05/01/22 17:47:06
【問題】[前スレ.387]
f(x),g(x)は 0≦x≦1で連続とし、f(0)=0, f(x)>x, 0≦g(1)≦1 を満たし、
f(x)/x, g(x)/x はともに狭義の単調増加であるとする。 このとき
0<x<1 で f(g(x)) ≦ f(x)g(x)/x ≦ g(f(x)).
を示してくださいです。〔Ralph P.Boas: Math.Magazine, Vol.５２(1979)〕
題名が "Inequalities for a collection", ヲタ君にぴったりな論文・・・
前スレをまだ保存してない方はドゾー↓ サイズは 400kB ぐらい。
全部 → ﾌｧｲﾙ(F) → 名前を付けて保存(A) → Webページ,HTMLのみ → 保存(S)
25:１３２人目の素数さん
05/01/22 19:48:57
>>24
>題名が "Inequalities for a collection", ヲタ君にぴったりな論文・・・
読みたい…
地方在住の負け犬一般人がその論文を読む方法ってありますか？
去年、地元の大学図書館である論文の取寄せを申請したら、
あんた学生じゃないですから、残念！って斬られましたが… ('A`)
26:１３２人目の素数さん
05/01/22 22:37:59
他のスレからのコピーですが、質問してるわけじゃないので
マルチとか言うのは勘弁してください。
3^k - 2^k + 2 < (2^k - 1)[(3/2)^k]
を満たさない k は有限個しかない。
全て求め、それが全てである事も示せ。
27:風あざみ
05/01/22 23:16:15
>>20
悪いが等号成立条件はよくわからん。
>>21
＞各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C＞π/2を満たすとき・・・
全く同じ問題がMathnoriにあるのだが、解答してもいいものだろうか。
28:23
05/01/23 02:47:24
>21
n>m のときは [23] で f_k(x)=1 (m<k≦n) とおくと
【系】 n>mのとき, 実関数 f_1, …, f_m に対して,
{∫_[a,b] f_1(x)^n dx} …… {∫_[a,b] f_m(x)^n dx}･|b-a|^(n-m) ≧ {∫_[a,b]f_1(x)…f_m(x) dx}^n.
29:風あざみ
05/01/23 18:25:52
>>21
0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき
tan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1
まず、0≦(πsin x)/(4sin y)、(πcos x)/(4cos y)＜Π/2であることはOK
(πsin x)/(4sin y)＞Π/4または(πsin x)/(4sin y)＞Π/4の場合は
tan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1
(πsin x)/(4sin y)≦Π/4かつ(πsin x)/(4sin y)≦Π/4の場合
0≦sin x≦sin y、0≦cos x≦cos y
sin x＜sin yまたはcos x＜cos yと仮定すると
1=(sin x)^2+(cos x)^2＜(sin y)^2+(cos y)^2=1となって不合理
よってsin x=sin y、cos x=cos y、したがってtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}=2＞1
30:風あざみ
05/01/23 18:27:18
>>29の5行目の
＞tan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1
はtan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1だからtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1は明らか
ということ。
31:１３２人目の素数さん
05/01/25 17:15:41
>21
(左辺) ≧ tan[π/(2√3)] = 1.278171491830440… を示す。
まず π/(2√3) = 0.90689968211711… = α とおく。
x=y のとき、左辺 = 2 > tanα.
x<y の場合を考える。［y<x の場合も F(x,y)=F(π/2 -x,π/2 -y)なので同様にできる。]
左辺 を x/y の函数で評価するのがミソ(補題1,2)。次に補題3より
(左辺) ≧ tan(πx/4y) + tan{α･cos(πx/6y)} = tan(3u/2) + tan{α･cos(u)} ≧ 3u/2 + tan{α･[1-(1/2)(u^2)]}.
ここに πx/6y =u とおいた。 0<u<π/6 = 0.5235987756… 補題4より、
(左辺) ≧ 3u/2 + tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2 = tan(α) + u(3/2 -1.194260986681u) ≧ tan(α), 等号成立はx=0,y=π/6.
ぬるぽ
【補題1】
0≦x<y<π/2 のとき 1 > sin(x)/sin(y) > x/y.
(略証) sin( ) は上に凸だから、(平均変化率)= {(0,0)－(x,sin(x))の傾き} = sin(x)/x は単調減少。∴ sin(x)/x > sin(y)/y.
【補題2】
0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 cos(x)/cos(y) ≧ cos(cx/y)/cos(c) > 1.
(略証) (y +cx/y) - (c+x) = (y-x)(1 -c/y) ≧0.
(y -cx/y) - (x-c) = (y-x)(1 +c/y) ≧0, (y -cx/y) - (c-x) = (y+x)(1 -c/y) ≧0
∴ |y-cx/y| ≧ |x-c|.
∴ 2cos(y)cos(cx/y) = cos(y+cx/y) + cos(y-cx/y) ≦ cos(c+c) + cos|x-c| = 2cos(c)cos(x). 等号成立は y=c または x=y.
【補題3】
u>0 のとき cos(u)>1 -(1/2)u^2. （← -cos(u)<-1 を2回積分）
【補題4】
0<α,α+θ<π/2 のとき tan(α+θ) ≧ tan(α) + θ/[(cosα)^2]. （←tan()は下に凸）
>29-30
0<y<x ⇒ sin(x)/sin(y) >1 ⇒ 左辺第1項 >1.
0<x<y ⇒ cos(x)/cos(y) >1 ⇒ 左辺第2項 >1.
32:31
05/01/25 17:32:41
[31] は [前スレ.565(3)] の別解でつ。。。
0≦x≦π/2、π/6≦y≦π/3 のとき、tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} ≧ tan(α)
等号成立は (x,y)=(0, π/6)、(π/2, π/3) のとき。
スマソ。
33:１３２人目の素数さん
05/01/25 19:43:17
ソボレフの不等式のような積分に関する不等式ｷｳﾞｫﾝﾇ
34:１３２人目の素数さん
05/01/25 21:34:28
>6
あったYo（但しカキコするには登録が必要．．．）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
35:１３２人目の素数さん
05/01/25 22:01:42
>3
2つの単調減少列 {a_i},{b_i} について
Σ[i=1,n] a_i ＝ Σ[i=1,n] b_i
Σ[i=1,k] a_i ≧ Σ[i=1,k] b_i （k=1,2,…,n-1)
のとき aゝb と書いて、a は b の優数列である(a majorizes b)とか言うらしい。（[1]の参考文献3）
(a) はばらつきが大きく、(b)は揃っている？
【使用例】(ムーアヘッドの不等式)
aゝb ならば Σ[sym] x^a_1･y^a_2… ≧ Σ[sym] x^b_1･y^b_2…
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
36:１３２人目の素数さん
05/01/26 09:58:45
我ながら、書きまちがいが多いな...
>23
x(k,i) = f_k(a+i⊿x)･⊿x^(1/n).
>31
∴ y -cx/y ≧ |x-c|.
∴ ･･････ ≦ cos(x+c) + ･･････
【補題3】
･･･････ （← -cos(u)>-1 を2回積分）
∧＿∧
（ ´Д｀ ） まことに
/ ヽ
し､__X__,ﾉJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ すいませんでした。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
>35 (ムーアヘッドの定理)に追加
Σ[sym] はすべてのx,y,…の入替えについて和をとる意味。
G.H.Hardy, J.E.Littlewood and G.Polya: "Inequalities", 2nd ed., Cambridge University Press(UK), §2.18 and §2.19, 原著p.44-48 (1988)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
"Encyclopedia"のCD-ROM版にもある...
URLﾘﾝｸ(www.itu.dk)
URLﾘﾝｸ(icl.pku.edu.cn)
37:１３２人目の素数さん
05/01/26 12:02:58
>>35 なるへそ！ ﾍﾞﾘｨｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
38:１３２人目の素数さん
05/01/26 21:13:50
[前スレ.871(1)]
x,y,z,n≧0 のとき F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n ≧0.
は、シュプリンガーの『不等式』にある定理80でつね。[前スレ.874]で解決.
39:１３２人目の素数さん
05/01/26 21:29:41
（参考書）
〇厨房、工房向け
眉村 卓：「白い不等式」(秋元文庫) 秋元書房, 文庫本/206p, (1978.6) \273
眉村 卓：「白い不等式」(角川文庫) 角川書店, 文庫本/214p, (1981.4) \273
〇大人向け
植木不等式：「悲しきネクタイ」地人書館, 新書判/247p, 4-8052-0518-0 (1996.10) \1050
植木不等式：「悲しきネクタイ」日本経済新聞社, 文庫本/284p, 4-532-19078-9 (2001.8) \630
～企業環境における会社員の生態学的および動物行動学的研究～（日経ビジネス人文庫）
植木不等式：「こころが疲れたら読む世紀末おとぎ話」 大和書房, B6判/237p, 4-479-39056-1, (1997.10) \1470
～トンデモ童話20選～
植木不等式監訳、マーク・ミナシ著：「いつまでバグを買わされるのか」ダイヤモンド社, 四六判/346p, 4-478-37296-9 (2000.9) ￥2415
～平気で欠陥商品を売る業界の内幕～
40:１３２人目の素数さん
05/01/26 21:42:29
単純な質問なんですが、
|x^2-3|≧x
の解を教えてください。
できれば解説(有)で。
お願いしますm(_ _)m(_ _)m
41:１３２人目の素数さん
05/01/26 21:53:20
また荒れ始めたな…。
スレが活性化すると荒らしも多くなる。
42:１３２人目の素数さん
05/01/26 21:54:14
∧__∧
(｀･ω･´) 馬鹿はとっとと消え失せぇぃ！
.ノ^ yヽ、
ヽ,,ﾉ==l ﾉ
/ l |
"""~""""""~"""~"""~"
43:１３２人目の素数さん
05/01/27 00:55:25
[31]の方針
(左辺)=F(x,y) とおき、
0≦x≦y ⇒ F(x,y) ≧ F(cx/y,c) ≡ F(u,c) ≧ F(0,c) = tan(α).
を示す。ここに c≡π/6、α≡π/(2√3).
>40
x ≦ (√13 -1)/2 = 1.302775638…, 2.302775638… = (√13 +1)/2 ≦ x.
44:風あざみ ◆c/j2mAZ2V6
05/01/27 01:52:30
>>24
f(x)が増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x
g(x)が増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x)
よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。
45:風あざみ ◆c/j2mAZ2V6
05/01/27 01:53:30
>>44の訂正
f(x)/xが増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x
g(x)/xが増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x)
よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。
46:風あざみ ◆c/j2mAZ2V6
05/01/27 03:29:45
>>20
等号成立条件
a=3/2、b=20/3、c=41/6のときa^2+b^2=c^2かつab=10となる。
47:１３２人目の素数さん
05/01/27 19:28:17
>3,35
絡まった不等式??
[1]の参考書3の最後の方
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk) Page.2, 左中央
48:47
05/01/27 20:33:55
絡まった不等式
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
URLﾘﾝｸ(www.srcf.ucam.org)
↓からも入れるらしい....
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
49:【 Majorization Inequality 】 について
05/01/27 21:46:48
和書にないかなかと、カタカナで探してみた。
統計科学の最前線
URLﾘﾝｸ(www1.ocn.ne.jp)
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | >3、>>35-36、>>47-48
|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
50:１３２人目の素数さん
05/01/27 22:38:03
実数x,正整数nに対し
Σ[k=1..n]{sin(kx)/k}≦2√π
51:不等式ヲタ
05/01/28 11:37:16
Majorization Inequality なんて初耳だったし、
Ho:lderの不等式なんか証明の仕方を忘れてるのに
平気で使っている横着な自分に気がついた。
それで、三角不等式とか相加相乗などの基本から始めて
証明をつけながら一つ一つまとめてる最中だけど、全然進まない。
相加相乗は、証明の別解が多すぎて後回しにしてるし…。
いま Jensenの不等式をまとめてて、積分形があるのを知った。
しかし証明が載ってない… （参考文献[2] 第７章 P.187-）
il||li _|￣|○ il||li
区間 [α,β] の凸関数 f(x) と、
区間 [a, b] で連続な a(x)、φ(x) が α≦a(x)≦β、φ(x)>0 をみたすとき、
{∫[a, b]a(x)f(φ(x))dx}/{∫[a, b]a(x)dx} ≧ f({∫[a, b]a(x)φ(x)dx}/{∫[a, b]a(x)dx})
52:１３２人目の素数さん
05/01/28 12:56:25
参考文献[3] P.125 Karamataの不等式 について、しょうもない疑問。
Karamata って人名？ 地名？
検索すると、ギリシャのプロポネソス半島の南端の 町の名にカラマタってのがあるらしい。
53:１３２人目の素数さん
05/01/28 16:02:15
>50
左辺を f_n(x)、その最大値を M_n とおく。
(1) M_nはnについて単調増加.
(2) n→∞ のとすると f_n(x) は各点で収束するが、[0,π]で一様収束ではない。
｛極限 は f(x)=(π-x)/2 (0<x<2π), f(0)=0 ｝
(3) M_nの上限は G '= Si(π) = ∫_[0,π] sin(x)/x dx = 1.85193705198245...
(1の略証)
M_1 = f_1(π/2) =1.
M_2 = f_2(π/3) =(3/4)√3 >1.
x≠2mπ (mは整数)のとき
f_n '(x) = Σ[k=1..n] cos(kx) = Σ[k=1..n] {sin[(k+1/2)x] - sin[(k-1/2)x]}/[2sin(x/2)]
= {sin[(n+1/2)x] - sin(x/2)}/[2sin(x/2)] = cos[(n+1)x/2]sin(nx/2)/sin(x/2).
|f_n| が極大（or停留値）になるのは cos[(n+1)x/2]=0 すなわち x_k=(2k+1)π/(n+1) のとき。
|f_n| が最大となるx_k を X とおくと、sin[(n+1)x_k]=0 より, M_n = f_n(X) = f_{n+1}(X) < M_{n+1}.
(注) x0 = π/(n+1), (2n+1)π/(n+1).
あとは任せた。
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
54:31
05/01/28 20:24:51
[43] の方針ならば
(左辺) ≧ tan((π/2)sin(u)) + tan{α･cos(u)} = F(u,c) ≧ tan(u) + tan{α･cos(u)}
≧ u + tan{α[1-(1/2)(u^2)]} ≧ u +tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2
= tan(α) +(1-1.194260986681u)u ≧ tan(α).
となる。
【補題1】
0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 sin(x)/sin(y) > sin(u)/sin(c), u≡cx/y.
(略証) 0<k<1, 0<y<π/2 のとき
{sin(ky)/sin(y)} ' = [k･tan(y)-tan(ky)]cos(ky)cos(y)/[sin(y)^2] ≧0.
