/√x、t=1/√y、u=1/√zとして1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)=s/(a/s)+t/(b/t)+u/(c/u)。
y=1/xに関する凸不等式より
(s/(s+t+u))(a/s)+(t/(s+t+u))(b/t)+(u/(s+t+u))(c/u))≧1/((ax+b+c)/(s+t+u))=(s+t+u)/(a+b+c)。
∴1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2/(a+b+c)。
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(a+b+c)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2―(1)。
同様にして
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(x+y+z)≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2―(2)。
(1)+(2)より
3(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))
≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2+(1/√x+1/√y+1/√z)^2
≧(3/(√(abc))^(1/3))^2+(3/(√(xyz))^(1/3))^2
=9/(abc)^(1/3)+9/(xyz)^(1/3)
≧18/(abcxyz)^(1/6)。
∴(1/3)(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))≧2/(abcxyz)^(1/6)―(3)。
一方で
1/(abc+xyz)≦(1/2)/√(abcxyz)―(4)。
ここで1/2=(a+x)/2≧√(ax)、1/2=(b+y)/2≧√(by)、1/2=(c+z)/2≧√czであるから
abcxyz≦1/64。∴2/(abcxyz)^(1/6)≧(1/2)/√(abcxyz)―(5)。
(3),(4),(5)より
(1/3)(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))≧1/(abc+xyz)。
∴(abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3
441:440
05/09/22 07:24:02
しまった。(5)の不等号逆だ･･･orz 吊って来る。
442:１３２人目の素数さん
05/09/23 14:43:32
>439
こうかな?
a+x-1=ξ, b+y-1=η, c+z-1=ζ とおく。
abc = a(1-y+η)c, xyz = (1-a+ξ)yz より,
(abc + xyz)(1/ay) = c/y -c +(c/y)η + z/a -z +(z/a)ξ = c/y +z/a -1 -ζ +(c/y)η +(z/a)ξ.
循環的にたすと、
(左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/y + y/b) -3 + ⊿
= 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (y-b)^2 /by + ⊿
≧ 3 + ⊿.
ここに、⊿ = (z/a -b/x -1)ξ +(x/b -c/y -1)η +(y/c -a/z -1)ζ.
題意より, ξ=η=ζ=0, ∴ ⊿=0, ∴ (左辺) ≧ 3.
ぬるぽ
443:442
05/09/23 14:52:08
しまった。xがyに変わってる…orz 釣って来る。
(左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/x + x/b) -3 + ⊿
= 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (x-b)^2 /bx + ⊿
≧ 3 + ⊿.
444:１３２人目の素数さん
05/09/23 16:28:07
>>439
> 正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
> (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3
これですな。しかし harazi の証明が分からんぶー
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
445:１３２人目の素数さん
05/09/23 18:56:29
>444
abc + (1-a)(1-b)(1-c) = (1-b)(1-c) + ca + ab-a.
これを使って次の式を得る。
[abc + (1-a)(1-b)(1-c)] * 1/(a(1-b)) = (1-c)/a +c/(1-b) -1.
循環的にたす。
LHS = {(1-c)/a + a/(1-c)} + {(1-a)/b + b/(1-a)} + {(1-b)/c +c/(1-b)} -3.
Apply now AM-GM for these 6 numbers.
446:１３２人目の素数さん
05/09/24 02:56:04
みなさん、乙です。
シンプルなのに難しいですね。 ﾊｧﾊｧ…
447:429
05/10/02 03:38:33
>>423
[429]の改良
(略証) yはxとzの間（端点も含む）にあるとしてよい。 このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。
(i) yがxとM の間にあるとき、 x, y, M, (z+x)/2, (y+z)/2, z の順。
∴ 線分(M、f(M))－(z,f(z))は 線分((z+x)/2,f(…))－((y+z)/2,f(…)) より上にある。
∴ f(z) + 3f(M) ≧ 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2).
一方、f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).
辺々たす。
(ii) yがMとzの間にあるとき、 x, (x+y)/2, (z+x)/2, M, y, z の順。
∴ 線分(x、f(x))－(M,f(M))は 線分(x+y)/2,f(…))－((z+x)/2,f(…)) より上にある。
∴ f(x) + 3f(M) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((z+x)/2).
