05/03/20 21:30:38
>200
【Sierpinskiの不等式】
[>200]のとき、 Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
(略証)
Ｆ ≡ Ａ^(n-1)･Ｈ/Ｇ^n とおき、Ｆ≧1 を示す。
nに関する帰納法による。
n=2 のとき ＡＨ=x(1)x(2)=Ｇ^2 だから等号成立、Ｆ=1.
nに対して成り立つとする。x(n+1)=x ' とおくと n+1 に対しては
Ａ' = (nＡ+ x ')/(n+1), Ｇ ' = (Ｇ^n･x ')^(1/(n+1)), Ｈ ' = Ｈ(n+1)x '/(Ｈ+nx ').
Ｆ/Ｆ ' = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}(Ｈ+nx ') = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ -(Ａ-Ｈ)/(n+1)}
≦ {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ} = {nt-(n-1)}/(t^n) ≦ 1, ここに t≡Ａ'/Ａ. (←★)
∴ Ｆ '≧Ｆ≧…≧1.
x(k) の代わりに 1/x(k) を考えれば、右側も示せる。(終)
ぬるぽ