∴ sin(ky)/sin(y) はyについて単調増加。
∴ sin(x)/sin(y)> sin(cx/y)/sin(c) = sin(u)/sin(c).
55:１３２人目の素数さん
05/01/28 20:40:44
>>50訂正
実数x,正整数nに対し
|Σ[k=1..n]{sin(kx)/k}|≦2√π
56:１３２人目の素数さん
05/02/01 12:04:27
閑散としたスレに不等式ヲタ降臨！
主に下のサイトから発掘 （書き間違いがあったらゴメソ）
URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━|::::: (● (● |━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
57:１３２人目の素数さん
05/02/01 12:05:34
【問題Ａ】正の数 a, b, c, d, e に対して、次の不等式を示せ。
(1) 4a+5b+6c ≧ 3√(ab) + 7√(bc) +5√(ca)
(2) a+b+c=1 のとき、
(ab)^(5/4)+(bc)^(5/4)+(ca)^(5/4) < 1/4
(3) a^2+b^2+c^2=1 のとき、
1/(a^2) +1/(b^2) +1/(c^2) ≧ 3 + 2(a^3+b^3+c^3)/(abc)
(4) a+b+c=3, abc=1 のとき、
ab/[(a^2+b)(a+b^2)] + bc/[(b^2+c)(b+c^2)] + ca/[(c^2+a)(c+a^2)] ≦ 3/4
(5) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 ≧1 のとき、
a^2/(b+c+d) + b^2/(c+d+e) + c^2/(d+e+a) + d^2/(e+a+b) + e^2/(a+b+c) ≧ √5/3
【問題Ｂ】三角形ABCにおいて、次の不等式を示せ。
(6) (sinA + sinB + sinC)^2 ≦ 6(1 + cosA・cosB・cosC)
(7) 外接円、内接円の半径を R, r とおくとき、(cos{(B-C)/2})^2 ≧ 2r/R
(8) (sinA)^2/A + (sinB)^2/B + (sinC)^2/C の値を求めよ。
(1) Hungary 2005.1
(2) Crux M146 (30n4)
(3) Crux 2532 (26n3)
(4) Crux M137 (30n2)
(5) Crux 3001 (31n1)
(6) Crux 2676 (27n7)
(7) Crux 2382 (24n7)
(8) Crux 2190 (22n8)
58:１３２人目の素数さん
05/02/01 12:07:27
【問題Ｃ】久々にネタ投下。しょぼいですが… (´д｀；)ｶﾞｸﾌﾞﾙ
(1) 自然数 m, n に対して、(m+n)!/(m!) ≧ (m+1)^n
(2) 実数 a, b が a-b=1 をみたすとき、a^3-b^3 ≧ 1/4
(3) 0 < θ < π/2 において、sinθ+tanθ > 2θ
(4) x, y >1 のとき、log((x+1)/(x-1))*log((y+1)/(y-1)) ≧ [log((x+y+2)/(x+y-2))]^2
(5) 0 ≦ a_k <1 が, a = √( [(a_1)^2 + … + (a_n)^2]/n ) ≧ 1/√3 をみたすとき、
(a_1)/[1-(a_1)^2] + … + (a_n)/[1-(a_n)^2] ≧ na/(1-a^2)
(6) Fibonacci数列 F(n) に対して、(Σ[k=1 to n]F(k+1)^2)(Σ[k=1 to n]1/F(2k)) ≧ n^2
【問題Ｄ】気分転換に等式の証明とか…
(7) C[n,k] を二項係数とする。a_k = 1/C[n,k], b_k = 2^(k-n) に対して
Σ[k=1 to n] (a_k)/k = Σ[k=1 to n] (b_k)/k
(8) nは3の倍数でない自然数とする。
n次実正方行列 A, B, C が A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA をみたすとき、
det(AB+BC+CA-AC-CB-BA)=0
(9) 2xy/(x+y) + √[(x^2+y^2)/2] = √(xy) + (x+y)/2 の実数解の組をすべて求めよ。
(1) 参考文献[4] P.15 (2) Crux M127 (30n1)
(3) Crux 2585 (26n7) (4) Crux 233 (29n4)
(5) Crux 3001 (30n7) (6) Crux 2955 (30n5)
(7) Hungary 3771 (8) Crux 2998 (30n8)
(9) Crux 2268 (23n6)
59:１３２人目の素数さん
05/02/01 14:13:32
>>4に追加。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
MIA Journal
URLﾘﾝｸ(www.mia-journal.com)
60:１３２人目の素数さん
05/02/01 22:52:30
みなさん、The Cauchy-Schwarz Master Class は買いましたか？
61:１３２人目の素数さん
05/02/02 14:19:46
>57
（問題Ａ）
(1) 3･(a+b)/2 ≧ 3･√(ab)
7･(b+c)/2 ≧ 7･√(bc)
5･(c+a)/2 ≧ 5･√(ca)
辺々たす。
(3) a^2 +b^2 +c^2 =T のとき、 x^2 +y^2 ≧ 2xy より
(左辺)･T = 3 + (a^2){(1/b)^2 +(1/c)^2} +(b^2){(1/c)^2 +(1/a)^2} +(c^2)/{(1/a)^2 +(1/b)^2}
≧ 3 +(a^2)(2/bc) +(b^2)(2/ca) +(c^2)(2/ab) = 3 +2(a^3 +b^3 +c^3)/(abc) = (右辺).
(4) a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、 t≦√(3su).
(略証) t^2 -3su = [(a^2)(b-c)^2 +(b^2)(c-a)^2 +(c^2)(a-b)^2]/2 ≧0.
(b +a^2)(a +b^2)/ab = 1 +(a^3 +b^3)/ab +ab ≧ 1 +(a+b) +ab = (1+a)(1+b).
(左辺) ≦ 1/[(1+a)(1+b)] +1/[(1+b)(1+c)] +1/[(1+c)(1+a)] = (3+s)/[(1+a)(1+b)(1+c)] = (3+s)/(1+s+t+u)
≦ (3+s)/[1+s+√(3su) +u].
（問題Ｂ）
(6) {sin(A) +sin(B) +sin(C)}^2 ≦ 3{sin(A)^2 +sin(B)^2 +sin(C)^2}
= 3{3 -cos(A)^2 -cos(B)^2 -cos(C)^2} = 6{1 +cos(A)cos(B)cos(C)}.
ぬるぽ
62:１３２人目の素数さん
05/02/02 14:23:19
>58
（問題Ｃ）
(1) m≧0, 自然数n に対して, 左辺 = Γ(m+n+1)/Γ(m+1) = (m+1)(m+2)……(m+n) ≧ (m+1)^n = 右辺.
等号成立は n=1 のとき。
(2) a-b=d>0 とする。 a^3 -b^3 =(a-b)(a^2 +ab +b^2) = d･{3(a+b)^2 +d^2}/4 ≧ (1/4)d^3.
等号成立は a+b=0 のとき。
(3) いつものように tan(θ/2) =t とおくと t>0.
左辺 = 2t/(1+t^2) +2t/(1-t^2) = 4t/(1-t^4) > 4t = 4tan(θ/2) > 4(θ/2) = 2θ.
（問題Ｄ）
(9) (x+y)/2 - 2xy/(x+y) = (x-y)^2 /[2(x+y)] = (x-y)^2 /[2f(x,y)].
√[(x^2+y^2}/2] -√(xy) = (x-y)^2 /{2√[(x^2+y^2)/2] +2√(xy)} = (x-y)^2 /[2g(x,y)].
∴ (左辺)-(右辺) = (x-y)^2 {1/g(x,y) -1/f(x,y)}.
一方、 f(x,y)^2 -g(x,y)^2 = (x+y)^2 -[(x^2+y^2)/2] -(xy) -2√[xy(x^2+y^2)/2]
= (1/2){(x+y)^2 -4√[xy(x^2+y^2)/2]} = (1/2)(x-y)^4 /{(x+y)^2 +4√[xy(x^2+y^2)/2]} ≧0.
等号成立は x-y=0 に限る。
ぬるぽ
63:１３２人目の素数さん
05/02/02 21:11:49
>58(4)
x>1 に対して f(x) = log{log[(x+1)/(x-1)]} とおくと、
g(x) = exp{f(x)} = log[(x+1)/(x-1)] = -log[(x-1)/(x+1)] = -log[1 -2/(x+1)] > 2/(x+1) > 1/x.
f "(x) = {2/[(1-x^2)g(x)]}^2･[x･g(x)-1] >0 ゆえ f( )は下に凸.
∴ f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).
訂正、スマソ↓
>61(4) ab+bc+ca=t とすると、t≧√(3su).
>62(1) 自然数mに対しては Γ(m+1) = m!
>62(3) tan(θ/2) =t とおくと 0<t<1.
64:１３２人目の素数さん
05/02/02 21:54:38
>57(2)
a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると(注)により、
(左辺) ≦ (ab+bc+ca)(√s)/2 +［ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/(4√s)
≦ (1/6)s^(5/2) +(1/14)s^(5/2) = (5/21)s^(5/2).
(注) ab+bc+ca = {2(a+b+c)^2 -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2}/6 ≦ (1/3)s^2.
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = (1/7){2[(a+b+c)^3 -6abc]-(a-b)(a^2-b^2)-(b-c)(b^2-c^2)-(c-a)(c^2-a^2)} ≦ (2/7)s^3.
ばらばらで、スマソ。
65:１３２人目の素数さん
05/02/03 10:28:44
>>61-64
早っ！ 激乙です。
俺もすらすら解けるようになりたい… (ノ∀`)
66:１３２人目の素数さん
05/02/03 16:11:55
参考文献[2] P.188の一番下
区間 [a, b] で連続な関数 f(x), g(x)≧0 に対して、p≧1 のとき
∫[a, b] {f(x)}^p dx + ∫[a, b] {g(x)}^p dx ≧ ∫[a, b] {f(x)+g(x)}^p dx
は、どうやって証明するんでせうか？
たのも～。
67:１３２人目の素数さん
05/02/03 17:19:19
>66
p=1 ならば 等号成立。
p>1 のとき f^p + g^p = f･f^(p-1) + g･g^(p-1) < f･(f+g)^(p-1) + g･(f+g)^(p-1) = (f+g)^p.
68:１３２人目の素数さん
05/02/04 19:45:56
>58(6)
次の補題より、相加・調和平均に持ち込む。便宜上、F(0)=F(2)-F(1)=0 とした。
【補題】 F(2n) = F(n+1)^2 -F(n-1)^2.
（略証）nに関する帰納法による。
n=1 のとき F(2x1) = 1 = 1^2 - 0^2 = F(2)^2 - F(0)^2.
n=2 のとき F(2x2) = 3 = 2^2 - 1^2 = F(3)^2 - F(1)^2.
n=3 のとき F(2x3) = 8 = 3^2 - 1^2 = F(4)^2 - F(2)^2.
n-1,n に対しては成立したとする。このとき
F(m+2) = F(m+1) +F(m) = 2F(m) + F(m-1) = 3F(m) -F(m-2) …(*)より
F(2n+2) = 3F(2n) -F(2n-2) = 3{F(n+1)^2 -F(n-1)^2} -{F(n)^2 -F(n-2)^2}.
これに、F(n+1) = F(n+2) - F(n),
F(n-1) = F(n+1) -F(n) = F(n+2) -2F(n),
F(n-2) = 3F(n) -F(n+2) …(*).
を代入して F(n) と F(n+2) で表わせば、求める式が出る。(終)
よって、(左辺) ≧ {Σ[k=1,n] 1/Ｆ(2k)}{Σ[k=1,n] Ｆ(2k)} ≧ n^2.
（系） F(2n) = F(n){F(n+1)+F(n-1)} は F(n) で割り切れる。
ぬるぽ
69:１３２人目の素数さん
05/02/04 20:28:14
>>67
なるへそ。
不等号の向きが逆だったんですね。
㌧㌧ｸｽ！
70:１３２人目の素数さん
05/02/04 22:53:03
x>0, y>0, z>0, x^4+y^4+z^4=1 のとき
(x^3)/(1-x^8) + (y^3)/(1-y^8) + (z^3)/(1-z^8)
の最小値を求めよ
71:１３２人目の素数さん
05/02/05 02:55:20
>70
f(x) = x^3 /(1-x^8), x0=1/[3^(1/4)], x/x0 =X,
M = f(x0) = (9/8)[3^(1/4)] = 1.48058326… とおくと、
f(x) - M･x^4 = {1 - M[3^(1/4)]x(1-x^8)}(x^3)/(1-x^8)
= {1-(9/8)X(1-(1/9)X^2)}(x^3)/(1-x^8) = (1/8)(8-9X+X^9)(x^3)/(1-x^8)
= (1/8)(1-X)^2･{Σ[k=0,7] (8-k)x^k}(x^3)/(1-x^8) ≧ 0.
等号成立は X=1, x=x0=0.75983568 … のとき。
∴ (与式) = f(x) + f(y) + f(z) ≧ M(x^4+y^4+z^4) = M = 1.48058326 …
ぬるぽ
72:71
05/02/05 03:41:47
(訂正)、スマソ。
M = f(x0)/(x0^4) = …
(補足)
X≧0 ⇒ X^n - nX +(n-1) = (X-1)^2 {Σ[k=0,n-2] (n-1-k)X^k} ≧0.
73:１３２人目の素数さん
05/02/05 06:37:17
x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0 が実根を持つならば、a^2+b^2≧8
74:１３２人目の素数さん
05/02/05 12:46:14
ココで出題した問題が、yahoo（>>34）のprime_132 にコピペされているな・・・
不等式ヲタの苦労が水の泡ってところか・・・
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
75:１３２人目の素数さん
05/02/05 23:09:37
>73
左辺を平方完成(?)すると、
x^4 +ax^3 +2x^2 +bx +1 = (x^2)(x +a/2)^2 +{(8 -a^2 -b^2)/4}x^2 +(bx/2 +1)^2.
ぬるぽ
76:１３２人目の素数さん
05/02/06 03:07:38
>21
[前スレ.565(4)]
無限乗積表示 sin(πx) = πx･Π[k=1,∞) {1-(x^2)/(k^2)} を使ってみますた。(牛刀
かも)
f(x^2) = log|sin(πx)/πx| - a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)} (0≦a≦1) とおくと、
f(y) = Σ[k=1,∞) log[1 -y/(k^2)] -a･{log(1-y) -log(1+y)}, f(0) = 0.
f '(y) = -Σ[k=1,∞) 1/(k^2 -y) +a･{1/(1-y) +1/(1+y)}.