一方、 f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2).
辺々たす。 (終)
448:１３２人目の素数さん
05/10/04 00:04:23
>>411
e^(1-t) = 1/e^(t-1) < 1/t より、
e^{1 -e^(1-x)} < e^{1-(2-x)} = e^(x-1) = {e^(1 -1/x)}^x < x^x.
両辺を e^(e-1)乗して、x=e-1 とOK.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:446番)
449:１３２人目の素数さん
05/10/04 02:37:33
>>447
エレガントですね。
450:１３２人目の素数さん
05/10/04 22:59:08
MOCP 2005-9 問406
URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
このタイプは初めてかな…
451:１３２人目の素数さん
05/10/05 08:58:59
>>448
なるへそ！ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾋﾞ！
問題の式が複雑なので、どこから手をつけていいか分かりませんでした。
452:１３２人目の素数さん
05/10/08 19:54:45
>450
406. Let a,b,c be natural numbers such that the expression
(a+1)/b + (b+1)/c + (c+1)/a
is also equal to a natural number. Prove that the greatest common diviser of a,b and c, gdc(a,b,c),
does not exceed (ab+bc+ca)^(1/3), i.e.,
gdc(a,b,c) ≦ (ab+bc+ca)^(1/3).
[略解]
(与式) = k とおいて通分すると、ca(a+1) + ab(b+1) +bc(c+1) = k･abc.
ab + bc + ca = k･abc -ca^2 -ab^2 -bc^2 = (a,b,cの3次の整式).
gcd(a,b,c)=d とし、a=da', b=db', c=dc' とおくと
a'b'+ b'c'+ c'a' = (a',b',c'の3次の整式)d ≧ d.
ab + bc + ca ≧ d^3.
(ab + bc + ca)^(1/3) ≧ d.
453:１３２人目の素数さん
05/10/09 04:40:26
東大スレより
462 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/08(土) 19:39:30
logf(x)=logx /x（x>0）とする。
(1)f(x)の増減表を書け。
(2)99^100と100^99の大小を比較せよ。
465 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/09(日) 01:34:05
>462 (2)
Ｃ[n,k] = n(n-1)…(n-k+1)/(k!) < (n^k)/(k!) なので、二項定理より、
(1 +1/n)^n = ∑[k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k < ∑[k=0,n] 1/(k!) < e.
(n+1)^n / {n^(n+1)} = (1/n)(1+1/n)^n < (1/n)e <1. (n≧3)
∴ n^(n+1) < n^(n+1).
454:１３２人目の素数さん
05/10/21 23:14:01
非負実数 s(1),s(2),...,s(2004) が
s(1)+s(2)+...+s(2004)=2,
s(1)s(2)+s(2)s(3)+...+s(2003)s(2004)+s(2004)s(1)=1
を満たすとき、s(1)^2+s(2)^2+...+s(2004)^2 の最大値、最小値を求めよ。
455:１３２人目の素数さん
05/10/21 23:41:16
x,y∈[0,π/2]のとき
sin√(xy) ≧ √(sin(x)sin(y))
を示せ。
456:１３２人目の素数さん
05/10/21 23:44:05
>>454-455
幼稚園児向けの問題ですか？
457:園児にあ
05/10/26 03:19:23
>454
最大値は s(1)^2+s(2)^2+･･･+s(n)^2 ≦ {s(1)+s(2)+･･･+s(n)}^2 -2{s(1)s(2)+s(2)s(3)+...+s(n-1)s(n)+s(n)s(1)} =2^2 -2 =2.
s↑=(1,1,0,･･･,0) のとき。
最小値は 3/2, s↑=(1/2,1,1/2,0,･･･,0)のとき、かな？？
458:園児にあ
05/10/28 18:20:10
>455
x∈(0,π/2) では 0 < sin(x) < x < tan(x).
f(x)≡log{sin(x)/x} とおく。
f '(x) = 1/tan(x) -1/x <0 (単調減少)より、f(√(xy)) > f((x+y)/2).
f "(x) = -1/sin(x)^2 +1/x^2 < 0 (上に凸)より、f((x+y)/2) > {f(x)+f(y)}/2.