= -Σ[k=2,∞) 1/(k^2 -y) -(1-a)/(1-y) +a/(1+y) :単調減少(fは上に凸).
f '(y) < f '(0) = -ζ(2) +2a = -(π^2)/6 + 2a.
(i) a=1 のとき 上に凸で f(0)=f(1)=0 だから |x| <1 で f(x^2)>0.
(ii) a≦(π^2)/12 = 0.82246703… のとき f '(0)<0 ∴ f'(x^2)<0, f(x^2)<0.
∴ log(1-x^2) -log(1+x^2) < log|sin(πx)/πx| < a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)}.
ぬるぽ
77:１３２人目の素数さん
05/02/06 09:39:01
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
そこに痺れる憧れるぅ～
78:１３２人目の素数さん
05/02/06 12:18:58
【Johnstonの不等式】
a_1, …, a_n の相加平均をA、相乗平均をBとする。
0 < P ≦ a_k ≦ Q のとき、 G^(Q-P) ≧ P^(Q-A)・Q^(A-P)
∧_∧ ｯﾊﾟｼｬ ｯﾊﾟｼｬ
( )】
/ /┘ ﾑｯﾊｧ～ ﾊｧﾊｧ…
ノ￣ゝ
79:１３２人目の素数さん
05/02/07 12:07:24
>78
P= a_k =Q のときは等号成立。
P<Q のとき {Ln(Q)-Ln(P)}/(Q-P) =Ｃ とおく。 Ｃ>0.
Ln( )は上に凸だから、
a_k≠P に対して {Ln(a_k) - Ln(P)}/(a_k -P) > Ｃ, Ln(a_k) - Ln(P) > (a_k -P)Ｃ.
k=1 to n について加えてnで割ると Ln(G) - Ln(P) > (A-P)Ｃ ……(1).
a_k≠Q に対して Ｃ > {Ln(Q) - Ln(a_k)}/(Q -a_k), (Q -a_k)Ｃ > Ln(Q) - Ln(a_k)
k=1 to n について加えてnで割ると (Q-A)Ｃ > Ln(Q) - Ln(G) …… (2).
(1)(2)からＣを消去して真数をとれば、求める式が.....
ぬるぽ
80:１３２人目の素数さん
05/02/07 21:51:47
x(1)=2, x(n+1)=x(n)^2-x(n)+1 (n≧1) のとき
1-1/2^(2^(n-1)) < Σ[k=1..n](1/x(k)) < 1-1/2^(2^n)
81:１３２人目の素数さん
05/02/08 10:12:51
>80
漸化式から 1/x(k) = 1/{x(k)-1} -1/{x(k+1)-1}.
∴ (中辺) = Σ[k=1,n] 1/x(k) = 1/{x(1)-1} -1/{x(n+1)-1} = 1 -1/{x(n+1)-1}.
ここで次の(補題)を用いると、
1 -1/{2^[2^(n-1)]} ≦ Σ[k=1,n] 1/x(k) < 1 -1/{2^(2^n)}, (等号はn=1).
（補題） n≧1 ⇒ 2^{2^(n-1)} ≦ x(n+1) -1 < 2^(2^n) -1, (等号はn=1).
(略証) nについての帰納法による。
n=1 のとき 2 = x(2)-1 < 4-1 で成立。あとは簡単(終).
ぬるぽ
82:１３２人目の素数さん
05/02/08 21:34:33
[1]
a(k)∈(0,π/2), k=1,2,3,4, Σa(k)=π のとき
Σ{(√2)*sin(a(k))-1}/cos(a(k))≧0
[2]
z(k)∈C, k=1,2,...,n, Σ|z(k)|=1 のとき
|Σ[z∈S]z(k)|≧1/6 を満たす S⊆{z(1),z(2),...,z(n)}
が存在する
83:１３２人目の素数さん
05/02/08 22:13:55
【問題 11127】 ('A`) なす術なし…
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
84:Arith ◆Arithtz1sk
05/02/08 22:18:07
>>82([2])
{1, 2, ..., n}を(arg z(k))*2/π（ただしargは[0, 2π)の範囲に取る）の整数部分によって
4つの集合S_0, S_1, S_2, S_3に分ける。
いずれかのjについて∑_{k∈S_j}|z(k)|≧1/4が成り立つ。
k∈S_jならばarg' z(k)i^{-(j+1/2)}∈[-π/4, π/4)（arg'は[-π, π）の範囲に取った偏角）であることより
|∑_{k∈S_j}z(k)|
=|∑_{k∈S_j}z(k)i^{-j}|
≧Re ∑_{k∈S_j}z(k)i^{-j}
≧∑_{k∈S_j}|z(k)|cos(π/4)
≧1/(4sqrt(2))>1/6。
<<OVER KILL>>
85:１３２人目の素数さん
05/02/09 15:02:41
>>82 Mathnoriに載ってたんだが。
m(>1)次元ユークリッド空間上のn個の点x(i)=(x(i,1) , x(i,2) , … , x(i,m)) が
Σ[i=1～n] |x(i)| =1 を満たすならばn個の点から適当にいくつか選び、
それらをy(1),y(2),…,y(k)とすれば
|Σ[i=1～k] y(i)|≧Γ(m/2)/(2sqrt(π) Γ((m+1)/2))
とすることが可能である。
---
MathNori回答者（つか俺）の答案からコピって来た。
86:１３２人目の素数さん
05/02/10 10:09:13
>85
m=1 のとき
x(k)の符号により二類に分ける。
x(i)>0 の和を S(+)=Σx(i)=Σ|x(i)|, x(j)<0 の和を S(-)=Σx(j)=-Σ|x(j)| とすると、
|S(+)| + |S(-)| = Σ[k=1,n] |x(k)| =1.
∴ |S(+)| ≧1/2 または |S(-)| ≧1/2.
m>1 のとき
ある向き(e↑)の成分を考えて、1次元に帰着させる。
e↑∈Ω(m), ここに「超球面」Ω(m)={e↑∈R^m | ∥e∥=1 }, |Ω(m)|=∮dω= {2/Γ(m/2)}π^(m/2)
いま、f(e↑) = Σ[k=1,n] |(e↑･x(k)↑)| = Σ[k=1,n] |cosθ(e,k)| ∥x(k)∥ とおき、
あらゆる向きのe↑について平均すると、<|cosθ|> を外へ出すことができ、
<f(e↑)> = ∮f(e↑)dω/|Ω(m)| = <|cosθ|>･Σ[k=1,n]∥x(k)∥ = <|cosθ|> = Γ(m/2)/{Γ((m+1)/2)√π}.
∴ f(e_1) ≧ <|cosθ|> となるような e_1 をとることができる。
以下m=1のときと同様にして |S|≧(1/2)<|cosθ|> が出る。
ぬるぽ
(例) m=1 のとき |S|≧1/2, m=2のとき |S|≧1/π, m=3のとき |S|≧1/4.
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
87:１３２人目の素数さん
05/02/10 14:17:35
定数nに対し、項数kの自然数列
1≦a(1)＜a(2)＜…＜a(k)≦n
を考える。この数列をどの二項の和( a(i)+a(j) )
も平方数にならないように定め、kを可能な限り大きくしたとき、
11n/32≦k＜n/2 を示せ。
88:１３２人目の素数さん
05/02/10 14:18:36
訂正
11n/32≦k を示せ。
89:saikorodeka(偽)
05/02/10 22:12:00
【78の類題】
正の数 a_1, …, a_n の相加平均をA、調和平均をH とする。
0 < P ≦ a_k ≦ Q のとき、 H ≦ PQ/(P+Q-A).
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
90:89
05/02/10 22:37:15
[89]写し間違い、スマソ.
H ≧ PQ/(P+Q-A).
91:１３２人目の素数さん
05/02/10 23:11:42
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！ >>89-90
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
92:１３２人目の素数さん
05/02/12 12:23:35
分かスレにありますた。
nを自然数とし,
A_n(x) = {cos(2x)}^(n/2), B_n(x) = {cos(x)}^(2n) - {sin(x)}^(2n) とする。
0<x<π/4 において A_n(x) と B_n(x) の大小を比べよ。
分かスレ２０３
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:4番),84
93: ◆BhMath2chk
05/02/13 02:00:02
逆数の相加平均は調和平均の逆数で
逆数の相乗平均は相乗平均の逆数なので
>>78から
（１／Ｇ）＾（１／Ｐ－１／Ｑ）
≧（１／Ｑ）＾（１／Ｐ－１／Ｈ）（１／Ｐ）＾（１／Ｈ－１／Ｑ）。
（Ｐ／Ｑ）＾（ＰＱ／Ｈ）
≧Ｇ＾（Ｑ－Ｐ）Ｐ＾ＰＱ＾（－Ｑ）
≧（Ｐ／Ｑ）＾（Ｐ＋Ｑ－Ａ）。
94:89
05/02/13 06:38:29
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ! >93
95:79
05/02/13 07:24:29
>78 (訂正)
我ながら間違いが多いな・・・後(ry
Ln(a_k) - Ln(P) ≧ (a_k -P)Ｃ, (Q -a_k)Ｃ ≧ Ln(Q) - Ln(a_k).
等号成立は a_k=(P or Q) のとき
96:zeros_force(偽)
05/02/13 18:14:35
(問題)
0≦x≦y，x＋y=1，nは自然数 とするとき、
y^n -y ≦ x^n -x が成り立つことを示して下さいです。。。
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
97:１３２人目の素数さん
05/02/15 02:11:38
>>64
> >57(2)
> a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると
これって、どうやって思いつくんですか？
98:64
05/02/15 09:07:19
>97
s>a,b より相加･相乗平均 (ssab)^(1/4) < (s+s+a+b)/4, (ab)^(1/4)･√s < (2s+a+b)/4.
99:１３２人目の素数さん
05/02/15 11:52:25
>96 nを実数とする。
n≦0 のとき
x^n-x は単調減少により成立。等号は x=1/2.
n>0 のとき
(左辺) - (右辺) = (1-x)^n -x^n +x -(1-x) = f(x) とおくと
f(0)=0, f(1/2)=0, f "(x) = n(n-1){(1-x)^(n-2) -x^(n-2)}.
・0<n<1 or 2<n のとき f "(x)≧0(下に凸), f(x)≦0 により成立. 等号はx=0,1/2.
・n=1,2 のとき f "(x)=0, f(x)=0 により等号成立.
・1<n<2 のとき f "(x)≦0(上に凸), f(x)≧0 だから逆向き. 等号は x=0,1/2.
ぬるぽ
100:１３２人目の素数さん
05/02/15 15:20:58
>>98
なるへそ。ありがとうございます！
>>99
ぐっじょぶ！
101:１３２人目の素数さん
05/02/18 04:01:27
問題 1713. nCr (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
問題 1714 不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
問題 792 不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
（再掲）
問題 11127 三角関数と不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
URLﾘﾝｸ(www.math.nwu.edu)
102:１３２人目の素数さん
05/02/19 00:57:04
power mien の積分形を考えてて思ったこと。
区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
lim[r→0] {(∫[a,b] {f(x)}^r dx)/(b-a)}^(1/r)
は、e^{(∫[a,b] \log f(x) dx)/(b-a)} になりますか？
103:１３２人目の素数さん
05/02/19 00:57:35
>>102
power mean … ('Ａ`)
104:１３２人目の素数さん
05/02/19 01:23:44
>>64
>>57(2)は、ピッタリ最大値が求まらないでしょうか？
105:１３２人目の素数さん
05/02/19 01:46:09
求まりそうな気がするけどね
条件が対称だから
106:１３２人目の素数さん
05/02/19 02:41:29
ですよねぇ。
最大値は a=b=c のとき 1/(9√3) だろうと思って
こないだから弄ってたんだけど、力不足でだめぽ。
さらりと解いて解答を載せるつもりだったけど、
挫折して聞いてしまった… ('Ａ`)
107:106
05/02/19 02:45:33
書き間違い… （吊）
a=b=c=1/3のときの 1/(3√3)
108:１３２人目の素数さん
05/02/19 02:49:55
>>101
問題1713 は、前スレの終わりのほうで
似たようなやつがあったけど、できそうでまだできてない…。
OS再インストールしたときに、過去ログの保存を忘れててアボーンしてしまった。
dat落ちしてから、見れるようになるまで何ヶ月くらいかかるのでせうか？
|
8 < ﾓｳ ﾀﾞﾒﾎﾟ…
'`
￣
109:64
05/02/19 04:24:38
>104-107
[106-107]が正しいとすると、等号条件が a=b=c =s/3 の不等式しか使えない。たとえば[98]は
{(s/3)(s/3)ab}^(1/4) < {2(s/3)+a+b}/4, (ab)^(1/4)･√(s/3) < {2(s/3)+a+b}/4.
としないといけないし、[64]は次のようにする。
(ab)^(5/4) < ab{2(s/3)+a+b}/{4√(s/3)} を循環的に加えると(注)により、
(左辺) ≦ (ab+bc+ca)(1/2)√(s/3) +［ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/{4√(s/3)}
≦ (1/2)t√(s/3) + (1/4)(s^2-t)√(s/3) = (1/4)(s^2+t)√(s/3) ≦ 3(s/3)^(5/2) = {1/(3√3)}s^(5/2).
(注) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = st -3u ≦ (s/3)(s^2 -t).
∵ s^3 -4st +9u ≧ 0. （← [前スレ.611]の(1) または "Inequalities"の定理80）
110:１３２人目の素数さん
05/02/19 09:17:15
>>109
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━!!!!!!!!!!
そうか！ s/3 で置き換えれば ≦ になるのか！
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
111:１３２人目の素数さん
05/02/19 22:28:37
>101 [1713]
(問題) Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] 1/Ｃ[n,k] = 3/2.
(解答) (左辺) = Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] …… = Σ[k=2,∞) Σ[n=k+2,∞) …… を使おう。
1/Ｃ[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)} = {k!/(k-1)}{ 1/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] -1/[n(n-1)…(n-k+2)] }
= {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[n-1,k-1] -1/Ｃ[n,k-1] }.
∴ Σ[n=k+2,N] 1/Ｃ[n,k] = {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[k+1,k-1] -1/Ｃ[N,k-1] }
= {k/(k-1)}{ 2/[k(k+1)] -1/Ｃ[N,k-1] } = {1/(k-1)}{ 2/(k+1) -k/Ｃ[N,k-1] }
= {1/(k-1)}{1 -(k-1)/(k+1) -k/Ｃ[N,k-1] } → 1/(k-1) -1/(k+1). (N→∞)
k=偶数(2,4,…)についての和は 1/(2-1) =1, k=奇数(3,5,…)についての和は 1/(3-1) =1/2.
よって (左辺) = 1/(2-1) + 1/(3-1) = 1 +1/2 =3/2.
ぬるぽ
112:１３２人目の素数さん
05/02/20 07:41:58
>>102-103
もっと詳しく！
113: ◆BhMath2chk
05/02/20 11:00:00
前スレ。
URLﾘﾝｸ(mimizun.com:81)
URLﾘﾝｸ(mimizun.com)
URLﾘﾝｸ(makimo.to)
URLﾘﾝｸ(makimo.to)
114:111
05/02/20 15:55:40
>101 [No.1714]
(問題) m,n,x,y,z>0, x+y+z=s のとき、
(x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] + (y^4)/[(my+nz)(mz+ny)] + (z^4)/[(mz+nx)(mx+nz)] ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
(解答) 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
= [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).
4(x^4) = (x^2+y^2)(3x^2 -y^2) + (x^2 -y^2)^2 ≧ (x^2+y^2)(3x^2 -y^2).
辺々割って、
(x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] ≧ (1/2)(3x^2 -y^2)/(m+n)^2.
循環的に加えて、
(左辺) ≧ (x^2 +y^2 +z^2)/(m+n)^2 ≧ (1/3)(x+y+z)^2/(m+n)^2 ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
ぬるぽ
[111] [No.1713] の補足
n=4,…,N までの部分和をとる。
Σ[n=4,N] Σ[k=2,n-2] 1/Ｃ[n,k] = Σ[k=2,N-2] Σ[n=k+2,N] 1/Ｃ[n,k] = ……
= 3/2 -1/(N-2) -1/(N-1) - Σ[k=2,N-2] {k/(k-1)}/Ｃ[N,k-1]
= 3/2 -1/(N-2) -1/(N-1) - { 2/N + 3/(N(N-1)) + Σ[k=4,N-2]Ｏ(1/N^3) } → 3/2 (N→∞).
115:108
05/02/20 20:06:33
>>113
をぉぉっ！ ありがとうございます。
助かりました。
116:24
05/02/20 21:04:20
>>113
をぉぉっ！ ありがとうございまつ。
助かりますた。
117:１３２人目の素数さん
05/02/20 21:11:44
>101 [No.792]
一般に、正係数の多項式Ｆ(x, y, …) については、
x_k≧0, y_k≧0, … (k=1,2,…,n) ⇒ Σ[k=1,n] Ｆ(x_k, y_k, …) ≧ Ｆ(Ｇx, Ｇy, …).
ここにＧは相乗平均で、Ｇx={Π[k=1,n] x_k}^(1/n), Ｇy={Π[k=1,n] y_k}^(1/n), …
ぬるぽ
118:１３２人目の素数さん
05/02/20 22:19:53
「数学オリンピック」 スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:529番),562,580
JMO本選３らしい…
529 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/12(土) 12:30:59
正の実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
a(1+b-c)^(1/3) + b(1+c-a)^(1/3) + c(1+a-b)^(1/3) ≦ 1
580 名前： ◆BhMath2chk [sage] 投稿日：05/02/16(水) 13:00:02
>>529
－１≦ｘのとき（１＋ｘ）＾（１／３）≦１＋ｘ／３。
ａ（１＋ｂ－ｃ）＾（１／３）≦ａ＋ａｂ／３－ａｃ／３。
ｂ（１＋ｃ－ａ）＾（１／３）≦ｂ＋ｂｃ／３－ａｂ／３。
ｃ（１＋ａ－ｂ）＾（１／３）≦ｃ＋ａｃ／３－ｂｃ／３。
119:117
05/02/21 00:46:05
>101 (No.792)
[117] の訂正、すまそ。
(1/n)Σ[k=1,n] Ｆ(x_k, y_k, …) ≧ Ｆ(Ｇx, Ｇy, …).
(略証) 項ごとに相加･相乗平均を使う。
120:102
05/02/21 04:47:53
>>112 [power mean]
正の数 a_1, …, a_n の r次平均 M_r = [((a_1)^r + … + (a_n)^r)/n]^(1/r) について
lim[r→+∞]M_r = max{a_1, …, a_n}
lim[r→-∞]M_r = min{a_1, …, a_n}
lim[r→0]M_r = G （相乗平均）
これが関数もときにも成り立ってるのかなと思ったわけで…
区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
lim[r→+∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = max[a≦x≦b]f(x)
lim[r→-∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = min[a≦x≦b]f(x)
が成り立つから、
lim[r→0] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r)
も何かの値になるのかなと思ったのでした。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
121:１３２人目の素数さん
05/02/21 08:04:59
【sin】高校生のための数学質問スレPart20【cos】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:444番)
444 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/21(月) 00:49:38
（問題）
n,m,x,y,z が正数のとき、
x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my) >= 3/(m+n)
となることを数IAの範囲で証明せよ。
122:１３２人目の素数さん
05/02/21 08:38:48
>>121
Cauchy の不等式より
[x(ny+mz) + y(nz+mx) +z(nx+my)]*[x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my)] ≧ (x+y+z)^2 … (1)
ここで、
x(ny+mz) + y(nz+mx) +z(nx+my) = (m+n)(xy+yz+zx)
であることと、
(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (1/2)[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] ≧ 0 … (2)
より、[(x+y+z)^2]/(xy+yx+zx) ≧ 3 だから
[x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my)] ≧ [(x+y+z)^2]/[(m+n)(xy+yz+zx)] ≧ 3/(m+n)
等号成立条件は、(1), (2) の両方で等号が成り立つときで、x=y=z である。
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | なんとか解けたよ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
123:122
05/02/21 09:35:12
気のせいかな？
前にも解いたような気がする…
124:122
05/02/21 10:15:06
前スレにありました （ ﾟ∀ﾟ） ﾃﾍｯ
前スレ 903(1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)
前スレ 907 に解答
x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
循環的に加えて 相加･相乗平均を使うと
左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.
125:122
05/02/21 10:16:13
>>124の解法は、ぬるぽ神によるものです。
126:１３２人目の素数さん
05/02/21 12:08:23
[前スレ.907] の補足
「相加･相乗平均を使う」は数ⅠA 辺りでは通用しないかも知れないので・・・
(補題) X,Y,Z>0 のとき Z/X+X/Y+Y/Z ≧ 3, Y/X+X/Z+Z/Y ≧ 3.
(略証) X,Y ≧Z のとき X-Z≧0, Y-Z≧0 ゆえ
YZ^2 +ZX^2 +XY^2 -3XYZ = Z(X-Y)^2 +Y(X-Z)(Y-Z) ≧0.
ZY^2 +YX^2 +XZ^2 -3XYZ = Z(X-Y)^2 +X(Y-Z)(X-Z) ≧0.
これらを XYZ>0 で割る。 (終)
127:１３２人目の素数さん
05/02/21 21:28:04
[1]
連続関数 f:[0,1]→R が任意の x∈[0,1] に対して
∫_{x}^{1}f(t)dt≧(1-x^2)/2 を満たすとき
∫_{0}^{1}(f(t))^2dt≧1/3
[2]
p>1とする。|x|^p+|y|^p=2を満たす任意の実数x,yに対し、
(x-y)^2≦C(p)*{4-(x+y)^2}
が成立するような定数C(p)が存在する
128:１３２人目の素数さん
05/02/22 04:51:20
>>114
> 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
> = [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).
この式変形に激しく (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
129:１３２人目の素数さん
05/02/23 14:06:12
749 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/23(水) 12:19:56
3^e＜e^3
を示す問題なんですけど、
751 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：05/02/23(水) 13:31:31
>>749
3^e＜e^3⇔3^(1/3)＜e^(1/e)⇔x^(1/x)またはlog(x)/xがx>eで単調減少
130: ◆BhMath2chk
05/02/23 18:00:00
>>102
ｌｏｇ（ｆ（ｘ））が有界のとき
ｆ（ｘ）＾ｒ＝ｅｘｐ（ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｒ）＝１＋ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｒ＋Ｏ（ｒ＾２）。
∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ＝∫ｄｘ＋ｒ∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ＋Ｏ（ｒ＾２）。
∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ＝１＋ｒ∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ＋Ｏ（ｒ＾２）。
（１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾２））＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（ｃ＋Ｏ（ｒ））なので
（∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ）＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ＋Ｏ（ｒ））。
ｌｉｍ（（∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ）＾（１／ｒ））＝ｅｘｐ（∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ）。
131:１３２人目の素数さん
05/02/25 06:26:30
不等式の証明で
4(a^2+ab+b^2)^3 - 27a^2b^2(a+b)^2
の因数分解がうまくいかんのだけど、コツを教えてけれ！
132:１３２人目の素数さん
05/02/25 07:43:56
>>131
a-b=A とおく ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
133:１３２人目の素数さん
05/02/25 10:14:21
>131
基本に返って (a+b)^2=S, ab=t とおく ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
4(S-t)^3 -27(t^2)S = 4S^3 - 12(S^2)t - 15St^2 - 4t^3 = (S-4t)(2S+t)^2
= (a-b)^2(a^2+5ab+b^2)^2.
∵ a=b のとき0だから、因数定理により S-4t=(a-b)^2 を因子にもつ。
134:132
05/02/25 11:53:00
>>131
a-b=A とおいた理由は、b に a を代入したら 0 になるから、因数定理よりｺﾞﾆｮｺﾞﾆｮ…。
結局、>>132-133 から、任意の実数 a, b, c に対して
4(a^2+ab+b^2)^3 - 27[ab(a+b)]^2 = [(a-b)(2a+b)(a+2b)]^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b または 2a=-b または a=-2b のとき。
興味ないだろうけど、参考文献 [2] P.216 問6の解答に同じ問題があるYO！
でも誤植だYO！ il||li _|￣|○ il||li
さらに頼まれもしないのに、不等式の別証をチラシの裏に書いてしまう。
ただし、a, b≧0 の場合ですが…。
4(a^2+ab+c^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+c^2 ≧ (3/4)(a+b)^2
これと相加平均・相乗平均の関係から
(a^2+ab+b^2)^3 ≧ (27/64)(a+b)^6 ≧ (27/16)ab(a+b)^4 ≧ (27/4)[ab(a+b)]^2 ≧ 27(ab)^3
等号成立条件は a=b。
135:132
05/02/25 11:56:43
下から４行目に書き間違い
> 4(a^2+ab+c^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+c^2 ≧ (3/4)(a+b)^2
正しくは
4(a^2+ab+b^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+b^2 ≧ (3/4)(a+b)^2
136:132
05/02/25 12:05:59
a^2+ab+b^2 絡みで…
非負実数 a, b, c に対して
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+ab+c^2)
≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3
───────‐
━━mm━━━━━
||| lll | | .／ ≧ ＼ ガラッ
| | |:::: ＼ .／ | ||| ＿＿＿＿＿＿＿＿
||| | | |::::: (● (● | ／
＼＼ヽ::::... .ワ......ノ ＜ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
＼ ＼ ＼
||| ガラッ ） ﾄ、ヽ ||| ￣￣￣￣￣￣￣￣
||| / （ | | |||
━━━━━mm━━
───────‐
137:１３２人目の素数さん
05/02/25 12:07:06
ゴメン、また書き間違いしました。
非負実数 a, b, c に対して
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3
|
8 < ﾀﾞﾒﾎﾟ…
'`
￣
138:１３２人目の素数さん
05/02/25 16:36:10
>136
左側： [135]
中間： (9/8)(a+b)(b+c)(c+a) = (1/8)(a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c)(c+a)
≧ √(ab)√(bc)√(ca) + (a+b)(b+c)(c+a) = abc +(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca).
右側： (1/3)(a+b+c)^2 - (ab+bc+ca) = (1/6){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} ≧0.
ぬるぽ
139:１３２人目の素数さん
05/02/25 22:36:23
>>122
正の数 a, b, c, m, n に対して、
(a+b+c)^2/[(p+q)(ab+bc+ca)] と [1/(pa+qb) + 1/(pb+qc) + 1/(pc+qa)]*(a+b+c)/3
の大小は定まりますか？
140:１３２人目の素数さん
05/02/25 22:37:25
>>139
また書き間違った。
> 正の数 a, b, c, p, q です ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
141:１３２人目の素数さん
05/02/27 21:03:50
>139-140
a=b=c のときは等号成立。
a=b=c でないとき、
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、(左辺)=(s^2)/[(p+q)t].
p=q のとき (左辺)-(右辺)=(s^2)/(2pt)-s(s^2 +t)/[3p(st-u)] = s{(s^2 -3t) +(t^2 -3su)/t}/[6p(st-u)] >0.
q/p→0 のとき (左辺)-(右辺)= (s^2)/(pt)-st/(3pu) = -s(t^2 -3su)/(3ptu) < 0.
よって 大小は定まらない...
142:１３２人目の素数さん
05/02/27 21:37:29
>>130
ありがとうございまする。 自分では思いつかんす。
>>141
ありがとうございまする。なるへそ。
143:１３２人目の素数さん
05/02/28 09:30:59
a+b+c=1 をみたす非負実数 a, b, c と正の数 m, n に対して、
(a^m)(b^n)+(b^m)(c^n)+(c^m)(a^n) ≦ (m^m)/[(m+n)^(m+n)]
が成り立つなら証明たのも～。
144:１３２人目の素数さん
05/03/01 13:37:31
>>143の類題 （前スレ603）
[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27
145:１３２人目の素数さん
05/03/01 16:18:24
【問題】 公差が負でない等差数列 {a_n} に対して
Σ[k=2 to n] ≦ (n-1)(a_1*a_n+a_2*a_{n+1})/(2*a_1*a_2*a_n*a_{n+1})
146:１３２人目の素数さん
05/03/01 20:07:02
目指せ最下層
147:１３２人目の素数さん
05/03/02 10:22:11
>144
(略証) a,b,c≧0 とし、a^2b +b^2c +c^2a = Ｆ(a,b,c) とおく。
a≧b,c のとき Ｆ(a+c/2, b+c/2) - Ｆ(a,b,c) = (a-b)bc +ac(a-c)/2 +b(c^2)/4 +(c^3)/8 >0.
∴ F(a,b,c) ≦ F(a+c/2, b+c/2, 0).
相加相乗平均より
Ｆ(a ',b ',0) = (a ')^2･b ' ≦ (1/2){(a '+a '+2b ')/3}^3 = (1/2){2(a '+b ')/3}^3
= (1/2){2(a+b+c)/3}^3 = (4/27)(a+b+c)^3.
[1999 CanMO 31st] Problem 5
URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
>145
【問題】 a_k≠0 の等差数列 {a_n} に対して
Σ[k=2 to n] 1/(a_{k+1}･a_{k-1}) = (n-1)[1/(2*a_1*a_n) +1/(2*a_2*a_{n+1})].