辺々たすと f(√(xy)) > {f(x)+f(y)}/2, かな？？
459:１３２人目の素数さん
05/10/29 03:47:04
>458
g(t)≡log(sin(e^t)) とおく。
g '(t) = (e^t)/tan(e^t), g "(t) = -(2e^t -sin(2e^t))(e^t)/{1-cos(2e^t)} <0 (上に凸)
∴ g(log√(xy)) > {g(log(x)) + g(log(y)) }/2
460:１３２人目の素数さん
05/11/02 22:13:29
Let x and y denote non-negative real numbers. Prove that sqrt(x/2) + sqrt(y/2) ≦ sqrt(x+y)
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
461:１３２人目の素数さん
05/11/03 03:02:16
>460
{sqrt(x/2)+sqrt(y/2)}^2 + {sqrt(x/2)-sqrt(y/2)}^2 = x+y から。
462:１３２人目の素数さん
05/11/03 14:09:52
>460 の所にありますた。
〔A.380〕
単位正方形の内部に凸n角形Ｋがある。
この多角形の3つの頂点を、それらが 80/(n^3)より小さい面積の三角形をなすように、
選べることを示してくださいです。。。
〔A.380〕
The convex n-sided polygon Ｋ lies in the interior of a unit square.
Show that it is possible to select three vertices of the polygon
that form a triangle of smaller area than 80/(n^3) units.
463:１３２人目の素数さん
05/11/03 14:33:44
>460
v↑=(sqrt(x),sqrt(y))， e↑=(sqrt(1/2),sqrt(1/2)) とおくと、
v↑・e↑ ≦ |v↑|.
464:１３２人目の素数さん
05/11/03 14:53:52
(；´Д｀)'`ｧ'`ｧ
たまらんね。
不等式に萌える自分は異常かもしれない…、だがやめられん。
465:１３２人目の素数さん
05/11/03 14:56:52
>>462
これは、一辺が１の正方形内に凸n角形が入っていれば、
それがどんな凸n角形であろうとも、うまく３点を選べば、
80/(n^3)より小さい面積の三角形をなすことを示せということですよね？
むじゅ…
466:１３２人目の素数さん
05/11/05 16:07:26
東大入試スレにありますた。
786 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/05(土) 00:26:13
a>0, b>0のとき、(a^b) + (b^a) >1 を示してくださいです。。。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:786番)
467:１３２人目の素数さん
05/11/05 16:18:37
>466
a≧1 のとき a^b≧1, b^a>0 より成立。 b≧1 のときも同様。
残るは 0<a,b<1 のときである。
ベルヌーイの不等式で 1+x=1/b とおくと
(1/b)^a < 1 + a(1/b-1) = (a+b-ab)/b.
∴ b^a > b/(a+b-ab),
同様に a^b > a/(a+b-ab).
辺々たして a^b + b^a > (a+b)/(a+b-ab) >1. (終)
〔ベルヌーイの不等式〕
(1+x)^a < 1+ax if 0<a<1, x>-1.
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
468:１３２人目の素数さん
05/11/07 06:58:09
>>466->>467
( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ
ネタ投下
３ページ目 Prob.239
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
469:１３２人目の素数さん
05/11/08 01:43:18
>468
【Prob.239】
鋭角三角形 ABC について、次を示せ。
cos{(A-B)/2} + cos{(B-C)/2} + cos{(C-A)/2} ≦ ((√2)/2){(a+b)/√(a^2+b^2) + (b+c)/√(b^2+c^2) + (c+a)/√(c^2+a^2)}.
470:１３２人目の素数さん
05/11/08 02:38:33
１ページ目の問３の関数方程式 （不等式の友達の等式の親戚として大目に見てやって…）
１ページ目の問４の不等式と最大値の問題もサッパリでつよ
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
471:１３２人目の素数さん
05/11/09 23:14:17
>468-469
（Prob.239）
倍角公式, cos(C)>0 (C<π/2), 第二余弦定理より
{2(a^2 +b^2)}sin(C/2)^2 = (a^2 +b^2){1-cos(C)} ≦ a^2 +b^2 -2ab･cos(C) = c^2.