(略証)
公差 d=0 のときは a_k=a_1≠0 より成立つ。
公差 d≠0 のとき 1/(a_{k-1}･a_{k+1}) = [1/a_{k-1} -1/a_{k+1}]/(2d)
(左辺) = [1/a_1 +1/a_2 -1/a_n -1/a_{n+1}]/(2d) = [1/a_1 -1/a_n]/(2d) +[1/a_2 -1/a_{n+1}]/(2d)
= (n-1)[1/(2a_1･a_n) +1/(2a_2･a_{n+1})].
>146
現 在 703位
最下層 715位
148:１３２人目の素数さん
05/03/02 10:41:54
>145
【147系】 a_1･a_{n+1} >0 の等差数列 {a_n} に対して、
Σ[k=2 to n] 1/(a_k)^2 ≦ (n-1) {1/(2*a_1*a_n) +1/(2*a_2*a_{n+1})}.
∵ 0 < a_{k-1}a_{k+1} = (a_k -d)(a_k +d) = (a_k)^2 - d^2 ≦ (a_k)^2 だから.
149:最下層！
05/03/02 14:06:14
>146
718中 718位 でつ。
150:１３２人目の素数さん
05/03/02 14:49:20
>>143の類題
a+b+c=1 をみたす非負実数 a, b, c と自然数 m に対して、次式を示せ。
(a^m)b + (b^m)c + (c^m)a ≦ (m^m)/[(m+1)^(m+1)]
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | 最下層記念パピコ問題
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
151:１３２人目の素数さん
05/03/02 14:51:17
世俗と隔離された世界で、不等式に (´д｀；)ﾊｧﾊｧ する。
なんてキティガ…、素敵なんだろう…
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
152:１３２人目の素数さん
05/03/02 15:52:57
>>150
書き忘れたけど、m≧2 なりよ。
153:１３２人目の素数さん
05/03/02 21:05:25
┃ ぬるぽ製薬～♪
┃
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |||＼
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||| ||| || ヽ
||| |||||||| ||||||||| |||| ||| |
|||||||||| ||| || ||||| |||| |
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|||| || ||| ||| || |||| || ||| |||||| |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |ｗ ｗ ｗ
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| | ｗ ｗ ｗ
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |ｗ
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |ｗ ｗ ｗ
URLﾘﾝｸ(www6.big.or.jp)
154:１３２人目の素数さん
05/03/02 21:21:42
>>149
あげるな
155:１３２人目の素数さん
05/03/02 21:50:28
【問題】 -1 < a, b, c < 1 かつ a+b+c = -1/2 のとき、
3/[6^(12)] ≦ a^(12) + b^(12) + c^(12) ≦ 2+ (1/2)^(12)
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk) Page.2, Ex.3
最小値は Jensen から、最大値は majorization すげぇ～！
ところで majorization 知らない場合の最大値の求め方をたのも～。
>153-154
荒らさないで下さ(=ﾟωﾟ)ﾉぃょぅ
156:１３２人目の素数さん
05/03/02 22:14:06
最下層にするために他のスレを上げる荒らし
157:１３２人目の素数さん
05/03/02 22:24:22
専用ブラウザ使っているから、
最下層とか関係なかったりします
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
158:１３２人目の素数さん
05/03/02 22:28:09
age荒らしの住処はここか
159:１３２人目の素数さん
05/03/03 15:01:27
＝≡＝
／
〆 . .∈≡∋
|| γ ⌒ヽヽコノ ||
|| .｜ |:::| ..〓 .||
.／|＼人 ＿.ノノ _||_. ／|＼
∧＿∧
（ ・∀・） >155 まだぁ～
（ ∪ ∪
と＿_）__） 旦
160:１３２人目の素数さん
05/03/04 10:04:58
>155
nは正の偶数とするとき、連続函数 f(x)=x^n は[-1,1]で 下に凸(convex)である。
∴ f(x) + f(k-x) も下に凸なので、端で最大となる。
ここで 1≧a≧b≧c≧-1 としても一般性を失わない。
3c≦a+b+c≦3a より -1≦c≦-1/6, -1/6≦a≦1
∴ -7/6 ≦ a+c ≦ 1/2.
(i) 0 ≦ a+c ≦ 1/2 のとき -1≦b≦-1/2.
f(a) +f(b) +f(c) ≦ f(1) +f(b) +f(a+c-1) = 1 +f(b) +f(-b-3/2)
≦ 1 +f(-1/2) +f(-1) = 2 +(1/2)^n
(ii) -7/6 ≦ a+c≦0 のとき -1/2 ≦ b ≦ 2/3.
f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(a+c+1) +f(b) +f(-1) = f(-b+1/2) +f(b) +1
≦ f(1) +f(-1/2) +1 = 2 +(1/2)^n.
[1997 Chinese M.O.]
161:１３２人目の素数さん
05/03/04 16:58:54
>>160
うひょっ、ありがとうございます。
f(c) を f(a+c-1) に置き換えたところが分からないのですが…
> (i) 0 ≦ a+c ≦ 1/2 のとき -1≦b≦-1/2.
> f(a) +f(b) +f(c) ≦ f(1) +f(b) +f(a+c-1) = …
nが奇数のときの最大最小も出ますか？
曲線上の(1,1)における接線や、
(-1,-1)における接線で挟むのかなと思うんだけど…
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
162:160
05/03/04 17:44:07
>161
1>a>c>c-(1-a), f(x) は下に凸だから
f(a) ≦ {(1-c)f(1) + (1-a)f(c-(1-a))}/(2-a-c)
f(c) ≦ {(1-a)f(1) + (1-c)f(c-(1-a))}/(2-a-c)
辺々たして
f(a) + f(c) ≦ f(1) + f(c-(1-a))
内側の和 ≦ 外側の和
163:１３２人目の素数さん
05/03/05 08:54:32
>>162
なるほど。
ありがとうございます。
自分では思いつかないなぁ…
164:１３２人目の素数さん
05/03/05 20:21:00
正の数 a, b, c, d に対して
a/sqrt[3]{a^3+63bcd} ≧ (a^p)/(a^p+b^p+c^p+d^p)
をみたす p が 21/16 ってのは、どうやれば出てきますか？
165: ◆BhMath2chk
05/03/06 07:00:00
ｂ＝ｃ＝ｄ＝ａｓとすると１＋３ｓ＾ｐ≧（１＋６３ｓ＾３）＾（１／３）。
ｆ（ｓ）＝１＋３ｓ＾ｐ－（１＋６３ｓ＾３）＾（１／３）とすると
０≦ｆ（ｓ），ｆ（１）＝０なので
（ｄｆ／ｄｓ）（１）＝３ｐ－６３／１６＝０からｐ＝２１／１６。
ｐ＝２１／１６のとき
（１＋３ｗ＾（ｐ／３））＾３
＝１＋９ｗ＾（ｐ／３）＋２７ｗ＾（２ｐ／３）＋２７ｗ＾ｐ
≧１＋６３（（ｗ＾（３ｐ））（ｗ＾（１８ｐ））（ｗ＾（２７ｐ）））＾（１／６３）
＝１＋６３（ｗ＾（４８ｐ））＾（１／６３）
＝１＋６３ｗ＾ｐ。
（ａ＾ｐ＋ｂ＾ｐ＋ｃ＾ｐ＋ｄ＾ｐ）／ａ＾ｐ
＝１＋（ｂ／ａ）＾ｐ＋（ｃ／ａ）＾ｐ＋（ｄ／ａ）＾ｐ
≧１＋３（ｂｃｄ／ａ＾３）＾（ｐ／３）
≧（１＋６３ｂｃｄ／ａ＾３）＾（１／３）
＝（ａ＾３＋６３ｂｃｄ）＾（１／３）／ａ。
166: ◆BhMath2chk
05/03/06 07:10:01
>>165
＞＝１＋６３ｗ＾ｐ。
＝１＋６３ｗ。
167:１３２人目の素数さん
05/03/06 10:38:44
>>165
ｂ＝ｃ＝ｄ＝ａｓ とおいても一般性を失わないの？
168:１３２人目の素数さん
05/03/06 11:33:22
>>167 上が必要条件で、下が十分条件だろが。
169:１３２人目の素数さん
05/03/07 09:04:12
>164
(n+1)文字の場合は
a/{a^n +N(b_1…b_n)}^(1/n) ≧ (a^p)/(a^p + b_1^p + … + b_n^p), N=(n+1)^n -1
1/(左辺)^n = 1 + N(b_1…b_n)/(a^n) = 1 + N(G/a)^n, G=(b_1…b_n)^(1/n).
1/(右辺) = 1 +(b_1/a)^p + … +(b_n/a)^p ≧ 1 + n(G/a)^p ≡ 1 + nX.
1/(右辺)^n ≧ (1+nX)^n = 1 + Σ[j=1,n]Ｃ[n,j]n^j X^j ≧ 1 + NX^r =1 + N(G/a)^(pr) ← 相加相乗平均
ここに、r = (1/N)Σ(Xの指数) = (1/N)Σ[j=1,n]jＣ[n,j]n^j = (n/N)Σ[j=1,n]Ｃ[n-1,j-1]n^j
= (n^2 /N) Σ[j'=0,n-1]Ｃ[n-1,j']n^j' = n^2･(n+1)^(n-1) /N
両辺を見比べて、p = n/r = N/{n･(n+1)^(n-1)}.
(例) n=3 のとき N=63, r=16/7, p=21/16.
>165 の後半
w=bcd らしい。
170:160
05/03/07 09:15:01
【155の拡張】 -1 < a,b,c < 1 かつ a+b+c =-1/2 のとき、
3f(-1/6) ≦ f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(1)+f(-1/2)+f(-1).
ただし f(x)は (-1,1) で下に凸とする。
171:169
05/03/07 09:40:03
>164
n=1, 2, 3, 4, 5 のとき p=1, 4/3, 21/(4^2), 156/(5^3), 1555/(6^4). n が大きいとき p≒(n+1)/n.
172:１３２人目の素数さん
05/03/07 11:49:53
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━!!!!!!!!!!
165さん、169さん乙です。
印刷して今から解読します。
これで、cyclic に廻して、 Σa/{a^n +N(b_1…b_n)}^(1/n) ≧ 1 が得られました。
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
173:１３２人目の素数さん
05/03/07 13:09:42
>>172
文字が違った。こうか…
Σ(a_1)/{(a_1)^n +N(a_2…a_n)}^(1/n) ≧ 1
174:169
05/03/07 16:30:21
>172-173
n=2 の例は↓をﾄﾞｿﾞｰ。 たしかに p=4/3 となってゐた。
IMO-2001 (USA) Problem 2
URLﾘﾝｸ(imo.wolfram.com)
[前スレ.143,149,157]
175:172
05/03/07 18:28:43
解読完了。
相加相乗の使い方がうまいですね >>169
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
>>174
ｸﾞｼﾞｮｰﾌﾞ！
176:１３２人目の素数さん
05/03/08 13:44:09
正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
(1+a)(1+b)(1+c) ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c)
177:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/08 18:07:16
Re:>176
9abc-7(ab+ac+bc)+9(a+b+c)-7にc=1-a-bを代入した式
f(a,b)=-9a^2b-9ab^2+7a^2+16ab+7b^2-7a-7b+2が0<a,0<b,a+b<1の範囲で0以上になることを示す。
bを固定するごとに、0<a<1-bの範囲での挙動を調べる。
∂_af(a,b)=(14-18b)a-9b^2+16b-7となる。
b<7/9のとき、a=(9b-7)(b-1)/(14-18b)で極小となる。
以下略(もうめんどくさい。)
178:１３２人目の素数さん
05/03/08 18:57:53
>176
(解1)
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左辺) - (右辺) = (1+s+t+u) -8(1-s+t-u) = -7 +9s -7t +9u
= (s^3 -4st+9u) + (s^2 -3t) + (s-1)(4t -s^2 -2s+7) ≧0. （←s=1）
(解2)
f(x) = Ln{(1+x)/(1-x)} = Ln(1+x) - Ln(1-x) とおくと
f '(x) = 1/(1+x) +1/(1-x) = 2/(1-x^2) は(0,1)で単調増加， f(x)は(0,1)で下に凸.
∴ Jensen により f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3).
∴ (1+a)(1+b)(1+c)/[(1-a)(1-b)(1-c)] ≧ [(1 +1/3)/(1 -1/3)]^3 = 2^3 =8.
ぬるぽ
179:１３２人目の素数さん
05/03/08 22:47:41
>>176-177
改造したくなるのが、不等式ヲタの習性！ ｵﾗｵﾗｵﾗ！
正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
64/27 ≧ (1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1-a^2)^2+(1-b^2)^2+(1-c^2)^2 ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c) ≧ 64abc
／/
／ /＿＿
/ ／ ≧ ＼ ﾊﾟｶｯ！
/.∩|:::: ＼ .／ |
/ | ||::::(● (●.|_ あ、不等式ヲタ インしたお！
/／| |ヽ::::....ワ....ノ／
"￣￣￣￣￣￣"
180:179
05/03/08 23:09:29
リンク先間違った。 >>176-178です。
３つレスがあるのに気づかなかった。
181:１３２人目の素数さん
05/03/08 23:15:40
ﾌﾟｯ。。。
みんなにアボーンされてるんだなｋｉｎｇ
182:１３２人目の素数さん
05/03/09 13:46:43
>177
落書きはチラシの裏に書け。
183:178
05/03/09 17:56:34
>179
改造されたんぢゃぁ仕方ねぇ。。。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。等号成立は a=b=c.
左側から
相加相乗平均より (1 +s/3)^3 ≧ (1+a)(1+b)(1+c).
(1+a)(1+b)(1+c) - {(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2}
= (1+s+t+u) -3 +2t +2(s^2 -3t) -{s(s^3 -4st +9u) +2t^2 -5su}
= t(s^2 -3t) + (t^2-3su) + (1-s){(s^3 -4st +9u) +(st-9u)+u +(s^2-3t) -s-2} ≧ 0.
{(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2} -8(1-a)(1-b)(1-c)
= 3 -2(s^2 -3t) -2t +{s(s^3 -4st +9u) + 2(t^2 -3su) +su} -8(1-s+t-u)
= (s+1/s)(s^3 -4st +9u) + 2(t^2 -3su) +(1-s){-(9+s)u/s -5 +3s} ≧ 0.
相加相乗平均より (1-a)(1-b)(1-c) = (b+c)(c+a)(a+b) ≧ {2√(bc)}{2√(ca)}{2√(ab)} = 8abc.
ぬるぽ
---------------------------------------------------------------
(注) a^2 +b^2 +c^2 = (s^2 -3t) +t.
a^4 +b^4 +c^4 = (s^2 -2t)^2 -2(t^2 -2su) = s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su.
(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2 = 3-2t -2(s^2 -3t) + {s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su}.
(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2 = 3 -2(a^2 +b^2 +c^2) +(a^4 +b^4 +c^4)
= 3 - 2(s^2 -3t) -2t + {s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su}.
184:67
05/03/09 20:13:34
>>127 [2]
x+y=s, (x-y)/s =z とおくと、x=(1+z)s/2, y=(1-z)s/2,
(i) p≧2 のとき、 [>>67] により
x^p +y^p = (x^2)^(p/2) + (y^2)^(p/2) ≧ (x^2 +y^2)^(p/2) =(1/2){s^2 + |x-y|^2}^(p/2).
与式より、 4 ≧ 4^(2/p) ≧ s^2 + |x-y|^2.
∴ |x-y|^2 ≦ 4-s^2, C(p)=1.
(ii) 1<p≦2 のとき(補題)より,
p>1 より 2(s/2)^p ≦ x^p +y^p =2 より s/2 ≦ 1.
x^p +y^p = {(1+z)^p +(1-z)^p}(s/2)^p ≧ {2 + p(p-1)z^2}(s/2)^2
≡ {2 + [2/C(p)]z^2}(s/2)^2 = (1/2){s^2 +[1/C(p)]･|x-y|^2}.
与式より、 4 ≧ s^2 + [1/C(p)]･|x-y|^2.
∴ |x-y|^2 ≦ C(p)(4-s^2), C(p)= 2/[p(p-1)].
ぬるぽ
【補題】
1<p≦2 or 3≦p かつ -1<z<1 のとき、(1+z)^p + (1-z)^p -p(p-1)z^2 ≧ 2.
(略証)
f(z) = (1+z)^p とおくと、f "(z) = p(p-1)(1+z)^(p-2) は下に凸ゆえ
∴ f "(z) + f "(-z) - 2f "(0) ≧0.
F(z) = f(z) + f(-z) - f "(0)z^2 も下に凸ゆえ
{F(z)+F(-z)}/2 ≧ F(0) = 2f(0) (終).
185:１３２人目の素数さん
05/03/09 21:43:08
不等式ヲタの連中からしたらkingのは鮮やかじゃないってこと？
ぬるぽ神は見ていて思いつきそうにない鮮やかな解答を書いてますな
186:184
05/03/10 07:42:30
>>127 [2]
松ヶ枝ますた。[67]は使えそうにないので修正
(i) p≧2 のとき、 z^(p/2)は下に凸より、
x^p +y^p = (x^2)^(p/2) + (y^2)^(p/2) ≧ 2{(x^2 +y^2)/2}^(p/2) =2{(s^2 + |x-y|^2)/4}^(p/2).
与式より、 4 ≧ s^2 + |x-y|^2.
∴ |x-y|^2 ≦ 4-s^2, C(p)=1.
>185
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
187:１３２人目の素数さん
05/03/10 15:24:35
>185
条件式を使って文字を減らして微分って楽しくないよね？
このスレでは楽しい解法を追求しているんじゃないの？
188:１３２人目の素数さん
05/03/12 02:14:23
【問題】 0 < x ≦ π/2 において、(sin x)^3 / x^3 ≧ cos x を示せ。
級数展開して、大雑把に比較すれば出そうですが、
高校レベルでは できませんか？
189:１３２人目の素数さん
05/03/12 11:27:32
>>127 [2]
[184] (ii)の改良
x^p + y^p = {(1+z)^p +(1-z)^p}(s/2)^p ≧ {2 + p(p-1)z^2}(s/2)^p
= 2{s^2+(p/2)(p-1)|x-y|^2} / {4(s/2)^(2-p)}
≧ 2{s^2+(p/2)(p-1)|x-y|^2} / {s^2 +(p/2)(4-s^2)}.
与式より、s^2 + (p/2)(4-s^2) ≧ s^2 + (p/2)(p-1)|x-y|^2.
∴ |x-y|^2 ≦ {1/(p-1)}(4-s^2), C(p)=1/(p-1).
ぬるぽ
【補題１】
1<p≦2 かつ -1<z<1 のとき、(1+z)^p + (1-z)^p -p(p-1)z^2 ≧ 2.
【補題２】
0<p≦2 かつ s≧0 のとき、4(s/2)^(2-p) ≦ 2{p + (2-p)(s/2)^2} = s^2 +(p/2)(4-s^2).
(略証) 相加相乗でハｧハｧと...
190:１３２人目の素数さん
05/03/12 20:35:52
>188
f(x) = sin(x)/[cos(x)^(1/3)] とおくと、
f(0) = 0.
f '(x) = cos(x)/[cos(x)^(1/3)] +(1/3)[sin(x)^2]/[cos(x)^(4/3)]
= [cos(x)^2 + (1/3)sin(x)^2]/[cos(x)^(4/3)]
= [1 + 2cos(x)^2]/[3cos(x)^(4/3)] > 1. (← 補題)
∴ 0<x<π/2 ⇒ f(x)>x ⇒ {sin(x)/x)}^3 > cos(x).
ぬるぽ
(補題）z≧0 のとき (1 +2z^3) - 3z^2 = (1+2z)(1-z)^2 ≧0.
191:１３２人目の素数さん
05/03/14 17:17:32
>>190
㌧㌧㌧クス。 ナットク。
192:１３２人目の素数さん
05/03/17 22:06:14
>>130
> （１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾２））＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（ｃ＋Ｏ（ｒ））なので
ここが分からないのですが、詳しく教えて下さい。
193:１３２人目の素数さん
05/03/18 08:08:06
>192
｜ｘ｜＜１のとき、Ｌｎ（１＋ｘ）＝ －ｘ ＋(1/2)ｘ^2 －Ｏ（ｘ^3）
ｘ に ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2） を入れて、
Ｌｎ｛１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝＝｛ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝－(1/2)(ｃ^2)Ｏ（ｒ^2）＝ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾2）.
∴ （１／ｒ）Ｌｎ｛１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝＝ｃ＋Ｏ（ｒ）.
194:193
05/03/18 08:10:34
訂正、すまそ。
｜ｘ｜＜１のとき、Ｌｎ（１＋ｘ）＝ ｘ －(1/2)ｘ^2 ＋Ｏ（ｘ^3）
195:１３２人目の素数さん
05/03/18 17:44:18
>>193-194
ありがたうございます
196:１３２人目の素数さん
05/03/19 02:50:22
（tanスレより）
618 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/08/29(金) 02:12
3･sinθ/(2+cosθ) ＜ θ ＜ tan(θ/3)＋2･sin(θ/3)
Snellius が発見し Huygens が証明したとされる。
たのも～
197:１３２人目の素数さん
05/03/19 05:15:45
>196
左側: g(θ)=(2+cosθ)θ - 3sinθ とおくと、
g(0) = 0,
g '(θ) = 2(1-cosθ) -θ･sinθ = sinθ{2tan(θ/2)-θ} >0.
∴ θ>0 ⇒ g(θ)>0 ⇒ (左辺) <θ.
右側: [>>188] と 相加相乗平均より
θ < 3･sin(θ/3)/[cos(θ/3)^(1/3)] = 3[tan(θ/3)･sin(θ/3)^2]^(1/3) < (右辺).
ぬるぽ
198:１３２人目の素数さん
05/03/19 11:20:41
>>197
ありがとうごぜぇます。
狙ったわけでもないのに、>188が使えたとは…
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
199:１３２人目の素数さん
05/03/19 17:50:45
>197 (別法)
左辺を L(θ), 右辺を R(θ) とすると、
L(0) = 0 = R(0).
L '(θ) = 3(1+2cosθ)/(2+cosθ)^2 = 1-{(1-cosθ)/(2+cosθ)}^2 < 1
< (1+2z^3)/(3z^2) = (1/3)(1/z^2 +2z) = R '(θ), ここに z=cos(θ/3).
∴ 0<θ<π ⇒ L(θ) < θ < R(θ).
変わり映えしない。。。
200:１３２人目の素数さん
05/03/20 19:06:17
前スレ
931 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：05/01/16(日) 15:49:05
★の不等式 「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」 は次にもあるよ。
微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)
（問題）
Ａ = {x(1)+x(2)+･･･+x(n)}/n,
Ｇ = {x(1)x(2)････x(n)}^(1/n),
Ｈ = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
--------------------------------------------------------
この証明が20％くらいできないんですが…。
おねがいします
201:１３２人目の素数さん
05/03/20 21:30:38
>200
【Sierpinskiの不等式】
[>200]のとき、 Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
(略証)
Ｆ ≡ Ａ^(n-1)･Ｈ/Ｇ^n とおき、Ｆ≧1 を示す。
nに関する帰納法による。
n=2 のとき ＡＨ=x(1)x(2)=Ｇ^2 だから等号成立、Ｆ=1.
nに対して成り立つとする。x(n+1)=x ' とおくと n+1 に対しては
Ａ' = (nＡ+ x ')/(n+1), Ｇ ' = (Ｇ^n･x ')^(1/(n+1)), Ｈ ' = Ｈ(n+1)x '/(Ｈ+nx ').
Ｆ/Ｆ ' = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}(Ｈ+nx ') = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ -(Ａ-Ｈ)/(n+1)}
≦ {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ} = {nt-(n-1)}/(t^n) ≦ 1, ここに t≡Ａ'/Ａ. (←★)
∴ Ｆ '≧Ｆ≧…≧1.
x(k) の代わりに 1/x(k) を考えれば、右側も示せる。(終)
ぬるぽ
202:201
05/03/20 21:37:43
>200 (>201の補足)
【補題】Ａ≧Ｈ.
(略証) Ａ／Ｈ = (1/n^2){Σ[i=1,n] x(i)}{Σ[j=1,n] 1/x(j)}
= 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)/x(j) +x(j)/x(i) -2}
= 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)-x(j)}^2 /[x(i)x(j)] ≧ 1. (終)
203:201
05/03/20 22:05:10
>200 (>201の補足)
【★】 t > -1 ⇒ t^n ≧ nt -(n-1).
(略証)
(i) t≧1のとき
t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n.
の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
(ii) -1＜t＜1のとき
1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n.
の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれの場合も t^n ≧ nt-(n-1) が成り立つ。 (終)
204:１３２人目の素数さん
2005/03/21 03:38:38(月)
>>201-203
ありがとうごぜぇます、お代官様。今から読みます。
もう一つ質問。
[前スレ903(3)] 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x) の解答 [前スレ909] において
> f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
> f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
> これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).
f(y)=arcsin(arcsin(y)) の逆関数は sin(sin(x)) になるのですか？
205:204
05/03/22 02:38:00
>>204
当たり前やわな。すまそ。
206:１３２人目の素数さん
05/03/23 10:47:47
>>31
なるほど、難しいですね。
証明を追いかけるので精一杯ですだ。
207:31
05/03/23 15:18:20
>206
元々の >1 を示す問題はそれ程でも無いんだが >>29-30
欲張って ≧tan(α) まで出そうとするから大変なことに。。。
（斜に構えればすぐ見えるかも）
>205
どう致しまして。
208:１３２人目の素数さん
05/03/23 21:25:56
【１】S(n)=Σ[k=1..n]1/k^2, A=π^2/6 とすると、
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<S(n)<A{1-1/(2n+1)^2}
【２】∫[0..1] x/cos(x) dx < log2
209:１３２人目の素数さん
05/03/23 21:54:03
>>208 【２】
まず、x≧0 において cos x ≧ 1-(x^2)/2 を示す
f(x) = （左辺）-（右辺） とおいて、微分すれば（以下略）
したがって、
∫[0..1] x/cos(x) dx <∫[0..1] x/{1-(x^2)/2} dx = log2
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
210:１３２人目の素数さん
05/03/24 10:27:09
>208 【２】
調子に乗って下限も出しますた…
0<a<√2 とする。
〔補題〕 x≧0 のとき 1 -(x^2)/2 +(x^4)/24 ≧ cos(x) ≧ 1 -(x^2)/2.
(略証) cos(x)≦1 を2回積分すると -cos(x)≦(x^2)/2 -1, さらに2回積分すると cos(x)≦(x^4)/24 -(x^2)/2 +1. (終)
x/{1 -(x^2)/2 +(x^4)/24}
= (√3)［ x/{3-√3 -(x^2)/2} -x/{3+√3 -(x^2)/2} ］< x/cos(x) < x/{1-(x^2)/2}.
∴ (√3)［ log{(3+√3 -(x^2)/2)/(3-√3 -(x^2)/2)} ］ < ∫ x/cos(x) dx < ［ -log{1-(x^2)/2} ］.
∴ (√3)［ log{(3+√3 -(a^2)/2)/(3-√3 -(a^2)/2)} -log{(3+√3)/(3-√3)} ］ < ∫_[0..a] x/cos(x) dx < -log{1-(a^2)/2}.
a=1 のとき
(√3) [ log{(2.5+√3)/(2.5-√3)} - log{(3+√3)/(3-√3)} ] < ∫_[0..1] x/cos(x) dx < log(2).
0.67508500 < 0.675535 < 0.69314718.
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
211:１３２人目の素数さん
05/03/24 10:53:46
>>210
Σ(ﾟДﾟ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
212:31
05/03/24 11:50:50
>206
[>31] はハｧハｧして書いたので難解。。。
改良版 [>>43,>>54] の方が分かり易いと思われ。
213:１３２人目の素数さん
05/03/24 12:29:33
>>208
(1) 0<x<π/2において sin(x)<x<tan(x) となる。各辺の逆数を取って二乗すれば
cot^2(x)<1/x^2<cosec^2(x) が得られる。これから
cot^2(kπ/(2n+1))<1/(kπ/(2n+1)^2<cosec^2((kπ/(2n+1)) (k=1,･･･,n)が成り立つ。
k=1,…,nとして和を取れば
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<Σ[k=1,n]cosec^2((kπ/(2n+1))
1+cot^2(kπ/(2n+1))=cosec^2((kπ/(2n+1)) であるので
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))の値を求めると、
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3 となる。(計算略)
よって
n(2n-1)/3<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<2n(n+1)/3
が得られるので、これを適当に変形すれば
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<Σ[k=1,n]1/k^2<A{1-1/(2n+1)^2}
が得られる。
214:１３２人目の素数さん
05/03/24 19:00:21
>>208
(1) 別解（三角函数を使わない）
〔補題〕 A - 1/(n+1/2) < S(n) < A - 1/(n+1), ここに A=(π^2)/6.
S(n) = 1 + Σ[k=2..n) 1/(k^2) ≦ 1 + Σ[k=2..n] 1/(k^2 -1/4)
= 1 + Σ[k=2..n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = 1 + 2/3 - 2/(2n+1) ≦ 5/3 (上界).