∴ sin(C/2) ≦ c/√{2(a^2+b^2)}.
これと補題から
cos((A-B)/2) ≦ (a+b)/√{2(a^2+b^2)} ≦ 1, 等号は a=b, A=B のとき. (終)
【補題】
△ABC に対し cos((A-B)/2) = {(a+b)/c}sin(C/2), など.
(略証)
∠C の2等分線とABの交点をD, CからABに下ろした垂線を CH とすると、∠DCH = |A-B|/2.
△ABC = (1/2)CH･c = (1/2)CD{c･cos[(A-B)/2]}.
△BCD = (1/2)CD{a･sin(C/2)}.
△ACD = (1/2)CD{b･sin(C/2)}.
これを △ABC = △ABD + △ACD に代入する。(終)
※ a>0,b>0 のとき、2(a^2+b^2) ≧ (a+b)^2 ≧ 4ab, 等号は a=b のとき.
472:１３２人目の素数さん
05/11/10 02:08:29
(Prob.232)
線分AD上に2点B,Cがある。
AB=CD ならば 任意の点Pに対して PA+PD ≧ PB+PC.
473:１３２人目の素数さん
05/11/10 06:33:37
>>472
P が線分 AD 上にある場合や、P が線分 AD の延長線上にある
場合には、題意は明らか。よって以下、そうでない場合を考える。
B （または C）が線分 AD の端点と一致する場合は題意は自明。
よって以下、そうでない場合を考える。
はじめに、B と C が一致しない場合を考える。
示すべき式の形から、4 点 A B C D は、この順に並んでいるとして
さしつかえない。このとき、AD の中点を M とすれば、5 点 A B M C D
はこの順に一直線に並んでいて、また M に関して対称である。
Mに関してPと対称な点をQとすると、対称性から PD = QA、
また PC = QB。したがって我々は 「PA + AQ ≧ PB + BQ」を
示せば十分である。
仮定から、点 B は三角形 APQ の内部にある。したがって、直線
PB を B の側に延長すれば、その延長線は三角形 APQ の周と
共有点をもつ。その点を R として、R が三角形のどの辺上にあるか
考えるが、直線 PR すなわち直線 PB は辺 PA および辺 PQ の
いずれとも一致しないから、R はこれら二辺の辺上にはなく、
したがって R は辺 AQ 上の点である。
三角形 PAR および三角形 BRQ で三角不等式からそれぞれ
PA + AR ≧ PR、BR + RQ ≧ BQ がいえていることに注意すると
PA + AQ ＝ PA + AR + RQ
≧ PR + RQ
≧ PB + BR + RQ ＝ PB + BQ
これが示すべきことであった。B と C が一致する場合も同様である。
474:１３２人目の素数さん
05/11/12 01:51:13
>473
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!
直線ADに関してPと対称な点Rをとって
凸多角形F ⊂ 閉曲線G ⇒ (Fの周長) < (Gの周長)
でもいいらしい。
凸多面体S ⊂ 閉曲面T ⇒ (Sの表面積) < (Tの表面積)
ハｧハｧ
475:１３２人目の素数さん
05/11/27 21:06:17
？
476:１３２人目の素数さん
05/11/29 23:02:07
>>58 問題Ｄ(7)
これでどうだ？ おらっ！
Σ[k=0 to ∞](C[2k,k]/{(2k+1)*16^k})Σ[j=0 to k](-1)^jC[2k+1,k+j+1](2j+1)^(2p+1) = ?
477:１３２人目の素数さん
05/11/29 23:09:56
( ⌒ )
l | /
∧_∧
⊂（*・∀・） ん～これか？ ほしいんだろ、これが！
/ ﾉ∪
し―-J |l| |
人ﾍﾟｼｯ!!