有界単調列は収束するから、その極限をζ(2) =A とおく。
S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{k(k+1)} = A - Σ[k>n] {1/k -1/(k+1)} = A - 1/(n+1).
S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) > A - Σ[k>n] 1/(k^2 -1/4)
= A - Σ[k>n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = A - 1/(n +1/2). (終)
A -B(6n+1)/(2n+1)^2 < S(n) < A -C/(2n+1)^2 とおくと、(補題)から
B=6/7<A, C=9/2>A.
ぬるぽ
215:１３２人目の素数さん
05/03/24 21:37:15
>>208-210 【２】
さらに調子に乗って、簡単な不等式を作りました。 華麗に証明してね。
log2 < ∫[0, π/3] x/cos(x) dx < 1
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
216:１３２人目の素数さん
05/03/24 21:41:35
>>208-215
よくみると、それぞれに答案の書き方に違いがあるけど
いったい何人くらい不等式ヲタが生息しているのですか？
217:１３２人目の素数さん
05/03/24 22:03:28
>>216
不等式ヲタは群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは１人２人じゃなく、１ヲタ２ヲタと数えるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは三角関数や nCr でも ﾊｧﾊｧ しちゃうんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタはデルタ宇宙域からやってきたよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは世界中のあらゆるところから不等式を鬼集してるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタはちょっとキチガイ入っているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは他スレを荒らさないから安心してね ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタのレスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式を見て興奮した君は、すでに不等式ヲタに同化されているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
今日から君も不等式ヲタだ ( ﾟ∀ﾟ)９ ﾃﾍｯ
218:１３２人目の素数さん
05/03/24 22:28:23
>215
作られちまったか。生姜ねぇなぁ。
0<x<π/2 ⇒ sin(x) < x < tan(x) を使うだけだが．．．
∫ sin(x)/cos(x) dx < ∫ x/cos(x) dx < ∫ tan(x)/cos(x) dx.
log|cos(x)| < ∫ x/cos(x) dx < 1/cos(x) 〔積分定数はry)〕
[0,π/3] で定積分して、
log(2) < (与式) < 2-1 =1.
ぬるぽ
219:１３２人目の素数さん
05/03/24 23:05:14
非負実数 x, y, z に対して、次式を示せ。
(1) (x^x)*(y^y)*(z^z)*{(x+y+z)^(x+y+z)} ≦ {(x+y)^(x+y)}*{(y+z)^(y+z)}*{(z+x)^(z+x)}
(2) (x^(x^2))*(y^(y^2))*(z^(z^2))*{(x+y+z)^((x+y+z)^2)} ≧ {(x+y)^((x+y)^2)}*{(y+z)^((y+z)^2)}*{(z+x)^((z+x)^2)}
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| ネタを仕入れてきました
ヽ::::......ワ...ノ 存分に ﾊｧﾊｧ してください
人つゝ 人,, ﾃﾍｯ！
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
220:１３２人目の素数さん
05/03/25 19:09:01
>>213
> Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3 となる。(計算略)
詳しくおねがいします （：D）|￣|＿
221:220
05/03/25 20:27:27
tanスレ読んで理解したからいいです。すまそ。
222:１３２人目の素数さん
05/03/25 20:55:55
>220,221
N=2n+1 とおく。
w ≡ cot(kπ/N)^2 = {1+cos(2kπ/N)}/{1-cos(2kπ/N)} ≡ (1+z)/(1-z).
z=cos(2kπ/N) は f(z)={T_N(z)-1}/(z-1)=0 の根だから、f((w-1)/(w+1))=0.
両辺に (w+1)^(N-1) を掛けて、w^(N-2) の係数を求めたような稀ガスる。
ここに T_N(z) は N次のチェビシェフ多項式
URLﾘﾝｸ(functions.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(functions.wolfram.com)
>219 の参考に（Hlawkaの不等式）
|x| + |y| + |z| + |x+y+z| ≧ |x+y| + |y+z| + |z+x|.
URLﾘﾝｸ(www.seriousliving.net)
223:214
05/03/26 20:29:44
[214]の改良
〔補題〕 A - 1/(n +1/2) < S(n) < A - 1/(n +9/16), ここに A = Lim[n→∞) S(n).
k≧2 より k^2 = (k -7/16)(k +9/16) -(1/8)(k - 63/32) < (k -7/16)(k +9/16).
S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{(k -7/16)(k +9/16)} = A - Σ[k>n] {1/(k -7/16) -1/(k +9/16)} = A - 1/(n +9/16).
左側は [214] を参照. (終)
224:１３２人目の素数さん
05/03/26 23:23:24
二次導関数を持つ関数 f : R→R が任意の x に対し f(x) + f ''(x) ≧ 0 を満たすとき
f(x) + f(x+π) ≧ 0
225:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/27 12:27:36
Re:>224
初めにf(x)+f''(x)=0のときf(x)+f(x+π)=0であることに注意しよう。
任意の実数xに対してf(x)+f''(x)≥0のとき、
実数aを任意にとり、g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),g(x)+g''(x)=0となるようなgを選ぶんでh(x)=f(x)-g(x)とおくと、
h(a)=h'(a)=0,任意のxに対してh(x)+h''(x)≥0となる。
a=0の場合だけ示して一般性を失わず、
結局任意のxに対してf(x)+f''(x)≥0で、f(0)=f'(0)=0のときf(π)≥0であることを示せばよいことがわかった。
g(x)=f(x)+f''(x)とおいて、f(x)=a(x)cos(x)+b(x)sin(x)とおくと、
(続きは誰かやってくれ。)
226:１３２人目の素数さん
05/03/27 12:38:32
(ܷܵܶ∀ܷܵܶ)
227: ◆BhMath2chk
05/03/29 08:00:00
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）をｘで偏微分してｙで偏微分して
ｚで偏微分したものをｈ（ｘ，ｙ，ｚ）とし
［ａ（０），ａ（１）］×［ｂ（０），ｂ（１）］×［ｃ（０），（１）］で
０≦ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）とする。
ｆ（ａ（ｉ），ｂ（ｊ），ｃ（ｋ））をＦ（ｉ，ｊ，ｋ）と略記すると
（ｐ，ｑ，ｒ）∈［ａ（０），ａ（１）］×［ｂ（０），ｂ（１）］×［ｃ（０），ｃ（１）］で
Ｆ（１，１，１）－Ｆ（１，１，０）－Ｆ（１，０，１）＋Ｆ（１，０，０）
－Ｆ（０，１，１）＋Ｆ（０，１，０）＋Ｆ（０，０，１）－Ｆ（０，０，０）
＝（ａ（１）－ａ（０））（ｂ（１）－ｂ（０））（ｃ（１）－ｃ（０））ｈ（ｐ，ｑ，ｒ）
となる（ｐ，ｑ，ｒ）があるので
Ｆ（１，１，１）＋Ｆ（１，０，０）＋Ｆ（０，１，０）＋Ｆ（０，０，１）
≧Ｆ（１，１，０）＋Ｆ（１，０，１）＋Ｆ（０，１，１）＋Ｆ（０，０，０）。
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）のときｈ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｄ＾３ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）。
ｇ（ｗ）＝ｗｌｏｇ（ｗ）のときＤ＾３ｇ（ｗ）＝－１／ｗ＾２なので
ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）＋ｇ（ｘ）＋ｇ（ｙ）＋ｇ（ｚ）
≦ｇ（ｘ＋ｙ）＋ｇ（ｘ＋ｚ）＋ｇ（ｙ＋ｚ）＋ｇ（０）から
（ｘ＋ｙ＋ｚ）＾（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ＾ｘ）（ｙ＾ｙ）（ｚ＾ｚ）
≦（ｘ＋ｙ）＾（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｚ）＾（ｘ＋ｚ）（ｙ＋ｚ）＾（ｙ＋ｚ）。
228:１３２人目の素数さん
05/03/29 12:00:38
【問題】
任意の正の数 a, b, c と自然数 n に対して、次式を華麗に証明せよ。
a/(1+a^n) + b/(1+b^n) +c/(1+c^n) ≧ (a+b+c)/{1+(a+b+c)^n}
絶対値の問題で似たようなやつがあったね。
229:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/29 12:10:53
Re:>228 a/(1+a^n)+b/(1+b^n)+c/(1+c^n)≥a/(1+(a+b+c)^n)+b/(1+(a+b+c)^n+c/(1+(a+b+c)^n),a>0,b>0,c>0,n≥0.
230:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/29 12:11:54
Re:>228 a/(1+a^n)+b/(1+b^n)+c/(1+c^n)≥a/(1+(a+b+c)^n)+b/(1+(a+b+c)^n)+c/(1+(a+b+c)^n),a>0,b>0,c>0,n≥0.
231:１３２人目の素数さん
05/03/29 12:16:28
>>229
自然数に0を入れなければ
正数 a,b,c と自然数 n に対して、
a/(1+a^n) + b/(1+b^n) + c/(1+c^n) ＞ (a+b+c)/(1+(a+b+c)^n)
ということですよね。
232:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/29 12:17:40
Re:>231 そうだな。しかし、[>228]は何のつもりで書いたのだろう？
233:ガスト
05/03/29 12:23:14
>>230-231
正数 a_k (k=1,2,...,N) と非負整数 n に対して、
Σ(a_k/(1+a_k^n)) ≧ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
等号はn＝0のときのみ
ということですね。
234:１３２人目の素数さん
05/03/29 12:41:01
nが負の整数だったら不等号はどうなりますかいの
235:BlackLightOfStar ◆7ZwQJFEByU
05/03/29 12:46:49
Re:>235 お前誰だよ？
236:
05/03/29 12:49:44
237:ガスト
05/03/29 12:58:17
>>234
正数 a_k (k=1,2,...,N) について、
・非負整数 n に対して、
Σ(a_k/(1+a_k^n)) ≧ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
等号はn＝0のときのみ
・負の整数 n に対して、
Σ(a_k/(1+a_k^n)) ＜ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
でつよね。
238:１３２人目の素数さん
05/03/29 13:26:13
>231,233,237
正数 a_k (k=1,2,…,N) について、
・0<n≦1 に対して、
(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≧ Σ(a_k/(1+a_k^n)) > (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
等号成立は a_k=(定数) のとき
・-1≦n<0 に対して、
(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≦ Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
等号成立は a_k=(定数) のとき
でつよね。
239:238
05/03/29 18:10:42
>231,233,237
0< a_k ≦1 (k=1,2,…,N) について、
・正の整数nに対して、
(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≧ Σ(a_k/(1+a_k^n)) > (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
・負の整数nに対して、
(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≦ Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
等号成立は a_k=(定数) のとき
でつよね。
240:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/29 19:20:20
Re:>235 いいからそのハンドルネームをやめろ。
241:１３２人目の素数さん
05/03/29 22:27:04
∧__∧
(｀･ω･´) 荒らしはとっとと消え失せぇぃ！
.ノ^ yヽ、
ヽ,,ﾉ==l ﾉ
/ l |
"""~""""""~"""~"""~"
242:１３２人目の素数さん
05/03/29 22:36:03
ＮＧネームに登録されてる人は、真面目にレスするときは名無しで発言してくだちゃい。
いちいちＩＥで見るのはメンドウでつよね。
243:１３２人目の素数さん
05/03/30 00:57:32
>>219
(1) x(x+y+z) < x(x+y+z) + yz = (x+y)(x+z) をx乗する。そして循環的に掛ける。
(2) 例によって x+y+z=s とおく。
（補題）の式に s^(xy) > (x+y)^(xy) を掛けて、
z^(z^2)･s^(2xy+z^2) > [(x+z)(y+z)]^(z^2)･(x+y)^(2xy).
これを循環的に掛ける。
ぬるぽ
【補題】z^(z^2)･s^(xy+z^2) > [(x+z)(y+z)]^(z^2)･(x+y)^(xy).
(略証)
２項定理より、a>1, d>0 のとき (1+d)^a > 1+ad.
s^a =((x+y)+z)^a = (1+ z/(x+y))^a･(x+y)^a > (1+az/(x+y))･(x+y)^a = (x+y+az)･(x+y)^(a-1).
ここで a=1 + xy/(z^2) とおくと
z･s^(1 +xy/(z^2)) > (x+z)(y+z)･(x+y)^(xy/(z^2)).
これを z^2 乗する。(終)
244:243
05/03/30 08:43:27
↑の補足でつ。。。
【補題】a>1, d>-1 のとき (1+d)^a ≧ 1+ad.
(略証1) f(v) = (1+v)^a とおくと f "(v)=a(a-1)(1+v)^(a-2) >0.
∴ f は下に凸､ (1+d)^a = f(d) ≧ f(0) + f '(0)d = 1+ad,
等号成立は d=0 のとき。
(略証2) aが有理数のときは a=1+(n/m) (m,n は自然数)とおく。
1,…,1, 1+ad,…,1+ad (n個:m個)の相加相乗平均より、
1+d = {n+m(1+ad)}/(m+n) ≧ (1+ad)^{m/(m+n)} ≦ (1+ad)^(1/a),
これを a乗する。(終)
245:243
05/03/31 14:40:48
凸函数ヲタ向けの補足。。。
【補題】a>1, d>0 のとき (1+d)^a > 1+ad.
(略証3) log(1+v) は上に凸だから, Jensenより,
a･log(1+d) > log(1+ad) + (a-1)log(1) = log(1+ad). (終)
246:１３２人目の素数さん
皇紀2665/04/01(金) 19:18:23
414 ：お願いします ：皇紀2665/04/01(金) 18:34:24
a>0, b>0 のとき
(a+1/a)^2 + (b+1/b)^2 ≧ 25/2 =12.5
を証明してくださいです。。。
さくらスレ１６１
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
247:246
81/64/49/36/25/16/09/04/01(金) 20:07:44
415 ：４１４：皇紀2665/04/01(金) 18:38:11
a+b=4 という条件が抜けてました。
これが無けりゃ8になっちゃう。
さくらスレ１６１
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:414-415番)
248:１３２人目の素数さん
05/04/02 23:02:59
>>208 【２】
又々さらに調子に乗って上限も改良しますた。 消して鰈ぢゃねゑが。。。
Ｉ ≡ ∫_[0..a] x/cos(x) dx.
〔補題〕x>0 で cos(x) > 1 -(1/2)x^2 +(1/24)x^4 -(1/720)x^6.
(略証) -cos(x) ≧ -1 を6回積分する。始点はx=0とする。(終)
x^2=X とおくと 右辺は 1 -(1/2)X +(1/24)X^2 -(1/720)X^3 ≡ f(X).
実根を ±r とすると、r = √R = 1.5699058251612… < π/2.
〔∵ R = 10 + 2{5(3√14 -11)}^(1/3) - 2{5(3√14 +11)}^(1/3) ～ 2.4646 〕
f(X) = (1 -X/R)g(X) とおける。 (← 因数定理)
g(X) ≡ 1 - (1/2 -1/R)X + (R/720)X^2 = (R/720){Γ^2 + (Xo-X)^2} > 0.
g '(X) = -(1/2 -1/R) + (R/360)X.
ここに、Xo = (360/R)(1/2 -1/R) = 13.767697850062…, Γ = √(720/R -Xo^2) = 10.128506369060… とおいた。
1/f を部分分数に分けて、
1/f(X) = 2(b/R)/(1 -X/R) + [bg '(X) - b(3/R -1/2) + 1]/g(X),
ここに、b = R/[6-2R+(1/12)R^2] = 1.562862462858….
∴ Ｉ < ∫_[0..a] x/f(x^2) dx = (1/2)∫_[0..a^2] 1/f(X) dX
=［ -blog(1 -X/R) + (1/2)blog(g(X)) + [b(3/R -1/2)-1](360/RΓ)arctan{(Xo-X)/Γ} ］(X:0→a^2)
= -blog(1 -a^2/R) + (1/2)blog(g(a^2)) + 1.7441051997288…arctan{(Xo -a^2)/Γ}.
a=1 のとき
0.675085000630… < I < 0.67554170686288… < 0.69314718055994… 〔 I≒0.675535 〕
249:243-245
05/04/04 02:07:43
>>219 (1)の系
【系】正の実数 x,y,z に対して x+y+z=s とおくとき、
C ≦ (s/√3)^(2s) < (x^x)(y^y)(z^z)(s^s) < {(x+y)^(x+y)}{(y+z)^(y+z)}{(z+x)^(z+x)} < (A_x)^x (A_y)^y (A_z)^z < s^(2s).
ここに A_x=(s^2 +x^2)/2, A_y=(s^2 +y^2)/2, A_z=(s^2 +z^2)/2, C=exp{-2(√3)/e}.
(略証) 左から
v･Log(v) ≧ -1/e より. (等号は s/√3 = v = 1/e のとき)
Log は上に凸だからJensenより (x^x)(y^y)(z^z) = -x･Log(1/x) -y･Log(1/y) -z･Log(1/z) > -s･Log(3/s) = s･Log(s/3).
xs = x(x+y+z) < (x+y)(x+z) < (s^2 +x^2)/2 = A_x < s^2 をx乗する。そして循環的に掛ける。(終)
ハｧハｧ…
250:１３２人目の素数さん
05/04/05 00:43:36
幾何学的不等式への招待
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
絵が描けないから、どうしても代数と解析に偏ってしまう...orz
251:１３２人目の素数さん
05/04/05 10:19:52
グッジョブ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
252:１３２人目の素数さん
05/04/05 21:13:45
>>250 の入口
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
→ ■今月のコラム（閑話休題）→ 2002年のコラム → 12,13
253:１３２人目の素数さん
05/04/11 21:04:54
一辺１の正方形ABCDの内部にP、Qをとる。このとき
13(PA＋QC)＋14PQ＋15(PB＋QD)＞38
って成り立ちますか？
254:１３２人目の素数さん
05/04/12 17:46:48
>253
成田つね。 (左辺) ≧ 2√(13^2 +14^2) = 2√365 = 38.2099463490856…
等号条件が複雑...
cos(∠APQ) = cos(∠CQP) = -5/13, sin(∠APQ)= sin(∠CQP)= 12/13,
cos(∠BPQ) = cos(∠DQP) = -3/5, sin(∠BPQ) = sin(∠CQP)= 4/5,
cos(∠APB) = cos(∠CQD) = -33/65, sin(∠APB) = sin(∠CQD) = 56/65.
PA=QC≒0.595394711946…, PB=QD≒0.556137917752…, PQ≒0.215912368068…
255:１３２人目の素数さん
05/04/12 19:49:32
>>254
どうやったんでつか？
256:254
05/04/13 11:05:39
>255
Ｉ(P,Q) = 13(PA+QC) + 14PQ + 15(PB+QD) を P,Qで微分する。
(grad_P)Ｉ = -13ｅ↑(PA) - 14ｅ↑(PQ) - 15ｅ↑(PB)
点Pが△AQBの外部や辺上にあるとき、grad Ｉは△の方を向く。∴ Pが△AQBから遠い程Ｉは大きい。
点Pが△AQBの外部や辺上にあるとき、Ｉは極小でない。
(grad_Q)Ｉ = -13ｅ↑(QC) - 14ｅ↑(QP) - 15ｅ↑(QD) についても同様。
極小位置では (grad_P)Ｉ = ０↑ だから、第二余弦定理より、
cos(∠APQ) = cos(∠CQP) = -5/13, sin(∠APQ)= sin(∠CQP)= 12/13,
cos(∠BPQ) = cos(∠DQP) = -3/5, sin(∠BPQ) = sin(∠CQP)= 4/5,
cos(∠APB) = cos(∠CQD) = -33/65, sin(∠APB) = sin(∠CQD) = 56/65,
cos(∠BAP) = cos(∠DCQ) = 218/(13√365)， sin(∠BAP)= sin(∠DCQ) = 119/(13√365),
cos(∠ABP) = cos(∠CDQ) = 82/(5√365), sin(∠ABP) = sin(∠CDQ) = 49/(5√365),
PA = QC = 91/(8√365), PB = QD = 85/(8√365), PQ = 66/(8√365) (←死んでお詫びを･･･AA省略)
∴ (左辺) = { 13(91+91) + 14･66 + 15(85+85) }/(8√365) = 2√365.
ぬるぽ
257:１３２人目の素数さん
05/04/13 11:54:48
一辺１の正方形ABCDの辺上に2点P、Qをとる。このとき
13(PA + QC) + 14PQ + 15(PB + QD) ≧ 28 + 8√3 (=41.85640646055…)
って成り立ちますか？
258:１３２人目の素数さん
05/04/13 14:29:23
ａ,ｂ,ｃが実数で、ａ^2＞ｂｃ,ａｃ＞ｂ^2ならばａ≠ｂであることを証明するには、どんな考え方をすればよろしいのでしょう？
259:１３２人目の素数さん
05/04/13 14:29:45
ｻｹﾞ忘れ
260:１３２人目の素数さん
05/04/13 15:16:19
>258
0 < (a^2 -bc) + (ac-b^2) = (a-b)(a+b+c) ∴ a-b≠0 とか.
261:BlackLightOfStar ◆mBZJN.ruEw
05/04/13 16:07:13
あげ
262:１３２人目の素数さん
05/04/13 18:12:16
>258 ↓で
ハイリホー♪
ｽﾚﾘﾝｸ(knife板:8-11番)
ｽﾚﾘﾝｸ(sepia板:38番)
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
URLﾘﾝｸ(homepage2.nifty.com) のスパイシー10/26
263:253=255
05/04/13 22:57:02
>>256
㌧クスですぬるぽ神。
264:１３２人目の素数さん
05/04/14 00:54:32
関数 f : R→R が任意のxに対して f(3x)=3f(x)-4f(x)^3 を満たし、
x=0 で連続のとき、 |f(x)|≦1
265:１３２人目の素数さん
05/04/14 01:36:03
>264
g(x) = 1-f(x)^2 とおく。
題意により、 g(3x) = g(x){4g(x)-3}^2 だから、g(x)≧0 ⇒ g(3x)≧0.
(略証)
g(0)=1 より、あるε>0 があって、 |x|≦ε ⇒ g(x)>0.
任意のx∈Rに対し、 n > Ln(x/ε) となる n(x)∈N が存在する。（←アルキメデスの原理）
ところで、g(ε)>0 と上記により、|x| ≦ (e^ｎ)ε < (3^n)ε ⇒ g(x)≧0.
∴ x∈R ⇒ g(x)≧0 ⇔ |f(x)|≦1.
266:265
05/04/14 01:48:32
(訂正)
f(3･0)=3f(0)-4f(0)^3 より f(0)^2 =0, 1/2 ∴ g(0)=1, 1/2 ですた。
267:１３２人目の素数さん
05/04/14 02:10:17
「すべてのｘに対して、ａｘ^2－ｘ＋２ａ＞０」が偽であるようなａの値の範囲は、『－√2/４≦ａ≦√2/４』であってますか？
268:１３２人目の素数さん
05/04/14 02:48:24
不等式だったら何でもここに書いていいわけじゃないぞ！
質問スレに逝け、クズ！
269:１３２人目の素数さん
05/04/14 10:20:26
>267 ↓のあたりに回答
さくらスレ１６２
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:38-39番)
270:BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/04/14 13:31:15
Re:>261 お前誰だよ？
271:１３２人目の素数さん
05/04/15 20:45:24
連続関数 f : I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y)+yf(x)≦1 を満たすとき
∫[0,1]f(x)dx≦π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。
272:１３２人目の素数さん
05/04/16 17:33:01
>271
x=cosθ, y=sinθ とおき 0<θ<π/2 で積分する。等号成立は f(x)=√(1-x^2) のとき
273:１３２人目の素数さん
05/04/18 12:07:27
>272
それならｆは↓を満たせば十分か？
(x,y)∈C に対して xf(y)+yf(x)≦1, ここに C={(x,y)|x>0, y>0, x^2+y^2=1}
そうすると等号条件は↓になるか？
f(x) = p√(1-x^2) + q/{2√(1-x^2)} (ただしp+q=1)
274:１３２人目の素数さん
05/04/23 05:29:47
| a + b√2 + c√3 | < 10^(-11)
を満たす、すべては0でなく、いずれも絶対値が10^6未満の整数 a,b,c が
存在することを示せ。
275:１３２人目の素数さん
05/04/24 01:13:42
>274
A={0,1,2,……,m-1}, S={r+s√2+t√3 | r,s,t∈A} とおく。 #A=m.
r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、#S=(#A)^3=m^3.
Sの任意の要素xは区間 [0,d]の中にある。 d≡(1+√2+√3)(m-1).
この区間を(#S-1)等分すると、Sのある2つの元が同じ小区間内に存在する。 ←鳩ノ巣原理(ディリクレ)
小区間の幅は d/(#S-1) = (1+√2+√3)/(m^2 +m+1) < 4.1462643…/[m(m+1)].
0< |x-y| ≦ d/(#S-1) となるので、x-y, y-xが求めるものである。(終)
秋山＋富蘭:[完全攻略] 数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社(1991.11)
276:１３２人目の素数さん
05/04/25 08:07:38
>274 (補足)
> r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、
【補題】{1,√2,√3}はQ上1次独立
(略証) r+s√2+t√3 = 0, r,s,t∈Qとする。
r,s,tのうちの2つが0なら残りも0.
st≠0 のとき √6 = {r^2 -2s^2 -3t^2}/(2st) ∈Q
s=0, t≠0 のとき √3 = -r/t ∈Q
s≠0, t=0 のとき √2 = -r/s ∈Q
いづれも矛盾なので、 s=t=0, r=0 (終)
277:１３２人目の素数さん
05/04/26 22:05:33
【問題】 \sqrt[3]{10} と \sqrt[3]{3/2}+1 の大小を華麗に評価せよ。
278:ヒラメ
05/04/27 08:18:53
0<b<1 のとき y=x^b は上に凸ゆえ、2{(a+1)/2}^b > a^b +1. a=3/2, b=1/3 とおく。
279:１３２人目の素数さん
05/04/29 09:30:10
(1) f(x)を無限回微分可能な関数、f(-1)=f(1)=0とする。
|∫[-√3,√3]f(x)dx|≦A
を満たす定数Aの最小値を求めよ。
(2) 辺の長さが1の正方形の内部に n (>2) 個の点を取る。このとき、
これらに適当に P(1) , P(2) , ... , P(n) と名前を付けて、
Σ[k=1,n] |P(k-1)P(k)|^2 ≦ 4 とできることを示せ。 但し、P(0)=P(n)
280:１３２人目の素数さん
05/05/04 14:17:53
>>279
|∫[-√3,√3]f(x)dx|
は幾らでも大きくなりうる
281:１３２人目の素数さん
05/05/10 01:14:51
いまさらこんな問題で俺様が釣ら…ｸﾏｰ
URLﾘﾝｸ(www.springer-tokyo.co.jp)
282:１３２人目の素数さん
05/05/11 20:01:14
>281
第８回シュプリンガー数学コンテスト
【問題】
a,b,cを3角形の3辺の長さとする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
3/2 ≦ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≦ 2.
→詳しくは URLﾘﾝｸ(www.springer-tokyo.co.jp)
283:１３２人目の素数さん
05/05/12 08:21:11
>281-282
いまさらこんな問題で俺様が釣ら…
[左側]（Shapiroの巡回不等式）.
(ⅰ) 与式 = 2s{1/(b+c) +1/(c+a) +1/(a+b)} -3 として相加･調和平均.
(ⅱ) f(x)=x/(2s-x) は下に凸. (0<x<2s=a+b+c)
[右側]
三角不等式から (分母) ≧ (a+b+c)/2 =s.
クマー！
284:１３２人目の素数さん
05/05/14 14:51:40
>281-282
[定理]
n≦13と正の数a_kに対して
a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.
[1] H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).
[2] URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
[3] ｢不等式への招待｣, 大関信雄･大関清太, 近代科学社 (1987.10), p.28-30
[類題] [ASU 1969.14]
正の数a_kに対して
a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/3.
[前スレ.497(2) & 501]
285:１３２人目の素数さん
05/05/14 22:01:04
巡回不等式って、なんとなくエロくてたまらん。
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
286:１３２人目の素数さん
05/05/17 01:32:14
(1) [Moldova Olympiads 2002]
3≧a≧b≧c≧0 のとき、
(a- b)/(a^2-9) + (a-c)/(b^2-9) + (b-c)/(c^2-9) ≦ 36
(2) a, b, c > 0、a+b+c=1 のとき、
1/(a+bc+3abc) + 1/(b+ca+3abc) +1/(c+ab+3abc) ≦ 1/(ab+bc+ca+abc)
(3) 0 ≦A, B, C, D ≦ π/2 のとき、
(2+sinA+sinB)/(2+sinB+sinC) + (2+sinC+sinD)/(2+sinD+sinA) ≦ 4(2+sinA+sinC)/(2+sinB+sinD)
ひさびさの不等式ヲタです ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
287:１３２人目の素数さん
05/05/17 01:33:12
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| ネタを仕入れてきました
ヽ::::......ワ...ノ 存分に ﾊｧﾊｧ してください
人つゝ 人,, ﾃﾍｯ！
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