＿＿
＼ ＼
￣￣
自然数 m, n に対して、(m+n) !/(m+n)^(m+n) < (m!/m^m)・(n!/n^n) を示せ。
478:１３２人目の素数さん
05/11/30 13:22:44
>>477
ﾊｧﾊｧ…
479:１３２人目の素数さん
05/12/01 20:39:40
おれの解析の参考書(野本久夫著、｢解析入門｣、サイエンス社)にのってる式
(√n)n^n＜e^n･n!/√(2π)＜(√n)n^n(1+1/4n) (n≧2)
をつかわせてもろたら簡単なんだけどな･･･この式証明まんどくせー
480:１３２人目の素数さん
05/12/03 01:12:31
>477
a>0,b>0 のとき
{(m+n)!/(m!n!)}(a^m)(b^n) = C[m+n,m](a^m)(b^n) < (a+b)^(m+n).
ここで a:b=m:n と桶。
(参考書)
ﾊｲｾﾞﾝﾍﾞﾙｸﾞ:「部分と全体 －私の生涯の偉大な出会いと対話－」みすず書房
Werner Heisenberg: "Der Teil und das Ganze －Gesprache im Umkreis der Atomphysik－"
481:１３２人目の素数さん
05/12/03 01:56:34
>>479
>>480
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
|::::: (● (● | 明日、図書館に行ってみます
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
482:１３２人目の素数さん
05/12/03 02:07:40
>476
δ_(p,0) らしいYo.
シンプルで難しい問題
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:414-417番)
483:１３２人目の素数さん
05/12/03 02:21:57
不等式の問題 ： MOCP （問418、問420）
( ﾟ∀ﾟ)つ URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
>>482
どうみてもグッジョブです。本当にありがとうございました。
どう見ても○○のガイドライン
ｽﾚﾘﾝｸ(gline板)l50
484:１３２人目の素数さん
05/12/03 03:02:36
>483
[問418]
(a) Show that, for each pair m,n of positive integers, Min{m^(1/n), n^(1/m)} ≦ 3^(1/2).
(b) Show that, for each positive integer n, (1+1/√n)^2 ≧ n^(1/n) ≧1.
(c) Determine an integer N for which n≧N ⇒ n^(1/n) ≦ 1.00002005。 Justify your answer.
[問420]
Two circles intersect at A and B. Let P be a point on one of the circles.
Suppose that PA meets the second circle again at C and PB meets the second circle again at D.
For what position of P, is the length of the segment CD maximum ?
485:１３２人目の素数さん
05/12/03 03:19:32
なんか、Pを動かしてもCDの長さは変わらない気がするんだけど
486:１３２人目の素数さん
05/12/03 19:54:31
>483-484
[問418]
(a) 1<m<n としてもよい。Min = m^(1/n) ≦ (n-1)^(1/n).
f(x) = (1/x)log(x-1) とおくと、f '(x) = {1 +1/(x-1) -log(x-1)}/(x^2) = g(x)/(x^2), g(x) は単調減少。
x≦4 のとき g(x) ≧ g(4) = (4/3)-log(3) = 0.23472104･･･ >0, f '(x) >0, f(x) ≦ f(4) = (1/4)log(3).
x≧5 のとき g(x) ≦ g(5) = (5/4)-log(4) = -0.13629436･･･ <0, f '(x) <0, f(x) ≦ f(5) = (1/5)log(4).
n≦4 のとき (n-1)^(1/n) ≦ 3^(1/4) = 1.31607401･･･
n≧5 のとき (n-1)^(1/n) ≦ 4^(1/5) = 1.31950791･･･
∴ Min = m^(1/n) ≦ (n-1)^(1/n) ≦ 4^(1/5) = 1.31950791077289･･･
(b) n=1 の場合は明らかゆえ、n>1 とする。 1+x ≦ exp(x) より、
1 +1/√n = 1/[1 -1/(1+√n)] > exp(1/(1+√n)) = {exp(-1+√n)}^(1/(n-1)) > (√n)^(1/(n-1)) = n^{1/(2(n-1))}.
∴ (1+1/√n)^2 > n^(1/(n-1)) > n^(1/n) >1.
(c) 1+1/√n < √1.00002005, 1/√n < 1.002494975･･･×10^(-5), n ≧ 0.9950286628×10^10 =N.
487:１３２人目の素数さん
05/12/03 20:26:14
>483 の所にありますた。
[問421] 次を示してくださいです。。。。
(a) 平面上の4角形 ABCD について、 AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD
(b) 空間内の4面体 ABCD について、 AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD
ヒント
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
488:１３２人目の素数さん
05/12/04 03:32:59
>487
[解421]
(a) ∠A, ∠B, ∠D ≦π としてよい。∠A の内部の点Eを、△ABE と △ACD が等角になるようにとる。
△ABE ∽ △ACD ･････ (1)
だから、AB:AC = AE:AD そして ∠BAC = ∠EAD. ゆえに二辺夾角の相似定理により
△AED ∽ △ABC ･････ (2)
(1)から AB･CD = AC･BE, (2)から AD･BC = AC･ED を得る。
辺々加えて、AB･CD + AD･BC = AC･(BE+ED) ≧ AC･BD.
小平邦彦: ｢幾何のおもしろさ｣ 数学入門ｼﾘｰｽﾞ 7, 岩波書店 (1985), 定理111, p.252-254
矢野健太郎: ｢幾何の有名な定理｣ 数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36, 共立出版 (1981), p.47-48
(a) 複素数平面を考え、A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) ≡ (c-a)(d-b). (← ﾔｺﾋﾞの恒等式)
∴ |b-a|･|d-c| + |d-a|･|c-b| ≧ |c-a|･|d-b|.
栗田 稔: ｢数学100の定理｣ 数ｾﾐ増刊, p.16 (1983)
(b) AC,BDに平行な平面Π上に射影する。 右辺は減少し、左辺は元のまま。
489:１３２人目の素数さん
05/12/04 06:38:35
>>488
(a) 幾何学的証明と複素数を用いた証明は、どちらも >>1[3] PP.23-24 にも載ってまつ。
(b) なるほど！ その手があったか！ さっぱり気づかなかったです。
490:１３２人目の素数さん
05/12/05 03:37:08
これは既出ですか？
( ﾟ∀ﾟ)つ 正の数 a、b、c に対して (a/b + b/c + c/a)^2 ≧ (a+b+c)(1/a + 1/b +1/c)
491:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/12/05 07:49:56
talk:>>490
c=1としても一般性を失わない。
(a/b+b+1/a)^2-(a+b+1)(1/a+1/b+1)
=((a^2+ab^2+b)^2-ab(a+b+1)(ab+a+b))/(ab)^2,
(a^2+ab^2+b)^2-ab(a+b+1)(ab+a+b)
=a^2b^4+a^4+b^2+2a^3b^2+2a^2b+2ab^3-ab(a^2b+a^2+ab+ab^2+ab+b^2+ab+a+b)
=a^2b^4+a^4+b^2+2a^3b^2+2a^2b+2ab^3-a^3b^2-a^3b-a^2b^3-ab^3-3a^2b^2-a^2b-ab^2
=a^2b^4+a^4+b^2+a^3b^2+a^2b+ab^3-a^3b-a^2b^3-3a^2b^2-ab^2
新しい問題。
a,bが正の数のとき、a^2b^4+a^4+b^2+a^3b^2+a^2b+ab^3-a^3b-a^2b^3-3a^2b^2-ab^2≥0を証明せよ。
492:１３２人目の素数さん
05/12/05 09:41:41
talk:>>491
c=1などとして対称性を失わない。
(a/b+b/c+c/a)^2-(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=((ca^2+ab^2+bc^2)^2-abc(a+b+c)(ab+bc+ca))/(abc)^2,
(ca^2+ab^2+bc^2)^2-abc(a+b+c)(ab+bc+ca)
=c^2a^4+a^2b^4+b^2c^4+2(a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3)
-abc(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc)
=c^2a^4+a^2b^4+b^2c^4+(a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3)-abc(ab^2+bc^2+ca^2+3abc)
=c^2a(a^3+b^3-b^2a-ab^2)+a^2b(b^3+c^3-b^2c-bc^2)+b^2c(c^3+a^3-c^2a-ca^2)
=c^2a{(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)}+a^2b{(b+c)(b^2-bc+c^2)-bc(b+c)}+b^2c{(c+a)(c^2-ca+a^2)-ca(c+a)}
=c^2a(a+b)(a-b)^2+a^2b(b+c)(b-c)^2+b^c(c+a)(c-a)^2
≧0
493:GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
05/12/05 15:59:25
talk:>>492 c=1などとしないほうが分かりやすかったのか。
494:１３２人目の素数さん
05/12/06 01:08:17
>476
>>58 問題Ｄ(7)
1/Ｃ[n-1,k] + 1/Ｃ[n-1,k+1] = n/{(n-1)Ｃ[n-2,k]} を使いますた。
与式の左辺を S_n とおくと、
S_n = (1/n)Σ[k=0,n-1] 1/Ｃ[n-1,k]
= (1/2n){∑[k=0,n-2] 1/Ｃ[n-1,k] + ∑[k=1,n-1] 1/Ｃ[n-1,k] + 2}
= (1/2n)∑[k=0,n-2] { 1/Ｃ[n-1,k] + 1/Ｃ[n-1,k+1] } + 1/n
= (1/2n)∑[k=0,n-2] n/{(n-1)Ｃ[n-2,k]} +1/n
= {1/2(n-1)}{∑[k=0,n-2] 1/Ｃ[n-2,k]} + 1/n
= (1/2)S_(n-1) + 1/n.
∴ (2^n)S_n = {2^(n-1)}S_(n-1) + (2^n)/n = ･･････ = ∑[k=1,n] (2^k)/k.
∴ S_n = ∑[k=1,n] 2^(k-n)/k = (右辺).
ぬるぽ
495:１３２人目の素数さん
05/12/08 00:02:53
>490
a,b,c>0 に対して (a/b + b/c + c/a)^2 ≧ (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9.
(略証) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと xyz=1. 与式の各辺は
(x^2 +2/x) + (y^2 +2/y) + (z^2 +2/z), (x+1 +1/x) + (y+1 +1/y) + (z+1 +1/z), 3 + 3 + 3.
のように分けられるので、
x>0 のとき、 x^2 +2/x ≧ x+1 +1/x ≧ 3.
に還元される。これは
(x^2 +2/x) -(x+1 +1/x) = (1/x)(x+1)(x-1)^2 ≧0,
(x+1 +1/x) - 3 = (1/x)(x-1)^2 ≧0.
により成立。 等号は x=y=z=1, a=b=c のとき。
ぬるぽ
【類題】
(a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3[(1- a/b)(1- b/c)(1- c/a)]^(2/3) ≧ 9.
[前スレ.704](8), 解答は [前スレ.808]
496:１３２人目の素数さん
05/12/13 01:18:01
29 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/12(月) 21:58:26
三角ABCの内接円、外接円の半径をそれぞれｒ、Rとするとき R≧2ｒを示せ。
30 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/12(月) 22:25:19
だから宿題をココに投下するなって
東大入試作問者スレ６
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:29番)
497:１３２人目の素数さん
05/12/13 01:24:13
>496
① 三角形の3辺を切る円は、内接円を含むから、半径>r.
② 各辺の中点A',B',C'を通る円(つまり△A'B'C'の外接円)の半径は, Rの1/2.
①②より、R≧2r.
なお、n次元では R≧nr らしい。（清水多門氏)
参考書[3]の p.7～8 例題4.
498:１３２人目の素数さん
05/12/13 02:44:28
＿＿＿ >>496
|┃三 .／ ≧ ＼ 懐かしい。
|┃ |:::: ＼ .／ | これは球殻不等式ですね。
|┃ ≡|::::: (● (● |
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ せっかくなので、毒電波入りの別証を…。
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
------------------------------------------------------------------------------
やっときましたね。おめでとう。
△ABCの面積 S = (1/2)ab・sinC に正弦定理を用いて、R = abc/(4S)
△ABCの半周長を s = (a+b+c)/2 とおくと、S = rs
これより、示すべき不等式は abc ≧ 8S^2/s
なに かんがえてんだ！
右辺にヘロンの公式 S^2 = s(s-a)(s-b)(s-b) を用いると、上式は abc ≧ 8(s-a)(s-b)(s-c)
どういうことだ？
ここで x = s-a、y = s-b、z = s-c とおくと、結局、示すべき不等式は、
x、y、z > 0 の条件下で、(x+y)(y+z)(z+x) ≧ 8xyz となる。
そこで そうかそうじょうへいきんか！
そう！そのとおり！！ わたしは ふとうしきを うちたおす ヒーローが ほしかったのです！
なにもかも あんたが かいた すじがきだったわけだ。
なかなか りかいが はやい。 （以下略）
神のガイドライン ｽﾚﾘﾝｸ(gline板)l50
499:１３２人目の素数さん
05/12/13 02:50:16
ﾜﾛｽ
500:１３２人目の素数さん
05/12/16 10:13:49
三百三十三日三時間三十三分三十三秒。
501:１３２人目の素数さん
05/12/17 09:29:40
>>494
ついでに、こやつめも殺っちゃってください。
( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[n=4 to ∞] Σ[k=2 to n-2] 1/C[n,k] = 3/2
502:466
05/12/17 18:32:18
☆東大入試作問者スレ6 にありますた。
154 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/17(土) 15:07:50
nを自然数とする。
∫[0,n] log(2^(2^x)+1) dx ＜ 2^n を証明せよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:154-157番)
503:１３２人目の素数さん
05/12/17 19:50:21
>>502
うほっ！ ムズそう！
504:１３２人目の素数さん
05/12/18 10:15:22
( ⌒ )
l | /
∧_∧
⊂（*・∀・） これは、まだ解いてないですよね？
/ ﾉ∪
し―-J |l| |
人ﾍﾟｼｯ!!
＿＿
＼ ＼
￣￣
正の数 a、b、c が a+b+c+abc=4 をみたすとき、次を示せ。
a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) ≧ (a+b+c)/sqrt(2)
505:466,502
05/12/18 17:24:28
>503
元スレの解答は...
log(1+y) < y.
2^x > e･log(2)x > x/log(2) より 2^(2^x) > e^x.
log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).
∫[0,n] (2^x)log(2) dx < (左辺) < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
∴ [ 2^x ](x:0→n) < (左辺) < [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n)
∴ 2^n -1 < (左辺) < 2^n -e^(-n) < 2^n.
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:159番)
506:１３２人目の素数さん
05/12/18 22:31:42
>501
先にnの和を取る。
1/Ｃ[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)}
= {1/(k-1)}{ k!/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] - k!/[n(n-1)…(n-k+2)] }
= {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[n-1,k-1] - 1/Ｃ[n,k-1] }. より
∑[n=k+2,∞) 1/Ｃ[n,k] = k/{Ｃ[k+1,k-1](k-1)} = k/{Ｃ[k+1,2](k-1)} = 2/{(k+1)(k-1)} = 1/(k-1) - 1/(k+1).
そこで kの和をとると、
∑[k=2,∞) {1/(k-1) -1/(k+1)} = 1 + 1/2 = 3/2.
〔不等式ぢゃねぇのに ﾊｧハァしちまった。今は反省している。〕
507:１３２人目の素数さん
05/12/20 01:18:25
>>506
> 先にnの和を取る。
ｎ と k は別々に極限をとっていいのですか？
その辺がよく分からないので、もう少し詳しくお願いします。
自分は、次のように考えて、止まりました。
lim[m→∞] ∑[n=4, m] ∑[k=2, n-2] 1/Ｃ[n, k]
= ∑[k=2, m-2] ∑[n=4,m] 1/Ｃ[n, k]
= ∑[k=2, m-2] k/(k-1) ∑[n=4,m] {1/Ｃ[n-1, k-1] - 1/Ｃ[n, k-1] }
= ∑[k=2, m-2] k/(k-1)*{1/Ｃ[k+1, k-1] - 1/Ｃ[m, k-1] }
= ∑[k=2, m-2] 2/(k-1)(k+1) - ∑[k=2, m-2] k/{(k-1)*Ｃ[m, k-1]}
= 1 + 1/2 - 1/(m-2) -1/(m-1) - ∑[k=2, m-2] k/{(k-1)*Ｃ[m, k-1]}
第２項の変形が、上手くいかね…